Atsitiktiniai įvykiai ir jųklasifikacija
Klasikinis tikimybės apibrėžimas
Tiesioginis tikimybių skaičiavimas
§ 1. Atsitiktiniai įvykiai ir jų klasifikacija
1. Tikimybių teorijoje atsitiktinis įvykis vadinamas tuo, kas esant tam tikram sąlygų rinkiniui S gali įvykti arba neįvykti. Pavyzdžiui, metant monetą gali nukristi herbas ar uodegos, todėl įvykiai „metant monetą, herbas iškrito“ ir „mėtant monetą uodegos iškrito“ yra atsitiktiniai įvykiai .
Metant monetą ir skrendant, pastarąją įtakoja daugybė atsitiktinių veiksnių (jėga, kuria monetos metamos, monetos forma ir kt.). Todėl kiekvienam monetos metimui neįmanoma numatyti herbo ar uodegos išvaizdos, tačiau tikimybės teorijoje tokia problema nekeliama. Tačiau jei monetą apversite daug kartų, pavyzdžiui, 10 000 ar daugiau kartų, esant toms pačioms sąlygoms S, tada skaičiaus santykis T viso herbo išvaizda NS, eksperimentai, atlikti su moneta, bus arti.
Pateiksime kitą pavyzdį: pagal statistiką, kiekvienam 1000 naujagimių yra 515, t. Y. 51,5%, berniukai ir 485, t. Y. 48,5%, mergaitės, šiek tiek nukrypusios viena ar kita kryptimi nuo minėtų skaičių. Šis modelis būdingas visoms tautoms, nepriklausomai nuo ekonominių, geografinių ir kitų sąlygų, tačiau jis pastebimas tik tada, kai įvykiai (gimstamumas) yra didžiuliai.
Tikimybių teorija yra matematikos šaka, tirianti masinių vienalyčių atsitiktinių įvykių dėsnius.
Matematinė statistika taip pat yra matematikos skyrius, skirtas matematiniams statistinių duomenų sisteminimo, apdorojimo ir naudojimo metodams, siekiant mokslinių ir praktinių išvadų.
Matematinėje statistikoje naudojami įvairių matematikos sričių metodai ir, visų pirma, tikimybės teorija.
Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos gimimas ir raida, kaip ir bet kuris kitas mokslas, yra glaudžiai susijęs su gyvybiškai svarbiais žmonių poreikiais, su gamybinių visuomenės jėgų raida. Taigi, pavyzdžiui, draudimo bendrovių organizavimas, gyventojų surašymas, azartinių lošimų problemų sprendimas, įvairių stebėjimo rezultatų apdorojimo metodai, ypač atsitiktinių klaidų įvertinimas ir daugelis kitų klausimų, kurių sprendimas prisidėjo prie šių dviejų matematikos šakų atsiradimas ir vystymasis.
Tikimybių teorija Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665) ir ypač J. Bernoulli (1654-1705) darbų dėka tampa mokslu jau XVII a.
Didžiausi šio mokslo atstovai XVIII ir XIX amžiaus pirmoje pusėje buvo matematikai P. Laplasas (1749-1827), C. Gaussas (1777-1855) ir S. Poissonas (1781-1840). Šių mokslininkų darbas leido taikyti moksliškai pagrįstus metodus tikimybės teorijoje.
Tikimybių teorija ypač sparčiai vystėsi XIX amžiaus antroje pusėje ir XX amžiuje, kai buvo naudojami statistiniai metodai tiriant įvairius klausimus ir tapo teoriniu matematinės statistikos pagrindu. Šį laikotarpį pagrindiniais tikimybių teorijos srities atradimais pažymėjo Peterburgo matematinės mokyklos rusų matematikai P. L. Čebyševas (1821–1894) (šios mokyklos įkūrėjas) ir jo garsūs mokiniai A. M. Lyapunovas (1857–1918) ir A. A. Markovas. (1856-1922).
Šiuolaikinė matematikos mokykla užima pirmaujančią vietą daugelyje šiuolaikinės matematikos šakų, ypač tikimybių teorijos ir matematinės statistikos srityje.
Griežtas loginis tikimybės teorijos pagrindas įvyko XX amžiuje ir yra susijęs su sovietinių matematikų vardais, pirmiausia su A. N. Kolmogorovo vardu. Didžiausi šios mokslo srities atstovai yra matematikai S.N. Bernšteinas, B.V. Gnedenko, V.I.
2. Kaip geometrijoje pirmosios sąvokos yra taškas ir tiesė, taip tikimybių teorijoje pirmosios sąvokos yra įvykis ir tikimybė.
Įvykis vadinamas reiškiniu, apie kurį prasminga sakyti, kad tai įvyko ar neįvyko (tai įvyksta arba neįvyksta, tai įvyksta arba neįvyksta).
Įvykiai gali būti suskirstyti į tris tipus: patikimas,neįmanoma iratsitiktinis.
Renginys vadinamas patikimas m, jei tai įvyks, kai bus įgyvendintas šis sąlygų rinkinys S. Pavyzdžiui, jei urnoje yra tik balti rutuliai, tada balto rutulio ištraukimas iš urnos yra patikimas įvykis. Paimkime kitą pavyzdį. Kitoje 3% vyriausybės paskolos apyvartoje patikimas atvejis, kai laimės bet kuri šios paskolos obligacija. Toliau, užuot sakę „įgyvendinus šį S sąlygų rinkinį“, mes trumpai pasakysime: „ išbandomas “arba„ pagal patirtį “.
Pirmame aukščiau pateiktame pavyzdyje kamuoliuko pašalinimas iš urnos yra iššūkis, o balto rutulio išvaizda yra įvykis.
Antrame pavyzdyje kitos 3% valstybės paskolos apyvartos laikymas yra išbandymas (patirtis), bet kurios šios paskolos obligacijos laimėjimas yra įvykis.
Renginys vadinamas neįmanomas jei tai negali įvykti bandymo metu. Pavyzdžiui, urnoje yra tik balti rutuliai. Juodojo rutulio pašalinimas iš urnos yra neįmanomas įvykis.
Renginys vadinamas atsitiktinis jei tai gali įvykti bandymo metu arba ne. Pavyzdžiui, krituliai Minske 1980 m. Gegužės 1 d. Yra atsitiktinis įvykis.
Įprasta atsitiktinius įvykius žymėti lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis: BET,IN, C, ..., autentiškas laiškas U ir neįmanomas laiškas V. Pateiksime dar keletą apibrėžimų.
Vystymasis 
yra vadinami Bendras(suderinama, jei vieno iš jų išvaizda neatmeta galimybės pasirodyti kitiems. Pavyzdžiui, leiskite šūviui į taikinį iš kiekvieno ginklo, kurio skaičius yra 3. Akivaizdu, kad galimybė pataikyti neatmetamas visų trijų ginklų taikinys, todėl šie trys įvykiai yra bendri.
Įvykiai, 
yra vadinami nešamassuderinamas(nesuderinama), jei vieno iš jų atsiradimas pašalina bet kurio kito atsiradimo galimybę. Pavyzdžiui, mėtant monetą, iškritęs herbas pašalina uodegų galimybę.
Vystymasis 
yra vadinami vienintelis galimas ir jei bent vienas iš jų būtinai atsiranda bandymo metu.
1 pavyzdys. Tegul urnoje yra balti, juodi ir raudoni rutuliai. Mes pašaliname rutulį iš urnos, jis gali pasirodyti baltas (įvykis BET), juoda (įvykis IN) arba raudona (įvykis C). Pagal apibrėžimą šie trys įvykiai BET,IN,SU- vieninteliai galimi.
Vystymasis 
vieninteliai įmanomi ir nenuoseklūs vadinami visa įvykių sistema.
2 pavyzdys. Kauliukas, kurio veiduose yra nuo 1 iki 6 taškų, vadinamas kauliuku. Manoma, kad kubas pagamintas iš vienalytės medžiagos.
Metant kauliukus galima mesti vieną, du, tris, keturis, penkis ar šešis taškus. Pažymėkime minėtus įvykius atitinkamai, 
.
Šie įvykiai yra vieninteliai įmanomi ir nesuderinami, todėl jie sudaro visą įvykių sistemą.
Du tik įmanomi ir nesuderinami įvykiai vadinami priešingais įvykiais.
Jei BET - kokį nors įvykį, tada priešingas įvykis 
.
Pavyzdys3. Metant monetą gali atsirasti herbas ar uodega. Šie įvykiai yra priešingi.
Priešingi įvykiai taip pat bus: „išlaikyti“ ir „neišlaikyti“ egzamino, „laimėti“ ir „nelaimėti“ ant loterijos bilieto, „pataikyti“ ir „nepataikyti“ į taikinį šaudant iš ginklo.
Jei kiekvienam sąlygų komplekso S įgyvendinimui, pagal kurį įvykis įvyksta BET, yra renginys IN, tada jie taip sako BET reiškia IN, ir šis faktas žymimas simboliu A 
B
arba B 
BET.
Jei vyksta vienu metu A 
B
arba B 
BET tada įvykiai BET ir IN vadinami lygiaverčiais. Tokiu atveju rašykite A = B.
Taigi, lygiaverčiai įvykiai BET ir IN kiekvieno bandymo metu abu ateina arba abu neatvyksta.
4 pavyzdys. Kauliukas buvo mestas vieną kartą. Tegul nukrenta šeši taškai (įvykis BET). Pažymėkime IN lyginis skaičius, per SU taškų skaičius padalintas iš 3. Akivaizdu, kad A 
B
A 
SU
.
Pavyzdys 5. Urnoje yra vienas baltas ir trys juodi rutuliai. Visi rutuliai yra pernumeruoti. Tegul baltas rutulys turi skaičių 1. Išimant rutulį iš urnos, balto rutulio atsiradimo įvykis žymimas raide BET, o 1 rutulio atsiradimo įvykis bus žymimas raide IN. Akivaizdu, kad A 
B
ir IN
BET,
y., įvykiai A ir B. yra lygiaverčiai, todėl galite rašyti A = B.
Tikimybių teorija Tai matematikos šaka, tirianti masės vienalyčių atsitiktinių reiškinių dėsnius.
Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos yra sąvokos išbandymai (išgyvenimai) ir įvykiai ... Bet koks veiksmas, kurio rezultatas yra fiksuotas, vadinamas testas (patirtis), ir vadinamas testo ar bandymų rezultatas įvykis. Sakysime, kad dėl bandymų ar bandymų įvyksta (įvyksta) įvykis.
1 pavyzdys... Meskime monetą ant stalo. Tokiu atveju galimi du rezultatai: moneta nukris ant stalo, o viršutiniame jos krašte bus „herbas“ arba viršutiniame monetos krašte bus „skaičius“. Šiuo atveju sakysime: iškrito „herbas“ arba iškrito „numeris“. Šiame pavyzdyje monetos metimas yra išbandymas, o „herbo“ kritimas arba „skaičiaus“ kritimas yra įvykiai, t.y. dėl monetos metimo gali įvykti vienas iš dviejų aukščiau aptartų įvykių.
2 pavyzdys... Apverskite monetą du kartus iš eilės. Šiuo atveju galimi šie įvykiai: (abu kartus iškrito „herbas“), (abu kartus „numeris“ iškrito), (pirmą kartą iškrito „herbas“, antrą kartą laikas - „skaičius“), (pirmą kartą „skaičius“ iškrito, o antrą kartą - „herbas“).
Visi svarstomi įvykiai gali būti suskirstyti į patikimas, neįmanomas ir atsitiktinis .
Renginys vadinamas patikimas jei šis testas būtinai įvyks. Renginys vadinamas neįmanomas jei šis testas negali įvykti. Atsitiktinis vadinamas įvykiu, kuris per tam tikrą testą gali įvykti arba neįvykti.
3 pavyzdys... Urnoje yra tik raudoni rutuliai. Atlikime testą - iš urnos ištrauksime vieną rutulį. Įvykis (raudonas kamuolys pašalintas) galioja, nes urnoje yra tik raudoni rutuliai. Įvykis (baltas rutulys pašalinamas) yra neįmanomas, nes urnoje nėra baltų rutulių.
4 pavyzdys... Šaulys paleido vieną šūvį į taikinį. Tokiu atveju gali įvykti vienas iš dviejų įvykių: (pataikymas į taikinį) arba (nėra smūgio į taikinį). Abu šie įvykiai yra atsitiktiniai.
Įprasta atsitiktinius įvykius žymėti lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis. A, B, C,...; patikimi įvykiai - laišku U o neįmanoma - laiške V.
Atsitiktiniai įvykiai yra suskirstyti į kategorijas bendras, nesuderinamas ir vienintelis įmanomas .
Įvykiai vadinami Bendras jei to paties bandymo metu vieno iš jų atsiradimas neatmeta kitų pradžios, t.y. jie gali įvykti kartu.
Įvykiai vadinami nenuoseklus jei to paties bandymo metu vieno iš jų pradžia neįtraukia kitų, t.y. jie negali įvykti kartu.
5 pavyzdys... Du šauliai šaudo į taikinį. Paskirkime įvykius:
BET= (pirmasis šaulys pataiko į taikinį);
IN= (antrasis šaulys pataiko į taikinį).
Vystymasis BET ir IN bus bendras, nes vieno iš šaulių smūgis į taikinį neatmeta kito smūgio.
6 pavyzdys... Metama moneta. Dėl to gali įvykti šie įvykiai:
BET= („herbas“ iškrito);
IN= („skaitmuo“ iškrito).
Vystymasis BET ir IN nesuderinama, nes vieno iš jų puolimas neleidžia prasidėti kitam.
Įvykiai vadinami vienintelis galimas jei bent vienas iš jų atsiranda šio bandymo metu. Vadinami tik du galimi ir nesuderinami įvykiai priešingas ... Jei BET- koks nors įvykis, tada nurodoma priešingai. Vienintelių galimų ir nesuderinamų įvykių visuma visa renginių grupė .
7 pavyzdys... Urnoje yra balti, juodi ir raudoni rutuliai. Vienas rutulys pašalinamas iš urnos. Paskirkime įvykius:
BET= (pašalintas baltas rutulys);
IN= (juodas rutulys pašalintas);
SU= (raudonas kamuolys pašalintas).
Vystymasis A, B, C. yra vieninteliai galimi.
8 pavyzdys... Šaulys šaudė į taikinį. Paskirkime įvykius:
BET= (yra smūgis į taikinį);
= (nėra tikslinio smūgio).
Šie įvykiai yra priešingi.
9 pavyzdys... Metamas kauliukas, kurio kraštuose užrašyti skaičiai 1, 2, 3, 4, 5 ir 6. Šie skaičiai rodo taškų skaičių. Kai metamas kauliukas, vienas iš šių skaičių bus rodomas viršutiniame jo krašte. Paskirkime įvykius.
Tikimybių teorijos dalykas. Atsitiktiniai įvykiai ir jų klasifikacija. Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Bendrieji kombinatorikos principai.
Tikimybė yra viena iš tų sąvokų, kurią noriai naudojame kasdieniame gyvenime, visai apie tai negalvodami. Pavyzdžiui, net mūsų kalba turi spontaniško ir tikėtino požiūrio į mus supančią tikrovę pėdsaką. Mes dažnai vartojame žodžius " tikriausiai", "mažai tikėtina", "neįtikėtina "... Jau šiais žodžiais bandoma įvertinti to ar kito įvykio atsiradimo galimybę, t.y. bandymas kiekybiškai įvertinti šią galimybę. Idėja išreikšti skaičiais tam tikrų įvykių atsiradimo galimybės laipsnį kilo žmonėms bandžius apibendrinti pakankamai daug reiškinių, kuriuose pasireiškia stabilumo savybė, stebėjimų, t.y. gebėjimas kartotis gana dažnai.
Pavyzdžiui, jūs negalite iš anksto nustatyti vieno monetos metimo rezultato. Bet jei apversite monetą pakankamai daug kartų, tuomet beveik neabejotinai galite pasakyti, kad maždaug pusę laiko ji nukris ant „galvų“, o pusė - ant „uodegų“. Tokių pavyzdžių, kuriuose galima labai daug cituoti intuityvią įvykio tikimybės skaitinės vertės idėją, skaičius. Tačiau visus tokius pavyzdžius lydi neaiškios sąvokos, tokios kaip „teisingas“ mėtymas, „teisinga“ moneta ir kt. Tikimybių teorija mokslu tapo tik tada, kai buvo nustatytos pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos, aiškiai suformuluota pati tikimybės samprata ir sukurtas tikimybinis aksiomatinis modelis.
Bet kuris mokslas, kuriantis bendrą teoriją apie bet kokį reiškinių spektrą, turi keletą pagrindinių sąvokų, kuriomis jis grindžiamas. Tokios, pavyzdžiui, geometrijoje yra taško, tiesės, plokštumos, tiesės, paviršiaus sąvokos; matematinėje analizėje - funkcijos, riba, diferencialas, integralas; mechanikoje - jėgos, masės, greitis, pagreitis. Natūralu, kad tikimybės teorijoje yra tokių sąvokų. Viena iš šių pagrindinių sąvokų yra sąvoka atsitiktinis įvykis.
RENGINIAI ĮVYKIAI IR JŲ GALIMYBĖS
Atsitiktiniai įvykiai ir jų klasifikacija
Pagal įvykis mes suprasime bet kokį reiškinį, atsirandantį įgyvendinus tam tikras sąlygas. Šio sąlygų rinkinio įgyvendinimas vadinamas eksperimentas (patirtis, išbandymas). Atminkite, kad tyrėjas nebūtinai turi dalyvauti eksperimente. Patirtis gali būti sukurta psichiškai arba gali būti tęsiama nepriklausomai nuo jos; pastaruoju atveju tyrėjas veikia kaip stebėtojas.
Renginys vadinamas patikimas jei tai tikrai turi įvykti įvykdžius tam tikras sąlygas. Taigi, metant paprastus kauliukus patikima gauti ne daugiau kaip šešis taškus; teiginys, kad įprastomis sąlygomis vanduo yra skystos būsenos +20 0 С temperatūroje ir pan. Renginys vadinamas neįmanomas jei jis sąmoningai neįvyksta įvykdžius tam tikras sąlygas. Taigi neįmanomas įvykis yra teiginys, kad iš įprastos kortų kaladės galima ištraukti daugiau nei keturis tūzus; arba Miunhauzeno teiginys, kad jis galėtų pakilti už plaukų ir pan. Įvykis vadinamas atsitiktiniu, jei jis gali įvykti arba neįvykti įvykdžius tam tikras sąlygas. Pavyzdžiui, iškritus „galvoms“ metant monetą; smūgis į taikinį vienu šūviu į taikinį ir pan.
Tikimybių teorijoje bet koks įvykis laikomas tam tikro eksperimento rezultatu. Todėl įvykiai dažnai vadinami rezultatus... Šiuo atveju eksperimento rezultatas turėtų priklausyti nuo daugybės atsitiktinių veiksnių, t.y. bet koks rezultatas turi būti atsitiktinis įvykis; priešingu atveju kiti mokslai turi spręsti tokius įvykius. Ypač reikėtų pažymėti, kad tikimybių teorijoje laikomi tik tokie eksperimentai, kuriuos galima pakartoti (atgaminti) su nepakitusiu sąlygų rinkiniu savavališkai (bent jau teoriškai). Tai yra, tikimybių teorija tiria tik tuos įvykius, kurių atžvilgiu yra prasminga ne tik teiginys apie jų atsitiktinumą, bet ir objektyvus jų atsiradimo atvejų dalies įvertinimas. Šiuo atžvilgiu pabrėžiame, kad tikimybių teorija nėra susijusi su unikalių įvykių tyrimu, kad ir kokie jie būtų įdomūs. Pavyzdžiui, teiginys, kad žemės drebėjimas įvyks tam tikroje vietoje tam tikru laiku, yra atsitiktinis įvykis. Tačiau šie įvykiai yra unikalūs tuo, kad jų negalima atkurti.
Kitas pavyzdys - įvykis, kai tam tikras mechanizmas veiks ilgiau nei metus, yra atsitiktinis, tačiau unikalus. Žinoma, kiekvienas mechanizmas yra individualus pagal savo savybes, tačiau daug šių mechanizmų gali būti gaminami ir gaminami tomis pačiomis sąlygomis. Daugelio panašių objektų bandymai suteikia tą informaciją, kuri leidžia įvertinti aptariamo atsitiktinio įvykio įvykių skaičiaus proporciją. Taigi, tikimybių teorijoje nagrinėja dviejų tipų testų kartojimą: 1) to paties objekto bandymų kartojimas; 2) daugelio panašių objektų bandymas.
Toliau trumpumo dėlei praleisime žodį „atsitiktinis“. Įvykiai bus žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis: A, B, C ir kt.
Įvykiai A ir B vadinami nenuoseklus jei vieno iš jų atsiradimas pašalina kito atsiradimo galimybę. Pavyzdžiui, mėtant monetą gali įvykti du įvykiai: „galvos“ arba „uodegos“. Tačiau tuo pačiu metu šie įvykiai, vienu metimu, negali atsirasti. Jei dėl bandymo įmanoma vienu metu įvykti įvykiai A ir B, tokie įvykiai vadinami Bendras... Pvz., Iškritus iš lyginio taškų skaičiaus metant kauliuką (įvykis A) ir taškų skaičius, kuris yra trijų kartų kartotinis (įvykis B), bus bendras, nes šešių taškų kritimas reiškia, kad A ir B įvykiai.
Tikimybių teorijos pagrindai.
Tikimybių teorija
Įvykis
Yra trijų tipų įvykiai:
a) patikimas
b) neįmanoma
c) atsitiktinis
Patikimas įvykis Pavyzdžiui:
Neįmanomas įvykis Pavyzdžiui:
Atsitiktinis įvykis Pavyzdžiui:
Įvykiai vadinami masyvi Pavyzdžiui:
Lygiai taip pat galimi įvykiai Pavyzdžiui:
Bendri renginiai Pavyzdžiui:
Nesuderinami įvykiai Pavyzdžiui
visa renginių grupė Pavyzdžiui:
Priešingi įvykiai Pavyzdžiui:
Atsitiktinio įvykio tikimybė.
Tikimybė atsitiktinis įvykis (žymimas P (A)) yra skaičius, kuris mums pasako apie įvykio tikimybės laipsnį.
Yra du tikimybės apibrėžimai: klasikinis ir statistinis, kiekvienas turi savo privalumų ir trūkumų.
Klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Įvykio tikimybė Ar rezultatų skaičiaus santykis yra palankus šiam įvykiui ( m) į visų nenuoseklių ir vienodai galimų šio eksperimento rezultatų skaičių ( n).
Jei A atsitiktinis įvykis, tada 
Jeigu - patikimas renginys
,
tada 
Jeigu - neįmanomas įvykis
, tada 
Pavyzdys: metant kauliuką, galimi 6 rezultatai
Įvykis A: lygus skaičius bus sumažintas. A įvykiui palankių rezultatų skaičius, m = 3 .
Privalumai: galite apskaičiuoti tikimybę neatlikę testo.
Trūkumai: 1) eksperimento rezultatų skaičius ne visada žinomas,
2) dažnai neįmanoma pateikti testo rezultato vienodai galimų ir nesuderinamų įvykių pavidalu.
Todėl praktikoje dažnai naudojamas statistinis tikimybės apibrėžimas.
Statistinis tikimybės nustatymas.
Tegul A yra atsitiktinis įvykis, eksperimentas buvo atliktas n kartų, dėl patirto įvykio A įvyko m kartų tada m yra įvykio A atsiradimo dažnis, o vertė vadinama santykinis dažnis įvykiai A.
Dėl skirtingų n, gali pastebimai skirtis, bet jei atliksime ilgą eksperimentų seriją, t.y. , tada iki tam tikros ribos.
Statistinė tikimybėįvykis A vadinamas riba, į kurią linkęs santykinis jo dažnis, neribotai didinant bandymų skaičių.
Pavyzdys:
tarp 1000 naujagimių yra 517 berniukų. Raskite santykinį berniukų gimstamumą. 
, vis dėlto žinoma, kad
Kadangi tikimybė yra skaičius todėl su šiais skaičiais galima atlikti aritmetines operacijas.
Bendros tikimybės formulė.
Kartais įvykis A gali įvykti tik kartu su vienu iš kelių kitų įvykių, jie paprastai vadinami hipotezes ir paskirti 
Tada pilna tikimybe
įvykis A apskaičiuojamas pagal formulę:
Pavyzdys: H ₃
H ₁ H ₂ Įvykis BET:įeisime į namus.
Bayeso formulės.
Prieš patirtimi turėjome hipotezių tikimybių
(Pavyzdyje).
Po eksperimento:
Tarkime, kad įvykis A įvyko (tai yra, mes patekome į namus), pasikeitė hipotezių tikimybės. Norint apskaičiuoti hipotezių tikimybes, jei įvyko įvykis A, naudojamos Bayeso formulės:
Pavyzdys
Atsitiktinė vertė.
Atsitiktinė vertė Tai kintamasis, kuris įgauna savo vertes, priklausomai nuo atsitiktinių aplinkybių.
.Diskretus atsitiktinis kintamasis (punktyrinis) paima individualias skaitines vertes (mokinių skaičius klasėje, kubas: 1,2,3,4,5,6)
Nuolatinis atsitiktinis kintamasis paima bet kokias vertes iš tam tikro intervalo (kūno svorio, mokinių ūgio).
Atsitiktiniai kintamieji žymimi paskutinėmis lotyniškos abėcėlės raidėmis: X, Y, Z ... ir jų galimas reikšmes didžiosiomis raidėmis:
Bet kuri taisyklė, nustatanti ryšį tarp galimų atsitiktinio kintamojo verčių ir tikimybių, kuriomis ji gauna šias vertes, vadinama atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo dėsnis .
Galima nustatyti atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo dėsnį kaip :
1). Lentelės
2). Grafikos menas
3) Paskirstymo funkcijos.
Paskirstymo funkcija.
vienas). f (x) yra neneigiama funkcija (f (x) ≥0).
2). Tikimybė pataikyti į elementarų intervalą dx = (x + Δx) -x yra lygus f (x) dx = dP.
3) Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis patenka į intervalą:
| ← -∞ a b + ∞ → |
4). Normalizavimo sąlygos: 
plotas po kreive yra vienas.
Bendros tikimybės formulė.
Bayeso formulės.
Tikimybių teorijos pagrindai.
Tikimybių teorija Tai matematikos šaka, tirianti didelių atsitiktinių įvykių modelius.
Įvykis Tai faktas, kuris gali atsirasti arba neatsirasti dėl eksperimento ar bandymo.
Yra trijų tipų įvykiai:
a) patikimas
b) neįmanoma
c) atsitiktinis
Patikimas įvykis Ar tai įvykis, kuris būtinai įvyks dėl šios patirties. ( Pavyzdžiui: kočiojant štampą gaunamas 1 ≤ sveikas ≤ 6).
Neįmanomas įvykis Tai įvykis, kuris niekada neįvyks tam tikros patirties sąlygomis. . ( Pavyzdžiui: ridenant kauliuką, skaičius ≥7 bus numestas, pavyzdžiui, 10).
Atsitiktinis įvykis Tai įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti dėl tam tikros patirties. ( Pavyzdžiui: metė kauliuką vieną kartą - numestas 3 numeris - atsitiktinis įvykis).
Įvykiai žymimi pirmosiomis lotyniškos abėcėlės raidėmis: A, B, C, D,.
Įvykiai vadinami masyvi jei jie atliekami vienu metu atliekant pakankamai daug bandymų arba kartojami daug kartų. ( Pavyzdžiui: daugelis žmonių meta kauliukus arba vienas žmogus meta kauliukus daug kartų).
Atsitiktinių įvykių klasifikacija.
Lygiai taip pat galimi įvykiai - tai tokie įvykiai, kad nė vienas iš jų neįmanomas labiau nei kiti ( Pavyzdžiui: kubui nerūpi, ant kurio krašto jis patenka).
Bendri renginiai Ar įvykiai gali įvykti vienu metu dėl tam tikros patirties. ( Pavyzdžiui: mesti 2 kauliukus - numeris 1 ir numeris 3 - bendri renginiai).
Nesuderinami įvykiai - tai taip pat galimi įvykiai, kad vieno iš jų išvaizda neįtraukia kitų. ( Pavyzdžiui: metimas 1 kauliukas - iškritimas iš skaičiaus 3 neįtraukia iškritimo iš likusių skaičių).
Keletas atsitiktinių įvykių: forma visa renginių grupė jei kiekvienas iš jų gali įvykti dėl tam tikros patirties. ( Pavyzdžiui: Krentantys skaičiai 1,2,3,4,5,6 yra visa įvykių grupė, skirta mesti vieną kauliuką).
Priešingi įvykiai Taip pat galimi nesuderinami įvykiai, sudarantys visą įvykių grupę. Įvykio įvykis neįtraukia įvykio. ( Pavyzdžiui: galvos ar uodegos, atsitrenkusios į taikinį arba jos nėra).
Nepaisant to, kad įvykiai yra atsitiktiniai, atliekant daugybę eksperimentų jie paklūsta įstatymams, kuriuos tiria tikimybių teorija.
Patirtis, arba testas, kviesti bet kokį tam tikrų sąlygų ar veiksmų, pagal kuriuos atsiranda atitinkamas reiškinys, įgyvendinimą. Galimas eksperimento rezultatas vadinamas įvykis... Pavyzdžiui, patirtis yra monetos metimas, o įvykiai - „herbas“, „skaičius viršutinėje jos pusėje“ (kai moneta nukrenta). Patirtis apima šaudymą į taikinį, kamuoliuko pašalinimą iš dėžės ir kt. Įvykiai bus žymimi lotyniškos abėcėlės raidėmis A, B, C, ...
Renginys vadinamas patikimas pagal tam tikrą patirtį, jei tai būtinai atsitiks šioje patirtyje. Pavyzdžiui, jei dėžutėje yra tik mėlyni rutuliai, tada įvykis „mėlynas kamuolys pašalinamas iš dėžutės“ galioja (dėžutėje nėra skirtingos spalvos rutulių).
Renginys vadinamas neįmanomas tam tikroje patirtyje, jei tai negali įvykti šioje patirtyje. Taigi, jei dėžutėje yra tik raudoni rutuliai, tai įvykis „mėlynas kamuolys buvo pašalintas iš dėžutės“ neįmanomas (tokių rutulių dėžutėje nėra).
Renginys vadinamas atsitiktinis pagal tam tikrą patirtį, jei tai gali atsitikti ar ne. Pavyzdžiui, jei dėžutėje yra n mėlyna ir m raudoni rutuliai yra vienodo dydžio ir svorio, tada įvykis „mėlynas rutulys pašalinamas iš urnos“ yra atsitiktinis (tai gali įvykti arba ne, nes urnoje yra ne tik mėlynos, bet ir raudonos spalvos rutuliai). Atsitiktiniai įvykiai yra „herbas“ ir „skaičius monetos viršuje metant“, „pataikyk ir nepataikyk šaudydamas į taikinį“, „laimėjęs loterijos bilietą“ ir kt.
Pastaba Pateikti pavyzdžiai liudija, kad vienas ir tas pats įvykis tam tikroje patirtyje gali būti patikimas, kitu atveju - neįmanomas, trečia - atsitiktinis. Kalbėdami apie įvykio patikimumą, neįmanomumą, tikimybę, jie reiškia jo patikimumą, neįmanomumą, atsitiktinumą, susijusį su konkrečia patirtimi, tai yra, esant tam tikroms sąlygoms ar veiksmams.
Vadinami du įvykiai Bendras pagal tam tikrą patirtį, jei vieno iš jų išvaizda neatmeta kito pasirodymo šioje patirtyje. Taigi, mėtant dvi simetriškas monetas, įvykiai A - „herbas viršutinėje pirmosios monetos pusėje“ ir B - „skaičius antros monetos viršutinėje pusėje“ yra susiję.
Vadinami du įvykiai nenuoseklus jei jie negali įvykti kartu tame pačiame teisme. Pavyzdžiui, vieno smūgio smūgis ir nepataikymas yra nenuoseklūs. Kai kurie įvykiai vadinami nenuosekliais, jei jie yra nenuoseklūs.
Vadinami du įvykiai priešingas jei vieno iš jų išvaizda prilygsta kito nepasirodymui. Taigi įvykiai „herbas“ ir „skaičius“ yra priešingi, jei vienas metamas simetriškas monetas. Jei vienas iš priešingų įvykių yra pažymėtas raide A, tada kitas žymimas. Pavyzdžiui, jei A - „pataikyti“, tada - „praleisti“ vienu šūviu į taikinį.
Įvykių rinkinys A 1, A 2, ..., A n vadinamas pilna renginių grupė jei jie pora nesuderinami; vieno ir tik vieno iš jų pasirodymas yra patikimas įvykis. Išsiaiškinkime visos įvykių grupės sąvoką, naudodami šį pavyzdį. Apsvarstykite įvykius, kurie atsiranda mėtant kauliuką (tai yra, kauliukas, kurio kraštuose užrašyti skaičiai 1, 2, 3, 4, 5, 6, arba vaizduojami ženklai, atitinkantys šiuos skaičius). Kai kubas nukris, viršutinis paviršius bus kraštas su vienu iš šių skaičių. Įvykis: „viršutinis veidas pasirodė veidas su skaičiumi k“ bus žymimas A k (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Įvykiai А 1, А 2, А 3, А 4, А 5, А 6 sudaro pilną grupę: jie poromis nesuderinami; vieno ir tik vieno iš jų atsiradimas yra patikimas įvykis (kubui nukritus, tada tik vienas iš veidų bus viršuje, ant jo užrašytas tik vienas iš skaičių nuo 1 iki 6).
Įvykiai skaičiuojami vienodai galima jei nėra pagrindo manyti, kad vienas įvykis yra labiau tikėtinas nei kiti. Pavyzdžiui, mėtant monetą, įvykis A (skaičiaus atsiradimas) ir įvykis B (herbo išvaizda) yra vienodai įmanomi, nes daroma prielaida, kad moneta pagaminta iš vienalytės medžiagos ir turi taisyklingą cilindrinę formą. formos, o kaldinimas neturi įtakos tai, kuri medalio pusė (herbas ar numeris) bus viršuje. Metant kauliukus, įvykiai A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 yra vienodai įmanomi, nes daroma prielaida, kad kauliukas pagamintas iš vienalytės medžiagos, turi teisingą formą ir yra skaičiai (arba taškai) kraštuose neturi įtakos tada, kuris iš šešių veidų bus viršutinis. Kiekvienas įvykis, kuris gali įvykti dėl patirties, vadinamas elementarus rezultatas(elementarus įvykis arba atsitiktinumas).
Pavyzdžiui, įvykiai A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 yra elementarūs rezultatai, kai mesti kauliukai. Elementarūs rezultatai, kurių metu įvyksta tam tikras įvykis, vadinami palankiais šiam įvykiui arba palankiomis galimybėmis. Taigi, kai mesti kauliukus, elementarūs rezultatai А 2, А 4, А 6 yra palankūs renginiui „iškrito lyginis taškų skaičius“.
1 pavyzdys.
Metami du kauliukai, apskaičiuojama iškritusių taškų suma (abiejų kauliukų viršutinių kraštų taškų skaičiaus suma). Iš dviejų kauliukų numestų taškų suma gali skirtis nuo 2 iki 12. Įrašykite visą šio eksperimento įvykių grupę.
Sprendimas.
Visa įvykių grupė susideda iš vienodai galimų elementarių rezultatų ( k; m), k, m= 1, 2, 3, 4, 5, 6, pateikti lentelėje. Elementarus rezultatas ( k; m) reiškia, kad turi pirmąjį kaulą k taškų, antrajame m taškai ( k, m= 1,2,3,4,5,6). Pavyzdžiui, (3; 4) - 3 taškai ant pirmojo metimo, 4 taškai antrame.
| (1;1) | (2;1) | (3;1) | (4;1) | (5;1) | (6;1) |
| (1;2) | (2;2) | (3;2) | (4;2) | (5;2) | (6;2) |
| (1;3) | (2;3) | (3;3) | (4;3) | (5;3) | (6;3) |
| (1;4) | (2;4) | (3;4) | (4;4) | (5;4) | (6;4) |
| (1;5) | (2;5) | (3;5) | (4;5) | (5;5) | (6;5) |
| (1;6) | (2;6) | (3;6) | (4;6) | (5;6) | (6;6) |
2 pavyzdys.
Kiek elementarių rezultatų palankus įvykiui „abu kauliukai turi vienodą taškų skaičių“ metant du kauliukus?
Sprendimas.
Šį įvykį palankiai vertina 6 elementarūs rezultatai (žr. 1 pavyzdžio lentelę): (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6).
3 pavyzdys.
Išmetami du kauliukai. Kuris įvykis palankesnis elementariems rezultatams: „iškritusių taškų suma lygi 7“, „iškritusių taškų suma lygi 8“?
Sprendimas.
Įvykis „iškritusių taškų suma lygus 7“ palankus 6 rezultatams (žr. Lentelę. 1 pavyzdys): (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1). Įvykį „iškritusių taškų suma yra 8“ palankiai vertina 5 rezultatai: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Todėl pirmasis įvykis palankesnis elementariems rezultatams.
4 pavyzdys.
Metami trys kauliukai, apskaičiuojama ant jų numestų taškų suma. Kiek būdų galite gauti 5 taškus, 6 taškus?
Sprendimas.
Iš viso galite gauti 5 taškus šešiais būdais: (1; 1; 3), (1; 3; 1), (3; 1; 1), (1; 2; 2), (2; 1; 2) ), (2; 2; 1). Iš viso galite gauti 6 taškus dešimt būdų: (1; 1; 4), (1; 4; 1), (4; 1; 1), (1; 2; 3), (1; 3; 2) ), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1), (2; 2; 2).
Pastaba. Įrašas (3; 2; 1) reiškia, kad pirmasis kauliukas turi 3 taškus, antrasis - 2 taškus, o trečiasis - 1 tašką.
Užduotys
1. Ar šie įvykiai nenuoseklūs:
b) patirtis - du šūviai į taikinį; įvykiai: A - „bent vienas smūgis“; B - „bent viena proga“.
2. Ar šie įvykiai yra vienodai įmanomi:
a) patirtis - simetriškos monetos mėtymas; įvykiai: A - „herbo išvaizda“, B - „figūros išvaizda“;
b) patirtis - mesti išlenktą monetą; įvykiai: A - „herbo išvaizda“, B - „figūros išvaizda“;
c) patirtis - šūvis į taikinį; įvykiai: A - „smūgis“, B - „praleidimas“.
3. Ar šie įvykiai sudaro visą įvykių grupę:
a) patirtis - simetriškos monetos mėtymas; įvykiai: A - „herbas“, B - „skaičius“;
b) patirtis - mesti dvi simetriškas monetas; įvykiai: A - „dvi emblemos“, B - „du skaičiai“.
4. Patirtis - mesti du kauliukus. Kiek elementarių rezultatų palankus renginiui - iškrito taškai: 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12?
5. Patirtis - mesti tris kauliukus. Kiek elementarių rezultatų iš viso yra? Kiek elementarių rezultatų palankus renginiui - iškrito trys kauliukai: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12? Kokia yra didžiausia suma iš visų iškritusių taškų?
Atsakymai
1. a) taip; b) ne. 2 ... a) taip; b) ne; c) bendruoju atveju Nr. 3 ... a) taip; b) ne. 4 . 1,2,3,4,5,6,5,4, 3, 2, 1. 5 ... n = 216; 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25; 18.
Klausimai
1. Kas vadinama patirtimi ar testu?
2. Kas vadinama įvykiu?
3. Koks įvykis šioje patirtyje vadinamas patikimu?
4. Koks įvykis šioje patirtyje vadinamas neįmanomu?
5. Koks įvykis šioje patirtyje vadinamas atsitiktiniu?
6. Kokie įvykiai šioje patirtyje vadinami bendrais?
7. Kokie įvykiai šioje patirtyje vadinami nenuosekliais?
8. Kokie įvykiai vadinami priešingais?
9. Kokie įvykiai laikomi vienodai įmanomais?
10. Kas vadinama visa įvykių grupe?
11. Kas vadinama elementariu rezultatu?
12. Kokie elementarūs rezultatai vadinami palankiais šiam įvykiui?
13. Kokia yra visa monetų metimo įvykių grupė?
14. Kokia yra visa dviejų monetų metimo įvykių grupė?