Параболой является график квадратичной функции. Данная линия обладает весомым физическим значением. Для того чтобы легче было найти вершину параболы, нужно ее нарисовать. Тогда на графике с легкостью можно будет увидеть ее вершину. Но чтобы построить параболу, необходимо знать, как найти точки параболы и как найти координаты параболы.
Находим точки и вершину параболы
В общем представлении квадратичная функция имеет следующий вид: y = ax 2 + bx + c. Графиком данного уравнения является парабола. При значении а › 0, ее ветви направлены вверх, а при значении а ‹ 0 – вниз. Для построения параболы на графике необходимо знать три точки, если она проходит вдоль оси ординат. В противном случае, должно быть известно четыре точки построения.
При нахождении абсциссы (х) необходимо взять коэффициент при (х) из заданной формулы многочлена, а затем разделить на удвоенный коэффициент при (x 2), после чего умножить на число – 1.
Для того чтобы найти ординату необходимо найти дискриминант, затем умножить его на – 1, после чего разделить на коэффициент при (x 2), предварительно умножив его на 4.
Далее, подставляя численные значения, вычисляется вершина параболы. Для всех расчетов желательно использовать инженерный калькулятор, а при черчении графиков и парабол пользоваться линейкой и люмографом, это позволит значительно повысить точность ваших расчетов.
Рассмотрим следующий пример, который поможет нам понять, как найти вершину параболы.
x 2 -9=0. В данном случае координаты вершины рассчитываются следующим образом: точка 1 (-0/(2*1); точка 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Таким образом, координатами вершины являются значения (0; 9).
Находим абсциссу вершины
После того, как вы узнали, как найти параболу, и можете рассчитать точки ее пересечения с осью координат (х), можно легко вычислить абсциссу вершины.
Пусть (x 1) и (х 2) являются корнями параболы. Корни параболы – это точки ее пересечения с осью абсцисс. Данные значения обращают в ноль квадратное уравнение следующего вида: ax 2 + bx + c.
При этом |x 2 | > |x 1 |, значит вершина параболы расположена посередине между ними. Таким образом, ее можно найти по следующему выражению: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |).
Находим площадь фигуры
Для нахождения площади фигуры на координатной плоскости нужно знать интеграл. А чтобы применить его, достаточно знать определенные алгоритмы. Для того чтобы найти площадь, ограниченную параболами, необходимо произвести ее изображение в декартовой системе координат.
Вначале, по описанному выше методу, определяется координата вершины оси (х), затем оси (у), после чего находится вершина параболы. Теперь следует определить пределы интегрирования. Как правило, они указываются в условии задачи при помощи переменных (а) и (b). Данные значения следует поместить в верхнюю и нижнюю части интеграла соответственно. Далее следует вписать в общем виде значение функции и умножить его на (dx). В случае с параболой: (x 2)dx.
Затем нужно вычислить в общем виде первообразное значение функции. Для этого следует воспользоваться специальной таблицей значений. Подставляя туда пределы интегрирования, находится разность. Данная разность и будет являться площадью.
В качестве примера рассмотрим систему уравнений: у = x 2 +1 и х+у=3.
Находятся абсциссы точек пересечения: х 1 =-2 и х 2 =1.
Полагаем, что у 2 =3, а у 1 =x 2 + 1, подставляем значения в вышеприведенную формулу и получаем значение равное 4,5.
Теперь мы узнали как найти параболу, а также, основываясь на этих данных, рассчитать площадь фигуры, которую она ограничивает.
Функция вида , где называется квадратичной функцией .
График квадратичной функции – парабола .
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
То есть , ,
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при парабола «станет шире» параболы :
Давайте подытожим:
1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.
2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы :
Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .
2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде
1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?
Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .
Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.
Инструкция
Квадратичная функция в общем виде записывается уравнением: y = ax² + bx + c. Графиком этого уравнения является , ветви которой направлены вверх (при a > 0) или вниз (при a < 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.
Людям, знакомым с понятием производной, легко найти вершину параболы. Независимо от положения ветвей параболы ее вершина является точкой (минимума, если ветви направлены вверх, или , когда ветви направлены вниз). Чтобы найти точки предполагаемого экстремума любой , надо вычислить ее первую производную и приравнять ее к нулю. В общем виде производная равна f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Приравняв к нулю, вы получите 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.
Парабола - симметричная линия. Ось проходит через вершину параболы. Зная точки параболы с осью координат X, можно легко найти абсциссу вершины x0. Пусть x1 и x2 - корни параболы (так называют точки пересечения параболы с осью абсцисс, поскольку эти значения обращают квадратное уравнение ax² + bx + c в ноль). При этом пусть |x2| > |x1|, тогда вершина параболы лежит посередине между ними и может быть найдена из следующего выражения: x0 = ½(|x2| - |x1|).
Видео по теме
Источники:
- Квадратичная функция
- формула нахождения вершины параболы
Парабола – это график квадратичной функции, в общем виде уравнение параболы записывается y=aх^2+bх+с, где а≠0. Это универсальная кривая второго порядка, которая описывает многие явления в жизни, например, движение подбрасываемого и затем падающего тела, форму радуги, поэтому умение найти параболу может очень пригодиться в жизни.
Вам понадобится
- - формула квадратичного уравнения;
- - лист бумаги с координатной сеткой;
- - карандаш, ластик;
- - компьютер и программа Excel.
Инструкция
В первую очередь найдите вершину параболы. Чтобы найти абсциссу этой точки, возьмите коэффициент перед х, разделите его на удвоенный коэффициент перед х^2 и умножьте на -1 ( х=-b/2a). Ординату найдите, подставив полученное значение в уравнение или по формуле у=(b^2-4ac)/4a. Вы получили координаты точки вершины параболы.
Вершину параболы можно найти и другим способом. Так как является экстремумом функции, то для ее вычисления вычислите первую производную и приравняйте ее к нулю. В общем виде вы получите формулу f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. А приравняв ее к нулю, вы придете к той же самой формуле - х=-b/2a.
Узнайте, направлены ли ветви параболы вверх или вниз. Для этого посмотрите на коэффициент перед х^2, то есть на а. Если а>0, то ветви направлены вверх, если а
Координаты вершины параболы найдены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).
Видео по теме
Для функций (точнее их графиков) используется понятие наибольшего значения, в том числе и локального максимума. Понятие же «вершина» скорее связано с геометрическими фигурами. Точки максимумов гладких функций (имеющих производную) легко определить с помощью нулей первой производной.
Инструкция
Для точек, в которых функция не дифференцируема, но непрерывна, наибольшее на промежутке значение может иметь вид острия (на y=-|x|). В таких точках к функции можно провести сколь угодно касательных для нее просто не существует. Сами функции такого типа обычно задаются на отрезках. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
Реение. y=x+3 при x≤-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функция задана на отрезках умышленно, так как в данном случае преследуется цель отобразить все в одном примере. Легко , что при х=-1 функция остается непрерывной.y’=1 при x≤-1 и y’=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y’=0 при x=8/27. y’ не существует при x=-1 и x=0.При этом y’>0 если x
Видео по теме
Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки построены в соответствии с квадратным уравнением. Главное в построении этой кривой – найти вершину параболы . Это можно сделать несколькими способами.
Инструкция
Чтобы найти координаты вершины параболы , воспользуйтесь следующей формулой: х=-b/2а, где а – коэффициент перед х в , а b – коэффициент перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его . Затем подставьте полученное значение вместо х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Например, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу найдите следующим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1;3).
Значение ординаты параболы можно найти и без предварительного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.
Если вы знакомы с понятием производной, найдите вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись следующим свойством любой : первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на . Так как вершина параболы , независимо от того, направлены ее ветви вверх или вниз, точкой , вычислите производную для вашей функции. В общем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.
Попробуйте найти вершину параболы , воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого найдите точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы найдете х1 и х2. Так как парабола симметрична относительно директрисы, проходящей через вершину , эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Чтобы ее найти, разделим
График квадратичной функции называют параболой. Эта линия имеет весомое физическое значение. По параболам движутся некоторые небесные тела. Антенна в форме параболы фокусирует лучи, идущие параллельно оси симметрии параболы. Тела, кинутые вверх под углом, долетают до верхней точки и падают вниз, также описывая параболу. Видимо, что неизменно пригодно знать координаты вершины этого движения.
Инструкция
1. Квадратичная функция в всеобщем виде записывается уравнением: y = ax? + bx + c. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх (при a > 0) либо вниз (при a < 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.
2. Людям, приятелем с представлением производной, легко обнаружить вершину параболы. Самостоятельно от расположения ветвей параболы ее вершина является точкой экстремума (минимума, если ветви направлены вверх, либо максимума, когда ветви направлены вниз). Дабы обнаружить точки полагаемого экстремума всякий функции, нужно вычислить ее первую производную и приравнять ее к нулю. В всеобщем виде производная квадратичной функции равна f"(x) = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Приравняв к нулю, вы получите 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.
3. Парабола – симметричная линия. Ось симметрии проходит через вершину параболы. Зная точки пересечения параболы с осью координат X, дозволено легко обнаружить абсциссу вершины x0. Пускай x1 и x2 – корни параболы (так называют точки пересечения параболы с осью абсцисс, от того что эти значения обращают квадратное уравнение ax? + bx + c в нуль). При этом пускай |x2| > |x1|, тогда вершина параболы лежит посередине между ними и может быть обнаружена из дальнейшего выражения: x0 = ?(|x2| – |x1|).
Парабола – это график квадратичной функции, в всеобщем виде уравнение параболы записывается y=aх^2+bх+с, где а?0. Это универсальная кривая второго порядка, которая описывает многие явления в жизни, скажем, движение подбрасываемого и после этого падающего тела, форму радуги, следственно знание обнаружить параболу может дюже сгодиться в жизни.
Вам понадобится
- – формула квадратичного уравнения;
- – лист бумаги с координатной сеткой;
- – карандаш, ластик;
- – компьютер и программа Excel.
Инструкция
1. В первую очередь обнаружьте вершину параболы. Дабы обнаружить абсциссу этой точки, возьмите показатель перед х, поделите его на удвоенный показатель перед х^2 и умножьте на -1 (формула х=-b/2a). Ординату обнаружьте, подставив полученное значение в уравнение либо по формуле у=(b^2-4ac)/4a. Вы получили координаты точки вершины параболы.
2. Вершину параболы дозволено обнаружить и иным методом. Потому что вершина является экстремумом функции, то для ее вычисления вычислите первую производную и приравняйте ее к нулю. В всеобщем виде вы получите формулу f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. А приравняв ее к нулю, вы придете к той же самой формуле – х=-b/2a.
3. Узнайте, направлены ли ветви параболы вверх либо вниз. Для этого посмотрите на показатель перед х^2, то есть на а. Если а>0, то ветви направлены вверх, если а
4. Постройте ось симметрии параболы, она пересекает вершину параболы и параллельна оси оу. Все точки параболы будут равноудалены от нее, следственно дозволено возвести лишь одну часть, а после этого симметрично отобразить ее касательно оси параболы.
5. Постройте линию параболы. Для этого обнаружьте несколько точек, подставляя различные значения х в уравнения и решая равенство. Комфортно обнаружить пересечение с осями, для этого подставляйте в равенство х=0 и у=0. Возведя одну сторону, отразите ее симметрично касательно оси.
6. Дозволено возвести параболу при помощи программы Excel. Для этого откройте новейший документ и выделите в нем два столбика, х и у=f(х). В первом столбике запишите значения х на выбранном отрезке, а во втором столбце запишите формулу, скажем, =2В3*В3-4В3+1 либо =2В3^2-4В3+1. Дабы не писать эту формулу всякий раз, «растяните» ее на каждый столбец, нажав мышкой на небольшой крестик в нижнем правом углу и потянув вниз.
7. Получив таблицу, нажмите меню «Вставка» – «Диаграмма». Выберите точечную диаграмму, нажмите «Дальше». В появившемся окне добавьте ряд, нажав кнопку «Добавить». Дабы предпочесть необходимые ячейки, щелкните поочередно по кнопкам, обведенным красным овалом ниже, после этого выделите ваши столбики со значениями. Нажав кнопку «Готово», оцените итог – готовую параболу .
Видео по теме
При изыскании квадратичной функции, графиком которой является парабола, в одном из пунктов нужно обнаружить координаты вершины параболы. Как это сделать аналитически, применяя заданное для параболы уравнение?
Инструкция
1. Квадратичная функция – это функция вида y=ax^2+bx+c, где a – старший показатель (он неукоснительно должен быть ненулевым), b – младший показатель, с – вольный член. Данная функция дает своим графиком параболу, ветви которой направлены либо вверх (если а>0), либо вниз (если а<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.
2. Обнаружим координату x0 вершины параболы. Она находится по формулеx0=-b/a.
3. y0=y(x0).Дабы обнаружить координату y0 вершины параболы, нужно в функцию взамен x подставить обнаруженное значение x0. Сосчитайте, чему равен y0.
4. Координаты вершины параболы обнаружены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).
5. При построении параболы помните, что она симметрична касательно оси симметрии параболы, проходящей вертикально через вершину параболы, т.к. квадратичная функция является четной. Следственно довольно по точкам возвести только одну ветвь параболы, а иную достроить симметрично.
Видео по теме
Для функций (вернее их графиков) применяется представление наибольшего значения, в том числе и локального максимума. Представление же «вершина» скорее связано с геометрическими фигурами. Точки максимумов гладких функций (имеющих производную) легко определить с подмогой нулей первой производной.
Инструкция
1. Для точек, в которых функция не дифференцируема, но постоянна, наибольшее на интервале значение может иметь вид острия (на пример y=-|x|). В таких точках к графику функции дозволено провести сколь желательно много касательных и производная для нее легко не существует. Сами функции такого типа обыкновенно задаются на отрезках. Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует, именуются скептическими.
2. Выходит, для нахождения точек максимумов функции y=f(x) следует:- обнаружить скептические точки;- для того дабы предпочесть точку максимума, следует обнаружить знак производной в окрестности скептической точки. Если при прохождении точки происходит чередование знака с «+» на «-», то имеет место максимум.
3. Пример. Обнаружить наибольшие значения функции (см. рис.1).y=x+3 при x?-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1.
4. Реение. y=x+3 при x?-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функция задана на отрезках умышленно, потому что в данном случае преследуется цель отобразить все в одном примере. Легко проверить, что при х=-1 функция остается постоянной.y’=1 при x?-1 и y’=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y’=0 при x=8/27. y’ не существует при x=-1 и x=0.При этом y’>0 если x
Видео по теме
Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки возведены в соответствии с квадратным уравнением. Основное в построении этой косой – обнаружить вершину параболы . Это дозволено сделать несколькими методами.
Инструкция
1. Дабы обнаружить координаты вершины параболы , воспользуйтесь дальнейшей формулой: х=-b/2а, где а – показатель перед х в квадрате, а b – показатель перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. После этого подставьте полученное значение взамен х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Скажем, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу обнаружьте дальнейшим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1;3).
2. Значение ординаты параболы дозволено обнаружить и без заблаговременного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.
3. Если вы знакомы с представлением производной, обнаружьте вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись дальнейшим свойством всякий функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Потому что вершина параболы , самостоятельно от того, направлены ее ветви вверх либо вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В всеобщем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.
4. Испробуйте обнаружить вершину параболы , воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого обнаружьте точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы обнаружите х1 и х2. Потому что парабола симметрична касательно директрисы, проходящей через вершину , эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Дабы ее обнаружить, поделим расстояние между точками напополам: х=(Iх1-х2I)/2.
5. Если какой-нибудь из показателей равен нулю (помимо а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Скажем, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0;с). Если же не только показатель b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0;0).
Видео по теме
Исходя из одной точки, прямые образуют угол, где всеобщая для них точка является вершиной. В разделе теоретической алгебры частенько встречаются задачи, когда нужно обнаружить координаты этой вершины , дабы после этого определить уравнение проходящей через вершину прямой.
Инструкция
1. Перед тем, как начать процесс нахождения координат вершины , определитесь с начальными данными. Примите, что желанная вершина принадлежит треугольнику ABC, в котором вестимы координаты 2-х остальных вершин, а также числовые значения углов , равные «e» и «k» по стороне AB.
2. Совместите новую систему координат с одной из сторон треугольника AB таким образом, дабы предисловие системы координат совпадало с точкой A, координаты которой вам знамениты. Вторая вершина B будет лежать на оси OX, и ее координаты вам также знамениты. Определите по оси ОХ значение длины стороны AB согласно координатам и примите ее равной «m».
3. Опустите перпендикуляр из незнакомой вершины C на ось ОХ и на сторону треугольника AB соответственно. Получившаяся высота «y» и определяет значение одной из координат вершины C по оси OY. Примите, что высота «y» делит сторону AB на два отрезка, равные «x» и «m – x».
4. От того что вам вестимы значения всех углов треугольника, значит, знамениты и значения их тангенсов. Примите значения тангенсов для углов , примыкающих к стороне треугольника AB, равными tan(e) и tan(k).
5. Введите уравнения для 2-х прямых, проходящих по сторонам AC и BC соответственно: y = tan(e) * x и y = tan(k) * (m – x). После этого обнаружьте пересечение этих прямых, применяя преобразованные уравнения прямых: tan(e) = y/x и tan(k) = y/(m – x).
6. Если принять, что tan(e)/tan(k) равняется (y/x) /(y/ (m – x)) либо позже сокращения «y» – (m – x) / x , в итоге вы получите желанные значения координат, равные x = m / (tan(e)/tan(k) + e) и y = x * tan(e).
7. Подставьте значения углов (e) и (k), а также обнаруженное значение стороны AB = m в уравнения x = m / (tan(e)/tan(k) + e) и y = x * tan(e).
8. Преобразуйте новую систему координат в начальную систему координат, от того что между ними установлено взаимно-однозначное соответствие, и получите желанные координаты вершины треугольника ABC.
Видео по теме
Видео по теме
Содержимое:
Вершина параболы – это самая высокая или самая низкая ее точка. Чтобы найти вершину параболы, вы можете воспользоваться специальной формулой или методом дополнения до полного квадрата. Ниже описано, как это сделать.
Шаги
1 Формула для нахождения вершины
- 1 Найдите величины a, b, и c. В квадратном уравнении коэффициент при x 2 = a, при x = b, постоянная (коэффициент без переменной) = c. Например, возьмем уравнение: y = x 2 + 9x + 18. Здесь a = 1, b = 9, and c = 18.
- 2
Воспользуйтесь формулой для вычисления значения координаты x вершины.
Вершина также является точкой симметрии параболы. Формула для нахождения координаты x параболы: x = -b/2a.
Подставьте в нее соответствующие значения для вычисления x
.
- x=-b/2a
- x=-(9)/(2)(1)
- x=-9/2
- 3
Подставьте найденное значение x в исходное уравнение для вычисления значения y.
Теперь, когда вам известно значение x, просто подставьте его в исходное уравнение для нахождения y. Таким образом, формулу для нахождения вершины параболы можно записать в виде функции: (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]
. Это значит, что для нахождения y необходимо сначала найти x по формуле, а затем подставить значение x в исходное уравнение. Вот как это делается:
- y = x 2 + 9x + 18
- y = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
- y = 81/4 -81/2 + 18
- y = 81/4 -162/4 + 72/4
- y = (81 - 162 + 72)/4
- y = -9/4
- 4 Запишите значения x и y в виде пары координат. Теперь, когда вам известно, что x = -9/2, а y = -9/4, запишите их как координаты в виде: (-9/2, -9/4). Вершина параболы находится по координатам (-9/2, -9/4). Если вам нужно нарисовать эту параболу, то ее вершина лежит в нижней точке, так как коэффициент при x 2 положительный.
2 Дополнение до полного квадрата
- 1 Запишите уравнение. Дополнение до полного квадрата – еще один способ найти вершину параболы. Применив этот метод, вы найдете координаты x и y сразу, без необходимости подставлять x в исходное уравнение. Например, дано уравнение: x 2 + 4x + 1 = 0.
- 2 Разделите каждый коэффициент на коэффициент при x 2 . В нашем случае коэффициент при x 2 равен 1, поэтому мы можем пропустить этот шаг. Деление на 1 ничего не изменит.
- 3
Перенесите постоянную в правую часть уравнения.
Постоянная – коэффициент без переменной. Здесь это "1". Перенесите 1 вправо путем вычитания 1 из обеих частей уравнения. Вот как это сделать:
- x 2 + 4x + 1 = 0
- x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
- x 2 + 4x = - 1
- 4
Дополните до полного квадрата левую часть уравнения.
Для этого просто найдите (b/2) 2
и прибавьте результат к обеим частям уравнения. Подставьте "4" вместо b
, так как "4x" – это коэффициент b нашего уравнения.
- (4/2) 2 = 2 2 = 4. Теперь прибавьте 4 к обеим частям уравнения и получите:
- x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
- x 2 + 4x + 4 = 3
- (4/2) 2 = 2 2 = 4. Теперь прибавьте 4 к обеим частям уравнения и получите:
- 5 Упрощаем левую часть уравнения. Мы видим, что x 2 + 4x + 4 – полный квадрат. Он может быть записан в виде: (x + 2) 2 = 3
- 6 Используйте его для нахождения координат x и y. Вы можете найти x, просто приравняв (x + 2) 2 к 0. Теперь, когда (x + 2) 2 = 0, вычисляем x: x =-2. Координата y – это постоянная в правой части полного квадрата. Итак, y = 3. Вершина параболы уравнения x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)
- Правильно определяйте a, b, и c.
- Записывайте предварительные вычисления. Это не только поможет в процессе работы, но и позволит увидеть, где сделаны ошибки.
- Не нарушайте порядок вычислений.
Предупреждения
- Проверьте ваш ответ!
- Удостоверьтесь, что вы знаете, как определить коэффициента a, b, и c. Если вы не знаете, ответ будет неправильным.
- Не – решение таких задач требует практики.