“Y=ax 2 funksiyası, onun qrafiki və xassələri” təqdimatı əyani yardım, bu mövzuda müəllimin izahatını müşayiət etmək üçün yaradılmışdır. Bu təqdimatda kvadrat funksiya, onun xassələri, qrafiklərin qurulması xüsusiyyətləri və fizikada məsələlərin həlli üçün istifadə olunan metodların praktiki tətbiqi ətraflı müzakirə olunur.
Yüksək dərəcədə aydınlıq təmin edən bu material müəllimə tədrisin effektivliyini artırmağa kömək edəcək və dərsdə vaxtı daha rasional bölüşdürməyə imkan verəcəkdir. Animasiya effektlərindən istifadə, anlayışları vurğulamaq və mühüm məqamlar rəng, şagirdlərin diqqəti öyrənilən mövzuya yönəldilir, problemlərin həlli zamanı təriflərin və mülahizələrin gedişatının daha yaxşı yadda saxlanmasına nail olunur.
Təqdimat təqdimatın adı və kvadrat funksiya anlayışı ilə başlanır. Bu mövzunun əhəmiyyəti vurğulanır. Şagirdlərdən müstəqil dəyişən olan və a≠0 olan ədədlər olan y=ax 2 +bx+c formasının funksional asılılığı kimi kvadrat funksiyanın tərifini xatırlamaq xahiş olunur. Ayrı-ayrılıqda, 4-cü slaydda bu funksiyanın təyinetmə sahəsinin real dəyərlərin bütün oxu olduğunu xatırlamaq üçün qeyd olunur. Şərti olaraq bu ifadə D(x)=R ilə işarələnir.
Kvadrat funksiyaya misal olaraq onun fizikada mühüm tətbiqi - vaxt üzrə vahid sürətlənmiş hərəkət zamanı yolun asılılığının düsturunu göstərmək olar. Eyni zamanda fizika dərslərində şagirdlər düsturları öyrənirlər müxtəlif növlər hərəkətlər, buna görə də bu cür problemləri həll etmək qabiliyyətinə ehtiyac duyacaqlar. 5-ci slaydda şagirdlərə xatırladılır ki, cisim sürətlənmə ilə hərəkət etdikdə və vaxtın əvvəlində qət olunmuş məsafəni hesabladıqda və hərəkət sürəti məlum olduqda, belə hərəkəti təmsil edən funksional asılılıq S = (at) düsturu ilə ifadə olunacaq. 2)/2+v 0 t+S 0 . Aşağıda sürətlənmə dəyərləri = 8, başlanğıc sürət = 3 və başlanğıc yol = 18 olarsa, bu düsturun verilmiş kvadratik funksiyaya çevrilməsi nümunəsidir. Bu halda funksiya S=4t 2 +3t+18 formasını alacaq.
6-cı slaydda y=ax 2 kvadrat funksiyasının təmsil olunduğu forması araşdırılır. Əgər =1 olarsa, onda kvadrat funksiya y=x 2 formasına malikdir. Qeyd olunur ki, bu funksiyanın qrafiki parabola olacaq.
Təqdimatın növbəti hissəsi kvadratik funksiyanın qrafikini tərtib etməyə həsr edilmişdir. y=3x 2 funksiyasının qrafikini tərtib etmək təklif olunur. Birincisi, cədvəl funksiya dəyərləri ilə arqument dəyərləri arasındakı uyğunluğu göstərir. Qeyd olunur ki, y=3x 2 funksiyasının qurulmuş qrafiki ilə y=x 2 funksiyasının qrafiki arasındakı fərq ondan ibarətdir ki, hər bir qiymət uyğun olandan üç dəfə böyük olacaqdır. Bu fərq cədvəl görünüşündə yaxşı izlənilir. Yaxınlıqda, qrafik təsvirdə parabolanın daralma fərqi də aydın görünür.
Növbəti slayd y=1/3 x 2 kvadratik funksiyasının qrafikinə baxır. Qrafik qurmaq üçün onun bir sıra nöqtələrində funksiyanın qiymətlərini cədvəldə göstərməlisiniz. Qeyd olunur ki, y=1/3 x 2 funksiyasının hər bir qiyməti y=x 2 funksiyasının müvafiq qiymətindən 3 dəfə azdır. Bu fərq, cədvələ əlavə olaraq, qrafikdə aydın görünür. Onun parabolası y=x 2 funksiyasının paraboluna nisbətən ordinat oxuna nisbətən daha genişlənmişdir.
Nümunələr başa düşməyə kömək edir ümumi qayda, buna görə siz daha sadə və tez müvafiq qrafikləri qura bilərsiniz. 9-cu slaydda ayrıca bir qayda vurğulanır ki, y=ax 2 kvadrat funksiyasının qrafiki əmsalın qiymətindən asılı olaraq qrafiki uzatmaq və ya daraltmaqla qurmaq olar. Əgər a>1 olarsa, onda qrafik x oxundan bir əmsalla uzanır. Əgər 0 y=ax 2 və y=-ax2 (≠0-da) funksiyalarının qrafiklərinin absis oxuna nisbətən simmetriyası haqqında nəticə yadda saxlamaq üçün 12-ci slaydda ayrıca vurğulanır və müvafiq qrafikdə aydın şəkildə göstərilir. Sonra y=x 2 kvadrat funksiyasının qrafiki anlayışı y=ax 2 funksiyasının daha ümumi halına qədər genişləndirilir və belə bir qrafikin həm də parabola adlanacağını bildirir. 14-cü slaydda y=ax 2 kvadrat funksiyasının müsbət olduqda xassələri müzakirə olunur. Qeyd olunur ki, onun qrafiki koordinatların başlanğıcından keçir və yuxarı yarımmüstəvidə yalandan başqa bütün nöqtələr. Arqumentin əks qiymətlərinin eyni funksiya qiymətlərinə uyğun olduğunu göstərən ordinat oxuna nisbətən qrafikin simmetriyası qeyd olunur. Göstərilir ki, bu funksiyanın azalma intervalı (-∞;0], funksiyanın artırılması isə interval üzrə yerinə yetirilir. Bu funksiyanın qiymətləri real oxun bütün müsbət hissəsini əhatə edir, o, nöqtədə sıfıra bərabərdir və ən böyük dəyəri yoxdur. Slayd 15 mənfi olarsa y=ax 2 funksiyasının xassələrini təsvir edir. Qeyd olunur ki, onun qrafiki də başlanğıc nöqtəsindən keçir, lakin onun bütün nöqtələri, istisna olmaqla, aşağı yarımmüstəvidə yerləşir. Qrafik ox üzərində simmetrikdir və arqumentin əks dəyərləri funksiyanın bərabər qiymətlərinə uyğundur. Funksiya intervalda artır və azalır. Bu funksiyanın dəyərləri intervalda yerləşir, bir nöqtədə sıfıra bərabərdir və minimum dəyəri yoxdur. Nəzərə alınan xüsusiyyətləri ümumiləşdirərək 16-cı slaydda parabolanın budaqlarının aşağıya, yuxarıya doğru yönəldiyi qənaətinə gəlinir. Parabola oxa nisbətən simmetrikdir və parabolanın təpəsi onun oxu ilə kəsişdiyi nöqtədə yerləşir. y=ax 2 parabolunun təpəsi başlanğıc nöqtəsidir. Həmçinin, 17-ci slaydda parabola çevrilmələri haqqında mühüm nəticə göstərilir. O, kvadrat funksiyanın qrafikinin çevrilməsi variantlarını təqdim edir. Qeyd olunur ki, y=ax 2 funksiyasının qrafiki oxa nisbətən qrafiki simmetrik göstərməklə çevrilir. Qrafiki oxa nisbətən sıxmaq və ya uzatmaq da mümkündür. Son slayd funksiyanın qrafikinin çevrilmələri haqqında ümumi nəticələr çıxarır. Nəticələr təqdim olunur ki, funksiyanın qrafiki ox ətrafında simmetrik çevrilmə ilə alınır. Və funksiyanın qrafiki orijinal qrafiki oxdan sıxaraq və ya uzatmaqla əldə edilir. Bu vəziyyətdə, oxdan çəkilmə uzanması müşahidə olunur. Oxun 1/a dəfə sıxılması ilə işdə qrafik formalaşır. “Y=ax 2 funksiyası, onun qrafiki və xassələri” adlı təqdimatdan müəllim cəbr dərsində əyani vəsait kimi istifadə edə bilər. Həmçinin, bu dərslik mövzunu yaxşı əhatə edir, fənni dərindən başa düşür, ona görə də onu tələbələrin müstəqil öyrənməsi üçün təklif etmək olar. Bu material həm də distant təhsil zamanı müəllimə izahat verməyə kömək edəcək. Əlavə materiallar 8-ci sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Uşaqlar, son dərslərdə çoxlu sayda qrafiklər, o cümlədən bir çox parabolalar qurduq. Bu gün biz əldə etdiyimiz bilikləri ümumiləşdirəcəyik və bu funksiyanın qrafiklərini ən çox necə qurmağı öyrənəcəyik ümumi görünüş. $y=a*x^2+b*x+c$ funksiyasına baxaq. Bu funksiya “kvadrat” adlanır, çünki ən yüksək güc ikincidir, yəni kvadratdır. Əmsallar yuxarıda göstərilənlərlə eynidir. Keçən dərsdə, sonuncu misalda oxşar funksiyanın qrafikini çəkməyə baxdıq. Belə funksiyanın qrafiki əlavə koordinat sistemindən istifadə etməklə qurulur. Böyük riyaziyyatda rəqəmlər olduqca nadirdir. Demək olar ki, hər hansı bir problem ən ümumi halda sübuta yetirilməlidir. Bu gün biz belə bir sübuta baxacağıq. Uşaqlar, siz riyazi aparatın tam gücünü, həm də mürəkkəbliyini görə bilərsiniz. Mükəmməl kvadratı kvadrat trinomialdan təcrid edək: $y=a(x+l)^2+m$ qrafikini çəkmək üçün $y=ax^2$ funksiyasını çəkmək lazımdır. Bundan əlavə, parabolanın təpəsi $(-l;m)$ koordinatları olan nöqtədə yerləşəcəkdir. Misal 1. Həll. Həll. Parabola qrafiklərinin qurulmasını sadələşdirməyin bir çox yolu var. Misal 3. Həll. Orta məktəb 8-ci sinif üçün cəbr dərs qeydləri Dərsin mövzusu: Funksiya Dərsin məqsədi: Maarifləndirici: formanın kvadratik funksiyası anlayışını müəyyənləşdirin (funksiyaların qrafiklərini müqayisə edin və ), parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması düsturunu göstərin (bu düsturu praktikada tətbiq etməyi öyrət); qrafikdən kvadrat funksiyanın xassələrini təyin etmək bacarığını inkişaf etdirmək (simmetriya oxunu, parabolanın təpəsinin koordinatlarını, qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapmaq). İnkişaf etdirici: riyazi nitqin inkişafı, fikirlərini düzgün, ardıcıl və rasional ifadə etmək bacarığı; simvollardan və qeydlərdən istifadə edərək riyazi mətni düzgün yazmaq bacarığını inkişaf etdirmək; analitik təfəkkürün inkişafı; materialı təhlil etmək, sistemləşdirmək və ümumiləşdirmək bacarığı ilə tələbələrin idrak fəaliyyətinin inkişafı. Təhsil: müstəqilliyi, başqalarını dinləmək bacarığını inkişaf etdirmək, yazılı riyazi nitqdə dəqiqlik və diqqəti inkişaf etdirmək. Dərsin növü: yeni materialın öyrənilməsi. Tədris üsulları: ümumiləşdirilmiş reproduktiv, induktiv evristik. Şagirdlərin bilik və bacarıqlarına olan tələblər formanın kvadrat funksiyasının nə olduğunu, parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması düsturunu bilmək; parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarını, funksiyanın qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapmağı və kvadrat funksiyanın xassələrini təyin etmək üçün funksiyanın qrafikindən istifadə etməyi bacarmalıdır. Avadanlıq: Dərs Planı Təşkilati məqam (1-2 dəq) Biliklərin yenilənməsi (10 dəq) Yeni materialın təqdimatı (15 dəq) Yeni materialın birləşdirilməsi (12 dəq) Xülasə (3 dəq) Ev tapşırığı (2 dəq) Dərsin gedişatı Təşkilati məqam Salamlaşmaq, gəlməyənləri yoxlamaq, dəftər toplamaq. Biliklərin yenilənməsi Müəllim: Bugünkü dərsimizdə yeni mövzunu öyrənəcəyik: “Funksiya”. Ancaq əvvəlcə əvvəllər öyrənilmiş materialı təkrarlayaq. Frontal sorğu: Kvadrat funksiya nədir? (Verilmiş həqiqi ədədlərin, , həqiqi dəyişən olduğu funksiyaya kvadrat funksiya deyilir.) Kvadrat funksiyanın qrafiki nədir? (Kvadrat funksiyanın qrafiki paraboladır.) Funksiyanın xassələrini sadalayın. (Əgər , onda funksiya , -də müsbət qiymətlər alır, əgər , onda funksiya --da mənfi qiymətlər alır, funksiyanın qiyməti yalnız 0-dır; parabola ordinat oxuna görə simmetrikdir; əgər , onda funksiya -da artır. və -də azalır, əgər -də, funksiya --da artır, --da azalır.) Yeni materialın təqdimatı Müəllim: Gəlin yeni materialı öyrənməyə başlayaq. Dəftərlərinizi açın, dərsin tarixini və mövzusunu yazın. Lövhəyə diqqət yetirin. Lövhədə yazı: Nömrə. Funksiya. Müəllim: Lövhədə siz iki funksiya qrafiki görürsünüz. Birinci qrafik, ikincisi. Gəlin onları müqayisə etməyə çalışaq. Funksiyanın xüsusiyyətlərini bilirsiniz. Onlara əsaslanaraq və qrafiklərimizi müqayisə edərək, funksiyanın xüsusiyyətlərini vurğulaya bilərik. Beləliklə, sizcə, parabolanın budaqlarının istiqamətini nə müəyyənləşdirəcək? Şagirdlər: Hər iki parabolanın budaqlarının istiqaməti əmsaldan asılı olacaq. Müəllim: Tamamilə düzdür. Hər iki parabolanın simmetriya oxuna malik olduğunu da görə bilərsiniz. Funksiyanın birinci qrafikində simmetriya oxu hansıdır? Şagirdlər: Parabola üçün simmetriya oxu ordinat oxudur. Müəllim: Düzdür. Parabolanın simmetriya oxu hansıdır? Şagirdlər: Parabolanın simmetriya oxu, ordinat oxuna paralel parabolanın təpəsindən keçən xəttdir. Müəllim: Düzdür. Beləliklə, funksiyanın qrafikinin simmetriya oxuna ordinat oxuna paralel parabolanın təpəsindən keçən düz xətt adlanacaqdır. Parabolanın təpəsi isə koordinatları olan bir nöqtədir. Onlar formula ilə müəyyən edilir: Düsturu dəftərinizə yazın və onu çərçivəyə daxil edin. Lövhədə və dəftərlərdə yazılar Parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatları. Müəllim: İndi daha aydın olmaq üçün bir misala baxaq. Nümunə 1: Parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarını tapın Həlli: Formula uyğun olaraq Müəllim: Artıq qeyd etdiyimiz kimi, simmetriya oxu parabolanın təpəsindən keçir. Lövhəyə baxın. Bu şəkli dəftərinizə çəkin. Lövhəyə və dəftərlərə yazın: Müəllim: Rəsm üzrə: - absissin parabolanın təpəsi olduğu nöqtədəki təpəsi ilə parabolun simmetriya oxunun tənliyi. Bir nümunəyə baxaq. Nümunə 2: Funksiya qrafikindən istifadə edərək parabolanın simmetriya oxunun tənliyini təyin edin. Simmetriya oxu üçün tənlik formaya malikdir: , yəni bu parabolanın simmetriya oxu üçün tənlik . Cavab: - simmetriya oxunun tənliyi. Yeni materialın birləşdirilməsi Müəllim: Lövhədə yazılmış tapşırıqlar var ki, onları sinifdə həll etmək lazımdır. Şura girişi: № 609(3), 612(1), 613(3) Müəllim: Ancaq əvvəlcə dərslikdən deyil, bir nümunə həll edək. Şurada qərar verəcəyik. Nümunə 1: Parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarını tapın Cavab: parabolanın təpəsinin koordinatları. Nümunə 2: Parabolanın kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapın Həlli: 1) Ox ilə: Bunlar. Vyeta teoreminə görə: X oxu ilə kəsişmə nöqtələri (1;0) və (2;0). Təcrübə göstərir ki, kvadrat funksiyanın xassələri və qrafikləri üzrə tapşırıqlar ciddi çətinliklər yaradır. Bu olduqca qəribədir, çünki onlar 8-ci sinifdə kvadrat funksiyanı öyrənirlər, sonra 9-cu sinfin birinci rübü ərzində parabolanın xassələrinə “əzab verirlər” və müxtəlif parametrlər üçün qrafiklərini qururlar. Bu onunla əlaqədardır ki, tələbələri parabolalar qurmağa məcbur edən zaman onlar praktiki olaraq qrafikləri “oxumağa” vaxt ayırmırlar, yəni şəkildən alınan məlumatları dərk etməyə məşq etmirlər. Görünür, güman edilir ki, onlarla və ya iki qrafik qurduqdan sonra ağıllı şagird özü düsturdakı əmsallarla qrafikin görünüşü arasında əlaqəni kəşf edib formalaşdıracaq. Praktikada bu işləmir. Belə bir ümumiləşdirmə üçün riyazi mini-tədqiqatda ciddi təcrübə tələb olunur, əlbəttə ki, doqquzuncu sinif şagirdlərinin əksəriyyəti buna malik deyil. Bu arada Dövlət Müfəttişliyi qrafikdən istifadə etməklə əmsalların əlamətlərini müəyyən etməyi təklif edir. Biz məktəblilərdən qeyri-mümkün olanı tələb etməyəcəyik və sadəcə olaraq belə problemlərin həlli üçün alqoritmlərdən birini təklif edəcəyik. Beləliklə, formanın bir funksiyası y = ax 2 + bx + c kvadrat adlanır, onun qrafiki paraboladır. Adından da göründüyü kimi, əsas termindir balta 2. Yəni A sıfıra bərabər olmamalıdır, qalan əmsallar ( b Və ilə) sıfıra bərabər ola bilər. Onun əmsallarının işarələrinin parabolanın görünüşünə necə təsir etdiyini görək. Əmsal üçün ən sadə asılılıq A. Əksər məktəblilər əminliklə cavab verirlər: “əgər A> 0, onda parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəldilir və əgər A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0. y = 0,5x 2 - 3x + 1 IN bu halda A = 0,5 Və indi üçün A < 0: y = - 0,5x2 - 3x + 1 Bu halda A = - 0,5 Əmsalın təsiri ilə Onu izləmək də olduqca asandır. Təsəvvür edək ki, bir nöqtədə funksiyanın qiymətini tapmaq istəyirik X= 0. Düsturda sıfırı əvəz edin: y = a 0 2 + b 0 + c = c. Belə çıxır ki y = c. Yəni ilə parabolanın y oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin ordinatıdır. Tipik olaraq, bu nöqtəni qrafikdə tapmaq asandır. Və onun sıfırdan yuxarı və ya aşağıda olduğunu müəyyənləşdirin. Yəni ilə> 0 və ya ilə < 0. ilə > 0: y = x 2 + 4x + 3 ilə < 0 y = x 2 + 4x - 3 Müvafiq olaraq, əgər ilə= 0, onda parabola mütləq başlanğıcdan keçəcəkdir: y = x 2 + 4x Parametrlə daha çətindir b. Onu tapacağımız nöqtə təkcə ondan asılı deyil b həm də dən A. Bu parabolanın yuxarı hissəsidir. Onun absisi (ox koordinatı X) düsturu ilə tapılır x in = - b/(2a). Beləliklə, b = - 2ax in. Yəni, aşağıdakı kimi hərəkət edirik: qrafikdə parabolanın təpəsini tapırıq, onun absis işarəsini təyin edirik, yəni sıfırın sağına baxırıq ( x in> 0) və ya sola ( x in < 0) она лежит. Lakin, bu, hamısı deyil. Əmsalın işarəsinə də diqqət yetirməliyik A. Yəni parabolanın budaqlarının hara yönəldiyinə baxın. Və yalnız bundan sonra, formulaya uyğun olaraq b = - 2ax in işarəsini təyin edin b. Bir misala baxaq: Budaqlar yuxarıya doğru yönəldilir, yəni A> 0, parabola oxu kəsir saat sıfırdan aşağı, yəni ilə < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Beləliklə b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, ilə < 0. Eksponensial funksiya haqqında arayış məlumatları - əsas xüsusiyyətlər, qrafiklər və düsturlar təqdim edir. Aşağıdakı məsələlər nəzərdən keçirilir: tərif sahəsi, dəyərlər toplusu, monotonluq, tərs funksiya, törəmə, inteqral, dərəcə sıralarının genişləndirilməsi və kompleks ədədlərdən istifadə edərək təmsili. y = a x eksponensial funksiyası həqiqi ədədlər çoxluğunda aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir (): Digər faydalı düsturlar. ,
,
,
,
.
Şəkil eksponensial funksiyanın qrafiklərini göstərir Artan, enən Tərs funksiya Əsası a olan eksponensial funksiyanın tərsi a əsasının loqarifmidir. Eksponensial funksiyanın diferensiallaşdırılması Eksponensial funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün onun əsasını e ədədinə endirmək, törəmələr cədvəlini və mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq qaydasını tətbiq etmək lazımdır. və törəmələr cədvəlindən formula: .
Funksiyanın törəməsini tapın Həll
Eksponensial funksiyanın əsasını e ədədi ilə ifadə edək. Cavab verin
Kompleks ədəd funksiyasını nəzərdən keçirək z:
Mövzu üzrə təqdimat və dərs:
"$y=ax^2+bx+c$ funksiyasının qrafiki. Xüsusiyyətlər"
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.
Dərslik üçün dərslik Dorofeev G.V. Nikolsky S.M. tərəfindən dərslik üçün dərslik.
$a*x^2+b*x+c$ kvadrat üçhəcminə baxaq. $a, b, c$ əmsalları adlanır. Onlar istənilən rəqəm ola bilər, lakin $a≠0$. $a*x^2$ aparıcı termin adlanır, $a$ aparıcı əmsaldır. Qeyd etmək lazımdır ki, $b$ və $c$ əmsalları sıfıra bərabər ola bilər, yəni trinomial iki şərtdən ibarət olacaq, üçüncü isə sıfıra bərabərdir.
Sübut edək ki, istənilən belə kvadrat funksiyanı aşağıdakı formaya endirmək olar: $y=a(x+l)^2+m$.
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
İstədiyimizi aldıq.
İstənilən kvadrat funksiya aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:
$y=a(x+l)^2+m$, burada $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Deməli, $y=a*x^2+b*x+c$ funksiyamız paraboladır.
Parabolanın oxu $x=-\frac(b)(2a)$ düz xətti olacaq və parabolanın absis oxu boyunca təpənin koordinatları, gördüyümüz kimi, düsturla hesablanır: $. x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Parabolanın təpəsinin y oxu koordinatını hesablamaq üçün aşağıdakıları edə bilərsiniz:
Bir təpənin ordinatını necə hesablamaq olar? Yenə də seçim sizindir, lakin adətən ikinci metodu hesablamaq daha asan olacaq.
Bəzi xassələri təsvir etmək və ya bəzi xüsusi suallara cavab vermək lazımdırsa, həmişə funksiyanın qrafikini qurmağa ehtiyac yoxdur. Tikintisiz cavablandırıla bilən əsas sualları aşağıdakı nümunədə nəzərdən keçirəcəyik.
$y=4x^2-6x-3$ funksiyasının qrafikini çəkmədən cavab verin aşağıdakı suallar:
a) Parabolanın oxu düz xəttdir $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3) )(4)$ .
b) $x_(c)=\frac(3)(4)$-dan yuxarı təpənin absissini tapdıq.
Təpənin ordinatını orijinal funksiyaya birbaşa əvəz etməklə tapırıq:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4) )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) $y=4x^2$ qrafikinin paralel köçürülməsi ilə tələb olunan funksiyanın qrafiki alınacaq. Onun budaqları yuxarı baxır, yəni orijinal funksiyanın parabolunun budaqları da yuxarı baxacaq.
Ümumiyyətlə, $a>0$ əmsalı varsa, o zaman filiallar yuxarıya baxır, əgər $a əmsalı olarsa
Misal 2.
Funksiyanın qrafiki: $y=2x^2+4x-6$.
Parabolanın təpəsinin koordinatlarını tapaq:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Koordinat oxunda təpənin koordinatını qeyd edək. Bu nöqtədə sanki yeni koordinat sistemində $y=2x^2$ parabola quracağıq.
Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın: $[-1;6]$ seqmentində $y=-x^2+6x+4$.
Bu funksiyanın qrafikini quraq, tələb olunan intervalı seçək və qrafikimizin ən aşağı və ən yüksək nöqtələrini tapaq.
Parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarını tapaq:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
$(3;13)$ koordinatları olan nöqtədə $y=-x^2$ parabola qururuq. 
Lazım olan intervalı seçək. 
Ən aşağı nöqtənin koordinatı -3, ən yüksək nöqtənin koordinatı 13-dür.
$y_(ad)=-3$; $y_(maksimum)=13$.Müstəqil həll ediləcək problemlər
1. $y=-3x^2+12x-4$ funksiyasının qrafikini çəkmədən aşağıdakı suallara cavab verin:
a) Parabolanın oxu kimi xidmət edən düz xətti müəyyən edin.
b) Təpənin koordinatlarını tapın.
c) Parabola hansı tərəfi göstərir (yuxarı və ya aşağı)?
2. Funksiyanın qrafikini çəkin: $y=2x^2-6x+2$.
3. Funksiyanın qrafikini qurun: $y=-x^2+8x-4$.
4. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın: $[-5;2]$ seqmentində $y=x^2+4x-3$. 
.
koordinat oxları ilə.
Eksponensial funksiyanın xassələri
(1.1)
müəyyən və davamlı, üçün, hamı üçün;
(1.2)
a ≠ üçün 1
çoxlu mənaları var;
(1.3)
-da ciddi şəkildə artır, -də ciddi şəkildə azalır,
-də sabitdir;
(1.4)
at ;
at ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
.
Fərqli eksponent bazası olan eksponensial funksiyaya çevirmək üçün düstur:
b = e olduqda, eksponensial funksiyanın ifadəsini eksponensial vasitəsilə əldə edirik: Şəxsi dəyərlər
a əsasının müxtəlif qiymətləri üçün y = a x.
y (x) = balta
dörd dəyər üçün dərəcə əsasları: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
və a = 1/8
. 1
Görünür ki, bir > üçün 0
< a < 1
eksponensial funksiya monoton şəkildə artır. A dərəcəsinin bazası nə qədər böyükdürsə, böyümə də bir o qədər güclüdür. Ateksponensial funksiya monoton şəkildə azalır. a eksponenti nə qədər kiçik olsa, azalma bir o qədər güclü olar.
Üçün eksponensial funksiya ciddi şəkildə monotondur və buna görə də ekstremum yoxdur. Onun əsas xüsusiyyətləri cədvəldə təqdim olunur. 1
y = a x , a > 0
< a < 1
y = balta, - ∞ < x < + ∞
- ∞ < x < + ∞
Tərif sahəsi 0
< y < + ∞
0
< y < + ∞
Dəyərlər diapazonu Monoton monoton şəkildə artır
monoton şəkildə azalır 0
Sıfırlar, y = Sıfırlar, y =
yox 0
Ordinat oxu ilə kəsişən nöqtələr, x = 1
Ordinat oxu ilə kəsişən nöqtələr, x = 1
+ ∞
0
0
+ ∞
y=
.
Əgər, onda
.
Əgər, onda
Bunun üçün loqarifmlərin xassəsindən istifadə etmək lazımdır
.
.
Eksponensial funksiya verilsin:
Biz onu e bazasına gətiririk:
Sonra
Törəmələr cədvəlindən əldə edirik (x dəyişənini z ilə əvəz edin):
.
Sabit olduğundan z-nin x-ə görə törəməsi bərabərdir
.
Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına görə:
.
Eksponensial funksiyanın törəməsi
n-ci dərəcəli törəmə:
.
Düsturların alınması > > >Eksponensial funksiyanın diferensiallaşdırılmasına nümunə
Ordinat oxu ilə kəsişən nöqtələr, x = 3 5 x
3 = e ln 3
Sonra
.
Dəyişən daxil edin
.
Sonra
Törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.
ildən 5ln 3 sabitdir, onda z-nin x-ə nisbətən törəməsi bərabərdir:
.
Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına əsasən, bizdə:
.
İnteqral
Kompleks ədədlərdən istifadə edən ifadələr
f (z) = a z
burada z = x + iy; 2 = - 1
.
i
Kompleks a sabitini modul r və φ arqumenti ilə ifadə edək:
Sonra
.
a = r e i φ
φ = φ φ arqumenti unikal şəkildə müəyyən edilməyib. Ümumiyyətlə,
0 + 2 πn burada n tam ədəddir. Buna görə də f funksiyası(z)
.