Kvadrat tənliklər 8-ci sinifdə öyrənilir, ona görə də burada mürəkkəb bir şey yoxdur. Onları həll etmək bacarığı mütləq lazımdır.
Kvadrat tənlik ax 2 + bx + c = 0 formalı tənlikdir, burada a, b və c əmsalları ixtiyari ədədlər və a ≠ 0 olur.
Xüsusi həll üsullarını öyrənməzdən əvvəl bütün kvadrat tənlikləri üç sinfə bölmək olar:
- Kökləri yoxdur;
- Tam bir kök var;
- Onların iki fərqli kökü var.
Budur mühüm fərq kökün həmişə mövcud olduğu və unikal olduğu xətti olanlardan kvadrat tənliklər. Tənliyin neçə kökü olduğunu necə müəyyən etmək olar? Bunun üçün gözəl bir şey var - diskriminant.
Diskriminant
ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyi verilsin, onda diskriminant sadəcə olaraq D = b 2 − 4ac ədədidir.
Bu düsturu əzbər bilməlisiniz. Onun haradan gəldiyi indi vacib deyil. Başqa bir şey vacibdir: diskriminantın işarəsi ilə kvadrat tənliyin neçə kökü olduğunu müəyyən edə bilərsiniz. Məhz:
- Əgər D< 0, корней нет;
- D = 0 olarsa, tam olaraq bir kök var;
- Əgər D > 0 olarsa, iki kök olacaq.
Diqqət yetirin: ayrı-seçkilik köklərin sayını göstərir, nədənsə çoxlarının inandığı kimi, onların əlamətlərini deyil. Nümunələrə nəzər salın və hər şeyi özünüz başa düşəcəksiniz:
Tapşırıq. Kvadrat tənliklərin neçə kökü var:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Birinci tənlik üçün əmsalları yazaq və diskriminantı tapaq:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Deməli diskriminant müsbətdir, ona görə də tənliyin iki fərqli kökü var. İkinci tənliyi oxşar şəkildə təhlil edirik:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Diskriminant mənfidir, kökləri yoxdur. Qalan son tənlik belədir:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant sıfırdır - kök bir olacaq.
Nəzərə alın ki, əmsallar hər bir tənlik üçün yazılıb. Bəli, uzun, bəli, yorucudur, amma ehtimalları qarışdırıb axmaq səhvlər etməyəcəksiniz. Özünüz üçün seçin: sürət və ya keyfiyyət.
Yeri gəlmişkən, əgər bunu başa düşsəniz, bir müddət sonra bütün əmsalları yazmağa ehtiyac qalmayacaq. Belə əməliyyatları başınızda edəcəksiniz. Əksər insanlar bunu 50-70 həll edilmiş tənlikdən sonra hardasa etməyə başlayır - ümumiyyətlə, o qədər də çox deyil.
Kvadrat tənliyin kökləri
İndi həllin özünə keçək. Diskriminant D > 0 olarsa, kökləri düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:
Əsas kök formulu kvadrat tənlik
D = 0 olduqda, bu düsturlardan hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz - eyni nömrəni alacaqsınız, bu da cavab olacaq. Nəhayət, əgər D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Birinci tənlik:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ tənliyin iki kökü var. Gəlin onları tapaq:
İkinci tənlik:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ tənliyin yenidən iki kökü var. Gəlin onları tapaq
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=3. \\ \end(hizalayın)\]
Nəhayət, üçüncü tənlik:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ tənliyin bir kökü var. Hər hansı bir formula istifadə edilə bilər. Məsələn, birincisi:
Nümunələrdən göründüyü kimi, hər şey çox sadədir. Əgər düsturları bilirsinizsə və saya bilirsinizsə, heç bir problem olmayacaq. Əksər hallarda düsturda mənfi əmsalları əvəz edərkən səhvlər baş verir. Yenə də yuxarıda təsvir olunan texnika kömək edəcək: düstura sözün əsl mənasında baxın, hər addımı yazın - və çox keçmədən səhvlərdən qurtulacaqsınız.
Natamam kvadrat tənliklər
Belə olur ki, kvadrat tənlik tərifdə veriləndən bir qədər fərqlidir. Məsələn:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Bu tənliklərdə şərtlərdən birinin əskik olduğunu görmək asandır. Belə kvadrat tənlikləri həll etmək standart tənliklərdən daha asandır: onlar hətta diskriminantın hesablanmasını tələb etmirlər. Beləliklə, yeni bir konsepsiya təqdim edək:
ax 2 + bx + c = 0 tənliyi natamam kvadratik tənlik adlanır, əgər b = 0 və ya c = 0 olarsa, yəni. x dəyişəninin və ya sərbəst elementin əmsalı sıfıra bərabərdir.
Təbii ki, bu əmsalların hər ikisi sıfıra bərabər olduqda çox çətin vəziyyət mümkündür: b = c = 0. Bu halda tənlik ax 2 = 0 formasını alır. Aydındır ki, belə tənliyin tək kökü var: x. = 0.
Qalan halları nəzərdən keçirək. b = 0 olsun, onda ax 2 + c = 0 formasının natamam kvadrat tənliyini alaq. Onu bir az çevirək:
Arifmetik kvadrat kök yalnız mənfi olmayan ədəddən ibarət olduğundan, sonuncu bərabərlik yalnız (−c /a) ≥ 0 üçün məna kəsb edir. Nəticə:
- ax 2 + c = 0 formalı natamam kvadratik tənlikdə (−c /a) ≥ 0 bərabərsizliyi təmin edilərsə, iki kök olacaqdır. Formula yuxarıda verilmişdir;
- Əgər (−c /a)< 0, корней нет.
Gördüyünüz kimi, diskriminant tələb olunmurdu - natamam kvadrat tənliklərdə heç bir mürəkkəb hesablamalar ümumiyyətlə yoxdur. Əslində (−c /a) ≥ 0 bərabərsizliyini xatırlamağa belə ehtiyac yoxdur. Bunun üçün x 2 qiymətini ifadə etmək və bərabər işarəsinin digər tərəfində nə olduğunu görmək kifayətdir. Müsbət ədəd varsa, iki kök olacaq. Əgər mənfi olarsa, kökləri ümumiyyətlə olmayacaq.
İndi sərbəst elementin sıfıra bərabər olduğu ax 2 + bx = 0 formalı tənliklərə baxaq. Burada hər şey sadədir: həmişə iki kök olacaq. Polinomu faktorlaşdırmaq kifayətdir:
Mötərizədə ümumi faktorun çıxarılmasıFaktorlardan ən azı biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır. Köklər buradan gəlir. Sonda bu tənliklərdən bir neçəsinə nəzər salaq:
Tapşırıq. Kvadrat tənlikləri həll edin:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Kökləri yoxdur, çünki kvadrat mənfi ədədə bərabər ola bilməz.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Kopyevskaya kənd orta məktəbi
Kvadrat tənliklərin həlli üçün 10 üsul
Rəhbər: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
riyaziyyat müəllimi
Kopevo kəndi, 2007
1. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi
1.1 Qədim Babildə kvadrat tənliklər
1.2 Diophantus kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi
1.3 Hindistanda kvadrat tənliklər
1.4 Əl-Xorəzmi tərəfindən kvadrat tənliklər
1.5 Avropada kvadrat tənliklər XIII - XVII əsrlər
1.6 Vyeta teoremi haqqında
2. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları
Nəticə
Ədəbiyyat
1. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi
1.1 Qədim Babildə kvadrat tənliklər
Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hələ qədim zamanlarda torpaq sahələrinin və torpaq sahələrinin tapılması ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə yaranmışdır. torpaq işləri hərbi xarakterli, eləcə də astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı ilə. Kvadrat tənliklər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə həll edilə bilərdi. e. babillilər.
Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər var:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Babil mətnlərində təsbit edilən bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasir olanla üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılmış demək olar ki, bütün mixi yazılar, necə tapıldığına dair heç bir işarə olmadan, yalnız reseptlər şəklində qoyulmuş həll yolları ilə bağlı problemləri təmin edir.
Baxmayaraq yüksək səviyyədə Babildə cəbrin inkişafı, mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı yoxdur və ümumi üsullar kvadrat tənliklərin həlli.
1.2 Diophantus kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi.
Diofantın Arifmetikası cəbrin sistemli təqdimatını ehtiva etmir, lakin o, izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklərin qurulması ilə həll edilən sistematik bir sıra problemləri ehtiva edir.
Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.
Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.
Problem 11.“İki ədədi tapın, çünki onların cəmi 20 və hasilinin 96-dır”
Diophantus belə əsaslandırır: məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, tələb olunan ədədlər bərabər deyil, çünki onlar bərabər olsaydı, onda onların hasilatı 96 deyil, 100-ə bərabər olardı. Beləliklə, onlardan biri ondan çox olacaq. onların məbləğinin yarısı, yəni. 10 + x, digəri azdır, yəni. 10-lar. Onların arasındakı fərq 2x .
Beləliklə, tənlik:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Buradan x = 2. Tələb olunan ədədlərdən biri bərabərdir 12 , digər 8 . Həll x = -2çünki Diofant yoxdur, çünki yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bilirdi.
Tələb olunan ədədlərdən birini naməlum kimi seçməklə bu məsələni həll etsək, onda tənliyin həllinə gələrik.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Aydındır ki, tələb olunan ədədlərin yarı fərqini naməlum kimi seçməklə, Diofant həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin (1) həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.
1.3 Hindistanda Kvadrat Tənliklər
Kvadrat tənliklərlə bağlı məsələlərə artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (7-ci əsr) təsvir etmişdir ümumi qayda vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli:
ah 2+ b x = c, a > 0. (1)
(1) tənliyində əmsallar istisna olmaqla A, mənfi də ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir.
IN Qədim HindistanÇətin problemlərin həllində ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları tutduğu kimi, öyrənmiş adam başqasının izzətini kölgədə qoyacaq xalq məclisləri, cəbri məsələləri təklif etmək və həll etmək”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.
Bu, 12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biridir. Bhaskarlar.
Problem 13.
“Bir sürü çılpaq meymun və üzüm boyu on iki...
Səlahiyyətlilər yemək yeyərək əyləndilər. Atlamağa, asmağa başladılar...
Meydanda onlar var, səkkizinci hissə Neçə meymun var idi?
Təmizlikdə əylənirdim. Mənə deyin, bu paketdə?
Bhaskara həlli onu göstərir ki, o, kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətli olduğunu bilirdi (şək. 3).
13-cü məsələyə uyğun gələn tənlik:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara adı altında yazır:
x 2 - 64x = -768
və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə əlavə edir 32 2 , sonra əldə edin:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Əl - Xorəzmidə kvadrat tənliklər
Əl-Xorəzminin cəbri traktatında xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif 6 növ tənliyi sayaraq onları aşağıdakı kimi ifadə edir:
1) “Kvadratlar köklərə bərabərdir”, yəni. balta 2 + c = b X.
2) “Kvadratlar ədədlərə bərabərdir”, yəni. balta 2 = c.
3) “Köklər ədədə bərabərdir”, yəni. ah = s.
4) “Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir”, yəni. balta 2 + c = b X.
5) “Kvadratlar və köklər ədədlərə bərabərdir”, yəni. ah 2+ bx = s.
6) "Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir", yəni. bx + c = balta 2.
Mənfi ədədlərin istifadəsindən qaçan əl-Xorəzmi üçün bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxılan deyil, toplanandır. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər açıq şəkildə nəzərə alınmır. Müəllif bu tənliklərin həlli üsullarını “əl-cəbr” və “əl-müqəbələ” üsullarından istifadə edərək müəyyən edir. Onun qərarları, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Bunun sırf ritorik olduğunu nəzərə almasaq, məsələn, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən qeyd etmək lazımdır.
əl-Xorəzmi XVII əsrə qədərki bütün riyaziyyatçılar kimi, yəqin ki, konkret praktiki məsələlərdə əhəmiyyət kəsb etmədiyi üçün sıfır həllini nəzərə almır. Tam kvadrat tənliklərin həlli zamanı əl-Xorəzmi onların həlli qaydalarını xüsusi ədədi nümunələrdən, sonra isə həndəsi sübutlardan istifadə edərək müəyyən edir.
Problem 14.“Kvadrat və 21 rəqəmi 10 kökə bərabərdir. kökünü tap" (x 2 + 21 = 10x tənliyinin kökünü nəzərdə tutur).
Müəllifin həlli belə olur: köklərin sayını yarıya böl, 5-i al, 5-i özünə vur, hasildən 21-i çıxar, qalanı 4. 4-dən kök götür, 2-ni çıxar. , 3 alırsınız, bu istədiyiniz kök olacaq. Və ya 5-ə 2-ni əlavə edin, bu da 7 verir, bu da bir kökdür.
Əl-Xorəzminin risaləsi kvadrat tənliklərin təsnifatını sistemli şəkildə ortaya qoyan və onların həlli üçün düsturlar verən bizə çatan ilk kitabdır.
1.5 Avropada kvadrat tənliklər XIII - XVII bb
Kvadrat tənliklərin Avropada əl-Xarəzmi xətti ilə həlli üçün düsturlar ilk dəfə 1202-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən yazılmış “Abacus” kitabında verilmişdir. Riyaziyyatın təsirini əks etdirən bu həcmli əsər həm İslam ölkələri, həm də Qədim Yunanıstan, təqdimatın həm tamlığı, həm də aydınlığı ilə seçilir. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin həlli üçün bəzi yeni cəbr nümunələri işləyib hazırladı və Avropada ilk dəfə mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı. Onun kitabı təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində cəbr biliklərinin yayılmasına töhfə verib. “Abacus Kitabı”ndan bir çox problem 16-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərində istifadə edilmişdir. və qismən XVIII.
Vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda:
x 2 + bx = c,
əmsal işarələrinin bütün mümkün birləşmələri üçün b , ilə Avropada yalnız 1544-cü ildə M. Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir.
Kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun çıxarılması ümumi görünüş Vyetda var, lakin Vyet yalnız müsbət kökləri tanıyırdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. Müsbət olanlarla yanaşı, mənfi köklər də nəzərə alınır. Yalnız 17-ci əsrdə. Girard, Dekart, Nyuton və başqa alimlərin işi sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma alır.
1.6 Vyeta teoremi haqqında
Kvadrat tənliyin əmsalları ilə onun kökləri arasındakı əlaqəni ifadə edən teorem Vyeta adına verilmişdir ki, o, ilk dəfə 1591-ci ildə belə tərtib etmişdir: “Əgər B + D, ilə vurulur A - A 2 , bərabərdir BD, Bu A bərabərdir IN və bərabərdir D ».
Vyetanı anlamaq üçün bunu xatırlamalıyıq A, hər hansı bir sait hərfi kimi, naməlumu nəzərdə tuturdu (bizim X), saitlər IN, D- naməlum üçün əmsallar. Müasir cəbrin dilində yuxarıdakı Vieta düsturunun mənası: əgər varsa
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Tənliklərin kökləri və əmsalları arasındakı əlaqəni simvollardan istifadə etməklə yazılmış ümumi düsturlarla ifadə edən Vyet tənliklərin həlli üsullarında vahidliyi müəyyən etmişdir. Bununla belə, Vyetin simvolizmi hələ də uzaqdır müasir görünüş. Mənfi ədədləri tanımırdı və buna görə də tənlikləri həll edərkən yalnız bütün köklərin müsbət olduğu halları nəzərə alırdı.
2. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları
Kvadrat tənliklər cəbrin əzəmətli binasının dayandığı bünövrədir. Kvadrat tənliklərdən triqonometrik, eksponensial, loqarifmik, irrasional və transsendental tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində geniş istifadə olunur. Kvadrat tənliklərin həllini məktəbdən (8-ci sinif) bitirənə qədər hamımız bilirik.
Bu mövzu çox sadə olmayan formullara görə ilk baxışdan mürəkkəb görünə bilər. Kvadrat tənliklərin özlərində təkcə uzun qeydlər yoxdur, həm də köklər diskriminant vasitəsilə tapılır. Ümumilikdə üç yeni düstur əldə edilir. Xatırlamaq çox asan deyil. Bu, yalnız belə tənlikləri tez-tez həll etdikdən sonra mümkündür. Sonra bütün düsturlar öz-özünə yadda qalacaq.
Kvadrat tənliyin ümumi görünüşü
Burada ən böyük dərəcə əvvəlcə, sonra isə azalan qaydada yazıldıqda onların açıq qeydini təklif edirik. Çox vaxt şərtlərin uyğunsuz olduğu vəziyyətlər olur. Sonra tənliyi dəyişənin dərəcəsinə görə azalan qaydada yenidən yazmaq daha yaxşıdır.
Bəzi qeydləri təqdim edək. Onlar aşağıdakı cədvəldə təqdim olunur.
Bu qeydləri qəbul etsək, bütün kvadrat tənliklər aşağıdakı qeydlərə endirilir.
Bundan əlavə, a ≠ 0 əmsalı. Bu düstur bir nömrə ilə təyin olunsun.
Tənlik verildikdə cavabda neçə kök olacağı bəlli deyil. Çünki üç variantdan biri həmişə mümkündür:
- həllin iki kökü olacaq;
- cavab bir nömrə olacaq;
- tənliyin heç bir kökü olmayacaq.
Və qərar yekunlaşana qədər, müəyyən bir vəziyyətdə hansı variantın görünəcəyini anlamaq çətindir.
Kvadrat tənliklərin qeydlərinin növləri
Tapşırıqlarda fərqli girişlər ola bilər. Həmişə belə görünməyəcəklər ümumi formula kvadrat tənlik. Bəzən bəzi şərtlər itkin olacaq. Yuxarıda yazılanlar tam tənlikdir. Ondakı ikinci və ya üçüncü termini çıxarsanız, başqa bir şey alırsınız. Bu qeydlərə kvadrat tənliklər də deyilir, yalnız natamamdır.
Üstəlik, yalnız “b” və “c” əmsallı terminlər yox ola bilər. “a” rəqəmi heç bir halda sıfıra bərabər ola bilməz. Çünki bu halda düstur xətti tənliyə çevrilir. Tənliklərin natamam forması üçün düsturlar aşağıdakı kimi olacaq:
Beləliklə, yalnız iki növ var, tam olanlardan əlavə, natamam kvadrat tənliklər də var; Birinci düstur iki, ikincisi isə üç olsun.
Köklərin sayının onun qiymətindən diskriminant və asılılığı
Tənliyin köklərini hesablamaq üçün bu rəqəmi bilməlisiniz. Kvadrat tənliyin düsturu nə olursa olsun, onu həmişə hesablamaq olar. Diskriminantı hesablamaq üçün aşağıda yazılan bərabərlikdən istifadə etməlisiniz, onun dörd nömrəsi olacaq.
Bu düsturda əmsal dəyərlərini əvəz etdikdən sonra rəqəmləri əldə edə bilərsiniz müxtəlif əlamətlər. Cavab bəli olarsa, tənliyin cavabı iki fərqli kök olacaqdır. Əgər ədəd mənfi olarsa, kvadrat tənliyin kökləri olmayacaq. Sıfıra bərabərdirsə, yalnız bir cavab olacaq.
Tam kvadrat tənliyi necə həll etmək olar?
Əslində, artıq bu məsələyə baxılmağa başlanıb. Çünki əvvəlcə bir diskriminant tapmaq lazımdır. Kvadrat tənliyin kökləri olduğu müəyyən edildikdən və onların sayı məlum olduqdan sonra dəyişənlər üçün düsturlardan istifadə etmək lazımdır. Əgər iki kök varsa, o zaman aşağıdakı düsturu tətbiq etməlisiniz.
Tərkibində “±” işarəsi olduğundan iki məna olacaq. İşarə altında ifadə kvadrat kök diskriminatordur. Buna görə də düstur fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər.
Formula nömrəsi beş. Eyni qeyddən aydın olur ki, diskriminant sıfıra bərabərdirsə, onda hər iki kök eyni qiymətləri alacaq.
Kvadrat tənliklərin həlli hələ işlənməyibsə, diskriminant və dəyişən düsturları tətbiq etməzdən əvvəl bütün əmsalların dəyərlərini yazmaq daha yaxşıdır. Sonradan bu an çətinlik yaratmayacaq. Ancaq başlanğıcda çaşqınlıq var.
Natamam kvadrat tənliyi necə həll etmək olar?
Burada hər şey daha sadədir. Əlavə düsturlara belə ehtiyac yoxdur. Ayrı-seçkilik edən və bilinməyən üçün artıq yazılmış olanlara ehtiyac olmayacaq.
Birincisi, iki nömrəli natamam tənliyə baxaq. Bu bərabərlikdə mötərizədə naməlum kəmiyyəti çıxarmaq və mötərizədə qalacaq xətti tənliyi həll etmək lazımdır. Cavabın iki kökü olacaq. Birincisi mütləq sıfıra bərabərdir, çünki dəyişənin özündən ibarət çarpan var. İkincisi xətti tənliyi həll etməklə əldə ediləcək.
Üç nömrəli natamam tənlik ədədi bərabərliyin sol tərəfindən sağa daşımaqla həll edilir. Sonra naməlum tərəfə baxan əmsala bölmək lazımdır. Yalnız kvadrat kökü çıxarmaq və onu iki dəfə əks işarələrlə yazmağı unutmayın.
Aşağıda kvadrat tənliklərə çevrilən bütün növ bərabərlikləri necə həll edəcəyinizi öyrənməyə kömək edəcək bəzi hərəkətlər var. Onlar tələbəyə diqqətsizlik səbəbindən səhvlərdən qaçmağa kömək edəcəklər. Bu çatışmazlıqlar “Kvadrat tənliklər (8-ci sinif)” geniş mövzusunu öyrənərkən zəif qiymətlərə səbəb olur. Sonradan bu hərəkətləri daim yerinə yetirmək lazım olmayacaq. Çünki sabit bir bacarıq meydana çıxacaq.
- Əvvəlcə tənliyi standart formada yazmalısınız. Yəni əvvəlcə dəyişənin ən böyük dərəcəsi olan termin, sonra - dərəcəsiz və sonuncu - sadəcə bir rəqəm.
- Əgər “a” əmsalından əvvəl bir mənfi görünürsə, bu, kvadrat tənlikləri öyrənən yeni başlayanlar üçün işi çətinləşdirə bilər. Ondan qurtulmaq daha yaxşıdır. Bunun üçün bütün bərabərliklər “-1”-ə vurulmalıdır. Bu o deməkdir ki, bütün şərtlər işarəni əksinə dəyişəcək.
- Eyni şəkildə fraksiyalardan xilas olmaq tövsiyə olunur. Sadəcə olaraq tənliyi müvafiq əmsala vurun ki, məxrəclər ləğv olunsun.
Nümunələr
Aşağıdakı kvadrat tənlikləri həll etmək lazımdır:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Birinci tənlik: x 2 − 7x = 0. O, natamamdır, ona görə də ikinci düstur üçün təsvir olunduğu kimi həll edilir.
Mötərizədən çıxardıqdan sonra belə çıxır: x (x - 7) = 0.
Birinci kök dəyəri götürür: x 1 = 0. İkincisi xətti tənlikdən tapılacaq: x - 7 = 0. X 2 = 7 olduğunu görmək asandır.
İkinci tənlik: 5x 2 + 30 = 0. Yenə natamam. Yalnız üçüncü düstur üçün təsvir edildiyi kimi həll edilir.
30-u bərabərliyin sağ tərəfinə köçürdükdən sonra: 5x 2 = 30. İndi 5-ə bölmək lazımdır. Belə çıxır: x 2 = 6. Cavablar rəqəmlər olacaq: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Üçüncü tənlik: 15 − 2x − x 2 = 0. Burada və daha sonra kvadrat tənliklərin həlli onları standart formada yenidən yazmaqla başlayacaq: − x 2 − 2x + 15 = 0. İndi ikincidən istifadə etmək vaxtıdır. faydalı məsləhət və hər şeyi mənfi bir ilə çarpın. Çıxır x 2 + 2x - 15 = 0. Dördüncü düsturdan istifadə edərək, diskriminantı hesablamaq lazımdır: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Bu müsbət ədəddir. Yuxarıda deyilənlərdən belə çıxır ki, tənliyin iki kökü var. Onları beşinci düsturla hesablamaq lazımdır. Belə çıxır ki, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Onda x 1 = 3, x 2 = - 5.
Dördüncü tənlik x 2 + 8 + 3x = 0 buna çevrilir: x 2 + 3x + 8 = 0. Onun diskriminantı bu qiymətə bərabərdir: -23. Bu nömrə mənfi olduğundan, bu tapşırığın cavabı aşağıdakı giriş olacaq: "Köklər yoxdur."
Beşinci tənlik 12x + x 2 + 36 = 0 aşağıdakı kimi yenidən yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant üçün düstur tətbiq edildikdən sonra sıfır rəqəmi alınır. Bu o deməkdir ki, onun bir kökü olacaq, yəni: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Altıncı tənlik (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) çevrilmələri tələb edir ki, bu da ilk növbədə mötərizələri açaraq oxşar şərtləri gətirməyinizdən ibarətdir. Birincinin yerinə aşağıdakı ifadə olacaq: x 2 + 2x + 1. Bərabərlikdən sonra bu qeyd görünəcək: x 2 + 3x + 2. Oxşar şərtlər hesablandıqdan sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq: x 2 - x = 0. Natamam oldu. Buna bənzər bir şey artıq bir az yuxarıda müzakirə edilmişdir. Bunun kökləri 0 və 1 rəqəmləri olacaq.
“Tənliklərin həlli” mövzusunu davam etdirərək, bu məqalədəki material sizi kvadrat tənliklərlə tanış edəcək.
Gəlin hər şeyi ətraflı nəzərdən keçirək: kvadrat tənliyin mahiyyəti və qeydi, müşayiət olunan şərtləri müəyyənləşdirin, natamam və tam tənliklərin həlli sxemini təhlil edin, köklərin və diskriminantın düsturu ilə tanış olun, köklər və əmsallar arasında əlaqə qurun, və təbii ki, biz praktiki nümunələrə vizual bir həll verəcəyik.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kvadrat tənlik, onun növləri
Tərif 1Kvadrat tənlik kimi yazılmış tənlikdir a x 2 + b x + c = 0, Harada x– dəyişən, a, b və c– bəzi rəqəmlər, hələ a sıfır deyil.
Çox vaxt kvadrat tənliklərə ikinci dərəcəli tənliklər də deyilir, çünki mahiyyətcə kvadrat tənlik ikinci dərəcəli cəbr tənliyidir.
Verilmiş tərifi göstərmək üçün misal verək: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 və s. Bunlar kvadrat tənliklərdir.
Tərif 2
a, b və rəqəmləri c kvadrat tənliyin əmsallarıdır a x 2 + b x + c = 0, əmsalı isə a birinci və ya böyük adlanır və ya x 2-də əmsal, b - ikinci əmsal və ya əmsalda x, A c pulsuz üzv çağırılır.
Məsələn, kvadrat tənlikdə 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 aparıcı əmsal 6, ikinci əmsaldır − 2 , sərbəst müddət isə bərabərdir − 11 . əmsalların nə zaman olduğuna diqqət yetirək b və/və ya c mənfi olduqda formanın qısa formasından istifadə olunur 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, yox 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Bu cəhəti də aydınlaşdıraq: əgər əmsallar a və/və ya b bərabərdir 1 və ya − 1 , onda onlar kvadrat tənliyin yazılmasında açıq şəkildə iştirak edə bilməzlər ki, bu da göstərilən ədədi əmsalların yazılmasının xüsusiyyətləri ilə izah olunur. Məsələn, kvadrat tənlikdə y 2 − y + 7 = 0 aparıcı əmsal 1, ikinci əmsal isə − 1 .
Azaldılmış və azaldılmamış kvadrat tənliklər
Birinci əmsalın qiymətinə əsasən kvadrat tənliklər azaldılmış və azaldılmamış bölünür.
Tərif 3
Qısaldılmış kvadrat tənlik aparıcı əmsalı 1 olan kvadratik tənlikdir. Aparıcı əmsalın digər dəyərləri üçün kvadrat tənlik azaldılmamışdır.
Nümunələr verək: kvadrat tənliklər x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, hər birində aparıcı əmsalı 1-dir.
9 x 2 − x − 2 = 0- birinci əmsalın fərqli olduğu azaldılmamış kvadrat tənlik 1 .
İstənilən azaldılmamış kvadrat tənliyi hər iki tərəfi birinci əmsala (ekvivalent çevrilmə) bölmək yolu ilə azaldılmış tənliyə çevrilə bilər. Dəyişdirilmiş tənliyin verilmiş azaldılmamış tənliklə eyni kökləri olacaq və ya heç kökləri olmayacaq.
Nəzərə almaq konkret misal azaldılmamış kvadrat tənlikdən kiçildilmiş tənliyə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirməyə imkan verəcəkdir.
Misal 1
6 x 2 + 18 x − 7 = 0 tənliyi verilmişdir . Orijinal tənliyi kiçildilmiş formaya çevirmək lazımdır.
Həll
Yuxarıdakı sxemə əsasən, orijinal tənliyin hər iki tərəfini aparıcı əmsal 6 ilə bölürük. Sonra alırıq: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, və bu eynidir: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 və daha çox: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Beləliklə, verilənə ekvivalent bir tənlik əldə edilir.
Cavab: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Tam və natamam kvadrat tənliklər
Kvadrat tənliyin tərifinə keçək. Orada bunu qeyd etdik a ≠ 0. Bənzər bir şərt tənlik üçün lazımdır a x 2 + b x + c = 0 zamandan bəri dəqiq kvadrat idi a = 0 mahiyyətcə xətti tənliyə çevrilir b x + c = 0.
əmsalların olduğu halda b Və c sıfıra bərabərdir (həm fərdi, həm də birlikdə mümkündür), kvadrat tənlik natamam adlanır.
Tərif 4
Natamam kvadrat tənlik- belə bir kvadrat tənlik a x 2 + b x + c = 0, burada əmsallardan ən azı biri b Və c(və ya hər ikisi) sıfırdır.
Tam kvadrat tənliyi– bütün ədədi əmsalların sıfıra bərabər olmadığı kvadratik tənlik.
Kvadrat tənliklərin növlərinə niyə məhz bu adlar verildiyini müzakirə edək.
b = 0 olduqda kvadrat tənlik formasını alır a x 2 + 0 x + c = 0 ilə eynidir a x 2 + c = 0. At c = 0 kimi yazılır kvadrat tənlik a x 2 + b x + 0 = 0, ekvivalentdir a x 2 + b x = 0. At b = 0 Və c = 0 tənlik formasını alacaq a x 2 = 0. Əldə etdiyimiz tənliklər tam kvadrat tənlikdən onunla fərqlənir ki, onların sol tərəflərində nə x dəyişənli həddi, nə də sərbəst həddi və ya hər ikisini ehtiva etmir. Əslində, bu fakt bu tip tənliyə ad verdi - natamam.
Məsələn, x 2 + 3 x + 4 = 0 və − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam kvadrat tənliklərdir; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – natamam kvadrat tənliklər.
Natamam kvadrat tənliklərin həlli
Yuxarıda verilmiş tərif vurğulamağa imkan verir aşağıdakı növlər natamam kvadrat tənliklər:
- a x 2 = 0, bu tənlik əmsallara uyğundur b = 0 və c = 0;
- a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 at c = 0.
Natamam kvadrat tənliyin hər bir növünün həllini ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.
a x 2 =0 tənliyinin həlli
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu tənlik əmsallara uyğundur b Və c, sıfıra bərabərdir. Tənlik a x 2 = 0 ekvivalent tənliyə çevrilə bilər x 2 = 0, orijinal tənliyin hər iki tərəfini ədədə bölməklə əldə edirik a, sıfıra bərabər deyil. Aşkar fakt budur ki, tənliyin kökü x 2 = 0 bu sıfırdır, çünki 0 2 = 0 . Bu tənliyin dərəcə xassələri ilə izah oluna bilən başqa kökləri yoxdur: istənilən ədəd üçün p, sıfıra bərabər deyil, bərabərsizlik doğrudur p 2 > 0, buradan nə vaxt ki, belə çıxır p ≠ 0 bərabərlik p 2 = 0 heç vaxt nail olmayacaq.
Tərif 5
Beləliklə, a x 2 = 0 natamam kvadrat tənliyi üçün tək kök var x = 0.
Misal 2
Məsələn, natamam kvadrat tənliyi həll edək − 3 x 2 = 0. Bu tənliyə bərabərdir x 2 = 0, onun yeganə köküdür x = 0, onda ilkin tənliyin tək kökü var - sıfır.
Qısaca həll yolu aşağıdakı kimi yazılır:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
a x 2 + c = 0 tənliyinin həlli
Növbəti sırada natamam kvadrat tənliklərin həlli durur, burada b = 0, c ≠ 0, yəni formalı tənliklər a x 2 + c = 0. Bu tənliyi tənliyin bir tərəfindən digər tərəfinə köçürərək, işarəsini əks tərəfə dəyişdirərək və tənliyin hər iki tərəfini sıfıra bərabər olmayan ədədə bölməklə bu tənliyi çevirək:
- transfer c tənliyi verən sağ tərəfə a x 2 = − c;
- bərabərliyin hər iki tərəfini bölün a, biz x = - c a ilə bitiririk.
Bizim çevirmələrimiz müvafiq olaraq ekvivalentdir, nəticədə yaranan tənlik də orijinala bərabərdir və bu fakt tənliyin kökləri haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir. Dəyərlərin nə olmasından a Və c ifadənin dəyəri - c a asılıdır: onun mənfi işarəsi ola bilər (məsələn, əgər a = 1 Və c = 2, onda - c a = - 2 1 = - 2) və ya artı işarəsi (məsələn, əgər a = − 2 Və c = 6, onda - c a = - 6 - 2 = 3); sıfır deyil, çünki c ≠ 0. Gəlin vəziyyətlər üzərində daha ətraflı dayanaq - c a< 0 и - c a > 0 .
halda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа səh p 2 = - c a bərabərliyi doğru ola bilməz.
- c a > 0 olduqda hər şey fərqlidir: kvadrat kökü xatırlayın və məlum olacaq ki, x 2 = - c a tənliyinin kökü - c a olacaq, çünki - c a 2 = - c a. Anlamaq çətin deyil ki, - - c a ədədi həm də x 2 = - c a tənliyinin köküdür: doğrudan da, - - c a 2 = - c a.
Tənliyin başqa kökləri olmayacaq. Biz bunu ziddiyyət metodundan istifadə edərək nümayiş etdirə bilərik. Başlamaq üçün yuxarıda tapılan köklər üçün qeydləri müəyyən edək x 1 Və − x 1. Tutaq ki, x 2 = - c a tənliyinin də kökü var x 2, köklərdən fərqli olan x 1 Və − x 1. Bunu tənliyə əvəz etməklə bilirik x onun kökləri ilə tənliyi ədalətli ədədi bərabərliyə çeviririk.
üçün x 1 Və − x 1 yazırıq: x 1 2 = - c a , və üçün x 2- x 2 2 = - c a . Ədədi bərabərliklərin xassələrinə əsaslanaraq, bir düzgün bərabərlik terminini digərindən terminlə çıxarırıq, bu bizə verəcəkdir: x 1 2 − x 2 2 = 0. Son bərabərliyi kimi yenidən yazmaq üçün rəqəmlərlə əməliyyatların xassələrindən istifadə edirik (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Məlumdur ki, iki ədədin hasili sıfırdır, o halda və yalnız ədədlərdən ən azı biri sıfırdır. Yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır x 1 − x 2 = 0 və/və ya x 1 + x 2 = 0, eynidir x 2 = x 1 və/və ya x 2 = − x 1. Aşkar bir ziddiyyət yarandı, çünki əvvəlcə tənliyin kökü razılaşdırıldı x 2-dən fərqlidir x 1 Və − x 1. Beləliklə, biz sübut etdik ki, tənliyin x = - c a və x = - - c a-dan başqa kökləri yoxdur.
Yuxarıdakı bütün arqumentləri ümumiləşdirək.
Tərif 6
Natamam kvadrat tənlik a x 2 + c = 0 x 2 = - c a tənliyinə ekvivalentdir, hansı ki:
- kökləri olmayacaq - c a< 0 ;
- - c a > 0 üçün x = - c a və x = - - c a üçün iki kök olacaq.
Tənliklərin həllinə dair nümunələr verək a x 2 + c = 0.
Misal 3
Kvadrat tənlik verilmişdir 9 x 2 + 7 = 0. Bunun həllini tapmaq lazımdır.
Həll
Sərbəst termini tənliyin sağ tərəfinə keçirək, onda tənlik formasını alacaq 9 x 2 = − 7.
Əldə edilən tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölək 9
, biz x 2 = - 7 9-a çatırıq. Sağ tərəfdə mənfi işarəsi olan bir ədəd görürük, yəni: verilmiş tənliyin kökləri yoxdur. Sonra orijinal natamam kvadrat tənlik 9 x 2 + 7 = 0 kökləri olmayacaq.
Cavab: tənlik 9 x 2 + 7 = 0 kökləri yoxdur.
Misal 4
Tənliyi həll etmək lazımdır − x 2 + 36 = 0.
Həll
36-nı sağ tərəfə keçirək: − x 2 = − 36.
Gəlin hər iki hissəni bölək − 1
, alırıq x 2 = 36. Sağ tərəfdə müsbət bir rəqəm var, ondan nəticə çıxara bilərik
x = 36 və ya
x = - 36.
Gəlin kökü çıxaraq və yekun nəticəni yazaq: natamam kvadrat tənlik − x 2 + 36 = 0 iki kökü var x=6 və ya x = − 6.
Cavab: x=6 və ya x = − 6.
a x 2 +b x=0 tənliyinin həlli
Natamam kvadrat tənliklərin üçüncü növünü təhlil edək, zaman c = 0. Natamam kvadrat tənliyin həllini tapmaq a x 2 + b x = 0, faktorizasiya metodundan istifadə edəcəyik. Mötərizədə ortaq amili çıxararaq, tənliyin sol tərəfində olan çoxhədlini faktorlara ayıraq. x. Bu addım orijinal natamam kvadrat tənliyi onun ekvivalentinə çevirməyə imkan verəcəkdir x (a x + b) = 0. Və bu tənlik də öz növbəsində tənliklər toplusuna bərabərdir x = 0 Və a x + b = 0. Tənlik a x + b = 0 xətti və onun kökü: x = − b a.
Tərif 7
Beləliklə, natamam kvadrat tənlik a x 2 + b x = 0 iki kök olacaq x = 0 Və x = − b a.
Materialı bir nümunə ilə gücləndirək.
Misal 5
2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 tənliyinin həllini tapmaq lazımdır.
Həll
Çıxaracağıq x mötərizənin xaricində x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 tənliyini alırıq. Bu tənlik tənliklərə bərabərdir x = 0 və 2 3 x - 2 2 7 = 0. İndi ortaya çıxan xətti tənliyi həll etməlisiniz: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Tənliyin həllini aşağıdakı kimi qısaca yazın:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 və ya 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 və ya x = 3 3 7
Cavab: x = 0, x = 3 3 7.
Diskriminant, kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur
Kvadrat tənliklərin həllini tapmaq üçün kök düsturu var:
Tərif 8
x = - b ± D 2 · a, burada D = b 2 − 4 a c– kvadrat tənliyin sözdə diskriminantı.
x = - b ± D 2 · a yazmaq mahiyyətcə x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a deməkdir.
Bu formulun necə əldə edildiyini və necə tətbiq olunacağını başa düşmək faydalı olardı.
Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun çıxarılması
Kvadrat tənliyi həll etmək tapşırığı ilə qarşılaşaq a x 2 + b x + c = 0. Bir sıra ekvivalent çevrilmələri həyata keçirək:
- tənliyin hər iki tərəfini ədədə bölün a, sıfırdan fərqli olaraq aşağıdakı kvadrat tənliyi əldə edirik: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- Nəticə tənliyinin sol tərəfindəki tam kvadratı seçək:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Bundan sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - İndi işarəni əksinə dəyişdirərək, son iki şərti sağ tərəfə köçürmək mümkündür, bundan sonra alırıq: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Nəhayət, sonuncu bərabərliyin sağ tərəfində yazılmış ifadəni çeviririk:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .
Beləliklə, ilkin tənliyə ekvivalent olan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tənliyinə gəlirik. a x 2 + b x + c = 0.
Belə tənliklərin həllini əvvəlki paraqraflarda (natamam kvadrat tənliklərin həlli) araşdırdıq. Artıq əldə edilmiş təcrübə x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tənliyinin kökləri ilə bağlı nəticə çıxarmağa imkan verir:
- b 2 - 4 a c 4 a 2 ilə< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 olduqda tənlik x + b 2 · a 2 = 0 olar, onda x + b 2 · a = 0 olar.
Buradan yeganə kök x = - b 2 · a aydındır;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 üçün aşağıdakılar doğru olacaq: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 və ya x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , bu da x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 və ya x = - b 2 · a - b 2 - 4 ilə eynidir. · a · c 4 · a 2, yəni. tənliyin iki kökü var.
Belə nəticəyə gəlmək olar ki, x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (və deməli, ilkin tənlik) tənliyinin köklərinin olub-olmaması b ifadəsinin işarəsindən asılıdır. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sağ tərəfdə yazılmışdır. Və bu ifadənin işarəsi payın işarəsi ilə verilir, (məxrəc 4 a 2 həmişə müsbət olacaq) yəni ifadənin işarəsi b 2 − 4 a c. Bu ifadə b 2 − 4 a c ad verilir - kvadrat tənliyin diskriminantı və onun təyinatı kimi D hərfi müəyyən edilir. Burada diskriminantın mahiyyətini yaza bilərsiniz - onun dəyərinə və işarəsinə əsasən onlar kvadrat tənliyin həqiqi köklərə sahib olub-olmayacağına dair nəticəyə gələ bilərlər və əgər varsa, köklərin sayı nə qədərdir - bir və ya iki.
x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tənliyinə qayıdaq. Diskriminant qeydindən istifadə edərək onu yenidən yazaq: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Nəticələrimizi yenidən formalaşdıraq:
Tərif 9
- saat D< 0 tənliyin həqiqi kökləri yoxdur;
- saat D=0 tənliyin tək kökü var x = - b 2 · a ;
- saat D > 0 tənliyin iki kökü var: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 və ya x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Radikalların xassələrinə əsasən bu kökləri aşağıdakı formada yazmaq olar: x = - b 2 · a + D 2 · a və ya - b 2 · a - D 2 · a. Və modulları açıb kəsrləri ortaq məxrəcə gətirəndə alırıq: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Beləliklə, mülahizəmizin nəticəsi kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun əldə edilməsi oldu:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D düsturla hesablanır D = b 2 − 4 a c.
Bu düsturlar diskriminant sıfırdan böyük olduqda hər iki həqiqi kökü təyin etməyə imkan verir. Diskriminant sıfır olduqda, hər iki formulun tətbiqi eyni kök verəcəkdir yeganə həll yolu kvadrat tənlik. Diskriminantın mənfi olduğu halda, kvadrat kök düsturundan istifadə etməyə çalışsaq, mənfi ədədin kvadrat kökünü almaq zərurəti ilə üzləşəcəyik ki, bu da bizi həqiqi ədədlərin əhatə dairəsindən kənara çıxaracaq. Mənfi bir diskriminant ilə kvadrat tənliyin həqiqi kökləri olmayacaq, lakin əldə etdiyimiz eyni kök düsturları ilə təyin olunan bir cüt mürəkkəb birləşmə kökləri mümkündür.
Kök düsturlarından istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi
Kök düsturundan dərhal istifadə etməklə kvadrat tənliyi həll etmək mümkündür, lakin bu, ümumiyyətlə, mürəkkəb kökləri tapmaq lazım olduqda edilir.
Əksər hallarda bu, adətən, mürəkkəb deyil, kvadrat tənliyin həqiqi köklərini axtarmaq deməkdir. Onda optimaldır, kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlardan istifadə etməzdən əvvəl, əvvəlcə diskriminantı təyin etmək və onun mənfi olmadığına əmin olmaq (əks halda, tənliyin həqiqi köklərinin olmadığı qənaətinə gələcəyik) və sonra tənliyi hesablamağa davam etmək optimaldır. köklərin dəyəri.
Yuxarıdakı əsaslandırma kvadrat tənliyin həlli üçün alqoritm yaratmağa imkan verir.
Tərif 10
Kvadrat tənliyi həll etmək üçün a x 2 + b x + c = 0, zəruri:
- formuluna görə D = b 2 − 4 a c diskriminant dəyərini tapın;
- D-də< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- D = 0 üçün x = - b 2 · a düsturundan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü tapın;
- D > 0 üçün x = - b ± D 2 · a düsturu ilə kvadrat tənliyin iki həqiqi kökünü təyin edin.
Qeyd edək ki, diskriminant sıfır olduqda, x = - b ± D 2 · a düsturundan istifadə edə bilərsiniz, o, x = - b 2 · a düsturu ilə eyni nəticəni verəcəkdir.
Nümunələrə baxaq.
Kvadrat tənliklərin həlli nümunələri
Diskriminantın müxtəlif dəyərləri üçün nümunələrə həll yolları verək.
Misal 6
Tənliyin köklərini tapmalıyıq x 2 + 2 x − 6 = 0.
Həll
Kvadrat tənliyin ədədi əmsallarını yazaq: a = 1, b = 2 və c = − 6. Sonra alqoritmə uyğun olaraq davam edirik, yəni. Diskriminantı hesablamağa başlayaq, bunun üçün a, b əmsallarını əvəz edəcəyik. Və c diskriminant formuluna: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Beləliklə, biz D > 0 alırıq, bu o deməkdir ki, ilkin tənliyin iki həqiqi kökü olacaq.
Onları tapmaq üçün x = - b ± D 2 · a kök düsturundan istifadə edirik və müvafiq dəyərləri əvəz edərək əldə edirik: x = - 2 ± 28 2 · 1. Amili kök işarəsindən çıxararaq, sonra kəsri azaltmaqla nəticələnən ifadəni sadələşdirək:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 və ya x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 və ya x = - 1 - 7
Cavab: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .
Misal 7
Kvadrat tənliyi həll etmək lazımdır − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Həll
Diskriminantı təyin edək: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu qiyməti ilə ilkin tənliyin x = - b 2 · a düsturu ilə təyin olunan yalnız bir kökü olacaq.
x = - 28 2 (- 4) x = 3.5
Cavab: x = 3.5.
Misal 8
Tənliyi həll etmək lazımdır 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Həll
Bu tənliyin ədədi əmsalları belə olacaq: a = 5, b = 6 və c = 2. Diskriminant tapmaq üçün bu dəyərlərdən istifadə edirik: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesablanmış diskriminant mənfidir, ona görə də ilkin kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur.
Vəzifə mürəkkəb kökləri göstərmək olduqda, mürəkkəb nömrələrlə hərəkətlər edərək kök düsturunu tətbiq edirik:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 və ya x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i və ya x = - 3 5 - 1 5 · i.
Cavab:əsl köklər yoxdur; mürəkkəb köklər aşağıdakılardır: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
IN məktəb kurikulumu Mürəkkəb kökləri axtarmaq üçün standart tələb yoxdur, buna görə də həll zamanı diskriminantın mənfi olduğu müəyyən edilərsə, dərhal həqiqi köklərin olmadığı cavabı yazılır.
Hətta ikinci əmsallar üçün kök düsturu
Kök düsturu x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) x üçün bərabər əmsalı olan kvadrat tənliklərin həllini tapmağa imkan verən daha yığcam başqa bir düstur əldə etməyə imkan verir. və ya 2 · n formasının əmsalı ilə, məsələn, 2 3 və ya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu düsturun necə əldə edildiyini göstərək.
a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 kvadrat tənliyinin həllini tapmaq vəzifəsi ilə qarşılaşaq. Alqoritmə uyğun olaraq davam edirik: D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 - a c) diskriminantını təyin edirik və sonra kök düsturundan istifadə edirik:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
n 2 − a · c ifadəsi D 1 kimi işarələnsin (bəzən onu D " işarəsi ilə qeyd edirlər). Onda ikinci əmsalı 2 · n olan baxılan kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur aşağıdakı formanı alacaq:
x = - n ± D 1 a, burada D 1 = n 2 − a · c.
D = 4 · D 1 və ya D 1 = D 4 olduğunu görmək asandır. Başqa sözlə, D 1 diskriminantın dörddə birini təşkil edir. Aydındır ki, D 1 işarəsi D işarəsi ilə eynidir, yəni D 1 işarəsi kvadrat tənliyin köklərinin olub-olmamasının göstəricisi kimi də xidmət edə bilər.
Tərif 11
Beləliklə, ikinci əmsalı 2 n olan kvadrat tənliyin həllini tapmaq üçün lazımdır:
- tapmaq D 1 = n 2 − a · c ;
- D 1-də< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 = 0 olduqda, x = - n a düsturundan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü təyin edin;
- D 1 > 0 üçün x = - n ± D 1 a düsturundan istifadə edərək iki həqiqi kök təyin edin.
Misal 9
5 x 2 − 6 x − 32 = 0 kvadrat tənliyini həll etmək lazımdır.
Həll
Verilmiş tənliyin ikinci əmsalını 2 · (− 3) kimi təqdim edə bilərik. Sonra verilmiş kvadrat tənliyi 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 şəklində yenidən yazırıq, burada a = 5, n = − 3 və c = − 32.
Diskriminantın dördüncü hissəsini hesablayaq: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Nəticədə alınan dəyər müsbətdir, yəni tənliyin iki həqiqi kökü var. Müvafiq kök düsturundan istifadə edərək onları müəyyən edək:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 və ya x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 və ya x = - 2
Kvadrat tənliyin kökləri üçün adi düsturdan istifadə edərək hesablamalar aparmaq mümkün olardı, lakin bu halda həll daha çətin olardı.
Cavab: x = 3 1 5 və ya x = - 2.
Kvadrat tənliklərin formasının sadələşdirilməsi
Bəzən köklərin hesablanması prosesini asanlaşdıracaq orijinal tənliyin formasını optimallaşdırmaq mümkündür.
Məsələn, 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 kvadrat tənliyini həll etmək 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0-dan daha əlverişlidir.
Daha tez-tez kvadrat tənliyin formasının sadələşdirilməsi onun hər iki tərəfini müəyyən bir ədədə vurmaq və ya bölmək yolu ilə həyata keçirilir. Məsələn, yuxarıda hər iki tərəfi 100-ə bölməklə əldə edilən 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 tənliyinin sadələşdirilmiş təsvirini göstərdik.
Belə çevrilmə o zaman mümkündür ki, kvadrat tənliyin əmsalları ümumi ədədlər deyil. Sonra adətən tənliyin hər iki tərəfini ən böyüyünə bölürük ortaq bölən onun əmsallarının mütləq qiymətləri.
Nümunə olaraq 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 kvadrat tənliyindən istifadə edirik. Onun əmsallarının mütləq qiymətlərinin GCD-ni təyin edək: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. İlkin kvadrat tənliyin hər iki tərəfini 6-ya bölək və 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 ekvivalent kvadrat tənliyini alaq.
Kvadrat tənliyin hər iki tərəfini vurmaqla siz adətən kəsr əmsallarından xilas olursunuz. Bu halda onlar onun əmsallarının məxrəclərinin ən kiçik ümumi qatına vurulur. Məsələn, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 kvadrat tənliyinin hər bir hissəsi LCM (6, 3, 1) = 6 ilə vurularsa, o zaman x 2 + 4 x daha sadə formada yazılacaqdır. − 18 = 0 .
Nəhayət, qeyd edirik ki, biz demək olar ki, həmişə kvadrat tənliyin birinci əmsalındakı mənfidən tənliyin hər bir üzvünün işarələrini dəyişdirməklə xilas oluruq ki, bu da hər iki tərəfi - 1-ə vurmaqla (və ya bölmək) əldə edilir. Məsələn, − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 kvadrat tənliyindən onun sadələşdirilmiş versiyasına keçə bilərsiniz 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.
Köklər və əmsallar arasında əlaqə
Kvadrat tənliklərin kökləri üçün artıq bizə məlum olan x = - b ± D 2 · a düsturu tənliyin köklərini ədədi əmsalları vasitəsilə ifadə edir. Bu düstur əsasında köklər və əmsallar arasında başqa asılılıqları da müəyyən etmək imkanımız var.
Ən məşhur və tətbiq olunan Vyeta teoreminin düsturlarıdır:
x 1 + x 2 = - b a və x 2 = c a.
Xüsusilə, verilmiş kvadrat tənlik üçün köklərin cəmi əks işarəli ikinci əmsal, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir. Məsələn, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 kvadrat tənliyinin formasına baxaraq dərhal müəyyən etmək olar ki, onun köklərinin cəmi 7 3, köklərin hasili isə 22 3-dür.
Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında bir sıra digər əlaqələri də tapa bilərsiniz. Məsələn, kvadrat tənliyin köklərinin kvadratlarının cəmini əmsallarla ifadə etmək olar:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Daha çox sadə şəkildə. Bunu etmək üçün mötərizədə z-ni çıxarın. Siz alacaqsınız: z(аz + b) = 0. Faktorlar yazıla bilər: z=0 və аз + b = 0, çünki hər ikisi sıfırla nəticələnə bilər. az + b = 0 qeydində ikincini fərqli işarə ilə sağa aparırıq. Buradan z1 = 0 və z2 = -b/a alırıq. Bunlar orijinalın kökləridir.
az² + с = 0 formasının natamam tənliyi varsa, in bu halda sərbəst termini tənliyin sağ tərəfinə keçirməklə tapılır. Onun işarəsini də dəyişdirin. Nəticə az² = -с olacaq. z² = -c/a ifadə edin. Kökü götürün və iki həlli yazın - müsbət və mənfi dəyər kvadrat kök.
Qeyd edin
Tənlikdə kəsr əmsalları varsa, kəsrlərdən xilas olmaq üçün bütün tənliyi müvafiq əmsalla çarpın.
Kvadrat tənlikləri necə həll edəcəyini bilmək həm məktəblilər, həm də tələbələr üçün zəruridir, bəzən bu, gündəlik həyatda böyüklərə kömək edə bilər; Bir neçə xüsusi həll üsulu var.
Kvadrat tənliklərin həlli
a*x^2+b*x+c=0 formasının kvadrat tənliyi. X əmsalı istənilən dəyişən, a, b, c ədədi əmsallardır. Unutmayın ki, “+” işarəsi “-” işarəsinə keçə bilər.Bu tənliyi həll etmək üçün Vyeta teoremindən istifadə etmək və ya diskriminant tapmaq lazımdır. Ən ümumi üsul diskriminant tapmaqdır, çünki a, b, c-nin bəzi qiymətləri üçün Vyeta teoremindən istifadə etmək mümkün deyil.
Diskriminantı (D) tapmaq üçün D=b^2 - 4*a*c düsturunu yazmaq lazımdır. D dəyəri sıfırdan böyük, kiçik və ya sıfıra bərabər ola bilər. Əgər D sıfırdan böyük və ya kiçikdirsə, onda iki kök olacaq, əgər D = 0 olarsa, onda yalnız bir kök qalır, daha dəqiq desək, bu halda D-nin iki ekvivalent kökü var; Düsturda məlum olan a, b, c əmsallarını əvəz edin və qiyməti hesablayın.
Diskriminantı tapdıqdan sonra x tapmaq üçün düsturlardan istifadə edin: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, burada sqrt verilmiş ədədin kvadrat kökünü götürmək mənasını verən funksiyadır. Bu ifadələri hesabladıqdan sonra tənliyinizdən iki kök tapacaqsınız, bundan sonra tənlik həll edilmiş hesab olunur.
Əgər D sıfırdan kiçikdirsə, onun hələ də kökləri var. Məktəbdə bu bölmə praktiki olaraq öyrənilmir. Universitet tələbələri bilməlidirlər ki, kökün altında mənfi rəqəm görünür. Xəyali hissəni vurğulamaqla ondan xilas olurlar, yəni kökün altındakı -1 həmişə eyni müsbət ədədlə kökə vurulan xəyali “i” elementinə bərabərdir. Məsələn, əgər D=sqrt(-20), transformasiyadan sonra D=sqrt(20)*i alırıq. Bu çevrilmədən sonra tənliyin həlli yuxarıda göstərildiyi kimi köklərin eyni tapılmasına endirilir.
Vietanın teoremi x(1) və x(2) qiymətlərinin seçilməsindən ibarətdir. İki eyni tənlik istifadə olunur: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Və çox mühüm məqam b əmsalının qarşısındakı işarədir, bu işarənin tənlikdəki işarənin əksinə olduğunu unutmayın. İlk baxışdan x(1) və x(2)-nin hesablanması çox sadə görünsə də, həll edərkən siz rəqəmləri seçmək məcburiyyətində qalacaqsınız.
Kvadrat tənliklərin həllinin elementləri
Riyaziyyat qaydalarına görə, bəziləri faktorlara bölünə bilər: (a+x(1))*(b-x(2))=0, əgər siz bu kvadrat tənliyi riyazi düsturlardan istifadə edərək oxşar şəkildə çevirə bilmisinizsə, onda çekinmeyin cavabını yazın. x(1) və x(2) mötərizədə bitişik əmsallara bərabər olacaq, lakin əks işarə ilə.Həmçinin, natamam kvadrat tənlikləri də unutma. Bəzi şərtləri əldən verə bilərsiniz, əgər belədirsə, onda onun bütün əmsalları sadəcə sıfıra bərabərdir. Əgər x^2 və ya x qarşısında heç nə yoxdursa, a və b əmsalları 1-ə bərabərdir.