>

Kvadrat tənliklər. Kvadrat tənliklər

Bu mövzu çox sadə olmayan formullara görə ilk baxışdan mürəkkəb görünə bilər. Kvadrat tənliklərin özlərində yalnız uzun girişlər yoxdur, həm də köklər diskriminant vasitəsilə tapılır. Ümumilikdə üç yeni düstur var. Xatırlamaq çox asan deyil. Bu, yalnız belə tənliklərin tez-tez həllindən sonra mümkündür. Sonra bütün düsturlar öz-özünə yadda qalacaq.

Kvadrat tənliyin ümumi görünüşü

Burada onların açıq qeydi təklif olunur, ilk növbədə ən böyük dərəcə yazılır, sonra isə azalan qaydada. Çox vaxt terminlərin bir-birindən ayrıldığı vəziyyətlər olur. Sonra tənliyi dəyişənin dərəcəsinə görə azalan qaydada yenidən yazmaq daha yaxşıdır.

nota ilə tanış olaq. Onlar aşağıdakı cədvəldə təqdim olunur.

Bu qeydləri qəbul etsək, bütün kvadrat tənliklər aşağıdakı qeydlərə endirilir.

Bundan əlavə, a ≠ 0 əmsalı. Bu düstur bir nömrə ilə işarələnsin.

Tənlik verildikdə cavabda neçə kök olacağı bəlli deyil. Çünki üç variantdan biri həmişə mümkündür:

  • həllin iki kökü olacaq;
  • cavab bir nömrə olacaq;
  • Tənliyin heç bir kökü yoxdur.

Qərar sona çatdırılmasa da, müəyyən bir vəziyyətdə variantlardan hansının düşəcəyini anlamaq çətindir.

Kvadrat tənliklərin qeydlərinin növləri

Tapşırıqların müxtəlif girişləri ola bilər. Həmişə belə görünmürlər ümumi formula kvadrat tənlik. Bəzən bəzi terminlər çatışmır. Yuxarıda yazılanlar tam tənlikdir. Ondakı ikinci və ya üçüncü termini çıxarsanız, fərqli bir şey alırsınız. Bu qeydlərə kvadrat tənliklər də deyilir, yalnız natamamdır.

Üstəlik, yalnız "b" və "c" əmsallarının yox ola biləcəyi şərtlər. “a” rəqəmi heç bir halda sıfıra bərabər ola bilməz. Çünki bu halda düstur xətti tənliyə çevrilir. Tənliklərin natamam forması üçün düsturlar aşağıdakı kimi olacaq:

Deməli, cəmi iki növ var, tam olanlarla yanaşı, natamam kvadrat tənliklər də var. Birinci düstur iki, ikincisi isə üç olsun.

Köklərin sayının diskriminant və onun dəyərindən asılılığı

Tənliyin köklərini hesablamaq üçün bu rəqəm məlum olmalıdır. Kvadrat tənliyin düsturu nə olursa olsun, onu həmişə hesablamaq olar. Diskriminantı hesablamaq üçün aşağıda yazılan bərabərlikdən istifadə etməlisiniz, bu bərabərlikdə dörd rəqəmi olacaq.

Bu düsturda əmsalların dəyərlərini əvəz etdikdən sonra rəqəmləri əldə edə bilərsiniz müxtəlif əlamətlər. Cavab bəli olarsa, tənliyin cavabı iki fərqli kök olacaqdır. Mənfi ədədlə kvadrat tənliyin kökləri olmayacaq. Sıfıra bərabərdirsə, cavab bir olacaq.

Tam kvadrat tənlik necə həll olunur?

Əslində, artıq bu məsələyə baxılmağa başlanıb. Çünki əvvəlcə diskriminantı tapmaq lazımdır. Kvadrat tənliyin köklərinin olduğu aydınlaşdıqdan və onların sayı məlum olduqdan sonra dəyişənlər üçün düsturlardan istifadə etmək lazımdır. İki kök varsa, onda belə bir formul tətbiq etməlisiniz.

“±” işarəsini ehtiva etdiyi üçün iki dəyər olacaq. Kvadrat kök işarəsi altındakı ifadə diskriminantdır. Buna görə də düstur fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər.

Formula beş. Eyni qeyddən görmək olar ki, diskriminant sıfırdırsa, onda hər iki kök eyni qiymətləri alacaq.

Kvadrat tənliklərin həlli hələ işlənməyibsə, diskriminant və dəyişən düsturları tətbiq etməzdən əvvəl bütün əmsalların qiymətlərini yazmaq daha yaxşıdır. Sonradan bu an çətinlik yaratmayacaq. Ancaq başlanğıcda çaşqınlıq var.

Natamam kvadrat tənlik necə həll olunur?

Burada hər şey daha sadədir. Hətta əlavə düsturlara ehtiyac yoxdur. Ayrı-seçkilik edən və bilinməyən üçün artıq yazılmış olanlara ehtiyacınız olmayacaq.

Birincisi, iki nömrəli natamam tənliyi nəzərdən keçirin. Bu bərabərlikdə mötərizədən naməlum qiyməti çıxarıb mötərizədə qalacaq xətti tənliyi həll etmək nəzərdə tutulur. Cavabın iki kökü olacaq. Birincisi mütləq sıfıra bərabərdir, çünki dəyişənin özündən ibarət amil var. İkincisi xətti tənliyi həll etməklə əldə edilir.

Üç nömrəli natamam tənlik nömrəni tənliyin sol tərəfindən sağa köçürməklə həll edilir. Sonra naməlumun qarşısındakı əmsala bölmək lazımdır. Yalnız kvadrat kökü çıxarmaq qalır və onu iki dəfə əks işarələrlə yazmağı unutmayın.

Aşağıdakılar kvadrat tənliklərə çevrilən bütün növ bərabərlikləri necə həll etməyi öyrənməyə kömək edən bəzi hərəkətlərdir. Onlar tələbəyə diqqətsizlik səbəbindən səhvlərdən qaçmağa kömək edəcəklər. Bu çatışmazlıqlar geniş “Kvadrat tənliklər (8-ci sinif)” mövzusunu öyrənərkən aşağı qiymətlərin səbəbidir. Sonradan bu hərəkətləri daim yerinə yetirmək lazım olmayacaq. Çünki sabit bir vərdiş olacaq.

  • Əvvəlcə tənliyi standart formada yazmalısınız. Yəni əvvəlcə dəyişənin ən böyük dərəcəsi olan termin, sonra isə - dərəcəsiz və sonuncu - sadəcə bir rəqəm.
  • Əgər "a" əmsalından əvvəl bir mənfi görünürsə, bu, kvadrat tənlikləri öyrənmək üçün bir başlanğıc üçün işi çətinləşdirə bilər. Ondan qurtulmaq daha yaxşıdır. Bunun üçün bütün bərabərliklər "-1"-ə vurulmalıdır. Bu o deməkdir ki, bütün şərtlər işarəni əksinə dəyişəcək.
  • Eyni şəkildə, fraksiyalardan xilas olmaq tövsiyə olunur. Sadəcə olaraq, tənliyi müvafiq əmsala vurun ki, məxrəclər silinsin.

Nümunələr

Aşağıdakı kvadrat tənlikləri həll etmək lazımdır:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Birinci tənlik: x 2 - 7x \u003d 0. Natamamdır, buna görə də ikinci düstur üçün təsvir edildiyi kimi həll olunur.

Mötərizədən sonra belə çıxır: x (x - 7) \u003d 0.

Birinci kök dəyəri alır: x 1 \u003d 0. İkincisi xətti tənlikdən tapılacaq: x - 7 \u003d 0. X 2 \u003d 7 olduğunu görmək asandır.

İkinci tənlik: 5x2 + 30 = 0. Yenə natamam. Yalnız üçüncü düstur üçün təsvir edildiyi kimi həll edilir.

30-u tənliyin sağ tərəfinə köçürdükdən sonra: 5x 2 = 30. İndi 5-ə bölmək lazımdır. Belə çıxır: x 2 = 6. Cavablar rəqəmlər olacaq: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Üçüncü tənlik: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Burada və aşağıda kvadrat tənliklərin həlli onları standart formada yenidən yazmaqla başlayacaq: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. İndi ikincidən istifadə etmək vaxtıdır. faydalı məsləhət və hər şeyi mənfi bir ilə çarpın. X 2 + 2x - 15 \u003d 0 çıxır. Dördüncü düstura görə, diskriminantı hesablamalısınız: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Bu, bir müsbət rəqəm. Yuxarıda deyilənlərdən belə çıxır ki, tənliyin iki kökü var. Onları beşinci düstura görə hesablamaq lazımdır. Buna görə belə çıxır ki, x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Sonra x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Dördüncü tənlik x 2 + 8 + 3x \u003d 0 buna çevrilir: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Onun diskriminantı bu dəyərə bərabərdir: -23. Bu nömrə mənfi olduğundan, bu tapşırığın cavabı aşağıdakı giriş olacaq: "Köklər yoxdur."

Beşinci tənlik 12x + x 2 + 36 = 0 aşağıdakı kimi yenidən yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant üçün düstur tətbiq edildikdən sonra sıfır rəqəmi alınır. Bu o deməkdir ki, onun bir kökü olacaq, yəni: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Altıncı tənlik (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) mötərizələri açmadan əvvəl oxşar şərtləri gətirməyiniz lazım olan çevrilmələri tələb edir. Birincinin yerinə belə bir ifadə olacaq: x 2 + 2x + 1. Bərabərlikdən sonra bu qeyd görünəcək: x 2 + 3x + 2. Oxşar şərtlər hesablandıqdan sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq: x 2 - x \u003d 0. Natamam oldu. Ona bənzər artıq bir az daha yüksək hesab edilmişdir. Bunun kökləri 0 və 1 rəqəmləri olacaq.

”, yəni birinci dərəcəli tənliklər. Bu dərsdə biz araşdıracağıq kvadrat tənlik nədir və necə həll etmək olar.

Kvadrat tənlik nədir

Vacibdir!

Tənliyin dərəcəsi naməlumun dayandığı ən yüksək dərəcə ilə müəyyən edilir.

Naməlumun dayandığı maksimum dərəcə "2" olarsa, onda kvadrat tənliyə sahibsiniz.

Kvadrat tənliklərin nümunələri

  • 5x2 - 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
  • x2 + 0.25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Vacibdir! Kvadrat tənliyin ümumi forması belə görünür:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" və "c" - verilmiş nömrələr.
  • "a" - birinci və ya böyük əmsal;
  • "b" - ikinci əmsal;
  • "c" pulsuz üzvdür.

"A", "b" və "c" tapmaq üçün tənliyinizi "ax 2 + bx + c \u003d 0" kvadrat tənliyinin ümumi forması ilə müqayisə etməlisiniz.

Kvadrat tənliklərdə “a”, “b” və “c” əmsallarını təyin etməyə məşq edək.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +
tənlik Oranlar
  • a=5
  • b = −14
  • c = 17
  • a = −7
  • b = −13
  • c = 8
1
3
= 0
  • a = -1
  • b = 1
  • c =
    1
    3
x2 + 0.25x = 0
  • a = 1
  • b = 0,25
  • c = 0
x 2 − 8 = 0
  • a = 1
  • b = 0
  • c = −8

Kvadrat tənlikləri necə həll etmək olar

Xətti tənliklərdən fərqli olaraq, kvadrat tənlikləri həll etmək üçün xüsusi tənlikdən istifadə olunur. kökləri tapmaq üçün düstur.

Unutma!

Kvadrat tənliyi həll etmək üçün sizə lazımdır:

  • kvadrat tənliyi "ax 2 + bx + c \u003d 0" ümumi formasına gətirin. Yəni sağ tərəfdə yalnız "0" qalmalıdır;
  • köklər üçün düsturdan istifadə edin:

Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düsturun necə tətbiq olunacağını anlamaq üçün bir nümunədən istifadə edək. Kvadrat tənliyi həll edək.

X 2 - 3x - 4 = 0


"x 2 - 3x - 4 = 0" tənliyi artıq "ax 2 + bx + c = 0" ümumi formasına endirilmişdir və əlavə sadələşdirmələr tələb etmir. Bunu həll etmək üçün bizə yalnız müraciət etmək lazımdır kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düstur.

Bu tənlik üçün “a”, “b” və “c” əmsallarını təyin edək.


x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Onun köməyi ilə istənilən kvadrat tənlik həll edilir.

"x 1; 2 \u003d" düsturunda kök ifadəsi tez-tez dəyişdirilir
"b 2 − 4ac" "D" hərfinə qədər və diskriminant adlandırılır. Ayrı-seçkilik anlayışı "Ayrı-seçkilik nədir" dərsində daha ətraflı müzakirə olunur.

Kvadrat tənliyin başqa bir nümunəsini nəzərdən keçirək.

x 2 + 9 + x = 7x

Bu formada "a", "b" və "c" əmsallarını müəyyən etmək olduqca çətindir. Əvvəlcə tənliyi "ax 2 + bx + c \u003d 0" ümumi formasına gətirək.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

İndi köklər üçün düsturdan istifadə edə bilərsiniz.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6
2

x=3
Cavab: x = 3

Kvadrat tənliklərdə köklərin olmadığı vaxtlar olur. Bu vəziyyət, kök altındakı düsturda mənfi bir rəqəm göründüyü zaman baş verir.

Kvadrat tənliklər 8-ci sinifdə öyrənilir, ona görə də burada mürəkkəb bir şey yoxdur. Onları həll etmək bacarığı vacibdir.

Kvadrat tənlik ax 2 + bx + c = 0 formalı tənlikdir, burada a , b və c əmsalları ixtiyari ədədlərdir və a ≠ 0.

Xüsusi həll üsullarını öyrənməzdən əvvəl qeyd edirik ki, bütün kvadrat tənlikləri üç sinfə bölmək olar:

  1. Kökləri yoxdur;
  2. Onların tam bir kökü var;
  3. Onların iki fərqli kökü var.

Bu nədir mühüm fərq kökün həmişə mövcud olduğu və unikal olduğu xətti olanlardan kvadrat tənliklər. Tənliyin neçə kökü olduğunu necə müəyyən etmək olar? Bunun üçün gözəl bir şey var - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyi verilsin.Onda diskriminant sadəcə olaraq D = b 2 − 4ac ədədidir.

Bu formul əzbər bilinməlidir. Onun haradan gəldiyi indi vacib deyil. Başqa bir şey vacibdir: diskriminantın işarəsi ilə kvadrat tənliyin neçə kökü olduğunu müəyyən edə bilərsiniz. Məhz:

  1. Əgər D< 0, корней нет;
  2. D = 0 olarsa, tam olaraq bir kök var;
  3. Əgər D > 0 olarsa, iki kök olacaq.

Diqqət yetirin: ayrı-seçkilik köklərin sayını göstərir, nədənsə çoxlarının düşündüyü kimi, onların əlamətlərini deyil. Nümunələrə nəzər salın və hər şeyi özünüz başa düşəcəksiniz:

Tapşırıq. Kvadrat tənliklərin neçə kökü var:

  1. x 2 - 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinci tənlik üçün əmsalları yazırıq və diskriminantı tapırıq:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deməli, diskriminant müsbətdir, ona görə də tənliyin iki fərqli kökü var. İkinci tənliyi eyni şəkildə təhlil edirik:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant mənfidir, kökləri yoxdur. Son tənlik qalır:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sıfıra bərabərdir - kök bir olacaq.

Qeyd edək ki, hər bir tənlik üçün əmsallar yazılıb. Bəli, uzundur, bəli, yorucudur - amma ehtimalları qarışdırmayacaqsınız və axmaq səhvlər etməyəcəksiniz. Özünüz üçün seçin: sürət və ya keyfiyyət.

Yeri gəlmişkən, əgər "əlinizi doldursanız" bir müddət sonra bütün əmsalları yazmağa ehtiyac qalmayacaq. Belə əməliyyatları başınızda edəcəksiniz. Əksər insanlar bunu 50-70 həll edilmiş tənlikdən sonra hardasa etməyə başlayır - ümumiyyətlə, o qədər də çox deyil.

Kvadrat tənliyin kökləri

İndi həll yoluna keçək. Diskriminant D > 0 olarsa, kökləri düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:

Kvadrat tənliyin kökləri üçün əsas düstur

D = 0 olduqda, bu düsturlardan hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz - eyni nömrəni alırsınız, bu da cavab olacaq. Nəhayət, əgər D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 - 2x - 3 = 0;
  2. 15 - 2x - x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Birinci tənlik:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tənliyin iki kökü var. Gəlin onları tapaq:

İkinci tənlik:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ tənliyin yenidən iki kökü var. Gəlin onları tapaq

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=3. \\ \end(hizalayın)\]

Nəhayət, üçüncü tənlik:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tənliyin bir kökü var. Hər hansı bir formula istifadə edilə bilər. Məsələn, birincisi:

Nümunələrdən göründüyü kimi, hər şey çox sadədir. Əgər düsturları bilsəniz və saymağı bacarsanız, heç bir problem olmayacaq. Çox vaxt səhvlər düsturda mənfi əmsallar əvəz edildikdə baş verir. Burada yenə yuxarıda təsvir olunan texnika kömək edəcək: düstura sözün əsl mənasında baxın, hər addımı rəngləyin - və çox tezliklə səhvlərdən qurtulun.

Natamam kvadrat tənliklər

Belə olur ki, kvadrat tənlik tərifdə veriləndən bir qədər fərqlidir. Misal üçün:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Bu tənliklərdə şərtlərdən birinin əskik olduğunu görmək asandır. Belə kvadratik tənlikləri həll etmək standartlardan daha asandır: hətta diskriminantı hesablamağa belə ehtiyac yoxdur. Beləliklə, yeni bir konsepsiya təqdim edək:

ax 2 + bx + c = 0 tənliyi natamam kvadratik tənlik adlanır, əgər b = 0 və ya c = 0 olarsa, yəni. x dəyişəninin və ya sərbəst elementin əmsalı sıfıra bərabərdir.

Əlbəttə ki, bu əmsalların hər ikisi sıfıra bərabər olduqda çox çətin bir vəziyyət mümkündür: b \u003d c \u003d 0. Bu halda, tənlik ax 2 \u003d 0 formasını alır. Aydındır ki, belə bir tənliyin tək tənliyi var. kök: x \u003d 0.

Gəlin digər halları nəzərdən keçirək. Qoy b \u003d 0, onda ax 2 + c \u003d 0 formasının natamam kvadratik tənliyini alırıq. Gəlin onu bir az çevirək:

Çünki arifmetik Kvadrat kök yalnız mənfi olmayan ədəddən mövcuddur, sonuncu bərabərlik yalnız (−c /a ) ≥ 0 üçün məna kəsb edir. Nəticə:

  1. ax 2 + c = 0 formasının natamam kvadratik tənliyi (−c / a ) ≥ 0 bərabərsizliyini ödəyirsə, iki kök olacaq. Formula yuxarıda verilmişdir;
  2. Əgər (−c / a)< 0, корней нет.

Gördüyünüz kimi, diskriminant tələb olunmur - natamam kvadrat tənliklərdə heç bir mürəkkəb hesablamalar yoxdur. Əslində (−c / a ) ≥ 0 bərabərsizliyini xatırlamağa belə ehtiyac yoxdur. X 2-nin qiymətini ifadə etmək və bərabərlik işarəsinin digər tərəfində nə olduğunu görmək kifayətdir. Müsbət ədəd varsa, iki kök olacaq. Mənfi olsa, heç bir kök olmayacaq.

İndi sərbəst elementin sıfıra bərabər olduğu ax 2 + bx = 0 formalı tənliklərlə məşğul olaq. Burada hər şey sadədir: həmişə iki kök olacaq. Polinomu faktorlara ayırmaq kifayətdir:

Mötərizədə ümumi faktorun çıxarılması

Faktorlardan ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir. Köklər buradan gəlir. Sonda bu tənliklərin bir neçəsini təhlil edəcəyik:

Tapşırıq. Kvadrat tənlikləri həll edin:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Kökləri yoxdur, çünki kvadrat mənfi ədədə bərabər ola bilməz.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Birinci səviyyə

Kvadrat tənliklər. Hərtərəfli Bələdçi (2019)

“Kvadrat tənlik” terminində açar söz “kvadrat”dır. Bu o deməkdir ki, tənlik mütləq kvadratda dəyişən (eyni X) olmalıdır və eyni zamanda üçüncü (və ya daha böyük) dərəcədə X-lər olmamalıdır.

Bir çox tənliklərin həlli kvadrat tənliklərin həllinə endirilir.

Gəlin başqa bir deyil, kvadratik tənliyimiz olduğunu müəyyən etməyi öyrənək.

Misal 1

Məxrəcdən qurtulun və tənliyin hər bir üzvü ilə çarpın

Gəlin hər şeyi sol tərəfə keçirək və şərtləri x-in dərəcələrinin azalma ardıcıllığı ilə düzək

İndi əminliklə deyə bilərik ki, bu tənlik kvadratdır!

Misal 2

Sol və sağ tərəfləri çarpın:

Bu tənlik, əvvəlcə onun içində olsa da, kvadrat deyil!

Misal 3

Hər şeyi çoxaldaq:

Qorxulu? Dördüncü və ikinci dərəcələr ... Ancaq bir əvəz etsək, sadə kvadrat tənliyimiz olduğunu görərik:

Misal 4

Belə görünür, amma gəlin daha yaxından nəzər salaq. Hər şeyi sola keçirək:

Görürsünüz ki, o, kiçildi – indi isə sadə xətti tənlikdir!

İndi özünüz aşağıdakı tənliklərdən hansının kvadratik, hansının isə olmadığını müəyyən etməyə çalışın:

Nümunələr:

Cavablar:

  1. kvadrat;
  2. kvadrat;
  3. kvadrat deyil;
  4. kvadrat deyil;
  5. kvadrat deyil;
  6. kvadrat;
  7. kvadrat deyil;
  8. kvadrat.

Riyaziyyatçılar şərti olaraq bütün kvadrat tənlikləri aşağıdakı növlərə bölürlər:

  • Tam kvadrat tənliklər- əmsallarının və, həmçinin sərbəst c termininin sıfıra bərabər olmadığı tənliklər (nümunədə olduğu kimi). Bundan əlavə, tam kvadrat tənliklər arasında var verilmişdirəmsalı olan tənliklərdir (birinci misaldakı tənlik təkcə tam deyil, həm də azaldılmışdır!)
  • Natamam kvadrat tənliklər- əmsalı və ya sərbəst c termininin sıfıra bərabər olduğu tənliklər:

    Onlar natamamdır, çünki onlarda bəzi elementlər yoxdur. Ancaq tənlik həmişə x kvadratını ehtiva etməlidir !!! Əks halda, o, artıq kvadratik deyil, başqa bir tənlik olacaq.

Niyə belə bir bölgü ilə gəldilər? Belə görünür ki, X kvadratı var və tamam. Belə bölgü həll üsulları ilə bağlıdır. Onların hər birini daha ətraflı nəzərdən keçirək.

Natamam kvadrat tənliklərin həlli

Əvvəlcə natamam kvadrat tənliklərin həllinə diqqət yetirək - onlar daha sadədir!

Natamam kvadrat tənliklər aşağıdakı növlərə malikdir:

  1. , bu tənlikdə əmsal bərabərdir.
  2. , bu tənlikdə sərbəst müddət bərabərdir.
  3. , bu tənlikdə əmsal və sərbəst müddət bərabərdir.

1. i. Kvadrat kök almağı bildiyimiz üçün bu tənlikdən ifadə edək

İfadə mənfi və ya müsbət ola bilər. Kvadrat ədəd mənfi ola bilməz, çünki iki mənfi və ya iki müsbət ədədi vurduqda nəticə həmişə müsbət ədəd olacaqdır, belə ki: əgər, onda tənliyin həlli yoxdur.

Və əgər, onda iki kök alırıq. Bu düsturları yadda saxlamaq lazım deyil. Əsas odur ki, siz həmişə bilməli və yadda saxlamalısınız ki, daha az ola bilməz.

Bəzi nümunələri həll etməyə çalışaq.

Misal 5:

Tənliyi həll edin

İndi sol və sağ hissələrdən kök çıxarmaq qalır. Axı, kökləri necə çıxarmaq lazım olduğunu xatırlayırsınız?

Cavab:

Mənfi işarəsi olan kökləri heç vaxt unutma!!!

Misal 6:

Tənliyi həll edin

Cavab:

Misal 7:

Tənliyi həll edin

Oh! Ədədin kvadratı mənfi ola bilməz, yəni tənlik

kök yoxdur!

Kökləri olmayan belə tənliklər üçün riyaziyyatçılar xüsusi bir işarə ilə gəldilər - (boş dəst). Və cavabı belə yazmaq olar:

Cavab:

Beləliklə, bu kvadrat tənliyin iki kökü var. Kökü çıxarmadığımız üçün burada heç bir məhdudiyyət yoxdur.
Misal 8:

Tənliyi həll edin

Mötərizədə ümumi faktoru çıxaraq:

Beləliklə,

Bu tənliyin iki kökü var.

Cavab:

Natamam kvadrat tənliklərin ən sadə növü (hamısı sadə olsa da, elə deyilmi?). Aydındır ki, bu tənliyin həmişə yalnız bir kökü var:

Burada nümunələr olmadan edəcəyik.

Tam kvadrat tənliklərin həlli

Xatırladırıq ki, tam kvadrat tənlik buradakı formalı tənliyin tənliyidir

Tam kvadrat tənliklərin həlli verilənlərdən bir az daha mürəkkəbdir (bir az).

Unutma, hər hansı kvadrat tənliyi diskriminantdan istifadə etməklə həll etmək olar! Hətta natamam.

Qalan üsullar bunu daha sürətli etməyə kömək edəcək, lakin kvadrat tənliklərlə bağlı probleminiz varsa, əvvəlcə diskriminantdan istifadə edərək həlli mənimsəyin.

1. Diskriminantdan istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli.

Kvadrat tənlikləri bu şəkildə həll etmək çox sadədir, əsas odur ki, hərəkətlərin ardıcıllığını və bir neçə düsturları xatırlayın.

Əgər, onda tənliyin kökü var.Addımla xüsusi diqqət yetirilməlidir. Diskriminant () bizə tənliyin köklərinin sayını bildirir.

  • Əgər, onda addımdakı düstur azalacaq. Beləliklə, tənliyin yalnız bir kökü olacaq.
  • Əgər, onda biz addımda diskriminantın kökünü çıxara bilməyəcəyik. Bu, tənliyin heç bir kökünün olmadığını göstərir.

Gəlin tənliklərimizə qayıdaq və bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal 9:

Tənliyi həll edin

Addım 1 atlayın.

Addım 2

Diskriminantın tapılması:

Beləliklə, tənliyin iki kökü var.

Addım 3

Cavab:

Misal 10:

Tənliyi həll edin

Tənlik standart formadadır, yəni Addım 1 atlayın.

Addım 2

Diskriminantın tapılması:

Beləliklə, tənliyin bir kökü var.

Cavab:

Misal 11:

Tənliyi həll edin

Tənlik standart formadadır, yəni Addım 1 atlayın.

Addım 2

Diskriminantın tapılması:

Bu o deməkdir ki, biz diskriminantdan kök çıxara bilməyəcəyik. Tənliyin kökləri yoxdur.

İndi bu cür cavabları necə düzgün yazacağımızı bilirik.

Cavab: kökləri yoxdur

2. Vyeta teoremindən istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli.

Xatırlayırsınızsa, azaldılmış adlanan belə bir tənlik növü var (a əmsalı bərabər olduqda):

Belə tənlikləri Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll etmək çox asandır:

Köklərin cəmi verilmişdir kvadrat tənlik bərabərdir və köklərin hasili bərabərdir.

Misal 12:

Tənliyi həll edin

Bu tənlik Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll üçün uyğundur, çünki .

Tənliyin köklərinin cəmi, yəni. birinci tənliyi alırıq:

Və məhsul belədir:

Sistemi yaradaq və həll edək:

  • Və. Cəmi;
  • Və. Cəmi;
  • Və. Məbləğ bərabərdir.

və sistemin həlli:

Cavab: ; .

Misal 13:

Tənliyi həll edin

Cavab:

Misal 14:

Tənliyi həll edin

Tənlik azaldılır, yəni:

Cavab:

Kvadrat TƏNLƏR. ORTA SƏVİYYƏ

Kvadrat tənlik nədir?

Başqa sözlə, kvadrat tənlik formanın tənliyidir, burada - naməlum, - bəzi ədədlər, üstəlik.

Rəqəm ən yüksək və ya adlanır birinci əmsal kvadrat tənlik, - ikinci əmsal, A - pulsuz üzv.

Niyə? Çünki əgər, tənlik dərhal xətti olacaq, çünki yox olacaq.

Bu vəziyyətdə və sıfıra bərabər ola bilər. Bu nəcisdə tənlik natamam adlanır. Bütün şərtlər yerindədirsə, yəni tənlik tamamlanır.

Müxtəlif növ kvadrat tənliklərin həlli

Natamam kvadrat tənliklərin həlli üsulları:

Başlamaq üçün natamam kvadrat tənliklərin həlli üsullarını təhlil edəcəyik - onlar daha sadədir.

Aşağıdakı tənlik növlərini ayırd etmək olar:

I. , bu tənlikdə əmsal və sərbəst müddət bərabərdir.

II. , bu tənlikdə əmsal bərabərdir.

III. , bu tənlikdə sərbəst müddət bərabərdir.

İndi bu alt tiplərin hər birinin həllini nəzərdən keçirin.

Aydındır ki, bu tənliyin həmişə yalnız bir kökü var:

Kvadrat ədəd mənfi ola bilməz, çünki iki mənfi və ya iki müsbət ədədi çarpan zaman nəticə həmişə müsbət ədəd olacaqdır. Buna görə də:

əgər, onda tənliyin həlli yoxdur;

iki kökümüz varsa

Bu düsturları yadda saxlamaq lazım deyil. Əsas odur ki, daha az ola bilməz.

Nümunələr:

Həll yolları:

Cavab:

Mənfi işarəsi olan kökləri heç vaxt unutma!

Ədədin kvadratı mənfi ola bilməz, yəni tənlik

kökləri yoxdur.

Problemin həlli olmadığını qısaca yazmaq üçün boş dəst ikonundan istifadə edirik.

Cavab:

Beləliklə, bu tənliyin iki kökü var: və.

Cavab:

Mötərizədə ümumi faktoru çıxaraq:

Faktorlardan ən azı biri sıfıra bərabər olarsa, məhsul sıfıra bərabərdir. Bu o deməkdir ki, tənliyin həlli aşağıdakı hallarda olur:

Deməli, bu kvadrat tənliyin iki kökü var: və.

Misal:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Tənliyin sol tərəfini faktorlara ayırırıq və kökləri tapırıq:

Cavab:

Tam kvadrat tənliklərin həlli üsulları:

1. Diskriminant

Kvadrat tənlikləri bu şəkildə həll etmək asandır, əsas odur ki, hərəkətlərin ardıcıllığını və bir neçə düsturları xatırlayın. Unutmayın ki, istənilən kvadrat tənliyi diskriminantdan istifadə etməklə həll etmək olar! Hətta natamam.

Kök düsturunda diskriminantın kökünə diqqət yetirdinizmi? Ancaq diskriminant mənfi ola bilər. Nə etməli? 2-ci addıma xüsusi diqqət yetirməliyik. Diskriminant bizə tənliyin köklərinin sayını bildirir.

  • Əgər, onda tənliyin kökü varsa:
  • Əgər, onda tənliyin eyni kökü varsa, amma əslində bir kök var:

    Belə köklərə qoşa kök deyilir.

  • Əgər, onda diskriminantın kökü çıxarılmır. Bu, tənliyin heç bir kökünün olmadığını göstərir.

Niyə müxtəlif sayda köklər var? Kvadrat tənliyin həndəsi mənasına keçək. Funksiyanın qrafiki paraboladır:

Kvadrat tənlik olan xüsusi halda, . Və bu o deməkdir ki, kvadrat tənliyin kökləri x oxu (ox) ilə kəsişmə nöqtələridir. Parabola oxu heç kəsə bilməz və ya onu bir (parabolanın yuxarı hissəsi oxun üzərində olduqda) və ya iki nöqtədə kəsə bilər.

Bundan əlavə, əmsal parabolanın budaqlarının istiqamətinə cavabdehdir. Əgər, onda parabolanın budaqları yuxarıya, əgər varsa - aşağıya doğru yönəldilmişdir.

Nümunələr:

Həll yolları:

Cavab:

Cavab: .

Cavab:

Bu o deməkdir ki, həll yolları yoxdur.

Cavab: .

2. Vyeta teoremi

Vieta teoremindən istifadə etmək çox asandır: sadəcə məhsulu tənliyin sərbəst müddətinə bərabər olan, cəmi isə əks işarə ilə götürülmüş ikinci əmsala bərabər olan bir cüt ədəd seçmək lazımdır.

Vyeta teoreminin yalnız tətbiq oluna biləcəyini xatırlamaq vacibdir verilmiş kvadrat tənliklər ().

Bir neçə nümunəyə baxaq:

Nümunə №1:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Bu tənlik Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll üçün uyğundur, çünki . Digər əmsallar: ; .

Tənliyin köklərinin cəmi:

Və məhsul belədir:

Məhsulu bərabər olan belə cüt ədədləri seçək və onların cəminin bərabər olub olmadığını yoxlayaq:

  • Və. Cəmi;
  • Və. Cəmi;
  • Və. Məbləğ bərabərdir.

və sistemin həlli:

Beləliklə, və tənliyimizin kökləridir.

Cavab: ; .

Nümunə №2:

Həll:

Məhsulda verən bu cür nömrə cütlərini seçirik və sonra onların cəminin bərabər olub olmadığını yoxlayırıq:

və: cəmi verin.

və: cəmi verin. Bunu əldə etmək üçün sadəcə iddia edilən köklərin əlamətlərini dəyişdirmək lazımdır: və bütün bunlardan sonra iş.

Cavab:

Nümunə #3:

Həll:

Tənliyin sərbəst müddəti mənfidir və buna görə də köklərin hasili mənfi ədəddir. Bu, yalnız köklərdən biri mənfi, digəri isə müsbət olduqda mümkündür. Beləliklə, köklərin cəmidir modullarının fərqləri.

Məhsulda verən və fərqi bərabər olan nömrə cütlərini seçirik:

və: onların fərqi - uyğun deyil;

və: - uyğun deyil;

və: - uyğun deyil;

və: - uyğundur. Yalnız köklərdən birinin mənfi olduğunu xatırlamaq qalır. Onların cəmi bərabər olmalı olduğundan, mütləq dəyərindən kiçik olan kök mənfi olmalıdır: . Yoxlayırıq:

Cavab:

Nümunə №4:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Tənlik azaldılır, yəni:

Sərbəst termin mənfidir və buna görə də köklərin məhsulu mənfidir. Və bu, yalnız tənliyin bir kökü mənfi, digəri isə müsbət olduqda mümkündür.

Məhsulu bərabər olan bu cür nömrə cütlərini seçirik və sonra hansı köklərin mənfi işarəyə malik olduğunu müəyyənləşdiririk:

Aydındır ki, yalnız köklər və ilk vəziyyət üçün uyğundur:

Cavab:

Nümunə №5:

Tənliyi həll edin.

Həll:

Tənlik azaldılır, yəni:

Köklərin cəmi mənfidir, yəni köklərdən ən azı biri mənfidir. Lakin onların məhsulu müsbət olduğundan, bu, hər iki kökün mənfi olduğunu bildirir.

Məhsulu bərabər olan bu cür nömrə cütlərini seçirik:

Aydındır ki, köklər rəqəmlərdir və.

Cavab:

Razılaşın, çox rahatdır - bu murdar ayrı-seçkiliyi saymaq əvəzinə kökləri şifahi olaraq icad etmək. Vyeta teoremindən mümkün qədər tez-tez istifadə etməyə çalışın.

Ancaq Vieta teoremi kökləri tapmağı asanlaşdırmaq və sürətləndirmək üçün lazımdır. Onu istifadə etməyiniz üçün sərfəli etmək üçün hərəkətləri avtomatizmə gətirməlisiniz. Və bunun üçün daha beş nümunə həll edin. Ancaq aldatmayın: diskriminantdan istifadə edə bilməzsiniz! Yalnız Vyeta teoremi:

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar üçün həllər:

Tapşırıq 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vyeta teoreminə görə:

Həmişə olduğu kimi, seçimə məhsulla başlayırıq:

Məbləğ olduğu üçün uyğun deyil;

: məbləğ sizə lazım olandır.

Cavab: ; .

Tapşırıq 2.

Yenə də sevimli Vyeta teoremi: cəmi işləməlidir, lakin məhsul bərabərdir.

Amma olmamalı olduğu üçün, lakin, biz köklərin əlamətlərini dəyişirik: və (cəmi).

Cavab: ; .

Tapşırıq 3.

Hmm... Haradadır?

Bütün şərtləri bir hissəyə köçürmək lazımdır:

Köklərin cəmi məhsula bərabərdir.

Bəli, dayan! Tənlik verilmir. Lakin Vyeta teoremi yalnız verilmiş tənliklərdə tətbiq olunur. Beləliklə, əvvəlcə tənliyi gətirməlisiniz. Əgər onu gündəmə gətirə bilmirsinizsə, bu fikri tərk edin və başqa bir şəkildə həll edin (məsələn, diskriminant vasitəsilə). Xatırladım ki, kvadrat tənliyi gətirmək aparıcı əmsalı bərabərləşdirmək deməkdir:

Əla. Sonra köklərin cəmi bərabərdir və məhsul.

Burada götürmək daha asandır: axırda - əsas rəqəm (tavtologiya üçün üzr istəyirəm).

Cavab: ; .

Tapşırıq 4.

Sərbəst termin mənfidir. Bunda xüsusi nə var? Və köklərin fərqli əlamətlərə sahib olacağı faktı. İndi, seçim zamanı biz köklərin cəmini yox, modulları arasındakı fərqi yoxlayırıq: bu fərq bərabərdir, lakin məhsuldur.

Beləliklə, köklər bərabərdir, lakin onlardan biri mənfidir. Vietanın teoremi bizə köklərin cəminin əks işarəli ikinci əmsala bərabər olduğunu söyləyir, yəni. Bu o deməkdir ki, kiçik kökün mənfisi olacaq: və, çünki.

Cavab: ; .

Tapşırıq 5.

Əvvəlcə nə etmək lazımdır? Düzdür, tənliyi verin:

Yenə: ədədin amillərini seçirik və onların fərqi bərabər olmalıdır:

Köklər bərabərdir, lakin onlardan biri mənfidir. Hansı? Onların cəmi bərabər olmalıdır, yəni mənfi ilə daha böyük bir kök olacaqdır.

Cavab: ; .

İcazə verin ümumiləşdirim:
  1. Vyeta teoremi yalnız verilmiş kvadrat tənliklərdə istifadə olunur.
  2. Vieta teoremindən istifadə edərək, kökləri şifahi olaraq seçərək tapa bilərsiniz.
  3. Tənlik verilməyibsə və ya sərbəst terminin uyğun amillər cütü tapılmayıbsa, onda tam köklər yoxdur və onu başqa bir şəkildə həll etmək lazımdır (məsələn, diskriminant vasitəsilə).

3. Tam kvadrat seçim üsulu

Tərkibində naməlum olan bütün terminlər qısaldılmış vurma düsturlarından - cəminin və ya fərqin kvadratından - terminlər kimi təqdim edilirsə, onda dəyişənlərin dəyişməsindən sonra tənlik növün natamam kvadratik tənliyi kimi təqdim edilə bilər.

Misal üçün:

Misal 1:

Tənliyi həll edin: .

Həll:

Cavab:

Misal 2:

Tənliyi həll edin: .

Həll:

Cavab:

IN ümumi görünüşçevrilmə belə görünəcək:

Bu o deməkdir ki: .

Bu sizə heç nəyi xatırlatmır? Bu diskriminantdır! Diskriminant düsturu məhz belə alındı.

Kvadrat TƏNLƏR. ƏSAS HAQQINDA QISA

Kvadrat tənlik formalı tənlikdir, burada naməlumdur, kvadrat tənliyin əmsallarıdır, sərbəst termindir.

Tam kvadrat tənliyi- əmsalların sıfıra bərabər olmadığı tənlik.

Qısaldılmış kvadrat tənlik- əmsalı olan tənlik, yəni: .

Natamam kvadrat tənlik- əmsalın və ya sərbəst c termininin sıfıra bərabər olduğu tənlik:

  • əmsal olarsa, tənlik formaya malikdir: ,
  • sərbəst termindirsə, tənlik aşağıdakı formaya malikdir: ,
  • əgər və, tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: .

1. Natamam kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi

1.1. Formanın natamam kvadratik tənliyi, burada, :

1) Naməlumu ifadə edin: ,

2) İfadənin işarəsini yoxlayın:

  • Əgər tənliyin həlli yoxdursa,
  • əgər, onda tənliyin iki kökü var.

1.2. Formanın natamam kvadratik tənliyi, burada, :

1) Mötərizədə ümumi amili çıxaraq: ,

2) Faktorlardan ən azı biri sıfıra bərabər olarsa, hasil sıfıra bərabərdir. Beləliklə, tənliyin iki kökü var:

1.3. Formanın natamam kvadratik tənliyi, burada:

Bu tənliyin həmişə yalnız bir kökü var: .

2. Buradakı formanın tam kvadrat tənliklərinin həlli alqoritmi

2.1. Diskriminantdan istifadə edərək həll

1) Tənliyi standart formaya gətirək: ,

2) Tənliyin köklərinin sayını göstərən düsturdan istifadə edərək diskriminantı hesablayın:

3) Tənliyin köklərini tapın:

  • əgər, onda tənliyin kökü varsa, düsturla tapılır:
  • Əgər, onda tənliyin kökü varsa, bu düsturla tapılır:
  • əgər, onda tənliyin kökləri yoxdur.

2.2. Vietanın teoremindən istifadə edərək həll

Aşağı salınmış kvadrat tənliyin köklərinin cəmi (forma tənliyi, burada) bərabərdir və köklərin hasili bərabərdir, yəni. , A.

2.3. Tam kvadrat həll

Biblioqrafik təsvir: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları // Gənc alim. 2016. №6.1. S. 17-20..02.2019).





Layihəmiz kvadrat tənliklərin həlli yollarına həsr edilmişdir. Layihənin məqsədi: Kvadrat tənlikləri məktəb proqramına daxil olmayan üsullarla həll etməyi öyrənmək. Tapşırıq: kvadrat tənlikləri həll etməyin bütün mümkün yollarını tapın və onlardan necə istifadə edəcəyinizi öyrənin və sinif yoldaşlarını bu üsullarla tanış edin.

"Kvadrat tənliklər" nədir?

Kvadrat tənlik- formanın tənliyi balta2 + bx + c = 0, Harada a, b, c- bəzi rəqəmlər ( a ≠ 0), x- naməlum.

a, b, c ədədlərinə kvadrat tənliyin əmsalları deyilir.

  • a birinci əmsal adlanır;
  • b ikinci əmsal adlanır;
  • c - pulsuz üzv.

Bəs kvadrat tənlikləri ilk “icad edən” kimdir?

Xətti və kvadrat tənliklərin həlli üçün bəzi cəbri üsullar hələ 4000 il əvvəl Qədim Babildə məlum idi. Tapılmış qədim Babil gil lövhələri eramızdan əvvəl 1800-1600-cü illər arasında, kvadrat tənliklərin öyrənilməsinin ən erkən sübutudur. Eyni tabletlərdə kvadrat tənliklərin müəyyən növlərinin həlli üsulları var.

Qədim dövrlərdə təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti, torpaq sahələrinin və hərbi xarakterli torpaq işlərinin tapılması, habelə astronomiyanın inkişafı ilə bağlı problemlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. riyaziyyatın özü.

Babil mətnlərində qeyd olunan bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasirlə üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılan mixi yazıların, demək olar ki, hamısı, necə tapıldığı göstərilmədən, yalnız reseptlər şəklində ifadə edilən həlləri ilə bağlı problemlər verir. Rəğmən yüksək səviyyə Babildə cəbrin inkişafı, mixi mətnlərdə mənfi ədəd anlayışı yoxdur və ümumi üsullar kvadrat tənliklərin həlli.

Babil riyaziyyatçıları təxminən eramızdan əvvəl IV əsrdən. müsbət kökləri olan tənlikləri həll etmək üçün kvadrat tamamlama üsulundan istifadə etmişdir. Təxminən 300 B.C. Evklid daha ümumi həndəsi həll üsulu ilə çıxış etdi. Mənfi kökləri olan tənliyin cəbri düstur şəklində həll yollarını tapan ilk riyaziyyatçı hind alimi olmuşdur. Brahmagupta(Hindistan, eramızın 7-ci əsri).

Brahmagupta vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qaydanı qeyd etdi:

ax2 + bx = c, a>0

Bu tənlikdə əmsallar mənfi ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə üst-üstə düşür.

Hindistanda çətin problemlərin həllində ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim adamşöhrəti örtmək məşhur məclislər, cəbri məsələləri təklif etmək və həll etmək". Tapşırıqlar çox vaxt poetik formada geyindirilirdi.

Cəbri bir traktatda Əl-Xarəzmi xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif 6 növ tənliyi sadalayır və onları aşağıdakı kimi ifadə edir:

1) “Kvadratlar köklərə bərabərdir”, yəni ax2 = bx.

2) “Kvadratlar ədədə bərabərdir”, yəni ax2 = c.

3) "Köklər ədədə bərabərdir", yəni ax2 = c.

4) “Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir”, yəni ax2 + c = bx.

5) “Kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir”, yəni ax2 + bx = c.

6) “Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir”, yəni bx + c == ax2.

Mənfi ədədlərin istifadəsindən qaçan Əl-Xarəzmi üçün bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxma deyil, toplanır. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər açıq şəkildə nəzərə alınmır. Müəllif əl-cəbr və əl-müqəbələ üsullarından istifadə edərək bu tənliklərin həlli üsullarını qeyd edir. Onun qərarı, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Onun sırf ritorik olması faktını demirik, məsələn, qeyd etmək lazımdır ki, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən Əl-Xarəzmi XVII əsrə qədərki bütün riyaziyyatçılar kimi sıfırı nəzərə almır. həlli, yəqin ki, konkret praktiki tapşırıqlarda, bunun əhəmiyyəti olmadığı üçün. Tam kvadratik tənliklərin həlli zamanı Əl-Xarəzmi onların həlli qaydalarını xüsusi ədədi nümunələrdən, sonra isə həndəsi sübutlarından istifadə edərək müəyyən edir.

Avropada Əl-Xarəzmi modeli üzrə kvadrat tənliklərin həlli formaları ilk dəfə 1202-ci ildə yazılmış “Abakus kitabı”nda təsvir edilmişdir. italyan riyaziyyatçısı Leonard Fibonaççi. Müəllif müstəqil olaraq problem həllinin bəzi yeni cəbri nümunələrini işləyib hazırladı və Avropada ilk olaraq mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı.

Bu kitab cəbri biliklərin təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində yayılmasına töhfə verdi. Bu kitabdan bir çox tapşırıqlar 14-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərinə köçürüldü. Ümumi qayda x2 + bx = c işarələrinin və b, c əmsallarının bütün mümkün birləşmələri ilə vahid kanonik formaya endirilən kvadrat tənliklərin həlli 1544-cü ildə Avropada tərtib edilmişdir. M. Ştifel.

Vietada kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun ümumi törəməsi var, lakin Vyeta yalnız müsbət kökləri tanıdı. italyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilər arasında. müsbət və mənfi köklərə əlavə olaraq nəzərə alın. Yalnız XVII əsrdə. iş sayəsində Girard, Dekart, Nyuton və başqa elm adamları tərəfindən kvadrat tənliklərin həlli yolu müasir forma alır.

Kvadrat tənlikləri həll etməyin bir neçə yolunu nəzərdən keçirin.

Məktəb kurikulumundan kvadrat tənliklərin həllinin standart yolları:

  1. Tənliyin sol tərəfinin faktorlaşdırılması.
  2. Tam kvadrat seçim üsulu.
  3. Kvadrat tənliklərin düsturla həlli.
  4. Kvadrat tənliyin qrafik həlli.
  5. Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliklərin həlli.

Vyeta teoremindən istifadə edərək azaldılmış və azaldılmayan kvadratik tənliklərin həlli üzərində daha ətraflı dayanaq.

Yada salaq ki, verilmiş kvadrat tənlikləri həll etmək üçün iki ədəd tapmaq kifayətdir ki, hasili sərbəst həddə, cəmi isə əks işarəli ikinci əmsala bərabər olsun.

Misal.x 2 -5x+6=0

Məhsulu 6, cəmi 5 olan ədədləri tapmaq lazımdır. Bu ədədlər 3 və 2 olacaq.

Cavab: x 1 =2, x 2 =3.

Ancaq bu üsuldan birinci əmsalı birə bərabər olmayan tənliklər üçün istifadə edə bilərsiniz.

Misal.3x 2 +2x-5=0

Birinci əmsalı götürüb sərbəst terminə vururuq: x 2 +2x-15=0

Bu tənliyin kökləri hasili - 15-ə, cəmi isə - 2-yə bərabər olan ədədlər olacaq. Bu ədədlər 5 və 3-dür. İlkin tənliyin köklərini tapmaq üçün alınan kökləri birinci əmsala bölürük. .

Cavab: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Tənliklərin “köçürmə” üsulu ilə həlli.

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyini nəzərdən keçirək, burada a≠0.

Onun hər iki hissəsini a ilə vuraraq a 2 x 2 + abx + ac = 0 tənliyini alırıq.

ax = y olsun, buradan x = y/a; onda biz verilənə ekvivalent olan y 2 + by + ac = 0 tənliyinə çatırıq. Vieta teoremindən istifadə edərək onun köklərini 1 və 2-də tapırıq.

Nəhayət, x 1 = y 1 /a və x 2 = y 2 /a alırıq.

Bu üsulla a əmsalı sərbəst terminə vurulur, sanki ona “köçürülür” və ona görə də “köçürmə” üsulu adlanır. Bu üsul Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliyin köklərini tapmaq asan olduqda və ən əsası diskriminant dəqiq kvadrat olduqda istifadə olunur.

Misal.2x 2 - 11x + 15 = 0.

2 əmsalını sərbəst terminə “köçürək” və əvəzləyərək y 2 - 11y + 30 = 0 tənliyini alırıq.

Vietanın tərs teoreminə görə

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Cavab: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadrat tənliyin əmsallarının xassələri.

Kvadrat tənliyi ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 verilsin.

1. Əgər a + b + c \u003d 0 (yəni, tənliyin əmsallarının cəmi sıfırdır), onda x 1 \u003d 1.

2. Əgər a - b + c \u003d 0 və ya b \u003d a + c, onda x 1 \u003d - 1.

Misal.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Çünki a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), sonra x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Cavab: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Misal.132x 2 + 247x + 115 = 0

Çünki a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), sonra x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Cavab: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Kvadrat tənliyin əmsallarının başqa xassələri də var. lakin onların istifadəsi daha mürəkkəbdir.

8. Nomoqramdan istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli.

Şəkil 1. Nomoqram

Bu, kolleksiyanın 83-cü səhifəsində yerləşdirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün köhnə və hazırda unudulmuş üsuldur: Bradis V.M. Dörd rəqəmli riyazi cədvəllər. - M., Təhsil, 1990.

Cədvəl XXII. Tənliklərin həlli üçün nomoqramma z2 + pz + q = 0. Bu nomoqram kvadrat tənliyi həll etmədən tənliyin köklərini onun əmsalları ilə təyin etməyə imkan verir.

Nomoqramın əyri xətti miqyası düsturlara uyğun olaraq qurulur (şəkil 1):

fərz edirik OS = p, ED = q, OE = a(hamısı sm ilə), Şəkil 1-dən üçbucaqların oxşarlığı SAN Və CDF nisbətini alırıq

buradan, əvəzetmələrdən və sadələşdirmələrdən sonra tənlik gəlir z 2 + pz + q = 0, və məktub zəyri miqyasda istənilən nöqtənin etiketi deməkdir.

düyü. 2 Nomoqramdan istifadə etməklə kvadrat tənliyin həlli

Nümunələr.

1) Tənlik üçün z 2 - 9z + 8 = 0 nomoqram kökləri z 1 = 8,0 və z 2 = 1,0 verir

Cavab: 8.0; 1.0.

2) Nomoqramdan istifadə edərək tənliyi həll edin

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bu tənliyin əmsallarını 2-yə bölün, z 2 - 4.5z + 1 = 0 tənliyini alırıq.

Nomoqram kökləri z 1 = 4 və z 2 = 0,5 verir.

Cavab: 4; 0.5.

9. Kvadrat tənliklərin həllinin həndəsi üsulu.

Misal.X 2 + 10x = 39.

Orijinalda bu məsələ belə tərtib edilmişdir: “Kvadrat və on kök 39-a bərabərdir”.

X tərəfi olan bir kvadrat düşünün, hər birinin digər tərəfi 2,5 olması üçün tərəflərində düzbucaqlılar qurulur, buna görə də hər birinin sahəsi 2,5x-dir. Sonra ortaya çıxan rəqəm künclərdə dörd bərabər kvadratı tamamlayan yeni ABCD kvadratına əlavə olunur, hər birinin tərəfi 2,5, sahəsi isə 6,25-dir.

düyü. 3 x 2 + 10x = 39 tənliyini həll etməyin qrafik yolu

ABCD kvadratının S sahəsi sahələrin cəmi kimi təqdim edilə bilər: orijinal kvadrat x 2, dörd düzbucaqlı (4 ∙ 2,5x = 10x) və dörd əlavə edilmiş kvadrat (6,25 ∙ 4 = 25), yəni. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x-i 39 rəqəmi ilə əvəz edərək, S \u003d 39 + 25 \u003d 64 alırıq ki, bu da ABCD kvadratının tərəfinin, yəni. seqment AB \u003d 8. Orijinal kvadratın istədiyiniz tərəfi x üçün alırıq

10. Bezout teoremindən istifadə edərək tənliklərin həlli.

Bezout teoremi. P(x) polinomunu x - α binomuna böldükdən sonra qalıq P(α)-a bərabərdir (yəni P(x)-in x = α-dakı qiyməti).

Əgər α ədədi P(x) polinomunun köküdürsə, bu çoxhədli x -α-ya qalıqsız bölünür.

Misal.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x)-i (x-1)-ə bölün: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, və ya x-3=0, x=3; Cavab: x1 =2, x2 =3.

Nəticə: Kvadrat tənlikləri tez və rasional həll etmək bacarığı sadəcə olaraq daha mürəkkəb tənliklərin, məsələn, kəsr rasional tənliklərin, yüksək səviyyəli tənliklərin, bikvadrat tənliklərin və orta məktəbdə triqonometrik, eksponensial və loqarifmik tənliklərin həlli üçün lazımdır. Kvadrat tənliklərin həlli üçün tapılan bütün üsulları öyrəndikdən sonra sinif yoldaşlarına standart üsullara əlavə olaraq köçürmə üsulu (6) və tənlikləri əmsalların (7) xassələri ilə həll etməyi tövsiyə edə bilərik, çünki onlar başa düşmək üçün daha əlçatandırlar. .

Ədəbiyyat:

  1. Bradis V.M. Dörd rəqəmli riyazi cədvəllər. - M., Təhsil, 1990.
  2. Cəbr 8 sinif: 8-ci sinif üçün dərslik. ümumi təhsil qurumlar Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovski 15-ci nəşr, yenidən işlənmiş. - M.: Maarifçilik, 2015
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Glazer G.I. Məktəbdə riyaziyyatın tarixi. Müəllimlər üçün bələdçi. / Ed. V.N. Gənc. - M.: Maarifçilik, 1964.