Formula generală pentru ecuația sinusului. Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

14.10.2019

Respectarea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Citiți politica noastră de confidențialitate și ne informați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

În conformitate cu informațiile personale este supusă datelor care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a comunica cu acesta.

Puteți fi solicitat să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când vă conectați cu noi.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi astfel de informații.

Ce informații personale colectăm:

Când lăsați o aplicație pe site, putem colecta diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Așa cum folosim informațiile dvs. personale:

Am colectat informații personale ne permite să vă contactăm și să raportăm cu privire la propuneri, promoții și alte evenimente și cele mai apropiate evenimente.
Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
De asemenea, putem folosi informații personalizate în scopuri interne, cum ar fi audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile serviciilor noastre și pentru a vă oferi recomandări pentru serviciile noastre.
Dacă participați la premiile, concurența sau evenimentul de stimulare similar, putem utiliza informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. la terțe părți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în proces și / sau pe baza interogărilor publice sau a cererilor de către organismele de stat pe teritoriul Federației Ruse - pentru a vă dezvălui informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă definim că o astfel de divulgare este necesară sau adecvată în scopul securității, menținând legea și ordinea sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
În cazul reorganizării, fuziunilor sau vânzărilor, putem transmite informațiile personale pe care le colectăm corespunzătoare părții terțe - un succesor.

Protecția informațiilor personale

Facem măsuri de precauție - inclusiv administrativ, tehnic și fizic - pentru a vă proteja informațiile personale de la pierderea, furtul și utilizarea lipsită de scrupule, precum și de la accesul neautorizat, dezvăluire, schimbări și distrugere.

Respectarea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a vă asigura că informațiile dvs. personale sunt sigure, aducem norma confidențialității și securității angajaților noștri și respectăm cu strictețe executarea măsurilor de confidențialitate.

Lecția pentru aplicarea integrată a cunoașterii.

Obiective lecție.

Luați în considerare diferitele metode de soluție ecuații trigonometrice..
Dezvoltarea abilităților creative ale studenților prin rezolvarea ecuațiilor.
Promovarea elevilor la auto-control, interconectată, auto-analiza activităților sale de studiu.

Echipamente: ecran, proiector, material de referință.

În timpul clasei

Conversație introductivă.

Principala metodă de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice este informația mai simplă. În acest caz, se utilizează metode obișnuite, de exemplu, descompunerea multiplicatorilor, precum și tehnicile utilizate numai pentru a rezolva ecuațiile trigonometrice. Aceste tehnici sunt destul de multe, de exemplu, diverse substituții trigonometrice, conversia unghiurilor, conversia funcții trigonometrice. Aplicarea dezordonată a oricăror transformări trigonometrice nu simplifică ecuația și face dificilă dezastruos. Pentru a lucra în termeni generali, planul de soluții de ecuații, schițând calea ecuației cu cel mai simplu, trebuie să analizeze mai întâi unghiurile - argumentele funcțiilor trigonometrice incluse în ecuație.

Astăzi vom vorbi despre metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Metoda selectată corect vă permite adesea să simplificați în mod semnificativ soluția, deci toate metodele pe care le-am învățat întotdeauna trebuie să-și păstreze atenția în zonă pentru a rezolva ecuațiile trigonometrice cea mai potrivită metodă.

II. (Cu ajutorul proiectorului, repetăm \u200b\u200bmetodele de rezolvare a ecuațiilor.)

1. Metoda de aducere a ecuației trigonometrice la algebrică.

Este necesar să se exprime toate funcțiile trigonometrice prin unul, cu același argument. Acest lucru se poate face cu ajutorul principalului identitate trigonometrică și a consecințelor acestuia. Obținem ecuație cu o funcție trigonometrică. După ce am acceptat-o \u200b\u200bpentru un nou necunoscut, obținem o ecuație algebrică. Considerăm rădăcinile și întoarcerea la vechea necunoscută, rezolvând cele mai simple ecuații trigonometrice.

2. Metoda de descompunere a multiplicatorilor.

Pentru a schimba colțurile, formulele, sumele și diferențele de argumente, precum și formula pentru transformarea cantității (diferența) a funcțiilor trigonometrice în lucrare și invers, sunt adesea utile.

sIN X + SIN 3X \u003d SIN 2X + SIN4X

3. Metoda de introducere a unui unghi suplimentar.

4. Metoda de utilizare a unei substituții universale.

Ecuațiile formei F (Sinx, Cosx, TGX) \u003d 0 sunt reduse la algebrice cu ajutorul unei substituții trigonometrice universale

Exprimând sinusul, cosinul și tangentul printr-un tangent jumătate de unghi. Această tehnică poate duce la ecuația de înaltă ordine. A căror soluție este dificilă.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

În conformitate cu informațiile personale este supusă datelor care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a comunica cu acesta.

Puteți fi solicitat să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când vă conectați cu noi.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi astfel de informații.

Ce informații personale colectăm:

Când lăsați o aplicație pe site, putem colecta diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Așa cum folosim informațiile dvs. personale:

Am colectat informații personale ne permite să vă contactăm și să raportăm cu privire la propuneri, promoții și alte evenimente și cele mai apropiate evenimente.
Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
De asemenea, putem folosi informații personalizate în scopuri interne, cum ar fi audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile serviciilor noastre și pentru a vă oferi recomandări pentru serviciile noastre.
Dacă participați la premiile, concurența sau evenimentul de stimulare similar, putem utiliza informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. la terțe părți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în proces și / sau pe baza interogărilor publice sau a cererilor de către organismele de stat pe teritoriul Federației Ruse - pentru a vă dezvălui informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă definim că o astfel de divulgare este necesară sau adecvată în scopul securității, menținând legea și ordinea sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
În cazul reorganizării, fuziunilor sau vânzărilor, putem transmite informațiile personale pe care le colectăm corespunzătoare părții terțe - un succesor.

Protecția informațiilor personale

Respectarea confidențialității la nivelul companiei

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Introducere 2.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice 5

Algebrică 5.

Rezolvarea ecuațiilor folosind egalitatea acelorași funcții trigonometrice 7

Descompunerea indounătoare 8.

Aducerea la o ecuație omogenă 10

Introducerea unghiului auxiliar 11

Transformarea lucrării în valoare de 14

Substituția universală 14.

Concluzie 17.

Introducere

Până la clasa a zecea, procedura de acțiuni a multor exerciții care conduc la obiectiv este ca o regulă definită în mod unic. De exemplu, ecuații liniare și pătrate și inegalități, ecuații fracționate și ecuații menționate în pătrat și altele asemenea. Fără vizualizarea în detaliu, principiul soluționării fiecăruia dintre exemplele menționate, observăm că generalul este necesar pentru decizia lor de succes.

În cele mai multe cazuri, este necesar să se stabilească modul în care tipul de sarcină este de a reaminti secvența de acțiuni care duc la obiectiv și de a îndeplini aceste acțiuni. Evident, succesul sau eșecul elevului în mastering Metodele de rezolvare a ecuațiilor depinde în principal de cât de mult va fi capabil să determine corect tipul de ecuație și să reaminați secvența tuturor etapelor soluției sale. Desigur, se presupune că elevul deține abilitățile de execuție transformări identice și calcule.

O situație complet diferită se obține atunci când școala este găsită cu ecuații trigonometrice. În acest caz, stabiliți faptul că ecuația este trigonometrică, nu este dificilă. Dificultățile apar atunci când ordinea acțiunilor ar fi condus la un rezultat pozitiv. Și aici, în fața elevului, există două probleme. De aspect Ecuațiile sunt dificil de determinat tipul. Nu știu tipul, este aproape imposibil să alegeți formula dorită de mai multe duzini disponibile.

Pentru a ajuta elevii să găsească un drum drept într-un labirint complex de ecuații trigonometrice, ele introduc în primul rând ecuațiile care, după introducerea unei noi variabile, sunt date pătratului. Apoi rezolvați ecuațiile omogene și ducerea la ei. Totul se încheie, de regulă, prin ecuații, pentru a rezolva pe care partea stângă trebuie să fie descompusă pe multiplicatori, echivalând fiecare dintre multiplicatori la zero.

Înțelegerea faptului că nu sunt clar dezasamblate în mod clar în lecțiile de un an și jumătate de a pune un student în înot independent pe "marea" trigonometrică, profesorul adaugă mai multe recomandări de la sine.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercați:

Creați toate funcțiile ecuației în "aceleași colțuri";

Aduceți ecuația la "funcții identice";

Expediați partea stângă a ecuațiilor din fabrică etc.

Dar, în ciuda cunoașterii tipurilor de bază de ecuații trigonometrice și mai multe principii pentru căutarea soluției lor, mulți studenți sunt încă într-un sfârșit mort înainte de fiecare ecuație, puțin diferită de cele care au fost rezolvate mai devreme. Rămâne neclar ce ar trebui să se străduiască, având această ecuație, de ce într-un caz este necesar să se utilizeze formulele unghiului dublu, în cealaltă jumătate și în a treia formule de adăugare etc.

Definiție 1. Trigonometrica se numește ecuația în care necunoscutul este conținut sub semnul funcțiilor trigonometrice.

Definiția 2. Se spune că în ecuația trigonometrică aceleași unghiuri, dacă toate funcțiile trigonometrice incluse în el au argumente egale. Se spune că în ecuația trigonometrică aceleași funcții, dacă conține doar una dintre funcțiile trigonometrice.

Definiția 3. Gradul de funcții trigonometrice cu o singură aripă se numește suma gradelor funcțiilor trigonometrice incluse în acesta.

Definiție 4. Ecuația este numită omogenă dacă toți sunt desfăcuți în el, au același grad. Acest grad se numește ordinea ecuației.

Definiție 5. Ecuația trigonometrică care conține numai funcții păcat. și cos., Se numește omogenă dacă toată lumea este lipsită de ambiguitate față de funcțiile trigonometrice au același grad, iar funcțiile trigonometrice au colțuri egale și numărul de numere de o singură aripă 1 mai mare decât ordinea ecuației.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Soluția ecuațiilor trigonometrice constă din două etape: conversia ecuației de a obține cea mai simplă tip și soluția ecuației trigonometrice mai sus. Există șapte metode majore pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I.. Metoda algebrică. Această metodă este bine cunoscută din algebră. (Metoda variabilă de înlocuire și substituție).

Rezolvați ecuațiile.

Introducem desemnarea x.=2 păcat.3 t., obține

Prin hotărârea acestei ecuații, obținem:
sau

acestea. pot fi înregistrate

Când înregistrați soluția obținută datorită prezenței semnelor putere
NOTETURI nu are sens.

Răspuns:

Denota

A primi ecuația patrată
. Rădăcinile sale sunt numere
și
. Prin urmare, această ecuație este redusă la cele mai simple ecuații trigonometrice
și
. Rezolvarea lor, găsiți asta
sau
.

Răspuns:
;
.

Denota

Nu satisface condiția

Asa de

Răspuns:

Transformăm partea stângă a ecuației:

Astfel, această ecuație inițială poate fi scrisă ca:

Notat
, obține
Prin decizia acestei ecuații pătrate, avem:

Nu satisface condiția

Noi scriem soluția ecuației sursei:

Răspuns:

Substituţie
a redus ecuația cu ecuația pătrată
. Rădăcinile sale sunt numere
și
. La fel de
, Ecuația rădăcină specificată nu are.

Răspuns: Nu există rădăcini.

II.. Rezolvarea ecuațiilor folosind condiția de egalitate a acelorași funcții trigonometrice.

dar)
, în cazul în care un

b)
, în cazul în care un

în)
, în cazul în care un

Folosind aceste condiții, luați în considerare soluția următoarelor ecuații:

Folosind cele din paragraful a) Obținem că ecuația are o soluție în acest sens și numai când
.

Rezolvarea acestei ecuații, găsim
.

Avem două grupuri de soluții:

.

7) Rezolvarea ecuației:
.

Folosind condiția de paragraf b) depunem acest lucru
.

Rezolvarea acestor ecuații pătrate, obținem:

8) Rezolvați ecuația
.

Din această ecuație, prezentăm asta. Decizia acestei ecuații pătrate, găsiți asta

.

III.. Factorizare.

Această metodă este luată în considerare pe exemple.

9) Rezolvați ecuația
.

Decizie. Mutați toți membrii ecuației stângi :.

Convertiți și descompunem expresia asupra facilităților din partea stângă a ecuației:
.

1)
2)

pentru că
și
Nu luați valoare zero

În același timp, împărțim ambele părți

ecuații la.
,

Răspuns:

10) Rezolva ecuația:

Decizie.

Răspuns:

11) Rezolvați ecuația

Decizie:

1)
2)
3)

Răspuns:

IV.. Aducând o ecuație omogenă.

Pentru a rezolva o ecuație omogenă necesară:

Transferați toți membrii săi în partea stângă;

Face toți factorii generali pentru paranteze;

Echivalează toți multiplicatori și paranteze la zero;

Parantezele egale cu zero dau o ecuație omogenă într-o măsură mai mică pentru a fi împărțită în
(sau
) la gradul ridicat;

Rezolvați relativa ecuației algebrice rezultate
.

Luați în considerare exemplele:

12) Rezolvarea ecuației:

Decizie.

Împărțim ambele părți ale ecuației
,

Introducerea denumirilor
Nume

rădăcini de această ecuație:

de aici 1)
2)

Răspuns:

13) Rezolvarea ecuației:

Decizie. Folosind formulele cu unghi dublu și principala identitate trigonometrică, dați această ecuație la jumătate argument:

După aducerea unor termeni similari, avem:

Împărțind ultima ecuație omogenă
, obține

Notă
, avem o ecuație pătrată
ale căror rădăcini sunt numere

În acest fel

Expresie
tras la zero când
. pentru
,
.

Soluția ecuației obținute de noi nu include numărul de numere.

Răspuns:
, .

V.. Introducerea unghiului auxiliar.

Luați în considerare ecuația de vizionare

Unde a, B, C - coeficienți x. - Necunoscut.

Împărțim ambele părți ale acestei ecuații

Acum, coeficienții ecuației au proprietățile sinusului și a cosiniei, și anume: modulul fiecăruia nu depășește unitatea, iar suma pătratelor lor este egală cu 1.

Apoi le puteți desemna în consecință
(Aici - unghiul auxiliar) și ecuația noastră ia forma :.

Atunci

Și decizia lui

Rețineți că denumirile introduse sunt reciproc înlocuibile.

14) Rezolvarea ecuației:

Decizie. Aici
, așa că împărțim ambele părți ale ecuației

Răspuns:

15) Rezolvați ecuația

Decizie. La fel de
, atunci această ecuație este echivalentă cu ecuația

La fel de
Apoi, există un astfel de unghi
,
(acestea.
).

Avea

La fel de
, Am obținut în sfârșit:

Rețineți că ecuația speciei are o soluție atunci și numai când

16) Rezolva ecuația:

Pentru a rezolva această ecuație, funcții trigonometrice grupate cu aceleași argumente

Am împărțit ambele părți ale ecuației pentru două

Transformăm suma funcțiilor trigonometrice în lucrare:

Răspuns:

VI.. Transformarea lucrării în sumă.

Iată formule adecvate.

17) Rezolvarea ecuației:

Decizie. Transformăm partea stângă în cantitate:

VII.Substituire universală.

aceste formule sunt adevărate pentru toți

Substituţie
numit universal.

18) Rezolvarea ecuației:

Soluție: Înlocuiți și
pe expresia lor prin
Și denotă
.

Avem o ecuație rațională
care este transformată într-un pătrat
.

Rădăcinile acestei ecuații sunt numere
.

Prin urmare, sarcina a fost redusă la rezolvarea a două ecuații
.

Noi găsim că
.

Valoarea tipului.
Ecuația sursă nu satisface ceea ce este verificat prin cec - înlocuirea acestei valori. t. În ecuația inițială.

Răspuns:
.

Cometariu. Ecuația 18 ar putea fi rezolvată într-un mod diferit.

Împărțăm ambele părți ale acestei ecuații la 5 (adică
):
.

La fel de
Apoi, există un astfel de număr
, ce
și
. Prin urmare, ecuația ia forma:
sau
. De aici găsim asta
Unde
.

19) Rezolvați ecuația
.

Decizie. De la funcții
și
avea cea mai mare valoareegal cu 1, atunci suma lor este de 2, dacă
și
, în același timp, adică
.

Răspuns:
.

La rezolvarea acestei ecuații, au fost utilizate funcții limitate și.

Concluzie.

Lucrul la tema "Soluții de ecuații trigonometrice" fiecărui profesor este util să îndeplinească următoarele recomandări:

Sistematizează metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Alegeți-vă pași pentru a efectua analiza ecuației și a semnelor de oportunitate de utilizare a uneia sau a unei alte metode de soluție.

Gândiți-vă la metodele de auto-control asupra activităților lor de implementare a metodei.

Învață să compileze "lor" ecuațiile pentru fiecare dintre metodele studiate.

Anexa nr. 1.

Să decidă omogene sau să conducă la o ecuație omogenă.

1.	OT.
	OT.

	OT.
5.	OT.
	OT.
7.	OT.
	OT.

Ecuații trigonometrice - subiectul nu este cel mai simplu. Ei îi rănesc divers.) De exemplu, astfel:

sIN 2 X + COS3X \u003d CTG5X

păcat (5x + π / 4) \u003d CTG (2x-π / 3)

sINX + COS2X + TG3X \u003d CTG4X

Etc ...

Dar aceștia (și toți ceilalți) monștrii trigonometrici au două caracteristici comune și obligatorii. Primul - nu veți crede - funcțiile trigonometrice sunt prezente în ecuații.) Al doilea: toate expresiile cu Xom sunt situate în cadrul acestor funcții. Și numai acolo! Dacă XE apare undeva in afara, de exemplu, sIN2X + 3X \u003d 3, Aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Aceste ecuații necesită o abordare individuală. Aici nu le vom lua în considerare.

Ecuații rele în această lecție nu vom decide.) Aici ne vom ocupa pur și simplu ecuații trigonometrice simple. De ce? Da, pentru că decizia orice Ecuațiile trigonometrice constă din două etape. În prima etapă, ecuația rea \u200b\u200bde cele mai diferite transformări se reduce la simplu. În al doilea rând - aceasta este cea mai simplă ecuație. Nici o alta cale.

Deci, dacă aveți probleme în a doua etapă - prima etapă nu are sens.)

Ce arată ecuațiile trigonometrice elementare?

sinx \u003d A.

cosx \u003d A.

tGX \u003d A.

cTGX \u003d A.

Aici dar Indică orice număr. Orice.

Apropo, în interiorul funcției poate să nu fie pură x, dar o anumită expresie, tastați:

cOS (3x + π / 3) \u003d 1/2

etc. Aceasta complică viața, dar nu afectează metoda de rezolvare a ecuației trigonometrice.

Cum de a rezolva ecuațiile trigonometrice?

Ecuațiile trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Primul mod: folosind cercul logic și trigonometric. Vom analiza aici aici. A doua modalitate este de a utiliza memoria și formulele - ia în considerare în următoarea lecție.

Primul mod este clar, fiabil și este dificil de uitat.) Este bine pentru rezolvarea și ecuațiile trigonometrice și inegalitățile și tot felul de exemple non-standard. Logic memorie mai puternică!)

Rezolvăm ecuațiile folosind un cerc trigonometric.

Pornim logica elementară și capacitatea de a folosi cercul trigonometric. Nu știu cum!? Cu toate acestea ... dificil pentru tine în trigonometrie va avea ...), dar nu probleme. Aruncă o privire în lecțiile "Cercul trigonometric ...... Ce este?" Și "numără colțurile pe cercul trigonometric". Totul este simplu acolo. Spre deosebire de manuale ...)

Oh stii tu!? Și chiar a stăpânit "munca practică cu un cerc trigonometric"!? Dați felicitări. Acest subiect va fi aproape și ușor de înțeles pentru dvs.) Ce este deosebit de mulțumit, cercul trigonometric este indiferent la ce ecuație vă decideți. Sinus, Kosinus, Tangent, Kothanns - totul este unul. Principiul deciziei una.

Aici luăm orice ecuație trigonometrică elementară. Cel puțin acest lucru:

cosx \u003d 0,5.

Trebuie să găsim X. Dacă vorbim limba umană, aveți nevoie găsiți unghiul (X), al cărui cosin este 0.5.

Cum am folosit anterior cercul? Am pictat un unghi pe el. În grade sau radiani. Și imediat videli. Funcțiile trigonometrice ale acestui unghi. Acum vom face dimpotrivă. Desenați o cosinie pe un cerc, egală cu 0,5 și imediat vedea unghi. Va rămâne doar pentru a scrie răspunsul.) Da, da!

Desenați un cerc și marcați cosinul egal cu 0,5. Pe axa cosiniei, desigur. Ca aceasta:

Acum trageți unghiul care ne dă acest cosin. Mouse-ul peste mouse-ul peste imagine (sau atingeți imagini de pe tabletă) și vedea Același colț x.

Kosinus Care unghiul este de 0,5?

x \u003d π / 3

cos. 60 ° C \u003d COS ( π / 3.) = 0,5

Cineva sceptic, da ... ei spun dacă cercul merita, când totul este clar ... puteți, desigur, să mănânci ...) Dar faptul este că este un răspuns eronat. Mai degrabă, insuficientă. Constabilitățile cercului înțeleg că există încă o grămadă de unghiuri care dau și o cosinie egală cu 0,5.

Dacă rotiți partea mobilă a OA pe turnul complet, Punctul A va merge la poziția inițială. Cu aceeași cosinină egală cu 0,5. Acestea. unghiul se va schimba 360 ° sau 2π radiani și cosine - Nu. Noul unghi de 60 ° + 360 ° \u003d 420 ° va fi, de asemenea, soluția ecuației noastre, deoarece

Astfel de revoluții complete pot fi acoperite cu un set infinit ... și toate aceste noi colțuri vor fi soluții ale ecuației noastre trigonometrice. Și trebuie să fie scrise ca răspuns la fel de oarecum. Tot. În caz contrar, decizia nu este luată în considerare da ...)

Matematica poate face acest lucru simplu și elegant. Într-un scurt răspuns Scrieți set infinit. soluții. Așa caută ecuația noastră:

x \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

Descifra. Încă scrierea fără înţeles E mai frumos decât să desenezi niște ciocuri misterioase, nu?)

π / 3. - Acesta este același unghi pe care îl avem a văzut Pe cercul I. apărat pe masa cosinică.

2π. - Aceasta este o întoarcere completă a radiațiilor.

n. - Acesta este numărul complet, adică numere întregi revoluții. Este clar că n. Poate fi egal cu 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... și așa mai departe. Așa cum este indicat printr-o scurtă înregistrare:

n ∈ z.

n. aparține ( ∈ ) Setați numere întregi ( Z. ). Apropo, în loc de scrisoare n. pot fi utilizate scrisori k, M, T etc.

Această intrare înseamnă că puteți lua orice număr întreg. n. . Deși -3, cel puțin 0, deși +55. Ce vrei. Dacă înlocuiți acest număr pentru a scrie un răspuns, obțineți un anumit unghi care va fi cu siguranță soluția ecuației noastre dure.)

Sau, cu alte cuvinte, x \u003d π / 3 - Aceasta este singura rădăcină a unui set infinit. Pentru a obține toate celelalte rădăcini, suficiente la π / 3 Adăugați orice număr de revoluții complete ( n. ) în radiani. Acestea. 2π N. radian.

Tot? Nu. Sunt scump să mă întind. A fi amintit mai bine.) Am primit doar o parte din răspunsurile la ecuația noastră. Această primă parte a deciziei pe care o voi scrie ca:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

x 1. - Nu o singură rădăcină, aceasta este o serie întreagă de rădăcini înregistrate pe scurt.

Dar există încă unghiuri care dau și cosinus egal cu 0,5!

Să revenim la fotografia noastră, pe care a fost înregistrată răspunsul. Iat-o:

Noi purtăm mouse-ul la imagine și vedea Un alt colț care oferă, de asemenea, cosinus 0,5. Ce credeți că este egal cu? Triunghiurile sunt aceleași ... Da! Este egal cu colțul h. , amânat doar în direcția negativă. Acest colț -H. Dar X este deja calculat. π / 3 sau60 °. Prin urmare, puteți scrie în siguranță:

x 2 \u003d - π / 3

Bineînțeles, adăugați toate unghiurile obținute prin rev-uri complete:

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n, n ∈ z

Acum totul.) Potrivit cercului trigonometric, noi a văzut (Cine înțelege, desigur)) tot Colțurile care dau o cosinie egală cu 0,5. Și au înregistrat aceste colțuri într-o scurtă formă matematică. Răspunsul a dovedit două serii de rădăcini nesfârșite:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n, n ∈ z

Acesta este răspunsul corect.

Sper principiul general al soluționării ecuațiilor trigonometrice Utilizarea unui cerc este de înțeles. Observăm pe cercul cosiniei (sinus, tangent, catangente) de la ecuația specificată, tragem unghiurile corespunzătoare și scriem răspunsul. Desigur, trebuie să vă dați seama ce fel de colțuri a văzut Pe un cerc. Uneori nu este atât de evident. Ei bine, am spus că logica este necesară aici.)

De exemplu, vom analiza o altă ecuație trigonometrică:

Vă rog să considerați că numărul 0.5 nu este singurul număr posibil în ecuații!) Eu doar o scriu mai convenabil pentru el decât rădăcini și fracțiuni.

Lucrăm în conformitate cu principiul general. Desenați un cerc, marcaj (pe axa sinusurilor, desigur!) 0,5. Desenați toate colțurile corespunzătoare acestui sinus simultan. Obținem această imagine:

Mai întâi ne confruntăm cu unghiul h. în primul trimestru. Amintiți-vă de masa sinusală și determinați magnitudinea acestui unghi. Este un lucru simplu:

x \u003d π / 6

Ne amintim de revizuirile complete și, cu o conștiință curată, scrieți prima serie de răspunsuri:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

Jumătate din carcasă se face. Dar acum este necesar să se determine al doilea unghi ... Este încă decât în \u200b\u200bcosinie, da ... dar logica ne va salva! Cum de a determina al doilea unghi prin x? Da, ușor! Triunghiurile de pe imagine sunt aceleași și unghiul roșu h. egal cu colțul h. . Acesta este numărat numai din unghiul π în direcția negativă. Prin urmare, roșu.) Și avem nevoie de un unghi, numărat corect, de la semi-axa pozitivă, adică. De la un unghi de 0 grade.

Aducem cursorul la desen și vedem totul. Primul colț am eliminat să nu complicați imaginea. Unghiul de interes pentru noi (verde pictat) va fi egal cu:

π - H.

Ix știm asta π / 6. . A devenit, al doilea colț va fi:

π - π / 6 \u003d 5π / 6

Ne amintim din nou la adăugarea de revoluții complete și scriem cea de-a doua serie de răspunsuri:

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π N, N ∈ Z

Asta e tot. Un răspuns cu drepturi depline constă din două serii de rădăcini:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π N, N ∈ Z

Ecuațiile cu tangente și Kotangent pot fi rezolvate cu ușurință de principiul general al soluționării ecuațiilor trigonometrice. Dacă, desigur, știi cum să desenezi tangente și cotngenes pe un cerc trigonometric.

În exemplele de mai sus, am folosit valoarea tabelului sinusoidală și cosinus: 0,5. Acestea. una dintre acele valori pe care elevul le cunoaște trebuie sa. Și acum ne vom extinde oportunitățile pentru toate celelalte valori. Decideți astfel rezolvați!)

Deci, să avem nevoie să rezolvăm o astfel de ecuație trigonometrică:

Nu există o astfel de valoare a cosiniei în tabele scurte. Ignorați răceli acest fapt teribil. Desenați un cerc, marcați pe axa cosinului 2/3 și trag unghiurile corespunzătoare. Obținem această imagine.

Înțelegem, pentru a începe cu un unghi în primul trimestru. Pentru a ști ce este egal cu X, aș scrie imediat răspunsul! Nu știm ... eșec! Liniște! Matematica propriei lor în necazuri nu este aruncată! Ea a inventat Arkkosinus în acest caz. Nu stiu? În zadar. Află, este mult mai ușor decât crezi. Sub această legătură, nu o singură vrajă surround despre "Funcțiile trigonometrice inverse" Nu există ... nu este necesar în acest subiect.

Dacă știți, este suficient să vă spuneți: "X este un unghi al cărui cosin este 2/3". Și imediat, prin definiția arkkosinusului, puteți scrie:

Ne amintim despre revizuirile suplimentare și scriem calm prima serie de rădăcini ale ecuației noastre trigonometrice:

X 1 \u003d ARCCOS 2/3 + 2π N, N ∈ Z

A doua serie de rădăcini, pentru cel de-al doilea unghi, este scris aproape automat. La fel, numai x (Arccos 2/3) va fi cu un minus:

x 2 \u003d - ArcCOS 2/3 + 2π N, N ∈ Z

Și toate lucrurile! Acesta este răspunsul corect. Chiar mai ușoară decât cu valorile tabulare. Nu trebuie să-mi amintesc nimic.) Apropo, cea mai atentă observă că această imagine cu decizia prin arkkosinus nu, în esență, nu diferă de imaginea pentru ecuația COSX \u003d 0,5.

Exact! Principiu general pe general! Am pictat în mod special două aproape aceleași imagini. Cercul arată colțul h. prin cosinia lui. Tableta este o cosinie sau nu - cercul este necunoscut. Ce este acest unghi, π / 3 sau arcsinus, ceea ce putem decide.

Sinus același cântec. De exemplu:

Revenim din nou un cerc, marcați sinusul egal cu 1/3, trageți colțurile. Se pare că această imagine:

Și din nou imaginea este aproape aceeași ca și pentru ecuație sinx \u003d 0,5. Noapte începe de la colț în primul trimestru. Ce este IX, dacă sinusul este 1/3? Nici o problemă!

Aici este primul pachet de rădăcini:

x 1 \u003d Arcsin 1/3 + 2π N, N ∈ Z

Înțelegem cu al doilea unghi. În exemplul cu o valoare de masă de 0,5, a fost egală cu:

π - H.

Deci, aici va fi exact același! Numai x este altul, Arcsin 1/3. Și ce dacă!? Puteți scrie în siguranță cel de-al doilea pachet de rădăcini:

x 2 \u003d π - Arcsin 1/3 + 2π N, N ∈ Z

Acesta este absolut răspunsul potrivit. Deși nu pare foarte familiar. Dar este clar, sper.)

Aceasta este modul în care ecuațiile trigonometrice sunt rezolvate cu un cerc. Această cale este vizuală și înțeleasă. Cel care salvează în ecuații trigonometrice cu selecția de rădăcini la un anumit interval, în inegalitățile trigonometrice - cele care au rezolvat în general aproape întotdeauna într-un cerc. Pe scurt, în orice sarcini care sunt ușor complicate de standard.

Aplicați cunoștințele în practică?)

Rezolvați ecuațiile trigonometrice:

În primul rând, mai ușor, chiar pe această lecție.

Acum mai cuprinzătoare.

Sfat: Aici trebuie să reflectați asupra cercului. Personal.)

Și acum spre exterior simplu ... sunt încă numite cazuri private.

sinx. = 0

sinx. = 1

cosx. = 0

cosx. = -1

Sfat: Aici este necesar să se dară într-un cerc, unde două serii de răspunsuri și unde unul ... și cum în loc de două episoade de răspunsuri pentru a scrie unul. Da, astfel încât nici o rădăcină din cantitatea infinită să fie pierdută!)

Ei bine, destul de simplu):

sinx. = 0,3

cosx. = π

tgx. = 1,2

cTGX. = 3,7

Sfat: Aici trebuie să știți ce este Arksinus, Arkkosinus? Ce este ArtrGangent, arkothangence? De sine definiții simple. Dar amintiți-vă valorile de masă care nu sunt necesare!)

Răspunsuri, desigur, în dezordine):

x 1. \u003d arcsin0.3 + 2π n, n ∈ z
X 2. \u003d π - arcsin0,3 + 2

Nu totul funcționează? S-a întâmplat. Citiți din nou lecția. Numai grijuliu (Există un astfel de cuvânt învechit ...) și faceți clic pe link-uri. Link-urile principale sunt despre cerc. Fără el în trigonometrie - cum drumul să se miște cu ochii legați cu ochii. Uneori se dovedește.)

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)

Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.