Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух длинных прямолинейных проводников с токами I 1 и I 2 , находящихся на расстоянии d друг от друга (рис. 6.26).
Рис. 6.26. Силовое взаимодействие прямолинейных токов:
1 - параллельные токи; 2 - антипараллельные токи
Проводник с током I 1 создает кольцевое магнитное поле, величина которого в месте нахождения второго проводника равна
Это поле направлено «от нас» ортогонально плоскости рисунка. Элемент второго проводника испытывает со стороны этого поля действие силы Ампера
Подставляя (6.23) в (6.24), получим
|
|
При параллельных токах сила F 21 направлена к первому проводнику (притяжение), при антипараллельных - в обратную сторону (отталкивание).
Аналогично на элемент проводника 1 действует магнитное поле, создаваемое проводником с током I 2 в точке пространства с элементом с силой F 12 . Рассуждая таким же образом, находим, что F 12 = –F 21 , то есть в этом случае выполняется третий закон Ньютона.
Итак, сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных проводников, рассчитанная на элемент длины проводника, пропорциональна произведению сил токов I 1 и I 2 протекающих в этих проводниках, и обратно пропорциональна расстоянию между ними. В электростатике по аналогичному закону взаимодействуют две длинные заряженные нити.
На рис. 6.27 представлен опыт, демонстрирующий притяжение параллельных токов и отталкивание антипараллельных. Для этого используются две алюминиевые ленты, подвешенные вертикально рядом друг с другом в слабо натянутом состоянии. При пропускании через них параллельных постоянных токов силой около 10 А ленты притягиваются. а при изменении направления одного из токов на противоположное - отталкиваются.
Рис. 6.27. Силовое взаимодействие длинных прямолинейных проводников с током
На основании формулы (6.25) устанавливается единица силы тока - ампер , являющаяся одной из основных единиц в СИ.
Пример. По двум тонким проводам, изогнутым в виде одинаковых колец радиусом R = 10 см, текут одинаковые токи I = 10 А в каждом. Плоскости колец параллельны, а центры лежат на ортогональной к ним прямой. Расстояние между центрами равно d = 1 мм. Найти силы взаимодействия колец.
Решение. В этой задаче не должно смущать, что мы знаем лишь закон взаимодействия длинных прямолинейных проводников. Поскольку расстояние между кольцами много меньше их радиуса, взаимодействующие элементы колец «не замечают» их кривизны. Поэтому сила взаимодействия дается выражением (6.25), куда вместо надо подставить длину окружности колец Получаем тогда
Отсюда нетрудно получить выражение для индукции магнитного поля каждого из прямолинейных проводников. Магнитное поле прямолинейного проводника с током должно обладать осевой симметрией и, следовательно, замкнутые линии магнитной индукции могут быть только концентрическими окружностями, располагающимися в плоскостях, перпендикулярных проводнику. Это означает, что векторы B1 и B2 магнитной индукции параллельных токов I 1 и I 2 лежат в плоскости, перпендикулярной обоим токам. Поэтому при вычислении сил Ампера, действующих на проводники с током, в законе Ампера нужно положить sin α = 1. Из закона магнитного взаимодействия параллельных токов следует, что модуль индукции B магнитного поля прямолинейного проводника с током I на расстоянии R от него выражается соотношением
| |
Для того, чтобы при магнитном взаимодействии параллельные токи притягивались, а антипараллельные отталкивались, линии магнитной индукции поля прямолинейного проводника должны быть направлены по часовой стрелке, если смотреть вдоль проводника по направлению тока. Для определения направления вектора B магнитного поля прямолинейного проводника также можно пользоваться правилом буравчика: направление вращения рукоятки буравчика совпадает с направлением вектора B если при вращении буравчик перемещается в направлении тока Магнитное взаимодействие параллельных проводников с током используется в Международной системе единиц (СИ) для определения единицы силы тока – ампера:
Вектор магнитной индукции - это основная силовая характеристика магнитного поля (обозначается В).
Сила Лоренца - сила, действующая на одну заряженную частицу, равна
|
Под действием силы Лоренца электрические заряды в магнитном поле движутся по криволинейным траекториям. Рассмотрим наиболее характерные случаи движения заряженных частиц в однородном магнитном поле.
а) Если заряженная частица попадает в магнитное поле под углом α = 0°, т.е.летит вдоль линий индукций поля, то F л
= qvBsma = 0.
Такая частица будет продолжать свое движение так, как если бы магнитного поля не было. Траектория частицы будет представлять собой прямую линию.
б)Частица с зарядом q
попадает в магнитное поле так, что направление ее скорости v перпендикулярно индукции ^ В
магнитного поля (рисунок - 3.34). В таком случае сила Лоренца обеспечивает центростремительное ускорение a = v 2 /R и
частица движется по окружности радиусом R
в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля.под действием силы Лоренца: F n = qvB sinα,
учитывая, что α = 90°, запишем уравнение движения такой частицы: т v 2 /R= qvB.
Здесь m
- масса частицы, R
– радиус окружности по которой движется частица. Откуда можно найти отношение e/m
- называют удельным зарядом,
который показывает заряд единицы массы частицы.
с) Если заряженная частица влетает со скоростью v 0
в магнитное поле под любым углом α , то данное движение можно представить ее как сложное и разложить ее на две составляющие по. Траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением В
. Направление, в котором закручивается траектория, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, траектория закручивается против часовой стрелки. Траектория, по которой движется отрицательно заряженная частица, закручивается по часовой стрелке (предполагается, что мы смотрим на траекторию вдоль направления В
; частица при этом летит от нас.
Определим силу, с которой взаимодействуют (притягиваются или отталкиваются) проводники с токами I 1 иI 2 (рис.3.19)
Взаимодействие токов осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод (ток).
Предположим, что оба тока I 1 иI 2 текут в одном направлении. ТокI 1 создает в месте расположения второго провода (с токомI 2) магнитное поле с индукцией В 1 (см.3.61), которое действует наI 2 с силойF:
(3.66)
Пользуясь правилом левой руки (см. закон Ампера), можно установить:
а) параллельные токи одного направления притягиваются;
б) параллельные токи противоположного направления отталкиваются;
в) непараллельные токи стремятся стать параллельными.
Контур с током в магнитном поле. Магнитный поток
Пусть в магнитном поле с индукцией В
находится контур площадью S,
нормаль
к которому составляет угол α с вектором
(рис.3.20). Для подсчета магнитного потока
Ф разобьем поверхностьSна бесконечно малые элементы так, чтобы
в пределах одного элементаdSполе можно считать однородным. Тогда
элементарным магнитным потоком сквозь
бесконечно малую площадкуdSбудет:
где B n – проекция вектора
на нормаль
.
Если площадка dSрасположена перпендикулярно вектору магнитной индукции, то α=1,cosα=1 иdФ =BdS;
Магнитный поток сквозь произвольную поверхность Sравен:
Если поле однородное, а поверхность Sплоская, то величинаB n =constи:
(3.67)
Для плоской поверхности, расположенной вдоль однородного поля, α = π/2 и Ф = 0. Линии индукции любого магнитного поля представляют собой замкнутые кривые. Если имеется замкнутая поверхность, то магнитный поток, входящий в эту поверхность, и магнитный поток, выходящий из нее, численно равны и противоположны по знаку. Поэтому магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
(3.68)
Формула (3.68) есть теорема Гаусса для магнитного поля, отражающая его вихревой характер.
Магнитный поток измеряется в Веберах (Вб): 1Вб = Тл · м 2 .
Работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле
Если проводник или замкнутый контур с током Iперемещаются в однородном магнитном поле под действием силы Ампера, то магнитное поле совершает работу:
A=IΔФ, (3.69)
где ΔФ-изменение магнитного потока через площадь контура или площадь, описываемую прямолинейным проводником при движении.
Если поле неоднородно, то:
.
Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея
Сущность явления электромагнитной индукции состоит в следующем: при любом изменении магнитного потока сквозь площадь, ограниченную замкнутым проводящим контуром, в последнем возникает Э.Д.С. и, как следствие, индукционный электрический ток.
Индукционные токи всегда противодействуют вызывающему их процессу. Это означает, что создаваемое ими магнитное поле стремится компенсировать то изменение магнитного потока, которое этот ток вызвал.
Опытным путем установлено, что величина Э.Д.С. индукции ε i , наводимой в контуре, зависит не от величины магнитного потока Ф, а от скорости его измененияdФ/dtчерез площадь контура:
(3.70)
Знак «минус» в формуле (3.70) является математическим выражением правила Ленца : индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающему этот ток.
Формула (3.70) является выражением основного закона электромагнитной индукции.
Пользуясь формулой (3.70), можно вычислить силу индукционного тока I, зная сопротивление контураR, и величину зарядаQ , прошедшего за времяtв контуре:
Если в однородном магнитном поле перемещается отрезок прямого проводника длиной ℓ со скоростью V, то изменение магнитного потока учитывается через площадь, описываемую отрезком при движении, т.е.
Закон Фарадея может быть получен из закона сохранения энергии. Если проводник с током находится в магнитном поле, то работа источника тока εIdtза времяdtбудет затрачиваться на Ленц-Джоулево тепло (см. формулу 3.48) и работу по перемещению проводника в полеIdФ (см.3.69) можно определить:
εIdt=I 2 Rdt+IdФ (3.71)
тогда
,
где
и есть ЭДС индукции (3.70)
т.е. при изменении Ф в контуре возникает добавочная ЭДС ε i в соответствии с законом сохранения энергии.
Можно также показать, что ε i возникает в металлическом проводнике вследствие действия силы Лоренца на электроны. Однако на неподвижные заряды эта сила не действует. Тогда приходится предполагать, что переменное магнитное поле создает электрическое поле, под действием которого и возникает индукционный токI i в замкнутом контуре.
Рассмотрим провод, находящийся с магнитном поле и по которому течет ток (рис.12.6).
На каждый носитель тока (электрон), действует сила Лоренца . Определим силу, действующей на элемент провода длины dl
Последнее выражение носит название закона Ампера .
Модуль силы Ампера вычисляется по формуле:
.
Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы dl и B.
 |
Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух находящихся в вакууме параллельных бесконечно длинных прямых токов (рис.12.7).
Расстояние между проводниками - b. Предположим, что проводник I 1 создает магнитное поле индукцией
По закону Ампера на проводник I 2 , со стороны магнитного поля, действует сила
, учитывая, что (sinα =1)
Следовательно, на единицу длины (dl =1) проводника I 2 , действует сила
.
Направление силы Ампера определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник со стороны поля.
12.4. Циркуляция вектора магнитной индукции (закон полного тока). Следствие.
Магнитное поле в отличие от электростатического - непотенциальное поле: циркуляция вектора В магнитной индукции поля вдоль замкнутого контура не равна нулю и зависит от выбора контура. Такое поле в векторном анализе называют вихревым полем.
 |
Рассмотрим в качестве примера магнитное поле замкнутого контура L произвольной формы, охватывающего бесконечно длинный прямолинейный проводник с током l , находящегося в вакууме (рис.12.8).
Линии магнитной индукции этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны проводнику, а центры лежат на его оси (на рис. 12.8 эти линии изображены пунктиром). В точке А контура L вектор В магнитной индукции поля этого тока перпендикулярен радиусу-вектору .
Из рисунка видно, что
где 
- длина проекции вектора dl на направление вектора В
. В то же время малый отрезок dl 1
касательной к окружности радиуса r
можно заменить дугой окружности: , где dφ - центральный угол, под которым виден элемент dl
контура L
из центра окружности.
Тогда получаем, что циркуляция вектора индукции
Во всех точках линии вектор магнитной индукции равен
интегрируя вдоль всего замкнутого контура, и учитывая, что угол изменяется от нуля до 2π, найдем циркуляцию
Из формулы можно сделать следующие выводы:
1. Магнитное поле прямолинейного тока – вихревое поле и не консервативно, так как в нем циркуляция вектора В вдоль линии магнитной индукции не равна нулю;
2. циркуляция вектора В магнитной индукции замкнутого контура, охватывающего поле прямолинейного тока в вакууме одинакова вдоль всех линий магнитной индукции и равна произведению магнитной постоянной на силу тока.
Если магнитное поле образовано несколькими проводниками с током, то циркуляция результирующего поля
Данное выражение называется теоремой о полном токе .
Одним из проявлений магнитного поля является его силовое воздействие на проводник с током, помещенный в магнитное поле. Ампером было установлено, что на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого , действует сила, пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля:
F = IBℓsinα (15.22)
[α - угол между направлением тока в проводнике и индукцией магнитного поля].
Эта формула оказывается справедливой для прямолинейного проводника и однородного поля.
Если проводник имеет произвольную форму и поле неоднородно то выражение (3.125) принимает вид
dF = IBdℓsinα (15.23)
или в векторной форме
(15.24)
Произведение Idℓ называют элементом тока. Соотношения (15.23), (15.24) выражают закон Ампера.
Для определения направления силы, действующей на проводник с током, помещенный в магнитное поле, применяется правило левой руки
: если левую руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а вытянутые четыре пальца совпадали с направлением тока в проводнике, то отогнутый большой палец укажет направление силы, действующей на проводник с током, помещенный в магнитное поле
(рис. 15.10).
Эта сила всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат проводник и вектор . Зная направление и модуль силы, действующей на любой участок dℓ проводника, можно вычислить силу, действующую на весь проводник. Для этого нужно найти сумму сил, действующих на все
участки проводника:
Используя закон Ампера, рассмотрим взаимодействие параллельных проводников с током (рис. 15.11). Предположим, что в однородной изотропной среде, относительная магнитная проницаемость которой μ, на расстоянии d друг от друга расположены два проводника. Пусть по одному из них течет ток I 1 а по другому - I 2 водном направлении.
Выделим на проводнике 2 элемент dℓ 2 . На этот элемент будет действовать сила Ампера
dF i = В 1 I 2 ·dℓ i
[ 
- индукция магнитного поля, создаваемого первым проводником в месте нахождения второго проводника].
Вектор направлен перпендикулярно направлению току I, поэтому sinα=1. Учитывая это, находим
(15.25)
Применяя правило левой руки, определяем направление этой силы. Чтобы определить силу F 12 , т. е. силу, действующую со стороны проводника 1 на проводник 2, нужно просуммировать все элементарные силы dF i
Сила, с которой с которой взаимодействуют два проводника пропорциональна произведению токов, текущих по проводникам, и обратно пропорциональна расстоянию между ними.
Если по проводникам текут токи в одинаковых направлениях, то проводники притягиваются, а в противоположных – отталкиваются.
Закон Ампера является основным в учении о магнетизме и играет такую же роль, как и закон Кулона в электростатике.
15.5 Контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
Контур с током, имеющий стороны а и ℓ, помещен в магнитное поле
(рис. 15.12). На каждую сторону контура действует сила Ампера. На горизонтальные стороны ℓ контура действуют силы, которые растягивают или сжимают) контур, не поворачивая его.
На каждую из вертикальных сторон а действует сила F = IВа. Эти силы создают пару сил, момент которой
М = Fℓcosφ (15. 27)
[φ- угол между вектором и стороной контура ℓ.
Момент сил стремится повернуть контур так, чтобы поток Ф, пронизывающий контур, был максимальным. Подставляя в формулу (15.27) выражение для силы, имеем
М = IBaℓcosφ= ISBcosφ= p m Bcos(π/2-α)= = p m B sinα (15.28)
Величину IS называют магнитным моментом контура p m .. Вектор p m совпадает с направлением положительной нормали к плоскости контура.
Механический момент М, действующий на контур с током в однородном магнитном поле, пропорционален магнитному моменту р m контура, индукции В магнитного поля и синусу угла между направлением векторов p m (нормалью к контуру) и .
В векторной форме соотношение (15.28) имеет вид
М = (15.29)
Рассмотрим проводник длиной ℓ с током I, помещённый в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура и который может свободно перемещаться в этом поле под действием силы Ампера (рис. 15.13).
Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок из положения 1 в положение 2. работа, совершаемая магнитным полем, равна
dA=Fdx=IBℓdx=IBdS=IdФ, (15.30)
так как ℓdx = dS – площадь пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, ВdS = dФ – поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,
dA= IdФ, (15.31)
т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересечённый движущимся проводником.
Работа по перемещения проводника с током I из точки 1 в точку 2 определяется по формуле:
(15.32)
Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле также определяется по формуле. Формула остаётся справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.
§ 15.5. Сила Лоренца. Движение частицы в магнитном поле. Эффект Холла
Движущиеся электрические заряды создают вокруг себя магнитное поле, которое распространяется в вакууме со скоростью света. При движении заряда во внешнем магнитном поле возникает силовое взаимодействие магнитных полей, определяемое по закону Ампера. Процесс взаимодействия магнитных полей исследовался Лоренцем, который вывел формулу для расчета силы, действующей со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу. Лоренц является создателем классической электронной теории. Широко известны его работы в области электродинамики, термодинамики, статической механики, оптики, теории излучения, атомной физики. За исследования влияния магнетизма на процессы излучения в 1902 г. был удостоен Нобелевской премии.
Сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд называется силой Лоренца и , равна
F л = qυВsinα (15.33)
где q – заряд частица; - скорость частицы; В – индукция магнитного поля, α- угол между направлением скорости частицы и вектором магнитной индукции.
Эта сила перпендикулярна векторам и .
Направление силы Лоренца, определяется по правилу левой руки : если расположить левую ладонь так, чтобы четыре вытянутых пальца указывали направление движения положительного заряда, а вектор магнитного поля входил в ладонь, то отставленный большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей на данный заряд.
С изменением знака заряда направление силы изменяется на противоположное.
Анализируя выражение (3.146), можно сделать выводы:
1. Если скорость заряда =0; F л =0. Магнитное поле не действует на неподвижную частицу.
2. Если частица влетает в магнитное поле параллельно его силовым линиям . α=0°, sin0°=0; F л =0. Магнитное поле не действует на неподвижную заряженную частицу; Частица будет продолжать двигаться равномерно и прямолинейно с той же скоростью, которая у неё была.
3. Если частица влетает перпендикулярно силовым линиям магнитного поля ┴ . α=90°, sin90°=1; F л =qυВ. Сила Лоренца искривляет траекторию движения, выполняя роль центростремительной силы.
Очень важным является использование этого явления при исследовании космических частиц для определения знака заряда. Попадание летящей частицы в магнитное поле вызывает изменение ее траектории в зависимости от знака заряда (рис. 3.59). На рис. 3.59 вектор индукции магнитного поля направлен перпендикулярно плоскости чертежа (от нас). Частица будет двигаться по окружности, радиус R которой можно определить из равенства центростремительной силы и силы Лоренца:
Чем больше скорость частицы, тем больше радиус окружности, по которой она движется, период же обращения ни от скорости, ни от радиуса окружности не зависит.
(15.36)
4. Если частица движется под углом β к линиям , то траектория движения частицы будет винтовой линией (спиралью), охватывающей силовые линии магнитного поля (рис. 3.60).
Шаг h спирали определяется υ т -тангенциальной составляющей скорости υ частицы. Радиус спирали зависит от υ n -нормальной составляющей скорости υ.
В 1892 г. Лоренц получает формулу силы, с которой электромагнитное поле действует на любую находящуюся в нём заряженную частицу:
(15.37)
Эта сила называется электромагнитной силой Лоренца , а данное выражение является одним из основных законов классической электродинамики.
Когда электрический заряд движется одновременно в электрическом и магнитном полях, то результирующая сила, действующая на частицу, равна
F = qυВsinα+ qE (15.38)
В этом случае сила имеет две составляющие: от воздействия магнитного и электрического полей. Между этими составляющими имеется принципиальная разница. Электрическое поле изменяет величину скорости, а следовательно, и кинетическую энергию частицы, однородное магнитное поле изменяет только направление ее движения.
Эффект Холла
Американский ученый Э. Холл обнаружил, что в проводнике, помещенном в магнитное поле, возникает разность потенциалов (поперечная) в направлении, перпендикулярном вектору магнитной индукции В и току I, вследствие действия силы Лоренца на заряды, движущиеся в этом проводнике (рис. 3.62).
Опыт показывает, что поперечная разность потенциалов пропорциональна плотности тока j, магнитной индукции и расстоянию d между электродами:
Допустим, что электроны движутся с упорядоченной средней скоростью υ и на каждый электрон действует сила Лоренца, равная еВυ. Под ее действием электроны смещаются так, что одна из граней образца зарядится отрицательно, другая - положительно и внутри образца возникнет электрическое поле, т. е. е υ В = еЕ.
Следовательно, поперечная разность потенциалов равна
Среднюю скорость υ электронов можно выразить через плотность тока j, так как j=neυ , поэтому
Приравнивая это выражение формуле (15.39), получаем .
Постоянная Холла зависит от концентрации электронов.
По измеренному значению постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере проводимости и заряде носителей); 2) судить о природе проводимости полупроводников, так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда носителей тока. Применяется для умножения постоянных токов в аналоговых вычислительных машинах, в измерительной технике (датчик Холла
Примеры решения задач
Пример. Прямоугольная рамка со сторонами а= 5см и b=10см, состоящая из N=20 витков, помещена во внешнее однородное магнитное поле с индукцией В=0,2 Тл. Нормаль к рамке составляет с направлением магнитного поля угол . Определите вращающий момент сил, действующий на рамку, если по ней течёт ток I=2А.
Дано : а= 5см=0,05м; b=10см=0,1м; N=20; В=0,2 Тл; . ; I=2А.
Найти : М.
Решение. Механический момент, действующий на рамку с током, помещённую в однородное магнитное поле,
,
- магнитный момент рамки с током. Модуль M=p m Bsinα.
Поскольку рамка состоит N из витков, то M=Np m Bsinα (1)
где магнитный момент рамки с током
p m =IS=Ia b. (2)
Подставив формулу (2) в выражение (1), найдём искомый вращающий момент
M=NIBa bsinα.
Ответ: М=0,02 Н∙м
Пример. По тонкому проволочному кольцу течёт ток. Определите, во сколько раз изменится индукция в центре контура, если проводнику придать форму квадрата, не изменяя силы тока в проводнике.
Решение. Вектор в центре кругового тока направлен при выбранном направлении тока (см.рисунок), согласно правилу правого винта, перпендикулярно чертежу к нам (на рисунке это обозначено точкой в кружочке). Его модуль
где I– сила тока; R- радиус кольца; μ 0 - магнитная постоянная; μ - магнитная проницаемость среды.
Сторона квадрата, вписанная в кольцо, равна (длина окружности кольца 2πR). Вектор в центре квадрата направлен также перпендикулярно чертежу к нам. Магнитная индукция в центре квадрата равна сумме магнитных индукций, создаваемых каждой стороной квадрата. Тогда модуль , согласно закону Био-Савара-Лапласа,
Из формул (1) и (2) получим отношение
Ответ :
Пример. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, находящимся в вакууме на расстоянии R=30см, текут одинаковые токи одного направления. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого токами в точке А, лежащей на прямой, соединяющей проводники и лежащей на расстоянии r=20см правее правого провода (см.рисунок). Сила тока в проводниках равна 20А.
Дано :μ=1; R=30см=0,3м; r=20см=0,2м; I 1 = I 2 =I=20 А.
Найти : B.
Решение.
Пусть токи направлены перпендикулярно плоскости чертежа от 
нам, что обозначено на рисунке крестиками. Линии магнитной индукции замкнуты и охватывают проводники с токами. Их направление задаётся правилом правого винта. Вектор в каждой точке направлен по касательной к линии магнитной индукции (см. рисунок).
Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция результирующего поля в точке А
где и - магнитная индукция полей в этой точке, создаваемые первым и вторым проводниками. Векторы и и сонаправлены, поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей
В=В 1 +В 2 . (1)
Магнитная индукция полей, создаваемых бесконечно длинными прямыми проводниками с током I 1 и I 2 ,
, 
(2)
где μ 0 – магнитная постоянная; μ- магнитная проницаемость среды.
Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что I 1 =I 2 =I и μ=1 (для вакуума), получим искомое выражение для магнитной индукции в точке А:
Ответ: В=28 мкТл.
Пример. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам находящимся в вакууме, расстояние между которыми d=15см, текут токи I 1 =70A и I 2 =50A в одном направлении. Определите магнитную индукцию В поля, в точке А, лежащей удалённой на r 1 =10см от первого и r 1 =20см от второго проводников.
Дано :μ=1; d=15см=0,15 м; I 1 =70A; I 2 =50A; r 1 =10см=0,1м; r 2 =20см=0,2м.
Найти : B.
Решение. Пусть токи направлены перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Векторы магнитной индукции направлены по касательной к линиям магнитной индукции.
Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция в точке А (см.рисунок)
где и - соответственно магнитные индукции полей, создаваемые проводниками с током I 1 и I 2
(направления векторов и и токов I 1 и I 2
показаны на рисунке). Модуль вектора по теореме косинусов,
.
Подставив эти выражения в формулу (1), найдём искомое В:
.
Ответ: В=178 мкТл.
Пример. В одной плоскости с бесконечно прямым проводником с током
I=10 A расположена прямоугольная проволочная рамка (сторона а=25см, b=10см), по которой протекает ток I 1 =2А. Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причём ближайшая из них находится от прямого тока на расстоянии с=10см и ток в ней сонаправлен току I. Определите силы, действующие на каждую из сторон рамки.
Дано :I=10A; а=25см=0.25м; b=10 см=0.10 м;; I 1 =2 A; с=10см=0,1м.
Найти : F 1 ; F 2 ; F 3 ; F 4 ;
Решение.
Прямоугольная рамка находится в неоднородном поле прямого тока с индукцией
(рассматриваем случай вакуумa), где r – расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки.
Сила, с которой действует поле прямого тока, может быть найдена суммированием элементарных сил, определяемых законом Ампера,
Вектор в пределах рамки направлен перпендикулярно её плоскости за чертёж, и в пределах каждой стороны угол . Это означает, что в пределах одной стороны элементарные силы параллельны друг другу и сложение векторов
Можно заменить сложением их модулей:
(2)
где интегрирование ведётся по соответствующей стороне рамки
Короткие стороны рамки расположены одинаково относительно провода, а потому действующие на них силы численно равны, но направлены противоположно. Их направление, впрочем как и направление других сил (см.рисунок), определяется по правилу левой руки. Вдоль каждой из коротких сторон прямоугольника магнитная индукция изменяется [см. формулу (1)]. Тогда, произведя интегрирование [с учётом (2)],
.
Длинные стороны рамки параллельны прямому току, находясь от него соответственно на расстояниях с и с+b. Тогда
;
,
где и 
.
Ответ: F 1 =10 мкН; F 2 =2,77 мкН; F 3 =5 мкН; F 4 =2,77 мкН.
Пример. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U=1 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В=3мТл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите: 1) силу, действующую на электрон; 2) радиус окружности, по которой электрон движется; 3) период обращения электрона.
Дано : m=9,11∙10 -31 кг; е=1,6∙10 -19 Кл; U=1кВ=1∙10 3 В; В=3мТл=3∙10 -3 Тл; α=90º.
Найти : 1)F; 2) R; 3) T.
Решение. При движении электрона в магнитном поле со скоростью υ на него действует сила Лоренца
F л =eυBsinα,
где α – угол между векторами и (в нашем случае α=90º). Тогда
При прохождении ускоряющей разности потенциалов работа сил электростатического поля идёт на сообщение электрону кинетической энергии ,
Подставив выражение (2) в формулу (1), найдём искомую силу, действующую на электрон,
Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярна скорости, а ею и является сила Лоренца (1), вызывает движение по окружности. Она сообщает электрону нормальное ускорение , где R – радиус окружности. По второму закону Ньютона F=ma, где F=eυB. Тогда
откуда искомый радиус окружности с учётом (2)
Период обращения электрона
Подставив выражение (3) и (2) в формулу (4), найдём искомый период обращения электрона
Ответ: 1)F=9∙10 -15 Н; 2) R=3,56 см; 3) T=11,9 нс.
Пример. Протон, обладая скоростью υ=10 4 м/с, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В=10мТл под углом α=60º к направлению линий магнитной индукции. Определите радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться протон..
Дано : υ=10 4 м/с; е=1,6∙10 -19 Кл; m=1,67∙10 -27 кг; В=10мТл=10∙10 -3 Тл; α=60º.
Найти :R; h.
Решение. Движение протона в однородном магнитном поле со скоростью , направленной под углом α к вектору , происходит по винтовой линии (см. рисунок). Для доказательства этого разложим вектор скорости на составляющие, параллельную (υ х =υcosα) и перпендикулярную (υ у =υsinα) вектору индукции.
Движение в направлении поля происходит с равномерной скоростью υ х, а в направлении, перпендикулярном вектору , под действием силы Лоренца – по окружности ( =const, υ х =const). В результате сложения двух движений траектория результирующего движения протона – винтовая линия (спираль).
Сила Лоренца сообщает протону нормальное ускорение (R- радиус окружности). По второму закону Ньютона, F=ma n , где F л =eυ y B– сила Лоренца. Тогда
Откуда искомый радиус винтовой линии, по которой будет двигаться протон,
Шаг винтовой линии равен расстоянию, пройденному протоном вдоль оси ох за время одного полного оборота, т.е.
h=υ x T= υTcosα, (1)
где период вращения
(2)
Подставив формулу (2) в выражение (1), найдём искомый шаг винтовой линии
Ответ: R=9.04мм; h=3,28 см.
Пример. Между пластинами плоского конденсатора, находящегося в вакууме, создано однородное магнитное поле напряжённостью Н=2кА/м. Электрон движется в конденсаторе параллельно пластинам конденсатора и перпендикулярно направлению магнитного поля со скоростью υ=2 Мм/с. Определите напряжение U, приложенное к конденсатору, если расстояние d между его пластинами составляет 1,99 см..
Дано : μ=1; Н=2кА/м=2∙10 3 А/м; υ=2Мм/с=2∙10 6 м/с; d=1,99 см=1.99∙10 -2 м).
Найти :U.
Решение.
Предположим, что магнитное поле направлено перпендикулярно чертежу от нас. Что указано на рисунке крестиками. Электрон может двигаться перпендикулярно направлению магнитного поля и параллельно пластинам конденсатора (при выбранных направлении магнитного поля и зарядах на пластинах) только так, как указано на рисунке. При этом кулоновская сила (У- напряжённость электрического поля) уравновешивается силой Лоренца F л =eυB (её направление определяется по правилу левой руки). Тогда
Формула, выражающая связь между магнитной индукцией и напряжённость магнитного поля
Для случая вакуума (μ=1) имеет вид В=μ 0 Н, Подставив эту формулу в выражение (1), найдём искомое напряжение на пластинах конденсатора
Ответ: U=100 B.
Пример. Через сечение медной пластинки (плотность меди ρ=8,93 г/см 3) толщиной d=0,1 мм пропускается ток I =5 А. Пластинка с током помещается в однородное магнитное поле с индукцией В=0,5 Тл, перпендикулярное направлению тока и ребру пластинки. Определите возникающую в пластинке поперечную (холловскую) разность потенциалов, если концентрация n свободных электронов равна концентрации n" атомов проводника.
Дано : ρ=8,93 г/см 3 =8,93∙10 3 кг/м 3 ; d=0,1мм=1∙10 -4 м; I=5A; В=0,5 Тл; n = n" ; М=63,5∙10 -3 кг/моль.
Найти :Δφ..
Решение. На рисунке показана металлическая пластинка с током плотностью в магнитном поле , перпендикулярном (как в условии задачи). При данном направлении скорость носителей тока в металлах – электронов – направлена справа налево. Электроны испытывают действие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. У верхнего края пластинки возникает повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего – их недостаток (зарядится положительно). Поэтому между краями пластинки возникает дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх.
В случае стационарного распределения зарядов в поперечном направлении (напряженность Е В поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды уравновесит силу Лоренца)
или Δφ=υВα (1)
где а – ширина пластинки; Δφ - поперечная (холловская) разность потенциалов.
Сила тока
I=jS=neυS=neυa d, (2)
где S –площадь поперечного сечения пластинки толщиной d; n- концентрация электронов; υ - средняя скорость упорядоченного движения электронов.
Подставив (2) в (1), получим
Согласно условию задачи, концентрация свободных электронов равна концентрации атомов проводника. Следовательно,
, (4)
где N A =6,02∙10 23 моль -1 – постоянная Авогадро; V m - молярный объём меди; М – молярная масса меди; ρ- её плотность.
Подставив формулу (4) в выражение (3), найдём искомую
Пример. Магнитная индукция В на оси тороида без сердечника (внешний диаметр тороида d 1 =60 см, внутренний – d 2 =40см), содержащего N=200 витков, составляет 0,16 мТл. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора , определите силу тока в обмотке тороида..
Дано : d 1 =60 см =0,6 м; d 2 =40 см =0,4 м; N=200; B=0,16 мТл=0,16∙10 -3 Тл.
Найти : I.
Решение. Циркуляция вектора
, (1)
т.е. равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция, умноженной на магнитную постоянную. В качестве контура выберем окружность, расположенную так же, как и линия магнитной индукции, т.е. окружность некоторым радиусом r, центр которой лежит на оси
тороида. Из условия симметрии следует, что модуль вектора во всех точках линии магнитной индукции одинаков, а поэтому выражение (1) можно записать в виде
(2)
(учли, что сила тока во всех витках одинакова, а контур охватывает число токов, равное числу витков тороида). Для средней линии тороида). Для средней линии тороида . Подставив r в (2), получим искомую силу тока:
.
Ответ : I=1 A
Пример. В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом, по которому течёт ток I=10А, расположена квадратная рамка со стороной а=15 см. Определите магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, если две стороны рамки параллельны проводу, а расстояние d от провода до ближайшей стороны рамки составляет 2 см.
Дано : I=10А ; а=15 см =0,15 м; d=2 см=0,02м.
Найти : Ф.
Решение.
Магнитный поток Ф сквозь поверхность площадью вычисляется по формуле:
Квадратная рамка находится в неоднородном поле прямого тока с индукцией
(рассматриваем случай вакуума), где х – расстояние от провода до рассматриваемой точки.
Магнитное поле создаётся прямым током (направление показано на рисунке), и вектор перпендикулярен плоскости рамки (направлен перпендикулярно чертежу от нас, что на рисунке изображено крестиками), поэтому для всех точек рамки В n =В.
Площадь рамки разобьём на узкие элементарные площадки шириной dx и площадью a dx (см. рисунок), в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной. Тогда поток сквозь элементарную площадку
. (1)
Проинтегрировав выражение (1) в пределах от до, найдём искомый магнитный поток
.
Ответ : Ф=0,25 мкВб
Пример. Круговой проводящий контур радиусом r=6см и током I=2А установился в магнитном поле так, что плоскость контура перпендикулярна направлению однородного магнитного поля с индукцией В=10мТл. Определите работу, которую следует совершить, чтобы медленно повернуть контур на угол относительно ос, совпадающий с диаметром контура..
Дано : r=6 см =0,06 м; I=2 А ; B=10 мТл=10∙10 -3 Тл; .
Найти : А вн.
Решение. Работа сил поля по перемещению замкнутого проводника с током I
A=I(Ф 2 -Ф 1), (1)
где Ф 1 и Ф 2 - потоки магнитной индукции, пронизывающие контуры в начальном и конечном положениях. Ток в контуре считаем постоянным, так как при медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь.
Поток магнитной индукции сквозь плоский контур площадью S в однородном магнитном поле с индукцией В
где α– угол между вектором нормали к поверхности контура и вектором магнитной индукции .
В начальном положении, рис. a , контура (контур установился свободно) поток магнитной индукции максимален (α=0; cosα=1) и Ф 1 =BS (S- площадь контура), а в конечном положении, рис. б ( ; cosα=0), Ф 2 =0.
Тогда, подставив эти выражения в формулу (1), найдём, что
(учли, что площадь кругового контура S=πr 2).
Работа внешних сил направлена против сил поля (равна ей по модулю, но противоположна по знаку), поэтому искомая работа
A вн =πIBr 2 .
Ответ: А вн =226 мкДж.