Riyaziyyat nədirinsanlar təbiətə və özlərinə nəzarət edirlər.
Sovet riyaziyyatçısı, akademik A.N. Kolmoqorov
Həndəsi irəliləmə.
Riyaziyyatdan qəbul imtahanlarında arifmetik irəliləyişlər üçün tapşırıqlarla yanaşı, həndəsi irəliləyiş anlayışı ilə bağlı tapşırıqlar da geniş yayılmışdır. Belə məsələləri uğurla həll etmək üçün həndəsi proqresiyanın xassələrini bilmək və onlardan istifadə etməkdə yaxşı bacarıqlara sahib olmaq lazımdır.
Bu məqalə həndəsi proqresiyanın əsas xassələrinin təqdimatına həsr edilmişdir. O, həmçinin tipik problemlərin həllinə dair nümunələr təqdim edir, riyaziyyatdan qəbul imtahanlarının tapşırıqlarından götürülmüşdür.
Əvvəlcədən həndəsi irəliləyişin əsas xüsusiyyətlərini qeyd edək və ən vacib düsturları və ifadələri xatırlayaq., bu konsepsiya ilə əlaqələndirilir.
Tərif. Rəqəmsal ardıcıllığa həndəsi irəliləyiş deyilir, əgər onun hər biri ikincidən başlayaraq əvvəlkinə bərabərdirsə, eyni ədədə vurulur. Rəqəm həndəsi irəliləyişin məxrəci adlanır.
Həndəsi irəliləmə üçündüsturlar etibarlıdır
, (1)
Harada. Formula (1) həndəsi proqresiyanın ümumi həddinin düsturu adlanır və düstur (2) həndəsi proqresiyanın əsas xassəsidir: irəliləyişin hər bir üzvü onun qonşu üzvlərinin həndəsi ortası ilə üst-üstə düşür və .
Qeyd, Məhz bu xassəsinə görə sözügedən irəliləyişin “həndəsi” adlandırılması.
Yuxarıdakı düsturlar (1) və (2) aşağıdakı kimi ümumiləşdirilmişdir:
, (3)
Cəmi hesablamaq üçün birinci həndəsi proqresiyanın üzvləriformula tətbiq edilir
təyin etsək
Harada. Çünki (6) düstur (5) düsturunun ümumiləşdirilməsidir.
Nə vaxt və həndəsi irəliləyişsonsuz azalır. Cəmi hesablamaq üçünsonsuz azalan həndəsi irəliləyişin bütün üzvlərinin düsturundan istifadə edilir
. (7)
Misal üçün , (7) düsturundan istifadə etməklə göstərmək olar, Nə
Harada. Bu bərabərliklər , (birinci bərabərlik) və , (ikinci bərabərlik) şərti ilə (7) düsturundan alınır.
Teorem.Əgər, onda
Sübut. Əgər, onda,
Teorem sübut edilmişdir.
Gəlin “Həndəsi irəliləyiş” mövzusunda məsələlərin həlli nümunələrini nəzərdən keçirməyə davam edək.
Misal 1 Verilmiş: , və . tap .
Həll.Əgər düstur (5) tətbiq edilirsə, onda
Cavab: .
Misal 2 Qoy və. tap .
Həll. və olduğundan (5), (6) düsturlarından istifadə edib tənliklər sistemini alırıq
(9) sisteminin ikinci tənliyi birinciyə bölünərsə, sonra və ya . Bundan belə çıxır . Gəlin iki halı nəzərdən keçirək.
1. Əgər , onda (9) sisteminin birinci tənliyindən əldə edirik.
2. Əgər , onda .
Misal 3 Qoy, və. tap .
Həll.(2) düsturundan belə çıxır ki, və ya. O vaxtdan bəri və ya.
Şərtlə. Bununla belə . Çünki və, onda burada tənliklər sistemimiz var
Sistemin ikinci tənliyi birinciyə bölünürsə, onda və ya .
Çünki tənliyin tək uyğun kökü var. Bu halda sistemin birinci tənliyi nəzərdə tutulur.
Formula (7) nəzərə alınmaqla, əldə edirik.
Cavab: .
Misal 4 Verilmiş: və . tap .
Həll. O vaxtdan bəri .
Çünki , sonra və ya
Formula (2) görə bizdə var. Bununla əlaqədar olaraq (10) bərabərliyindən və ya əldə edirik.
Ancaq şərtlə, buna görə də.
Misal 5 Məlumdur ki. tap .
Həll. Teoremə görə iki bərabərliyimiz var
O vaxtdan bəri və ya. Çünki, o zaman.
Cavab: .
Misal 6 Verilmiş: və . tap .
Həll. Formulu (5) nəzərə alaraq əldə edirik
O vaxtdan bəri . O vaxtdan , və sonra .
Misal 7 Qoy və. tap .
Həll. Formula (1) görə yaza bilərik
Buna görə də bizdə və ya . Məlumdur ki, və , buna görə də və .
Cavab: .
Misal 8Əgər sonsuz azalan həndəsi proqresiyanın məxrəcini tapın
Və .
Həll. (7) düsturundan belə çıxır Və . Buradan və məsələnin şərtindən tənliklər sistemini alırıq
Sistemin birinci tənliyi kvadrat olarsa, və sonra yaranan tənliyi ikinci tənliyə bölün, onda alırıq
Və ya .
Cavab: .
Misal 9, , ardıcıllığının həndəsi irəliləyiş olduğu bütün dəyərləri tapın.
Həll. Qoy, və. Həndəsi proqresiyanın əsas xassəsini təyin edən (2) düsturuna əsasən və ya yaza bilərik.
Buradan kvadrat tənliyi alırıq, kimin kökləridir Və .
Gəlin yoxlayaq: əgər, sonra və ; əgər , onda və .
Birinci halda bizdə var və , ikincidə isə - və .
Cavab: , .
Misal 10tənliyi həll edin
, (11)
harada və.
Həll. (11) tənliyinin sol tərəfi sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmidir, burada və , verilmişdir: və .
(7) düsturundan belə çıxır, Nə . Bu baxımdan (11) tənliyi formasını alır və ya . uyğun kök kvadrat tənlik edir
Cavab: .
Misal 11. P müsbət ədədlərin ardıcıllığıarifmetik irəliləyiş əmələ gətirir, A - həndəsi irəliləyiş, bunun nə ilə əlaqəsi var . tap .
Həll.Çünki arifmetik ardıcıllıq, Bu (arifmetik proqresiyanın əsas xassəsi). Çünki, sonra və ya . Bu o deməkdir ki, ki, həndəsi irəliləyişdir. Formula (2) görə, sonra bunu yazırıq.
O vaxtdan bəri və sonra . Bu halda ifadə və ya formasını alır. Şərtlə, tənlikdən beləbaxılan problemin unikal həllini əldə edirik, yəni. .
Cavab: .
Misal 12. Cəmi hesablayın
. (12)
Həll. Bərabərliyin hər iki tərəfini (12) 5-ə vurun və alın
Nəticə ifadədən (12) çıxsaq, Bu
və ya .
Hesablamaq üçün dəyərləri düsturla əvəz edirik (7) və əldə edirik. O vaxtdan bəri .
Cavab: .
Burada verilmiş problemlərin həlli nümunələri abituriyentlər üçün qəbul imtahanlarına hazırlaşarkən faydalı olacaqdır. Problemin həlli üsullarının daha dərindən öyrənilməsi üçün, həndəsi irəliləyişlə əlaqələndirilir, istifadə edilə bilər tədris təlimatları tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısından.
1. Texniki ali məktəblərə abituriyentlər üçün riyaziyyatdan tapşırıqlar toplusu / Red. M.İ. Skanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 s.
2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: məktəb kurikulumunun əlavə bölmələri. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
3. Medınski M.M. Tapşırıqlar və məşqlərdə ibtidai riyaziyyatın tam kursu. Kitab 2: Nömrələrin ardıcıllığı və irəliləmələri. – M.: Editus, 2015. - 208 s.
Hər hansı bir sualınız var?
Repetitordan kömək almaq üçün - qeydiyyatdan keçin.
sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.
Həndəsi irəliləmə riyaziyyatda hesabdan az əhəmiyyət kəsb etmir. Həndəsi irəliləyiş b1, b2,..., b[n] ədədlərinin belə ardıcıllığıdır ki, onun hər növbəti üzvü əvvəlkini sabit ədədə vurmaqla alınır. Proqresiyanın böyümə və ya azalma sürətini də xarakterizə edən bu rəqəm deyilir həndəsi irəliləyişin məxrəci və işarə edir
Həndəsi proqresiyanın tam təyin edilməsi üçün məxrəcdən əlavə onun birinci həddini bilmək və ya müəyyən etmək lazımdır. üçün müsbət dəyər məxrəc proqressiyası monoton ardıcıllıqdır və əgər bu ədədlər ardıcıllığı monoton şəkildə azalır və monoton şəkildə artırsa. Məxrəcin birinə bərabər olduğu hal praktikada nəzərə alınmır, çünki bizdə eyni ədədlər ardıcıllığı var və onların cəmlənməsi praktiki maraq kəsb etmir.
Həndəsi proqresiyanın ümumi termini düsturuna əsasən hesablanır
Həndəsi proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi düsturla müəyyən edilir
Klassik həndəsi irəliləyiş məsələlərinin həllini nəzərdən keçirək. Ən sadə başa düşüləndən başlayaq.
Misal 1. Həndəsi proqresiyanın birinci üzvü 27, məxrəci isə 1/3-dir. Həndəsi proqresiyanın ilk altı həddini tapın.
Həlli: Formaya məsələnin şərtini yazırıq
Hesablamalar üçün həndəsi irəliləyişin n-ci üzvü üçün düsturdan istifadə edirik
Buna əsaslanaraq, irəliləyişin naməlum üzvlərini tapırıq
Gördüyünüz kimi, həndəsi irəliləmənin şərtlərini hesablamaq çətin deyil. Tərəqqi özü belə görünəcək
Misal 2. Həndəsi proqresiyanın ilk üç üzvü verilmişdir: 6; -12; 24. Məxrəci və yeddinci hədi tapın.
Həlli: Tərifinə əsasən həndəsi irəliləyişin məxrəcini hesablayırıq
Məxrəci -2 olan alternativ həndəsi irəliləyiş əldə etdik. Yeddinci müddət düsturla hesablanır
Bu vəzifə həll olunur.
Misal 3. Həndəsi irəliləyiş onun iki üzvü tərəfindən verilir 
. Proqresiyanın onuncu həddi tapın.
Həll:
Verilən dəyərləri düsturlar vasitəsilə yazaq
Qaydalara görə, məxrəci tapmaq və sonra istədiyiniz dəyəri axtarmaq lazım idi, lakin onuncu müddətli üçün
Eyni düstur giriş məlumatları ilə sadə manipulyasiyalar əsasında əldə edilə bilər. Serialın altıncı terminini digərinə bölürük, nəticədə alırıq
Nəticə dəyər altıncı həddə vurularsa, onuncunu alırıq
Beləliklə, bu cür problemlər üçün sadə çevrilmələrin köməyi ilə sürətli yol düzgün həllini tapa bilərsiniz.
Misal 4. Həndəsi irəliləmə təkrarlanan düsturlarla verilir
Həndəsi irəliləyişin məxrəcini və ilk altı üzvün cəmini tapın.
Həll:
Verilən məlumatları tənliklər sistemi şəklində yazırıq
İkinci tənliyi birinciyə bölməklə məxrəci ifadə edin
Birinci tənlikdən irəliləyişin birinci üzvünü tapın
Həndəsi irəliləmənin cəmini tapmaq üçün aşağıdakı beş şərti hesablayın
Təlimat
10, 30, 90, 270...
Həndəsi irəliləyişin məxrəcini tapmaq tələb olunur.
Həll:
1 seçim. Proqresiyanın ixtiyari üzvünü götürək (məsələn, 90) və onu əvvəlkinə (30) bölək: 90/30=3.
Əgər həndəsi irəliləyişin bir neçə üzvünün cəmi və ya azalan həndəsi irəliləyişin bütün üzvlərinin cəmi məlumdursa, irəliləmənin məxrəcini tapmaq üçün müvafiq düsturlardan istifadə edin:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada Sn həndəsi irəliləyişin ilk n üzvünün cəmidir və
S = b1/(1-q), burada S sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmidir (məxrəci birdən kiçik olan irəliləyişin bütün üzvlərinin cəmi).
Misal.
Azalan həndəsi proqresiyanın birinci həddi birə, bütün üzvlərinin cəmi ikiyə bərabərdir.
Bu irəliləyişin məxrəcini müəyyən etmək tələb olunur.
Həll:
Tapşırıqdakı məlumatları düsturla əvəz edin. Alın:
2=1/(1-q), buradan – q=1/2.
Proqressiya ədədlər ardıcıllığıdır. Həndəsi proqresiyada hər bir sonrakı hədd əvvəlkini irəliləyişin məxrəci adlanan müəyyən q ədədinə vurmaqla əldə edilir.
Təlimat
Həndəsi b(n+1) və b(n) iki qonşu üzvü məlumdursa, məxrəci almaq üçün böyük ədədi özündən əvvəlkinə bölmək lazımdır: q=b(n). +1)/b(n). Bu, irəliləyişin və onun məxrəcinin tərifindən irəli gəlir. Mühüm şərt odur ki, irəliləyişin birinci həddi və məxrəci sıfıra bərabər olmasın, əks halda qeyri-müəyyən sayılır.
Beləliklə, proqressiyanın üzvləri arasında aşağıdakı əlaqələr qurulur: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) düsturu ilə məxrəci q və b1 üzvü məlum olan həndəsi irəliləmənin istənilən üzvü hesablana bilər. Həmçinin, irəliləyiş modulunun hər biri qonşu üzvlərinin orta qiymətinə bərabərdir: |b(n)|=√, buna görə də irəliləyiş onun .
Həndəsi irəliləyişin analoqu y=a^x ən sadə eksponensial funksiyadır, burada x eksponentdədir, a bəzi ədəddir. Bu zaman irəliləyişin məxrəci birinci həddlə eynidir və ədədinə bərabərdir a. y funksiyasının qiyməti kimi başa düşülə bilər n-ci dövr x arqumenti natural ədəd n (sayğac) kimi qəbul edilərsə, irəliləmələr.
Həndəsi proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi üçün mövcuddur: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Bu düstur q≠1 üçün etibarlıdır. Əgər q=1 olarsa, onda ilk n üzvün cəmi S(n)=n b1 düsturu ilə hesablanır. Yeri gəlmişkən, q birdən böyük və müsbət b1 üçün irəliləyiş artan adlanacaq. Proqresiyanın məxrəci modulu birdən çox olmadıqda, irəliləyiş azalan adlanacaqdır.
Həndəsi proqresiyanın xüsusi halı sonsuz azalan həndəsi irəliləmədir (b.u.g.p.). Məsələ ondadır ki, azalan həndəsi proqresiyanın üzvləri dəfələrlə azalacaq, lakin heç vaxt sıfıra çatmayacaq. Buna baxmayaraq, belə bir irəliləyişin bütün şərtlərinin cəmini tapmaq mümkündür. S=b1/(1-q) düsturu ilə təyin edilir. Ümumi n üzv sonsuzdur.
Necə sonsuz sayda ədəd əlavə edə biləcəyinizi və sonsuzluğu əldə edə bilməyəcəyinizi vizuallaşdırmaq üçün tort bişirin. Yarısını kəsin. Sonra yarısının 1/2 hissəsini kəsin və s. Əldə edəcəyiniz parçalar məxrəci 1/2 olan sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin üzvlərindən başqa bir şey deyil. Bütün bu parçaları birləşdirsəniz, orijinal tortu alırsınız.
Həndəsə problemləri fəza düşüncəsi tələb edən xüsusi bir məşq növüdür. Həndəsi həll edə bilmirsinizsə vəzifə aşağıdakı qaydalara əməl etməyə çalışın.
Təlimat
Problemin vəziyyətini çox diqqətlə oxuyun, nəyisə xatırlamırsınızsa və ya başa düşmürsinizsə, yenidən oxuyun.
Bunun hansı həndəsi problemlər olduğunu müəyyən etməyə çalışın, məsələn: hesablama, müəyyən dəyər tapmaq lazım olduqda, məntiqi mülahizə zəncirini tələb etmək üçün tapşırıqlar, kompas və hökmdardan istifadə edərək qurmaq üçün tapşırıqlar. Daha çox tapşırıq qarışıq tip. Problemin növünü anladıqdan sonra məntiqi düşünməyə çalışın.
Bu problem üçün lazımi teoremi tətbiq edin, şübhələr varsa və ya heç bir seçim yoxdursa, müvafiq mövzuda öyrəndiyiniz nəzəriyyəni xatırlamağa çalışın.
Problemin layihəsini də hazırlayın. Həllinizin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün məlum üsullardan istifadə etməyə çalışın.
Məsələnin həllini dəftərdə səliqəli şəkildə, ləkələr və cızıqlar olmadan tamamlayın və ən əsası - İlk həndəsi məsələləri həll etmək üçün bəlkə də vaxt və səy lazım olacaq. Bununla belə, bu prosesi mənimsədikdən sonra qoz-fındıq kimi tapşırıqları tıklamağa və bunu etməklə əylənməyə başlayacaqsınız!
Həndəsi irəliləyiş b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) ədədlərinin elə ardıcıllığıdır ki, b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Başqa sözlə desək, irəliləyişin hər bir üzvü əvvəlkindən onu q irəliləyişinin sıfırdan fərqli hansısa məxrəcinə vurmaqla alınır.
Təlimat
Proqressiya üzrə problemlər ən çox b1 irəliləyişinin birinci həddi və q irəliləyişinin məxrəci ilə bağlı sistem tərtib etməklə və ona əməl etməklə həll olunur. Tənlikləri yazmaq üçün bəzi düsturları yadda saxlamaq faydalıdır.
Proqresiyanın n-ci üzvünü irəliləyişin birinci üzvü və məxrəc vasitəsilə necə ifadə etmək olar: b(n)=b1*q^(n-1).
|q| məsələsini ayrıca nəzərdən keçirin<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Ədədlər ardıcıllığı. Həndəsi irəliləmə"
Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.
9-cu sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Səlahiyyətlər və Köklər Funksiyalar və Qrafiklər
Uşaqlar, bu gün başqa bir inkişaf növü ilə tanış olacağıq.
Bugünkü dərsimizin mövzusu həndəsi irəliləmədir.
Həndəsi irəliləmə
Tərif. İkincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlki ilə bəzi sabit ədədin hasilinə bərabər olan ədədi ardıcıllığa həndəsi irəliləmə deyilir.Ardıcıllığımızı rekursiv olaraq təyin edək: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
burada b və q müəyyən verilmiş ədədlərdir. q ədədi irəliləyişin məxrəci adlanır.
Misal. 1,2,4,8,16… Birinci üzv birə bərabər olan həndəsi irəliləyiş və $q=2$.
Misal. 8,8,8,8… Birinci həddi səkkiz olan həndəsi irəliləyiş,
və $q=1$.
Misal. 3,-3,3,-3,3... Birinci həddi üç olan həndəsi irəliləyiş,
və $q=-1$.
Həndəsi irəliləyiş monotonluq xüsusiyyətlərinə malikdir.
Əgər $b_(1)>0$, $q>1$,
sonra ardıcıllıq artır.
Əgər $b_(1)>0$, $0 Ardıcıllıq adətən belə işarələnir: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Arifmetik irəliləyişdə olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də elementlərin sayı sonludursa, o zaman irəliləyiş sonlu həndəsi irəliləyiş adlanır.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Qeyd edək ki, əgər ardıcıllıq həndəsi irəliləyişdirsə, kvadrat hədlərin ardıcıllığı da həndəsi irəliləyişdir. İkinci ardıcıllığın birinci termini $b_(1)^2$ və məxrəc $q^2$-a malikdir.
Həndəsi proqresiyanın n-ci üzvünün düsturu
Həndəsi irəliləyiş analitik formada da göstərilə bilər. Bunu necə edəcəyinə baxaq:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Nümunəni asanlıqla görə bilərik: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Bizim düsturumuz “həndəsi irəliləyişin n-ci üzvünün düsturu” adlanır.
Nümunələrimizə qayıdaq.
Misal. 1,2,4,8,16... Birinci həddi birə bərabər olan həndəsi irəliləyiş,
və $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Misal. 16,8,4,2,1,1/2… Birinci həddi on altı və $q=\frac(1)(2)$ olan həndəsi irəliləyiş.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Misal. 8,8,8,8… Birinci həddi səkkiz və $q=1$ olduğu həndəsi irəliləyiş.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Misal. 3,-3,3,-3,3… Birinci həddi üç və $q=-1$ olan həndəsi irəliləyiş.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Misal. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ həndəsi irəliləyişi verilmişdir.
a) Məlumdur ki, $b_(1)=6, q=3$. $b_(5)$ tapın.
b) Məlumdur ki, $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. n tapın.
c) Məlumdur ki, $q=-2, b_(6)=96$. $b_(1)$ tapın.
d) Məlumdur ki, $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. q tapın.
Həll.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$-dan bəri $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Misal. Həndəsi proqresiyanın yeddinci və beşinci üzvlərinin fərqi 192, irəliləyişin beşinci və altıncı üzvlərinin cəmi 192-dir. Bu irəliləyişin onuncu üzvünü tapın.
Həll.
Biz bilirik ki: $b_(7)-b_(5)=192$ və $b_(5)+b_(6)=192$.
Biz də bilirik: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Sonra:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Bir tənlik sistemi əldə etdik:
$\begin(hallar)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(hallar)$.
Tənliklərimizi bərabərləşdirərək əldə edirik:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
İki həll yolu q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
İkinci tənliyi ardıcıl olaraq əvəz edin:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ həll yoxdur.
Bunu əldə etdik: $b_(1)=4, q=2$.
Onuncu həddi tapaq: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Sonlu həndəsi irəliləyişin cəmi
Tutaq ki, sonlu həndəsi irəliləyişimiz var. Gəlin, arifmetik irəliləyiş üçün də onun üzvlərinin cəmini hesablayaq.Sonlu həndəsi irəliləyiş verilsin: $b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$.
Üzvlərinin cəminin qeydini təqdim edək: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ olduğu halda. Həndəsi proqresiyanın bütün üzvləri birinci üzvə bərabərdir, onda $S_(n)=n*b_(1)$ olduğu aydın olur.
İndi $q≠1$ məsələsinə nəzər salın.
Yuxarıdakı məbləği q-a vurun.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Qeyd:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Sonlu həndəsi irəliləyişin cəminin düsturunu əldə etdik.
Misal.
Birinci həddi 4, məxrəci 3 olan həndəsi proqresiyanın ilk yeddi üzvünün cəmini tapın.
Həll.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Misal.
Məlum olan həndəsi proqresiyanın beşinci üzvünü tapın: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Həll.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Həndəsi proqresiyanın xarakterik xassəsi
Uşaqlar, həndəsi irəliləyiş verilmişdir. Onun üç ardıcıl üzvünü nəzərdən keçirək: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Biz bilirik ki:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Sonra:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Əgər irəliləyiş sonludursa, bu bərabərlik birinci və sonuncudan başqa bütün şərtlər üçün keçərlidir.
Ardıcıllığın hansı ardıcıllığa malik olduğu əvvəlcədən məlum olmasa, lakin məlumdursa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Onda əminliklə deyə bilərik ki, bu həndəsi irəliləyişdir.
Ədəd ardıcıllığı yalnız o zaman həndəsi irəliləyiş sayılır ki, onun hər bir üzvünün kvadratı proqresiyanın iki qonşu üzvü hasilinə bərabər olsun. Unutmayın ki, sonlu irəliləyiş üçün bu şərt birinci və son müddətli dövr üçün təmin edilmir.
Gəlin bu eyniliyə baxaq: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ orta adlanır həndəsi ədədlər a və b.
Həndəsi proqresiyanın hər hansı üzvünün modulu ona bitişik olan iki üzvün həndəsi ortasına bərabərdir.
Misal.
X tapın ki, $x+2; 2x+2; 3x+3$ həndəsi proqresiyanın üç ardıcıl üzvü idi.
Həll.
Xarakterik xassədən istifadə edək:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ və $x_(2)=-1$.
Orijinal ifadədə ardıcıllıqla əvəz edin, həllərimiz:
$x=2$ ilə ardıcıllığı əldə etdik: 4;6;9 $q=1.5$ olan həndəsi irəliləyişdir.
$x=-1$ ilə ardıcıllığı əldə etdik: 1;0;0.
Cavab: $x=2.$
Müstəqil həll üçün tapşırıqlar
1. Həndəsi proqresiyanın səkkizinci birinci üzvünü tapın 16;-8;4;-2 ....2. 11,22,44... həndəsi proqresiyanın onuncu üzvünü tapın.
3. Məlumdur ki, $b_(1)=5, q=3$. $b_(7)$ tapın.
4. Məlumdur ki, $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. n tapın.
5. 3;12;48... həndəsi proqresiyanın ilk 11 üzvünün cəmini tapın.
6. X tapın ki, $3x+4; 2x+4; x+5$ həndəsi proqresiyanın üç ardıcıl üzvüdür.