Tipul locului de muncă: 13
Stare
O) Rezolvați ecuația 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].
Arată soluțiaSoluţie
O) Deschizând parantezele și mutând toți termenii în partea stângă, obținem ecuația 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Avand in vedere ca \cos x \neq 0, termenul 2 \sin x poate fi inlocuit cu 2 tan x \cos x, se obtine ecuatia 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,
1) care prin grupare se poate reduce la forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0. 1-tg x=0, tan x=1,
2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,
b) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. Folosind cercul numeric, selectați rădăcinile aparținând intervalului
\left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
O) Răspuns \frac\pi 4+\pi n,
b) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3,
Tipul locului de muncă: 13
\frac(9\pi )4.
Stare
O) Subiect: Interval de valori permis (APV) Rezolvați ecuația
b)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0. Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului
Arată soluțiaSoluţie
O)\left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ; ODZ:
\begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)
Ecuația originală de pe ODZ este echivalentă cu un set de ecuații
\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(matrice)\dreapta. Să rezolvăm prima ecuație. Pentru a face acest lucru, vom face o înlocuire \cos 4x=t, t \in [-1; 1].
Atunci \sin^24x=1-t^2.
Primim:
2(1-t^2)-3t=0, 2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12,
t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.
Să rezolvăm a doua ecuație.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
Folosind cercul unitar, găsim soluții care satisfac ODZ. Semnul „+” marchează sferturile 1 și 3, în care tg x>0. Se obține: x=\pi k, k \in \mathbb Z;
b) x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
.png)
Să găsim rădăcinile aparținând intervalului \left(0;\,\frac(3\pi )2\right]. x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ;
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
O) x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12). \pi k, k \in \mathbb Z;
b) \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12);
Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivel de profil" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Tipul locului de muncă: 13
\frac(9\pi )4.
Stare
O) Rezolvați ecuația: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
b) Enumerați toate rădăcinile care aparțin intervalului \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].
Arată soluțiaSoluţie
O) Deoarece \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Că \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Aceasta înseamnă că ecuația dată este echivalentă cu ecuația \cos^2x=\cos ^22x, care, la rândul său, este echivalentă cu ecuația \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Dar \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)Şi
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, deci ecuația devine
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Atunci fie 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, fie 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Rezolvând prima ecuație ca o ecuație pătratică pentru \cos x, obținem:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Prin urmare fie \cos x=1 fie \cos x=-\frac12. Dacă \cos x=1, atunci x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Dacă \cos x=-\frac12, Că x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
În mod similar, rezolvând a doua ecuație, obținem fie \cos x=-1, fie \cos x=\frac12. Dacă \cos x=-1, atunci rădăcinile x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Dacă \cos x=\frac12, Că x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Să combinăm soluțiile obținute:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
b) Să selectăm rădăcinile care se încadrează într-un interval dat folosind un cerc numeric.
Primim: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
O) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.
Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Tipul locului de muncă: 13
\frac(9\pi )4.
Stare
O) Subiect: Interval de valori permis (APV) 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).
Arată soluțiaSoluţie
O) 1. Conform formulei de reducere, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Domeniul de definire al ecuației va fi astfel de valori ale lui x astfel încât \cos x \neq 0 și tan x \neq -1. Să transformăm ecuația folosind formula cosinusului cu unghi dublu 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Obținem ecuația:
5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx). Rețineți că \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), deci ecuația devine: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). De aici \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),
\cos x+\sin x =\frac65. \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
De aici \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Mijloace, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
sau x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
De aceea x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
sau x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Valorile găsite ale lui x aparțin domeniului definiției.
b) Să aflăm mai întâi unde cad rădăcinile ecuației la k=0 și t=0. Acestea vor fi numere în consecință a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 Şi
b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.
1. Să demonstrăm inegalitatea auxiliară:<\frac{3\sqrt 2}2<1.
\frac(\sqrt 2)(2) într-adevăr,<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
\frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10) De asemenea, rețineți că<1^2=1, \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25) Mijloace<1.
\frac(3\sqrt 2)5 (1) 2. Din inegalităţi
Prin proprietatea arccosinus obținem: 0 De aici arccos 1<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 \frac\pi 4+0 De asemenea, -\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 \frac\pi 4 Pentru k=-1 și t=-1 obținem rădăcinile ecuației a-2\pi și b-2\pi. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). În același timp -2\pi \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right). Pentru alte valori ale lui k și t, rădăcinile ecuației nu aparțin intervalului dat. Într-adevăr, dacă k\geqslant 1 și t\geqslant 1, atunci rădăcinile sunt mai mari decât 2\pi. O) Dacă k\leqslant -2 și t\leqslant -2, atunci rădăcinile sunt mai mici b) -\frac(7\pi )2. Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Tipul locului de muncă: 13 O) Subiect: Interval de valori permis (APV) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z; b)-\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5. O)\sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x). Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului ; Să transformăm ecuația: \cos x =-\sin 2x, \cos x+2 \sin x \cos x=0, \cos x(1+2 \sin x)=0, \cos x=0, x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z; 1+2 \sin x=0, b)\sin x=-\frac12, x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. Găsim rădăcinile aparținând segmentului folosind cercul unitar. O) Intervalul indicat conține un singur număr \frac\pi 2. b) Găsim rădăcinile aparținând segmentului folosind cercul unitar. Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Tipul locului de muncă: 13 O) Subiect: Interval de valori permis (APV) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; b)(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; \frac(\sin x-1)(1+\cos 2x)=\frac(\sin x-1)(1+\cos (\pi +x)). O) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului \left[ -\frac(3\pi )(2); -\frac(\pi )2 \right]. Să găsim ecuația ODZ:\cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; De aici ODZ: Setul rezultat de valori x nu este inclus în ODZ. Mijloace, \sin x \neq 1. Împărțiți ambele părți ale ecuației cu un factor (\sin x-1), diferit de zero. Obținem ecuația \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), sau ecuație 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Aplicând formula de reducere în partea stângă și formula de reducere în dreapta, obținem ecuația 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Această ecuație este prin substituție \cos x=t, Unde -1 \leqslant t \leqslant 1 reduceți-l la pătrat: 2t^2+t-1=0, ale căror rădăcini t_1=-1 a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 t_2=\frac12. Revenind la variabila x, obținem \cos x = \frac12 sau \cos x=-1, unde x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z. b) Să rezolvăm inegalitățile 1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , 2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z. 1)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12). \left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right]. 2)
-\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). Nu există numere întregi în interval \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\dreapta]. 3)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34. Această inegalitate este satisfăcută de k=-1, apoi x=-\pi. O) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z; b) -\pi . Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. (\sin x-\cos 2x)\cdot (\sin x+\cos 2x) și \cos 2x=1-2 \sin ^2 x, deci ecuația va lua forma (\sin x-(1-2 \sin ^2 x))\,\cdot(\sin x+(1-2 \sin ^2 x))=0, (2 \sin ^2 x+\sin x-1)\,\cdot (2 \sin ^2 x-\sin x-1)=0. Atunci fie 2 \sin ^2 x+\sin x-1=0, fie 2 \sin ^2 x-\sin x-1=0. Să rezolvăm prima ecuație ca o ecuație pătratică în raport cu \sin x, (\sin x)_(1,2)=\frac(-1 \pm \sqrt 9)4=\frac(-1 \pm 3)4. Prin urmare fie \sin x=-1 fie \sin x=\frac12. Dacă \sin x=-1, atunci x=\frac(3\pi )2+ 2k\pi , k \in \mathbb Z. Dacă \sin x=\frac12, fie x=\frac\pi 6 +2s\pi , s \in \mathbb Z, sau x=\frac(5\pi )6+2t\pi , t \in \mathbb Z. În mod similar, rezolvând a doua ecuație, obținem fie \sin x=1, fie \sin x=-\frac12. Apoi x =\frac\pi 2+2m\pi , m\in \mathbb Z, sau x=\frac(-\pi )6 +2n\pi , n \in \mathbb Z, sau x=\frac(-5\pi )6+2p\pi , p \in \mathbb Z. Să combinăm soluțiile obținute: x=\frac\pi 2+m\pi,m\in\mathbb Z; x=\pm\frac\pi 6+s\pi,s \in \mathbb Z. b) Să selectăm rădăcinile care se încadrează într-un interval dat folosind un cerc numeric. Primim: x_1 =\frac(7\pi )2, x_2 =\frac(23\pi )6, x_3 =\frac(25\pi )6. O) \frac\pi 2+ m\pi , m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 6 +s\pi , s \in \mathbb Z; b) \frac(7\pi )2;\,\,\frac(23\pi )6;\,\,\frac(25\pi )6. În primul rând, să învățăm cum să găsim domeniul de definire a sumei funcţiilor. Este clar că o astfel de funcție are sens pentru toate astfel de valori ale variabilei pentru care au sens toate funcțiile care alcătuiesc suma. Prin urmare, nu există nicio îndoială cu privire la validitatea următoarei afirmații: Dacă o funcție f este suma n funcții f 1, f 2, …, f n, adică funcția f este dată de formula y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) ), atunci domeniul de definire al funcției f este intersecția domeniilor de definiție ale funcțiilor f 1, f 2, ..., f n. Să scriem asta ca . Să fim de acord să folosim în continuare intrări similare ultimei, prin care înțelegem scrise în interiorul unei acolade, sau îndeplinirea simultană a oricăror condiții. Acest lucru este convenabil și rezonează destul de natural cu semnificația sistemelor. Exemplu. Este dată funcția y=x 7 +x+5+tgx și trebuie să-i găsim domeniul de definiție. Soluţie. Funcția f este reprezentată prin suma a patru funcții: f 1 - funcție putere cu exponentul 7, f 2 - funcție putere cu exponentul 1, f 3 - funcție constantă și f 4 - funcție tangentă. Privind tabelul de domenii de definire a funcțiilor elementare de bază, constatăm că D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞), D(f 3)= (−∞, +∞), iar domeniul de definiție al tangentei este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția numerelor Domeniul de definire al funcției f este intersecția domeniilor de definire a funcțiilor f 1, f 2, f 3 și f 4. Este destul de evident că acesta este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția numerelor Răspuns: multimea tuturor numerelor reale cu exceptia Să trecem la găsirea domeniul de definire a unui produs de funcții. În acest caz, se aplică o regulă similară: Dacă funcția f este produsul n funcții f 1, f 2, ..., f n, adică funcția f este dată de formula y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), atunci domeniul de definire al funcției f este intersecția domeniilor de definire a funcțiilor f 1, f 2, ..., f n. Deci, . Acest lucru este de înțeles, în zona indicată sunt definite toate funcțiile produsului și, prin urmare, funcția f în sine. Exemplu. Y=3·arctgx·lnx . Soluţie. Structura părții din dreapta a formulei care definește funcția poate fi considerată ca f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), unde f 1 este o funcție constantă, f 2 este funcția arctangentă și f 3 este o funcție logaritmică cu baza e. Știm că D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) și D(f 3)=(0, +∞) . Apoi Răspuns: Domeniul de definiție al funcției y=3·arctgx·lnx este mulțimea tuturor numerelor pozitive reale. Să ne concentrăm separat pe găsirea domeniului de definiție al unei funcții dat de formula y=C·f(x), unde C este un număr real. Este ușor de arătat că domeniul de definire al acestei funcții și domeniul de definire al funcției f coincid. Într-adevăr, funcția y=C·f(x) este produsul dintre o funcție constantă și o funcție f. Domeniul unei funcții constante este mulțimea tuturor numerelor reale, iar domeniul unei funcții f este D(f) . Atunci domeniul de definiție al funcției y=C f(x) este Deci, domeniile de definiție ale funcțiilor y=f(x) și y=C·f(x), unde C este un număr real, coincid. De exemplu, domeniul de definire al rădăcinii este , devine clar că D(f) este mulțimea tuturor x din domeniul de definire al funcției f 2 pentru care f 2 (x) este inclus în domeniul definiției a funcţiei f 1 . Astfel, domeniul de definire a unei funcții complexe y=f 1 (f 2 (x)) este intersecția a două mulțimi: mulțimea tuturor x astfel încât x∈D(f 2) și mulțimea tuturor acestor x pentru care f 2 (x)∈D(f 1) . Adică în notația pe care am adoptat-o Să ne uităm la câteva exemple de soluții. Nu vom descrie procesul în detaliu, deoarece acesta depășește scopul acestui articol. Exemplu. Aflați domeniul de definiție al funcției y=lnx 2 . Soluţie. Funcția originală poate fi reprezentată ca y=f 1 (f 2 (x)), unde f 1 este un logaritm cu baza e și f 2 este o funcție de putere cu exponent 2. Revenind la domeniile cunoscute de definire a principalelor funcții elementare, avem D(f 1)=(0, +∞) și D(f 2)=(−∞, +∞) . Apoi Deci am găsit domeniul de definire al funcției de care aveam nevoie, este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția zero. Răspuns: (−∞, 0)∪(0, +∞)
. Exemplu. Care este domeniul unei funcții Soluţie. Această funcție este complexă, poate fi considerată ca y=f 1 (f 2 (x)), unde f 1 este o funcție de putere cu exponent și f 2 este funcția arcsinus și trebuie să găsim domeniul său de definiție. Să vedem ce știm: D(f 1)=(0, +∞) și D(f 2)=[−1, 1] . Rămâne să găsim intersecția mulțimilor de valori x astfel încât x∈D(f 2) și f 2 (x)∈D(f 1) : Pentru arcsinx>0, amintiți-vă proprietățile funcției arcsinus. Arcsinusul crește pe întregul domeniu al definiției [−1, 1] și ajunge la zero la x=0, prin urmare, arcsinx>0 pentru orice x din intervalul (0, 1] . Să revenim la sistem: Astfel, domeniul necesar de definire al funcției este semi-intervalul (0, 1). Răspuns: (0, 1]
. Acum să trecem la funcții complexe de forma generală y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Domeniul de definire al funcției f în acest caz se găsește ca Exemplu. Găsiți domeniul unei funcții Soluţie. O funcție complexă dată poate fi scrisă ca y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), unde f 1 – sin, f 2 – funcție rădăcină de gradul al patrulea, f 3 – log. Știm că D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪)
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
\frac(9\pi )4.Stare
Soluţie
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
\frac(9\pi )4.Stare
Soluţie
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
...
.
, care este ceea ce trebuia arătat.
(acesta este în esență un sistem de inegalități).
?
.
.