वृत्त की स्पर्श रेखा क्या है? वृत्त की स्पर्श रेखा के गुण। दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा

एक वृत्त की स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के साथ 90 का कोण बनाती है। इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर एक वृत्त की स्पर्श रेखा बनाने के लिए, त्रिज्या के लंबवत आवश्यक रेखा खींचना आवश्यक है।

आइए स्पर्शरेखा और संयुग्मन के निर्माण के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

बिंदु A से होकर O 1 . वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींचिए

समस्या को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित निर्माण करते हैं:

1) बिंदुओं O 1 और A को एक सीधी रेखा से जोड़ें;

2) बिंदु O 2 से - खंड O 1 A के मध्य में - त्रिज्या O 2 A के साथ एक सहायक वृत्त बनाएं, जब तक कि यह बिंदु B पर दिए गए वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न करे।

उत्तरार्द्ध संपर्क का बिंदु है, क्योंकि कोण एबीओ 1 90 के बराबर है (यह आधारित है

AO 1 के व्यास पर, इसलिए, त्रिज्या O 1 B, सीधी रेखा का उभयनिष्ठ अभिलंब है और बिंदु B पर वृत्ताकार चाप है।

उदाहरण 2

त्रिज्या R 1 और R 2 वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की रचना कीजिए (आकृति 3.4)।

समस्या को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित निर्माण करते हैं:

1) बड़े सर्कल के केंद्र ओ 1 से हम आर 1 और आर 2 के बीच के अंतर के बराबर त्रिज्या के साथ एक सहायक सर्कल खींचते हैं, यानी। आर 1 - आर 2;

2) इस वृत्त पर बिंदु O 2 से हम एक स्पर्श रेखा O 2 K खींचते हैं जैसा कि उदाहरण 1 में किया गया था;

3) हम सीधी रेखा O 1 K को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह किसी दिए गए बड़े वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न करे, हमें बिंदु B मिलता है, जो कि संपर्क बिंदु है। बिंदु O 2 से हम O 1 B के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं जब तक कि रेखा एक वृत्त को बिंदु A पर नहीं काटती, जो स्पर्शरेखा AB का दूसरा संपर्क बिंदु है।

चावल। 3.3. स्पर्शरेखा का निर्माण

सर्कल के लिए लाइन

चावल। 3.4. स्पर्शरेखा का निर्माण

दो मंडलियों के लिए

3.3. दो पंक्तियों का संयोग

उदाहरण 3

त्रिज्या वाली दो प्रतिच्छेदी रेखाओं m और n का एक संयुग्मन बनाइए

संयुग्मन आर सी (चित्र। 3.5)।

चावल। 3.5. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के संयोजन का निर्माण

आइए दी गई रेखाओं पर लंबों को छोड़ते हैं और संयुग्मन बिंदु A और B प्राप्त करते हैं; बिंदु 0 से त्रिज्या R c के साथ हम बिंदु A और B के बीच संयुग्मन का एक चाप खींचते हैं।

3.4. एक वृत्त के साथ एक रेखा का संयुग्मन (आंतरिक और बाहरी)

उदाहरण 4

त्रिज्या R c . वाले वृत्त के बाह्य और आंतरिक संयुग्मन बनाइए

संयुग्मन के दिए गए त्रिज्या के एक सीधी रेखा t चाप के साथ केंद्र O 1 के साथ।

डी

चावल। 3.6. एक बाहरी निर्माण

एक वृत्त और एक सीधी रेखा का संयोग

वस्तुओं की आकृति बनाते समय, वृत्तों के दो चापों के लिए सामान्य स्पर्शरेखा बनाना अपेक्षाकृत अक्सर आवश्यक होता है। दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा बाह्य हो सकती है यदि दोनों वृत्त इसके एक ही ओर स्थित हों, और आंतरिक यदि वृत्त स्पर्शरेखा के विभिन्न पक्षों पर स्थित हों।

त्रिज्या R और r . वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्श रेखा की रचना (चित्र 47)। बड़े त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से - अंक हे 1 त्रिज्या वाले वृत्त का वर्णन करें आर – आर (चित्र 47, ए)। एक खंड के मध्य बिंदु का पता लगाएं हे 2 हे 1 – बिंदु हे 3 और इसमें से एक त्रिज्या के साथ एक सहायक वृत्त बनाएं हे 3 हे 2 या हे 3 हे 1. खींचे गए दोनों वृत्त बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं ए तथा पर . अंक हे 1 तथा बी त्रिज्या के एक वृत्त के साथ एक सीधी रेखा और उसके चौराहे पर कनेक्ट करें आर संपर्क के बिंदु को परिभाषित करें डी (चित्रा 47, बी)। एक बिंदु से हे 2 एक सीधी रेखा के समानांतर हे 1 डी एक रेखा तब तक खींचे जब तक वह त्रिज्या के एक वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न करे आर और दूसरा स्पर्श बिंदु प्राप्त करें सी . सीधा सीडी वांछित स्पर्शरेखा है। इन वृत्तों की दूसरी सामान्य बाह्य स्पर्श रेखा भी निर्मित होती है (सीधी रेखा एफई ).

चित्र 47

त्रिज्या R और r . के दो वृत्तों की उभयनिष्ठ आंतरिक स्पर्श रेखा का निर्माण (चित्र 48)। किसी वृत्त के केंद्र से, उदाहरण के लिए: अंक हे 1 , त्रिज्या वाले एक वृत्त का वर्णन करें आर +आर (चित्र 48, ए)। खंड को विभाजित करना हे 2 हे 1 आधे में काटें, एक बिंदु प्राप्त करें हे 3 . एक बिंदु से हे 3 त्रिज्या के साथ केंद्र से दूसरे सहायक सर्कल का वर्णन कैसे करें हे 3 हे 2 = ओ 3 हे 1 और अंक चिह्नित करें ए तथा पर सहायक मंडलियों के चौराहे। सीधे बिंदुओं को जोड़ना ए तथा हे 1 (चित्र 48, ख), त्रिज्या के एक वृत्त के साथ इसके चौराहे पर आर स्पर्श बिंदु प्राप्त करें डी . त्रिज्या के एक वृत्त के केंद्र के माध्यम से आर रेखा के समानांतर एक रेखा खींचना हे 1 डी , और किसी दिए गए सर्कल के साथ इसके चौराहे पर, संपर्क का दूसरा बिंदु निर्धारित किया जाता है से . सीधा सीडी – दिए गए वृत्तों की आंतरिक स्पर्श रेखा। दूसरी स्पर्शरेखा इसी तरह बनी है एफई .

चित्र 48

3.3 एक वृत्ताकार चाप के साथ संयुग्मित होता है

3.3.1 एक वृत्त के चाप द्वारा दो रेखाओं का संयोजन

एक चाप द्वारा संयुग्मन के सभी कार्यों को दो प्रकारों में घटाया जा सकता है। युग्मन या तो संभोग चाप के दिए गए त्रिज्या द्वारा किया जाता है, या संभोग रेखाओं में से किसी एक पर निर्दिष्ट बिंदु के माध्यम से किया जाता है। दोनों ही मामलों में, संभोग चाप के केंद्र का निर्माण करना आवश्यक है।

किसी दिए गए त्रिज्या R . के साथ एक चाप द्वारा दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का संयुग्मन सी (चित्र 49, ए)। चूंकि संभोग चाप को दी गई रेखाओं को छूना चाहिए, तो इसके केंद्र को प्रत्येक रेखा से त्रिज्या के बराबर राशि से हटा दिया जाना चाहिए आर सी . संयुग्मन इस तरह बनाया गया है। दो सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, दी गई रेखाओं के समानांतर और त्रिज्या द्वारा उनसे दूर होती हैं आर सी और इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक बिंदु अंकित करें हे – संभोग चाप का केंद्र। एक बिंदु से हे दी गई प्रत्येक रेखा पर एक लंब गिराएं। लंबवत आधार - अंक ए तथा बी – संभोग चाप के संपर्क के बिंदु हैं। संयुग्मन की यह रचना किसी भी कोण को बनाने वाली दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लिए मान्य है। समकोण की भुजाओं को जोड़ने के लिए, आप चित्र 49, b में दर्शाई गई विधि का भी उपयोग कर सकते हैं।

चित्र 49

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का संयुग्मन, जिनमें से एक पर संभोग चाप का संपर्क बिंदु A दिया गया है (चित्र 50)। यह ज्ञात है कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को संयुग्मित करने वाले चापों के केन्द्रों का बिन्दुपथ इन रेखाओं से बनने वाले कोण का समद्विभाजक होता है। इसलिए, संपर्क बिंदु से कोण के द्विभाजक की रचना करके ए रेखा के लंबवत को तब तक पुनर्स्थापित करें जब तक कि वह द्विभाजक के साथ प्रतिच्छेद न करे और बिंदु को चिह्नित न करे हे – संभोग चाप का केंद्र। बिंदु से गिरना हे दूसरी सीधी रेखा के लंबवत, दूसरा स्पर्शरेखा बिंदु B और त्रिज्या प्राप्त करें आर सी =ओए=ओबी दो सीधी रेखाओं का संयुग्मन करें, जिनमें से एक पर संपर्क बिंदु निर्धारित किया गया था।

किसी दिए गए संपर्क बिंदु A . से गुजरने वाली चाप द्वारा दो समानांतर रेखाओं का संयुग्मन (चित्र 51)। एक बिंदु से ए दी गई रेखाओं के लंबवत को पुनर्स्थापित करें और दूसरी रेखा के साथ इसके चौराहे पर एक बिंदु चिह्नित करें बी . रेखा खंड अब आधे में विभाजित करें और एक बिंदु प्राप्त करें हे - एक त्रिज्या के साथ संभोग चाप का केंद्र।

चित्र 50 चित्र 51

अंश, स्पर्शरेखा - यह सब ज्यामिति पाठों में सैकड़ों बार सुना जा सकता है। लेकिन स्कूल से स्नातक खत्म हो गया है, साल बीत चुके हैं, और यह सब ज्ञान भुला दिया गया है। क्या याद रखना चाहिए?

सार

शब्द "एक वृत्त की स्पर्शरेखा" शायद सभी के लिए परिचित है। लेकिन यह संभावना नहीं है कि हर कोई जल्दी से इसकी परिभाषा तैयार कर पाएगा। इस बीच, एक स्पर्शरेखा एक ऐसी सीधी रेखा होती है जो एक ही तल में एक वृत्त के साथ होती है जो इसे केवल एक बिंदु पर काटती है। उनमें से एक विशाल विविधता हो सकती है, लेकिन उन सभी में समान गुण हैं, जिनके बारे में नीचे चर्चा की जाएगी। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, संपर्क बिंदु वह स्थान है जहां वृत्त और रेखा प्रतिच्छेद करते हैं। प्रत्येक मामले में, यह एक है, लेकिन यदि उनमें से अधिक हैं, तो यह एक सेकेंट होगा।

खोज और अध्ययन का इतिहास

स्पर्शरेखा की अवधारणा पुरातनता में दिखाई दी। इन सीधी रेखाओं का निर्माण, पहले एक वृत्त तक, और फिर एक शासक और एक कम्पास की सहायता से दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय तक, ज्यामिति के विकास के प्रारंभिक चरणों में भी किया गया था। बेशक, इतिहास ने खोजकर्ता के नाम को संरक्षित नहीं किया है, लेकिन यह स्पष्ट है कि उस समय भी लोगों को एक वृत्त की स्पर्शरेखा के गुणों के बारे में काफी जानकारी थी।

आधुनिक समय में, इस घटना में रुचि फिर से बढ़ गई - इस अवधारणा का अध्ययन करने का एक नया दौर शुरू हुआ, जो नए घटता की खोज के साथ मिला। इसलिए, गैलीलियो ने एक चक्रवात की अवधारणा पेश की, और फ़र्मेट और डेसकार्टेस ने इसके लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया। हलकों के लिए, ऐसा लगता है कि इस क्षेत्र में पूर्वजों के लिए कोई रहस्य नहीं बचा है।

गुण

चौराहे के बिंदु पर खींची गई त्रिज्या होगी

मुख्य, लेकिन एकमात्र ऐसा गुण नहीं है जो किसी वृत्त की स्पर्श रेखा के पास होता है। एक अन्य महत्वपूर्ण विशेषता में पहले से ही दो सीधी रेखाएँ शामिल हैं। अतः, वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं, जबकि उनके खंड बराबर होंगे। इस विषय पर एक और प्रमेय है, लेकिन यह शायद ही कभी एक मानक स्कूल पाठ्यक्रम के ढांचे में शामिल होता है, हालांकि यह कुछ समस्याओं को हल करने के लिए बेहद सुविधाजनक है। ऐसा लगता है। वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु से इसकी ओर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक खींचा जाता है। खंड AB, AC और AD बनते हैं। A रेखाओं का प्रतिच्छेदन है, B संपर्क बिंदु है, C और D प्रतिच्छेदन हैं। इस मामले में, निम्नलिखित समानता मान्य होगी: वृत्त पर स्पर्शरेखा की लंबाई, वर्ग, खंड AC और AD के गुणनफल के बराबर होगी।

उपरोक्त का एक महत्वपूर्ण परिणाम है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के लिए, आप एक स्पर्शरेखा बना सकते हैं, लेकिन केवल एक। इसका प्रमाण काफी सरल है: सैद्धांतिक रूप से उस पर त्रिज्या से एक लंबवत गिराने पर, हम पाते हैं कि गठित त्रिभुज मौजूद नहीं हो सकता है। और इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा अद्वितीय है।

इमारत

ज्यामिति में अन्य कार्यों में, एक विशेष श्रेणी है, एक नियम के रूप में, नहीं

छात्रों और छात्रों द्वारा पसंद किया गया। इस श्रेणी के कार्यों को हल करने के लिए, आपको केवल एक कंपास और एक शासक की आवश्यकता है। ये निर्माण कार्य हैं। स्पर्शरेखा बनाने की भी विधियाँ हैं।

तो, इसकी सीमाओं के बाहर स्थित एक वृत्त और एक बिंदु दिया गया है। और उनके माध्यम से एक स्पर्शरेखा खींचना आवश्यक है। यह कैसे करना है? सबसे पहले, आपको वृत्त O के केंद्र और दिए गए बिंदु के बीच एक खंड बनाना होगा। फिर, एक कंपास का उपयोग करके, इसे आधा में विभाजित करें। ऐसा करने के लिए, आपको त्रिज्या निर्धारित करने की आवश्यकता है - मूल सर्कल के केंद्र और दिए गए बिंदु के बीच की आधी से थोड़ी अधिक दूरी। उसके बाद, आपको दो प्रतिच्छेदन चाप बनाने की आवश्यकता है। इसके अलावा, कम्पास की त्रिज्या को बदलने की आवश्यकता नहीं है, और सर्कल के प्रत्येक भाग का केंद्र क्रमशः प्रारंभिक बिंदु और ओ होगा। चापों के चौराहों को जोड़ा जाना चाहिए, जो खंड को आधे में विभाजित करेगा। इस दूरी के बराबर कम्पास पर त्रिज्या सेट करें। इसके बाद, चौराहे के बिंदु पर केंद्र के साथ, एक और सर्कल बनाएं। प्रारंभिक बिंदु और O दोनों उस पर स्थित होंगे। इस स्थिति में, समस्या में दिए गए वृत्त के साथ दो और प्रतिच्छेदन होंगे। वे प्रारंभ में दिए गए बिंदु के लिए स्पर्श बिंदु होंगे।

यह वृत्त के स्पर्शरेखाओं का निर्माण था जो जन्म की ओर ले गया

अंतर कलन। इस विषय पर पहला काम प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ लाइबनिज द्वारा प्रकाशित किया गया था। उन्होंने भिन्नात्मक और अपरिमेय मूल्यों की परवाह किए बिना, मैक्सिमा, मिनिमा और स्पर्शरेखा खोजने की संभावना प्रदान की। खैर, अब इसका उपयोग कई अन्य गणनाओं के लिए भी किया जाता है।

इसके अलावा, वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा के ज्यामितीय अर्थ से संबंधित होती है। वहीं से इसका नाम आता है। लैटिन से अनुवादित, स्पर्शरेखा का अर्थ है "स्पर्शरेखा"। इस प्रकार, यह अवधारणा न केवल ज्यामिति और विभेदक कलन के साथ, बल्कि त्रिकोणमिति के साथ भी जुड़ी हुई है।

दो वृत्त

एक स्पर्शरेखा हमेशा केवल एक आकृति को प्रभावित नहीं करती है। यदि एक वृत्त पर बड़ी संख्या में सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं, तो इसके विपरीत क्यों नहीं? कर सकना। लेकिन इस मामले में कार्य गंभीर रूप से जटिल है, क्योंकि दो वृत्तों की स्पर्शरेखा किसी भी बिंदु से नहीं गुजर सकती है, और इन सभी आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति बहुत हो सकती है

को अलग।

प्रकार और किस्में

जब दो वृत्तों और एक या अधिक सीधी रेखाओं की बात आती है, भले ही यह ज्ञात हो कि ये स्पर्श रेखाएँ हैं, यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि ये सभी आकृतियाँ एक दूसरे के संबंध में कैसे स्थित हैं। इसके आधार पर, कई किस्में हैं। तो, वृत्तों में एक या दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं या बिल्कुल भी नहीं हो सकते हैं। पहले मामले में, वे प्रतिच्छेद करेंगे, और दूसरे में, वे स्पर्श करेंगे। और यहाँ दो किस्में हैं। यदि एक वृत्त, जैसा वह था, दूसरे में सन्निहित है, तो स्पर्श को आंतरिक कहा जाता है, यदि नहीं, तो बाहरी। आप न केवल आरेखण के आधार पर, बल्कि उनकी त्रिज्याओं के योग और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के बारे में भी जानकारी रखते हुए आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति को समझ सकते हैं। यदि ये दोनों राशियाँ बराबर हों, तो वृत्त स्पर्श करते हैं। यदि पहला बड़ा है, तो वे प्रतिच्छेद करते हैं, और यदि कम हैं, तो उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

सीधी रेखाओं के साथ ही। ऐसे किन्हीं दो वृत्तों के लिए जिनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं, एक कर सकता है

चार स्पर्शरेखाएँ बनाएँ। उनमें से दो आकृतियों के बीच प्रतिच्छेद करेंगे, उन्हें आंतरिक कहा जाता है। कुछ अन्य बाहरी हैं।

यदि हम उन मंडलियों के बारे में बात कर रहे हैं जिनमें एक सामान्य बिंदु है, तो कार्य बहुत सरल है। तथ्य यह है कि इस मामले में किसी भी पारस्परिक व्यवस्था के लिए, उनके पास केवल एक स्पर्शरेखा होगी। और वह उनके चौराहे के स्थान से होकर गुजरेगी। तो कठिनाई के निर्माण का कारण नहीं होगा।

यदि आकृतियों में प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं, तो उनके लिए एक सीधी रेखा बनाई जा सकती है, वृत्त की स्पर्शरेखा, दोनों एक और दूसरी, लेकिन केवल बाहरी। इस समस्या का समाधान उसी के समान है जिस पर नीचे चर्चा की जाएगी।

समस्या को सुलझाना

दो वृत्तों की आंतरिक और बाह्य दोनों स्पर्श रेखाएँ निर्माण में इतनी सरल नहीं हैं, हालाँकि इस समस्या को हल किया जा सकता है। तथ्य यह है कि इसके लिए एक सहायक आकृति का उपयोग किया जाता है, इसलिए इस विधि के बारे में स्वयं सोचें

काफी समस्याग्रस्त। तो, अलग-अलग त्रिज्या वाले दो वृत्त दिए गए हैं और O1 और O2 केंद्र हैं। उनके लिए, आपको दो जोड़ी स्पर्शरेखाएँ बनानी होंगी।

सबसे पहले, बड़े सर्कल के केंद्र के पास, आपको एक सहायक बनाने की जरूरत है। इस मामले में, दो प्रारंभिक आंकड़ों की त्रिज्या के बीच का अंतर कम्पास पर स्थापित किया जाना चाहिए। सहायक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ छोटे वृत्त के केंद्र से निर्मित होती हैं। उसके बाद, O1 और O2 से, इन रेखाओं पर लंब तब तक खींचे जाते हैं जब तक कि वे मूल आकृतियों के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। स्पर्शरेखा के मुख्य गुण से निम्नानुसार दोनों वृत्तों पर वांछित बिन्दु प्राप्त होते हैं। समस्या हल हो गई है, कम से कम, इसका पहला भाग।

आंतरिक स्पर्शरेखाओं के निर्माण के लिए, व्यक्ति को व्यावहारिक रूप से हल करना होता है

एक समान कार्य। फिर से, एक सहायक आकृति की आवश्यकता होती है, लेकिन इस बार इसकी त्रिज्या मूल के योग के बराबर होगी। दिए गए वृत्तों में से किसी एक के केंद्र से इसके लिए स्पर्शरेखाएँ बनाई जाती हैं। समाधान के आगे के पाठ्यक्रम को पिछले उदाहरण से समझा जा सकता है।

एक वृत्त या दो या दो से अधिक की स्पर्शरेखा इतना कठिन कार्य नहीं है। बेशक, गणितज्ञों ने ऐसी समस्याओं को मैन्युअल रूप से हल करना बंद कर दिया है और विशेष कार्यक्रमों की गणना पर भरोसा करते हैं। लेकिन यह मत सोचो कि अब इसे स्वयं करने में सक्षम होना आवश्यक नहीं है, क्योंकि कंप्यूटर के लिए किसी कार्य को सही ढंग से तैयार करने के लिए, आपको बहुत कुछ करने और समझने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से, ऐसी आशंकाएँ हैं कि ज्ञान नियंत्रण के परीक्षण रूप में अंतिम परिवर्तन के बाद, निर्माण कार्य छात्रों के लिए अधिक से अधिक कठिनाइयाँ पैदा करेंगे।

जहाँ तक अधिक वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ ज्ञात करने का प्रश्न है, यह हमेशा संभव नहीं होता, भले ही वे एक ही तल में हों। लेकिन कुछ मामलों में ऐसी रेखा मिल सकती है।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

अभ्यास में दो वृत्तों के लिए एक सामान्य स्पर्शरेखा का अक्सर सामना किया जाता है, हालांकि यह हमेशा ध्यान देने योग्य नहीं होता है। कन्वेयर, ब्लॉक सिस्टम, पुली ट्रांसमिशन बेल्ट, सिलाई मशीन में थ्रेड टेंशन और यहां तक ​​कि सिर्फ एक साइकिल चेन - ये सभी जीवन के उदाहरण हैं। तो यह मत सोचो कि ज्यामितीय समस्याएं केवल सिद्धांत में ही रहती हैं: इंजीनियरिंग, भौतिकी, निर्माण और कई अन्य क्षेत्रों में, वे व्यावहारिक अनुप्रयोग पाते हैं।

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राज्य बजट शिक्षण संस्थान

व्यायामशाला संख्या 000

ज्यामिति पर डिजाइन का काम।

वृत्त की स्पर्श रेखा बनाने की आठ विधियाँ।

9 जैविक और रासायनिक वर्ग

वैज्ञानिक सलाहकार: ,

शैक्षणिक मामलों के उप निदेशक,

गणित शिक्षक।

मास्को 2012

परिचय

अध्याय 1. …………………………………………………………… 4

निष्कर्ष (निष्कर्ष)

परिचय

आत्मा की सर्वोच्च अभिव्यक्ति मन है।

मन की उच्चतम अभिव्यक्ति ज्यामिति है।

ज्यामिति कोशिका एक त्रिभुज है। वह वही है

अटूट, ब्रह्मांड की तरह। वृत्त ज्यामिति की आत्मा है।

परिधि को जानो तो केवल आत्मा को ही नहीं जानोगे

ज्यामिति, लेकिन अपनी आत्मा को भी ऊंचा करें।

क्लॉडियस टॉलेमी
एक कार्य।

वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु A से होकर गुजरने वाले केंद्र O और त्रिज्या R वाले वृत्त की स्पर्श रेखा की रचना कीजिए

अध्याय 1।

एक वृत्त की स्पर्शरेखा की रचनाएँ जिन्हें समानांतर रेखाओं के सिद्धांत के आधार पर औचित्य की आवश्यकता नहीं होती है।

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°. एक वृत्त के लिए (O; r) OB - त्रिज्या। OB AB, इसलिए AB एक स्पर्शरेखा के आधार पर एक स्पर्श रेखा है।

इसी प्रकार, AC एक वृत्त की स्पर्श रेखा है।

रचना संख्या 1 इस तथ्य पर आधारित है कि एक वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।

एक रेखा के लिए वृत्त के साथ संपर्क का केवल एक बिंदु होता है।

एक रेखा पर दिए गए बिंदु के माध्यम से, केवल एक लंबवत रेखा खींची जा सकती है।

बिल्डिंग नंबर 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°

5. OB - त्रिज्या, ABO = 90°, इसलिए AB - आधार पर स्पर्शरेखा।

6. इसी तरह, एक समद्विबाहु त्रिभुज AON में, AC एक स्पर्शरेखा है (ACO \u003d 90 °, OS एक त्रिज्या है)

7. अत: AB और AC स्पर्श रेखाएँ हैं

बिल्डिंग #3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM = OVA= 90° (समान त्रिभुजों में संगत कोणों के रूप में), इसलिए, AB - स्पर्शरेखा के आधार पर स्पर्शरेखा।

4. इसी प्रकार, AC एक स्पर्श रेखा है

इमारत №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">

बिल्डिंग नंबर 6.

इमारत:

2. बिंदु A से होकर जाने वाली एक मनमाना रेखा खींचिए जो वृत्त (O, r) को बिंदु M और N पर काटती है।

6. AB और BC वांछित स्पर्श रेखाएँ हैं।

सबूत:

1. चूँकि त्रिभुज PQN और PQM एक वृत्त में अंकित हैं और भुजा PQ वृत्त का व्यास है, ये त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं।

2. त्रिभुज PQL में, खंड PM और QN बिंदु K पर प्रतिच्छेद करने वाली ऊँचाई हैं, इसलिए KL तीसरी ऊँचाई है..gif" चौड़ाई="17" ऊँचाई = "16 src=">.gif" चौड़ाई = "17" ऊँचाई = "16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, फिर |AQ| = |AS|ctg β इसलिए |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2)।

5. (1) और (2) की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है |PD| : |पीए| = |डीक्यू| : |एक्यू|, या

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R)।

कोष्ठक खोलने और सरल करने के बाद, मैंने पाया कि |OD|·|OA|=R².

5. यह संबंध से |OD|·|OA|=R² का अनुसरण करता है कि |OD|:R=R: |OA|, अर्थात त्रिभुज ODB और OBA समान हैं..gif" width="17" height=" 16"> OBA=90°। इसलिए, रेखा AB अभीष्ट स्पर्श रेखा है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

बिल्डिंग नंबर 6.

इमारत:

1. एक वृत्त खींचिए (A; |OA|)।

2. मुझे 2R के बराबर एक कंपास ओपनिंग मिलेगी, जिसके लिए मैं वृत्त (O; R) पर एक बिंदु S चुनूंगा और तीन चापों को अलग रखूंगा जिनमें प्रत्येक 60º होगा: SP=PQ=QT=60°। बिंदु S और T परस्पर विरोधी हैं।

3. मैं एक वृत्त (O; ST) को प्रतिच्छेद करता हूँ वू 1 यह चक्र क्या है? बिंदु M और N पर।

4. अब मैं मध्य एमओ बनाऊंगा। ऐसा करने के लिए, मैं सर्कल (ओ; ओएम) और (एम; एमओ) बनाता हूं, और फिर अंक एम और ओ के लिए हम उन पर बिल्कुल विपरीत बिंदु यू और वी पाते हैं।

6. अंत में, मैं एक वृत्त (K; KM) और (L; LM) का निर्माण करूंगा जो वांछित बिंदु B - MO के मध्य में प्रतिच्छेद करता है।

सबूत:

त्रिभुज KMV और UMK समद्विबाहु और समान हैं। इसलिए, इस तथ्य से कि KM \u003d 0.5MU, यह इस प्रकार है कि MB \u003d 0.5MK \u003d 0.5R। तो, बिंदु B संपर्क का वांछित बिंदु है। इसी तरह, आप संपर्क बिंदु C का पता लगा सकते हैं।

अध्याय 3

छेदक, द्विभाजक के गुणों के आधार पर वृत्त की स्पर्श रेखा का निर्माण।

बिल्डिंग #7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> बिल्डिंग #8

इमारत:

1. रेखा AP को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करते हुए एक वृत्त (A; AP) की रचना कीजिए।

2. व्यास QD . पर एक वृत्त w की रचना कीजिए

3. मैं इसे बिंदु A पर रेखा AR के लंबवत के साथ काटूंगा और बिंदु M और N प्राप्त करूंगा।

सबूत:

जाहिर है, AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ। तब वृत्त (A; AM) संपर्क B और C के बिंदुओं (O; R) को प्रतिच्छेद करता है। AB और AC वांछित स्पर्शरेखा हैं।