Sinus tənliyinin ümumi düsturu. Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

14.10.2019

Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

Topladığımız şəxsi məlumatlar sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
Zaman-zaman biz sizə vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün şəxsi məlumatlarınızdan istifadə edə bilərik.
Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə qaydasına, məhkəmə prosesinə uyğun olaraq və / və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində ictimai sorğular və ya dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq məqsədləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirlər də daxil olmaqla tədbirlər görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Biliyin kompleks tətbiqi dərsi.

Dərs məqsədləri.

Müxtəlif həll üsullarını nəzərdən keçirin triqonometrik tənliklər.
Tənliklərin həlli ilə şagirdlərin yaradıcılıq qabiliyyətlərinin inkişafı.
Şagirdləri özünü idarə etməyə, qarşılıqlı nəzarətə, təhsil fəaliyyətlərinin özünü təhlilinə həvəsləndirmək.

Avadanlıqlar: ekran, proyektor, istinad materialı.

Dərslər zamanı

Giriş söhbəti.

Triqonometrik tənliklərin həlli üçün əsas üsul onların ən sadə reduksiyasıdır. Bu halda, adi üsullardan, məsələn, faktorizasiyadan, həmçinin yalnız triqonometrik tənliklərin həlli üçün istifadə olunan üsullardan istifadə olunur. Bu hiylələr kifayət qədər çoxdur, məsələn, müxtəlif triqonometrik əvəzetmələr, bucaq çevrilmələri, çevrilmələr triqonometrik funksiyalar. İstənilən triqonometrik çevrilmələrin təsadüfi tətbiqi adətən tənliyi sadələşdirmir, əksinə onu fəlakətli şəkildə çətinləşdirir. Ümumi mənada tənliyin həlli planını hazırlamaq, tənliyi ən sadə birinə endirmək yolunu göstərmək üçün ilk növbədə bucaqları - tənliyə daxil olan triqonometrik funksiyaların arqumentlərini təhlil etmək lazımdır.

Bu gün triqonometrik tənliklərin həlli üsulları haqqında danışacağıq. Düzgün seçilmiş bir üsul çox vaxt həlli əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirməyə imkan verir, buna görə də triqonometrik tənlikləri ən uyğun şəkildə həll etmək üçün öyrəndiyimiz bütün üsullar həmişə diqqətimizdə saxlanmalıdır.

II. (Proyektordan istifadə edərək tənliklərin həlli üsullarını təkrar edirik.)

1. Triqonometrik tənliyi cəbri tənliyə endirmək üsulu.

Bütün triqonometrik funksiyaları eyni arqumentlə bir vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Bu, əsas triqonometrik eynilik və onun nəticələrindən istifadə etməklə edilə bilər. Bir triqonometrik funksiyası olan bir tənlik alırıq. Onu yeni naməlum kimi götürsək, cəbri tənlik əldə edirik. Biz onun köklərini tapırıq və ən sadə triqonometrik tənlikləri həll edərək köhnə bilinməyənə qayıdırıq.

2. Faktorlara ayırma üsulu.

Bucaqları dəyişdirmək üçün arqumentlərin azaldılması, cəmi və fərqi üçün düsturlar, həmçinin triqonometrik funksiyaların cəmini (fərqini) məhsula və əksinə çevirmək üçün düsturlar çox vaxt faydalıdır.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Əlavə bucağı təqdim etmək üsulu.

4. Universal əvəzetmədən istifadə üsulu.

F(sinx, cosx, tgx) = 0 formalı tənliklər universal triqonometrik əvəzetmədən istifadə edərək cəbri tənliklərə endirilir.

Yarım bucağın tangensi ilə sinus, kosinus və tangensin ifadəsi. Bu hiylə daha yüksək dərəcəli tənliyə səbəb ola bilər. Hansının qərarı çətindir.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında sizə məlumat verməyə imkan verir.
Zaman-zaman biz sizə vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün şəxsi məlumatlarınızdan istifadə edə bilərik.
Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə qaydasına, məhkəmə prosesinə uyğun olaraq və / və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində ictimai sorğular və ya dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq məqsədləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

Giriş 2

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları 5

Cəbr 5

Eyniadlı triqonometrik funksiyaların bərabərlik şərtindən istifadə edərək tənliklərin həlli 7

Faktorinq 8

Homojen tənliyə endirmə 10

Köməkçi bucağın tətbiqi 11

Məhsulu 14 cəminə çevirin

Universal əvəzetmə 14

Nəticə 17

Giriş

Onuncu sinfə qədər məqsədə aparan bir çox məşqlərin hərəkətləri qaydası, bir qayda olaraq, birmənalı olaraq müəyyən edilir. Məsələn, xətti və kvadrat tənliklər və bərabərsizliklər, kəsr tənlikləri və kvadrata endirilən tənliklər və s. Göstərilən nümunələrin hər birinin həlli prinsipini ətraflı təhlil etmədən, onların uğurlu həlli üçün zəruri olan ümumi şeyi qeyd edirik.

Əksər hallarda, hansı növ tapşırığın olduğunu müəyyən etməli, məqsədə aparan hərəkətlərin ardıcıllığını xatırlamalı və bu hərəkətləri yerinə yetirməlisiniz. Aydındır ki, şagirdin tənliklərin həlli üsullarını mənimsəməsində uğur və ya uğursuzluq, əsasən, onun tənliyin növünü nə dərəcədə düzgün müəyyən edə bilməsindən və onun həllinin bütün mərhələlərinin ardıcıllığını yadda saxlamasından asılıdır. Təbii ki, bu, şagirdin yerinə yetirmək bacarığına malik olmasını nəzərdə tutur eyni çevrilmələr və hesablama.

Tələbə triqonometrik tənliklərlə qarşılaşdıqda tamamilə fərqli vəziyyət yaranır. Eyni zamanda, tənliyin triqonometrik olduğunu müəyyən etmək çətin deyil. Müsbət nəticəyə gətirib çıxaracaq bir hərəkət yolu tapmaqda çətinliklər yaranır. Və burada tələbə iki problemlə üzləşir. By görünüş tənliklərin növünü müəyyən etmək çətindir. Və növünü bilmədən, mövcud olan bir neçə onlarla düsturdan istədiyiniz düstur seçmək demək olar ki, mümkün deyil.

Tələbələrə triqonometrik tənliklərin mürəkkəb labirintində yol tapmağa kömək etmək üçün əvvəlcə onlar yeni dəyişən daxil edildikdən sonra kvadratlara endirilən tənliklərlə tanış olurlar. Sonra homojen tənlikləri həll edin və onlara endirin. Hər şey, bir qayda olaraq, tənliklərlə başa çatır, bunun həlli üçün sol tərəfi faktorlara ayırmaq, sonra isə hər bir faktoru sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır.

Dərslərdə təhlil edilən bir yarım onlarla tənliyin şagirdin triqonometrik “dənizdə” müstəqil üzməsinə imkan verməmək üçün birmənalı olaraq kifayət etmədiyini başa düşən müəllim özündən bir neçə tövsiyə daha əlavə edir.

Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün cəhd etməliyik:

Tənliyə daxil edilmiş bütün funksiyaları "eyni açılara" gətirin;

Tənliyi "eyni funksiyalara" gətirin;

Tənliyin sol tərəfini faktorlara ayırın və s.

Lakin, triqonometrik tənliklərin əsas növləri və onların həllini tapmaq üçün bir neçə prinsip haqqında biliklərə baxmayaraq, bir çox tələbələr hələ də hər bir tənliyin qarşısında əvvəllər həll olunanlardan bir qədər fərqlənən çıxılmaz vəziyyətdə tapırlar. Bu və ya digər tənliyə sahib olmaq üçün nəyə can atmaq lazım olduğu, niyə bir halda ikiqat bucaq düsturlarını, digərində - yarım bucaq, üçüncüsü isə əlavə düsturlarını və s.

Tərif 1. Triqonometrik tənlik, naməlumun triqonometrik funksiyaların işarəsi altında olduğu tənlikdir.

Tərif 2. Triqonometrik tənliyə daxil olan bütün triqonometrik funksiyaların arqumentləri bərabər olarsa, onun bucaqlarının eyni olduğu deyilir. Triqonometrik tənliyin tərkibində triqonometrik funksiyalardan yalnız biri varsa, eyni funksiyalara malik olduğu deyilir.

Tərif 3. Triqonometrik funksiyaları ehtiva edən monomialın dərəcəsi ona daxil olan triqonometrik funksiyaların səlahiyyətlərinin eksponentlərinin cəmidir.

Tərif 4. Tənlikdəki bütün monomiyallar eyni dərəcəyə malikdirsə, ona homojen deyilir. Bu dərəcə tənliyin sırası adlanır.

Tərif 5. Yalnız funksiyaları ehtiva edən triqonometrik tənlik günah Və cos, triqonometrik funksiyalara münasibətdə bütün monohədlər eyni dərəcəyə malikdirsə və triqonometrik funksiyaların özlərinin bucaqları bərabərdirsə və monohədlərin sayı tənliyin ardıcıllığından 1-dən çox olarsa, homojen adlanır.

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları.

Triqonometrik tənliklərin həlli iki mərhələdən ibarətdir: tənliyin ən sadə formasını almaq üçün çevrilməsi və nəticədə ən sadə triqonometrik tənliyin həlli. Triqonometrik tənliklərin həlli üçün yeddi əsas üsul var.

I. cəbri üsul. Bu üsul cəbrdən yaxşı məlumdur. (Dəyişənlərin dəyişdirilməsi və əvəzetmə üsulu).

Tənlikləri həll edin.

Qeydi təqdim edək x=2 günah3 t, alırıq

Bu tənliyi həll edərək əldə edirik:
və ya

olanlar. yazmaq olar

İşarələrin olması səbəbindən alınan həlli yazarkən dərəcə
yazmağın mənası yoxdur.

Cavab:

İşarə et

alırıq kvadrat tənlik
. Onun kökləri rəqəmlərdir
Və
. Buna görə də bu tənlik ən sadə triqonometrik tənliklərə qədər azalır
Və
. Onları həll edərək, bunu tapırıq
və ya
.

Cavab:
;
.

İşarə et

şərti qane etmir

deməkdir

Cavab:

Tənliyin sol tərəfini çevirək:

Beləliklə, bu ilkin tənliyi aşağıdakı kimi yazmaq olar:

, yəni.

İşarə edən
, alırıq
Bu kvadrat tənliyi həll edərək, əldə edirik:

şərti qane etmir

Orijinal tənliyin həllini yazırıq:

Cavab:

Əvəzetmə
bu tənliyi kvadratik tənliyə endirir
. Onun kökləri rəqəmlərdir
Və
. Çünki
, onda verilmiş tənliyin kökləri yoxdur.

Cavab: kökləri yoxdur.

II. Eyniadlı triqonometrik funksiyaların bərabərlik şərtindən istifadə edərək tənliklərin həlli.

A)
, Əgər

b)
, Əgər

V)
, Əgər

Bu şərtlərdən istifadə edərək, aşağıdakı tənliklərin həllini nəzərdən keçirin:

a) bəndində deyilənlərdən istifadə edərək biz tapırıq ki, tənliyin həlli yalnız və yalnız o halda var
.

Bu tənliyi həll edərək tapırıq
.

İki qrup həllimiz var:

.

7) Tənliyi həll edin:
.

b) hissəsinin şərtindən istifadə edərək belə nəticə çıxarırıq
.

Bu kvadrat tənlikləri həll edərək əldə edirik:

8) Tənliyi həll edin
.

Bu tənlikdən belə nəticə çıxarırıq ki. Bu kvadrat tənliyi həll edərək, tapırıq

.

III. Faktorizasiya.

Bu üsulu nümunələrlə nəzərdən keçiririk.

9) Tənliyi həll edin
.

Həll. Tənliyin bütün şərtlərini sola köçürək: .

Tənliyin sol tərəfindəki ifadəni çevirib faktorlara ayırırıq:
.

1)
2)

Çünki
Və
null dəyəri götürməyin

eyni zamanda, sonra hər iki hissəni ayırırıq

üçün tənliklər
,

Cavab:

10) Tənliyi həll edin:

Həll.

və ya

Cavab:

11) Tənliyi həll edin

Həll:

1)
2)
3)

Cavab:

IV. Homojen tənliyə endirmə.

Homojen bir tənliyi həll etmək üçün sizə lazımdır:

Bütün üzvlərini sol tərəfə köçürün;

Bütün ümumi amilləri mötərizədən çıxarın;

Bütün amilləri və mötərizələri sıfıra bərabərləşdirin;

Sıfıra bərabər tutulan mötərizələr daha kiçik dərəcəli homojen tənlik verir və bu tənlik aşağıdakılara bölünməlidir.
(və ya
) ali təhsil pilləsində;

üçün yaranan cəbri tənliyi həll edin
.

Nümunələri nəzərdən keçirin:

12) Tənliyi həll edin:

Həll.

Tənliyin hər iki tərəfini bölün
,

Qeydin təqdimatı
, ad

bu tənliyin kökləri:

buradan 1)
2)

Cavab:

13) Tənliyi həll edin:

Həll. İkiqat bucaq düsturlarından və əsas triqonometrik eynilikdən istifadə edərək, bu tənliyi yarım arqumentə endiririk:

Bənzər şərtləri azaltdıqdan sonra bizdə:

Homojen sonuncu tənliyin bölünməsi
, alırıq

təyin edəcəm
, kvadrat tənliyi alırıq
, kökləri rəqəmlərdir

Beləliklə

İfadə
da yox olur
, yəni. saat
,
.

Tənliyin həllinə bu ədədlər daxil deyil.

Cavab:
, .

V. Köməkçi bucağın tətbiqi.

Formanın tənliyini nəzərdən keçirin

Harada a, b, c- əmsallar, x- naməlum.

Bu tənliyin hər iki tərəfini bölün

İndi tənliyin əmsalları sinus və kosinusun xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni: onların hər birinin modulu birdən çox deyil və kvadratlarının cəmi 1-ə bərabərdir.

Sonra onları müvafiq olaraq etiketləyə bilərik
(Burada - köməkçi bucaq) və tənliyimiz formasını alır: .

Sonra

Və onun qərarı

Qeyd edək ki, təqdim edilən notation bir-birini əvəz edə bilər.

14) Tənliyi həll edin:

Həll. Burada
, buna görə də tənliyin hər iki tərəfini ilə bölürük

Cavab:

15) Tənliyi həll edin

Həll. Çünki
, onda bu tənlik tənliyə ekvivalentdir

Çünki
, onda elə bir bucaq var ki
,
(onlar.
).

Bizdə var

Çünki
, sonra nəhayət əldə edirik:

Qeyd edək ki, formanın tənliyinin həlli yalnız və yalnız o halda olur

16) Tənliyi həll edin:

Bu tənliyi həll etmək üçün triqonometrik funksiyaları eyni arqumentlərlə qruplaşdırırıq

Tənliyin hər iki tərəfini ikiyə bölün

Triqonometrik funksiyaların cəmini məhsula çeviririk:

Cavab:

VI. Məhsulu cəmiyə çevirin.

Burada müvafiq düsturlardan istifadə olunur.

17) Tənliyi həll edin:

Həll. Sol tərəfi cəmiyə çevirək:

VII.Universal əvəzetmə.

bu düsturlar hamı üçün doğrudur

Əvəzetmə
universal adlanır.

18) Tənliyi həll edin:

Həll yolu: dəyişdirin və
vasitəsilə ifadə etmək
və işarə edir
.

Rasional bir tənlik alırıq
, kvadrata çevrilir
.

Bu tənliyin kökləri ədədlərdir
.

Buna görə də məsələ iki tənliyin həllinə endirildi
.

Bunu tapırıq
.

Dəyəri baxın
yoxlanmaqla yoxlanılan ilkin tənliyi qane etmir - verilmiş dəyəri əvəz edir t orijinal tənliyə.

Cavab:
.

Şərh. 18-ci tənliyi başqa cür həll etmək olar.

Bu tənliyin hər iki tərəfini 5-ə bölün (yəni
):
.

Çünki
, onda bir nömrə var
, Nə
Və
. Beləliklə, tənlik belə olur:
və ya
. Buradan biz bunu tapırıq
Harada
.

19) Tənliyi həll edin
.

Həll. Funksiyalara görə
Və
var ən yüksək dəyər 1-ə bərabərdirsə, onda onların cəmi 2-yə bərabərdir
Və
, eyni zamanda, yəni
.

Cavab:
.

Bu tənliyi həll edərkən və funksiyalarının məhdudluğundan istifadə edilmişdir.

Nəticə.

“Triqonometrik tənliklərin həlli” mövzusunda işləyərkən hər bir müəllimin aşağıdakı tövsiyələrə əməl etməsi faydalıdır:

Triqonometrik tənliklərin həlli üsullarını sistemləşdirin.

Tənliyin təhlilini aparmaq üçün addımları və bu və ya digər həll metodundan istifadənin məqsədəuyğunluğunun əlamətlərini özünüz üçün seçin.

Metodun həyata keçirilməsi üzrə fəaliyyətin özünü idarə etmə yolları üzərində düşünmək.

Öyrənilən metodların hər biri üçün "öz" tənliklərini qurmağı öyrənin.

Ərizə №1

Homojen və ya azalda bilən tənlikləri həll edin.

1.	Rep.
	Rep.

	Rep.
5.	Rep.
	Rep.
7.	Rep.
	Rep.

Triqonometrik tənliklər ən asan mövzu deyil. Onlar çox müxtəlifdir.) Məsələn, bunlar:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

və s...

Ancaq bu (və bütün digər) triqonometrik canavarların iki ümumi və məcburi xüsusiyyəti var. Birincisi - inanmayacaqsınız - tənliklərdə triqonometrik funksiyalar var.) İkincisi: x ilə bütün ifadələr eyni funksiyalar daxilində. Və yalnız orada! Əgər x bir yerdə görünürsə kənarda, Misal üçün, sin2x + 3x = 3, bu tənlik olacaq qarışıq tip. Bu cür tənliklər fərdi yanaşma tələb edir. Burada onları nəzərdən keçirməyəcəyik.

Bu dərsdə də pis tənlikləri həll etməyəcəyik.) Burada biz məşğul olacağıq ən sadə triqonometrik tənliklər. Niyə? Bəli, çünki qərar hər hansı triqonometrik tənliklər iki mərhələdən ibarətdir. Birinci mərhələdə şər tənlik müxtəlif çevrilmələrlə sadə tənliyə endirilir. İkincidə - bu ən sadə tənlik həll olunur. Başqa yol yoxdur.

Beləliklə, ikinci mərhələdə probleminiz varsa, birinci mərhələnin çox mənası yoxdur.)

Elementar triqonometrik tənliklər nə kimi görünür?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Burada A istənilən rəqəmi ifadə edir. Hər hansı.

Yeri gəlmişkən, funksiyanın içərisində təmiz x deyil, bir növ ifadə ola bilər, məsələn:

cos(3x+π /3) = 1/2

və s. Bu, həyatı çətinləşdirir, lakin triqonometrik tənliyin həlli metoduna təsir göstərmir.

Triqonometrik tənlikləri necə həll etmək olar?

Triqonometrik tənlikləri iki yolla həll etmək olar. Birinci yol: məntiq və triqonometrik dairədən istifadə etməklə. Bu yolu burada araşdıracağıq. İkinci yol - yaddaş və düsturlardan istifadə - növbəti dərsdə nəzərdən keçiriləcək.

Birinci yol aydın, etibarlı və unudulması çətindir.) Triqonometrik tənlikləri, bərabərsizlikləri və hər cür çətin qeyri-standart misalları həll etmək üçün yaxşıdır. Məntiq yaddaşdan güclüdür!

Tənlikləri triqonometrik dairədən istifadə edərək həll edirik.

Biz elementar məntiqi və triqonometrik dairədən istifadə etmək bacarığını daxil edirik. Olmazsan!? Halbuki... Triqonometriyada sizə çətin olacaq...) Amma fərqi yoxdur. “Triqonometrik dairə ...... Bu nədir?” dərslərinə nəzər salın. və "Triqonometrik dairədə bucaqların sayılması". Orada hər şey sadədir. Dərsliklərdən fərqli olaraq...)

Ah, bilirsən!? Və hətta "Triqonometrik dairə ilə praktiki iş" i mənimsədim!? Təbrikləri qəbul edin. Bu mövzu sizə yaxın və başa düşülən olacaq.) Xüsusilə sevindirici odur ki, triqonometrik çevrə sizin hansı tənliyi həll etdiyinizə əhəmiyyət vermir. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - onun üçün hər şey eynidir. Həll prinsipi eynidir.

Beləliklə, hər hansı elementar triqonometrik tənliyi götürürük. Ən azı bu:

cosx = 0,5

X tapmalıyam. İnsan dilində danışanda sizə lazımdır kosinusu 0,5 olan bucağı (x) tapın.

Əvvəllər dairədən necə istifadə edirdik? Üzərinə künc çəkdik. Dərəcə və ya radyanla. Və dərhal görüldü bu bucağın triqonometrik funksiyaları. İndi isə bunun əksini edək. Dairə və dərhal 0,5-ə bərabər bir kosinus çəkin görərik künc. Yalnız cavabı yazmaq qalır.) Bəli, bəli!

Bir dairə çəkirik və kosinusu 0,5-ə bərabər qeyd edirik. Əlbəttə ki, kosinus oxunda. Bunun kimi:

İndi bu kosinusun bizə verdiyi bucağı çəkək. Siçanı şəklin üzərinə gətirin (və ya planşetdəki şəkilə toxunun) və görmək bu eyni künc X.

Hansı bucağın kosinusu 0,5-dir?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Bəziləri şübhə ilə homurdanacaq, hə... Deyirlər, çevrəni hasarlamağa dəyərdimi, onsuz da hər şey aydın olanda... Siz, əlbəttə ki, homurdana bilərsiniz...) Amma fakt budur ki, bu, yanlış fikirdir. cavab. Daha doğrusu, qeyri-adekvat. Dairənin biliciləri başa düşürlər ki, hələ də 0,5-ə bərabər bir kosinus verən bir dəstə bucaq var.

Daşınan tərəfi OA çevirsəniz tam dönüş üçün, A nöqtəsi ilkin vəziyyətinə qayıdacaq. Eyni kosinus ilə 0,5-ə bərabərdir. Bunlar. bucaq dəyişəcək 360° və ya 2π radyan, və kosinus deyil. Yeni bucaq 60° + 360° = 420° də tənliyimizin həlli olacaq, çünki

Sonsuz sayda belə tam fırlanma var... Və bütün bu yeni bucaqlar triqonometrik tənliyimizin həlli olacaq. Və hamısını bir şəkildə yazmaq lazımdır. Hamısı.Əks halda, qərar nəzərə alınmır, bəli ...)

Riyaziyyat bunu sadə və zərif şəkildə edə bilər. Bir qısa cavabda yazın sonsuz dəst həllər. Tənliyimiz üçün belə görünür:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

deşifrə edəcəm. Hələ yazın mənalı axmaqcasına sirli hərflər çəkməkdən daha gözəldir, elə deyilmi?)

π /3 bizimlə eyni bucaqdır gördüm dairədə və müəyyən edilmişdir kosinuslar cədvəlinə görə.

2π radyanla bir tam dönüşdür.

n - bu tam sayıdır, yəni. bütöv inqilablar. Aydındır ki n 0, ±1, ±2, ±3.... və s. ola bilər. Qısa girişdə göstərildiyi kimi:

n ∈ Z

n məxsusdur ( ∈ ) tam ədədlər çoxluğuna ( Z ). Yeri gəlmişkən, məktub əvəzinə n hərflərdən istifadə etmək olar k, m, t və s.

Bu qeyd hər hansı bir tam ədəd ala biləcəyinizi bildirir n . Ən azı -3, ən azı 0, ən azı +55. Nə istəyirsən. Əgər bu nömrəni cavabınıza əlavə etsəniz, müəyyən bir bucaq əldə edirsiniz, bu, bizim sərt tənliyimizin həlli olacağına əmindir.)

Və ya başqa sözlə, x \u003d π / 3 sonsuz çoxluğun yeganə köküdür. Bütün digər kökləri əldə etmək üçün π / 3-ə istənilən sayda tam dönüş əlavə etmək kifayətdir ( n ) radyanla. Bunlar. 2πn radian.

Hamısı? Yox. Mən xüsusi zövq uzanır. Daha yaxşı xatırlamaq üçün.) Tənliyimizə cavabların yalnız bir hissəsini aldıq. Həllin bu birinci hissəsini aşağıdakı kimi yazacağam:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - bir kök deyil, bütöv bir sıra köklərdir, qısa formada yazılmışdır.

Ancaq 0,5-ə bərabər bir kosinus verən başqa bucaqlar da var!

Cavabı yazdığımız şəklimizə qayıdaq. Budur o:

Siçanı şəklin üzərinə aparın və görmək başqa bir künc həm də 0,5 kosinusu verir. Sizcə bu nəyə bərabərdir? Üçbucaqlar eynidir... Bəli! Bucağa bərabərdir X , yalnız mənfi istiqamətdə qurulmuşdur. Bu küncdür -X. Amma biz artıq x-i hesablamışıq. π /3 və ya 60°. Beləliklə, təhlükəsiz şəkildə yaza bilərik:

x 2 \u003d - π / 3

Və, əlbəttə ki, tam dönüşlər vasitəsilə əldə edilən bütün bucaqları əlavə edirik:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

İndi hamısı budur.) Triqonometrik dairədə biz gördüm(kim başa düşür, əlbəttə)) Hamısı 0,5-ə bərabər kosinus verən bucaqlar. Və bu bucaqları qısa riyazi formada yazdılar. Cavab iki sonsuz kök seriyasıdır:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Bu düzgün cavabdır.

Ümid, triqonometrik tənliklərin həllinin ümumi prinsipi bir dairənin köməyi ilə başa düşüləndir. Dairə üzərində verilmiş tənlikdən kosinusu (sinus, tangens, kotangens) qeyd edirik, uyğun bucaqları çəkirik və cavabı yazırıq.Əlbəttə ki, bizim hansı künclərdə olduğumuzu anlamaq lazımdır gördüm dairədə. Bəzən o qədər də aydın olmur. Yaxşı, dediyim kimi, burada məntiq tələb olunur.)

Məsələn, başqa bir triqonometrik tənliyi təhlil edək:

Nəzərə alın ki, 0,5 rəqəmi tənliklərdə yeganə mümkün rəqəm deyil!) Sadəcə onu yazmaq mənim üçün kök və kəsrlərdən daha rahatdır.

Biz ümumi prinsip əsasında işləyirik. Bir dairə çəkirik, işarələyirik (sinus oxunda, əlbəttə!) 0,5. Bu sinusa uyğun gələn bütün bucaqları bir anda çəkirik. Bu şəkli alırıq:

Əvvəlcə bucaqla məşğul olaq. X birinci rübdə. Sinuslar cədvəlini xatırlayırıq və bu bucağın qiymətini təyin edirik. Məsələ sadədir:

x \u003d π / 6

Tam dönüşləri xatırlayırıq və təmiz bir vicdanla ilk cavab seriyasını yazırıq:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

İşin yarısı bitib. İndi müəyyən etməliyik ikinci künc... Bu, kosinuslardan daha hiyləgərdir, bəli... Amma məntiq bizi xilas edəcək! İkinci bucağı necə təyin etmək olar x vasitəsilə? Bəli Asan! Şəkildəki üçbucaqlar eynidir və qırmızı künc X bucağa bərabərdir X . Yalnız π bucağından mənfi istiqamətdə sayılır. Buna görə də qırmızıdır.) Və cavab üçün OX müsbət yarımoxundan düzgün ölçülən bucaq lazımdır, yəni. 0 dərəcə bucaqdan.

Kursoru şəklin üzərinə gətirin və hər şeyi görün. Şəkili çətinləşdirməmək üçün birinci küncü çıxardım. Bizi maraqlandıran bucaq (yaşıl rənglə çəkilmiş) bərabər olacaq:

π - x

x bunu bilirik π /6 . Beləliklə, ikinci bucaq belə olacaq:

π - π /6 = 5π /6

Yenə də tam inqilabların əlavə edilməsini xatırlayırıq və cavabların ikinci seriyasını yazırıq:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Hamısı budur. Tam cavab iki sıra kökdən ibarətdir:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangens və kotangensi olan tənliklər triqonometrik tənliklərin həlli üçün eyni ümumi prinsipdən istifadə etməklə asanlıqla həll edilə bilər. Təbii ki, triqonometrik çevrədə tangens və kotangensi necə çəkəcəyini bilmirsən.

Yuxarıdakı nümunələrdə sinus və kosinusun cədvəl dəyərindən istifadə etdim: 0,5. Bunlar. tələbənin bildiyi mənalardan biridir lazımdır.İndi imkanlarımızı genişləndirək bütün digər dəyərlər. Qərar verin, qərar verin!)

Beləliklə, deyək ki, aşağıdakı triqonometrik tənliyi həll etməliyik:

Qısa cədvəllərdə kosinusun belə dəyəri yoxdur. Bu dəhşətli faktı soyuqqanlılıqla gözardı edirik. Bir dairə çəkirik, kosinus oxunda 2/3 işarələyirik və müvafiq açıları çəkirik. Bu şəkli alırıq.

Başlayanlar üçün birinci rübdə bir açı ilə başa düşürük. X-in nəyə bərabər olduğunu bilmək üçün dərhal cavabı yazardılar! Bilmirik... Uğursuzluq!? Sakit ol! Riyaziyyat özünü çətinlik içində qoymur! O, bu iş üçün qövs kosinuslarını icad etdi. Bilməmək? Boş yerə. Tapın. Bu, düşündüyünüzdən çox asandır. Bu keçidə görə, "tərs triqonometrik funksiyalar" haqqında bircə də çətin sehr yoxdur ... Bu mövzuda artıqdır.

Əgər bilirsinizsə, sadəcə özünüzə deyin: "X kosinusu 2/3 olan bucaqdır." Və dərhal, sırf arkkosinin tərifi ilə yaza bilərik:

Əlavə inqilabları xatırlayırıq və triqonometrik tənliyimizin köklərinin ilk seriyasını sakitcə yazırıq:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Köklərin ikinci seriyası da ikinci bucaq üçün demək olar ki, avtomatik yazılır. Hər şey eynidir, yalnız x (arccos 2/3) mənfi ilə olacaq:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Və hər şey! Bu düzgün cavabdır. Cədvəl dəyərləri ilə müqayisədə daha asandır. Heç bir şeyi xatırlamaq lazım deyil.) Yeri gəlmişkən, ən diqqətli olanlar, qövs kosinusu vasitəsilə həlli olan bu şəklin fərqinə varacaqlar. cosx = 0.5 tənliyi üçün şəkildən mahiyyətcə fərqlənmir.

Tam olaraq! Ümumi prinsip buna görə də adi haldır! Xüsusilə demək olar ki, eyni iki şəkil çəkdim. Dairə bizə bucağı göstərir X onun kosinusu ilə. Cədvəl kosinusudur, ya yox - çevrə bilmir. Bu nə cür bucaqdır, π / 3 və ya hansı qövs kosinusu ilə bağlı qərar vermək bizim ixtiyarımızdadır.

Sinus ilə eyni mahnı. Misal üçün:

Yenə bir dairə çəkirik, sinüsünü 1/3-ə bərabər qeyd edirik, küncləri çəkirik. Bu şəkil çıxır:

Və yenə də şəkil tənliklə demək olar ki, eynidir sinx = 0,5. Yenə birinci rübdə küncdən başlayırıq. Sinusu 1/3 olarsa, x neçəyə bərabərdir? Problem deyil!

Beləliklə, ilk kök paketi hazırdır:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Gəlin ikinci bucağa nəzər salaq. Cədvəl dəyəri 0,5 olan nümunədə bu bərabər idi:

π - x

Beləliklə, burada tamamilə eyni olacaq! Yalnız x fərqlidir, arcsin 1/3. Nə olsun!? İkinci kök paketini etibarlı şəkildə yaza bilərsiniz:

x 2 = π - qövs 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Bu tamamilə düzgün cavabdır. Çox tanış görünməsə də. Amma başa düşüləndir, ümid edirəm.)

Triqonometrik tənliklər çevrədən istifadə etməklə belə həll olunur. Bu yol aydın və başa düşüləndir. Verilmiş intervalda köklərin seçilməsi ilə triqonometrik tənliklərdə, triqonometrik bərabərsizliklərdə qənaət edən odur - onlar ümumiyyətlə demək olar ki, həmişə bir dairədə həll olunur. Bir sözlə, standart olanlardan bir az daha mürəkkəb olan istənilən işlərdə.

Bilikləri praktikada tətbiq etmək?

Triqonometrik tənlikləri həll edin:

Əvvəlcə daha sadədir, birbaşa bu dərsdə.

İndi daha çətindir.

İpucu: burada dairə haqqında düşünmək lazımdır. Şəxsən.)

İndi zahirən iddiasız ... Onlara xüsusi hallar da deyilir.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

İpucu: burada bir dairədə iki cavab silsiləsi olduğunu və bir cavabın harada olduğunu anlamaq lazımdır ... Və iki cavab seriyası əvəzinə birini necə yazmaq olar. Bəli, sonsuz sayda bir kök itməsin!)

Yaxşı, olduqca sadə):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

İpucu: burada arksinusun, arkkosinanın nə olduğunu bilmək lazımdır? Qövs tangensi, qövs tangensi nədir? Ən çox sadə təriflər. Ancaq heç bir cədvəl dəyərini xatırlamağa ehtiyac yoxdur!)

Cavablar, əlbəttə ki, qarışıqdır):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Hər şey alınmır? baş verir. Dərsi yenidən oxuyun. Yalnız düşünərək(belə var köhnəlmiş söz...) Və bağlantıları izləyin. Əsas bağlantılar dairə haqqındadır. Onsuz triqonometriyada - yolu kor şəkildə necə keçmək olar. Bəzən işləyir.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.