Hiperbolanın düzgün fokusunun koordinatları onlayndır. Hiperbola və onun kanonik tənliyi

09.10.2019

Sinif 10 . İkinci dərəcəli əyrilər.

10.1. Ellips. Kanonik tənlik. Yarım vallar, ekssentriklik, qrafik.

10.2. Hiperbola. Kanonik tənlik. Yarımoxlar, ekssentriklik, asimptotlar, qrafik.

10.3. Parabola. Kanonik tənlik. Parabola parametri, qrafiki.

Təyyarədə ikinci dərəcəli əyrilər, gizli spesifikasiyası formaya malik olan xətlər adlanır:

Harada
- verilmiş həqiqi ədədlər,
- əyri nöqtələrin koordinatları. İkinci dərəcəli əyrilər arasında ən mühüm xətlər ellips, hiperbola, paraboladır.

10.1. Ellips. Kanonik tənlik. Yarım vallar, ekssentriklik, qrafik.

Ellipsin tərifi.Ellips, iki sabit nöqtədən olan məsafələrin cəminə bərabər olan müstəvi əyridir
istənilən nöqtəyə təyyarə

(bunlar). xal
ellipsin fokusları adlanır.

Ellipsin kanonik tənliyi:
. (2)

(və ya ox
) fokuslardan keçir
, və mənşəyi nöqtədir - seqmentin mərkəzində yerləşir
(şək. 1). Ellips (2) koordinat oxlarına və başlanğıc nöqtəsinə (ellipsin mərkəzi) nisbətən simmetrikdir. Daimi
,
çağırdı ellipsin yarım oxları.

Əgər ellips (2) tənliyi ilə verilirsə, onda ellipsin fokusları aşağıdakı kimi tapılır.

1) Əvvəlcə fokusların harada yerləşdiyini müəyyənləşdiririk: ocaqlar əsas yarımoxların yerləşdiyi koordinat oxunda yerləşir.

2) Sonra fokus uzunluğu hesablanır (ocaqdan mənşəyə qədər olan məsafə).

At
ox üzərində fokuslanır
;
;
.

ekssentriklik ellips dəyər adlanır: (saat
);(saat
).

Ellips həmişə var
. Eksantriklik ellipsin sıxılma xüsusiyyətidir.

Əgər ellips (2) elə yerdəyişdirilirsə ki, ellipsin mərkəzi nöqtəyə düşsün

,
, onda yaranan ellipsin tənliyi formaya malikdir

10.2. Hiperbola. Kanonik tənlik. Yarımoxlar, ekssentriklik, asimptotlar, qrafik.

Hiperbolanın tərifi.Hiperbola, iki sabit nöqtədən məsafələr fərqinin mütləq dəyərinin olduğu müstəvi əyridir
istənilən nöqtəyə təyyarə
bu əyri nöqtədən asılı olmayan sabitdir
(bunlar). xal
hiperbolanın ocaqları adlanır.

Hiperbolanın kanonik tənliyi:
və ya
. (3)

Belə bir tənlik koordinat oxu olarsa alınır
(və ya ox
) fokuslardan keçir
, və mənşəyi nöqtədir - seqmentin mərkəzində yerləşir
. Hiperbolalar (3) koordinat oxlarına və başlanğıc nöqtəsinə görə simmetrikdir. Daimi
,
çağırdı hiperbolanın yarımoxları.

Hiperbolanın ocaqları aşağıdakı kimi tapılır.

Hiperbolada
ox üzərində fokuslanır
:
(şək. 2.a).

Hiperbolada
ox üzərində fokuslanır
:
(Şəkil 2.b)

Budur - fokus uzunluğu (fokuslardan mənşəyə qədər olan məsafə). Bu düsturla hesablanır:
.

ekssentriklik hiperbola qiymət adlanır:

(üçün
);(üçün
).

Hiperbol həmişə var
.

Hiperbolanın asimptotları(3) iki düz xəttdir:
. Hiperbolanın hər iki qolu qeyri-müəyyən olaraq asimptotlara yaxınlaşır .

Hiperbolanın qrafikinin qurulması aşağıdakı kimi aparılmalıdır: birincisi, yarımoxlar boyunca
tərəfləri koordinat oxlarına paralel olan köməkçi düzbucaqlı qururuq; sonra bu düzbucaqlının əks təpələrindən düz xətlər çəkirik, bunlar hiperbolanın asimptotlarıdır; nəhayət, hiperbolanın budaqlarını təsvir edirik, onlar köməkçi düzbucağın uyğun tərəflərinin orta nöqtələrinə toxunur və böyümə ilə yaxınlaşır. asimptotlara (şək. 2).

Hiperbolalar (3) mərkəzi nöqtəyə düşəcək şəkildə köçürülürsə
, və yarımoxlar oxlara paralel qalacaq
,
, onda yaranan hiperbolaların tənliyini formada yazmaq olar

,
.

10.3. Parabola. Kanonik tənlik. Parabola parametri, qrafiki.

Parabolanın tərifi.Parabola hər hansı bir nöqtə üçün olan müstəvi əyridir
bu əyri məsafədir
sabit bir nöqtəyə müstəvi (parabolanın fokusu adlanır) məsafəyə bərabərdir
təyyarədə sabit bir xəttə(parabolanın direktrisası adlanır) .

Kanonik parabola tənliyi:
, (4)

Harada adlı sabitdir parametr parabolalar.

Nöqtə
parabola (4) parabolanın təpəsi adlanır. ox
simmetriya oxudur. Parabolanın (4) fokusu nöqtədədir
, Directrix tənliyi
. Parabola qrafikləri (4) qiymətlərlə
Və
Şəkildə göstərilmişdir. müvafiq olaraq 3.a və 3.b.

tənlik
müstəvidə parabolanı da təyin edir
, parabola (4) ilə müqayisədə oxları var
,
yerləri dəyişdi.

Əgər parabola (4) təpəsi nöqtəyə dəyəcək şəkildə köçürülərsə
, və simmetriya oxu oxa paralel qalacaq
, onda yaranan parabolanın tənliyi formaya malikdir

Nümunələrə keçək.

Misal 1. İkinci dərəcəli əyri tənliklə verilir
. Bu əyriyə bir ad verin. Onun fokuslarını və ekssentrikliyini tapın. Bir müstəvidə bir əyri və onun mərkəzlərini çəkin
.

Həll. Bu əyri nöqtədə mərkəzləşmiş ellipsdir
və ox valları
. Bu, əvəz etməklə asanlıqla yoxlanıla bilər
. Bu çevrilmə verilmiş Kartezyen koordinat sistemindən hərəkət deməkdir
yeni Kartezyen koordinat sisteminə
, kimin baltaları
oxlara paralel
,
. Bu koordinat transformasiyası sistem sürüşməsi adlanır.
tam olaraq . Yeni koordinat sistemində
əyri tənliyinə çevrilir kanonik tənlik ellips
, onun qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 4.

Gəlin fəndlər tapaq.
, belə ki, fəndlər
oxda yerləşən ellips
.. Koordinat sistemində
:
. Çünki
, köhnə koordinat sistemində
fokusların koordinatları var.

Misal 2. İkinci dərəcəli əyrinin adını verin və qrafikini verin.

Həll. Dəyişənləri ehtiva edən şərtlərlə tam kvadratları seçirik Və .

İndi əyri tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

Buna görə də verilmiş əyri nöqtədə mərkəzləşmiş ellipsdir
və ox valları
. Alınan məlumat onun qrafikini çəkməyə imkan verir.

Misal 3. Bir ad verin və xətt qrafiki çəkin
.

Həll. . Bu, bir nöqtədə mərkəzləşmiş ellipsin kanonik tənliyidir
və ox valları
.

Çünki,
, nəticəyə gəlirik: verilmiş tənlik müstəvidə müəyyən edilir
ellipsin aşağı yarısı (şək. 5).

Misal 4. İkinci dərəcəli əyrinin adını verin
. Onun hiylələrini, ekssentrikliyini tapın. Bu əyrinin qrafikini göstərin.

- yarımoxlu hiperbolanın kanonik tənliyi
.

Fokus uzunluğu.

Mənfi işarə ilə terminin qarşısındadır , belə ki, fəndlər
hiperbolalar ox üzərində yerləşir
:. Hiperbolanın budaqları oxun üstündə və altında yerləşir
.

hiperbolanın ekssentrikliyidir.

Hiperbolanın asimptotları: .

Bu hiperbolanın qrafikinin qurulması yuxarıda göstərilən prosedura uyğun həyata keçirilir: yardımçı düzbucaqlı qururuq, hiperbolanın asimptotlarını çəkirik, hiperbolanın budaqlarını çəkirik (bax şək. 2.b).

Misal 5. Tənliklə verilmiş əyrinin formasını tapın
və onu tərtib edin.

- bir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş hiperbola
və yarım millər.

Çünki , nəticəyə gəlirik: verilmiş tənlik hiperbolanın xəttin sağında yerləşən hissəsini müəyyən edir.
. Köməkçi koordinat sistemində hiperbola çəkmək daha yaxşıdır
koordinat sistemindən əldə edilir
yerdəyişmə
, və sonra qalın bir xətt ilə hiperbolanın istədiyiniz hissəsini seçin

Misal 6. Əyri növünü tapın və onun qrafikini çəkin.

Həll. Tam kvadratı dəyişən ilə şərtlərlə seçin :

Gəlin əyrinin tənliyini yenidən yazaq.

Bu nöqtədə təpəsi olan parabolanın tənliyidir
. Bir yerdəyişmə ilə parabola tənliyi kanonik formaya endirilir
, buradan görünə bilər bir şey parametri parabolalar. Fokus sistemdəki parabolalar
koordinatlarına malikdir
, və sistemdə
(növbəli transformasiyaya görə). Parabola qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 7.

Ev tapşırığı.

1. Tənliklərlə verilmiş ellipsləri çəkin:
Onların yarımoxlarını, fokus uzunluğunu, ekssentrikliyini tapın və ellips qrafiklərində fokuslarının yerlərini göstərin.

2. Tənliklərlə verilmiş hiperbolaları çəkin:
Onların yarımoxlarını, fokus uzunluğunu, ekssentrikliyini tapın və hiperbolaların qrafiklərində fokuslarının yerini göstərin. Verilmiş hiperbolaların asimptotları üçün tənlikləri yazın.

3. Tənliklərlə verilmiş parabolaları çəkin:
. Parabola qrafiklərində onların parametrini, fokus uzunluğunu tapın və fokusun yerini göstərin.

4. Tənlik
2-ci dərəcəli əyrinin bir hissəsini müəyyən edir. Bu əyrinin kanonik tənliyini tapın, adını yazın, qrafikini qurun və üzərində əyrinin orijinal tənliyə uyğun olan hissəsini seçin.

Riyaziyyatda tez-tez müxtəlif qrafiklər qurmalı olursunuz. Amma bu, hər tələbə üçün asan deyil. Ancaq hər bir yetkin bunu necə edəcəyini başa düşmürsə, məktəblilər haqqında nə deyə bilərik? Baxmayaraq ki, bunlar riyaziyyatın əsaslarıdır və qrafik qurmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur, əsas odur ki, yalnız alqoritmi başa düşək. Bu yazıda siz hiperbolanın necə qurulacağını öyrənəcəksiniz.

Koordinat sisteminin qurulması

İstənilən qrafiki qurmaq üçün ilk növbədə Dekartın düzbucaqlı koordinat sistemini qurmaq lazımdır. Bunun üçün nə lazımdır:

Bir vərəqdə üfüqi bir xətt çəkin. Damalı vərəq olması arzu edilir, lakin tələb olunmur. Düz xəttin sonu, sağda, ox ilə göstərilir. Bu, bizdə olan X oxudur.Ona absis deyilir.
X oxunun ortasında perpendikulyar bir xətt çəkin. Düz xəttin sonu, yuxarıda, ox ilə göstərilir. Beləliklə, biz ordinat adlanan Y oxunu alırıq.
Sonra miqyası nömrələyirik. X oxunun sağ tərəfində bizdə var müsbət dəyərlər X artan qaydada - 1-dən və yuxarıdan. Sol - mənfi. Y oxunun yuxarı hissəsində artan qaydada müsbət y dəyərləri var. Aşağı - mənfi

Absis ilə ordinatın kəsişmə nöqtəsi mənşəlidir, yəni 0 rəqəmidir. Buradan bütün X və Y qiymətlərini kənara qoyacağıq.

Aşağıdakı şəkildə ortaya çıxan koordinat sistemini aydın görə bilərsiniz. Düzbucaqlı koordinat sisteminin müstəvini 4 hissəyə böldüyünü də görürük. Onlar dörddəbir adlanır və şəkildə göstərildiyi kimi saat yönünün əksinə nömrələnir:

İstənilən qrafiki qurmaq üçün xal lazımdır. Hər nöqtə koordinat müstəvisi bir cüt ədəd (x;y) ilə müəyyən edilir. Bu ədədlərə nöqtə koordinatları deyilir, burada:

x - nöqtənin absisi
y - müvafiq olaraq, ordinat

İndi koordinat sistemini necə quracağımızı bildiyimiz üçün birbaşa plan qurmağa davam edə bilərik.

Hiperbolun qurulması

Hiperbola y=k/x düsturu ilə verilmiş funksiyanın qrafikidir, burada

k istənilən əmsaldır, lakin 0-a bərabər olmamalıdır
x - müstəqil dəyişən

Hiperbola simmetrik olaraq müxtəlif kvartallarda yerləşən 2 hissədən ibarətdir. Onlara hiperbolanın budaqları deyilir. Əgər k>0 olarsa, onda biz 1-ci və 3-cü rüblərdə budaqlar tikirik, lakin əgər k<0, тогда – во 2 и 4.

Hiperbolanı qurmaq üçün y=3/x düsturu ilə verilən funksiyanı nümunə götürək.

“+” işarəsi olan 3 əmsalımız olduğundan, hiperbolumuz müvafiq olaraq 1-ci və 3-cü rüblərdə olacaqdır.
Biz ixtiyari olaraq X qiymətlərini təyin edirik, bunun nəticəsində Y qiymətlərini tapırıq.Beləliklə, biz nöqtələrin koordinatlarına sahib olacağıq, bunun sayəsində hiperbolamızı quracağıq. Ancaq nəzərə alın ki, X sıfıra təyin edilə bilməz, çünki biz bilirik ki, 0-a bölmək olmaz.
Hiperbolanın 2 rübdə yerləşdiyini bildiyimiz üçün həm müsbət, həm də mənfi qiymətlər alırıq. Beləliklə, məsələn, -6, -3, -1, 1, 3, 6-ya bərabər olan X dəyərlərini götürək.
İndi ordinatlarımızı hesablayırıq. Bunu etmək olduqca sadədir - biz orijinal düsturumuzda X-in hər bir qiymətini əvəz edirik: y=3/-6; y=3/-3; y=3/-1; y=3/1; y=3/3; y=3/6. Sadə riyazi hesablamalarla -0,5, -1, -3, 3, 1, 0,5-ə bərabər olan Y dəyərlərini əldə edirik.
Koordinatlarla 6 xal qazandıq. İndi biz sadəcə olaraq koordinat sistemimizin bu nöqtələrini bir kənara qoyuruq və aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi onların arasından əyrilər çəkirik. Burada bir hiperbola qurduq.

Gördüyünüz kimi, hiperbol yaratmaq o qədər də çətin deyil. Sadəcə prinsipi başa düşmək və hərəkətlərin ardıcıllığına sadiq qalmaq lazımdır. Məsləhətlərimizə və tövsiyələrimizə əməl edərək, siz asanlıqla təkcə hiperbola deyil, həm də bir çox başqa qrafiklər qura bilərsiniz. Çalışın, məşq edin və mütləq uğur qazanacaqsınız!

Tərif. Hiperbola y müstəvisində nöqtələrin yeridir, hər birinin bu müstəvinin iki verilmiş nöqtəsindən ocaqlar adlanan məsafələri fərqinin mütləq qiyməti y sabit qiymətə malikdir, bu şərtlə ki, bu qiymətə bərabər olmasın. sıfırdır və ocaqlar arasındakı məsafədən azdır.

Fokuslar arasındakı məsafəni hiperbolanın hər bir nöqtəsindən fokuslara qədər olan məsafələr arasındakı fərq moduluna bərabər sabit qiymət kimi qeyd edək (şərtlə ). Ellipsdə olduğu kimi, biz fokuslar vasitəsilə absis oxunu çəkirik və başlanğıc kimi seqmentin ortasını götürürük (bax şək. 44). Belə bir sistemdəki fokusların koordinatları olacaq. Gəlin seçilmiş koordinat sistemində hiperbolanın tənliyini çıxaraq. Hiperbolanın tərifinə görə, onun hər hansı bir nöqtəsi üçün bizdə və ya

Amma . Buna görə də alırıq

Ellips tənliyini əldə edərkən edilənlərə bənzər sadələşdirmələrdən sonra aşağıdakı tənliyi əldə edirik:

(33) tənliyinin nəticəsidir.

Bu tənliyin ellips üçün alınan (27) tənliyi ilə üst-üstə düşdüyünü görmək asandır. Lakin (34) tənliyində fərq , çünki hiperbola üçün . Buna görə də qoyduq

Sonra (34) tənliyi aşağıdakı formaya endirilir:

Bu tənliyə hiperbolanın kanonik tənliyi deyilir. (33) tənliyinin nəticəsi olaraq (36) tənliyi hiperbolanın istənilən nöqtəsinin koordinatları ilə ödənilir. Göstərmək olar ki, hiperbolanın üzərində olmayan nöqtələrin koordinatları (36) tənliyini təmin etmir.

Onun kanonik tənliyindən istifadə edərək hiperbolanın formasını təyin edək. Bu tənlik cari koordinatların yalnız cüt səlahiyyətlərini ehtiva edir. Beləliklə, hiperbolanın iki simmetriya oxu var, bu halda koordinat oxları ilə üst-üstə düşür. Bundan sonra hiperbolanın simmetriya oxları hiperbolanın oxları, onların kəsişmə nöqtəsi isə hiperbolanın mərkəzi adlanacaqdır. Fokusların yerləşdiyi hiperbolanın oxuna fokus ox deyilir. Birinci rübdə hiperbolanın formasını araşdırırıq, burada

Burada, çünki əks halda y xəyali dəyərləri götürərdi. X a-dan artdıqca, 0-dan 0-a qədər artır. Hiperbolanın birinci rübdə yerləşən hissəsi Şəkildə göstərilən qövs olacaqdır. 47.

Hiperbola koordinat oxları ətrafında simmetrik yerləşdiyi üçün bu əyri Şəkil 1-də göstərilən formaya malikdir. 47.

Hiperbolanın fokus oxu ilə kəsişmə nöqtələrinə onun təpələri deyilir. Hiperbola tənliyində fərz etsək, onun təpələrinin absislərini tapırıq: . Beləliklə, hiperbolanın iki təpəsi var: . Hiperbola y oxu ilə kəsişmir. Əslində, hiperbolanı tənliyə qoyaraq, y üçün xəyali qiymətlər alırıq: . Buna görə də hiperbolanın fokus oxuna həqiqi ox, fokus oxuna perpendikulyar olan simmetriya oxuna isə hiperbolanın xəyali oxu deyilir.

Həqiqi ox hiperbolanın təpələrini birləşdirən seqment də adlanır və onun uzunluğu 2a-dır. Nöqtələri birləşdirən seqment (bax. Şəkil 47), eləcə də onun uzunluğu hiperbolanın xəyali oxu adlanır. a və b ədədləri müvafiq olaraq hiperbolanın həqiqi və xəyali yarımoxları adlanır.

İndi birinci kvadrantda yerləşən və funksiyanın qrafiki olan hiperbolanı nəzərdən keçirək

Göstərək ki, bu qrafikin başlanğıcdan kifayət qədər böyük məsafədə yerləşən nöqtələri düz xəttə ixtiyari yaxındır.

mənşəyindən keçən və yamacı olan

Bu məqsədlə, eyni absisə malik olan və müvafiq olaraq əyri (37) və düz xətt (38) üzərində yerləşən iki nöqtəni nəzərdən keçirin (şək. 48) və bu nöqtələrin ordinatları arasındakı fərqi düzəldin.

Bu kəsrin payı sabit qiymətdir və məxrəc qeyri-məhdud artımla qeyri-müəyyən artır. Buna görə də fərq sıfıra meyllidir, yəni M və N nöqtələri absisdə qeyri-məhdud artımla qeyri-müəyyən müddətə yaxınlaşır.

Hiperbolanın koordinat oxlarına nisbətən simmetriyasından belə çıxır ki, hiperbolanın nöqtələri başlanğıcdan qeyri-məhdud məsafədə ixtiyari olaraq yaxın olan başqa bir düz xətt var. Birbaşa

hiperbolanın asimptotları adlanır.

Əncirdə. 49 hiperbolanın və onun asimptotlarının nisbi mövqeyini göstərir. Bu rəqəm hiperbolanın asimptotlarının necə qurulacağını da göstərir.

Bunu etmək üçün, başlanğıcda mərkəzləşdirilmiş və tərəfləri oxlara paralel və müvafiq olaraq -ə bərabər olan düzbucaqlı qurun. Bu düzbucaqlı əsas düzbucaqlı adlanır. Onun hər iki istiqamətə qeyri-müəyyən müddətə uzadılmış diaqonallarının hər biri hiperbolanın asimptotudur. Hiperbolanı qurmazdan əvvəl onun asimptotlarını qurmaq tövsiyə olunur.

Fokuslar arasındakı məsafənin yarısının hiperbolanın həqiqi yarımoxuna nisbəti hiperbolanın ekssentrikliyi adlanır və adətən hərflə işarələnir:

Hiperbola üçün hiperbolanın ekssentrikliyi birdən böyük olduğu üçün: Eksentriklik hiperbolanın formasını xarakterizə edir.

Həqiqətən də (35) düsturundan belə çıxır ki. Bu onu göstərir ki, hiperbolanın ekssentrikliyi nə qədər kiçik olarsa,

nisbəti nə qədər kiçik olarsa - onun yarımoxlarının. Lakin əlaqə - hiperbolanın əsas düzbucaqlısının formasını və deməli, hiperbolanın özünün formasını müəyyən edir. Hiperbolanın ekssentrikliyi nə qədər kiçik olsa, onun əsas düzbucaqlı (fokus oxu istiqamətində) bir o qədər uzadılır.

Hiperbola və parabola

Yazının ikinci hissəsinə keçək. ikinci sıra xətləri haqqında, digər iki ümumi əyriyə həsr olunmuş - hiperbola Və parabola. Bu səhifəyə bir axtarış sistemindən gəlmisinizsə və ya hələ mövzunu gəzməyə vaxtınız yoxdursa, əvvəlcə dərsin yalnız əsas nəzəri məqamları yox, həm də tanış olduğumuz ilk bölməsini öyrənməyinizi tövsiyə edirəm. ilə ellips. Qalan oxucular üçün parabola və hiperbola haqqında məktəb biliklərini əhəmiyyətli dərəcədə artırmağı təklif edirəm. Hiperbola və parabola - bu sadədir? … Gözləmə =)

Hiperbola və onun kanonik tənliyi

Materialın təqdimatının ümumi quruluşu əvvəlki paraqrafa bənzəyəcək. Hiperbolanın ümumi anlayışı və onun qurulması problemindən başlayaq.

Hiperbolanın kanonik tənliyi müsbət real ədədlər şəklindədir. Qeyd edək ki, fərqli olaraq ellips, burada şərt qoyulmur, yəni “a” dəyəri “ol” qiymətindən kiçik ola bilər.

Deməliyəm ki, tamamilə gözlənilmədən ... "məktəb" hiperbolasının tənliyi kanonik rekorda belə yaxından bənzəmir. Ancaq bu tapmaca hələ də bizi gözləməli olacaq, amma hələlik başımızın arxasını qaşıyaq və nəzərdən keçirilən əyrinin hansı xarakterik xüsusiyyətlərini xatırlayaq? Təsəvvürümüzün ekranına yayaq funksiya qrafiki ….

Hiperbolanın iki simmetrik budağı var.

Hiperbolun ikisi var asimptotlar.

Yaxşı irəliləyiş! Hər hansı bir hiperbolun bu xüsusiyyətləri var və indi bu xəttin boyun xəttinə həqiqi heyranlıqla baxacağıq:

Misal 4

Tənliklə verilmiş hiperbolanı qurun

Həll: ilk addımda bu tənliyi kanonik formaya gətiririk. Tipik proseduru xatırlayın. Sağda, "bir" almaq lazımdır, buna görə orijinal tənliyin hər iki hissəsini 20-yə bölürük:

Burada hər iki fraksiyanı azalda bilərsiniz, lakin onların hər birini etmək daha optimaldır üç mərtəbəli:

Və yalnız bundan sonra azalma həyata keçirmək üçün:

Məxrəclərdə kvadratları seçirik:

Transformasiyaları bu şəkildə həyata keçirmək niyə daha yaxşıdır? Axı, sol tərəfin fraksiyaları dərhal azaldıla və əldə edilə bilər. Məsələ burasındadır ki, nəzərdən keçirilən misalda bir az bəxtimiz gətirdi: 20 rəqəmi həm 4-ə, həm də 5-ə bölünür.Ümumi halda belə bir rəqəm işləmir. Məsələn, tənliyi nəzərdən keçirək. Burada, bölünmə ilə, hər şey daha kədərli və olmadandır üç mərtəbəli fraksiyalar artıq lazım deyil:

Beləliklə, zəhmətimizin bəhrəsini - kanonik tənlikdən istifadə edək:

Hiperbolanı necə qurmaq olar?

Hiperbolanın qurulması üçün iki yanaşma var - həndəsi və cəbr.
Praktik baxımdan kompasla rəsm çəkmək... Mən hətta utopik deyərdim, ona görə də sadə hesablamaları yenidən köməyə gətirmək daha sərfəlidir.

Aşağıdakı alqoritmə, əvvəlcə bitmiş rəsmə, sonra şərhlərə riayət etmək məsləhətdir:

1) Hər şeydən əvvəl tapırıq asimptotlar. Hiperbola kanonik tənliklə verilirsə, onun asimptotları belədir düz . Bizim vəziyyətimizdə: . Bu maddə tələb olunur! Bu, rəsmin əsas xüsusiyyətidir və hiperbolanın budaqları asimptotalarından kənara çıxarsa, bu, kobud səhv olardı.

2) İndi tapırıq hiperbolanın iki təpəsi nöqtələrində x oxunda yerləşən . Elementar olaraq alınır: əgər , onda kanonik tənlik -ə çevrilir, buradan belə çıxır. Nəzərə alınan hiperbolanın təpələri var

3) Biz əlavə xallar axtarırıq. Adətən 2-3 kifayətdir. Kanonik vəziyyətdə hiperbola mənşəyə və hər iki koordinat oxuna görə simmetrikdir, ona görə də 1-ci koordinat rübü üçün hesablamalar aparmaq kifayətdir. Texnika tikinti ilə tamamilə eynidır ellips. Qaralamadakı kanonik tənlikdən ifadə edirik:

Tənlik iki funksiyaya bölünür:
- hiperbolanın yuxarı qövslərini müəyyən edir (bizə nə lazımdır);
- hiperbolanın aşağı qövslərini təyin edir.

Bu, absislərlə nöqtələr tapmağı təklif edir:

4) Rəsm üzərində asimptotları çəkin , təpələr , digər koordinat kvartallarında əlavə və simmetrik nöqtələr. Hiperbolanın hər qolunda müvafiq nöqtələri diqqətlə bağlayırıq:

Məntiqsiz bir texniki çətinlik yarana bilər yamac faktoru, lakin bu tamamilə həll edilə bilən bir problemdir.

Xətt seqmentiçağırdı real ox hiperbola,
onun uzunluğu - təpələr arasındakı məsafə;
nömrə çağırdı real yarımox hiperbola;
nömrə – xəyali ox.

Bizim nümunəmizdə: , və açıq-aydın, əgər verilmiş hiperbola simmetriya mərkəzi ətrafında fırlanırsa və/yaxud köçürülürsə, onda bu qiymətlər dəyişməyəcək.

Hiperbolanın tərifi. Fokuslar və ekssentriklik

Hiperbolada, eyni şəkildə ellips, adlanan iki tək nöqtə var hiylələr. Mən demədim, amma hər halda, birdən kimsə səhv başa düşür: simmetriya mərkəzi və diqqət nöqtələri, əlbəttə ki, əyrilərə aid deyil..

Tərifin ümumi konsepsiyası da oxşardır:

Hiperbola müstəvidəki bütün nöqtələrin çoxluğudur, mütləq dəyər verilmiş iki nöqtədən hər birinə olan məsafələr fərqi sabit qiymətdir, ədədi olaraq bu hiperbolanın təpələri arasındakı məsafəyə bərabərdir: . Bu zaman fokuslar arasındakı məsafə real oxun uzunluğunu aşır: .

Hiperbola kanonik tənliklə verilirsə, onda simmetriya mərkəzindən fokusların hər birinə qədər olan məsafə düsturla hesablanır: .
Və müvafiq olaraq, fokusların koordinatları var .

Tədqiq olunan hiperbola üçün:

Gəlin tərifə keçək. Fokuslardan hiperbolanın ixtiyari nöqtəsinə qədər olan məsafələrlə işarələyin:

Əvvəlcə mavi nöqtəni zehni olaraq hiperbolanın sağ qolu boyunca hərəkət etdirin - harada olmağımızdan asılı olmayaraq, modul(mütləq dəyər) seqmentlərin uzunluqları arasındakı fərq eyni olacaq:

Nöqtə sol budağa "atılırsa" və ora köçürülürsə, bu dəyər dəyişməz qalacaq.

Modulun işarəsi ona görə lazımdır ki, uzunluqlardakı fərq müsbət və ya mənfi ola bilər. Yeri gəlmişkən, sağ filialda hər hansı bir nöqtə üçün (çünki seqment seqmentdən qısadır ). Sol qolun hər hansı bir nöqtəsi üçün vəziyyət tam əksinədir və .

Üstəlik, modulun aşkar xüsusiyyətini nəzərə alaraq, nədən nəyi çıxarmağın əhəmiyyəti yoxdur.

Əmin edək ki, nümunəmizdə bu fərqin modulu həqiqətən təpələr arasındakı məsafəyə bərabərdir. Hiperbolanın sağ təpəsində zehni olaraq bir nöqtə qoyun. Sonra: yoxlanılmalı olan .

Tərif . Hiperbola nöqtələrin yeridir, hər birindən ocaq adlanan iki verilmiş nöqtəyə olan fərq sabit qiymətdir

Elə bir koordinat sistemi götürək ki, fokuslar absis oxunda olsun və koordinatların başlanğıcı F 1 F 2 seqmentini yarıya bölsün (şək. 30). F 1 F 2 = 2c işarələyin. Sonra F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 = r 2, MF 1 = r 1 hiperbolanın fokus radiuslarıdır.

Hiperbolanın tərifinə görə r 1 - r 2 = const.

Onu 2a ilə işarə edək

Onda r 2 - r 1 = ±2a belə:

=> hiperbolanın kanonik tənliyi

Hiperbolanın x və y tənliyi cüt dərəcələrdə olduğundan, M 0 (x 0; y 0) nöqtəsi hiperbolanın üzərində yerləşirsə, M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x) nöqtələri. 0; -x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Buna görə də hiperbola hər iki koordinat oxuna görə simmetrikdir.

y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a olduqda. Hiperbolanın təpələri A 1 (a; 0) nöqtələri olacaq; A 2 (-a; 0).

. Simmetriyaya görə araşdırma birinci rübdə aparılır

1) at
y xəyali qiymətə malikdir, deməli, absislərlə hiperbolanın nöqtələri
mövcud deyil

2) x = a-da; y \u003d 0 A 1 (a; 0) hiperbolaya aiddir

3) x > a üçün; y > 0. Üstəlik, x-in qeyri-məhdud artması ilə hiperbolanın budağı sonsuzluğa gedir.

Buradan belə çıxır ki, hiperbola iki sonsuz budaqdan ibarət əyridir.

P 6. Hiperbolanın asimptotları

Tənliklə birlikdə nəzərdən keçirin
düz xətt tənliyi

TO əyri düz xəttin altında yatacaq (şək. 31). Absisləri eyni olan N (x, Y) və M (x, y) nöqtələrini və Y - y \u003d MN nöqtələrini nəzərdən keçirin. MN seqmentinin uzunluğunu nəzərə alın

tapaq

Beləliklə, birinci rübdə hiperbola boyunca hərəkət edən M nöqtəsi sonsuzluğa qədər uzaqlaşırsa, onda onun düz xəttdən məsafəsi
azalır və sıfıra meyl edir.

Simmetriyaya görə düz xətt eyni xüsusiyyətə malikdir.
.

Tərif. Hansı birbaşa xətlər
əyrinin qeyri-müəyyən müddətə yaxınlaşması asimptotlar adlanır.

VƏ
deməli, hiperbolanın asimptotlarının tənliyi
.

Hiperbolanın asimptotları düzbucaqlının diaqonalları boyunca yerləşir, onun bir tərəfi x oxuna paralel və 2a-ya bərabərdir, digəri isə y oxuna paraleldir və 2b-ə bərabərdir və mərkəzi. mənşəyində yerləşir (şək. 32).

P 7. Hiperbolanın ekssentrikliyi və direktivləri

r 2 – r 1 = ± 2a işarəsi + hiperbolanın sağ qoluna aiddir

işarəsi - hiperbolanın sol qoluna aiddir

Tərif. Hiperbolanın ekssentrikliyi bu hiperbolanın ocaqları arasındakı məsafənin onun təpələri arasındakı məsafəyə nisbətidir.

. c > a olduğundan ε > 1

Hiperbolanın fokus radiuslarını ekssentriklik baxımından ifadə edirik:

Tərif . Gəlin xətləri çağıraq
, hiperbolanın fokus oxuna perpendikulyar və məsafədə yerləşironun mərkəzindən sağ və sol fokuslara uyğun gələn hiperbolanın direktrikası ilə.

T
hiperbola kimi
deməli, hiperbolanın direktriksləri onun təpələri arasında yerləşir (şək. 33). Hiperbolanın hər hansı bir nöqtəsinin məsafələrinin fokus və müvafiq direktrisə nisbətinin sabit və ε-ə bərabər olduğunu göstərək.

S. 8 Parabola və onun tənliyi

HAQQINDA
tərifi. Parabola, fokus adlanan verilmiş nöqtədən və direktris adlanan verilmiş xəttdən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeridir.

Parabolanın tənliyini qurmaq üçün x oxunu direktrisə perpendikulyar olan F 1 fokusundan keçən düz xətt kimi götürək və direktrisadan fokusa yönəlmiş x oxunu nəzərdən keçirək. Koordinatların başlanğıcı üçün uzunluğunu p ilə işarə etdiyimiz F nöqtəsindən verilmiş düz xəttə qədər olan seqmentin orta O nöqtəsini götürürük (şək. 34). p kəmiyyəti parabolanın parametri adlanacaqdır. Fokus koordinat nöqtəsi
.

M(x, y) parabolanın ixtiyari nöqtəsi olsun.

Tərifinə görə

saat 2 = 2px parabolanın kanonik tənliyidir

Parabolanın növünü təyin etmək üçün onun tənliyini çeviririk
bu nəzərdə tutulur. Deməli, parabolanın təpəsi başlanğıcda, simmetriya oxu isə x-dir. Müsbət p ilə y 2 \u003d -2px tənliyi x-i -x ilə əvəz etməklə y 2 \u003d 2px tənliyinə endirilir və onun qrafiki belə görünür (Şəkil 35).