आयताकार समन्वय प्रणाली को त्रि-आयामी स्थान में तय करने दें ऑक्सीज़।, बिंदु सेट है, सीधे ए। और यह बिंदु से दूरी खोजने की आवश्यकता है लेकिन अ निर्देशित करना ए।.
हम बिंदु से दूरी की दूरी की गणना करने के दो तरीके दिखाते हैं। पहले मामले में, बिंदु से दूरी खोजने म। 1 निर्देशित करना ए। बिंदु से दूरी खोजने के लिए नीचे आता है म। 1 मुद्दे पर एच 1 कहां है एच 1 - लंबवत का आधार, बिंदु से कम हो गया म। 1 सीधे ए।। दूसरे मामले में, बिंदु से विमान की दूरी समांतरोग्राम की ऊंचाई के रूप में पाई जाएगी।
तो, आगे बढ़ें।
अंतरिक्ष में डायरेक्ट करने के लिए बिंदु से दूरी खोजने की पहली विधि।
चूंकि बिंदु से परिभाषा दूरी म। 1
निर्देशित करना ए। - यह लंबवत की लंबाई है म। 1
एच 1
, फिर बिंदु के निर्देशांक को परिभाषित करना एच 1
, हम वांछित दूरी की गणना बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में कर सकते हैं 
तथा 
सूत्र के अनुसार।
इस प्रकार, बिंदु से निर्मित लंबवत की नींव के निर्देशांक को खोजने के लिए कार्य कम हो जाता है म। 1 निर्देशित करना ए।। यह काफी सरल बनाओ: बिंदु एच 1 - यह एक प्रत्यक्ष चौराहा बिंदु है ए। एक विमान के साथ बिंदु के माध्यम से गुजर रहा है म। 1 प्रत्यक्ष करने के लिए लंबवत ए।.
इसलिये, एल्गोरिदम जो आपको बिंदु से दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है 
निर्देशित करनाए।
अंतरिक्ष मेंइस तरह:
एक दूसरी विधि जो आपको अंतरिक्ष में एक बिंदु से दूरी खोजने की अनुमति देती है।
चूंकि कार्य की स्थिति से पूछा जाता है ए।फिर हम इसके गाइड वेक्टर को निर्धारित कर सकते हैं 
और कुछ बिंदु के निर्देशांक म। 3
एक सीधे पर झूठ बोलना ए।। फिर अंक के निर्देशांक द्वारा और 
हम वेक्टर के निर्देशांक की गणना कर सकते हैं: (यदि आवश्यक हो, तो लेख को अपनी शुरुआत और अंत के बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से निर्देशांक देखें)।
हम वैक्टर स्थगित करते हैं 
और बिंदु से म। 3
और हम उन पर समांतरोग्राम का निर्माण करेंगे। इस समांतरोग्राम में ऊंचाई खर्च आएगी म। 1
एच 1
.
जाहिर है, ऊंचाई म। 1 एच 1 निर्मित समांतरोग्राम बिंदु से वांछित दूरी के बराबर है म। 1 निर्देशित करना ए।। हम ढूंढ लेंगे।
एक तरफ, समांतर क्षेत्र (हम इसे दर्शाते हैं एस) वैक्टर का एक ड्रिलिंग उत्पाद पाया जा सकता है। 
और सूत्र द्वारा 
। दूसरी तरफ, समांतर क्षेत्र इसकी तरफ से ऊंचाई के अपने पक्ष के उत्पाद के बराबर है, यानी, 
कहां है 
- लंबाई वेक्टर 
,
समान लंबाई समांतरोग्राम द्वारा विचाराधीन पार्टियां। नतीजतन, निर्दिष्ट बिंदु से दूरी म। 1
एक दिए गए प्रत्यक्ष के लिए ए। समानता से पाया जा सकता है 
जैसा 
.
इसलिए, बिंदु से दूरी खोजने के लिए 
निर्देशित करनाए।
अंतरिक्ष में आपको चाहिए
किसी दिए गए बिंदु से दूरी को एक दिए गए प्रत्यक्ष में दूरी खोजने के लिए कार्यों को हल करना।
उदाहरण के समाधान पर विचार करें।
उदाहरण।
बिंदु से दूरी खोजें 
निर्देशित करना 
.
फेसला।
पहला तरीका।
बिंदु के माध्यम से गुजरने वाले विमान के समीकरण लिखें म। 1 एक दी गई सीधी रेखा के लिए लंबवत:
बिंदु के निर्देशांक का पता लगाएं एच 1
- विमान के चौराहे और एक दी गई सीधी रेखा का बिंदु। ऐसा करने के लिए, संक्रमण से करें कैनोनिकल समीकरण दो प्रतिच्छेद विमानों के समीकरणों को निर्देशित करें 
जिसके बाद मैं रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करता हूं 
क्रैमर विधि: 
इस तरह, ।
यह बिंदु से आवश्यक दूरी की गणना करने के लिए बनी हुई है जो डॉट्स के बीच की दूरी के रूप में सीधे 
तथा:।
दूसरा तरीका।
कैननिकल समीकरणों में अंशों के संकुचनकर्ताओं में संख्याएं सीधे इस के मार्गदर्शक के समान निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करती हैं, यानी, 
- प्रत्यक्ष वेक्टर प्रत्यक्ष 
। इसकी लंबाई की गणना करें: 
.
जाहिर है, सीधे 
बिंदु के माध्यम से गुजरता है 
, फिर बिंदु पर शुरुआत के साथ वेक्टर 
और बिंदु पर अंत 
यहां है 
। हम वेक्टर आर्टवर्क पाते हैं 
तथा 
:
फिर इस वेक्टर के काम की लंबाई बराबर है 
.
अब हमारे पास निर्दिष्ट बिंदु से निर्दिष्ट विमान तक की दूरी की गणना करने के लिए सूत्र का लाभ उठाने के लिए सभी डेटा हैं: 
.
उत्तर:
अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष का पारस्परिक स्थान
विभिन्न ज्यामितीय वस्तुओं के बीच की दूरी को खोजने की क्षमता महत्वपूर्ण है जब आंकड़ों के सतह क्षेत्र की गणना और उनकी मात्रा की गणना की जाती है। इस लेख में, अंतरिक्ष में और विमान में बिंदु से सीधी दूरी तक पहुंचने के तरीके पर विचार करें।
गणितीय विवरण प्रत्यक्ष
यह समझने के लिए कि बिंदु से सीधे दूरी को कैसे ढूंढें, आपको इन ज्यामितीय वस्तुओं के गणितीय कार्य के प्रश्न से निपटना चाहिए।
एक बिंदु के साथ, सबकुछ सरल है, इसे निर्देशांक के एक सेट द्वारा वर्णित किया गया है, जिसकी संख्या अंतरिक्ष के आयाम से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, विमान पर यह तीन निर्देशांक है, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में - तीन।
एक-आयामी वस्तु के लिए - प्रत्यक्ष, उसके विवरण के लिए, समीकरणों की कई प्रजातियों का उपयोग किया जाता है। उनमें से केवल दो पर विचार करें।
पहली प्रजाति को वेक्टर समीकरण कहा जाता है। नीचे तीन-आयामी और द्वि-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष के लिए अभिव्यक्तियां हैं:
(x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c);
(x; y) \u003d (x 0; y 0) + α × (a; b)
इन अभिव्यक्तियों में, शून्य सूचकांक वाले निर्देशांक उस बिंदु का वर्णन करते हैं जिसके माध्यम से निर्दिष्ट प्रत्यक्ष, समन्वय सेट (ए; बी; सी) और (ए; बी) इसी सीधी रेखा के लिए तथाकथित वैक्टर गाइड हैं, α एक है पैरामीटर जो कोई मूल्य मूल्य ले सकता है।
वेक्टर समीकरण इस अर्थ में सुविधाजनक है कि यह स्पष्ट रूप से प्रत्यक्ष प्रत्यक्ष दिशा-निर्देशों के निर्देशों को शामिल करता है, जिनके निर्देशांक का उपयोग समानांतरता या विभिन्न ज्यामितीय वस्तुओं की लंबवतता के कार्यों को हल करने में किया जा सकता है, जैसे कि दो प्रत्यक्ष।
दूसरे प्रकार के समीकरण, जिसे हम प्रत्यक्ष के लिए विचार करते हैं उन्हें आम कहा जाता है। अंतरिक्ष में, यह प्रजाति दो विमानों के सामान्य समीकरणों द्वारा दी जाती है। विमान पर यह है अगला रूप:
एक × x + b × y + c \u003d 0
जब शेड्यूल पर आधारित होता है, तो इसे अक्सर आईसीए / गेमपेक पर निर्भरता से लिखा जाता है, जो कि है:
वाई \u003d -ए / बी × एक्स + (- सी / बी)
यहां, एक नि: शुल्क सदस्य-सी / बी वाई अक्ष के साथ एक पंक्ति के चौराहे के समन्वय के अनुरूप है, और गुणांक-ए / बी एक्स अक्ष को सीधे झुकाव के कोण से जुड़ा हुआ है।
सीधे और बिंदु के बीच की दूरी की अवधारणा
समीकरणों के साथ समझने के बाद, आप सीधे जवाब में जा सकते हैं कि बिंदु से सीधे दूरी तक कैसे ढूंढें। 7 वीं कक्षा के स्कूल में, वे इस मुद्दे को उचित मूल्य निर्धारित करने से विचार करना शुरू करते हैं।
सीधे और बिंदु के बीच की दूरी इस प्रत्यक्ष सेगमेंट की लंबवत लंबाई की लंबाई है, जो विचाराधीन बिंदु से छोड़ी गई है। आंकड़े में नीचे सीधी रेखा आर और पॉइंट ए दिखाता है। ब्लू एक लंबवत सीधी रेखा आर सेगमेंट दिखाता है। उसकी लंबाई वांछित दूरी है।
एक द्वि-आयामी मामला यहां चित्रित किया गया है, हालांकि, यह दूरी परिभाषा त्रि-आयामी कार्य के लिए मान्य है।
आवश्यक सूत्र
इसके आधार पर समीकरण प्रत्यक्ष रूप से लिखा गया है और कार्य को हल करने के लिए किस स्थान पर, प्रत्यक्ष और बिंदु के बीच की दूरी को खोजने के तरीके के बारे में दो बुनियादी सूत्र दिए जा सकते हैं।
पी 2 प्रतीक द्वारा ज्ञात बिंदु को दर्शाता है। यदि समीकरण सीधे वेक्टर फॉर्म में सेट किया गया है, तो विचाराधीन वस्तुओं के बीच डी दूरी के लिए, सूत्र सत्य है:
डी \u003d || / | V¯ |
यह है, डी निर्धारित करने के लिए, सीधे वेक्टर v¯ और वेक्टर पी 1 पी 2 ¯ के लिए गाइड के वेक्टर उत्पाद के मॉड्यूल की गणना करना आवश्यक है, जिसकी शुरुआत एक सीधी रेखा पर एक मनमानी बिंदु पी 1 में निहित है , और अंत बिंदु पी 2 पर है, फिर इस मॉड्यूल को लंबाई v ¯ के लिए विभाजित करें। यह सूत्र फ्लैट और त्रि-आयामी स्थान के लिए सार्वभौमिक है।
यदि कार्य को xy समन्वय प्रणाली में विमान पर माना जाता है और प्रत्यक्ष समीकरण में सेट होता है आमफिर अगले सूत्र को सीधे से बिंदु तक खोजने के लिए अनुमति देता है:
सीधे: ए × एक्स + बी × वाई + सी \u003d 0;
प्वाइंट: पी 2 (एक्स 2; वाई 2; जेड 2);
दूरी: डी \u003d | ए × एक्स 2 + बी × वाई 2 + सी | / √ (एक 2 + बी 2)
उपरोक्त सूत्र काफी सरल है, लेकिन इसका उपयोग ऊपर वर्णित शर्तों तक ही सीमित है।
सीधे और दूरी पर बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक
इस सवाल का जवाब दें कि बिंदु से सीधे दूरी को कैसे ढूंढें, अन्यथा उपरोक्त सूत्रों की याद में भी शामिल नहीं हो सकते हैं। यह विधि लाइन पर बिंदु निर्धारित करने के लिए है, जो मूल बिंदु का प्रक्षेपण है।
मान लीजिए कि बिंदु एम और सीधे आर है। आर पॉइंट एम पर प्रक्षेपण कुछ बिंदु मीटर 1 से मेल खाता है। एम से आर की दूरी वेक्टर एमएम 1 ¯ की लंबाई के बराबर है।
निर्देशांक एम 1 कैसे खोजें? बहुत सरल। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि वेक्टर लाइन v¯ मिमी 1 ¯ के लिए लंबवत होगा, यानी, उनके स्केलर उत्पाद शून्य होना चाहिए। इस स्थिति में जोड़कर कि निर्देशांक एम 1 को समीकरण प्रत्यक्ष आर को संतुष्ट करना चाहिए, हम सरल रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। इसके समाधान के परिणामस्वरूप, आर पर बिंदु मीटर के प्रक्षेपण के निर्देशांक प्राप्त किए जाते हैं।
इस बिंदु में वर्णित विधि प्रत्यक्ष से बिंदु तक की दूरी को विमान के लिए और अंतरिक्ष के लिए उपयोग की जा सकती है, लेकिन इसके उपयोग में एक सीधी रेखा के लिए वेक्टर समीकरण का ज्ञान शामिल होता है।
विमान पर कार्य
अब यह दिखाने का समय है कि वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए प्रस्तुत गणितीय उपकरण का उपयोग कैसे करें। मान लीजिए कि विमान बिंदु एम (-4; 5) दिया गया है। बिंदु मीटर से दूरी को एक सीधी रेखा तक ढूंढना आवश्यक है, जिसे सामान्य समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:
3 × (-4) + 6 \u003d -6 ≠ 5
यही है, एम एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलता है।
चूंकि समीकरण सीधे सामान्य रूप में सेट होता है, इसलिए हम इसे उचित सूत्र का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए देते हैं, हमारे पास है:
y \u003d 3 × x + 6 \u003d\u003e
3 × x - y + 6 \u003d 0
अब आप प्रतिस्थापित कर सकते हैं प्रसिद्ध संख्या D के लिए सूत्र में:
डी \u003d | ए × x 2 + बी × वाई 2 + सी | / √ (एक 2 + बी 2) \u003d
\u003d | 3 × (-4) -1 × 5 + 6 | / √ (3 2 + (- 1) 2) \u003d 11 / √10 ≈ 3.48
अंतरिक्ष में कार्य
अब अंतरिक्ष में मामले पर विचार करें। निम्नलिखित समीकरण द्वारा सीधे वर्णित होने दें:
(x; y; z) \u003d (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)
इस बिंदु से दूरी क्या है (0; 2; -3)?
जैसा कि पिछले मामले में, हम एम सेटपॉइंट के संबंधित हैं। ऐसा करने के लिए, हम समन्वय को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे और इसे स्पष्ट रूप से फिर से लिखेंगे:
x \u003d 0 \u003d 1 + 3 × α \u003d\u003e α \u003d -1/3;
y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α \u003d\u003e α \u003d -3/2;
चूंकि विभिन्न पैरामीटर α प्राप्त किए गए थे, फिर एम इस सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलता है। अब से सीधे दूरी की गणना करें।
डी के लिए सूत्र का लाभ उठाने के लिए, एक सीधी रेखा पर एक मनमानी बिंदु लें, उदाहरण के लिए पी (1; -1; 0), फिर:
हम पीएम¯ और प्रत्यक्ष v¯ के बीच वेक्टर उत्पाद की गणना करते हैं। हम पाते हैं:
= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)
अब हम पाए गए वेक्टर के मॉड्यूल को प्रतिस्थापित करते हैं और डी के लिए फॉर्मूला में वेक्टर v¯, हमें मिलता है:
डी \u003d √ (9 + 64 + 49) / √ (9 + 4 + 1) ≈ 2.95
यह उत्तर ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें रैखिक समीकरण प्रणाली का समाधान शामिल है। इस और पिछले कार्यों में, प्रत्यक्ष रूप से बिंदुओं से गणना की गई दूरी मान संबंधित समन्वय प्रणाली की इकाइयों में प्रस्तुत की जाती हैं।
सीधे विमान पर कोण।
परिभाषा।
बिंदु से सीधे दूरी की दूरी का आउटपुट
विकल्प 1
विमान को एक सीधी रेखा दें एल: कुल्हाड़ी। + द्वारा द्वारा + सी। \u003d 0 और बिंदु एम 1।(एक्स 1;y 1।), इस सीधी रेखा से संबंधित नहीं। हम बिंदु से दूरी को सीधे पाएंगे। बिंदु से दूरी के तहत एम 1।निर्देशित करना एल कट की लंबाई को समझें एम 0।एम 1।⏊ एल.
दूरी निर्धारित करने के लिए, एक वेक्टर, कॉललाइनर सामान्य वेक्टर सीधे उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है।
स्पष्टीकरण:चूंकि बिंदु एम 0। एक सीधे में झूठ एलइसके निर्देशांक को इस लाइन के समीकरण को पूरा करना होगा, यानी। कुल्हाड़ी + 0 तक। + सी।= 0
विकल्प 2।
यदि बिंदु एम (x 0, y 0) निर्दिष्ट है, तो एक सीधी रेखा की दूरी आह + डब्ल्यू + सी \u003d 0 के रूप में परिभाषित किया गया है
.
साक्ष्य। बिंदु एम 1 (x 1, 1 में) को लंबवत के आधार पर रखें, प्रति प्रत्यक्ष बिंदु मीटर से कम हो गया। फिर अंक एम और एम 1 के बीच की दूरी: (1) एक्स 1 निर्देशांक और 1 समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है: 
सिस्टम का दूसरा समीकरण निर्दिष्ट प्रत्यक्ष प्रत्यक्ष के लिए एक दिए गए बिंदु एम 0 लंबवत के माध्यम से प्रत्यक्ष पासिंग का समीकरण है। यदि आप पहले सिस्टम समीकरण को दिमाग में परिवर्तित करते हैं: ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + कुल्हाड़ी 0 + 0 + सी \u003d 0, फिर, हल करना, प्राप्त करना:
इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करना, हम पाते हैं: .
प्रमेय साबित हुआ है।
समन्वय विधि (बिंदु और विमान के बीच की दूरी, सीधे के बीच)
बिंदु और विमान के बीच की दूरी।
बिंदु और प्रत्यक्ष के बीच की दूरी।
दो सीधे के बीच की दूरी।
पहली बात यह जानने के लिए उपयोगी है, इस बिंदु से विमान तक दूरी को कैसे ढूंढें:
मान ए, बी, सी, डी - विमान गुणांक
एक्स, वाई, जेड - प्वाइंट निर्देशांक
एक कार्य। बिंदु ए \u003d (3; 7; -2) और विमान 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0 के बीच की दूरी का पता लगाएं।
सब दिया गया है, आप समीकरण के मूल्यों को तुरंत प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
एक कार्य। बिंदु के \u003d (1; -2; 7) से दूरी v \u003d (8; 6; -13) और टी \u003d (-1; -6; 7) के माध्यम से एक प्रत्यक्ष पास से दूरी का पता लगाएं।
- वेक्टर सीधे खोजें।
- वांछित बिंदु और सीधे लाइन पर कहीं भी पासिंग वेक्टर की गणना करें।
- हम मैट्रिक्स निर्दिष्ट करते हैं और पहले और दूसरे अनुच्छेद में प्राप्त दो वैक्टरों के लिए निर्धारक को ढूंढते हैं।
- दूरी मिलती है वर्गमूल मैट्रिक्स के गुणांक के वर्गों के योग से, हम वेक्टर की लंबाई को विभाजित करते हैं जो सीधे सेट करता है(मुझे लगता है कि यह स्पष्ट नहीं है, इसलिए हम एक विशिष्ट उदाहरण में बदल जाते हैं)।
1) टीवी \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; -20)
2) हम वेक्टर को अंक के और टी के माध्यम से पाएंगे, हालांकि यह इस लाइन पर के और वी या किसी अन्य बिंदु के माध्यम से भी संभव होगा।
Tk \u003d (1 - (1); -2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)
3) यह अनुपात डी के बिना एम एट्रिक्स निकलता है (यहां इसे हल करने की आवश्यकता नहीं है):
4) विमान गुणांक एक \u003d 80, बी \u003d 40, सी \u003d 12,
एक्स, वाई, जेड - वेक्टर के निर्देशांक सीधे, इस मामले में - वेक्टर टीवी ने निर्देशांक (9; 12; -20)
एक कार्य। अंक e \u003d (1; 0; -2) के माध्यम से प्रत्यक्ष पासिंग के बीच की दूरी का पता लगाएं, जी \u003d (2; 2; -1), और अंक के माध्यम से सीधे पासिंग एम \u003d (4; -1; 4), L \u003d (-2; 3; 0)।
- हम दोनों सीधी रेखाओं के वैक्टर सेट करते हैं।
- हम एक वेक्टर पाते हैं, प्रत्येक सीधे एक बिंदु लेते हैं।
- हम 3 वैक्टर के मैट्रिक्स पर लिखते हैं (1 बिंदु से दो लाइनें, 2 से एक पंक्ति) और इसके संख्यात्मक निर्धारक को ढूंढते हैं।
- हम पहले दो वैक्टरों के मैट्रिक्स को निर्दिष्ट करते हैं (अनुच्छेद 1 में)। पहली पंक्ति x, y, z के रूप में निर्दिष्ट करें।
- जब हम क्लॉज 4 के वर्गों के वर्गों के योग से प्रति वर्ग रूट मॉड्यूल द्वारा अनुच्छेद 3 से परिणामी मूल्य को विभाजित करते हैं तो हम जिस दूरी को प्राप्त करते हैं।
संख्या में जाना।
प्लेन पर डायरेक्ट से दूरी की दूरी की गणना के लिए फॉर्मूला
यदि समीकरण कुल्हाड़ी + से + c \u003d 0 को निर्देशित करने के लिए सेट किया गया है, तो बिंदु एम (एम एक्स, एम वाई) की दूरी को सीधे निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है
प्लेन पर डायरेक्ट से दूरी की दूरी की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण
उदाहरण 1।
प्रत्यक्ष 3x + 4y से 6 \u003d 0 और बिंदु मीटर (-1, 3) के बीच की दूरी का पता लगाएं।
फेसला। बिंदु के प्रत्यक्ष और निर्देशांक के गुणांक सूत्र में स्थानापन्न
उत्तर: बिंदु से सीधे 0.6 के बराबर दूरी।
विमान के समीकरण लंबवत वेक्टर विमान समीकरण के बिंदुओं के माध्यम से गुजर रहा है
गैर-वेक्टर, निर्दिष्ट विमान के लिए लंबवत, कहा जाता है सामान्य वेक्टर (या, संक्षेप में, साधारण ) इस विमान के लिए।
समन्वय अंतरिक्ष में (आयताकार समन्वय प्रणाली में) सेट करें:
एक बिंदु 
;
बी) नॉनज़रो वेक्टर (Fig.4.8, ए)।
यह बिंदु के माध्यम से विमान के समीकरण को पार करने के लिए आवश्यक है 
वेक्टर के लिए लंबवत सबूत का अंत।
अब विमान पर विभिन्न प्रकार के विभिन्न समान समीकरणों पर विचार करें।
1) सामान्य विमान समीकरणपी .
समीकरण के आउटपुट से यह एक ही समय में ऐसा होता है ए।, बी तथा सी। 0 के बराबर नहीं (क्यों)।
बिंदु विमान का है पी केवल मामले में जब इसके निर्देशांक विमान के समीकरण को संतुष्ट करते हैं। गुणांक के आधार पर ए।, बी, सी। तथा डीविमान पी किसी भी स्थिति की परवाह करता है:
- विमान समन्वय प्रणाली की शुरुआत से गुजरता है - विमान समन्वय प्रणाली की शुरुआत से गुजरता नहीं है,
- एक्सिस के समानांतर विमान एक्स।,
एक्स।,
- एक्सिस के समानांतर विमान वाई,
- विमान एक्सिस के समानांतर नहीं है वाई,
- एक्सिस के समानांतर विमान जेड,
- विमान एक्सिस के समानांतर नहीं है जेड.
इन बयानों को साबित करें।
समीकरण (6) आसानी से समीकरण (5) से लिया गया है। दरअसल, बिंदु विमान पर झूठ बोलने दें पी। फिर इसके निर्देशांक समीकरण (5) समीकरण (7) और समूहबद्ध शर्तों से समन्वय को संतुष्ट करते हैं, हम समीकरण (6) प्राप्त करते हैं। अब हम क्रमशः निर्देशांक के साथ दो वैक्टरों पर विचार करते हैं। सूत्र (6) से यह इस प्रकार है कि उनका स्केलर उत्पाद शून्य है। नतीजतन, वेक्टर शुरू करने और अंतिम वेक्टर के अंत में वेक्टर लंबवत क्रमशः उन बिंदुओं पर हैं जो विमान से संबंधित हैं पी। नतीजतन, वेक्टर लंबवत विमान पी। विमान स्थान से दूरी पी, जिसका सामान्य समीकरण 
सूत्र द्वारा निर्धारित 
इस सूत्र का प्रमाण बिंदु और प्रत्यक्ष के बीच दूरी सूत्र के सबूत के समान है (चित्र 2 देखें)। 
अंजीर। 2. विमान और प्रत्यक्ष के बीच की दूरी के लिए।
वास्तव में, दूरी डी सीधे और विमान के बीच बराबर है
कहाँ - बिंदु विमान पर झूठ बोल रहा है। इसलिए, व्याख्यान संख्या 11 में, उपरोक्त सूत्र प्राप्त किया जाता है। दो विमान समानांतर हैं, अगर उनके सामान्य वेक्टर समानांतर हैं। यहां से हम दो विमानों के समानांतरता की स्थिति प्राप्त करते हैं 
- गुणांक सामान्य समीकरण विमान। यदि उनके सामान्य समीकरण ज्ञात हैं, तो दो विमान लंबवत हैं यदि उनके सामान्य वेक्टर दो विमानों की लंबवतता की स्थिति के लिए लंबवत हैं।
कोण एफ दो विमानों के बीच उनके सामान्य वैक्टर के बीच कोने के बराबर है (चित्र 3 देखें) और शायद सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है 
विमानों के बीच कोने का निर्धारण।
(11)
बिंदु से विमान और इसे खोजने के तरीके से दूरी
बिंदु से दूरी 
विमान - लंबवत लंबाई, इस विमान के बिंदु से कम। बिंदु से विमान तक दूरी खोजने के लिए कम से कम दो तरीके हैं: ज्यामितिक तथा बीजगणितीय.
ज्यामितीय विधि में आपको सबसे पहले समझना चाहिए कि लंबवत बिंदु से विमान तक स्थित है: यह कुछ आरामदायक विमान में स्थित हो सकता है, कुछ सुविधाजनक (या बहुत) त्रिकोण में ऊंचाई है, और शायद यह लंबवत आमतौर पर कुछ पिरामिड में ऊंचाई है।
इसके बाद, पहला और सबसे जटिल चरण, समस्या कई विशिष्ट ग्रहणिक कार्यों (शायद विभिन्न विमानों में) में विघटित होती है।
एक बीजगणितीय विधि के साथ बिंदु से विमान तक की दूरी को खोजने के लिए, आपको समन्वय प्रणाली में प्रवेश करने, बिंदु के निर्देशांक और विमान के समीकरण को ढूंढने की आवश्यकता है, और फिर दूरी से दूरी सूत्र को विमान तक लागू करना होगा।