Coordonatele accentului drept al hiperbolelor online. Hiperbolă și ecuația canonică

09.10.2019

Ocupaţie 10 . Curbele de ordinul doi.

10.1. Elipsă. Ecuația canonică. Semi-axe, excentricitate, program.

10.2. Hiperbolă. Ecuația canonică. Semi-axe, excentricitate, asimptote, program.

10.3. Parabolă. Ecuația canonică. Parametrul parabolei, grafic.

Curbele de ordinul secundar din avion sunt numite liniile implicite ale cărei sarcină este:

unde
- numere reale specificate,
- Coordonatele punctelor curbei. Cele mai importante linii dintre curbele de a doua ordine sunt elipsa, hiperbolul, parabola.

10.1. Elipsă. Ecuația canonică. Semi-axe, excentricitate, program.

Determinarea elipsei.Elipsa este o curbă plată, care are cantitatea de distanțe din două puncte fixe
avion la orice punct

(acestea.). Puncte
numit Ellipse Focus.

Ecuația elipsă canonică:
. (2)

(sau axa
) trece prin trucuri
, și începutul punctului de coordonate - Situat în centrul segmentului
(Fig.1). Ellipse (2) este simetric cu privire la axele coordonatelor și originea coordonatelor (centrul elipsei). Permanent
,
numit. semi-osii de elipsă.

Dacă elipsa este stabilită prin ecuația (2), atunci focul elipsei sunt așa.

1) În primul rând, determinăm unde se află trucurile: focul se află pe axa de coordonate pe care se află semi-axa mai mare.

2) Apoi se calculează lungimea focală. (Distanța de la Focus înainte de începerea coordonatelor).

Pentru
se concentrează pe axă
;
;
.

Excentricitateelipsa se numește valoare: (pentru
);(pentru
).

Elipse mereu
. Excentricitatea servește drept caracteristică de compresie elipsă.

Dacă se mișcă elipsa (2), astfel încât centrul elipsei să meargă la punct

,
, ecuația elipsei primite are forma

10.2. Hiperbolă. Ecuația canonică. Semi-axe, excentricitate, asimptote, program.

Determinarea hiperbolelor. Hyperbolul se numește o curbă plată, care are valoarea absolută a diferenței de distanță din două puncte fixe
avion la orice punct
această curbă este o valoare constantă, independentă de punct
(acestea.). Puncte
numit accentul hiperbolelor.

Ecuația canonică a hiperbolului:
sau
. (3)

O astfel de ecuație se obține dacă axa coordonatelor
(sau axa
) trece prin trucuri
, și începutul punctului de coordonate - Situat în centrul segmentului
. Hiperbele (3) sunt simetrice în raport cu axele coordonatelor și a originii. Permanent
,
numit. semi-osii hiperbolice.

Focalizează hiperbele sunt așa.

În hiperboles
se concentrează pe axă
:
(Fig. 2.A).

În hiperboles
se concentrează pe axă
:
(Figura 2.b)

Aici - lungimea focală (distanța de focalizare înainte de începerea coordonatelor). Se calculează prin formula:
.

Excentricitatehyperbollas numit valoarea:

(pentru
);(pentru
).

În hiperbele mereu
.

Asimptote hyperbol.(3) Două linii drepte:
. Ambele ramuri ale hiperbolelor se apropie nedeterminant asimptotams cu creșterea .

Construcția diagramei hiperbolelor trebuie efectuată astfel: mai întâi cu jumătate de axe
construim dreptunghi auxiliar cu părțile paralele cu axele coordonatelor; Apoi, prin vârfuri opuse ale acestui dreptunghi, mergem drept, acestea sunt asimptote ale hiperbolelor; În cele din urmă, descriu ramurile hiperbolelor, se referă la mijlocul laturilor respective ale dreptunghiului auxiliar și se apropie la asimpttotam (figura 2).

Dacă hiperbele (3) se mișcă astfel încât centrul lor să meargă la punct
, iar semi-axele vor rămâne paralele cu axele
,
, ecuația hiperbal-ului obținut va fi scrisă în formă

,
.

10.3. Parabolă. Ecuația canonică. Parametrul parabolei, grafic.

Definiția parabola.Parabola a numit o curbă plată, care pentru orice punct
această distanță de curbă de la
la un punct fix planul (numit parabola focus) este egal cu distanta de la
pentru a fi fixat direct în avion(numit regizor al parabolei) .

Ecuația parabolică canonică:
, (4)

unde - Constant, numit parametruparabolă.

Punct
parabolele (4) se numesc vârful pearabolului. Axă
este axa simetriei. Parabola Focus (4) este la punct
, Ecuația siderică.
. Parabola grafică (4) cu valori
și
prezentat în fig. 3.A și, respectiv,.

Ecuația
de asemenea, determină parabola în avion
care, comparativ cu parabola (4), axa
,
locații comutate.

Dacă parabola (4) se mișcă astfel încât vârful său să meargă la punct
iar axa de simetrie va rămâne paralelă cu axa
, ecuația parabolelor primite au forma

Să ne întoarcem la exemple.

Exemplul 1.. Curba de ordinul a doua este stabilită de ecuație
. Dați numele acestei curbe. Găsiți focul și excentricitatea ei. Pioară în curbă și trucurile sale în avion
.

Decizie. Această curbă este o elipsă cu centrul la punct
și semi-axe
. Acest lucru este ușor de asigurat dacă înlocuiți
. Această transformare înseamnă trecerea de la un sistem de coordonate cartesian dat.
la noul sistem de coordonate cartesian
care are axe
paralel cu axele
,
. Această conversie a coordonatelor se numește o schimbare de sistem
exact . În noul sistem de coordonate
ecuația curbei este convertită la ecuația canonică Ellipses.
, programul său este prezentat în fig. patru.

Găsim trucuri.
prin urmare, focalizează
elipses sunt situate pe axa
.. în sistemul de coordonate
:
. pentru că
, în vechiul sistem de coordonate
focul au coordonate.

Exemplul 2.. Dați numele celei de-a doua curbe de ordine pentru a-și aduce programul.

Decizie. Subliniem pătrate complete pe termenul care conține variabile și .

Acum, ecuația curbei poate fi rescrisă astfel:

Prin urmare, curba specificată este o elipsă cu centrul la punct
și semi-axe
. Informațiile obținute vă permit să trageți programul său.

Exemplul 3.. Dați un nume și aduceți programul de linie
.

Decizie. . Aceasta este ecuația elipsă canonică cu centrul la punct
și semi-axe
.

În măsura în care,
, Concluzie: Ecuația specificată determină în avion
jumătatea inferioară a elipsei (figura 5).

Exemplul 4.. Dați numele curbei de ordinul doi
. Găsiți focul ei, excentricitatea. Creați un grafic al acestei curbe.

- Ecuația hiperbolului canonic cu semi-axe
.

Distanta focala.

Semnul "minus" se confruntă cu termenul cu prin urmare, focalizează
hyperboles se află pe axă
:. Ramurile hiperbolelor sunt situate deasupra și sub axa
.

- Hiperbele de excentricitate.

Asimptote hyperboles :.

Construcția graficului acestei hiperbole se efectuează în conformitate cu procedura descrisă mai sus: construim dreptunghi auxiliar, realizăm asimptotele hiperbolelor, trag ramurile hiperbolelor (vezi figura 2.b).

Exemplul 5.. Aflați tipul de curbă dată de ecuație
Și să-și construiască programul.

- Hyperbole cu centrul la punct
și semi-axe.

pentru că , concluzionăm: Ecuația specificată determină partea hiperbolului care se află în partea dreaptă a dreptului
. Hyperball este mai bine să se tragă în sistemul auxiliar de coordonare
obținute din sistemul de coordonate
schimb
și apoi linia îndrăzneață este de a evidenția partea dorită a hiperbolului

Exemplul 6.. Aflați tipul de curbă pentru a-și atrage programul.

Decizie. Subliniem piața completă în ceea ce privește variabila :

Rescrieți ecuația curbei.

Aceasta este o ecuație parabola cu un vârf la punct.
. Transformarea parabolelor de schimbare este condusă la canonică
de la care puteți vedea acel parametru Parabolă. Focus parabolele din sistem
are coordonate
, și în sistem
(În funcție de transformarea schimbării de schimbare). Graficul parabolic este prezentat în fig. 7.

Teme pentru acasă.

1. Desenați elipsele date de ecuații:
Găsiți semi-axele, distanța focală, excentricitatea și indicați pe graficele de localizare a lui Elipsei.

2. Desenați hiperbele stabilite prin ecuații:
Găsiți-le semi-osii, o distanță focală, excentricitate și să indice hypelurile localizării focalizării pe orare. Scrieți ecuațiile de hiperbal de date asimptote.

3. Desenați parabolele date de ecuații:
. Găsiți parametrul, lungimea focală și indicați Parabola Plandes Localizarea focalizării.

4. Ecuația.
determină o parte din curba ordinului 2. Pentru a găsi ecuația canonică a acestei curbe, înregistrați numele, construiți programul său și evidențiați partea curbei pe acesta, ceea ce îndeplinește ecuația sursă.

În matematică trebuie adesea să construiască o varietate de grafice. Dar nu fiecare studio este ușor. Ce să vorbim despre elevii, dacă nu fiecare adult înțelege cum să o facă? Deși ar părea, acestea sunt matematice și nu există nimic complicat în construirea unui grafic, principalul lucru este să înțelegem doar algoritmul. Din acest articol veți învăța cum să construiți Hyperbola.

Construim un sistem de coordonate

Pentru a construi orice grafic, în primul rând, este necesar să se construiască un sistem de coordonate dreptunghiulare de Descartes. Ceea ce este necesar pentru acest lucru:

Pe o foaie de hârtie, tragem o linie orizontală dreaptă. Este de dorit ca o foaie într-o celulă, dar nu neapărat. Sfârșitul dreptului drept, indicați săgeata. Sa dovedit a fi axa X. Se numește abscisa.
În mijlocul axei X trage perpendicular drept. Sfârșitul este drept, în partea de sus, indică săgeata. Astfel, obținem axa Y, așa-numitele ordonate.
Următoarea numerotarea scalei. Chiar pe axa x avem sensuri pozitive X în ordine ascendentă - de la 1 și mai mare. Stânga - negativă. În partea de sus a axei Y sunt valori pozitive ale y în ordine ascendentă. Sub - negativ

Punctul de intersecție al abscisa și ordinar este începutul coordonatelor, adică numărul 0. De aici vom amâna toate valorile lui X și Y.

Vivid puteți viziona sistemul de coordonate rezultate din figura de mai jos. De asemenea, vedem că sistemul de coordonate dreptunghiulare împarte planul în 4 părți. Ele sunt numite sferturi și sunt numerotate în sens invers acelor de ceasornic, așa cum se arată în imagine:

Pentru a construi orice grafic, aveți nevoie de un punct. Fiecare punct al planului de coordonate este determinat de o pereche de numere (x; y). Aceste numere sunt numite coordonatele punctului în care:

x - Punctul Abscisa
respectiv, ordonate

Acum, când știm cum să construim un sistem de coordonate, putem continua direct la construcția programului.

Construim Hyperbolu.

Hiperbola este un grafic al unei funcții date de formula y \u003d k / x, unde

k este orice coeficient, dar nu ar trebui să fie egal cu 0
x - Variabila independentă

Hyperbolul este alcătuit din 2 părți, care sunt aranjate simetric în diferite trimestre. Ele sunt numite ramuri ale hiperbolelor. Dacă K\u003e 0, atunci construim sucursale în 1 și 3 trimestre, dar dacă<0, тогда – во 2 и 4.

Pentru a construi hiperbele, luăm o funcție ca exemplu dat de formula y \u003d 3 / x.

Deoarece coeficientul de 3 noi cu semnul "+", apoi hiperbolul nostru, respectiv, va fi în 1 și 3 trimestre.
Specificăm valori arbitrar ale lui X, ca rezultat al căruia găsim valorile lui Y. Deci vom avea coordonatele punctelor, datorită căruia vom construi hiperbola noastră. Dar rețineți că x nu poate seta valoarea zero, deoarece știm că nu vă puteți împărți pe 0.
După cum știm că hiperbolul este situat în 2 trimestre, luăm atât valori pozitive, cât și negative. Deci, luăm, de exemplu, valorile lui X, egale cu -6, -3, -1, 1, 3, 6.
Acum ne calculam obișnuit. Acest lucru este destul de simplu - înlocuim fiecare valoare a lui X în formula noastră originală: y \u003d 3 / -6; y \u003d 3 / -3; y \u003d 3 / -1; y \u003d 3/1; Y \u003d 3/3; y \u003d 3/6. Prin calcule matematice simple, obținem valori y de -0,5, -1, -3, 3, 1, 0,5.
Am avut 6 puncte cu coordonate. Pur și simplu amâne aceste puncte pe sistemul nostru de coordonate și am realizat fără probleme curbe așa cum se arată în figura de mai jos. Așa că am construit hiperbola.

După cum ați reușit să vă asigurați, nu este atât de dificil să construiți o hiperbolă. Trebuie doar să înțelegeți principiul și să rămâneți la prioritatea acțiunii. În urma sfaturilor și recomandărilor noastre, puteți construi cu ușurință nu numai hiperbola, ci o mulțime de alte grafice. Încercați, tren și veți lucra cu siguranță!

Definiție. Hyperbolul se numește locația geometrică a punctelor de avion în valoarea absolută a diferenței de distanță a fiecăruia dintre cele două puncte de date ale acestui plan, numită Focus Y Există o valoare constantă, cu condiția ca această valoare să nu fie zero și mai puțin decât distanța dintre focus.

Dentiți distanța dintre focalizarea printr-o valoare constantă egală cu modulul diferenței de distanță din fiecare punct de hiperboles pentru a se concentra, prin (cu condiție). Ca și în cazul unei elipse, axa Abscisa va efectua prin trucuri și la începutul coordonatelor, vom lua mijlocul segmentului (vezi figura 44). Focalizarea într-un astfel de sistem vor avea coordonate retrage ecuația hiperbolului în sistemul de coordonate selectat. Prin definiție, hiperbele au sau o au sau

Dar. Prin urmare, ajungem

După simplificări similare celor care au fost făcute în producția ecuației elipse, obținem următoarea ecuație:

care este o consecință a ecuației (33).

Este ușor de văzut că această ecuație coincide cu ecuația (27) obținută pentru o elipsă. Cu toate acestea, în ecuația (34), diferența este de atunci pentru hiperbele. Prin urmare, Putați

Apoi, ecuația (34) este dată următoarei formular:

Această ecuație se numește ecuația hiperbolului canonic. Ecuația (36), ca o consecință a ecuației (33), satisface coordonatele oricărui punct de hiperbles. Se poate demonstra că coordonatele punctelor care nu se află pe hiperbolă, ecuația (36) nu satisfac.

Stabilim forma hiperbolelor folosind ecuația canonică. Această ecuație conține doar grade chiar de coordonate curente. În consecință, hiperbolul are două axe de simetrie, în acest caz coincidând cu axele de coordonate. În axa suplimentară a simetriei, hiperbele vom numi axele hiperbolilor, iar punctul intersecției lor este centrul hiperbolelor. Axa hiperbolelor pe care se află focul se numește o axă focală. Explorăm forma de hiperbele în primul trimestru, unde

Aici, deoarece altfel aș lua valori imaginare. Ca o creștere a X de la A, crește de la 0 la o parte din hiperbolele situate în primul trimestru, va fi un ARC descris în fig. 47.

Deoarece hiperbolul este situat simetric față de axele de coordonate, atunci această curbă este vizualizată în fig. 47.

Punctele de intersecție ale hiperbolelor cu o axă focală se numesc vârfurile sale. Crezând în ecuația hiperbolului, vom găsi abscoarcerea vârfurilor sale :. Astfel, hiperbolul are două vârfuri :. Cu axa, ordonatele hiperbolului nu se intersectează. De fapt, punerea în ecuația hiperbolei obținem valori imaginare :. Prin urmare, axa focală a hiperbolelor se numește axă valabilă, iar axa de simetrie, perpendiculară pe axa focală, este o axă imaginară a hiperbolelor.

Axa reală este, de asemenea, numită un segment care leagă vârfurile hiperbolelor și lungimea sa 2A. Tăiați punctele de legătură (vezi figura 47), precum și lungimea sa se numește axa imaginară a hiperbolelor. Numerele A și B sunt numite, respectiv, semi-axele reale și imaginare ale hiperbolelor.

Luați în considerare acum hiperbola situată în trimestrul I și este un program de funcții

Arătăm că punctele acestui grafic, situate la o distanță destul de mare de la începutul coordonatelor, cât de ușor este de a direcționa

trecând prin originea coordonatelor și având un coeficient unghiular

În acest scop, luăm în considerare două puncte având aceeași abscisă și minciuni pe curba (37) și drepte (38) (figura 48) și s-au ridicat la diferența dintre ordnerii acestor puncte

Numeratorul acestei fracții este o valoare permanentă, iar numitorul crește pe o perioadă nedeterminată cu o creștere nelimitată. Prin urmare, diferența tinde la zero, adică, punctele M și N sunt nelimitate îndeaproape cu o creștere nelimitată a Abscisa.

Din simetrie, hiperbele în ceea ce privește axele coordonatelor rezultă că există o altă directă, la care există un punct arbitrar de hiperbele cu o distanță nelimitată de origine. Drept

numită Hyperbola Asymptotes.

În fig. 49 Localizarea reciprocă a hiperbolelor și asimptotes este indicată. În această figură, este, de asemenea, indicată cum să construim asimptote de hiperbele.

Pentru a face acest lucru, este necesar să se construiască un dreptunghi cu centrul la începutul coordonatelor și cu părțile paralele cu axele și, în consecință, egale. Acest dreptunghi este numit de bază. Fiecare dintre diagonalele sale, a continuat nelimitat în ambele direcții, este o asimptota de hiperbele. Înainte de construirea hiperbolelor, se recomandă construirea asimptotelor sale.

Raportul de jumătate din distanța dintre focalizarea pe hiperbele reale pe jumătate de axă se numește o excentricitate a hiperbolelor și este de obicei indicată de litera:

Deoarece pentru hiperbele, atunci hiperbolele de excentricitate sunt mai multe unități: excentricitatea caracterizează forma hiperbolelor

Într-adevăr, din formula (35) rezultă că. Se poate observa că cu cât este mai mică excentricitatea hiperbolelor,

cea mai mică atitudine este semi-axele sale. Dar relația - determină forma dreptunghiului principal al hiperbolelor și, prin urmare, forma hiperbolului în sine. Cu cât este mai mică excentricitatea hiperbolelor, cu atât mai mult dreptunghiul principal (în direcția axei focale).

Hyperbole și Parabola.

Du-te la a doua parte a articolului aproximativ linii de ordinul doidedicate altor două curbe comune - hyperball. și parabolă. Dacă ați intrat în această pagină de la motorul de căutare sau nu ați reușit încă să navigați în subiect, vă recomand mai întâi să studiați prima secțiune a lecției pe care am revizuit nu numai principalele momente teoretice, ci și elipsă. Restul cititorilor oferă să-și completeze în mod semnificativ cunoștințele școlare despre Parabola și Hyperbola. Hyperbole și parabola - este ușor? ... nu așteptați \u003d)

Hiperbolă și ecuația canonică

Structura generală a prezentării materiale se va asemăna cu paragraful anterior. Să începem cu conceptul general de hiperbolici și sarcini pentru construirea acestuia.

Ecuația canonică Hyperbole are o vedere în cazul în care există numere valide pozitive. Rețineți că, în contrast ellipses.Condiția nu este suprapusă aici, adică valoarea "A" poate fi mai mică decât valoarea "Fii".

Trebuie să spun, destul de neașteptat ... ecuația școlară a hiperbollasului și nu închide recordul canonic. Dar această ghicitoare încă mai așteaptă, dar pentru moment, răniți capul și amintiți-vă, ce caracteristici caracteristici curba în cauză este? Mă voi răspândi pe ecranul imaginației tale funcția de programare ….

Hyperball are două ramuri simetrice.

Hiperbolele sunt două asimptotes..

Progres bun! Orice hiperbolă are aceste proprietăți și acum suntem cu o admirație autentică de a privi la gâtul acestei linii:

Exemplul 4.

Construiți un hiperbalat dat de ecuație

Decizie: În primul pas vom prezenta această ecuație cu forma canonică. Rețineți procedura tipică. În dreapta, este necesar să se obțină o "unitate", astfel încât ambele părți ale ecuației inițiale sunt împărțite la 20:

Aici puteți tăia ambele fracțiuni, dar este mai bine să faceți fiecare dintre ele. trei etaje:

Și numai după aceea, efectuează o reducere:

Realizăm pătrate în numitori:

De ce este transformarea mai bine să petreceți în acest fel? La urma urmei, fracțiunea din partea stângă poate fi redusă imediat și obține. Faptul este că, în exemplul luând în considerare puțin noroc: numărul 20 este împărțit în 4 și pe 5. În general, un astfel de număr nu trece. Luați în considerare, de exemplu, ecuația. Aici, cu o divizibilitate, totul este mai trist și fără fracții cu trei etaje Nu mai face-o:

Deci, folosim fructele lucrărilor noastre - ecuația canonică:

Cum de a construi Hyperbola?

Există două abordări pentru construirea hiperbolurilor - geometrică și algebrică.
Din punct de vedere practic, întocmirea cu ajutorul unei circulații ... aș spune chiar utopanic, deci este mult mai profitabil să atragem calcule necorespunzătoare pentru salvare.

Este recomandabil să adere la următorul algoritm, mai întâi desenul finit, apoi comentariile:

1) În primul rând, găsim asimptotes.. Dacă hiperbolul este stabilit de ecuația canonică, atunci asimptote sunt drept . În cazul nostru: . Acest articol este obligatoriu! Aceasta este o trăsătură fundamentală a desenului și va fi o eroare brută dacă ramurile hiperbolului "ieși" pentru asimptotes.

2) Acum găsim două hiperbele de vârfcare sunt situate pe axa Abscisa la puncte . Acesta este eliminat elementar: dacă, ecuația canonică se transformă, de unde rezultă asta. Hyperbolul examinat are vârfuri

3) Căutăm puncte suplimentare. De obicei apucă 2-3. În poziția canonică a hiperbolului simetric în raport cu originea și ambele axe de coordonate, astfel calculele sunt suficiente pentru a fi efectuate pentru primul trimestru de coordonare. Tehnica este exact aceeași ca și atunci când clădirea ellipses.. Din ecuația canonică de pe Cernivik, exprimăm:

Ecuația se dezintegrează în două funcții:
- determină hiperbelele superioare ale arcului (ceea ce avem nevoie);
- Specifică hiperbelele cu arc inferior.

Sugerează găsirea de abscissiuni:

4) Deprimarea asimptotelor în desen , Vershins Puncte suplimentare și simetrice în alte sferturi de coordonate. Conectați cu atenție punctele corespunzătoare din fiecare ramură a hiperbolelor:

Dificultatea tehnică poate apărea cu irațional coeficientul unghiular Dar aceasta este o problemă complet depășită.

Secțiune Apel axa valabilă Hiperbele
Lungimea sa este distanța dintre vârfuri;
număr Apel valabilă jumătate secvență hiperboles;
număr – semi-axă imaginară.

În exemplul nostru: , și, evident, dacă această hiperborare se întoarce în jurul centrului de simetrie și / sau se deplasează, atunci aceste valori nu schimba.

Determinarea hiperbolelor. Focalizarea și excentricitatea

În hiperbele, la fel ca ellipses., numite două puncte speciale focus. Nu a spus, ci doar în caz, brusc cineva înțelege: centrul de simetrie și punctul de concentrare, desigur, nu aparțin curbelor.

Conceptul general de definiție este, de asemenea, similar:

Hiperboloc sunați la setul de toate punctele din avion, valoare absolută Diferențele la distanță față de fiecare dintre cele două puncte de date - există o valoare permanentă, numerică egală cu distanța dintre vârfurile acestei hiperbole :. În același timp, distanța dintre focalizare depășește lungimea axei valide :.

Dacă hiperbolul este setat de ecuația canonică, atunci distanța de la centrul simetriei la fiecare dintre focalizările Calculată prin formula :.
Și, în consecință, focul au coordonate .

Pentru hiperbele examinate:

Înțelegem în definiție. Denotă de distanțe de focus la un punct arbitrar de hiperbolici:

În primul rând, mutați mental punctul albastru pe ramura dreaptă a hiperbolului - oriunde suntem, modul (valoare absolută) a diferenței dintre lungimile segmentelor va fi aceeași:

Dacă punctul este "trecerea" pe ramura stângă și o mutați acolo, atunci această valoare va rămâne neschimbată.

Semnul modulului este necesar pentru motivul că diferența de lungime poate fi pozitivă și negativă. Apropo, pentru orice punct al ramurii corecte (Deoarece segmentul este mai scurt decât segmentul). Pentru orice punct al ramurii stângi, situația este exact opusul și .

Mai mult, având în vedere proprietățile evidente ale modulului, este indiferent, la ce să deduceți.

Asigurați-vă că în exemplul nostru, modulul acestei diferențe este cu adevărat egal cu distanța dintre vârfuri. Puneți mental punctul în vârful drept al hiperbolelor. Apoi: ceea ce trebuia să verifice.

Definiție . Hyperbolul este numit punct de vedere geometric, diferența dintre fiecare dintre care până la două puncte de date, numită Focus există o valoare permanentă

Luați sistemul de coordonate astfel încât focurile să se afle pe axa Abscisa, iar originea coordonatelor a împărtășit segmentul F 1 F 2 în jumătate (figura 30). Denotă f 1 f 2 \u003d 2c. Apoi f 1 (c; 0); F 2 (-C; 0)

MF 2 \u003d R2, MF 1 \u003d R1 - Hyperbole focală Radii.

Conform definiției hiperbolului R 1 - R2 \u003d Const.

Denotă-o prin 2a

Apoi R2 - R 1 \u003d ± 2A Deci:

=> ecuația canonică a hiperbolului

De la ecuația hiperbolului x și y în diplome chiar dacă punctul M 0 (x 0; Y 0) se află pe hiperbolă, atunci este, de asemenea, un punct m 1 (x 0; -u 0) m 2 (S 0; -Y 0) M 3 (S 0; -TH 0).

În consecință, hiperbolul este simetric în raport cu ambele axe coordonate.

La y \u003d 0 x 2 \u003d A 2 x \u003d ± A. Vârfurile hiperbolelor vor fi punctele A 1 (A; 0); A 2 (-a; 0).

. Datorită simetriei, cercetarea se desfășoară în trimestrul I

1) pentru
Are importanță imaginară, prin urmare, punctele de hiperbele cu abscissiuni
nu exista

2) la x \u003d a; Y \u003d 0 A 1 (A; 0) aparține hiperbolului

3) la x\u003e A; Y\u003e 0. În plus, cu o creștere nelimitată, ramura hiperbolului intră în infinit.

Rezultă că hiperbolul este o curbă constând din două ramuri infinite.

P 6. Hiperbele asimptote

Ia în considerare cu ecuația
Ecuația Direct.

LA riva se va culca sub linia dreaptă (figura 31). Luați în considerare punctul (x, y) și m (x, y) în care abscissul sunt aceleași și y - y \u003d mn. Ia în considerare lungimea segmentului MN

Găsi

Deci, dacă punctul M, care se deplasează de-a lungul hiperbolei în primul trimestru, este îndepărtat în infinit, apoi distanța de la linie
scade și se străduiește pentru zero.

În virtutea simetriei, aceeași proprietate are o dreaptă
.

Definiție. Direct la care
Curba este nelimitată care se apropie de asimptote.

ȘI
deci, ecuația asimptotelor de hiperbele
.

Hyperboardele asimptote sunt situate pe diagonalele dreptunghiului, o parte a cărei parte este paralelă cu axa OH și egală cu 2a, iar cealaltă paralelă cu axa OU și este 2V, iar centrul se află la începutul coordonatelor (Fig . 32).

P 7. Eccentricitatea și direcțiile Hyperboles

r2 - R 1 \u003d ± 2A Sign + se referă la ramura dreaptă a hiperbolelor

semn - aparține ramurii stângi a hiperbolelor

Definiție. O excentricitate a hiperbolelor se numește raportul la distanță între focul acestei hiperbole la distanța dintre vârfurile sale.

. Deoarece C\u003e A, ε\u003e 1

Express Hyperble Focal Radii prin excentricitate:

Definiție . Să numim drept
perpendicular pe axa focală a hiperbolelor și situată la distanță Din centrul său de către directoarele hiperbolice corespunzătoare focusului drept și stâng.

T.
aK ca și pentru hiperbele
În consecință, directorii hiperbolei sunt situați între vârfurile sale (fig.33). Arătăm că raportul dintre distanțele oricărui punct de hiperboles la focalizare și directorul corespunzător este o valoare permanentă și egală cu ε.

Parabola P. 8 și ecuația sa

DESPRE
raport. Parabola este o zonă geometrică a punctelor de echilibru din acest punct, numită focalizarea și dintr-un director numit direct.

Pentru a face ecuația parabolei, vom lua o linie dreaptă, trecând prin Focus F 1 perpendicular pe director și vom lua în considerare Axa X îndreptată de directorul focusului. Pentru începutul coordonatelor, luați mijlocul segmentului de la punctul F la această linie, a cărui lungime este indicată de P (Fig.34). Valoarea Punicii Parametrul Parabolei. Focus coordonate punct
.

Fie M (x, y) un punct arbitrar al parabolei.

Conform definiției

w. 2 \u003d 2PC - ecuația parabolei canonice

Pentru a determina tipul de parabolă, convertima ecuația sa
asta implică . În consecință, partea de sus a parabolei este la începutul coordonatelor, iar axa de simetrie a parabolei este OH. Ecuația în 2 \u003d -2pc cu p pozitivă este redusă la ecuația în 2 \u003d 2pc prin înlocuirea X pe-° și graficul său este legat (fig.35).

W.
egalitatea x 2 \u003d 2ru este o ecuație parabola cu un vârf într-un punct de (0), ale cărui ramuri sunt îndreptate în sus.

h.
2 \u003d -2ru - Ecuația parabolei cu centrul de la începutul coordonatelor simetrice cu privire la axa ramurii care sunt direcționate în jos (figura 36).

Parabola este o axă de simetrie.

Dacă X este primul grad, iar în al doilea rând, axa de simetrie este X.

Dacă X este al doilea, iar în primul rând, axa de simetrie are o axă Au.

Nota 1. Parabola ecuația de regizie a parabolei are punctul de vedere
.

Nota 2. În ceea ce privește parabola. T.ε Parabola este 1.ε = 1 .