Sikloid qövsün əsas ətrafında fırlanması nəticəsində yaranan cismin həcmini tapaq. Roberval onu əmələ gələn yumurta formalı gövdəni (şək. 5.1) sonsuz nazik təbəqələrə parçalayaraq, bu təbəqələrə silindrlər yazaraq və onların həcmlərini əlavə etməklə tapmışdır. Sübut uzun, yorucu və tamamilə ciddi deyil. Buna görə hesablamaq üçün müraciət edirik ali riyaziyyat. Sikloidin tənliyini parametrik olaraq təyin edək.
İnteqral hesablamada həcmləri öyrənərkən aşağıdakı qeyddən istifadə olunur:
Əgər əyrixətti trapesiyanı məhdudlaşdıran əyri parametrik tənliklərlə verilirsə və bu tənliklərdəki funksiyalar müəyyən inteqralda dəyişən teoreminin dəyişmə şərtlərini ödəyirsə, onda həcm inqilab orqanları Ox oxu ətrafında trapesiya, düsturla hesablanacaq:
Bizə lazım olan həcmi tapmaq üçün bu düsturdan istifadə edək.
Eyni şəkildə, bu cismin səthini hesablayırıq.
L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - xərc), 0 ? t ? 2р)
İnteqral hesablamada, seqmentdə parametrik olaraq müəyyən edilmiş əyrinin x oxu ətrafında inqilab cismin səthinin sahəsini tapmaq üçün aşağıdakı düstur var (t 0 ?t ?t 1):
Bu düsturu sikloid tənliyimizə tətbiq edərək əldə edirik:
Sikloid qövsün fırlanması nəticəsində yaranan başqa bir səthi də nəzərdən keçirək. Bunun üçün biz sikloid tağının əsasına nisbətən güzgü şəklini quracağıq və sikloidin əmələ gətirdiyi oval fiquru və onun əksini KT oxu ətrafında çevirəcəyik (şək. 5.2).
Əvvəlcə sikloid qövsün KT oxu ətrafında fırlanması nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini tapaq. Onun həcmini (*) düsturu ilə hesablayacağıq:
Beləliklə, bu şalgam formalı gövdənin yarısının həcmini hesabladıq. Sonra bütün həcm bərabər olacaq
İnqilab səthinin sahəsi üçün düsturlara keçməzdən əvvəl, inqilabın özünün səthinin qısa bir formulunu verəcəyik. İnqilab səthi və ya eyni şeydir, inqilab cisminin səthi bir seqmentin fırlanması ilə əmələ gələn məkan fiqurudur. AB ox ətrafında əyri öküz(aşağıdakı şəkil).
Gəlin yuxarıdan əyrinin qeyd olunan seqmenti ilə məhdudlaşan əyri trapesiya təsəvvür edək. Bu trapesiyanı eyni ox ətrafında fırlatmaqla əmələ gələn cisim öküz, və fırlanma bədənidir. İnqilab səthinin sahəsi və ya inqilab cisminin səthi düz xətlərin oxu ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan dairələri saymadan onun xarici qabığıdır. x = a Və x = b .
Qeyd edək ki, inqilab cismi və buna uyğun olaraq onun səthi də fiqurun ox ətrafında deyil, fırlanması ilə də əmələ gələ bilər. öküz, və oxun ətrafında ay.
Düzbucaqlı koordinatlarda göstərilən bir inqilab səthinin sahəsinin hesablanması
Tənliyi müstəvidə düzbucaqlı koordinatlarda edək y = f(x) koordinat oxu ətrafında fırlanması inqilab gövdəsini əmələ gətirən əyri müəyyən edilir.
İnqilabın səth sahəsini hesablamaq üçün formula aşağıdakı kimidir:
(1).
Misal 1.Öz oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn paraboloidin səth sahəsini tapın öküz dəyişikliyə uyğun gələn parabolanın qövsü x-dan x= 0-a x = a .
Həll. Parabolanın qövsünü təyin edən funksiyanı açıq şəkildə ifadə edək:
Bu funksiyanın törəməsini tapaq:
İnqilab səthinin sahəsini tapmaq üçün düsturdan istifadə etməzdən əvvəl onun inteqranının kökü təmsil edən hissəsini yazaq və orada tapdığımız törəməni əvəz edək:
Cavab: Əyri qövsünün uzunluğu
.
Misal 2. Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan səth sahəsini tapın öküz astroid.
Həll. Birinci rübdə yerləşən astroidin bir qolunun fırlanması nəticəsində yaranan səth sahəsini hesablamaq və onu 2-yə vurmaq kifayətdir. Astroid tənliyindən biz açıq şəkildə əvəz etməli olduğumuz funksiyanı ifadə edəcəyik. fırlanma səthinin sahəsini tapmaq üçün formula:
.
Biz 0-dan inteqrasiya edirik a:
Parametrik olaraq müəyyən edilmiş bir inqilab səthinin sahəsinin hesablanması
İnqilabın səthini təşkil edən əyrinin parametrik tənliklərlə verildiyi halı nəzərdən keçirək
Sonra fırlanma səthinin sahəsi düsturla hesablanır
(2).
Misal 3. Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan inqilab səthinin sahəsini tapın ay sikloid və düz xətt ilə məhdudlaşan fiqur y = a. Sikloid parametrik tənliklərlə verilir
Həll. Sikloidlə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Sikloid tənliyinin və düz xəttin tənliyinin bərabərləşdirilməsi y = a, tapaq
Buradan belə nəticə çıxır ki, inteqrasiyanın sərhədləri uyğun gəlir
İndi (2) düsturunu tətbiq edə bilərik. Gəlin törəmələri tapaq:
Tapılmış törəmələri əvəz edərək düsturda radikal ifadəni yazaq:
Bu ifadənin kökünü tapaq:
.
Tapdığımızı düstur (2) ilə əvəz edək:
.
Gəlin bir əvəz edək:
Və nəhayət tapırıq
İfadələri çevirmək üçün triqonometrik düsturlardan istifadə edilmişdir
Cavab: İnqilabın səth sahəsi .
Qütb koordinatlarında göstərilən bir inqilab səthinin sahəsinin hesablanması
Fırlanması səthi təşkil edən əyri qütb koordinatlarında göstərilsin.
Mühazirələr 8. Müəyyən inteqralın tətbiqi.
İnteqralın fiziki məsələlərə tətbiqi inteqralın çoxluq üzərindəki aşqarının xassəsinə əsaslanır. Buna görə də, inteqraldan istifadə edərək, çoxluqda özləri aşqar olan kəmiyyətlər hesablana bilər. Məsələn, bir fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəminə bərabərdir, qövs uzunluğu, səth sahəsi, cismin həcmi və cismin kütləsi eyni xüsusiyyətə malikdir. Buna görə də bütün bu kəmiyyətləri müəyyən inteqraldan istifadə etməklə hesablamaq olar.
Problemləri həll etmək üçün iki üsuldan istifadə edə bilərsiniz: inteqral cəmlər üsulu və diferensiallar üsulu.
İnteqral cəmlər üsulu müəyyən inteqralın qurulmasını təkrarlayır: bölmə qurulur, nöqtələr qeyd olunur, onlarda funksiya hesablanır, inteqral cəmi hesablanır və həddə keçid həyata keçirilir. Bu üsulda əsas çətinlik limitdə nəticənin problemdə lazım olanı tam olaraq sübut etməkdir.
Diferensial metod qeyri-müəyyən inteqraldan və Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edir. Müəyyən ediləcək kəmiyyətin diferensialı hesablanır və sonra bu diferensial inteqral edilərək Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə etməklə tələb olunan kəmiyyət alınır. Bu üsulda əsas çətinlik hesablananın başqa bir şey deyil, tələb olunan dəyərin diferensial olduğunu sübut etməkdir.
Sahələrin hesablanması düz fiqurlar.
1. Şəkil Kartezian koordinat sistemində müəyyən edilmiş funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşır.
Müəyyən bir inteqral anlayışına əyri trapezoidin sahəsi problemindən gəldik (əslində, inteqral cəmlər metodundan istifadə etməklə). Əgər funksiya yalnız qəbul edirsə mənfi dəyərlər, onda seqmentdə funksiyanın qrafikinin altındakı sahə müəyyən inteqraldan istifadə etməklə hesablana bilər. Qeyd edək ki 
ona görə də diferensiallar metodunu burada da görmək olar.
Lakin funksiya müəyyən bir seqmentdə mənfi dəyərlər də qəbul edə bilər, onda bu seqmentin üzərindəki inteqral sahənin tərifinə zidd olan mənfi sahə verəcəkdir.
Düsturdan istifadə edərək ərazini hesablaya bilərsinizS=. Bu, funksiyanın mənfi qiymətlər qəbul etdiyi sahələrdə işarəsinin dəyişdirilməsinə bərabərdir.
Yuxarıdakı funksiyanın qrafiki ilə və aşağıda funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan bir fiqurun sahəsini hesablamaq lazımdırsa, onda düsturundan istifadə edə bilərsinizS=
, çünki .
Misal. x=0, x=2 düz xətləri və y=x 2, y=x 3 funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.
Qeyd edək ki, (0,1) intervalında x 2 > x 3 bərabərsizliyi, x >1 üçün isə x 3 > x 2 bərabərsizliyi yerinə yetirilir. Buna görə
2. Şəkil qütb koordinat sistemində müəyyən edilmiş funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşır.
Qütb koordinat sistemində funksiyanın qrafiki verilsin və biz iki şüa ilə məhdudlaşan əyrixətti sektorun sahəsini və qütb koordinat sistemindəki funksiyanın qrafikini hesablamaq istəyirik.
Burada əyri bir sektorun sahəsini funksiya qrafikinin dairəvi qövslə əvəz olunduğu elementar sektorların sahələrinin cəminin həddi kimi hesablayan inteqral cəmlər metodundan istifadə edə bilərsiniz. 
.
Diferensial metoddan da istifadə edə bilərsiniz: 
.
Siz belə düşünə bilərsiniz. Mərkəzi bucağa uyğun gələn elementar əyri sektoru dairəvi sektorla əvəz edərək, nisbətimiz var. Buradan 
. Nyuton-Leybniz düsturunu birləşdirərək və istifadə edərək əldə edirik 
.
Misal. Dairənin sahəsini hesablayaq (düsturu yoxlayın). inanırıq. Dairənin sahəsi 
.
Misal. Kardioid ilə məhdudlaşan sahəni hesablayaq 
.
3 Şəkil parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşır.
Funksiya formada parametrik olaraq təyin edilə bilər. Formuladan istifadə edirik S=
, yeni dəyişən üzərində inteqrasiya sərhədlərini ona əvəz etməklə. 
. Adətən, inteqral hesablanarkən inteqral funksiyasının müəyyən işarəyə malik olduğu sahələr müəyyən edilir və bu və ya digər işarəli müvafiq sahə nəzərə alınır.
Misal. Ellipsin əhatə etdiyi sahəni hesablayın.
Ellipsin simmetriyasından istifadə edərək, birinci kvadrantda yerləşən ellipsin dörddə birinin sahəsini hesablayırıq. Bu kvadrantda. Ona görə də.
Cismlərin həcmlərinin hesablanması.
1. Paralel kəsiklərin sahələrindən cisimlərin həcmlərinin hesablanması.
OX xətti seqmentinin istənilən x nöqtəsindən çəkilmiş OX xəttinə perpendikulyar müstəvilərlə bu cismin məlum kəsik sahələrindən müəyyən V cismin həcmini hesablamaq lazım gəlsin.
Diferensiallar metodunu tətbiq edək. Elementar həcmi nəzərə alsaq, seqment üzərində düz xəttin həcmi dairəvi silindr baza sahəsi və hündürlüyü ilə alırıq 
. Nyuton-Leybnits düsturunu birləşdirərək və tətbiq edərək əldə edirik
2. İnqilab cisimlərinin həcmlərinin hesablanması.
Qoy hesablamaq lazımdır ÖKÜZ.
Sonra 
.
Eynilə, bir ox ətrafında dövr edən cismin həcmiOY, funksiya şəklində verilmişdirsə, düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər.
Funksiya formada göstərilibsə və ox ətrafında fırlanma cisminin həcmini təyin etmək tələb olunursaOY, onda həcmin hesablanması düsturu aşağıdakı kimi əldə edilə bilər.
Diferensiallara keçək və kvadrat şərtləri nəzərə almasaq, bizdə var 
. Nyuton-Leybniz düsturunu inteqrasiya edərək və tətbiq edərək, əldə edirik.
Misal. Sferanın həcmini hesablayın.
Misal. Səth və müstəvi ilə məhdudlaşan düz dairəvi konusun həcmini hesablayın.
Həcmi OZ oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn inqilab cismin həcmi kimi hesablayaq düz üçbucaq OXZ müstəvisində, ayaqları OZ oxu və z = H xətti üzərində, hipotenuzası isə xətt üzərində yerləşir.
X-i z ilə ifadə etsək, alırıq 
.
Qövs uzunluğunun hesablanması.
Qövsün uzunluğunu hesablamaq üçün düsturları əldə etmək üçün qövs uzunluğunun diferensiallanması üçün 1-ci semestrdə əldə edilmiş düsturları xatırlayın.
Qövs davamlı diferensiallanan funksiyanın qrafikidirsə, qövs uzunluğu diferensialını düsturdan istifadə etməklə hesablamaq olar
. Buna görə 
Hamar bir qövs parametrik olaraq təyin olunarsa, Bu
. Buna görə 
.
Qövs qütb koordinat sistemində göstərilibsə, Bu
. Buna görə 
.
Misal. Funksiyanın qrafikinin qövsünün uzunluğunu hesablayın, . 
.
haqqında dərslərdə müstəvidə düz xəttin tənliyi Və fəzada düz xəttin tənlikləri.
Köhnə bir dostla tanış olun:
Əyrixətti trapesiya qürurla bir qrafiklə taclanır və bildiyiniz kimi, sahəsi müəyyən inteqraldan istifadə etməklə hesablanır elementar düstura görə və ya qısaca: .
Nə zaman vəziyyəti nəzərdən keçirək eyni funksiya parametrik formada verilir.
Bu vəziyyətdə ərazini necə tapmaq olar?
Bəzilərində olduqca spesifik parametrin dəyəri, parametrik tənliklər nöqtənin koordinatlarını təyin edəcək və digəri üçün olduqca spesifik dəyər – nöqtənin koordinatları. “te” inklüzivdən daxil olana dəyişdikdə, parametrik tənliklər əyrini “çəkir”. Düşünürəm ki, inteqrasiyanın sərhədləri ilə bağlı hər şey aydın oldu. İndi inteqrala əvəzinə"X" və "Y" funksiyaları əvəz edirik və diferensial açırıq:
Qeyd : funksiyalarının olduğu güman edilir davamlı inteqrasiya intervalı və əlavə olaraq funksiya haqqında monoton onun üzərində.
Bir inqilab cisminin həcminin düsturu da sadədir:
Əyri trapesiyanı ox ətrafında fırlatmaqla əldə edilən cismin həcmi düsturla hesablanır 
və ya: . Biz ona parametrik funksiyaları, eləcə də inteqrasiya limitlərini əvəz edirik:
Zəhmət olmasa hər iki iş düsturunu arayış kitabçanıza qeyd edin.
Müşahidələrimə görə, həcmi tapmaqda problemlər olduqca nadirdir və buna görə də bu dərsdəki nümunələrin əhəmiyyətli bir hissəsi sahənin tapılmasına həsr olunacaq. İşləri uzun müddət təxirə salmayaq:
Misal 1
Əyri trapezoidin sahəsini hesablayın 
, Əgər
Həll: düsturdan istifadə edin 
.
Həmişə və hər yerdə başa düşülən bir mövzuda klassik problem:
Misal 2
Ellipsin sahəsini hesablayın
Həll: müəyyənlik üçün parametrik tənliklərin müəyyən etdiyini fərz edirik kanonik ellips mərkəzi başlanğıcda, yarım böyük ox “a” və yarım kiçik ox “be” ilə. Yəni şərtə görə bizə bundan başqa heç nə təklif olunmur
ellipsin sahəsini tapın
Aydındır ki, parametrik funksiyalar dövridir və . Düsturu doldura biləcəyiniz görünür, amma hər şey o qədər də şəffaf deyil. Gəlin öyrənək istiqamət, hansı parametrik tənliklərdə ellips “çəkir”. Bələdçi olaraq, ən sadə parametr dəyərlərinə uyğun gələn bir neçə nöqtə tapacağıq: 
“Te” parametri sıfırdan “iki pi”yə dəyişdikdə parametrik tənliklərin ellips “çəkdiyini” başa düşmək asandır. saat yönünün əksinə:
Fiqurun simmetriyasına görə, biz 1-ci koordinat rübündə sahənin hissəsini hesablayırıq və nəticəni 4-ə vururuq. Burada əsas olaraq yuxarıda şərh etdiyim eyni mənzərəni görürük: parametrik tənliklər qövsünü “çəkir”. oxun "əks istiqamətdə" ellips, lakin sahə rəqəmləri soldan sağa sayılır! Buna görə aşağı inteqrasiya limiti qiymətə uyğundur və üst limit – dəyər.
Artıq dərsdə məsləhət verdiyim kimi Qütb koordinatlarında sahə, dördqat nəticə daha yaxşıdır dərhal:
İnteqral (əgər kimsə birdən belə inanılmaz boşluq aşkar edərsə) sinifdə təhlil edildi Triqonometrik funksiyaların inteqralları.
Cavab verin:
Əslində, biz ərazini tapmaq üçün bir düstur əldə etdik ellips. Təcrübədə "a" və "ol" kimi xüsusi dəyərləri olan bir tapşırıqla qarşılaşsanız, problem ümumi formada həll edildiyi üçün asanlıqla barışdıra/yoxlaya bilərsiniz.
Ellipsin sahəsi də düzbucaqlı koordinatlarda hesablanır, bunun üçün tənlikdən “Y” ifadə etməli və məsələni məqalənin 4-cü misalında olduğu kimi həll etməlisiniz; Müəyyən inteqralların həlli üçün effektiv üsullar. Bu nümunəyə baxdığınızdan əmin olun və parametrik olaraq təyin olunarsa, ellipsin sahəsini hesablamaq nə qədər asan olduğunu müqayisə edin.
Və təbii ki, demək olar ki, unutdum, parametrik tənliklər qeyri-kanonik mövqedə bir çevrə və ya ellipsi təyin edə bilər.
Misal 3
Bir sikloidin bir qövsünün sahəsini hesablayın 
Problemi həll etmək üçün onun nə olduğunu bilmək lazımdır sikloid və ya heç olmasa rəsmi şəkildə rəsmi tamamlayın. Dərsin sonunda nümunə dizayn. Bununla belə, sizi uzağa göndərməyəcəyəm, bu xəttin qrafikinə aşağıdakı problemdə baxa bilərsiniz:
Misal 4
Həll: parametrik tənliklər 
sikloidi təyin edin və məhdudiyyət ondan bəhs etdiyimizi göstərir birinci qövs, parametr dəyəri daxilində dəyişdikdə "çəkilir". Nəzərə alın ki, bu "rəsm"in "düzgün" istiqaməti (soldan sağa), yəni inteqrasiyanın sərhədləri ilə bağlı heç bir problem olmayacaq. Ancaq bir çox başqa gözəl şeylər görünəcək =) Tənlik qurulur birbaşa, x oxuna paralel və əlavə şərt (sm. xətti bərabərsizliklər)
bizə aşağıdakı rəqəmin sahəsini hesablamalı olduğumuzu söyləyir: 
İstədiyiniz kölgə şəklini assosiativ olaraq "evin damı", düzbucaqlı - "evin divarı" və bütün quruluşu (divar + dam) - "evin fasadı" adlandıracağam. Baxmayaraq ki, bu bina daha çox bir növ inəkxanaya bənzəyir =)
"Dam" sahəsini tapmaq üçün "divar" sahəsini "fasad" sahəsindən çıxarmaq lazımdır.
Əvvəlcə "fasad" ilə məşğul olaq. Onun sahəsini tapmaq üçün xəttin sikloidin ilk qövsü ilə kəsişmə nöqtələrini təyin edən dəyərləri tapmaq lazımdır (nöqtələr və ). Parametrik tənliyə əvəz edək:
Triqonometrik tənliyi sadəcə baxmaqla asanlıqla həll etmək olar kosinus süjeti: intervalda bərabərlik iki köklə ödənilir: . Prinsipcə, hər şey aydındır, amma buna baxmayaraq, təhlükəsiz oynayaq və onları tənliklə əvəz edək:
– bu nöqtənin “X” koordinatıdır;
– və bu nöqtənin “X” koordinatıdır.
Beləliklə, biz əmin olduq ki, parametr dəyəri nöqtəyə, qiymət isə nöqtəyə uyğundur.
Gəlin "fasadın" sahəsini hesablayaq. Daha yığcam notasiya üçün funksiya çox vaxt birbaşa inteqralın altında fərqlənir: 
"Divarın" sahəsi düzbucaqlının bitişik tərəflərinin uzunluqlarını vuraraq "məktəb" metodundan istifadə edərək hesablana bilər. Uzunluğu göz qabağındadır, qalan onu tapmaqdır. "tse" və "be" nöqtələrinin "X" koordinatları arasındakı fərq kimi hesablanır (əvvəllər tapılmışdır):
Divar sahəsi:
Əlbəttə ki, ən sadə köməyi ilə belə tapmaqda utanc yoxdur müəyyən inteqral seqmentdəki funksiyadan:
Nəticədə, dam sahəsi:
Cavab verin: 
Və təbii ki, əgər rəsmimiz varsa, əldə edilən nəticənin həqiqətə bənzəyib-oxşamadığını qutu-qutu təxmin edirik. Oxşar
Aşağıdakı vəzifəni özünüz həll etməlisiniz:
Misal 5
Tənliklərlə verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın 
Həll alqoritmini qısaca sistemləşdirək:
– Əksər hallarda siz rəsm çəkməli və sahəsini tapmaq istədiyiniz rəqəmi müəyyənləşdirməli olacaqsınız.
– İkinci mərhələdə, tələb olunan sahənin necə hesablandığını başa düşməlisiniz: bu, tək əyri trapesiya ola bilər, sahələr fərqi ola bilər, sahələrin cəmi ola bilər - bir sözlə, baxdığımız bütün fişlər. dərsdə.
– Üçüncü addımda fiqurun simmetriyasından istifadə etməyin məqsədəuyğun olub-olmadığını təhlil etməlisiniz (əgər simmetrik olarsa) və sonra inteqrasiyanın sərhədlərini (parametrin ilkin və son qiyməti) öyrənməlisiniz. Adətən bu, ən sadə həlli tələb edir triqonometrik tənlik– burada siz analitik metoddan, qrafik metoddan və ya uyğun olaraq lazımi köklərin sadə seçimindən istifadə edə bilərsiniz triqonometrik cədvəl.
! unutma ki, parametrik tənliklər sağdan sola xətt “çəkə” bilər, bu halda işçi düsturda müvafiq qeyd və düzəliş edirik.
– Son mərhələdə isə texniki hesablamalar aparılır. Rəsmdən alınan cavabın inandırıcılığını qiymətləndirmək həmişə xoşdur.
İndi isə ulduzla çoxdan gözlənilən görüş:
Misal 6
Tənliklərlə verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın
Həll: tənliklərlə verilmiş əyridir astroid, Və xətti bərabərsizlik rəsmdəki kölgəli rəqəmi unikal şəkildə müəyyənləşdirir: 
Xəttin və astroidin kəsişmə nöqtələrini təyin edən parametr dəyərlərini tapaq. Bunu etmək üçün parametrik tənliyi əvəz edək:
Belə bir tənliyin həlli üsulları artıq yuxarıda verilmişdir, xüsusən də bu köklər asanlıqla seçilə bilər; triqonometrik cədvəl.
Şəkil x oxuna görə simmetrikdir, ona görə də sahənin yuxarı yarısını hesablayaq (mavi kölgə) və nəticəni ikiqat artıraq.
Dəyəri parametrik tənliyə əvəz edək: 
Nəticədə, astroid və düz xəttin yuxarı (bizə ehtiyacımız olan) kəsişmə nöqtəsinin "Yunan" koordinatını əldə etdik.
Astroidin sağ təpəsi açıq şəkildə dəyərə uyğundur. Hər halda yoxlayaq: 
, yoxlanılması lazım olan şeydi.
Ellipsdə olduğu kimi, parametrik tənliklər də astroidin qövsünü sağdan sola “çəkir”. Müxtəliflik üçün sonluğu ikinci şəkildə formatlayacağam: parametr limit daxilində dəyişdikdə, funksiya azalır, buna görə də (ikiqat artırmağı unutmayın!!):
İnteqral olduqca çətin oldu və "hər şeyi özünüzlə daşımamaq" üçün həlli dayandırmaq və inteqrandı ayrıca çevirmək daha yaxşıdır. Standart dərəcəsini aşağı salın istifadə etməklə triqonometrik düsturlar:
Uyğundur, son müddətdə funksiyanı diferensial işarənin altına qoyaq:
Cavab verin:
Bəli, ulduzlarla bir az çətindir =)
Aşağıdakı tapşırıq qabaqcıl tələbələr üçün nəzərdə tutulub:
Misal 7
Tənliklərlə verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın
Bunu həll etmək üçün artıq nəzərdən keçirdiyimiz kifayət qədər materiallar olacaq, lakin adi yol çox uzundur və indi sizə daha bir şey haqqında danışacağam. təsirli üsul. İdeya əslində dərsdən tanışdır Müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması– bu, “y” dəyişəni üzərində inteqrasiya və düsturun istifadəsidir 
. Parametrik funksiyaları ona əvəz edərək, güzgü işləmə düsturu əldə edirik:
Doğrudan da, niyə "standartdan" daha pisdir? Bu, parametrik formanın başqa bir üstünlüyüdür - tənlik 
təkcə “adi” deyil, həm də rolunu oynamağa qadirdir eyni vaxtda Və tərs funksiya.
IN bu halda funksiyalarının olduğu güman edilir davamlı inteqrasiya intervalı və funksiyası haqqında monoton onun üzərində. Üstəlik, əgər azalır inteqrasiya intervalında (parametrik tənliklər "əks istiqamətdə" qrafiki "çəkir" (diqqət!!) ox), sonra artıq müzakirə olunan texnologiyadan istifadə edərək, inteqrasiya həddini yenidən təşkil etməli və ya əvvəlcə inteqralın qarşısına "mənfi" qoymalısınız.
7 nömrəli nümunənin həlli və cavabı dərsin sonundadır.
Son mini-bölmə daha nadir bir problemə həsr edilmişdir:
Fırlanma cisminin həcmini necə tapmaq olar,
rəqəm parametrik müəyyən edilmiş xətt ilə məhdudlaşırsa?
Dərsin əvvəlində əldə edilən düsturu yeniləyək: 
. Ümumi həll üsulu sahənin tapılması ilə tamamilə eynidir. Piggy bankımdan bir neçə tapşırıq çıxaracağam.
Müəyyən bir inteqralın həndəsi mənasını anladıqda, x oxu və düz xətlərlə məhdudlaşan əyrixətli trapezoidin sahəsini tapmaq üçün istifadə edilə bilən bir düsturla qarşılaşdıq. x = a, x = b, həmçinin davamlı (mənfi və ya müsbət olmayan) funksiya y = f(x). Bəzən rəqəmi parametrik formada məhdudlaşdıran funksiyanı təyin etmək daha rahatdır, yəni. t parametri vasitəsilə funksional asılılığı ifadə edin. Bu materialda, parametrik olaraq müəyyən edilmiş əyri ilə məhdudlaşırsa, fiqurun sahəsini necə tapa biləcəyinizi göstərəcəyik.
Nəzəriyyəni izah etdikdən və düsturu əldə etdikdən sonra bu cür fiqurların sahəsini tapmaq üçün bir neçə tipik nümunəyə baxacağıq.
Hesablama üçün əsas düstur
Fərz edək ki, bizim əyrixətti trapesiyamız var, onun sərhədləri x = a, x = b düz xətləri, O x oxu və parametrik olaraq təyin olunmuş əyri x = φ (t) y = ψ (t) və x = φ (t) və y = ψ (t) funksiyaları α intervalında fasiləsizdir; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .
Tərif 1
Bu şərtlərdə bir trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t düsturundan istifadə etməlisiniz.
Onu x = φ (t) y = ψ (t) əvəzetmə üsulu ilə S (G) = ∫ a b f (x) d x əyri xətti trapezoidin sahəsi üçün düsturdan əldə etdik:
S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t
Tərif 2
β intervalında x = φ (t) funksiyasının monoton azalması nəzərə alınmaqla; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .
Əgər x = φ (t) funksiyası əsas elementar funksiyalardan biri deyilsə, onda onun artıb-azalacağını müəyyən etmək üçün bir intervalda funksiyanın artırılması və azalmasının əsas qaydalarını yadda saxlamalıyıq.
Bu paraqrafda yuxarıda əldə edilmiş düsturdan istifadə edərək bir neçə problemi təhlil edəcəyik.
Misal 1
Vəziyyət: x = 2 cos t y = 3 sin t formasının tənlikləri ilə verilən xəttin yaratdığı fiqurun sahəsini tapın.
Həll
Parametrik olaraq müəyyən edilmiş bir xəttimiz var. Qrafik olaraq iki yarımox 2 və 3 olan ellips şəklində göstərilə bilər. İllüstrasiyaya baxın:
Gəlin birinci kvadrantı tutan nəticədə fiqurun 1 4 sahəsini tapmağa çalışaq. Region x ∈ a intervalındadır; b = 0; 2. Sonra, alınan dəyəri 4-ə vurun və bütün rəqəmin sahəsini tapın.
Hesablamalarımızın gedişatı budur:
x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
k-nin 0-a bərabər olması ilə β intervalını alırıq; α = 0; π 2. x = φ (t) = 2 cos t funksiyası monoton şəkildə azalacaq (daha ətraflı məlumat üçün əsas elementar funksiyalar və onların xassələri haqqında məqaləyə baxın). Bu o deməkdir ki, siz sahənin hesablanması üçün düsturdan istifadə edə və Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralı tapa bilərsiniz:
- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2) 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2
Bu o deməkdir ki, orijinal əyri ilə verilən rəqəmin sahəsi S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π-ə bərabər olacaqdır.
Cavab: S(G) = 6π
Aydınlaşdıraq ki, yuxarıdakı məsələni həll edərkən ellipsin təkcə dörddə birini deyil, həm də yarısını - yuxarı və ya aşağısını götürmək mümkün idi. Yarım x ∈ a intervalında yerləşəcək; b = - 2; 2. Bu halda bizdə olacaq:
φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z
Beləliklə, k 0-a bərabər olduqda, β alırıq; α = 0; π. Bu intervalda x = φ (t) = 2 cos t funksiyası monoton şəkildə azalacaq.
Bundan sonra ellipsin yarısının sahəsini hesablayırıq:
- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π
Qeyd etmək lazımdır ki, yalnız yuxarı və ya aşağı hissəni götürə bilərsiniz, lakin sağ və ya sol deyil.
Verilmiş ellips üçün mərkəzi başlanğıcda yerləşəcək parametrik tənlik yarada bilərsiniz. O, x = a · cos t y = b · sin t kimi görünəcək. Yuxarıdakı nümunədə olduğu kimi davam edərək, a = πab ilə S e l və p ellipsin sahəsini hesablamaq üçün bir düstur alırıq.
Siz x = R · cos t y = R · sin t tənliyindən istifadə edərək mərkəzi başlanğıcda yerləşən çevrəni təyin edə bilərsiniz, burada t parametr, R isə bu çevrənin radiusudur. Dərhal bir ellipsin sahəsi üçün düsturdan istifadə etsək, onda R radiusu olan bir dairənin sahəsini hesablaya biləcəyimiz bir düstur alacağıq: S k r y r a = πR 2 .
Gəlin daha bir problemə baxaq.
Misal 2
Vəziyyət: X = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t parametrik olaraq təyin edilmiş əyri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsinin nəyə bərabər olacağını tapın.
Həll
Dərhal aydınlaşdıraq ki, bu əyri uzanmış astroid formasına malikdir. Tipik olaraq astroid x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t formasının tənliyi ilə ifadə edilir.
İndi belə bir əyrinin necə qurulacağına ətraflı baxaq. Fərdi nöqtələrə əsaslanaraq quraq. Bu ən çox yayılmış üsuldur və əksər tapşırıqlar üçün tətbiq olunur. Daha mürəkkəb nümunələr parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanı müəyyən etmək üçün diferensial hesablama tələb edir.
Bizdə x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t var.
Bu funksiyalar t-nin bütün real dəyərləri üçün müəyyən edilir. Sin və cos üçün onların dövri olduğu və dövrünün 2 pi olduğu məlumdur. Bəzi t = t 0 ∈ 0 üçün x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t funksiyalarının qiymətlərini hesabladıqdan sonra; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, biz x 0 xal alırıq; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .
Ümumi dəyərlərin cədvəlini yaradaq:
| t 0 | 0 | π 8 | π 4 | 3 π 8 | π 2 | 5 π 8 | 3 π 4 | 7 π 8 | π |
| x 0 = φ (t 0) | 3 | 2 . 36 | 1 . 06 | 0 . 16 | 0 | - 0 . 16 | - 1 . 06 | - 2 . 36 | - 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | 0 | 0 . 11 | 0 . 70 | 1 . 57 | 2 | 1 . 57 | 0 . 70 | 0 . 11 | 0 |
| t 0 | 9 π 8 | 5 π 4 | 11 π 8 | 3 π 2 | 13 π 8 | 7 π 4 | 15 π 8 | 2π |
| x 0 = φ (t 0) | - 2 . 36 | - 1 . 06 | - 0 . 16 | 0 | 0 . 16 | 1 . 06 | 2 . 36 | 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | - 0 . 11 | - 0 . 70 | - 1 . 57 | - 2 | - 1 . 57 | - 0 . 70 | - 0 . 11 | 0 |
Bundan sonra, təyyarədə lazımi nöqtələri qeyd edin və onları bir xətt ilə birləşdirin.
İndi fiqurun birinci koordinat rübündə yerləşən hissəsinin sahəsini tapmalıyıq. Bunun üçün x ∈ a; b = 0; 3:
φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
Əgər k 0-a bərabərdirsə, onda β intervalını alırıq; α = 0; π 2 və x = φ (t) = 3 cos 3 t funksiyası onun üzərində monoton şəkildə azalacaq. İndi sahə düsturunu götürürük və hesablayırıq:
- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t
Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə etməklə hesablana bilən müəyyən inteqrallar əldə etdik. Bu düstur üçün antiderivativləri təkrarlanan J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar, burada J n (x) = ∫ günah n x d x.
∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 6 ∫ + π2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96
Bir rəqəmin dörddə birinin sahəsini hesabladıq. 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16-a bərabərdir.
Bu dəyəri 4-ə vursaq, bütün rəqəmin sahəsini alırıq - 9 π 4.
Eyni şəkildə, x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t tənlikləri ilə verilən astroidin sahəsinin S a stroid = 3 πa 2 8 düsturu ilə tapıla biləcəyini sübut edə bilərik. , və x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t xətti ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsi S = 3 πab 8 düsturu ilə hesablanır.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın