Математические модели конфликтных ситуаций с использованием шахмат. Математические модели теории игр Математическое описание конфликтной ситуации называется

14.08.2021

5.7. Краткие замечания к вопросу о выборочном контроле над вооружением
Мы уже говорили, что главная цель контроля состоит в том, чтобы проверять, соблюдает ли другая сторона соглашение о контроле над вооружением. Контроль может осуществляться путем наблюдения за производством и хранением военных материалов, движением транспорта с военными материалами, количеством оружия в определенных стратегических районах или наличием или отсутствием скрытых военных установок. При ядерных или каких-либо других испытаниях, запрещенных договором, наблюдатель должен искать определенные доказательства, которые могут ему помочь при интерпретации подозрительных сигналов .
Абсурдно и невозможно изучать все подозрительные события, чтобы выяснить, соблюдается ли соглашение. В промышленности давно установлено, что для контроля качества продукции вовсе не обязательно контролировать все изделия, достаточно проверять наудачу выбранные образцы. Стоимость выборочного, контроля может быть достаточно высока, даже если используются достоверные методы контроля качества.
Выборочные методы, применяемые к проблемам контроля над вооружением, могут различаться по сложности. В целом идеи и методы, столь полезные при изучении характеристик совокупности, применимы и полезны для исследования.
Нам нет необходимости вникать в детали различных типов выборочных методов, таких, как случайные, послойные, групповые, последовательные и др. Нам не надо также говорить о различных методах получения статистических выводов, которые используют корреляцию и регрессию, оценки и гипотезы о проведении испытаний. Об основных понятиях и применении упомянутых методов можно прочитать в широко распространенных книгах по статистике и ее приложениям. Здесь мы попытаемся обрисовать типичную ситуацию, в которой можно эффективно использовать выборочные методы для проверки соблюдения противником договора о контроле за вооружением.
Проблема выборочного контроля состоит из двух больших вопросов. Первый - определение размера выборки и типа выборочной процедуры, наиболее подходящей в конкретной оитуации. Второй- получение статистических выводов о всей совокупности на основании данных выборочного контроля, Оба эти вопроса должны быть решены так, чтобы выполнялись условия, накладываемые
Договором о разоружений, a также, чтобы они были согласованы с другими условиями, не зависящими от группы наблюдателей. Результаты выборочного контроля затем должны быть изложены в форме, удобной для лиц, принимающих решения. Областью, в которой выборочные методы могут быть полезны для контроля над вооружением, например, является анализ системы записей, в которых содержится информация о перевозках и производстве стратегических материалов. Однако использование таких записей для контроля требует больших затрат. Кроме того, может оказаться, что получить доступ к этим записям путем переговоров невозможно. Тем не менее, если такие записи поступят в распоряжение сторон в результате соглашения, надо предусмотреть возможность их использования. Контроль по отчетности имеет своей целью создание и функционирование системы отчетов и докладов, регистрации поступления и убытия, чтобы предотвратить рассеяние и потерю материалов из-за небрежности или, если утеря имела место, обеспечить отыскание утерянного и предотвращение подобных случаев в будущем.
При выборочном контроле таких нематериальных вещей, как записи, возникает множество необычных задач. Одна из них - это соответствие записей действительному положению вещей. Другая - состоятельность записей.
Если существующий уровень активности в сферах деятельности, охваченных договором, указан в документах заинтересованных сторон, то группа наблюдателей имеет основу для отыскания видов деятельности, уровень активности в которых не указан, С другой стороны, гораздо труднее выяснить, не превышает ли уровень активности в некоторой сфере деятельности установленный догово-
ром, так как поток материалов нельзя разДелйтЬ на черное и белое, он включает в себя и все оттенки серого. Поэтому от группы наблюдателей требуется внимательность и умение распутывать сложные вопросы. Естественно, небольшие нарушения не могут дать больших преимуществ нарушителю, я пооизводство вооружений для подготовки крупных военных операций предполагает широкий план нарушений.
Мы верим, что примерно такими должны быть методы, применимые на последних стадиях разоружения. Они будут служить инструментом, используемым в повседневной деятельности по проведению в жизнь договора о контроле над вооружением. Но задолго до этой стадии идеи, изложенные в первых пяти главах настоящей книги, будут играть важную роль в создании мер по действительному сокращению вооружений.
Краткое описание проблем, возникающих при выборочном контроле над вооружением, будет дано ниже. Выборочные процедуры мало используются при оценках свойств, сравнительно редко встречающихся у элементов совокупности. Если лишь немногие элементы обладают этим свойством, например, 1 из 10 тыс., то оценка будет очень приближенной при условии, что выборка не будет чрезвычайно велика (большие расходы). Например, если в маленькой выборке обнаружено искомое свойство, то оценка для всей совокупности будет сильно завышена. Никакое изменение выборочной процедуры не помогает избежать этого недостатка, и следует проявлять осторожность при отборе элементов выборки. То же самое можно сказать и о поисках нарушений при производстве изделий для небольшого количества оружия. Это все равно, что искать иголку в стоге сена.
Предположим, что мы должны проверить завбД, производящий детали к сельскохозяйственным машинам, но на котором можно изготовлять и некоторое количество деталей для военного оборудования. Допустим также, что количество машин, используемых в мирных целях, неизвестно и, следовательно, нельзя сказать, какое количество деталей данного типа предназначено для этой цели, Как можно установить, что производится избыточное количество деталей?
Мы можем установить нормы срока службы этих деталей и срока службы машин, в которых используются эти детали. Необходимо также определить количество выпускаемых машин на основе осмотра заводов, на которых они производятся. Используя случайные выборки из совокупности машин, мы можем оценить объем совокупности и потребность в данных деталях. Теперь мы имеем оценку числа деталей, необходимых для создания новой машины и для замены изношенных деталей в старых машинах. Наблюдая скорость изготовления данных деталей и оценивая максимальный объем продукции, мы можем подтвердить или опровергнуть подозрения, что эти детали тайно используются в военной продукции.
Статистика служит инструментом для измерения эффективности действий, предпринимаемых в процессе проведения политики. Эти меры или индексы служат критериями для оценки того, насколько точно выполняются соглашения. Например, средние уровни часто используются для того, чтобы показать, сколько операций закончено. Иногда мы можем использовать визуальный контроль для оценки степени выполнения требований. Однако, если надо проводить большое число проверок для обследования многих областей, необходимы статиСТические методы для получения единого критерия выполнения требований. Об эффективности действия можно судить по тому, насколько оно соответствует целям, которые преследует данная политика. Поэтому, кроме разработки состоятельных целей и стабильных линий поведения, должны быть предприняты действия (как выражение политики), которые обеспечивают эффективное выполнение этих требований.
Иногда бывает так, что не существует эффективных действий, которые можно было бы использовать для проведения некоторой политики. Таков, например, случай, когда две страны блокируют действия друг друга. Если государство не может действовать в соответствии со своими целями, то в стране возникают беспорядки. В гл. 6 будут рассмотрены общие понятия беспорядка, агрессии и факторы, влияющие на разрешение конфликтов.

Часть IV
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ И ДОЛГОСРОЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОНТРОЛЯ НАД ВООРУЖЕНИЕМ -АНАЛИЗ РАЗРАСТАНИЯ КОНФЛИКТОВ, ИДЕИ И ПЕРСПЕКТИВЫ

ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЕ КОНФЛИКТОВ

6.1. Введение
В этой, главе будут изложены некоторые вопросы, касающиеся причин возникновения конфликтов. Сначала мы опишем некоторые исследования эска-
лации на примерах конфликтов лабораторного типа и выясним, какие факторы определяют разрастание конфликтов. Затем будут приведены некоторые качественные рассуждения относительно войны и мира в истории человечества.
«Конфликт возникает в результате недовольства, а недовольство - в результате недостаточного удовлетворения потребностей» утверждают сторонники одной из идеологических школ . Война и мир кратко описываются как цепь расстройств и выздоровлений.
Другие школы (некоторые из них кратко упоминаются) считают, что войны порождаются агрессивными инстинктами, ненавистью, скукой, взаимным непониманием, различиями в уровне культуры, желанием объединить разделенную страну на основе ненависти к общему врагу, новыми научными открытиями, стремлением стимулировать рост экономики путем создания «искусственного» спроса, желанием захватить новые рынки, борьбой за выживание, расширением динамической цивилизации, стремлением к господству элиты военно-промышленного комплекса и т. п. Однако, как бы то ни было, теория, изложенная в разд. 2.4, дает возможность рационально решить вопрос о втягивании в конфликт.
Существующее положение выглядит не очень надежным. Поэтому делается попытка нарисовать картину будущего и показать реальные возможности установления прочного мира при условии, что нам удастся пережить настоящий момент. В последнем разделе описаны некоторые области исследования и действия, рекомендуемые в данный период (и в ближайшем будущем), которые могут помочь мирному разрешению конфликтов.

6.2. Опыты с эскалацией конфликтов
Мы иногда ошибочно полагаем, что если народы понимают всю опасность ядерного оружия, то они стремятся разумно решать возникающие конфликты, в худшем случае используя обычное оружие. Однако, что вполне естественно, проигрывающая сторона может прибегнуть к угрозе использовать ядерное оружие, чтобы избежать поражения и даже восстановить утраченные позиции. Это может окончиться катастрофой. Кроме того, у некоторых народов понятие разумности отличается от нашего, особенно, если им нечего терять материально. До тех пор, пока процессы эскалации и методы управления ими не изучены полностью, маловероятно, что удастся удержать под контролем войну, ведущуюся обычными средствами. Осознание процессов эскалации и методов управления ими значительно увеличит надежды на ограничение ущерба в случае возникновения конфликта. Эта теория должна найти свое применение и к войне, которая ведется обычными средствами, если существуют указания, в каком направлении будет развиваться конфликт в случае тех или иных действий. Такие действия иногда направлены на деэскалацию путем подавления врага, но в действительности они только усиливают конфликт.
В течение последних нескольких лет Агенство по разоружению и контролю над вооружением совместно с Центром по исследованию операций в Пенсильванском университете проводило исследование условий, при которых происходит эскалация или деэскалация конфликтов, чтобы выяснить возможность воздействия на скорость эскалации или деэскалации путем управления условиями, определяющими взаимодействие сторон - участниц конфликта. Исследование включало в себя: а) анализ некоторых исторических конфликтов и изучение соответствующей литературы, б) проведение экспериментов с целью определения эффекта взаимодействия между различными переменными и в) разработку теории на базе экспериментальных данных и обобщение ее на реальные проблемы.
В результате анализа литературы было предложено несколько гипотез об эскалации и деэскалации, а затем в экспериментальных ситуациях были проверены: а) их общность и б) идентификация критических переменных. Примеры гипотез: а) при отсутствии коммуникаций вероятность эскалации возрастает, б) чем большую роль играют идеологические вопросы, тем вероятнее эскалация, в) эскалация зависит от экономического развития, г) эскалация более возможна, если конфликт развивается постепенно, д) эскалация более вероятна в присутствии многостороннего командования .
Была построена относительно сложная экспериментальная ситуация, так называемая «искусственная реальность» (или «богатая игра»), которая тем не менее была самой простой игрой, отвечающей следующим условиям:
1. Она достаточно «богата», чтобы можно было проверить многие гипотезы, высказанные об изучаемых явлениях, в данном случае речь идет о динамике крупных социальных конфликтов. (Очевидно, что такие эксперименты не могут подтвердить гипотезу о том или ином реальном явлении, но они могут определить пределы действия гипотезы или показать, в каком направлении ее можно или нужно обобщать.) Цель условий - создать экспериментальную ситуацию, достаточно реалистическую для того, чтобы большинство свойств реального конфликта было применимо к ней.
2. Должны существовать точные описания переменных и единицы для их измерения, кроме того, должны быть указаны упрощения (например, некоторая переменная полагается равной постоянной). Это дает нам возможность последовательно конструировать все более богатые экспериментальные ситуации путем введения усложнений.
3. Соответствующее поведение в экспериментальной ситуации должно быть выражено количественно.
4. Ситуация должна разлагаться на ряд более простых экспериментальных ситуаций и, если возможно, эти простые ситуации должны быть уже изучены или близки к уже изученным.
Экспериментальная ситуация, удовлетворяющая этим условиям, не является моделью реальности, а, скорее, может считаться первым шагом на пути создания количественных моделей реальной ситуации; поэтому мы называем ее «искусственной реальностью». Она используется для того, чтобы накопить опытные данные, для истолкования которых строится первая теория. Опыт накапливается при помощи богатой игры в процессе эксперимента, который поставлен с целью систематической проверки гипотезы о реальных конфликтах, которые описаны в оперативных и количественных терминах так, чтобы их можно было использовать в теоретических построениях.

Замечания о построении искусственной реальности
Искусственная реальность состоит из двух симметричных игр, в которых ходы делаются одновременно. Одна из них - это игра с положительной суммой - «дилемма заключенного», которая в какой-то степени изображает международную (две страны) экономику. Другая - игра с отрицательной суммой под названием «петухи», которая напоминает противостояние двух стран, когда они держат курс на столкновение в надежде, что противник пойдет на уступки.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ

Раздел Теория игр представлен тремя онлайн-калькуляторами :

Решение матричной игры . В таких задачах задана платежная матрица. Требуется найти чистые или смешанные стратегии игроков и, цену игры . Для решения необходимо указать размерность матрицы и метод решения.
Биматричная игра . Обычно в такой игре задают две матрицы одинакового размера выигрышей первого и второго игроков. Строки этих матриц соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы матриц – стратегиям второго игрока. При этом в первой матрице представлены выигрыши первого игрока, а во второй матрице – выигрыши второго.
Игры с природой . Используется, когда необходимо выбрать управленческое решение по критериям Максимакса, Байеса, Лапласа, Вальда , Сэвиджа , Гурвица .

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две стороны преследуют различные цели и результаты действия каждой из сторон зависят от мероприятий противника (или партнера).

Ситуация, в которой эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны, называется конфликтной . Конфликт всегда связан с определенного рода разногласиями (это не обязательно антагонистическое противоречие).

Конфликтная ситуация называется антагонистической , если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину, и наоборот.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. Например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Каждый из них имеет свои интересы и стремится принимать оптимальные решения, помогающие достигнуть поставленных целей в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера и учитывать решения, которые эти партнеры будут принимать (они заранее могут быть неизвестны). Чтобы в конфликтных ситуациях принимать оптимальные решения, создана математическая теория конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр . Возникновение этой теории относится к 1944 г., когда была издана монография Дж. фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение»

Игра – это математическая модель реальной конфликтной ситуации . Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход конфликта называется выигрышем. Правила игры – это система условий, определяющая варианты действий игроков; объем информации каждого игрока о поведении партнеров; выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. Игроки обозначаются A и B .

Игра называется антагонистической (с нулевой суммой ), если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.

Выбор и осуществление одного из вариантов действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.
Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из вариантов действий (например, в шахматах).
Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, бросание игральной кости). Мы будем рассматривать только личные ходы.

Стратегия игрока – это совокупность правил, определяющих поведение игрока при каждом личном ходе. Обычно в процессе игры на каждом этапе игрок выбирает ход в зависимости от конкретной ситуации. Возможно также, что все решения приняты игроком заранее (т.е. игрок выбрал определенную стратегию).

Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Цель теории игр – разработать методы для определения оптимальной стратегии каждого игрока.

Стратегия игрока называется оптимальной , если она обеспечивает этому игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш независимо от поведения противника).

Пример 1. Каждый из игроков, A или B , может записать, независимо от другого, цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то A выигрывает количество очков, равное разности между цифрами. Если разность меньше 0, выигрывает B . Если разность равна 0 – ничья.
У игрока A три стратегии (варианта действия): A 1 = 1 (записать 1), A 2 = 2, A 3 = 3, у игрока тоже три стратегии: B 1 , B 2 , B 3 .

B A	B 1 =1	B 2 = 2	B 3 =3
A 1 = 1	0	-1	-2
A 2 = 2	1	0	-1
A 3 = 3	2	1	0

Задача игрока A – максимизировать свой выигрыш. Задача игрока B – минимизировать свой проигрыш, т.е. минимизировать выигрыш A . Это парная игра с нулевой суммой .

Ключевые слова

КОНФЛИКТ / ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА / ЭЛЕМЕНТЫ / ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ / ЗАКОНЫ ЛОГИКИ / ВЫСКАЗЫВАНИЕ / ДВУЗНАЧНАЯ ЛОГИКА / МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА / CONFLICT / FORMAL LOGIC ELEMENTS / LOGIC OPERATIONS / LAWS OF LOGIC / STATEMENT / TWO-VALUED LOGIC / MANY-VALUED LOGIC

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы - Левин Виталий Ильич, Немкова Елена Анатольевна

Актуальность. В статье рассмотрена актуальная проблема адекватного математического моделирования поведения конфликтующих систем, применительно к системам, конфликты в которых не обязательно связаны с антагонистическим противоречием между участниками системы. Дана формальная постановка задачи логико-математического моделирования процесса взаимодействия конфликтующих участников системы. Эта задача заключается в построении алгебр двузначной и многозначной логики , моделирующих различные типы мышления, различие которых и является источником конфликта . Цель статьи. Целью статьи является изложение и детальный анализ двузначной и многозначной логик , с упором на выяснение фундаментальных различий законов этих логик, влекущих за собой существенные различия в мышлении индивидов, базирующихся на указанных логиках, и вытекающие из этого различия конфликты между носителями различных логик мышления. Метод. Для решения поставленной задачи используется традиционный метод построения логических систем, основанный на введении базовых постоянных элементов , основных операций над ними и выявлении законов, которым подчиняются эти операции. При этом основное внимание уделяется различиям элементов операций над ними и законов операций между двузначной и многозначной логиками . Новизна. Сформулировано положение, согласно которому существуют системы, конфликты между участниками которых вызываются не антагонистическими противоречиями их интересов, а различием их логик мышления, следствием которого является непонимание, провоцирующее подозрительность, а потом и агрессию. Это так называемое воображаемые конфликты , борьба с которыми требует специальных подходов. Результат. Разработана процедура построения алгебры логики различной значности, адекватно моделирующей процессы мышления. Описаны двузначная и многозначная логики мышления и их законы. Установлены фундаментальные различия двузначной и многозначной логик . Приведен пример анализа конфликта , вызванного различием логик мышления.

Текст научной работы на тему «Логико-математическое моделирование конфликтов»

Логико-математическое моделирование конфликтов

Левин В. И., Немкова Е. А.

Актуальность. В статье рассмотрена актуальная проблема адекватного математического моделирования поведения конфликтующих систем, применительно к системам, конфликты в которых не обязательно связаны с антагонистическим противоречием между участниками системы. Дана формальная постановка задачи логико-математического моделирования процесса взаимодействия конфликтующих участников системы. Эта задача заключается в построении алгебр двузначной и многозначной логики, моделирующих различные типы мышления, различие которых и является источником конфликта. Цель статьи. Целью статьи является изложение и детальный анализ двузначной и многозначной логик, с упором на выяснение фундаментальных различий законов этих логик, влекущих за собой существенные различия в мышлении индивидов, базирующихся на указанных логиках, и вытекающие из этого различия конфликты между носителями различных логик мышления. Метод. Для решения поставленной задачи используется традиционный метод построения логических систем, основанный на введении базовых постоянных элементов, основных операций над ними и выявлении законов, которым подчиняются эти операции. При этом основное внимание уделяется различиям элементов операций над ними и законов операций между двузначной и многозначной логиками. Новизна. Сформулировано положение, согласно которому существуют системы, конфликты между участниками которых вызываются не антагонистическими противоречиями их интересов, а различием их логик мышления, следствием которого является непонимание, провоцирующее подозрительность, а потом и агрессию. Это так называемое воображаемые конфликты, борьба с которыми требует специальных подходов. Результат. Разработана процедура построения алгебры логики различной значности, адекватно моделирующей процессы мышления. Описаны двузначная и многозначная логики мышления и их законы. Установлены фундаментальные различия двузначной и многозначной логик. Приведен пример анализа конфликта, вызванного различием логик мышления.

Ключевые слова: конфликт, формальная логика, элементы, логические операции, законы логики, высказывание, двузначная логика, многозначная логика.

Введение

Несомненна важность общей теории конфликта - науки, занимающейся расчетом, анализом, синтезом и разрешением общих моделей конфликтных ситуаций. В то же время ясно, что построение продуктивных моделей конфликта должно быть основано на привязке к наиболее важным конкретным классам конфликтующих систем. И самый большой интерес среди этих систем вызывает, конечно, человеческое общество.

Конфликтами в человеческом обществе с целью их практического разрешения в настоящее время занимается гуманитарная наука -конфликтология, являющаяся частью социологии. Однако эта наука не стремится вскрыть внутреннюю природу конфликтных ситуаций, а без этого невозможно построить соответствующие хорошие математические модели, позволяющие детально изучать такие ситуации.

Обычно считается, что источником человеческих конфликтов является противоречие между целями, которые различные люди ставят между собой . Однако не секрет, что большая (а возможно, и подавляющая) часть человечества - это люди, которые не ставят перед собой никаких особых целей.

№3. 2016

Sccs.intelgr.com

Но при этом они часто конфликтуют с другими людьми - как бесцельно существующими, подобными им, так и с вполне целеустремленными людьми. Этот факт побуждает предполагать, что в основе конфликтов между людьми лежит еще и какая-то другая особенность человеческой личности, не связанная напрямую с деятельностью человека и его целями, а присущая ему на генетическом уровне. В настоящей статье выдвигается и обосновывается гипотеза, согласно которой особенность человека, которая сильно, а иногда решающим образом влияет на возникновение (или отсутствие) его конфликтов с окружающими, это тип, а точнее - логика его мышления. С этой целью рассматриваются два существенно различных типа логики - двузначная и многозначная, а затем показывается, что основанные на них варианты человеческого мышления в значительной мере несовместимы. Эта несовместимость и приводит к взаимонепониманию между приверженцами двух указанных типов мышления и, в конечном счете, к конфликтам между ними.

1. Двузначная формальная логика

Двузначная формальная (иначе - математическая, символическая) логика высказываний, называемая еще классической, лежит в основе обычного человеческого мышления. Эта логика строится с помощью двух постоянных элементов: ИСТИНА (обозначение И) и ложь (обозначение Л); переменных, значениями которых служат значения истинности различных высказываний, и логических операций, которые можно выполнять над постоянными элементами. Высказывание - это утверждение, которое может быть либо истинным (И), либо ложным (Л). Поэтому логические операции можно выполнять и над высказываниями. Логические операции над постоянными элементами или высказываниями Р,Q следующие: отрицание Р (иначе «НЕ Р»), дизъюнкция Р V Q (иначе «Р ИЛИ Q»), конъюнкция Р л Q (иначе «Р И Q»), разделительная дизъюнкция Р 0 Q (иначе «ЛИБО Р, ЛИБО Q»), эквивалентность Р « Q (иначе « Р РАВНОСИЛЬНО Q»), импликация Р ® Q (иначе «ЕСЛИ Р, ТО Q»). Эти операции определены в таблицах истинности 1 и 2. Кроме высказываний, имеющих переменные значения истинности (И или Л), имеются два высказывания с постоянными значениями истинности: тождественно истинное высказывание или тавтология (обозначение Т) и тождественно ложное высказывание или противоречие (обозначение П).

Таблица 1 - Операция отрицания

Системы управления, связи и безопасности

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Таблица 2 - Операции дизъюнкции, конъюнкции, разделительной дизъюнкции, эквивалентности и импликации

P Q P V Q P Ù Q P ® Q P « Q P ® Q

Л Л Л Л Л И И

И Л И Л И Л Л

Л И И Л И Л И

И И И И Л И И

Во введенной логике справедливы следующие законы:

Переместительный закон для дизъюнкции и конъюнкции

Р V Q = Q V Р, Р л Q = Q л Р; (1)

Сочетательный закон для дизъюнкции и конъюнкции

(Р V Q) V Я = Р V (£ V Я), (Р л Q) л Я = Р л (£ л Я). (2)

Распределительный закон для конъюнкции относительно дизъюнкции

(Р V Q) л Я = (Р л Я) V (д л Я); (3)

Распределительный закон для дизъюнкции относительно конъюнкции

(Р л Q) V Я = (Р V Я) л (д V Я); (4)

Закон де Моргана

Р V Q = Р л Q, Р л Q = Р V Q; (5)

закон тавтологии

Р V Р = Р, Р л Р = Р, (6)

Закон поглощения

Р л (Р V Q) = Р, Р V (Р л Q) = Р; (7)

Закон действия над высказываниями с постоянными значениями истинности

Р V П = Р, Р V T = ^ Р л T = Р, Р л П = П, (8)

Закон двойного отрицания

Закон исключенного третьего

Р V Р = Т; (10)

Закон противоречия

Р л Р = П; (11)

Закон преобразования импликации

(Р ® Q) = PV Q (12)

Для доказательства законов двузначной логики строятся таблицы истинности их обеих частей, подобные табл. 1, 2. Если оказывается, что таблицы для обеих частей совпадают, то закон справедлив. Логические законы позволяют заменять выражения логики высказываний эквивалентными, но более простыми (либо более удобными в каком-то смысле) выражениями.

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Построенная логика высказываний позволяет формально описывать процесс человеческого мышления, используя формальную конструкцию

А1 л А2 л... л Ап ® В. (13)

Здесь А1,...,Ап - исходные высказывания (посылки), В - новое

высказывание (заключение). Сложное высказывание (13) называется логическим выводом. Логический вывод может быть истинным или ложным. Если он истинен при любых значениях истинности посылок и заключения (т.е. тождественно истинен), он считается верным. В остальных случаях логический вывод считается неверным. Для проверки верности логического вывода можно построить его таблицу истинности и убедиться, что он тождественно истинен либо преобразовать выражение (13) логического вывода с помощью подходящих логических законов и привести его к тождественно истинному высказыванию.

Приведем еще один логический закон - транзитивности импликации, важный для логического вывода

(Р ® 0л(0 ® Я) ® (Р ® Я). (14)

Закон (14) показывает, что операция импликации ® транзитивна, что позволяет осуществлять логический вывод как многоступенчатый (цепочечный) процесс.

Двузначная формальная логика и реализующие ее автоматы широко используются для математического моделирования многих классов систем. В частности, конфликтующих систем .

2. Многозначная формальная логика

Все основные черты многозначной логики проявляются, начиная со значности к = 3. Поэтому ограничимся трехзначной формальной логикой высказываний. Эта логика лежит в основе человеческого мышления, более сложного, чем обычное. Она строится с помощью тех же постоянных элементов, что и двузначная логика: И и Л, с добавлением постоянного элемента НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ (обозначение Н). Новый элемент является неопределенностью в том смысле, что он не истинен и не ложен. Как и в двузначной логике, в качестве переменных значений используется истинность различных высказываний. Эти значения теперь могут быть И, Л или Н. Логические операции можно выполнять над постоянными элементами И, Л и Н и над переменными (высказываниями), принимающими эти же значения И, Л и Н. В трехзначной логике имеются те же операции, что и в двузначной. Однако число возможных вариантов каждой операции значительно больше. В табл. 3-5 определены три наиболее употребительных варианта операции отрицания. В табл. 6 определены операции дизъюнкции Р V 0, конъюнкции Р л 0, разделительной дизъюнкции Р Ф 0, эквивалентности Р « 0, импликации Р ® 0 (по одному варианту для каждой операции). Кроме высказываний с переменными значениями истинности (И, Л или Н), имеются три высказывания с постоянными значениями истинности: И (называемое тавтологией Т), Л (называемое противоречием П) и Н (называемое неопределенностью Н).

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Первые две совпадают с соответствующими в двузначной логике, третье является новым высказыванием с постоянным значением истинности.

Таблица 3 - Зеркальное отрицание

Таблица 4 - Левое циклическое отрицание

Таблица 5 - Правое циклическое отрицание

Таблица 6 - Операции дизъюнкции, конъюнкции, разделительной дизъюнкции, эквивалентности и импликации

P Q P v Q P A Q P ® Q P « Q P ® Q

Л Л Л Л Л И И

Л Н Н Л Н Н И

Л И И Л И Л И

Н Л Н Л Н Н Н

Н Н Н Н Н Н Н

Н И И Н Н Н И

И Л И Л И Л Л

И Н И Н Н Н Н

И И И И Л И И

Во введенной трехзначной логике остаются справедливы законы двузначной логики, не содержащие операции отрицания. Это законы переместительный, сочетательный и распределительный (1)-(4), тавтологии, поглощения и действий с постоянными (6)-(8), транзитивности (14). Однако появляются новые законы действий над высказываниями с постоянным значением истинности Н

Н V Л = Н, Н V И = И, Н л Л = Л, Н л И = Н. (15)

Главное же отличие трехзначной логики от двузначной состоит в существенном изменении законов, содержащих операцию отрицания. Конкретный вид этих законов зависит от выбранного варианта операции отрицания. Если это операция зеркального отрицания (табл. 3), то остаются

Системы управления, связи и безопасности

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

справедливыми законы де Моргана, двойного отрицания и преобразования импликации (5), (9), и (12) двузначной логики, однако закон исключенного третьего (10) переходит в следующий закон «частично исключенного третьего»

Р V Р = Т"(Р), где Т"(Р) = {И, при Р = И или Л; (16)

[И, при Р = Н; у 7

а закон противоречия (11) - в следующий закон «частичного противоречия»

Р л Р = П"(Р), где П"(Р) = {Л, при Р = И или Л; (17)

[И, при Р = И. у 7

Для операций левого и правого циклического отрицания (табл. 4 и 5) все законы двузначной логики, содержащие отрицание, трансформируется в соответствующие новые, более сложные законы трехзначной логики. Так, законы двойного отрицания (9), исключенного третьего (10) и противоречия (11) трансформируется в соответствующие законы - закон тройного отрицания

закон исключенного четвертого

Р V Р V Р = Т (19)

и закон полного противоречия

Р л Р л Р = П, (20)

а законы де Моргана (5) и преобразования импликации (12) - в соответствующие более сложные законы, форма которых уже зависит от того, какое циклическое отрицание использовано - левое или правое. В связи с обсуждаемой проблемой логики мышления особое значение имеет конкретизация закона (18) в виде

Р ф Р, "Р; (21)

закона (19) в виде закона «частично исключенного третьего»

ГИ, при Р = И или Л, Р V Р = Тл(Р), где Тл(Р) = { " р

[И, при Р = И,

П п ГИ, при Р = И или И, Р V Р = Тп(Р), где Тп (Р) = { " р

[И, при Р = Л,

для правого циклического отрицания; и закона (20) в виде закона «частичного противоречия»

- „ Г Л, при Р = Л или И, Р л Р = Пл (Р), где Пл (Р) = { " р _ тя

[И, при Р = И,

для левого циклического отрицания;

П п Г Л, при Р = Л или И, Р л Р = Пп (Р), где Пп (Р) = { " р

[И, при Р = И,

для правого циклического отрицания.

Как видно из (21), в трехзначной логике с операцией циклического отрицания не действует закон двойного отрицания. Далее, из (22) следует, что в этой логике не действует закон исключенного третьего - он трансформируется

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

в закон «частично исключенного третьего», конкретная форма которого зависит от варианта операции циклического отрицания (правое или левое). Аналогично, из (23) следует, что в этой логике не действует закон противоречия - он трансформируется в закон «частичного противоречия», конкретная форма которого также зависит от варианта операции циклического отрицания.

3. Логика и конфликты

Каждый мыслящий индивидуум в своей мыслительной деятельности всегда использует сознательно или интуитивно тот или иной вариант логики. Выше мы видели, что между двузначной и многозначной логиками есть существенные различия. Поэтому всех индивидуумов, по используемому в их мышлении преимущественного варианту логики, можно разделить на двузначных и многозначных мыслителей. Их основные различия заключаются в том, что для двузначного мыслителя любое высказывание может иметь только два значения истинности: истинно и ложно, причем отрицание одного дает другое, в то время как для многозначного мыслителя любое высказывание имеет, как минимум, три значения истинности: истинно, ложно и неопределенно. При этом операция отрицания может быть определена по-разному, так что отрицание любого значения истинности в общем случае может дать любое другое значение истинности.

Ввиду указанных глубоких различий между двузначными и многозначными мыслителями возникает сложная проблема их взаимоотношений. Сущность этой проблемы в том, что в рамках двузначного мышления трудно понять явно многозначную природу мира (с точки зрения современной науки). Такое постоянное недопонимание ведет к подозрительности и страху. В итоге двузначный мыслитель начинает конфликтовать с многозначным, склоняясь к силовому решению.

Рассмотрим простейший характерный пример. На банкете, во время застолья, художник, уже изрядно навеселе обращается к ученому: «Ты что не пьешь?» - Тот отвечает: «Не могу!». Художник продолжает настаивать: «Пей!». Ученый возражает: «Не буду!». Тогда художник заявляет громогласно: «Значит, ты собираешься написать на нас донос!». Наш художник, конечно типичный двузначный мыслитель, для которого существует лишь два варианта: пить и потому быть не способным донести и не пить и потому быть способным написать донос. Ему не приходит в голову, что есть и другие варианты, очевидные для ученого - многозначного мыслителя. Например, напиться до беспамятства, а потом донести о том чего не было, или вообще не пить и при этом не доносить из нравственных соображений.

Реальная версия этой полу фантастической истории произошла в 1938 году на правительственной даче в Кунцево, под Москвой, когда во время очередного банкета, устроенного И.В. Сталиным, ему не удалось заставить пить наркома кинематографии СССР Бориса Шумяцкого. После чего по приказу двузначного мыслителя Сталина подозрительный многозначный мыслитель Шумяцкий был расстрелян.

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Изложенные в данном разделе соображения могут быть положены в основу нового многозначно-логического подхода к моделированию конфликтов, отличного от двузначно-логического подхода, основанного на математическом аппарате, рассмотренном в работе . Такой новый подход открывает новые перспективы моделирования конфликтов. В частности, он позволит увеличить число градаций взаимодействия конфликтующих систем и тем самым сделает анализ этого взаимодействия более тонким. Подробное изложение данного подхода предполагается в отдельной статье.

Заключение

В статье показано, что двузначная и многозначная логики подчиняются существенно различным законам, благодаря чему могут быть использованы для моделирования различных типов мышления. Выявлено, что источником человеческих конфликтов может быть не только противоречие между целями, которые различные люди ставят перед собой, но и человеческое взаимонепонимание, вызванное различием типов мышления. Достоинство описываемого подхода к изучению конфликтов заключается в возможности более тонкого проникновения в суть развития конфликтных ситуаций.

Литература

1. Дмитриев А. В. Конфликтология. - М.: ИИФРА-М, 2009. - 336 с.

2. Сысоев В. В. Конфликт. Сотрудничество. Иезависимость: системное взаимодействие в структурно-параметрическом представлении. - Москва: МАЭиП, 1999. - 151 с.

3. Светлов В. А. Аналитика конфликта. - СПб: Росток, 2001. - 512 с.

4. Левин В. И. Математическое моделирование систем с помощью динамических автоматов // Информационные технологии. 1997. № 9. С. 15-24.

5. Левин В. И. Математическое моделирование с помощью автоматов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 1997. Т. 2. № 2. С. 67-72.

6. Левин В. И. Автоматная модель определения возможного времени проведения коллективных мероприятий // Известия РАИ. Теория и системы управления. 1997. № 3. С. 85-96.

7. Левин В. И. Математическое моделирование библии. Характеристический автоматный подход // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 1999. Т. 4. № 3. С. 353-363.

8. Левин В. И. Автоматное моделирование коллективных мероприятий // Автоматика и телемеханика. 1999. № 12. С. 78-89.

9. Левин В. И. Математическое моделирование библейской легенды о Вавилонском столпотворении // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2001. Т. 6. № 2. С. 123-138.

10. Левин В. И. Автоматное моделирование исторических процессов на примере войн // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. 2002. № 12. С. 93-101.

11. Левин В. И. Автоматное моделирование процессов возникновения и распада коллектива // Кибернетика и системный анализ. 2003. № 3. С. 92-101.

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

12. Левин В. И. Логико-алгебраический подход к моделированию конфликтов // Системы управления, связи и безопасности. 2015. № 4. С. 69-87. URL: http://sccs.intelgr.com/archive/2015-04/03-Levin.pdf (дата обращения 01.08.2016).

1. Dmitriev A .V. Konfliktologiia . Moscow, INFRA-M Publ., 2009. 336 p. (in Russian).

2. Sysoev V. V. Konflikt. Sotrudnichestvo. Nezavisimost": sistemnoe vzaimodeistvie v strukturno-parametricheskom predstavlenii . Moscow, MAEP Publ., 1999. - 151 p. (in Russian).

3. Svetlov V. A. Analitika konflikta . Saint-Petersburg, Burgeon Publ., 2001. 512 p. (in Russian).

4. Levin V. I. Mathematical modeling of systems with dynamic machines. Information technologies, 1997, no. 9, pp. 15-24 (in Russian).

5. Levin V. I. Mathematical modeling using automata. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 1997, vol. 2, no. 2, pp. 67-72. (in Russian).

6. Levin V. I. Automaton model determine the possible time of the collective actions. Izvestiya RAS. Theory and control systems, 1997, no. 3, pp. 85-96. (in Russian).

7. Levin V. I. Mathematical modeling of the Bible. Characteristic automata approach. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 1999, vol. 4, no. 3, pp. 353-363 (in Russian).

8. Levin V. I. Automatic modeling of collective actions. Automation and Remote Control, 1999, no. 12, pp. 78-89 (in Russian).

9. Levin V. I. Mathematical modeling of the biblical legend of the Tower of Babel. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 2001, vol. 6, no 2, pp. 123-138 (in Russian).

10. Levin V. I. Automatic modeling of historical processes on the example of the wars. Electronics. Computer science. Control, 2002, no. 12, pp. 93-101 (in Russian).

11. Levin V. I. Automatic modeling of processes of emergence and collapse of collective // Cybernetics and Systems Analysis, 2003, no. 3, pp. 92-101 (in Russian).

12. Levin V. I. Logical-Algebraic Approach to Conflicts Modeling. Systems of Control, Communication and Security, 2015, no. 4, pp. 69-87. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2015-04/03-Levin.pdf (accessed 01 Aug 2016) (in Russian).

Левин Виталий Ильич - доктор технических наук, профессор, PhD, Full Professor. Заслуженный деятель науки РФ. Пензенский государственный технологический университет. Область научных интересов: логика;

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

математическое моделирование в технике, экономике, социологии, истории; принятие решений; оптимизация; теория автоматов; теория надежности; распознавание; история науки; проблемы образования. E-mail: [email protected]

Немкова Елена Анатольевна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика». Пензенский государственный технологический университет. Область научных интересов: логика; математическое моделирование в технике и экономике. E-mail: [email protected]

Адрес: 440039, Россия, г. Пенза, пр. Байдукова/ул. Гагарина, д. 1 а/11.

Logical-Mathematical Modelling of Conflicts

V. I. Levin, E. A. Nemkova

Relevance. In the article the actual problem of adequate mathematical modeling of the behavior of the conflicting systems in relation to systems, conflicts are not necessarily related to the contradiction between the participants in the system. An exact statement of the problem of logical and mathematical modeling of the interaction between the conflicting parties of the system. The task is to build a two-valued algebra and multi-valued logic, simulating different types of thinking, and that difference is a source of conflict. The purpose of the article. The aim of the article is a summary and a detailed analysis of the two-valued and multi-valued logic, with a focus on finding the fundamental differences of the laws of logic, entailing significant differences in the thinking of individuals, based on these logics and the resulting differences in conflicts between carriers of different logics of thinking. Method. To solve this problem, we use the traditional method of construction of logical systems based on the introduction of basic elements of permanent, major operations on them and identify the laws that govern these operations. The main attention is paid to the differences of elements of operations on them and transactions between the laws of two-valued and multi-valued logic. Novelty. Formulated provision according to which there are systems, conflicts between the parties which are not caused by the contradictions of their interests and the difference of their logic thinking, the result of which is a misunderstanding, provoking suspicion, and then aggression. This so-called imaginary conflicts, the fight against which requires special approaches. Result. The procedure of constructing the algebra of logic different valence, adequately modeling the processes of thinking. We describe the two-valued and multi-valued logic thinking and their laws. Established the fundamental differences of two-valued and multi-valued logic. An example of the analysis of the conflict caused by the difference logic thinking.

Keywords: conflict, formal logic elements, logic operations, the laws of logic, statement, the two-valued logic, many-valued logic.

Information about Authors

Vitaly Ilyich Levin - the Doctor of Engineering Sciences, Professor, PhD, Full Professor. Honored worker of science of the Russian Federation. Penza State Technological University. Field of Research: logic; mathematical modeling in technics, economy, sociology, history; decision-making; optimization; automata theory; theory of reliability; history of science; problems of education. E-mail: [email protected]

Elena Anatolyevna Nemkova - Ph.D. of Engineering Sciences, Associate Professor at the Department of "Mathematics". Penza State Technological University. Field of Research: logic; mathematical modeling in technics, economy. E-mail:: elenem5 8 @mail. ru

Address: 440039, Russia, Penza, pr. Baydukova / Gagarin st., 1a/11.

Ход в игреэто выбор и осуществление одним игроком одного из предусмотренных правилами игры действий. Результат одного хода как правило еще не результат игры а лишь изменение ситуации. Стратегияэто последовательность всех ходов до окончания игры. Обозначим выигрыш игрока Pj через vj.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Преподаватель: Платонова Татьяна Евгеньевна

Лекция 15. Игровые модели конфликтных ситуаций

Теория игр

Основные понятия теории игр

Игра -это математическая модель конфликтной ситуации. В отличие от реальных конфликтных ситуаций, в математической модели игра ведется по заранее зафиксированным правилам и условиям.

Ход в игре -это выбор и осуществление одним игроком одного из предусмотренных правилами игры действий. В игре двух лиц ходы строго чередуются. Результат одного хода, как правило, еще не результат игры, а лишь изменение ситуации.

Стратегия -это последовательность всех ходов до окончания игры. Термин партия связан с частичной возможной реализацией правил.

Пусть в игре участвуют n партнеров. Обозначим выигрыш игрока Pj через v j . При этом положительное значение v j означает выигрыш, отрицательное-проигрыш, а нулевое значение-ничья.

Цель игры-максимизация выигрыша за счет другого.

Рассмотрим вкратце классификацию игр.

По количеству игроков игры бывают парные (n =2) и множественные (n > 2).
В зависимости от числа стратегий игры делятся на конечные , если у игроков имеется конечное число стратегий, и бесконечные , в противном случае.
Игры бывают с нулевой суммой , если одни выигрывают за счет других.
Парные игры с нулевой суммой называются антагонистическими .
Конечные антагонистические игры называются матричными .
В зависимости от взаимоотношений игроков игры делятся на кооперативные (в которых заранее определены коалиции), коалиционные (игроки могут вступать в соглашения) и бескоалиционные (игрокам нельзя вступать в соглашения).

Ходы игроков делятся на личные , если ход выбирается сознательно, и случайные , если ход выбирается по механизму случайного выбора.

Стратегии бывают оптимальные , которые обеспечивают игроку наибольший успех-выигрыш, и неоптимальные .

Матричные игры

В общем случае матричная игра задается прямоугольной матрицей размерности mxn :

Один игрок имеет m возможных стратегий (A 1 , A 2 ,…, A m ), а другой игрок- n возможных стратегий (B 1 , B 2 ,…, B n ). Элемент-выигрыш, который платит второй игрок первому, если первый выбирает стратегию A i , а второй игрок- стратегию B j . При этом значение выигрыша может быть меньше нуля.

Представим матричную игру в табличной форме, называемой платежной матрицей :


a 11	a 12	a 1n
a 21	a 22	a 2n

a m1	a m2	a mn

Сформулируем основной принцип матричной игры : первый игрок стремится как можно больше выиграть, а второй как можно меньше проиграть . Исходя из этого принципа, оба игрока являются сознательными, а матрица игры составлена с точки зрения выигрыша первого игрока; таким образом, выигрыш первого игрока является одновременно проигрышем второго.

Рассмотрим игру с позиции первого игрока. Пусть первый игрок рассматривает возможность применения своей первой стратегии (первой строки матрицы). Тогда его выигрыш в самом худшем случае не будет меньше, чем минимальный элемент первой строки, т.е. . Аналогично, его выигрыш при применении произвольной стратегии А i составит величину, не меньшую, чем. Таким образом, он может среди всех своих стратегий выбрать стратегию, наилучшую в смысле наибольшего из возможных минимальных выигрышей. Это значение гарантированного выигрыша в наихудших условиях противодействия второго игрока называется нижней чистой ценой игры максимину ):

Теперь рассмотрим точку зрения второго игрока. При использовании им своей первой стратегии, которая представлена первым столбцом платежной матрицы, его максимальный проигрыш составит величину при самых неблагоприятный действиях первого игрока. Аналогично, его проигрыш при применении произвольной стратегии В j составит величину, не большую, чем. Это значение гарантированного проигрыша в наихудших условиях противодействия первого игрока называется верхней чистой ценой игры , и оно равно следующему выражению (минимаксу ):

Поэтому стратегии первого игрока называются максиминными , а второго минимаксными .

Пример 1 . Найти нижнюю и верхнюю чистые цены матричной игры с матрицей:

Нижняя чистая цена игры равна, верхняя чистая цена игры равна. Таким образом, в данном случае. Элемент называется седловым элементом матрицы игры (он является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце), а сама игра игрой с седловой точкой. При этом нижняя и верхняя чистые цены матричной игры совпадают, и они равны чистой цене игры. Опримальными стратегиями игроков являются, и отступать от них невыгодно ни одному из игроков.

Пример 2 . Решим аналогичную задачу для игры с матрицей:

Здесь имеем. Чистая цена игры. Таким образом, и в игре отсутствует седловая точка. Решение такой игры затруднено. Поясним эту мысль. Стратегия гарантирует первому игроку выигрыш не менее 4 единиц в худшем случае, когда второй игрок выбирает стратегию. Аналогично стратегия гарантирует второму игроку проигрыш не более 7 единиц в худшем случае, когда первый игрок выбирает стратегию. Первому игроку можно избрать стратегию, чтобы выиграть 9 единиц, но второй игрок выберет стратегию.

Создается ситуация, когда партнеры заметались по стратегиям. Значит, в данном случае сам подход к игре необходимо менять.

Чистые и смешанные стратегии игроков

Чистая стратегия игрока это возможный ход игрока, выбранный им с вероятностью, равной 1.

Представим чистые стратегии игроков из примера 1 в виде единичных векторов: стратегия первого игрока, стратегия второго игрока. В общем виде для пары стратегий чистые стратегии можно записать в виде, причем в первом векторе единица стоит на i - й позиции, а во втором векторе на j - й позиции.

Смешанной стратегией первого (второго) игрока называется вектор:

Здесь величины вероятности применения соответствующих стратегий первого и второго игроков.

Игра называется активной , если.

Исходя из рассмотренных определений, можно сделать следующие выводы:

Игра приобретает случайный характер.
Случайной становится величина выигрыша (проигрыша).
Средняя величина выигрыша (математическое ожидание выигрыша) является функцией от смешанных стратегий: и называется платежной функцией игры .

Стратегии называются оптимальными , если для произвольных стратегий выполняется условие.

Значение платежной функции при оптимальных стратегиях игроков определяет цену игры , т.е. .

Решением игры называется совокупность оптимальных статегий и цены игры.

Теорема (основная теорема матричных теории игр - теорема фон Неймана). Любая матричная игра имеет по крайней мере одно решение в смешанных стратегиях две оптимальные стратегии и соответствующую им цену: .

Методы решения матричных игр

Все методы решения матричных игр, рассматриваемые в нашем курсе, опираются на теорему об активных стратегиях.

Теорема (об активных стратегиях). Если один игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры, если другой игрок не выходит за пределы своих активных стратегий (т.е. пользуется любой из них в чистом виде или смешивает их в любых пропорциях).

Теперь рассмотрим некоторые частные случаи решаемых матричных игр.

Игра, имеющая седловой элемент в платежной матрице (игра с седловой точкой)

В этом случае первый игрок реализует свою максиминную стратегию, а второй игрок свою минимаксную стратегию, нижняя чистая цена игры равна верхней чистой цене игры. Тогда говорят, что игра решается в чистых стратегиях, отклоняться от которых невыгодно никому (см. пример 1).

Игра с платежной матрицей 2 на 2, не имеющей седлового элемента.

Здесь нет оптимального решения в чистых стратегиях, поэтому решение отыскивается в смешанных стратегиях. Чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных статегиях. Если первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его средний выигрыш будет равен цене игры, какой бы активной стратегией ни пользовался второй игрок.

Пусть дана платежная матрица

(вокруг матрицы записаны смешанные стратегии игроков). Запишем для первого игрока два уравнения: первое для случая прменения вторым игроком только его первой стратегии, и тогда используются только элементы первого столбца матрицы, второе для случая применения вторым игроком только своей второй стратегии, и тогда используются только элементы второго столбца матрицы. Левые части этих уравнений вычисляют математическое ожидание выигрыша первого игрока, которое равно цене игры. Эти два уравнения содержат сразу три неизвестные - , и сами уравнения при этом являются однородными, поэтому для однозначной разрешимости системы необходимо третье уравнение со свободным членом. Этим добавочным и очень важным уравнением является условие нормировки, согласно которому сумма вероятностей всех событий должна равняться единице. Таким образом, окончательно система уравнений для первого игрока выглядит так:

Эта система решается очень просто по той причине, что в ней можно из третьего уравнения выразить одну неизвестную величину через другую. Решение данной системы дает значения оптимальной смешанной стратегии первого игрока и соответствующую ей цену игры.

Для полного решения игры осталось найти оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Здесь игроки как бы меняются местами. Построение системы уравнений аналогично предыдущему случаю. Отличие в том, что в качестве коэффициентов системы берутся не столбцы матрицы, а строки, поскольку именно строки отвечают чистым стратегиям первого игрока. Таким образом, система выглядит так:

Пример 3. Найти смешанные стратегии игроков для матрицы.

Составим системы уравнений для первого игрока и для второго:

Решение которых даёт

Таким образом, запишем решение игры в виде:

Графическое решение игры два на два.

Снова рассмотрим пример 3. Отложим на оси абсцисс отрезок единичной длины. На концах этого отрезка нарисуем вертикальные оси I - I и II - II . Отложим на оси I - I значения выигрышей первого игрока при использовании им первой стратегии. На оси II - II отложим выигрыши первого игрока при использовании им второй стратегии. Соединим точки отрезками прямых. Ломаная B 1 KB 2 - нижняя граница выигрыша . На этой границе лежит минимальный выигрыш игрока А при любой его смешанной стратегии. Точка К , в которой этот выигрыш достигает максимума, определяет решение и цену игры. Для смешанной стратегии второго игрока можем также записать:

Стратегию второго игрока можно найти и непосредственно, если на графике поменять игроков местами, а вместо максимума нижней границы выигрыша рассмотреть минимум верхней границы проигрыша. В любом случае точка К является одновременно точкой максимина и минимакса.

Графическое решение игры .

Построение аналогично случаю два на два. Здесь n стратегий противника изобразятся отрезками n прямых. Далее рассматривается нижняя граница, которая представляет собой ломаную. Максимум ломаной достигается в одной из вершин, где пересекаются две стратегии противника, которые являются активными .

В теории игр доказывается, что у любой конечной игры существует решение, в котором число активных стратегий каждой стороны не превосходит наименьшего из чисел или. Следовательно, игра имеет решение, в котором с каждой стороны участвует не более двух активных стратегий. (Так же может быть решена и игра). Стоит только найти эти стратегии и игра превращается в игру.

Пример 4 . Решить игру со следующей платежной матрицей:

Эта игра имеет 2 стратегии со стороны первого игрока и три стратегии со стороны второго. Поэтому графическим способом определим одну из стратегий второго игрока, которая является неактивной. Построим график относительно стратегий первого игрока.

Из графика видно, что для второго игрока явно невыгодной является первая стратегия, которая является неактивной. Таким образом, из матрицы игры исключаем первый столбец, соответствующий первой стратегии второго игрока, и приходим к матрице размерности два на два следующего вида:

Для этой матрицы запишем систему уравнений - для первого игрока, и систему: - для второго игрока. Решение этих систем дает следующий результат:

Игра с платежной матрицей mx2

Как уже отмечалось выше, игра предварительно решается графически с точки зрения второго игрока. При этом определяются активные стратегии второго игрока. На графике применяется минимаксная стратегия, и рассматривается минимум верхней границы проигрыша. Рассмотрим пример.

Пример . Решить матричную игру со следующей матрицей:

Построим график, где слева отложим значения проигрышей второго игрока при использовании им первой стратегии, а справа значения проигрышей второго игрока при использовании им второй стратегии.

Из графика видно, что вторая стратегия для первого игрока является невыгодной, поскольку при её применении выигрыш первого игрока (и, соответственно, проигрыш второго) будет меньше. Таким образом, активными стратегиями первого игрока будут первая и третья. Соответственно запишем системы уравнений для смешанных стратегий игроков:

Решение системы: Для первого игрока система имеет вид (стратегию А 2 не учитываем как неперспективную):

Решением системы будут значения Таким образом, решение игры выглядит так: .

Игры с доминирующими и дублирующими стратегиями.

Рассмотрим две стратегии первого игрока i ю и k ю. При этом пусть для всех элементов соответствующих строк матрицы выполняются условия: . В этом случае говорят, что i я стратегия первого игрока доминирует над его j й стратегией. Если каждое неравенство выполняется как строгое, то говорят, что одна стратегия строго доминирует над другой. В любом случае из двух стратегий первый игрок предпочтет доминирующую, поскольку при использовании доминируемой стратегии его выигрыш по меньшей мере не увеличится. В этом случае можно принять.

Аналогично рассмотрим две стратегии второго игрока - j - ю и l ю, и при этом для элементов соответствующих столбцов матрицы выполняются условия: . Для второго игрока, как известно, более выгодной является стратегия, дающая меньший проигрыш, поэтому говорят, что j - я стратегия доминирует над l - й. Если попарные неравенства являются строгими, то говорят, что одна стратегия строго доминирует над другой. При этом, естественно, .

В случае, если у какого либо из игроков две стратегии имеют в матрице только совпадающие элементы, то эти стратегии называются дублирующими . При этом неважно, какую из них игрок предпочтет для решения игры.

В результате при наличии доминирующих и дублирующих стратегий часть стратегий можно не рассматривать, что приведет в ряде случаев к значительному упрощению платежной матрицы.

Эквивалентное преобразование платежной матрицы.

Это преобразование применяется для облегчения расчетов, и при этом оптимальные смешанные стратегии игроков не изменяются.

Теорема . Оптимальные смешанные стратегии соответственно 1 го и 2 го игроков в матричной игре с ценой v будут оптимальными и в матричной игре с ценой, где.

Пример . В матричной игре с платежной матрицей примем b =10, C =-6 . Применим преобразование bA + c , тогда получим игру с теми же оптимальными стратегиями, но с другой эквивалентной матрицей: .

Эквивалентность матричной игры паре двойственных ЗЛП.

Рассмотрим матричную игру размером. Сведем её к задаче линейного программирования в общем виде. Имеем:

Будем считать, что. Это всегда можно сделать по теореме об эквивалентном преобразовании платежной матрицы, следовательно, можно считать цену игры положительным числом, v >0 .

Для первого игрока имеем систему неравенств (с учетом того, что первый игрок стремится как можно больше выиграть, цена игры для него будет превышать v ):

Введем новые переменные делением на цену игры: , тогда получим ЗЛП:

При построении целевой функции учитываем, что цена игры для первого игрока максимизируется.

Аналогично имеем для второго игрока систему неравенств:

Разделив на цену игры и введя новые переменные, получим ЗЛП для второго игрока:

Здесь целевая функция задана на максимум, т.к. цена игры для второго игрока минимизируется.

В результате получили пару симметричных двойственных ЗЛП. Согласно первой теореме двойственности, следовательно, цена игры v имеет одно и тоже значение для обоих игроков.

Понятие об игре с природой (статистические игры)

Здесь один из участников человек или группа лиц с общей целью т.н. статистик (игрок А), другой участник природа (игрок П), или весь комплекс внешних условий, при которых статистику приходится принимать решение. Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи статистика.

Статистик имеет m стратегий; природа может реализовать n различных состояний. При этом могут быть известны вероятности реализации состояний природы. Если статистик может оценить применение каждой своей стратегии при любом состоянии природы, то игру можно задать платежной матрицей:

П 1	П 2	П n
a 11	a 12	a 1n
a 21	a 22	a 2n

a m1	a m2	a mn

При упрощении платежной матрицы нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, т.к. природа может реализовать любое из своих состояний независимо от того, выгодно это статистику или нет. Природа может даже помогать игроку А .

При выборе оптимальной стратегии статистика пользуются различными критериями. При этом опираются как на платежную матрицу, так и на матрицу рисков.

Риск статистика. Матрица рисков имеет ту же размерность, что и платежная матрица:

Пересчет из платежной матрицы в матрицу рисков производится по столбцам: в каждом столбце платежной матрицы выбирается наибольший элемент, который в матрице рисков заменяют нулем, а остальные элементы столбца матрицы рисков получают вычитанием соответствующих элементов из этого наибольшего элемента.

Если вероятности состояний природы известны, используется критерий Байеса : выбирается та стратегия, которая обеспечивает максимальную величину среднего выигрыша статистика:

При неизвестных вероятностях состояний природы применяется принцип недостаточного основания Лапласа, когда все состояния считаются равновероятными:

Тогда средний выигрыш по каждой стратегии рассчитывается как среднее арифметическое выигрышей по всем возможным состояниям природы:

Эквивалентный подход заключатся в подборе стратегии, обеспечивающей наименьший средний риск статистика:

при известных вероятностях состояний природы и

в случае, если эти вероятности неизвестны. При таком подходе результат будет точно таким же, что и при анализе наибольшего среднего выигрыша.

Если вероятности состояний природы неизвестны, то более широко используются критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Оптимальной по критерию Вальда считается стратегия А i , которая обеспечивает из всех наименьших выигрышей наибольшее значение. В этом случае из матрицы выигрышей (т.е. платежной матрицы) в каждой строке выбирается наименьший элемент, а затем среди этих элементов выбирается наибольший:

По критерию Сэвиджа оптимальной считается стратегия, которая минимизирует величину максимального риска, т.е. из каждой строки матрицы рисков выбирается максимальный элемент, а затем среди этих элементов выбирается строка, в которой находится минимальный элемент:

Оптимально по критерию Гурвица считается стратегия, найденная из условия:

где - «коэффициент пессимизма». При χ=1 имеем критерий Вальда, или критерий крайнего пессимизма, при χ=0 критерий «крайнего оптимизма». Рекомендуется выбирать χ между нулем и единицей, из субъективных соображений.

В результате применения нескольких критериев они сравниваются между собой, и в качестве наилучшей выбирается та стратегия статистика, которая чаще других фигурирует в качестве наилучшей.

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
14639.		Этические принципы и нормы диалого-вого взаимодействия преподавателя и студентов.Предупреждение конфликтных ситуаций в образовательной практике	17.82 KB
	Этические принципы и нормы диалогового взаимодействия преподавателя и студентов. Учебное занятие призвано не только обеспечить теоретическую основу обучения развить интерес к учебной деятельности и конкретной учебной дисциплине сформировать у студентов ориентиры для самостоятельной работы над курсом но и осознать ими принципы и нормы этики делового взаимодействия с преподавателями и сокурсниками. Этические принципы и нормы делового общения преподавателя и студентов на занятии это еще и способ эмоционального воздействия на обучающихся...
16112.		Игровые модели форвардных рынков однородных товаров	63.56 KB
	Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 08-01-00249 и гранта НШ 693. Рынок электроэнергии характеризующийся значительной концентрацией производства барьерами для входа на рынок и высокими требованиями к надежности компаний предоставляет производителям реальные возможности получения сверхприбыли за счет использования рыночной власти в ущерб потребителям и суммарному общественному благосостоянию. На практике ограниченность производственных мощностей имеет существенное значение при...
18059.		Взаимосвязь качеств личности и особенностей общения в конфликтных ситуациях в управленческой деятельности	148.51 KB
	Существенным элементом межличностного общения влияющим на снижение конфликтности в управленческой деятельности являются индивидуальные особенности личности. Несмотря на то что в интересах управленческой деятельности делалось и делается немало всё же этого недостаточно что в очередной раз подтверждает актуальность рассматриваемой нами проблемы. Научная новизна работы состоит в том что в...
9697.		Игровые технологии обучения нa урокaх геогрaфии	1014.86 KB
	Изучить нaучно-педaгогическую, психолого-педaгогическую, методическую литерaтуру по теме исследовaния; выявить и обосновaть комплекс игровых технологий обучения нa урокaх геогрaфии; рaзрaботaть и проaнaлизировaть рaзрaботки с применением игровых технологий.
18262.		Игровые методы обучения как условие социальной адаптации младших школьников	711.61 KB
	Теоретически обосновать и проверить через эксперимент эффективность влияния дидактической игры на социальную адаптацию младших школьников. Процесс социальной адаптации младших школьников будет протекать эффективнее если: -Между педагогом и учащимися устанавливаются субъект-субъектные отношения; -Учитываются индивидуальные качества младших школьников; -На уроках в начальной школе будут использоваться игры. Определить состояние влияния дидактической игры на младших школьников в педагогической теории. Раскрыть...
3111.		Инвестиции и сбережения в кейнсианской модели. Макроэкономическое равновесие в модели “кейнсианский крест”	27.95 KB
	Инвестиция это функция ставки процента: I=Ir Эта функция убывающая: чем выше уровень процентной ставки тем ниже уровень инвестиций. По взглядам Кейнса сбережения это функция доходаа не процентной ставки: S=SY Т. инвестиции являются функцией процентной ставки а сбережения функцией дохода.
545.		Классификация чрезвычайных ситуаций	5.35 KB
	Источником чрезвычайной ситуации может служить опасное природное явление авария или опасное техногенное происшествие широко распространенная инфекционная болезнь людей сельскохозяйственных животных и растений а также применение современных средств поражения в результате чего произошла или может возникнуть чрезвычайная ситуация. Чрезвычайные ситуации могут быть классифицированы по значительному числу признаков. Так по происхождению чрезвычайные ситуации можно подразделять на ситуации техногенного антропогенного и природного характера....
546.		Фазы развития чрезвычайных ситуаций	4.9 KB
	Фазы развития чрезвычайных ситуаций Чрезвычайные ситуации в том числе аварии на промышленных объектах в своем развитии проходят пять условных типовых фаз: Первая фаза это накопление отклонений от нормального состояния или процесса. Вторая фаза это инициирование чрезвычайного события то есть аварии катастрофы или стихийного бедствия. Для случая аварии на производстве в этот период предприятие или его часть переходят в нестабильное состояние когда появляется фактор неустойчивости. При аварии на производстве в этот период происходит...
554.		Ликвидация последствий чрезвычайных ситуаций	5.54 KB
	Ликвидация последствий чрезвычайных ситуаций В качестве спасательных сил используют обученные спасательные формирования создаваемые заблаговременно а также вновь сформированные подразделения из числа работников промышленного объекта. В качестве технических средств используют как объектовую технику бульдозеры экскаваторы со сменным оборудованием самосвалы и так далее так и спецтехнику находящуюся в распоряжении спасательных формирований специальные подъемнотранспортные машины ручной спасательный инструмент средства контроля...
4641.		Профилактика криминогенных ситуаций, возникающих в семье	187.63 KB
	Преступность в том числе внутри семьи трудно искоренить однако нужно стремиться к тому чтобы подобных уродливых проявлений человеческого бытия было как можно меньше. Так если их распределить и порядке убывания значимости то получим следующую номинальную шкалу концентрирующих объектов по данным осужденных супругов: супружеские измены ревность злоупотребление спиртным проведение одним из супругов досуга вне семьи отказ одного из супругов от совместного проживания отношения с друзьями подругами отношения с...

Группа ученых под руководством сотрудника Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского Александра Петухова выявила параметры, которые нужны для управления системой, описывающей социальные конфликты. В случае полного контроля над этими характеристиками ученые смогут создавать условия для возникновения или предотвращения такого конфликта. Результаты изложены в журнале Simulation.

При математическом моделировании социальных и политических процессов нужно учитывать то, что они не могут быть строго заданными, поскольку подвержены постоянным изменениям. Часто социальный процесс сравнивают с броуновской частицей. Такие частицы двигаются по траектории, которая с одной стороны вполне определенна, но при близком рассмотрении оказывается очень извилистой, с множеством мелких изломов. Эти мелкие изменения (флуктуации) объясняются хаотическим движением других молекул. В социальных процессах флуктуации можно трактовать как проявления свободной воли его отдельных участников, а также случайными проявлениями внешней среды.

В физике такие процессы, как правило, описываются стохастическим диффузионным уравнением Ланжевена, которое относительно часто используется и для моделирования некоторых социальных процессов. Подход, основанный на подобных уравнениях, позволяет учесть проявления свободной воли его отдельных участников и случайные проявления внешней среды для социальной системы. Кроме того, благодаря этому подходу можно рассчитать поведение социальной системы как для единого целого, так и для отдельных индивидов-частиц; также он позволяет выявить характерные устойчивые режимы функционирования систем в зависимости от различных начальных условий. Наконец, с точки зрения численного моделирования диффузионные уравнения в достаточной степени апробированы и изучены.

В основе новой модели лежит идея о том, что индивиды взаимодействуют в обществе через поле коммуникации. Его создает каждый индивид в обществе, моделируя информационное взаимодействие между индивидами. Однако следует иметь в виду, что здесь речь идет о социуме, который отличается от объектов классической физики. По словам руководителя исследований Александра Петухова, с точки зрения переноса информации от индивида к индивиду, пространство в обществе сочетает как классические пространственные координаты, так и дополнительные специфические особенности. Это связанно с тем, что в современном мире для передачи информации не нужно находиться рядом с объектом воздействия.

«Таким образом, социум - это многомерное, социально-физическое пространство, отражающее возможность одного индивида "дотянуться" своим коммуникационным полем до другого, то есть повлиять на него, на его параметры и возможность перемещаться в данном пространстве», - отмечает Александр Петухов. Близкое расположение индивидов в данной модели говорит о том, что они регулярно обмениваются информацией. Для такой постановки проблемы конфликтом следует считать вариант взаимодействия индивидов или групп индивидов, в результате которого расстояние в этом многомерном пространстве между ними резко растет.

На основе такого подхода и разработанной модели ученые нашли следующие закономерности: они смогли установить конкретные граничные условия для возникновения социального конфликта и его усугубления; обнаружили характерную область устойчивости для социальной системы, в которой между объектами сохраняется достаточно малая социальная дистанция; определили зависимости, которые соответствуют некоторым современным этносоциальным конфликтам, что дает возможность использовать эту модель как инструмент при прогнозировании их динамики и формировании сценариев урегулирования.

Также в рамках данных исследований ученые доказали, что переход из устойчивого состояния в неустойчивое для многокомпонентной когнитивной системы распределенного типа представляет собой пороговый эффект. По словам Александра Петухова, выполненные эксперименты выявили конкретные параметры, необходимые для управления подобной системой: они определяют переход из устойчивого состояния в неустойчивое, что дает возможность, при полном их контроле, создавать условия для возникновения социального конфликта, или, напротив, - предотвращать. «Развивая данный подход в дальнейшем, мы получим возможность создать на его основе инструмент для полноценного прогнозирования социальных конфликтов», - подводит итог Александр Петухов.

Понравился материал? в «Мои источники» Яндекс.Новостей и читайте нас чаще.

Пресс-релизы о научных исследованиях, информацию о последних вышедших научных статьях и анонсы конференций, а также данные о выигранных грантах и премиях присылайте на адрес science@сайт.

Математические модели конфликтных ситуаций с использованием шахмат. Математические модели теории игр Математическое описание конфликтной ситуации называется

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы - Левин Виталий Ильич, Немкова Елена Анатольевна

Похожие темы научных работ по математике, автор научной работы - Левин Виталий Ильич, Немкова Елена Анатольевна

Текст научной работы на тему «Логико-математическое моделирование конфликтов»

Теория игр

Основные понятия теории игр

Матричные игры

Чистые и смешанные стратегии игроков

Методы решения матричных игр

Эквивалентность матричной игры паре двойственных ЗЛП.

Понятие об игре с природой (статистические игры)