Kako pronaći vrh parabole kvadratne jednadžbe. Kako pronaći koordinate vrha parabole

Parabola je jedna od krivulja drugog reda, njene tačke su iscrtane u skladu sa kvadratnom jednačinom. Glavna stvar u crtanju ove krive je pronaći vrh parabole... To se može učiniti na nekoliko načina.

Instrukcije

Da pronađemo koordinate vrha parabole, koristite sljedeću formulu: x = -b / 2a, gdje je a koeficijent ispred x na kvadrat, a b je koeficijent ispred x. Uključite svoje vrijednosti i izračunajte njihovu vrijednost. Zatim uključite ovu vrijednost u jednadžbu za x i izračunajte ordinatu vrha. Na primjer, ako vam je data jednadžba y = 2x ^ 2-4x + 5, onda pronađite apscisu na sljedeći način: x = - (- 4) / 2 * 2 = 1. Zamjenom x = 1 u jednadžbi, izračunajte y vrijednost za vrh parabole: y = 2 * 1 ^ 2-4 * 1 + 5 = 3. Dakle, vrh parabole ima koordinate (1-3).

Ordinatna vrijednost parabole može se naći bez prethodnog izračunavanja apscise. Da biste to učinili, koristite formulu y = -b ^ 2 / 4ac + c.

Ako ste upoznati s konceptom izvedenog pronalaska vrh parabole uz pomoć izvoda, koristeći sljedeće svojstvo bilo koje funkcije: prvi izvod funkcije, izjednačen sa nulom, označava tačke ekstrema. Od vrha parabole, bez obzira da li su njegove grane usmjerene gore ili dolje, je tačka ekstrema, izračunajte izvod za svoju funkciju. V opšti pogled imaće oblik f (x) = 2ax + b. Postavite ga na nulu i dobijete koordinate vrha. parabole odgovara vašoj funkciji.

Pokusaj naci vrh parabole, koristeći prednost takvog svojstva kao što je simetrija. Da biste to učinili, pronađite točke sjecišta parabole sa oh osom, izjednačavajući funkciju sa nulom (zamjenom y = 0). Rješavanjem kvadratne jednadžbe naći ćete x1 i x2. Pošto je parabola simetrična u odnosu na direktrisu koja prolazi vrh, ove tačke će biti jednako udaljene od apscise vrha. Da bismo ga pronašli, podijelimo udaljenost između tačaka na pola: x = (Ih1-h2I) / 2.

Ako je bilo koji od koeficijenata nula (osim a), izračunajte koordinate vrha parabole prema laganim formulama. Na primjer, ako je b = 0, to jest, jednačina ima oblik y = ax ^ 2 + c, tada će vrh ležati na osi oy i njegove koordinate će biti (0-c). Ako nije samo koeficijent b = 0, već i c = 0, onda je vrh parabole je u početnoj tački (0-0).

Parabola je graf kvadratne funkcije. Ova linija ima značajan fizički značaj. Da biste lakše pronašli vrh parabole, morate ga nacrtati. Tada možete lako vidjeti njegov vrh na grafikonu. Ali da biste napravili parabolu, morate znati kako pronaći tačke parabole i kako pronaći koordinate parabole.

Pronađite tačke i vrh parabole

U općem prikazu, kvadratna funkcija ima sljedeći oblik: y = ax 2 + bx + c. Grafikon ove jednačine je parabola. Sa vrijednošću a> 0, njegove grane su usmjerene nagore, a sa vrijednošću a <0 - naniže. Da biste nacrtali parabolu na graf, morate znati tri tačke ako ide duž ordinate. U suprotnom, moraju biti poznate četiri tačke zapleta.

Prilikom pronalaženja apscise (x) potrebno je uzeti koeficijent na (x) iz date polinomske formule, a zatim podijeliti sa udvostručenim koeficijentom na (x 2), a zatim pomnožiti sa brojem - 1.

Da biste pronašli ordinatu, morate pronaći diskriminanta, zatim ga pomnožiti sa - 1, a zatim podijeliti sa koeficijentom na (x 2), prethodno pomnoživši sa 4.

Zatim, zamjenom numeričkih vrijednosti, izračunava se vrh parabole. Za sve proračune preporučljivo je koristiti inženjerski kalkulator, a pri crtanju grafova i parabola koristiti ravnalo i lumograf, to će značajno povećati točnost vaših proračuna.

Razmotrite sljedeći primjer koji će nam pomoći da shvatimo kako pronaći vrh parabole.

x 2 -9 = 0. V u ovom slučaju Koordinate vrha se izračunavaju na sljedeći način: tačka 1 (-0 / (2 * 1); tačka 2 - (0 ^ 2-4 * 1 * (- 9)) / (4 * 1)). Dakle, koordinate vrha su vrijednosti (0; 9).

Pronađite apscisu vrha

Kada naučite kako pronaći parabolu i možete izračunati točke njenog presjeka s koordinatnom osom (x), lako možete izračunati apscisu vrha.

Neka su (x 1) i (x 2) korijeni parabole. Korijeni parabole su tačke njenog preseka sa osom apscise. Ove vrijednosti poništavaju kvadratnu jednadžbu sljedećeg oblika: ax 2 + bx + c.

Štaviše, | x 2 | > | x 1 |, pa se vrh parabole nalazi u sredini između njih. Dakle, može se naći sljedećim izrazom: x 0 = ½ (| x 2 | - | x 1 |).

Pronađite površinu figure

Da biste pronašli površinu figure na koordinatnoj ravni, morate znati integral. A da biste ga primijenili, dovoljno je poznavati određene algoritme. Da bismo pronašli područje ograničeno parabolama, potrebno ga je prikazati u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Prvo, prema gore opisanoj metodi, određuje se koordinata vrha ose (x), zatim osa (y), nakon čega se nalazi vrh parabole. Sada je potrebno odrediti granice integracije. Po pravilu, oni su naznačeni u opisu problema pomoću varijabli (a) i (b). Ove vrijednosti treba postaviti na vrh i dno integrala, respektivno. Zatim bi trebali u općem obliku napisati vrijednost funkcije i pomnožiti je sa (dx). U slučaju parabole: (x 2) dx.

Zatim morate općenito izračunati antiderivativnu vrijednost funkcije. Da biste to učinili, koristite posebnu tablicu vrijednosti. Zamjenjujući granice integracije tamo, nalazi se razlika. Ova razlika će biti površina.

Kao primjer, razmotrite sistem jednačina: y = x 2 +1 i x + y = 3.

Nalaze se apscise presečnih tačaka: x 1 = -2 i x 2 = 1.

Uz pretpostavku da je y 2 = 3 i y 1 = x 2 + 1, zamijenite vrijednosti u gornjoj formuli i dobijete vrijednost jednaku 4,5.

Sada smo naučili kako pronaći parabolu, a također, na osnovu ovih podataka, izračunati površinu oblika koji ona ograničava.

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, nastavnica matematike u Moskovskoj autonomnoj obrazovnoj ustanovi "Licej br. 1" u gradu Berezniki.

Projekt čas algebre u 9. razredu(humanitarni profil).

“Najdublji trag ostavlja ono što je osoba sama otkrila.” (D. Poya.)

Tema lekcije:"Izvođenje formula za izračunavanje koordinata vrha parabole."

Ciljevi lekcije: kognitivni :

Očekivani rezultat:

- svijest, prihvatanje i rješavanje problema od strane učenika;

Formiranje načina za dobijanje novih znanja kroz poređenje i suprotstavljanje činjenica, put od posebnog ka opštem;

Naučite formule za pronalaženje koordinata vrha i ose simetrije parabole za funkcije oblika y = ax 2 + bx + c.

Vrsta lekcije: lekcija u postavljanju obrazovnog problema. Nastavne metode- slikovni, ilustrativni, verbalni, učenje u saradnji, problematični, elementi tehnologije kritično mišljenje.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, demonstraciono platno, slajdovi prezentacije na temu: „Formule za pronalaženje koordinata temena parabole“; A3 listovi; markeri u boji.

Tehnologija- pristup sistemske aktivnosti.

Koraci lekcije:

Psihološki stav (motivacija).

Ažuriranje osnovno znanje(stvaranje situacije uspjeha).

Formulacija problema.

Formulacija teme i svrhe časa.

Rješenje.

Analiza napretka rješavanja problema.

Primjena rezultata rješavanja problema u narednim aktivnostima.

Sumiranje rezultata lekcije (rezultat "kroz oči" učenika, rezultat "kroz oči" nastavnika.).

Zadaća.

Tokom nastave:

Psihološki stav.

Cilj: Naučiti rješavati zajednički problem i raditi u timu (rad u grupama od 5 osoba).

Ljudi, u protekle četiri lekcije smo proučavali kvadratnu funkciju, ali naše znanje još nije potpuno kompletno, pa nastavljamo s proučavanjem kvadratne funkcije kako bismo naučili nešto novo o ovoj funkciji.

Motivacija učenika da samostalno formulišu temu i svrhu časa.

Tabela se popunjava tokom časa.

Ažuriranje osnovnih znanja i vještina učenika.Zagrijavanje. 1. Izbacite stariji koeficijent iz zagrada: 5x 2 + 25x -5; ax 2 + bx + c. 2. Odaberite udvostručeni proizvod: ab; sjekira; b / a. 3. U kvadrat: b / 2; c 2 / a; 2a / 3b. 4. Prisutno kao algebarski zbir: a - c; x - (- b / 2a).

Objasnite kako, znajući tip grafa funkcijey =ƒ( x ) , izgraditi grafove funkcija:

a ) y =ƒ(x - a) , - pomoću paralelnog prevođenja jedinica udesno duž ose NS;

b) y =ƒ(x) + b, - pomoću paralelnog prijenosa b jedinica gore duž ose y;

v) y =ƒ(x- a) +b, ↔ uključeno a jedinice, ↕ na b jedinice;

d) Kako nacrtati graf funkcije y = (x - 2) 2 + 3 ? Kakav je njen raspored?

Imenujte vrh parabole.
Graf je parabola y = x 2 sa vrhom u tački (2; 3 ).

Imenujte koordinate vrha parabole: y = x - 4x + 5 ( problem). Zašto je nemoguće odrediti koordinate vrha parabole po obliku funkcije?(kvadratna funkcija ima drugačiji oblik).

Aktivnosti učenika:

Govorne konstrukcije se grade funkcionalnom terminologijom.

Diskusija o odgovorima. Upoređuju, upoređuju sa prethodno naučenim funkcijama, biraju i zapisuju na tabli znanja i vještine koje će im možda trebati za rješavanje problema u koloni "ZNAM":

2.

3.

4.

U koloni "Želim znati": vrh, osa simetrije parabole
.

Studenti mogu da zapišu kolone „ZNAM“ i „ŽELIM DA ZNAM“ kako uopšteno tako i u posebnim slučajevima. Formulacija obrazovnog problema: pronaći koordinate vrha parabole, ako je kvadratna funkcija data u opštem obliku y = sjekira + bx + c... Učenici formulišu i zapisuju temu i svrhu časa u svesku.(Izvođenje formula za izračunavanje koordinata vrha parabole. Naučite pronaći koordinate vrha parabole na nov način - po formulama).

Rješenje.

Aktivnosti učenika: Upoređujući "staro" znanje sa novim znanjem, učenici predlažu da se izdvoji pun kvadrat. Konkretni primjeri
;
i primati shodno tome
;
... Naći koordinate vrha i jednadžbu ose simetrije. doveo je novu funkciju do poznatog izgleda.

Učenici popunjavaju kvadrat za funkciju
; , uporediti dobijeni rezultat, donijeti zaključak o ovoj funkciji. Pronađite koordinate vrha i osi simetrije.

Možete li imenovati vrh i os parabole ako je funkcija data u opštem obliku?
bez isticanja punog kvadrata? Kako ćete postupiti u ovom slučaju? A kako možete primijeniti svoje prethodno iskustvo u pronalaženju vrha i ose parabole?

Aktivnosti učenika:

Na osnovu već postojećeg znanja, iskustva, studenti počinju shvaćati da treba ići dalje, od posebnog do opšteg, dokaze izvode na opći način.

Pojavljuju se nove poteškoće. Rješenje se pojavljuje u grupama:. Analiza napretka rješavanja problema. Sasluša se po jedan predstavnik iz svake grupe.

Uporedite, analizirajte zapise
i
, u svesci je zapisano jedno opšte rešenje postavljenog problema - formule za koordinate vrha parabole
.

Studenti zaključuju: koordinate vrha i os parabole za funkciju
može se pronaći na racionalan način.

Primjena rezultata rješavanja problema u nastavku.

Aktivnosti učenika:

Rješavanje zadataka iz udžbenika br. 121; 123. Pronađite koordinate vrha parabole na nov racionalan način. Zapišite jednačinu prave, koja je osa simetrije parabole.

Sumiranje (odraz vaspitnih aktivnosti u lekciji).

Vratimo se na tabelu i popunimo kolonu “NAUČENO”.

Sažetak lekcije "kroz oči" učenika:

Rezultat "očima nastavnika":

Cilj lekcije je postignut.

Učenici su shvatili, prihvatili i riješili nastali problem.

U procesu rješavanja obrazovnog problema, učenici ne samo da su stekli nova znanja: ovisnost koeficijenata kvadratnog trinoma i koordinata vrha parabole, jednadžbe ose simetrije, već i ono najvažnije. na času je formiranje generalizovanih metoda sticanja novih znanja, samostalna analiza problema i pronalaženje nepoznatog.

Zadaća 122, 127 (b), 128, str.

P.S. Predstavljeni čas održan je 15. oktobra 2014. godine u okviru gradskog seminara nastavnika matematike na temu „Formiranje UUD-a na nastavi matematike“.

U fazi "Primjena rezultata..." prilikom rješavanja zadataka iz udžbenika, neki učenici su počeli shvaćati vrijednost svog "otkrića": više lak način pronalaženje koordinata temena i jednačine ose simetrije, dok drugi nisu krili radost, jer nema potrebe da se "muči" sa izborom kompletnog kvadrata. Ali što je najvažnije, sve smo uradili sami!

Parabola je prisutna u svetu matematike, fizike i drugih nauka. Parabole se kreću duž putanje umjetni sateliti koji nastoje da napuste granice Solarni sistem, lopta prilikom igranja odbojke također opisuje svoju putanju. Morate biti u stanju da napravite parabolu. A da biste to olakšali, morate znati kako pronaći vrh parabole.

Grafikon funkcije y = ax 2 + bx + c, gdje je a prvi koeficijent, b drugi koeficijent, c je slobodni član, naziva se parabola. Ali obratite pažnju na činjenicu da je a ≠ 0.

Svaka tačka parabole ima simetrično prema njemu, osim jedne tačke, a ova tačka se zove apeks. Da biste pronašli tačku koja je vrh, morate definirati koja je tačka na grafikonu. Tačka na grafu je određena koordinata duž ose apscise i duž ordinatne ose. Označava se kao (x; y). Hajde da shvatimo kako pronaći drage brojeve.

Prvi način

Ako želite da znate kako pravilno izračunati koordinate vrha, samo trebate naučiti formulu x0 = -b / 2a. Zamjenom rezultirajućeg broja u funkciju, dobivamo y0.

Na primjer, y = x 2 –8 x +15;

naći prvi, drugi koeficijent i slobodni član;

• a = 1, b = -8, c = 15;

zamjenjujemo vrijednosti a i b u formulu;

• x0 = 8/2 = 4;

izračunati y vrijednosti;

• y0 = 16–32 + 15 = -1;

To znači da je vrh u tački (4; -1).

Grane parabole su simetrične u odnosu na os simetrije koja prolazi kroz vrh parabole. Poznavajući korijene jednadžbe, lako možete izračunati apscisu vrha parabole. Pretpostavimo da su k i n korijeni kvadratna jednačina... Tada je tačka x0 jednako udaljena od tačaka k i n, a može se izračunati po formuli: x0 = (k + n) / 2.

Razmotrimo kao primjer y = x 2 –6x + 5

1) Jednako sa nulom:

• x 2 –6x + 5 = 0.

2) Pronađite diskriminanta koristeći formulu: D = b 2 –4 ac:

• D = 36-20 = 16.

3) Pronađite korijene jednadžbe po formuli (-b ± √ D) / 2a:

• 1 - prvi korijen;
• 5 je drugi korijen.

4) Izračunajte:

• x0 = (5 + 1) / 2 = 3

Drugi način

Dovršavanje kvadrata je odličan način da saznate gdje se nalazi vrh. Koristeći ovu metodu, možete izračunati x i y tačke u isto vrijeme, bez potrebe zamjene x u početnom primjeru. Razmotrimo ovu metodu na primjeru funkcije: y = x 2 +8 x +10.

1. Prvo treba izraz sa promjenljivom izjednačiti sa 0. Zatim pomjeriti c na desnu stranu sa suprotnim predznakom, odnosno dobićemo izraz x 2 + 8x = -10.

2. Sada na lijevoj strani trebate napraviti cijeli kvadrat. Da biste to učinili, izbrojite (b / 2) 2 i povećajte obje strane jednačine za rezultat. U ovom slučaju, trebate zamijeniti 8 za b.

To čini 16. Sada dodajte taj broj na obje strane jednačine:

x 2 + 8x + 16 = 6.

3. Može se vidjeti da je rezultirajući izraz potpuni kvadrat. Može se predstaviti u obliku: (x + 4) 2 = 6.

4. Koristite ovaj izraz da pronađete koordinate vrha parabole. Da biste izračunali x, morate ga izjednačiti sa 0. Dobijamo x = -4. Koordinata y jednaka je onoj na desnoj strani, odnosno y = 6. Tem parabole ove jednadžbe je (-4, 6).

Treći način

Ako znate šta je derivat, onda postoji još jedna formula za vas. Bez obzira na to gdje gledaju "rogovi" parabole, njen vrh je krajnja tačka. Za ovu metodu potrebno je primijeniti sljedeći algoritam:

1. Pronalaženje prvog izvoda po formuli f "(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Izjednačavanje izvoda sa 0. Kao rezultat dobijate 0 = 2ax + b, odavde možete pronaći ono što nas zanima.

Razmotrimo ovu metodu detaljnije.

Funkcija je data y = 4x² + 16x-17;

• Zapisujemo izvod i postavljamo ga na nulu.

f "(x) = (4x² + 16x-17)’ = 8x + 16 = 0

Najteži dio crtanja je pravilno pronaći tačke funkcije. Za detaljnu konstrukciju morate izračunati 5-7 bodova (ovo će biti dovoljno za školski kurs). Da biste to učinili, odaberite neku vrijednost x i zamijenite je u ovu funkciju. Rezultat proračuna će biti broj tačaka duž ordinatne ose. Nakon toga smo obukli koordinatna ravan bodove koje smo dobili. Kao rezultat, dobijamo parabolu.

Razmotrimo detaljnije pitanje pronalaženja tačaka koje treba napomenuti. Na primjer, uzmite funkciju y = -x 2 +11 x -24 sa vrhom u tački (5,5; -6,25).

1) Pravljenje stola

Tačno pronađite kvote.

Napišite međuproračune na papiru. Ovo ne samo da će vam olakšati pronalaženje vrha, već će vam pomoći i da pronađete svoje greške.

Radite sve u fazama. Slijedite algoritam.

Imajte na umu da:

• Morate provjeriti da li je vaša odluka ispravna.
• Moraš se smiriti. Za rješavanje bilo kojeg matematičkog problema potrebno je iskustvo. Samo treba da razradite ovu temu i onda ćete sigurno uspjeti.

Video

Ovaj video će vam pomoći da naučite kako pronaći vrh parabole.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

sadržaj:

Vrh parabole je njena najviša ili najniža tačka. Da biste pronašli vrh parabole, možete koristiti posebnu formulu ili metodu komplementa kvadrata. Kako to učiniti opisano je u nastavku.

Koraci

1 Formula za pronalaženje temena

1. 1 Odredite količine a, b i c. U kvadratnoj jednadžbi, koeficijent at x 2 = a, at x= b, konstanta (koeficijent bez varijable) = c. Na primjer, uzmite jednačinu: y = x 2 + 9x + 18. Evo a = 1, b= 9, i c = 18.
2. 2 Koristite formulu da izračunate vrijednost za x-koordinatu vrha. Teme je takođe tačka simetrije parabole. Formula za pronalaženje x koordinate parabole: x = -b / 2a. Uključite odgovarajuće vrijednosti da biste izračunali x.
   • x = -b / 2a
   • x = - (9) / (2) (1)
   • x = -9 / 2
3. 3 Ubacite x-vrijednost koju pronađete u originalnu jednadžbu da biste izračunali y-vrijednost. Sada kada znate vrijednost x, jednostavno ga uključite u originalnu jednačinu da biste pronašli y. Dakle, formula za pronalaženje vrha parabole može se napisati kao funkcija: (x, y) = [(-b / 2a), f (-b / 2a)]... To znači da da biste pronašli y, prvo morate pronaći x koristeći formulu, a zatim ubaciti vrijednost x u originalnu jednadžbu. Evo kako se to radi:
   • y = x 2 + 9x + 18
   • y = (-9/2) 2 + 9 (-9/2) +18
   • y = 81/4 -81/2 + 18
   • y = 81/4 -162/4 + 72/4
   • y = (81 - 162 + 72) / 4
   • y = -9/4
4. 4 Zapišite x i y vrijednosti kao par koordinata. Sada kada znate da je x = -9/2 i y = -9/4, zapišite ih kao koordinate u obliku: (-9/2, -9/4). Tem parabole se nalazi u koordinatama (-9/2, -9/4). Ako trebate nacrtati ovu parabolu, tada njen vrh leži u najnižoj tački, pošto je koeficijent na x 2 pozitivan.

2 Dopuna kompletnom kvadratu

1. 1 Zapišite jednačinu. Dopunjavanje kvadrata je još jedan način da se pronađe vrh parabole. Primjenom ove metode pronaći ćete koordinate x i y odjednom, bez potrebe zamjene x u originalnoj jednadžbi. Na primjer, s obzirom na jednačinu: x 2 + 4x + 1 = 0.
2. 2 Podijelite svaki koeficijent sa koeficijentom na x 2. U našem slučaju, koeficijent na x 2 je 1, tako da možemo preskočiti ovaj korak. Podjela na 1 neće ništa promijeniti.
3. 3 Premjestite konstantu na desnu stranu jednačine. Konstanta - koeficijent bez varijable. Ovdje je "1". Pomjerite 1 udesno oduzimanjem 1 s obje strane jednačine. Evo kako to učiniti:
   • x 2 + 4x + 1 = 0
   • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
   • x 2 + 4x = - 1
4. 4 Dopuni kvadrat na lijevoj strani jednadžbe. Da biste to učinili, samo pronađite (b / 2) 2 i dodajte rezultat na obje strane jednačine. Zamijenite "4" za b pošto je "4x" koeficijent b naše jednadžbe.
   • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Sada dodajte 4 na obje strane jednačine da dobijete:
     • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
     • x 2 + 4x + 4 = 3
5. 5 Pojednostavljivanje lijeve strane jednačine. Vidimo da je x 2 + 4x + 4 pun kvadrat. Može se napisati kao: (x + 2) 2 = 3
6. 6 Koristite ga da pronađete x i y koordinate. Možete pronaći x jednostavnim postavljanjem (x + 2) 2 na 0. Sada kada je (x + 2) 2 = 0, izračunajte x: x = -2. Koordinata y je konstanta na desnoj strani punog kvadrata. Dakle, y = 3. Vrh parabole jednadžbe x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)

• Definirajte a, b i c ispravno.
• Zabilježite preliminarne proračune. Ovo ne samo da će pomoći u procesu rada, već će vam omogućiti da vidite gdje su napravljene greške.
• Ne mijenjajte redoslijed izračunavanja.

Upozorenja

• Provjerite svoj odgovor!
• Uvjerite se da znate kako odrediti koeficijente a, b i c. Ako ne znate, odgovor će biti pogrešan.
• Ne - rješavanje takvih problema zahtijeva praksu.