>

1.4 triqonometrik tənliklər. Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

Biliyin kompleks tətbiqi dərsi.

Dərs məqsədləri.

  1. Müxtəlif həll üsullarını nəzərdən keçirin triqonometrik tənliklər.
  2. Tənliklərin həlli ilə şagirdlərin yaradıcılıq qabiliyyətlərinin inkişafı.
  3. Şagirdləri özünü idarə etməyə, qarşılıqlı nəzarətə, təhsil fəaliyyətlərinin özünü təhlilinə həvəsləndirmək.

Avadanlıqlar: ekran, proyektor, istinad materialı.

Dərslər zamanı

Giriş söhbəti.

Triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsul onların ən sadə reduksiyasıdır. Bu halda, adi üsullardan, məsələn, faktorizasiyadan, həmçinin yalnız triqonometrik tənliklərin həlli üçün istifadə olunan üsullardan istifadə olunur. Bu hiylələr kifayət qədər çoxdur, məsələn, müxtəlif triqonometrik əvəzetmələr, bucaq çevrilmələri, triqonometrik funksiyaların çevrilmələri. İstənilən triqonometrik çevrilmələrin təsadüfi tətbiqi adətən tənliyi sadələşdirmir, əksinə onu fəlakətli şəkildə çətinləşdirir. Ümumi mənada tənliyin həlli planını hazırlamaq, tənliyi ən sadə birinə endirmək yolunu göstərmək üçün ilk növbədə bucaqları - tənliyə daxil olan triqonometrik funksiyaların arqumentlərini təhlil etmək lazımdır.

Bu gün triqonometrik tənliklərin həlli üsulları haqqında danışacağıq. Düzgün seçilmiş bir üsul çox vaxt həlli əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirməyə imkan verir, buna görə də triqonometrik tənlikləri ən uyğun şəkildə həll etmək üçün öyrəndiyimiz bütün üsullar həmişə diqqətimizdə saxlanmalıdır.

II. (Proyektordan istifadə edərək tənliklərin həlli üsullarını təkrar edirik.)

1. Triqonometrik tənliyi cəbri tənliyə endirmək üsulu.

Bütün triqonometrik funksiyaları eyni arqumentlə bir vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Bu, əsas triqonometrik eynilik və onun nəticələrindən istifadə etməklə edilə bilər. Bir triqonometrik funksiyası olan bir tənlik alırıq. Onu yeni naməlum kimi götürsək, cəbri tənlik əldə edirik. Biz onun köklərini tapırıq və ən sadə triqonometrik tənlikləri həll edərək köhnə bilinməyənə qayıdırıq.

2. Faktorlara ayırma üsulu.

Bucaqları dəyişdirmək üçün arqumentlərin azaldılması, cəmi və fərqi üçün düsturlar, həmçinin triqonometrik funksiyaların cəmini (fərqini) məhsula və əksinə çevirmək üçün düsturlar çox vaxt faydalıdır.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Əlavə bucağı təqdim etmək üsulu.

4. Universal əvəzetmədən istifadə üsulu.

F(sinx, cosx, tgx) = 0 formalı tənliklər universal triqonometrik əvəzetmədən istifadə edərək cəbri tənliklərə endirilir.

Yarım bucağın tangensi ilə sinus, kosinus və tangensin ifadəsi. Bu hiylə daha yüksək dərəcəli tənliyə səbəb ola bilər. Hansının qərarı çətindir.

Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.

1C-dən 10-cu sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında təlimatlar və simulyatorlar
Həndəsə məsələləri həll edirik. Kosmosda tikinti üçün interaktiv tapşırıqlar
Proqram mühiti "1C: Riyazi konstruktor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:
1. Triqonometrik tənliklər hansılardır?

3. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün iki əsas üsul.
4. Bircins triqonometrik tənliklər.
5. Nümunələr.

Triqonometrik tənliklər nədir?

Uşaqlar, biz artıq arksinusu, arkkosinusu, arktangensi və arktangensi öyrənmişik. İndi isə ümumi olaraq triqonometrik tənliklərə nəzər salaq.

Triqonometrik tənliklər - dəyişənin triqonometrik funksiyanın işarəsi altında olduğu tənliklər.

Ən sadə triqonometrik tənliklərin həlli formasını təkrarlayırıq:

1) |а|≤ 1 olarsa, cos(x) = a tənliyinin həlli var:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |а|≤ 1 olarsa, sin(x) = a tənliyinin həlli var:

3) Əgər |a| > 1, onda sin(x) = a və cos(x) = a tənliyinin həlli yoxdur 4) tg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a tənliyinin həlli var: x=arcctg(a)+ πk

Bütün düsturlar üçün k tam ədəddir

Ən sadə triqonometrik tənliklər formaya malikdir: Т(kx+m)=a, T- istənilən triqonometrik funksiya.

Misal.

Tənlikləri həll edin: a) sin(3x)= √3/2

Həll:

A) 3x=t işarəsi verək, onda tənliyimizi yenidən aşağıdakı formada yazacağıq:

Bu tənliyin həlli belə olacaq: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Dəyərlər cədvəlindən alırıq: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Dəyişənimizə qayıdaq: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Onda x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cavab: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n tam ədəddir. (-1)^n - n-in gücünə mənfi bir.

Triqonometrik tənliklərin daha çox nümunələri.

Tənlikləri həll edin: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Həll:

A) Bu dəfə biz dərhal tənliyin köklərinin hesablanmasına keçəcəyik:

X/5= ± arkkos(1) + 2πk. Onda x/5= πk => x=5πk

Cavab: x=5πk, burada k tam ədəddir.

B) Bu formada yazırıq: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Biz bilirik ki: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cavab: x=2π/9 + πk/3, burada k tam ədəddir.

Tənlikləri həll edin: cos(4x)= √2/2. Və seqmentdəki bütün kökləri tapın.

Həll:

Biz qərar verəcəyik ümumi görünüş tənliyimiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

İndi seqmentimizə hansı köklərin düşdüyünü görək. k üçün k=0, x= π/16 üçün verilmiş seqmentdəyik.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 olduqda yenidən vurdular.
k=2 üçün x= π/16+ π=17π/16, lakin burada biz vurmadıq, yəni böyük k üçün də vurmayacağıq.

Cavab: x= π/16, x= 9π/16

İki əsas həll üsulu.

Ən sadə triqonometrik tənlikləri nəzərdən keçirdik, lakin daha mürəkkəb olanlar var. Onları həll etmək üçün yeni dəyişənin tətbiqi metodundan və faktorizasiya metodundan istifadə olunur. Nümunələrə baxaq.

Tənliyi həll edək:

Həll:
Tənliyimizi həll etmək üçün yeni bir dəyişən təqdim etmək üsulundan istifadə edirik, qeyd olunur: t=tg(x).

Əvəzetmə nəticəsində əldə edirik: t 2 + 2t -1 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapın: t=-1 və t=1/3

Onda tg(x)=-1 və tg(x)=1/3, ən sadə triqonometrik tənliyi əldə etdik, onun köklərini tapaq.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Cavab: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Tənliyin həlli nümunəsi

Tənlikləri həll edin: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Həll:

Eynilikdən istifadə edək: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Tənliyimiz belə olur: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) əvəzini təqdim edək: 2t 2 -3t - 2 = 0

Kvadrat tənliyimizin həlli köklərdir: t=2 və t=-1/2

Onda cos(x)=2 və cos(x)=-1/2.

Çünki kosinus birdən böyük dəyərlər qəbul edə bilməz, onda cos(x)=2-nin kökü yoxdur.

cos(x)=-1/2 üçün: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cavab: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen triqonometrik tənliklər.

Tərif: a sin(x)+b cos(x) şəklində olan tənliyə birinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliklər deyilir.

Formanın tənlikləri

ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənliklər.

Birinci dərəcəli homojen triqonometrik tənliyi həll etmək üçün onu cos(x)-a bölürük: Sıfıra bərabərdirsə, kosinusla bölmək mümkün deyil, bunun belə olmadığına əmin olaq:
Qoy cos(x)=0, onda asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lakin sinus və kosinus eyni vaxtda sıfıra bərabər deyil, bir ziddiyyət əldə etdik, ona görə də təhlükəsiz şəkildə bölmək olar. sıfırla.

Tənliyi həll edin:
Misal: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Həll:

Ümumi faktoru çıxarın: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sonra iki tənliyi həll etməliyik:

cos(x)=0 və cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk üçün Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 tənliyini nəzərdən keçirək tənliyimizi cos(x)-a bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cavab: x= π/2 + πk və x= -π/4+πk

İkinci dərəcəli homojen triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar?
Uşaqlar, həmişə bu qaydalara əməl edin!

1. Baxın a əmsalı nəyə bərabərdir, əgər a \u003d 0 olarsa, onda bizim tənliyimiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) formasını alacaq, bunun həllinə misal əvvəlki bənddə verilmişdir. sürüşdürün

2. Əgər a≠0 olarsa, onda tənliyin hər iki hissəsini kvadrat kosinusa bölmək lazımdır, alarıq:


t=tg(x) dəyişəninin dəyişməsini edirik və tənliyi əldə edirik:

Nümunə №: 3-ü həll edin

Tənliyi həll edin:
Həll:

Tənliyin hər iki tərəfini kosinus kvadratına bölün:

t=tg(x) dəyişəninin dəyişməsini edirik: t 2 + 2 t - 3 = 0

Kvadrat tənliyin köklərini tapın: t=-3 və t=1

Onda: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cavab: x=-arctg(3) + πk və x= π/4+ πk

Nümunə №: 4-ü həll edin

Tənliyi həll edin:

Həll:
İfadəmizi çevirək:


Belə tənlikləri həll edə bilərik: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Cavab: x= - π/4 + 2πk və x=5π/4 + 2πk

Nümunə №:5-i həll edin

Tənliyi həll edin:

Həll:
İfadəmizi çevirək:


tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 əvəzini təqdim edirik

Kvadrat tənliyimizin həlli köklər olacaq: t=-2 və t=1/2

Onda alırıq: tg(2x)=-2 və tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Cavab: x=-arctg(2)/2 + πk/2 və x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar.

1) Tənliyi həll edin

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Tənlikləri həll edin: sin(3x)= √3/2. Və [π/2 seqmentindəki bütün kökləri tapın; π].

3) Tənliyi həll edin: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Tənliyi həll edin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tənliyi həll edin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tənliyi həll edin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Triqonometrik tənliklərin həlli anlayışı.

  • Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün onu bir və ya bir neçə əsas triqonometrik tənliyə çevirin. Triqonometrik tənliyin həlli son nəticədə dörd əsas triqonometrik tənliyin həllinə gəlir.

  • Əsas triqonometrik tənliklərin həlli.

    • Əsas triqonometrik tənliklərin 4 növü var:
    • sin x = a; cos x = a
    • tan x = a; ctg x = a
    • Əsas triqonometrik tənliklərin həlli nəzərdən keçirməyi nəzərdə tutur müxtəlif müddəalar"x" vahid dairəsində, həmçinin bir çevirmə cədvəlindən (və ya kalkulyatordan) istifadə etməklə.
    • Misal 1. sin x = 0,866. Dönüşüm cədvəlindən (və ya kalkulyatordan) istifadə edərək, cavabı alırsınız: x = π/3. Vahid dairəsi başqa cavab verir: 2π/3. Unutmayın: bütün triqonometrik funksiyalar dövridir, yəni onların dəyərləri təkrarlanır. Məsələn, sin x və cos x-in dövriliyi 2πn, tg x və ctg x-in dövriliyi isə πn-dir. Beləliklə, cavab belə yazılır:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Misal 2 cos x = -1/2. Dönüşüm cədvəlindən (və ya kalkulyatordan) istifadə edərək, cavabı alırsınız: x = 2π/3. Vahid dairəsi başqa cavab verir: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • Misal 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Cavab: x \u003d π / 4 + πn.
    • Misal 4. ctg 2x = 1,732.
    • Cavab: x \u003d π / 12 + πn.

  • Triqonometrik tənliklərin həllində istifadə olunan çevrilmələr.

    • Triqonometrik tənlikləri çevirmək üçün cəbri çevrilmələrdən istifadə olunur (faktorizasiya, azalma homojen üzvlər s.) və triqonometrik eyniliklər.
    • Misal 5. Triqonometrik eyniliklərdən istifadə etməklə sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tənliyi 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 tənliyinə çevrilir. Beləliklə, aşağıdakı əsas triqonometrik tənliklər həll etmək lazımdır: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Funksiyaların məlum qiymətlərindən bucaqların tapılması.

      • Triqonometrik tənlikləri necə həll etməyi öyrənməzdən əvvəl, funksiyaların məlum dəyərlərindən bucaqları tapmağı öyrənməlisiniz. Bu, bir dönüşüm cədvəli və ya kalkulyatordan istifadə etməklə edilə bilər.
      • Misal: cos x = 0,732. Kalkulyator x = 42,95 dərəcə cavab verəcək. Vahid dairə kosinusu da 0,732-ə bərabər olan əlavə bucaqlar verəcəkdir.

    • Məhlulu vahid dairədə kənara qoyun.

      • Triqonometrik tənliyin həllərini vahid çevrəyə qoya bilərsiniz. Vahid çevrə üzrə triqonometrik tənliyin həlli düzgün çoxbucaqlının təpələridir.
      • Nümunə: Vahid dairənin x = π/3 + πn/2 həlləri kvadratın təpələridir.
      • Nümunə: Vahid çevrə üzrə x = π/4 + πn/3 həlləri düzgün altıbucaqlının təpələridir.

    • Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları.

      • Əgər verilmiş triqonometrik tənlik yalnız birini ehtiva edirsə triqonometrik funksiya, bu tənliyi əsas triqonometrik tənlik kimi həll edin. Əgər verilmiş tənliyə iki və ya daha çox triqonometrik funksiya daxildirsə, onda belə bir tənliyin həlli üçün 2 üsul var (çevirmə imkanından asılı olaraq).
        • Metod 1
      • Bu tənliyi formanın tənliyinə çevirin: f(x)*g(x)*h(x) = 0, burada f(x), g(x), h(x) əsas triqonometrik tənliklərdir.
      • Misal 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Həll. sin 2x = 2*sin x*cos x cüt bucaq düsturundan istifadə edərək, sin 2x-i əvəz edin.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. İndi iki əsas triqonometrik tənliyi həll edin: cos x = 0 və (sin x + 1) = 0.
      • Misal 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Həlli: Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək bu tənliyi formanın tənliyinə çevirin: cos 2x(2cos x + 1) = 0. İndi iki əsas triqonometrik tənliyi həll edin: cos 2x = 0 və (2cos x + 1) = 0.
      • Misal 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
      • Həlli: Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək bu tənliyi formanın tənliyinə çevirin: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. İndi iki əsas triqonometrik tənliyi həll edin: cos 2x = 0 və (2sin x + 1) = 0.
        • Metod 2
      • Verilmiş triqonometrik tənliyi yalnız bir triqonometrik funksiyadan ibarət tənliyə çevirin. Sonra bu triqonometrik funksiyanı bəzi naməlumlarla əvəz edin, məsələn, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t və s.).
      • Misal 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
      • Həll. Bu tənlikdə (cos^2 x) (1 - sin^2 x) ilə əvəz edin (şəxsiyyətə görə). Transformasiya edilmiş tənlik belə görünür:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x-i t ilə əvəz edin. İndi tənlik belə görünür: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Bu, iki köklü kvadratik tənlikdir: t1 = -1 və t2 = 9/5. İkinci kök t2 funksiyanın diapazonunu təmin etmir (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Misal 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Həll. tg x-i t ilə əvəz edin. Orijinal tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazın: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. İndi t-i tapın və sonra t = tg x üçün x-i tapın.

    • Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

    Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

    Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

    İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

    Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

    Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

    • Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik E-poçt və s.

    Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

    • Topladığımız şəxsi məlumatlar sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
    • Zaman-zaman biz sizə vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün şəxsi məlumatlarınızdan istifadə edə bilərik.
    • Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
    • Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

    Üçüncü tərəflərə açıqlama

    Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

    İstisnalar:

    • Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə qaydasına, məhkəmə prosesinə uyğun olaraq və / və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində ictimai sorğular və ya dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq məqsədləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
    • Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

    Şəxsi məlumatların qorunması

    Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirlər də daxil olmaqla tədbirlər görürük.

    Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

    Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

    Çoxlarını həll edərkən riyaziyyat problemləri, xüsusilə 10-cu sinifdən əvvəl baş verənlər, məqsədə aparacaq həyata keçirilən hərəkətlərin sırası aydın şəkildə müəyyən edilir. Belə tapşırıqlara, məsələn, xətti və kvadrat tənliklər, xətti və kvadrat bərabərsizliklər, kəsr tənlikləri və kvadrata endirən tənliklər. Qeyd olunan vəzifələrin hər birinin uğurlu həlli prinsipi belədir: həll olunan problemin hansı növə aid olduğunu müəyyən etmək, istənilən nəticəyə gətirib çıxaracaq zəruri hərəkət ardıcıllığını xatırlamaq lazımdır, yəni. cavab verin və bu addımları izləyin.

    Aydındır ki, müəyyən bir problemin həllində uğur və ya uğursuzluq, əsasən, həll olunan tənliyin növünün nə qədər düzgün təyin olunduğundan, onun həllinin bütün mərhələlərinin ardıcıllığının nə qədər düzgün əks olunduğundan asılıdır. Təbii ki, ifa etmək bacarığına sahib olmaq lazımdır eyni çevrilmələr və hesablama.

    ilə fərqli bir vəziyyət yaranır triqonometrik tənliklər. Tənliyin triqonometrik olduğunu müəyyən etmək çətin deyil. Düzgün cavaba səbəb olacaq hərəkətlərin ardıcıllığını təyin edərkən çətinliklər yaranır.

    By görünüş tənliklər bəzən onun növünü müəyyən etmək çətindir. Tənliyin növünü bilmədən bir neçə onlarla triqonometrik düsturdan düzgün birini seçmək demək olar ki, mümkün deyil.

    Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün cəhd etməliyik:

    1. tənliyə daxil olan bütün funksiyaları “eyni bucaqlara” gətirin;
    2. tənliyi “eyni funksiyalara” gətirin;
    3. tənliyin sol tərəfini faktorlara ayırın və s.

    düşünün triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsulları.

    I. Ən sadə triqonometrik tənliklərə endirmə

    Həll sxemi

    Addım 1. Triqonometrik funksiyanı məlum komponentlərlə ifadə edin.

    Addım 2 Düsturlardan istifadə edərək funksiya arqumentini tapın:

    cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

    sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

    tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

    ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

    Addım 3 Naməlum dəyişən tapın.

    Misal.

    2 cos(3x – π/4) = -√2.

    Həll.

    1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

    2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

    3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

    3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

    x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

    x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

    Cavab: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

    II. Dəyişən əvəzetmə

    Həll sxemi

    Addım 1. Tənliyi triqonometrik funksiyalardan birinə görə cəbri formaya gətirin.

    Addım 2 Yaranan funksiyanı t dəyişəni ilə işarələyin (lazım olduqda, t-yə məhdudiyyətlər tətbiq edin).

    Addım 3 Yaranan cəbr tənliyini yazın və həll edin.

    Addım 4Əks əvəzetmə edin.

    Addım 5Ən sadə triqonometrik tənliyi həll edin.

    Misal.

    2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

    Həll.

    1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

    2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

    2) Qoy sin (x/2) = t, burada |t| ≤ 1.

    3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

    t = 1 və ya e = -3/2 |t| şərtini ödəmir ≤ 1.

    4) günah (x/2) = 1.

    5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

    x = π + 4πn, n Є Z.

    Cavab: x = π + 4πn, n Є Z.

    III. Tənlik sırasının azaldılması üsulu

    Həll sxemi

    Addım 1. Gücün azaldılması düsturlarından istifadə edərək bu tənliyi xətti ilə əvəz edin:

    günah 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

    cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

    tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

    Addım 2 I və II üsullardan istifadə edərək yaranan tənliyi həll edin.

    Misal.

    cos2x + cos2x = 5/4.

    Həll.

    1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

    2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

    3/2 cos 2x = 3/4;

    2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

    x = ±π/6 + πn, n Є Z.

    Cavab: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

    IV. Homojen tənliklər

    Həll sxemi

    Addım 1. Bu tənliyi formaya gətirin

    a) sin x + b cos x = 0 (birinci dərəcəli homojen tənlik)

    və ya mənzərəyə

    b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

    Addım 2 Tənliyin hər iki tərəfini bölün

    a) cos x ≠ 0;

    b) cos 2 x ≠ 0;

    və tg x üçün tənliyi alın:

    a) a tg x + b = 0;

    b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

    Addım 3 Məlum üsullardan istifadə edərək tənliyi həll edin.

    Misal.

    5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

    Həll.

    1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

    5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

    sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

    2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

    3) O zaman tg x = t olsun

    t 2 + 3t - 4 = 0;

    t = 1 və ya t = -4, deməli

    tg x = 1 və ya tg x = -4.

    Birinci tənlikdən x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

    Cavab: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

    V. Triqonometrik düsturlardan istifadə edərək tənliyin çevrilməsi üsulu

    Həll sxemi

    Addım 1. Hər növdən istifadə triqonometrik düsturlar, bu tənliyi I, II, III, IV üsullarla həll olunan tənliyə gətirin.

    Addım 2 Alınan tənliyi məlum üsullardan istifadə edərək həll edin.

    Misal.

    sinx + sin2x + sin3x = 0.

    Həll.

    1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

    2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

    2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

    sin 2x = 0 və ya 2cos x + 1 = 0;

    Birinci tənlikdən 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci tənlikdən cos x = -1/2.

    Bizdə x = π/4 + πn/2, n Є Z; ikinci tənlikdən x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

    Nəticədə, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

    Cavab: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

    Triqonometrik tənlikləri həll etmək bacarığı və bacarıqları çox yüksəkdir vacibdir, onların inkişafı həm şagirddən, həm də müəllimdən xeyli səy tələb edir.

    Stereometriyanın, fizikanın və s.bir çox məsələləri triqonometrik tənliklərin həlli ilə bağlıdır.Belə məsələlərin həlli prosesi, sanki, triqonometriyanın elementlərinin öyrənilməsi zamanı əldə edilən bir çox bilik və bacarıqları ehtiva edir.

    Riyaziyyatın tədrisi və ümumilikdə şəxsiyyətin inkişafı prosesində triqonometrik tənliklər mühüm yer tutur.

    Hər hansı bir sualınız var? Triqonometrik tənlikləri necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz?
    Tərbiyəçidən kömək almaq üçün -.
    İlk dərs ödənişsizdir!

    blog.site, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.