Tiesios linijos liestinė apskritimui sudaro 90 kampą su spinduliu, nubrėžtu iki sąlyčio taško. Taigi, norint tam tikrame taške nubrėžti apskritimo liestinę tiesę, reikia nubrėžti reikiamą tiesę statmenai spinduliui.
Panagrinėkime kai kuriuos liestinių ir konjugacijų kūrimo pavyzdžius.
1 PAVYZDYS
Per tašką A nubrėžkite apskritimo, kurio centras yra O 1, liestinę
Norėdami išspręsti problemą, atliekame šias konstrukcijas:
1) sujunkite taškus O 1 ir A tiesia linija;
2) nuo taško O 2 - atkarpos O 1 A vidurio - nubrėžkite pagalbinį apskritimą, kurio spindulys O 2 A, kol susikirs su nurodytu apskritimu taške B.
Pastarasis yra sąlyčio taškas, nes kampas ABO 1 yra lygus 90 (jis pagrįstas
ant AO 1 skersmens), todėl spindulys O 1 B yra bendra tiesės ir apskritimo lanko normalioji taške B.
2 PAVYZDYS
Sukurkite bendrą dviejų apskritimų, kurių spindulys R 1 ir R 2, liestinę (3.4 pav.).
Norėdami išspręsti problemą, atliekame šias konstrukcijas:
1) iš didžiojo apskritimo centro O 1 nubrėžiame pagalbinį apskritimą, kurio spindulys lygus skirtumui tarp R 1 ir R 2, ty R 1 - R 2;
2) į šį apskritimą iš taško O 2 nubrėžiame liestinę O 2 K, kaip tai buvo padaryta 1 pavyzdyje;
3) tęsiame tiesę O 1 K, kol ji susikerta su duotu dideliu apskritimu, gauname tašką B, kuris yra sąlyčio taškas. Iš taško O 2 brėžiame tiesę, lygiagrečią su O 1 B, kol tiesė susikerta su apskritimu taške A, kuris yra antrasis liestinės AB sąlyčio taškas.
Ryžiai. 3.3. Tangento konstravimas
linija į apskritimą
Ryžiai. 3.4. Tangento konstravimas
į du ratus
3.3. Dviejų eilučių konjugacija
3 PAVYZDYS
Sukurkite dviejų susikertančių tiesių m ir n su spinduliu konjugaciją
konjugacija R c (3.5 pav.).
Ryžiai. 3.5. Dviejų susikertančių tiesių konjugacijos kūrimas
numeskime statmenis ant duotųjų tiesių ir gaukime konjugacijos taškus A ir B; iš taško O, kurio spindulys R c, brėžiame konjugacijos lanką tarp taškų A ir B.
3.4. Linijos konjugacija su apskritimu (vidiniu ir išoriniu)
4 PAVYZDYS
Sukurkite apskritimo, kurio spindulys R c, išorines ir vidines konjugacijas
su centru O 1 su tam tikro konjugacijos spindulio tiese t lanku.
D Ryžiai. 3.6. Išorės statyba apskritimo ir tiesės konjugacija Ryžiai. 3.7. Vidinės apskritimo ir tiesės konjugacijos kūrimas
Norėdami sukurti išorinį draugą, atlikite šiuos veiksmus
|
1) nubrėžkite tiesę m, lygiagrečią tiesei t atstumu R c, ir pagalbinį apskritimą nuo centro O 1, kurio spindulys (R 1 + R c); tiesės m ir pagalbinio apskritimo susikirtimo taškas - taškas O - yra konjugacijos lanko centras; 2) centrus O 1 ir O sujunkite tiesia linija, jos susikirtimas su duotu apskritimu duos pirmąjį konjugacijos tašką - tašką A; 3) numeskime statmeną iš taško O į duotąją tiesę t ir gaukime antrąjį konjugacijos tašką – tašką B; 4) iš taško O nubrėžiame konjugacijos AB lanką, kurio spindulys R c. Apskritimo su tiesia linija vidinė konjugacija (3.7 pav.) konstruojama panašiai kaip ir išorinės konjugacijos konjugacija. Skirtumas slypi tame, kad pagalbinio apskritimo spindulys lygus ne spindulių sumai, o jų skirtumui (R 1 – R s). |
Braižant objektų kontūrus, palyginti dažnai tenka statyti bendras dviejų apskritimų lankų liestes. Bendra dviejų apskritimų liestinė gali būti išorinė, jei abu apskritimai yra toje pačioje jo pusėje, ir vidinė, jei apskritimai yra skirtingose liestinės pusėse.
Dviejų apskritimų, kurių spindulys R ir r, bendros išorinės liestinės konstravimas (47 pav.). Nuo didesnio spindulio apskritimo centro – taškai O 1 apibūdinkite apskritimą su spinduliu R – r (47 pav., a). Raskite atkarpos vidurio tašką O 2 O 1 – tašką O 3 ir iš jo nubrėžkite pagalbinį apskritimą su spinduliu O 3 O 2 arba O 3 O 1. Abu nubrėžti apskritimai susikerta taškuose A ir AT . taškų O 1 ir B sujungti tiesią liniją ir jos sankirtoje su spindulio apskritimu R apibrėžti sąlyčio tašką D (47 pav., b). Iš taško O 2 lygiagreti tiesia linija O 1 D nubrėžkite liniją, kol ji susikirs su spindulio apskritimu r ir gauti antrą prisilietimo tašką C . Tiesiai CD yra reikalinga liestinė. Taip pat sukonstruota antroji bendra išorinė šių apskritimų liestinė (tiesi linija EF ).
47 pav
Dviejų spindulių R ir r apskritimų bendros vidinės liestinės sudarymas (48 pav.). Iš bet kurio apskritimo centro, pavyzdžiui: taškai O 1 , apibūdinkite apskritimą su spinduliu R +r (48 pav., a). Segmento padalijimas O 2 O 1 perpjauti pusiau, gauti tašką O 3 . Iš taško O 3 kaip apibūdinti antrąjį pagalbinį apskritimą nuo centro su spinduliu O 3 O 2 =O 3 O 1 ir pažymėkite taškus A ir AT pagalbinių apskritimų sankirtos. Tiesių taškų sujungimas A ir O 1 (48 pav., b), jos sankirtoje su spindulio apskritimu R gauti prisilietimo tašką D . Per spindulio apskritimo centrą r nubrėžkite liniją, lygiagrečią linijai O 1 D , o jo sankirtoje su duotu apskritimu nustatomas antrasis sąlyčio taškas NUO . Tiesiai CD – vidinė duotųjų apskritimų liestinė. Antroji liestinė sukonstruota panašiai EF .
48 pav
3.3 Konjugatai su apskritimo lanku
3.3.1 Dviejų tiesių konjugacija apskritimo lanku
Visas konjugavimo lanku užduotis galima sumažinti iki dviejų tipų. Suporavimas atliekamas pagal tam tikrą poravimosi lanko spindulį arba per tašką, nurodytą vienoje iš poravimosi linijų. Abiem atvejais būtina sukonstruoti poravimosi lanko centrą.
Dviejų susikertančių tiesių konjugacija lanku, kurio spindulys yra R c (49 pav., a). Kadangi poravimosi lankas turi liesti nurodytas linijas, jo centras turi būti pašalintas iš kiekvienos linijos tiek, kiek spindulys R c . Konjugacija sudaryta taip. Nubrėžiamos dvi tiesios linijos, lygiagrečios nurodytoms ir nutolusios nuo jų spinduliu R c ir pažymėkite tašką šių linijų sankirtoje O – poravimosi lanko centras. Iš taško O nuleiskite statmeną kiekvienai iš pateiktų linijų. Statmenos bazės – taškai A ir B – yra poravimosi lanko sąlyčio taškai. Ši konjugacijos konstrukcija galioja dviem susikertančioms tiesioms linijoms, kurios sudaro bet kokį kampą. Norėdami susieti stačiojo kampo kraštines, taip pat galite naudoti metodą, parodytą 49 paveiksle, b.
49 pav
Dviejų susikertančių tiesių konjugacija, vienoje iš kurių nurodytas susijungimo lanko sąlyčio taškas A (50 pav.). Yra žinoma, kad lankų, jungiančių dvi susikertančias tieses, centrų lokusas yra šių tiesių suformuoto kampo pusiausvyra. Todėl statant kampo pusiausvyrą, nuo sąlyčio taško A atstatykite statmeną tiesei, kol jis susikirs su bisektoriumi, ir pažymėkite tašką O – poravimosi lanko centras. nukritęs iš taško O statmenai kitai tiesei, gaukite antrąjį liestinės tašką B ir spindulį R c =OA=OB Atlikite dviejų tiesių linijų konjugaciją, vienoje iš kurių buvo nustatytas sąlyčio taškas.
Dviejų lygiagrečių linijų konjugacija lanku, einančiu per tam tikrą sąlyčio tašką A (51 pav.). Iš taško A atkurkite statmeną nurodytoms tiesėms ir pažymėkite tašką jo sankirtoje su antrąja tiese B . Linijos segmentas AB padalinkite per pusę ir gaukite tašką O - poravimosi lanko centras su spinduliu.
50 pav. 51 pav
Transektai, liestinės – visa tai geometrijos pamokose buvo galima išgirsti šimtus kartų. Tačiau mokyklos baigimas baigėsi, metai bėga, o visos šios žinios pasimiršta. Ką reikėtų prisiminti?
Esmė
Sąvoka „apskritimo liestinė“ tikriausiai pažįstama kiekvienam. Tačiau vargu ar kiekvienas sugebės greitai suformuluoti jo apibrėžimą. Tuo tarpu liestinė yra tokia tiesi linija, esanti toje pačioje plokštumoje su apskritimu, kuris ją kerta tik viename taške. Jų gali būti labai daug, tačiau jie visi turi tas pačias savybes, kurios bus aptartos toliau. Kaip galite atspėti, sąlyčio taškas yra ta vieta, kur susikerta apskritimas ir linija. Kiekvienu atveju jis yra vienas, bet jei jų bus daugiau, tai bus sekantas.
Atradimų ir studijų istorija
Tangento sąvoka atsirado senovėje. Šių tiesių, pirmiausia į apskritimą, o paskui į elipses, paraboles ir hiperboles, konstravimas liniuote ir kompasu buvo atliktas net pradinėse geometrijos raidos stadijose. Žinoma, istorija neišsaugojo atradėjo vardo, tačiau akivaizdu, kad ir tuo metu žmonės puikiai žinojo apie apskritimo liestinės savybes.
Šiais laikais susidomėjimas šiuo reiškiniu vėl įsiplieskė – prasidėjo naujas šios koncepcijos tyrimo etapas, kartu su naujų kreivių atradimu. Taigi „Galileo“ pristatė cikloido sąvoką, o Fermatas ir Dekartas sukūrė jos liestinę. Kalbant apie būrelius, panašu, kad senoliams šioje srityje paslapčių nelieka.
Savybės
Iki susikirtimo taško nubrėžtas spindulys bus
pagrindinė, bet ne vienintelė savybė, kurią turi apskritimo liestinė. Kitas svarbus bruožas apima jau dvi tiesias linijas. Taigi per vieną tašką, esantį už apskritimo, galima nubrėžti dvi liestinės, o jų atkarpos bus lygios. Šia tema yra dar viena teorema, tačiau ji retai nagrinėjama standartinio mokyklos kurso rėmuose, nors ji yra labai patogi kai kurioms problemoms spręsti. Tai skamba taip. Iš vieno taško, esančio už apskritimo, į jį nubrėžiama liestinė ir sekantas. Sudaromi segmentai AB, AC ir AD. A yra tiesių sankirta, B yra sąlyčio taškas, C ir D yra sankirtos. Šiuo atveju galios tokia lygybė: apskritimo liestinės ilgis kvadratu bus lygus atkarpų AC ir AD sandaugai.
Iš to, kas pasakyta, yra svarbi pasekmė. Kiekvienam apskritimo taškui galite sukurti liestinę, bet tik vieną. To įrodymas yra gana paprastas: teoriškai numetę į jį statmeną iš spindulio, sužinome, kad susidaręs trikampis negali egzistuoti. O tai reiškia, kad liestinė yra unikali.
Pastatas
Be kitų geometrijos užduočių, paprastai nėra specialios kategorijos
mėgstami mokinių ir studentų. Norėdami išspręsti šios kategorijos užduotis, jums reikia tik kompaso ir liniuotės. Tai statybos užduotys. Taip pat yra liestinės sudarymo būdų.
Taigi, atsižvelgiant į apskritimą ir tašką, esantį už jo ribų. Ir per juos būtina nubrėžti liestinę. Kaip tai padaryti? Visų pirma, reikia nubrėžti atkarpą tarp apskritimo centro O ir nurodyto taško. Tada, naudodami kompasą, padalinkite jį per pusę. Norėdami tai padaryti, turite nustatyti spindulį - šiek tiek daugiau nei pusę atstumo tarp pradinio apskritimo centro ir nurodyto taško. Po to reikia pastatyti du susikertančius lankus. Be to, kompaso spindulio keisti nereikia, o kiekvienos apskritimo dalies centras bus atitinkamai pradinis taškas ir O. Lankų sankirtos turi būti sujungtos, o tai padalins segmentą per pusę. Nustatykite kompaso spindulį, lygų šiam atstumui. Tada, kai centras yra susikirtimo taške, nubrėžkite kitą apskritimą. Ant jo bus ir pradinis taškas, ir O. Šiuo atveju bus dar dvi sankirtos su užduotyje pateiktu apskritimu. Jie bus iš pradžių nurodyto taško prisilietimo taškai.
Būtent apskritimo liestinių konstravimas paskatino gimimą
diferencialinis skaičiavimas. Pirmąjį darbą šia tema paskelbė žymus vokiečių matematikas Leibnicas. Jis numatė galimybę rasti maksimumus, minimumus ir tangentus, neatsižvelgiant į trupmenines ir neracionalias reikšmes. Na, dabar jis naudojamas ir daugeliui kitų skaičiavimų.
Be to, apskritimo liestinė yra susijusi su geometrine liestinės reikšme. Iš čia ir kilęs jos pavadinimas. Išvertus iš lotynų kalbos, tangens reiškia „liestinė“. Taigi ši sąvoka yra susijusi ne tik su geometrija ir diferencialiniu skaičiavimu, bet ir su trigonometrija.
Du apskritimai
Liestinė ne visada turi įtakos tik vienai figūrai. Jei į vieną apskritimą galima nubrėžti daugybę tiesių linijų, kodėl gi ne atvirkščiai? Gali. Tačiau užduotis šiuo atveju yra labai sudėtinga, nes dviejų apskritimų liestinė gali neperžengti jokių taškų, o visų šių figūrų santykinė padėtis gali būti labai didelė.
skirtinga.
Tipai ir veislės
Kalbant apie du apskritimus ir vieną ar daugiau tiesių, net jei žinoma, kad tai yra liestinės, ne iš karto tampa aišku, kaip visos šios figūros yra viena kitos atžvilgiu. Remiantis tuo, yra keletas veislių. Taigi, apskritimai gali turėti vieną ar du bendrus taškus arba jų visai neturėti. Pirmuoju atveju jie susikirs, o antruoju - susilies. Ir čia yra dvi veislės. Jei vienas apskritimas yra tarsi įterptas į antrąjį, tada prisilietimas vadinamas vidiniu, jei ne, tada išoriniu. Santykinę figūrų padėtį galite suprasti ne tik pagal brėžinį, bet ir turėdami informaciją apie jų spindulių sumą bei atstumą tarp jų centrų. Jei šie du dydžiai yra lygūs, apskritimai liečiasi. Jei pirmasis yra didesnis, jie susikerta, o jei mažiau, tada jie neturi bendrų taškų.
Tas pats su tiesiomis linijomis. Bet kokiems dviem apskritimams, kurie neturi bendrų taškų, galima
sudaryti keturias liestines. Du iš jų susikirs tarp figūrų, jie vadinami vidiniais. Pora kitų yra išoriniai.
Jei mes kalbame apie apskritimus, kurie turi vieną bendrą tašką, tada užduotis yra labai supaprastinta. Faktas yra tas, kad bet kokiam tarpusavio susitarimui šiuo atveju jie turės tik vieną liestinę. Ir jis praeis per jų susikirtimo tašką. Taigi sunkumų statybos nesukels.
Jeigu figūros turi du susikirtimo taškus, tai joms galima nubrėžti tiesią, apskritimo liestinę – ir vieną, ir antrą, bet tik išorinę. Šios problemos sprendimas yra panašus į tai, kas bus aptarta toliau.
Problemų sprendimas
Tiek vidinės, tiek išorinės dviejų apskritimų liestinės nėra tokios paprastos konstrukcijos, nors šią problemą galima išspręsti. Faktas yra tas, kad tam naudojama pagalbinė figūra, todėl pagalvokite apie šį metodą patys
gana problemiška. Taigi, du apskritimai su skirtingais spinduliais ir centrais O1 ir O2. Jiems reikia sukurti dvi poras liestinių.
Visų pirma, šalia didesnio apskritimo centro reikia pastatyti pagalbinį. Šiuo atveju ant kompaso turi būti nustatytas skirtumas tarp dviejų pradinių skaičių spindulių. Pagalbinio apskritimo liestinės statomos iš mažesnio apskritimo centro. Po to iš O1 ir O2 į šias linijas brėžiami statmenys, kol jie susikerta su pradinėmis figūromis. Kaip matyti iš pagrindinės liestinės savybės, randami norimi taškai abiejuose apskritimuose. Problema išspręsta, bent jau pirmoji jos dalis.
Norint sukonstruoti vidines liestines, reikia išspręsti praktiškai
panašią užduotį. Vėlgi reikia pagalbinės figūros, tačiau šį kartą jos spindulys bus lygus pradinių sumai. Iš vieno iš pateiktų apskritimų centro jam sudaromos liestinės. Tolesnę sprendimo eigą galima suprasti iš ankstesnio pavyzdžio.
Apskritimo ar net dviejų ar daugiau liestinė nėra tokia sudėtinga užduotis. Žinoma, matematikai jau seniai nebesprendžia tokių problemų rankiniu būdu ir patiki skaičiavimus specialioms programoms. Tačiau nemanykite, kad dabar nebūtina to daryti pačiam, nes norint teisingai suformuluoti užduotį kompiuteriui, reikia daug ką padaryti ir suprasti. Deja, baiminamasi, kad galutinai perėjus prie žinių kontrolės testinės formos, konstravimo užduotys mokiniams sukels vis daugiau sunkumų.
Kalbant apie bendrų liestinių radimą daugiau apskritimų, tai ne visada įmanoma, net jei jie yra toje pačioje plokštumoje. Tačiau kai kuriais atvejais tokią liniją galima rasti.
Realaus gyvenimo pavyzdžiai
Praktikoje dažnai sutinkama bendra dviejų apskritimų liestinė, nors tai ne visada pastebima. Konvejeriai, blokų sistemos, skriemulių perdavimo diržai, siūlų įtempimas siuvimo mašinoje ir net tik dviračio grandinė – visa tai pavyzdžiai iš gyvenimo. Taigi nemanykite, kad geometrinės problemos lieka tik teoriškai: inžinerijoje, fizikoje, statybose ir daugelyje kitų sričių jos randa praktinį pritaikymą.
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Valstybinė biudžetinė ugdymo įstaiga
Gimnazija Nr.000
Geometrijos projektavimo darbai.
Aštuoni būdai sudaryti apskritimo liestinę.
9 biologinė ir cheminė klasė
mokslinis patarėjas: ,
direktoriaus pavaduotojas akademiniams reikalams,
matematikos mokytojas.
Maskva 2012 m
Įvadas
1 skyrius. ………………………………………………………………………4
Išvada (išvada)
Įvadas
Aukščiausia dvasios apraiška yra protas.
Aukščiausia proto apraiška yra geometrija.
Geometrijos langelis yra trikampis. Jis toks pat
neišsenkantis, kaip visata. Apskritimas yra geometrijos siela.
Žinokite perimetrą ir pažinsite ne tik sielą
geometriją, bet ir išaukštinkite savo sielą.
Klaudijus Ptolemėjus
Užduotis.
Sukurkite apskritimo, kurio centras O ir spindulys R eina per tašką A, esantį už apskritimo ribų, liestinę
1 skyrius.
Apskritimo liestinės konstrukcijos, kurioms nereikia pagrindimo remiantis lygiagrečių tiesių teorija.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°. Apskritimui (O; r) OB - spindulys. OB AB, todėl AB yra liestinė liestinės pagrindu.
Panašiai AC yra apskritimo liestinė.
Konstrukcija Nr. 1 pagrįsta tuo, kad apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į liestinės tašką.
Linijai yra tik vienas sąlyčio su apskritimu taškas.
Per nurodytą linijos tašką galima nubrėžti tik vieną statmeną liniją.
Pastato numeris 2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°
5. OB - spindulys, ABO = 90°, taigi, AB - liestinė ant pagrindo.
6. Panašiai lygiašoniame trikampyje AON AC yra liestinė (ACO \u003d 90 °, OS yra spindulys)
7. Taigi AB ir AC yra liestinės
3 pastatas
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM = OVA= 90° (kaip atitinkami kampai lygiuose trikampiuose), todėl AB - liestinė liestinės pagrindu.
4. Panašiai AC yra liestinė
Pastatas №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Pastato numeris 6.
Pastatas:
2. Per tašką A nubrėžkite savavališką tiesę, kuri kerta apskritimą (O, r) taškuose M ir N.
6. AB ir BC yra norimos liestinės.
Įrodymas:
1. Kadangi trikampiai PQN ir PQM yra įrašyti į apskritimą, o kraštinė PQ yra apskritimo skersmuo, šie trikampiai yra stačiakampiai.
2. Trikampyje PQL atkarpos PM ir QN yra aukščiai, susikertantys taške K, todėl KL yra trečiasis aukštis..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° – https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, tada |AQ| = |AS|ctg β Todėl |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).
5. Lyginant (1) ir (2) gauname |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ| arba
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
Atidarius skliaustus ir supaprastinus, matau, kad |OD|·|OA|=R².
5. Iš santykio |OD|·|OA|=R² išplaukia, kad |OD|:R=R: |OA|, tai yra, trikampiai ODB ir OBA yra panašūs..gif" width="17" height=" 16"> OBA=90°. Todėl tiesė AB yra reikalinga liestinė, kurią reikėjo įrodyti.
Pastato numeris 6. 
Pastatas:
1. Nubrėžkite apskritimą (A; |OA|).
2. Rasiu kompaso angą, lygią 2R, kuriai pasirinksiu tašką S apskritime (O; R) ir atidėsiu tris lankus, kurių kiekvienas yra 60º: SP=PQ=QT=60°. Taškai S ir T yra diametraliai priešingi.
3. Nustatau apskritimą (O; ST) susikertantį w 1 Kas yra šis ratas? taškuose M ir N.
4. Dabar pastatysiu vidurinį MO. Norėdami tai padaryti, aš pastatau apskritimus (O; OM) ir (M; MO), o tada taškams M ir O randame diametraliai priešingus taškus U ir V.
6. Galiausiai sukonstruosiu apskritimą (K; KM) ir (L; LM), susikertančius norimame taške B - MO viduryje.
Įrodymas:
Trikampiai KMV ir UMK yra lygiašoniai ir panašūs. Todėl iš to, kad KM \u003d 0,5 MU, išplaukia, kad MB \u003d 0,5 MK \u003d 0,5 R. Taigi, taškas B yra norimas sąlyčio taškas. Panašiai galite rasti kontaktinį tašką C.
3 skyrius
Apskritimo liestinės konstravimas, remiantis sekantų, bisektorių savybėmis.
7 pastatas
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> 8 pastatas
Pastatas:
1. Sukurkite apskritimą (A; AP), kertantį tiesę AP taške D.
2. Ant skersmens QD sukonstruokite apskritimą w
3. Sukirsiu jį su statmena tiesei AR taške A ir gausiu taškus M ir N.
Įrodymas:
Akivaizdu, kad AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Tada apskritimas (A; AM) susikerta (O; R) sąlyčio taškuose B ir C. AB ir AC yra norimos liestinės.