Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Axilles bu məsafəni qət etdiyi müddətdə tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünəcək və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.
Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyalarını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ... hazırda müzakirələr davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti haqqında ortaq fikrə gələ bilməyib... riyazi analiz, çoxluq nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar; onların heç biri problemin hamı tərəfindən qəbul edilmiş həlli olmadı..."[Vikipediya," Zenon's Aporias "]. Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nə olduğunu heç kim başa düşmür.
Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən Zenon öz aporiyasında dəyərdən keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirdi. Bu keçid sabitlərin yerinə tətbiq etməyi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərinin tətbiqi üçün riyazi aparat ya hələ işlənib hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizin tətbiqi bizi tələyə salır. Biz, təfəkkür ətaləti ilə, qarşılıqlı zamanın sabit vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən, Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda zamanın tam dayanmasına oxşayır. Zaman dayansa, Axilles daha tısbağanı ötüb keçə bilməz.
Adət etdiyimiz məntiqi döndərsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles ilə qaçır sabit sürət. Yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, o zaman “Axilles sonsuz sürətlə tısbağanı keçəcək” demək düzgün olardı.
Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı dəyərlərə keçməyin. Zenon dili ilə desək, belə görünür:
Axillesin min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Növbəti vaxt intervalında, birinciyə bərabər, Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.
Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Amma bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin keçilməzliyi haqqında dediyi fikir Zenonun “Axilles və tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Bu problemi hələ öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.
Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası da uçan oxdan bəhs edir:
Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlmişdir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə sükunətdədir.
Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət faktını müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən müxtəlif vaxtlarda çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin məsafəni müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilməz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır fərqli nöqtələr zamanın bir nöqtəsində boşluq, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən etmək mümkün deyil (təbii ki, hesablamalar üçün əlavə məlumatlar hələ də lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir). Xüsusilə qeyd etmək istədiyim odur ki, iki zaman nöqtəsi və kosmosdakı iki nöqtə iki fərqli şeydir, çünki kəşfiyyat üçün fərqli imkanlar təmin edirlər.
Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il
Çox yaxşı dəst və multiset arasındakı fərqlər Vikipediyada təsvir edilmişdir. baxırıq.
Gördüyünüz kimi, "çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "multiset" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt belə absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir, burada ağıl "tamamilə" sözündən məhrumdur. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.
Bir vaxtlar körpünü inşa edən mühəndislər körpünün sınaqları zamanı körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.
Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla qırılmaz şəkildə bağlayan bir göbək bağı var. Bu göbək bağı puldur. Uyğundur riyazi nəzəriyyə riyaziyyatçıların özlərinə təyin edir.
Biz riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq və indi kassada oturub maaş veririk. Burada bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və masamıza eyni nominallı əskinasları qoyduğumuz müxtəlif yığınlara qoyuruq. Sonra hər qalaqdan bir veksel götürüb riyaziyyatçıya onun “riyazi maaş dəstini” veririk. Biz riyaziyyatı izah edirik ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluğun eyni elementli çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalıqları alacaq. Əyləncə burada başlayır.
İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “başqalarına tətbiq edə bilərsən, mənə yox!”. Bundan əlavə, eyni nominallı əskinasların üzərində müxtəlif əskinas nömrələrinin olması ilə bağlı təminatlar başlayacaq ki, bu da onların eyni elementlər sayıla bilməyəcəyi deməkdir. Yaxşı, maaşı sikkələrlə hesablayırıq - sikkələrdə rəqəm yoxdur. Burada riyaziyyatçı çılğınlıqla fizikanı xatırlayacaq: müxtəlif sikkələrin müxtəlif miqdarda çirkləri var, hər bir sikkə üçün atomların kristal quruluşu və düzülüşü unikaldır ...
İndi isə ən çox məndə var maraq Soruş: çoxlu çoxluğun elementlərinin çoxluğun elementlərinə və əksinə çevrildiyi sərhəd haradadır? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, burada elm yaxın deyil.
Bura baxın. Biz eyni sahəyə malik futbol stadionlarını seçirik. Sahələrin sahəsi eynidir, yəni bizim multisetimiz var. Amma eyni stadionların adlarını nəzərə alsaq, adları fərqli olduğu üçün çox şey əldə edirik. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti eyni zamanda həm çoxluq, həm də multisetdir. Necə doğru? Və burada riyaziyyatçı-şaman-şuller qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.
Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" olmadan göstərəcəyəm.
Bazar günü, 18 mart 2018-ci il
Ədədin rəqəmlərinin cəmi riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayan şamanların qavalla rəqsidir. Bəli, riyaziyyat dərslərində bizə ədədin rəqəmlərinin cəmini tapıb ondan istifadə etməyi öyrədirlər, lakin onlar bunun üçün şamandırlar, öz nəslinə öz bacarıqlarını, hikmətlərini öyrətmək, əks halda şamanlar sadəcə olaraq öləcəklər.
Sizə sübut lazımdır? Vikipediyanı açın və "Rəqəmlərin cəmi" səhifəsini tapmağa çalışın. O, mövcud deyil. Riyaziyyatda hər hansı bir ədədin rəqəmlərinin cəmini tapa biləcəyiniz düstur yoxdur. Axı rəqəmlər rəqəmləri yazdığımız qrafik simvollardır və riyaziyyatın dilində tapşırıq belə səslənir: “İstənilən rəqəmi təmsil edən qrafik simvolların cəmini tapın”. Riyaziyyatçılar bu problemi həll edə bilməzlər, lakin şamanlar bunu elementar şəkildə edə bilərlər.
Verilmiş ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə və necə etdiyimizi anlayaq. Beləliklə, tutaq ki, bizdə 12345 rəqəmi var. Bu ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Bütün addımları ardıcıllıqla nəzərdən keçirək.
1. Nömrəni bir kağız parçasına yazın. Biz nə etmişik? Biz rəqəmi rəqəmin qrafik simvoluna çevirdik. Bu riyazi əməliyyat deyil.
2. Alınan bir şəkli ayrı-ayrı nömrələrdən ibarət bir neçə şəkilə kəsdik. Şəklin kəsilməsi riyazi əməliyyat deyil.
3. Fərdi qrafik simvolları rəqəmlərə çevirin. Bu riyazi əməliyyat deyil.
4. Yaranan ədədləri toplayın. İndi bu riyaziyyatdır.
12345 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 15-dir. Bunlar riyaziyyatçıların istifadə etdiyi şamanlardan “kəsmə və tikiş kursları”dır. Ancaq bu hamısı deyil.
Riyaziyyat baxımından rəqəmi hansı say sistemində yazmağımızın heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Deməli, müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olacaq. Riyaziyyatda say sistemi rəqəmin sağında alt yazı kimi göstərilir. Çox sayda 12345 ilə başımı aldatmaq istəmirəm, məqalədəki 26 nömrəsini düşünün. Bu ədədi ikilik, səkkizlik, onluq və onaltılıq say sistemlərində yazaq. Biz hər bir addımı mikroskop altında nəzərdən keçirməyəcəyik, bunu artıq etmişik. Nəticəyə baxaq.
Göründüyü kimi müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olur. Bu nəticənin riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Sanki düzbucaqlının sahəsini metr və santimetrlə tapmaq sizə tamamilə fərqli nəticələr verəcəkdir.
Bütün say sistemlərində sıfır eyni görünür və rəqəmlərin cəmi yoxdur. Bu faktın lehinə başqa bir arqumentdir. Riyaziyyatçılara sual: ədəd olmayan riyaziyyatda necə işarələnir? Riyaziyyatçılar üçün rəqəmlərdən başqa heç nə yoxdur? Şamanlar üçün buna icazə verə bilərəm, elm adamları üçün isə yox. Reallıq təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil.
Alınan nəticə say sistemlərinin ədədlərin ölçü vahidləri olduğuna sübut kimi qəbul edilməlidir. Axı biz rəqəmləri müxtəlif ölçü vahidləri ilə müqayisə edə bilmərik. Əgər eyni kəmiyyətin müxtəlif ölçü vahidləri ilə eyni hərəkətlər onları müqayisə etdikdən sonra fərqli nəticələrə gətirib çıxarırsa, bunun riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur.
Əsl riyaziyyat nədir? Bu, riyazi hərəkətin nəticəsinin rəqəmin dəyərindən, istifadə olunan ölçü vahidindən və bu hərəkəti kimin yerinə yetirməsindən asılı olmadığı zamandır.
Oh! Bura qadın tualeti deyilmi?
- Gənc qadın! Bu, göyə qalxarkən ruhların qeyri-müəyyən müqəddəsliyini öyrənmək üçün laboratoriyadır! Üstdə Nimbus və yuxarı ox. Başqa hansı tualet?
Qadın... Üstündəki halo və aşağı ox kişidir.
Əgər gündə bir neçə dəfə gözünüzün önündə belə bir dizayn sənətiniz varsa,
Sonra birdən avtomobilinizdə qəribə bir simvol tapmağınız təəccüblü deyil:
Şəxsən mən öz üzərimdə çalışıram ki, nəcis edən adamda mənfi dörd dərəcə görüm (bir şəkil) (bir neçə şəklin tərkibi: mənfi işarə, dörd rəqəm, dərəcə təyinatı). Və mən o qızın axmaq olduğunu düşünmürəm, yox kim fizika bilir. O, sadəcə qrafik təsvirlərin qavranılmasının qövs stereotipinə malikdir. Riyaziyyatçılar bunu bizə hər zaman öyrədirlər. Budur bir nümunə.
1A "mənfi dörd dərəcə" və ya "bir a" deyil. Bu, onaltılıq say sistemində "pooping man" və ya "iyirmi altı" rəqəmidir. Daim bu say sistemində işləyən insanlar avtomatik olaraq rəqəmi və hərfi bir qrafik simvol kimi qəbul edirlər.
Prizma bunlardan biridir həcmli rəqəmlər xassələri məktəbdə fəza həndəsəsi kursunda öyrənilən . Bu yazıda xüsusi bir prizmanı - altıbucaqlı olanı nəzərdən keçirəcəyik. Bu rəqəm nədir, düzgün həcmi necə tapmaq olar altıbucaqlı prizma və onun səthinin sahəsi? Bu sualların cavabları məqalədə verilmişdir.
Fiqur prizması
Tutaq ki, hansısa müstəvidə olan n tərəfi olan ixtiyari çoxbucaqlımız var. Bu çoxbucaqlının hər təpəsi üçün çoxbucaqlının müstəvisində yatmayacaq bir vektor qururuq. Bu əməliyyatla təpələri orijinala tam bərabər olan çoxbucaqlı təşkil edən n ədəd eyni vektor alırıq. İki eyni çoxbucaqlı və onların təpələrini birləşdirən paralel xətlərlə hüdudlanan fiqur prizma adlanır.
Prizmanın üzləri iki əsasdır, n tərəfi olan çoxbucaqlılar və yan n səthi-paraleloqramlarla təmsil olunur. Fiqurun P kənarlarının sayı onun B təpələrinin və G üzlərinin sayı ilə Eyler düsturu ilə əlaqələndirilir:
N tərəfi olan çoxbucaqlı üçün n + 2 üz və 2 * n təpə alırıq. Sonra kənarların sayı belə olacaq:
P \u003d C + D - 2 \u003d 2 * n + n + 2 - 2 \u003d 3 * n
Ən sadə prizma üçbucaqlıdır, yəni əsası üçbucaqdır.
Prizmaların təsnifatı olduqca müxtəlifdir. Beləliklə, onlar nizamlı və düzensiz, düzbucaqlı və əyri, qabarıq və konkav ola bilər.
Altıbucaqlı prizma
Bu məqalə müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmi məsələsinə həsr edilmişdir. Əvvəlcə bu rəqəmə daha yaxından nəzər salaq.
Adından göründüyü kimi, altıbucaqlı prizmanın əsası altı tərəfi və altı küncü olan çoxbucaqlıdır. Ümumiyyətlə, bu cür çoxbucaqlılar çox müxtəlif ola bilər, lakin təcrübə və həndəsi məsələlərin həlli üçün tək bir vəziyyət vacibdir - müntəzəm altıbucaqlı. Onun bütün tərəfləri bir-birinə bərabərdir və 6 bucağın hər biri 120 o-dur. Əgər dairəni üç diametrli 6 bərabər hissəyə bölsəniz (onlar 60 o bucaq altında kəsişməlidirlər) bu çoxbucaqlını asanlıqla qura bilərsiniz.
Müntəzəm altıbucaqlı prizma təkcə onun əsasında müntəzəm çoxbucaqlının olmasını deyil, həm də fiqurun bütün tərəflərinin düzbucaqlı olması lazım olduğunu nəzərdə tutur. Bu, yalnız o halda mümkündür yan üzlər altıbucaqlı əsaslara perpendikulyar olacaq.
Daimi altıbucaqlı prizma gündəlik həyatda və təbiətdə rast gəlinən kifayət qədər mükəmməl bir fiqurdur. Yalnız bir pətək və ya altıbucaqlı açarın forması haqqında düşünmək lazımdır. Nanotexnologiya sahəsində altıbucaqlı prizmalar da geniş yayılmışdır. Məsələn, titan və sirkoniumda müəyyən şərtlər altında reallaşan hcp və C32-nin kristal qəfəsləri, həmçinin qrafit qəfəsləri altıbucaqlı prizma formasına malikdir.
Altıbucaqlı prizmanın səth sahəsi
İndi birbaşa prizmanın sahəsi və həcminin hesablanması məsələsinə keçək. Əvvəlcə bu rəqəmin səth sahəsini hesablayın.
Hər hansı bir prizmanın səth sahəsi aşağıdakı tənlikdən istifadə edərək hesablanır:
Yəni, istənilən sahə S iki əsasın sahələrinin cəminə bərabərdir S o və yan səthin sahəsi S b . S o dəyərini təyin etmək iki yolla edilə bilər:
- Özünüz hesablayın. Bunun üçün altıbucaqlı 6 bərabərtərəfli üçbucağa bölünür. Bir üçbucağın sahəsinin hündürlüyün və əsasın (altıbucağın tərəfinin uzunluğu) məhsulunun yarısına bərabər olduğunu bilərək, sözügedən çoxbucağın sahəsini tapa bilərsiniz.
- Məlum düsturdan istifadə edin. Aşağıda verilmişdir:
S n = n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)
Burada a n təpəsi olan düzgün çoxbucaqlının yan uzunluğudur.
Aydındır ki, hər iki üsul eyni nəticəyə gətirib çıxarır. Adi altıbucaqlı üçün sahə:
S o \u003d S 6 \u003d 3 * √3 * a 2/2
Yan səth sahəsini tapmaq asandır, bunun üçün hər bir düzbucaqlının əsasını h prizmasının hündürlüyünə vurmalı, nəticədə alınan dəyəri belə düzbucaqlıların sayına, yəni 6-ya vurmalısınız. :
Müntəzəm altıbucaqlı prizma üçün ümumi səth sahəsi üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)
Prizmanın həcmini necə tapmaq olar?
Həcm bir cismin tutduğu məkan sahəsini əks etdirən fiziki kəmiyyətdir. Prizma üçün bu dəyər aşağıdakı düsturla hesablana bilər:
Bu ifadə ixtiyari formalı prizmanın həcmini necə tapmaq sualına cavab verir, yəni S o əsasının sahəsini h rəqəminin hündürlüyünə (h) vurmaq lazımdır. bazalar arasındakı məsafə).
Nəzərə alın ki, yuxarıdakı ifadə istənilən prizma üçün, o cümlədən bazada nizamsız çoxbucaqlıların yaratdığı konkav və əyri fiqurlar üçün etibarlıdır.
Altıbucaqlı müntəzəm prizmanın həcminin düsturu
Aktiv Bu an nəzərdən keçirilən prizmanın həcminin ifadəsini almaq üçün bütün zəruri nəzəri hesablamaları nəzərdən keçirdik. Bunu etmək üçün, əsas sahəsini rəqəmin hündürlüyü olan yan kənarın uzunluğu ilə çoxaltmaq kifayətdir. Nəticədə altıbucaqlı prizma aşağıdakı formanı alacaq:
V = 3 * √3 * a 2 * h / 2
Beləliklə, nəzərdən keçirilən prizmanın həcminin hesablanması yalnız iki kəmiyyət haqqında bilik tələb edir: onun əsasının tərəfinin uzunluğu və hündürlüyü. Bu iki kəmiyyət rəqəmin həcmini unikal şəkildə müəyyən edir.
Həcmlərin və silindrlərin müqayisəsi
Yuxarıda deyildi ki, altıbucaqlı prizmanın əsasını dairədən istifadə etməklə asanlıqla qurmaq olar. O da məlumdur ki, düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayını artırsanız, onun forması dairəyə yaxınlaşacaq. Bu baxımdan, müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcminin silindr üçün bu dəyərdən nə qədər fərqləndiyini hesablamaq maraqlıdır.
Bu suala cavab vermək üçün bir dairəyə yazılmış altıbucaqlının tərəfinin uzunluğunu hesablamaq lazımdır. Radiusa bərabər olduğunu asanlıqla göstərmək olar. Dairənin radiusunu R hərfi ilə işarə edirik. Tutaq ki, silindr və prizmanın hündürlüyü hansısa h qiymətinə bərabərdir. Onda prizmanın həcmi aşağıdakı qiymətə bərabərdir:
V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2
Silindr həcmi ixtiyari prizmanın həcmi ilə eyni düsturla müəyyən edilir. Dairənin sahəsinin pi * R 2 olduğunu nəzərə alsaq, silindrin həcmi üçün bizdə:
Bu rəqəmlərin həcmlərinin nisbətini tapaq:
V p / V c = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)
"Pi" sayı 3,1416-dır. Onu əvəz edərək, əldə edirik:
Beləliklə, müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmi onun daxil olduğu silindrin həcminin təxminən 83%-ni təşkil edir.
Həndəsi cisimlərin həcmlərinin müəyyən edilməsi fəza həndəsəsinin mühüm vəzifələrindən biridir. Bu məqalədə altıbucaqlı əsaslı prizmanın nə olduğu sualı müzakirə olunur, həmçinin müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmi üçün düstur verilir.
Prizmanın tərifi
Həndəsə nöqteyi-nəzərindən prizma kosmosda paralel müstəvilərdə yerləşən iki eyni çoxbucaqlıdan əmələ gələn fiqurdur. Eləcə də bu çoxbucaqlıların bir fiqurda birləşdirdiyi bir neçə paraleloqram.
Üçölçülü fəzada istənilən çoxbucaqlı və seqmenti götürməklə ixtiyari formalı prizma əldə etmək olar. Üstəlik, poliqonun sonuncu müstəvisi də aid olmayacaq. Sonra, bu seqmenti çoxbucaqlının hər təpəsindən yerləşdirməklə, sonuncunun digər müstəviyə paralel köçürülməsini əldə etmək olar. Bu şəkildə əmələ gələn fiqur prizma olacaq.
Baxılan fiqurlar sinfinin vizual təsvirinə sahib olmaq üçün dördbucaqlı prizmanın rəsmini təqdim edirik.
Bir çox insan bu rəqəmi paralelepiped adı ilə tanıyır. Prizmanın iki eyni çoxbucaqlısının kvadrat olduğunu görmək olar. Onlara fiqurun əsasları deyilir. Onun digər dörd tərəfi düzbucaqlıdır, yəni paraleloqramların xüsusi halıdır.
Altıbucaqlı prizma: tərifi və növləri
Düsturu verməzdən əvvəl altıbucaqlı müntəzəm prizmanın həcminin necə təyin olunduğunu aydın şəkildə başa düşmək lazımdır. müzakirə olunacaq. altıbucaqlı bazaya malikdir. Yəni altı tərəfi, eyni sayda bucaqlı düz çoxbucaqlı. Şəklin tərəfləri, eləcə də hər hansı bir prizma üçün ümumiyyətlə paraleloqramdır. Dərhal qeyd edirik ki, altıbucaqlı baza həm müntəzəm, həm də nizamsız altıbucaqlılarla təmsil oluna bilər.
Fiqurun əsasları arasındakı məsafə onun hündürlüyüdür. Bundan sonra onu h hərfi ilə qeyd edəcəyik. Həndəsi olaraq h hündürlüyü hər iki əsasa perpendikulyar seqmentdir. Əgər bu perpendikulyardırsa:
- əsaslardan birinin həndəsi mərkəzindən endirilmiş;
- ikinci əsası da həndəsi mərkəzdə kəsir.
Bu vəziyyətdə rəqəm düz xətt adlanır. Hər hansı digər halda, prizma əyilmə və ya əyilmə olacaq. Bu altıbucaqlı prizma növləri arasındakı fərqi bir baxışda görmək olar.
Sağ altıbucaqlı prizma əsasda müntəzəm altıbucaqlıları olan bir fiqurdur. Bununla belə, düzdür. Onun xüsusiyyətlərinə daha yaxından nəzər salaq.
Müntəzəm altıbucaqlı prizmanın elementləri
Müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmini necə hesablamaq lazım olduğunu başa düşmək üçün (düstur məqalədə aşağıda verilmişdir), həmçinin rəqəmin hansı elementlərdən ibarət olduğunu və hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu başa düşməlisiniz. Fiqurun təhlilini asanlaşdırmaq üçün onu şəkildə göstərəcəyik.
Onun əsas elementləri üzlər, kənarlar və təpələrdir. Bu elementlərin sayı Eyler teoreminə tabedir. P - kənarların sayını, B - təpələrin sayını və G - üzləri qeyd etsək, bərabərliyi yaza bilərik:
Gəlin yoxlayaq. Baxılan fiqurun üzlərinin sayı 8-dir. Onlardan ikisi düz altıbucaqlıdır. Şəkildən göründüyü kimi altı üz düzbucaqlıdır. Təpələrin sayı 12-dir. Həqiqətən, 6 təpə bir bazaya, 6 isə digərinə aiddir. Formula görə, kənarların sayı 18 olmalıdır, bu ədalətlidir. 12 kənar əsaslarda yerləşir və 6-sı bir-birinə paralel olan düzbucaqlıların tərəflərini təşkil edir.
Müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcminin düsturunu əldə etməyə keçərək, bu rəqəmin bir vacib xüsusiyyətinə diqqət yetirmək lazımdır: yan səthi meydana gətirən düzbucaqlılar bir-birinə bərabərdir və hər iki əsasa perpendikulyardır. Bu iki mühüm nəticəyə gətirib çıxarır:
- Fiqurun hündürlüyü onun yan kənarının uzunluğuna bərabərdir.
- Bazalara paralel olan kəsici müstəvidən istifadə etməklə hazırlanmış hər hansı yanal hissə bu əsaslara bərabər olan müntəzəm altıbucaqlıdır.
Altıbucaqlı sahə
Şəklin əsasının bu sahəsinin müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmi üçün düsturda görünəcəyini intuitiv olaraq təxmin etmək olar. Buna görə də, məqalənin bu bəndində bu sahəni tapacağıq. Təpələri həndəsi mərkəzində kəsişən 6 eyni üçbucağa bölünmüş müntəzəm altıbucaqlı aşağıda göstərilmişdir:
Bu üçbucaqların hər biri bərabərtərəflidir. Bunu sübut etmək çox da çətin deyil. Bütün dairənin 360 o olduğu üçün altıbucaqlının həndəsi mərkəzinə yaxın üçbucaqların bucaqları 360 o /6=60 o-dur. Həndəsi mərkəzdən altıbucaqlının təpələrinə qədər olan məsafələr eynidir.
Sonuncu o deməkdir ki, 6 üçbucağın hamısı ikitərəfli olacaq. İkitərəfli üçbucaqların bucaqlarından biri 60 o-ya bərabər olduğu üçün digər iki bucaq da 60 o-ya bərabərdir. ((180 o -60 o) / 2) - bərabərtərəfli üçbucaqlar.
Altıbucaqlının tərəfinin uzunluğunu a hərfi ilə işarələyin. Onda bir üçbucağın sahəsi bərabər olacaq:
S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a 2 .
Düstur üçbucağın sahəsi üçün standart ifadədən əldə edilmişdir. Onda altıbucaqlı üçün S 6 sahəsi olacaq:
S 6 \u003d 6 * S 1 \u003d 6 * √3 / 4 * a 2 \u003d 3 * √ 3/2 * a 2.
Düzgün altıbucaqlı prizmanın həcmini təyin etmək üçün düstur
Sözügedən rəqəmin həcminin düsturunu yazmaq üçün yuxarıda göstərilən məlumatlar nəzərə alınmalıdır. İxtiyari prizma üçün onun üzləri ilə məhdudlaşan fəzanın həcmi aşağıdakı kimi hesablanır:
Yəni V əsas sahəsi S o ilə h hündürlüyünün hasilinə bərabərdir. Bildiyimizə görə h hündürlüyü altıbucaqlı müntəzəm prizma üçün yan kənarın b uzunluğuna bərabərdir və onun əsasının sahəsi S 6-ya uyğundur, onda müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmi üçün düstur. forma alacaq:
V 6 \u003d 3 * √ 3/2 * a 2 * b.
Həndəsi məsələnin həlli nümunəsi
Altıbucaqlı müntəzəm prizma verilmişdir. Məlumdur ki, o, radiusu 10 sm olan silindrin içinə yazılıb.Prizmanın hündürlüyü iki dəfədir. daha çox tərəf onun əsasları. Şəklin həcmini tapın.
Lazımi dəyəri tapmaq üçün yan və yan qabırğanın uzunluğunu bilmək lazımdır. Müntəzəm altıbucaqlını nəzərdən keçirərkən onun həndəsi mərkəzinin ətrafında təsvir olunan dairənin ortasında yerləşdiyi göstərilmişdir. Sonuncunun radiusu məsafəyə bərabərdir mərkəzdən zirvələrin hər hansı birinə. Yəni o uzunluğa bərabərdir altıbucaqlının tərəfləri. Bu mülahizələr aşağıdakı nəticələrə gətirib çıxarır:
a = r = 10 sm;
b = h = 2*a = 20 sm.
Bu məlumatları müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmi üçün düsturla əvəz edərək, cavabı alırıq: V 6 ≈5196 sm 3 və ya təxminən 5,2 litr.
Daimi altıbucaqlı prizma- əsaslarında iki düz altıbucaqlı olan və bütün yan üzləri bu əsaslara ciddi şəkildə perpendikulyar olan prizma.
- A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 - müntəzəm altıbucaqlı prizma
- a- prizmanın əsasının kənarının uzunluğu
- h- prizmanın yan kənarının uzunluğu
- Səsas- prizmanın əsas sahəsi
- Syan.- prizmanın yan üzünün sahəsi
- Sdolu.- prizmanın ümumi səth sahəsi
- Vprizmalar- prizmanın həcmi
Prizmanın əsas sahəsi
Prizmanın əsasları tərəfləri olan düz altıbucaqlıdır a. Müntəzəm altıbucaqlının xüsusiyyətlərinə görə, bir prizmanın əsaslarının sahəsi
Bu yolla
Səsas= 3 3 √ 2 ⋅ a2
Beləliklə, belə çıxır SA B C D E F= SA1 B1 C1 D1 E1 F1 = 3 3 √ 2 ⋅ a2
Prizmanın ümumi səth sahəsi
Prizmanın ümumi səthinin sahəsi prizmanın yan üzlərinin sahələrinin və əsaslarının sahələrinin cəmidir. Prizmanın yan üzlərinin hər biri tərəfləri olan düzbucaqlıdır a Və h. Buna görə də, düzbucaqlının xüsusiyyətlərinə görə
S
yan.= a ⋅ hPrizmanın altı tərəfi və iki əsası var, buna görə də onun ümumi səthi var
Sdolu.= 6 ⋅ Syan.+ 2 ⋅ Səsas= 6 ⋅ a ⋅ h + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ a2
Prizmanın həcmi
Prizmanın həcmi onun əsasının sahəsi və hündürlüyünün məhsulu kimi hesablanır. Adi prizmanın hündürlüyü onun hər hansı yan kənarlarıdır, məsələn, kənardır A A1 . Müntəzəm altıbucaqlı prizmanın bazasında sahəsi bizə məlum olan müntəzəm altıbucaqlıdır. alırıq
Vprizmalar= Səsas⋅ A A1 = 3 3 √ 2 ⋅ a2 ⋅h
Prizmanın əsaslarında müntəzəm altıbucaqlı
Prizmanın təməlində yerləşən müntəzəm altıbucaqlı ABCDEF-i nəzərdən keçiririk.
AD, BE və CF seqmentlərini çəkin. O nöqtəsi bu seqmentlərin kəsişməsi olsun.
Düzgün altıbucaqlının xüsusiyyətlərinə görə, AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA üçbucaqları düzgün üçbucaqlardır. Buna görə də belə çıxır
A O = O D = E O = O B = C O = O F = a
M nöqtəsində CF seqmentini kəsən AE seqmentini çəkirik. AEO üçbucağı ikitərəflidir, onda A O = O E = a , ∠ E O A = 120 ∘ . İkitərəfli üçbucağın xüsusiyyətlərinə görə.
A E = a ⋅ 2 (1 − cos E O A )− − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅ a
Eynilə, biz belə nəticəyə gəlirik A C = C E = 3 √ ⋅ a, F M = M O = 1 2 ⋅ a.
Biz tapdıq E A1
ÜçbucaqdaA E A1 :
- A A1 = h
- A E = 3 √ ⋅ a- yeni bildiyimiz kimi
- ∠ E A A1 = 90 ∘
A E A1
E A1 = A A2 1 + A E2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 3 ⋅ a2 − − − − − − − − √
Əgər h = a, sonra E A1 = 2 ⋅ a
F B1
= A C1
=B D1
=C E1
=D F1
=
h2
+
3
⋅
a2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
Üçbucaqda B E B1 :
- B B1 = h
- B E = 2 ⋅ a- çünki E O = O B = a
- ∠ E B B1 = 90 ∘ - nizamlı düz xəttin xassələrinə görə
Beləliklə, üçbucağın olduğu ortaya çıxır B E B1 düzbucaqlı. Düzbucaqlı üçbucağın xüsusiyyətlərinə görə
E B1 = B B2 1 + B E2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √
Əgər h = a, sonra
E B1 = 5 √ ⋅ a
Oxşar əsaslandırmadan sonra bunu əldə edirik F C1
= A D1
=B E1
=C F1
=D A1
=
h2
+
4
⋅
a2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
Biz tapdıq O F1
Üçbucaqda F O F1 :
- F F1 = h
- F O = a
- ∠ O F F1 = 90 ∘ - müntəzəm prizmanın xüsusiyyətlərinə görə
Beləliklə, üçbucağın olduğu ortaya çıxır F O F1 düzbucaqlı. Düzbucaqlı üçbucağın xüsusiyyətlərinə görə
O F1 = F F2 1 +O F2 − − − − − − − − − − √ = h2 + a2 − − − − − − √
Əgər h = a, sonra
Fərqli prizmalar bir-birindən fərqlidir. Eyni zamanda, onların çoxlu ortaq cəhətləri var. Prizmanın əsasının sahəsini tapmaq üçün onun hansı növə bənzədiyini anlamaq lazımdır.
Ümumi nəzəriyyə
Prizma, tərəfləri paraleloqram şəklində olan hər hansı çoxüzlüdür. Üstəlik, hər hansı bir polihedron onun əsasında ola bilər - üçbucaqdan n-bucaqlıya qədər. Üstəlik, prizmanın əsasları həmişə bir-birinə bərabərdir. Yan üzlərə nə aid edilmir - onlar ölçüdə əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənə bilər.
Problemləri həll edərkən, qarşılaşılan təkcə prizmanın əsas sahəsi deyil. Yan səthi, yəni əsas olmayan bütün üzləri bilmək lazım ola bilər. Tam səth artıq prizmanı təşkil edən bütün üzlərin birliyi olacaqdır.
Bəzən vəzifələrdə yüksəkliklər görünür. Əsaslara perpendikulyardır. Çoxüzlülərin diaqonalı eyni sifətə aid olmayan istənilən iki təpəni cüt-cüt birləşdirən seqmentdir.
Qeyd etmək lazımdır ki, düz və ya meylli prizmanın əsasının sahəsi onların və yan üzlər arasındakı bucaqdan asılı deyil. Əgər onların yuxarı və aşağı üzlərində eyni fiqurlar varsa, onda onların sahələri bərabər olacaq.
üçbucaqlı prizma
Onun bazasında üç təpəsi olan bir fiqur, yəni üçbucaq var. Fərqli olduğu məlumdur. Əgər onda onun sahəsinin ayaqların məhsulunun yarısı ilə müəyyən edildiyini xatırlamaq kifayətdir.
Riyazi qeyd belə görünür: S = ½ av.
Baza sahəsini tapmaq üçün ümumi görünüş, düsturlar faydalıdır: Heron və tərəfin yarısının ona çəkilmiş hündürlüyə götürüldüyü biri.
Birinci düstur belə yazılmalıdır: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Bu giriş yarım perimetri (p) ehtiva edir, yəni üç tərəfin cəmi ikiyə bölünür.
İkinci: S = ½ n a * a.
Düzgün olan üçbucaqlı prizmanın əsasının sahəsini bilmək istəyirsinizsə, onda üçbucaq bərabərtərəfli olur. Onun öz düsturu var: S = ¼ a 2 * √3.
dördbucaqlı prizma
Onun əsası məlum dördbucaqlılardan hər hansı biridir. Bu düzbucaqlı və ya kvadrat, paralelepiped və ya romb ola bilər. Hər bir halda, prizmanın əsasının sahəsini hesablamaq üçün öz düsturunuza ehtiyacınız olacaq.
Baza düzbucaqlıdırsa, onda onun sahəsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir: S = av, burada a, b düzbucaqlının tərəfləridir.
Dördbucaqlı prizmaya gəldikdə, adi prizmanın əsas sahəsi kvadrat üçün düsturdan istifadə edərək hesablanır. Çünki təməldə yatan odur. S \u003d a 2.
Baza paralelepiped olduqda, aşağıdakı bərabərlik tələb olunacaq: S \u003d a * n a. Elə olur ki, paralelepipedin bir tərəfi və bucaqlarından biri verilir. Sonra hündürlüyü hesablamaq üçün əlavə bir düsturdan istifadə etməlisiniz: na \u003d b * sin A. Üstəlik, A bucağı "b" tərəfinə bitişikdir və hündürlük na bu bucağın əksinədir.
Əgər romb prizmanın təməlində yerləşirsə, onun sahəsini təyin etmək üçün paraleloqramdakı kimi eyni düstur lazım olacaq (çünki bu, xüsusi haldır). Ancaq bundan da istifadə edə bilərsiniz: S = ½ d 1 d 2. Burada d 1 və d 2 rombun iki diaqonalıdır.
Daimi beşbucaqlı prizma
Bu iş çoxbucaqlının sahələrini tapmaq daha asan olan üçbucaqlara bölməyi nəzərdə tutur. Baxmayaraq ki, rəqəmlər fərqli sayda uclarla ola bilər.
Prizmanın əsası düzgün beşbucaqlı olduğundan onu beş bərabərtərəfli üçbucağa bölmək olar. Sonra prizmanın əsasının sahəsi beşə vurulan belə bir üçbucağın sahəsinə bərabərdir (düstur yuxarıda görünə bilər).
Daimi altıbucaqlı prizma
Beşbucaqlı prizma üçün təsvir edilən prinsipə əsasən, əsas altıbucaqlını 6 bərabərtərəfli üçbucağa bölmək olar. Belə bir prizmanın əsasının sahəsi üçün düstur əvvəlkinə bənzəyir. Yalnız altı ilə vurulmalıdır.
Düstur belə görünəcək: S = 3/2 və 2 * √3.
Tapşırıqlar
№ 1. Müntəzəm düz xətt verilmişdir.Onun diaqonalı 22 sm, polihedrin hündürlüyü 14 sm-dir.Prizmanın əsasının və bütün səthinin sahəsini hesablayın.
Həll. Prizmanın əsası kvadratdır, lakin tərəfi məlum deyil. Onun qiymətini kvadratın (x) diaqonalından tapa bilərsiniz, bu prizmanın diaqonalı (d) və hündürlüyü (h) ilə bağlıdır. x 2 \u003d d 2 - n 2. Digər tərəfdən, bu "x" seqmenti ayaqları kvadratın tərəfinə bərabər olan üçbucağın hipotenuzudur. Yəni x 2 \u003d a 2 + a 2. Beləliklə, məlum olur ki, 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
d əvəzinə 22 rəqəmini əvəz edin və "n" dəyərini - 14 ilə əvəz edin, kvadratın tərəfinin 12 sm olduğu ortaya çıxdı. İndi əsas sahəsini tapmaq asandır: 12 * 12 \u003d 144 sm 2 .
Bütün səthin sahəsini tapmaq üçün əsas sahəsinin dəyərini iki dəfə əlavə etmək və tərəfi dörd dəfə artırmaq lazımdır. Sonuncunu düzbucaqlı üçün düsturla tapmaq asandır: polihedronun hündürlüyünü və təməlin tərəfini çoxaltın. Yəni 14 və 12, bu rəqəm 168 sm 2-ə bərabər olacaq. Prizmanın ümumi səthinin sahəsi 960 sm 2 olduğu müəyyən edilmişdir.
Cavab verin. Prizmanın əsas sahəsi 144 sm2-dir. Bütün səth - 960 sm 2.
No 2. Dana Bazada tərəfi 6 sm olan üçbucaq yerləşir.Bu halda yan üzün diaqonalı 10 sm-dir.Sahələri hesablayın: əsas və yan səth.
Həll. Prizma nizamlı olduğundan, onun əsası belədir bərabərtərəfli üçbucaq. Buna görə də, onun sahəsi 6 kvadrat çarpı ¼ və kvadrat kökü 3-ə bərabər olur. Sadə bir hesablama nəticəyə gətirib çıxarır: 9√3 sm 2. Bu prizmanın bir əsasının sahəsidir.
Bütün yan üzlər eynidir və tərəfləri 6 və 10 sm olan düzbucaqlıdır.Onların sahələrini hesablamaq üçün bu ədədləri çoxaltmaq kifayətdir. Sonra onları üçə vurun, çünki prizmanın tam olaraq çoxlu yan üzü var. Sonra yan səthin sahəsi 180 sm 2 sarılır.
Cavab verin. Sahələr: əsas - 9√3 sm 2, prizmanın yan səthi - 180 sm 2.