Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Proprietățile monotonității unui logaritm. Compararea logaritmilor. Algebră clasa a XI-a. Completat de profesorul de matematică: Lilia Anasovna Kinziabulatova, Noyabrsk, 2014.
y= log a x , unde a>0; a≠1. a) Dacă a> 1, atunci y= log a x – crescător b) Dacă 0 Metode de comparare a logaritmilor. ① Proprietatea monotonității Comparați log a b log a c bazele sunt a Dacă a> 1, atunci y= log a t este în creștere, atunci de la b> c = > log a b > log a c ; Daca 0 c => log a b log 1/3 8; Metode de comparare a logaritmilor. ② Metoda grafică Comparați log a b log cu b baze sunt diferite, numerele sunt egale cu b 1) Dacă a> 1; с > 1, atunci y=log a t, y=log с t – vârsta. a) Dacă a> c, b>1, atunci log a b log c b Metode de comparare a logaritmilor. ② Metoda grafică Comparați log a b log cu b baze sunt diferite, numerele sunt egale cu b 2) Dacă 0 c, b>1, atunci log a b > log c b b) Dacă a Metode de comparare a logaritmilor. ② Metoda grafică Comparați log a b log cu b baze sunt diferite, numerele sunt egale cu b Exemple log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0,25; 3>1 Log 0,3 0,6 Metode de comparare a logaritmilor. ③ Funcții de monotonitate diferită a>1 y=log a x – crește cu 0 1, atunci log a c > log b d b) Dacă 0 1) Log 0,5 1/3 > log 5 1/2 Metode de comparare a logaritmilor. ⑤ Metoda de evaluare log 3 5 log 4 17 1 > > > > Metode de comparare a logaritmilor. ⑦ Comparație cu mijlocul segmentului log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64
Când rezolvați ecuații și inegalități, precum și probleme cu module, trebuie să plasați rădăcinile găsite pe dreapta numerică. După cum știți, rădăcinile găsite pot fi diferite. Ele pot fi astfel: , sau pot fi astfel: , .
În consecință, dacă numerele nu sunt raționale, ci iraționale (dacă ați uitat ce sunt, uitați-vă în subiect) sau sunt expresii matematice complexe, atunci plasarea lor pe linia numerică este foarte problematică. Mai mult, nu puteți folosi calculatoare în timpul examenului, iar calculele aproximative nu oferă garanții de 100% că un număr este mai mic decât altul (ce se întâmplă dacă există o diferență între numerele comparate?).
Desigur, știți că numerele pozitive sunt întotdeauna mai mari decât cele negative și că, dacă ne imaginăm o axă a numerelor, atunci când comparăm, cele mai mari numere vor fi la dreapta decât cele mai mici: ; ; etc.
Dar este totul întotdeauna atât de ușor? Unde pe linia numerică marcam, .
Cum pot fi comparate, de exemplu, cu un număr? Aceasta este problema...)
În primul rând, să vorbim în termeni generali despre cum și ce să comparăm.
Important: este indicat să faceți transformări astfel încât semnul inegalității să nu se schimbe! Adică, în timpul transformărilor nu este de dorit să se înmulțească cu un număr negativ și este interzis pătrat dacă una dintre părți este negativă.
Comparația fracțiilor
Deci, trebuie să comparăm două fracții: și.
Există mai multe opțiuni pentru a face acest lucru.
Opțiunea 1. Reduceți fracțiile la un numitor comun.
Să o scriem sub forma unei fracții obișnuite:
- (după cum vedeți, am redus și numărătorul și numitorul).
Acum trebuie să comparăm fracțiile:
Acum putem continua să comparăm în două moduri. Putem:
- doar aduceți totul la un numitor comun, prezentând ambele fracții ca improprie (numărătorul este mai mare decât numitorul):
Care număr este mai mare? Așa e, cel cu numărătorul mai mare, adică primul.
- „să aruncăm” (luați în considerare că am scăzut una din fiecare fracție și, în consecință, raportul dintre fracții nu s-a schimbat) și comparați fracțiile:
De asemenea, le aducem la un numitor comun:
Am obținut exact același rezultat ca în cazul precedent - primul număr este mai mare decât al doilea:
Să verificăm și dacă am scăzut unul corect? Să calculăm diferența numărătorului din primul calcul și al doilea:
1)
2)
Deci, ne-am uitat la cum să comparăm fracțiile, aducându-le la un numitor comun. Să trecem la o altă metodă - compararea fracțiilor, aducându-le la un... numărător comun.
Opțiunea 2. Compararea fracțiilor prin reducerea la un numărător comun.
Da, da. Aceasta nu este o greșeală de tipar. Această metodă este rareori predată oricui la școală, dar de foarte multe ori este foarte convenabilă. Pentru a înțelege rapid esența acesteia, vă voi pune o singură întrebare - „în ce cazuri este valoarea unei fracții mai mare?” Desigur, veți spune „când numărătorul este cât mai mare posibil și numitorul este cât mai mic posibil”.
De exemplu, poți spune cu siguranță că este adevărat? Ce se întâmplă dacă trebuie să comparăm următoarele fracții: ? Cred că veți pune imediat și semnul corect, pentru că în primul caz sunt împărțite în părți, iar în al doilea în întregi, ceea ce înseamnă că în al doilea caz piesele se dovedesc a fi foarte mici și, în consecință: . După cum puteți vedea, numitorii de aici sunt diferiți, dar numărătorii sunt aceiași. Cu toate acestea, pentru a compara aceste două fracții, nu trebuie să căutați un numitor comun. Deși... găsește-l și vezi dacă semnul de comparație este încă greșit?
Dar semnul este același.
Să revenim la sarcina noastră inițială - comparați și... Vom compara și... Să reducem aceste fracții nu la un numitor comun, ci la un numărător comun. Pentru a face acest lucru simplu numărător și numitorînmulțiți prima fracție cu. Primim:
Şi. Care fracție este mai mare? Așa este, primul.
Opțiunea 3: Compararea fracțiilor folosind scăderea.
Cum se compară fracțiile folosind scăderea? Da, foarte simplu. Scădem altul dintr-o fracție. Dacă rezultatul este pozitiv, atunci prima fracție (minuend) este mai mare decât a doua (subtraend), iar dacă este negativ, atunci invers.
În cazul nostru, să încercăm să scădem prima fracție din a doua: .
După cum ați înțeles deja, convertim și într-o fracție obișnuită și obținem același rezultat - . Expresia noastră ia forma:
În continuare, va trebui să recurgem în continuare la reducerea la un numitor comun. Întrebarea este: în primul mod, conversia fracțiilor în unele improprii, sau în al doilea mod, ca și cum ar fi „eliminarea” unității? Apropo, această acțiune are o justificare complet matematică. Uite:
Îmi place mai mult a doua opțiune, deoarece înmulțirea la numărător atunci când este redusă la un numitor comun devine mult mai ușoară.
Să o aducem la un numitor comun:
Principalul lucru aici este să nu ne confuzi cu privire la ce număr am scăzut și unde. Priviți cu atenție progresul soluției și nu confundați accidental semnele. Am scăzut primul număr din al doilea și am primit un răspuns negativ, deci?.. Așa e, primul număr este mai mare decât al doilea.
Am înţeles? Încercați să comparați fracții:
Oprește-te, oprește-te. Nu vă grăbiți să aduceți la un numitor comun sau să scădeți. Uite: îl poți converti cu ușurință într-o fracție zecimală. Cât va dura? Corect. Ce mai e până la urmă?
Aceasta este o altă opțiune - compararea fracțiilor prin conversia la o zecimală.
Opțiunea 4: Compararea fracțiilor folosind diviziunea.
Da, da. Și acest lucru este posibil. Logica este simplă: când împărțim un număr mai mare la unul mai mic, răspunsul pe care îl obținem este un număr mai mare decât unu, iar dacă împărțim un număr mai mic la unul mai mare, atunci răspunsul se încadrează în intervalul de la până la.
Pentru a reține această regulă, luați oricare două numere prime pentru comparație, de exemplu, și. Știi ce e mai mult? Acum să împărțim la. Răspunsul nostru este. Prin urmare, teoria este corectă. Dacă împărțim la, ceea ce obținem este mai puțin de unu, ceea ce, la rândul său, confirmă că este de fapt mai puțin.
Să încercăm să aplicăm această regulă fracțiilor obișnuite. Să comparăm:
Împărțiți prima fracție la a doua:
Să scurtăm din când în când.
Rezultatul obținut este mai mic, ceea ce înseamnă că dividendul este mai mic decât divizorul, adică:
Am analizat toate opțiunile posibile pentru compararea fracțiilor. Cum le vezi 5:
- reducerea la un numitor comun;
- reducerea la un numărător comun;
- reducerea la forma unei fracții zecimale;
- scădere;
- diviziune.
Gata de antrenament? Comparați fracțiile în mod optim:
Să comparăm răspunsurile:
- (- converti la zecimală)
- (împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor)
- (selectați întreaga parte și comparați fracțiile pe baza principiului aceluiași numărător)
- (împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor).
2. Compararea gradelor
Acum imaginați-vă că trebuie să comparăm nu doar numere, ci și expresii în care există un grad ().
Desigur, puteți pune cu ușurință un semn:
La urma urmei, dacă înlocuim gradul cu înmulțire, obținem:
Din acest exemplu mic și primitiv, regula urmează:
Acum încercați să comparați următoarele: . De asemenea, puteți pune cu ușurință un semn:
Pentru că dacă înlocuim exponențiația cu înmulțirea...
În general, înțelegi totul și nu este deloc dificil.
Dificultățile apar doar atunci când, la comparare, gradele au baze și indicatori diferiți. În acest caz, este necesar să se încerce să conducă la un teren comun. De exemplu:
Desigur, știți că aceasta, în consecință, expresia ia forma:
Să deschidem parantezele și să comparăm ceea ce obținem:
Un caz oarecum special este atunci când baza gradului () este mai mică de unu.
Dacă, atunci de două grade și mai mare este cel al cărui indice este mai mic.
Să încercăm să demonstrăm această regulă. Lăsați-l să fie.
Să introducem un număr natural ca diferență între și.
Logic, nu-i așa?
Și acum să fim din nou atenți la starea - .
Respectiv: . Prin urmare, .
De exemplu:
După cum înțelegeți, am luat în considerare cazul când bazele puterilor sunt egale. Acum să vedem când baza este în intervalul de la până la, dar exponenții sunt egali. Totul este foarte simplu aici.
Să ne amintim cum să comparăm asta folosind un exemplu:
Desigur, ai făcut calculul rapid:
Prin urmare, atunci când întâlniți probleme similare pentru comparație, țineți cont de un exemplu simplu similar pe care îl puteți calcula rapid și, pe baza acestui exemplu, puneți semne într-unul mai complex.
Când efectuați transformări, amintiți-vă că dacă înmulțiți, adunați, scădeți sau împărțiți, atunci toate acțiunile trebuie făcute atât cu partea stângă, cât și cu partea dreaptă (dacă înmulțiți cu, atunci trebuie să le înmulțiți pe ambele).
În plus, există cazuri când este pur și simplu neprofitabil să faci orice manipulări. De exemplu, trebuie să comparați. În acest caz, nu este atât de dificil să ridici la o putere și să aranjezi semnul pe baza acestui lucru:
Să exersăm. Comparați grade:
Ești gata să compari răspunsurile? Iată ce am primit:
- - la fel ca
- - la fel ca
- - la fel ca
- - la fel ca
3. Compararea numerelor cu rădăcini
În primul rând, să ne amintim ce sunt rădăcinile? Îți amintești această înregistrare?
Rădăcina unei puteri a unui număr real este un număr pentru care egalitatea este valabilă.
Rădăcini de grad impar există pentru numere negative și pozitive și chiar și rădăcini- doar pentru cele pozitive.
Valoarea rădăcinii este adesea o zecimală infinită, ceea ce face dificilă calcularea cu precizie, deci este important să puteți compara rădăcinile.
Dacă ai uitat ce este și cu ce se mănâncă - . Dacă vă amintiți totul, să învățăm să comparăm rădăcinile pas cu pas.
Să presupunem că trebuie să comparăm:
Pentru a compara aceste două rădăcini, nu trebuie să faceți niciun calcul, doar să analizați conceptul de „rădăcină” în sine. Înțelegi despre ce vorbesc? Da, despre asta: altfel se poate scrie ca a treia putere a unui număr, egală cu expresia radicală.
Ce e mai mult? sau? Desigur, puteți compara acest lucru fără nicio dificultate. Cu cât este mai mare numărul pe care îl ridicăm la o putere, cu atât valoarea va fi mai mare.
Aşa. Să derivăm o regulă.
Dacă exponenții rădăcinilor sunt aceiași (în cazul nostru acesta este), atunci este necesar să comparăm expresiile radicalilor (și) - cu cât numărul radicalului este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii cu exponenți egali este mai mare.
Greu de reținut? Atunci păstrează un exemplu în cap și... Ce e mai mult?
Exponenții rădăcinilor sunt aceiași, deoarece rădăcina este pătrată. Expresia radicală a unui număr () este mai mare decât a altuia (), ceea ce înseamnă că regula este cu adevărat adevărată.
Ce se întâmplă dacă expresiile radicale sunt aceleași, dar gradele rădăcinilor sunt diferite? De exemplu: .
De asemenea, este destul de clar că la extragerea unei rădăcini de un grad mai mare, se va obține un număr mai mic. Să luăm de exemplu:
Să notăm valoarea primei rădăcini ca și a doua - ca, atunci:
Puteți vedea cu ușurință că trebuie să fie mai multe în aceste ecuații, prin urmare:
Dacă expresiile radicale sunt aceleași(in cazul nostru), iar exponenții rădăcinilor sunt diferiți(în cazul nostru acesta este și), atunci este necesar să se compare exponenții(Și) - cu cât indicatorul este mai mare, cu atât această expresie este mai mică.
Încercați să comparați următoarele rădăcini:
Să comparăm rezultatele?
Am rezolvat asta cu succes :). Apare o altă întrebare: ce se întâmplă dacă toți suntem diferiți? Atât gradul, cât și expresia radicală? Nu totul este atât de complicat, trebuie doar să... „scăpăm” de rădăcină. Da, da. Doar scapă de el)
Dacă avem grade și expresii radicale diferite, trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun (citiți secțiunea despre) pentru exponenții rădăcinilor și să ridicăm ambele expresii la o putere egală cu cel mai mic multiplu comun.
Că suntem cu toții în cuvinte și cuvinte. Iată un exemplu:
- Ne uităm la indicatorii rădăcinilor - și. Cel mai mic multiplu comun al lor este .
- Să ridicăm ambele expresii la o putere:
- Să transformăm expresia și să deschidem parantezele (mai multe detalii în capitol):
- Să numărăm ceea ce am făcut și să punem un semn:
4. Compararea logaritmilor
Deci, încet, dar sigur, am ajuns la întrebarea cum să comparăm logaritmii. Dacă nu vă amintiți ce fel de animal este acesta, vă sfătuiesc să citiți mai întâi teoria din secțiune. L-ai citit? Apoi răspunde la câteva întrebări importante:
- Care este argumentul unui logaritm și care este baza acestuia?
- Ce determină dacă o funcție crește sau scade?
Dacă îți amintești totul și l-ai stăpânit perfect, hai să începem!
Pentru a compara logaritmii între ei, trebuie să cunoașteți doar 3 tehnici:
- reducerea la aceeași bază;
- reducerea la același argument;
- comparație cu al treilea număr.
Inițial, acordați atenție bazei logaritmului. Vă amintiți că dacă este mai puțin, atunci funcția scade, iar dacă este mai mult, atunci crește. Pe asta se vor baza judecățile noastre.
Să luăm în considerare o comparație a logaritmilor care au fost deja reduse la aceeași bază sau argument.
Pentru început, să simplificăm problema: lăsați logaritmii comparați temeiuri egale. Apoi:
- Funcția, pentru, crește pe intervalul de la, ceea ce înseamnă, prin definiție, apoi („comparație directă”).
- Exemplu:- temeiurile sunt aceleași, comparăm argumentele în consecință: deci:
- Funcția, la, scade pe intervalul de la, ceea ce înseamnă, prin definiție, apoi („comparație inversă”). - bazele sunt aceleași, comparăm argumentele în consecință: , totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”, deoarece funcția este descrescătoare: .
Acum luați în considerare cazurile în care motivele sunt diferite, dar argumentele sunt aceleași.
- Baza este mai mare.
- . În acest caz folosim „comparație inversă”. De exemplu: - argumentele sunt aceleași, și. Să comparăm bazele: totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”:
- Baza a este în gol.
- . În acest caz folosim „comparație directă”. De exemplu:
- . În acest caz folosim „comparație inversă”. De exemplu:
Să scriem totul într-o formă tabelară generală:
| , în timp ce | , în timp ce | |
În consecință, după cum ați înțeles deja, atunci când comparăm logaritmi, trebuie să ducem la aceeași bază sau argument. Ajungem la aceeași bază folosind formula pentru a trece de la o bază la alta.
De asemenea, puteți compara logaritmii cu al treilea număr și, pe baza acestuia, să trageți o concluzie despre ce este mai puțin și ce este mai mult. De exemplu, gândiți-vă cum să comparați acești doi logaritmi?
Un mic indiciu - pentru comparație, un logaritm vă va ajuta foarte mult, al cărui argument va fi egal.
Gândire? Să decidem împreună.
Putem compara cu ușurință acești doi logaritmi cu tine:
Nu stii cum? Vezi mai sus. Tocmai am rezolvat asta. Ce semn va fi? Corect:
De acord?
Să comparăm unul cu celălalt:
Ar trebui să obțineți următoarele:
Acum combină toate concluziile noastre într-una singură. A funcționat?
5. Compararea expresiilor trigonometrice.
Ce este sinus, cosinus, tangentă, cotangentă? De ce avem nevoie de un cerc unitar și cum să găsim valoarea funcțiilor trigonometrice pe el? Dacă nu cunoașteți răspunsurile la aceste întrebări, vă recomand cu căldură să citiți teoria pe acest subiect. Și dacă știi, atunci compararea expresiilor trigonometrice între ele nu este dificilă pentru tine!
Să ne împrospătăm puțin memoria. Să desenăm un cerc trigonometric unitar și un triunghi înscris în el. Te-ai descurcat? Acum marcați pe ce parte trasăm cosinusul și pe ce parte sinusul, folosind laturile triunghiului. (desigur, vă amintiți că sinusul este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, iar cosinusul este latura adiacentă?). L-ai desenat? Mare! Atingerea finală este să punem jos unde îl vom avea, unde și așa mai departe. L-ai pus jos? Puff) Să comparăm ce sa întâmplat cu tine și cu mine.
Pf! Acum să începem comparația!
Să spunem că trebuie să comparăm și. Desenați aceste unghiuri folosind indicațiile din casete (unde am marcat unde), plasând puncte pe cercul unității. Te-ai descurcat? Iată ce am primit.
Acum să aruncăm o perpendiculară din punctele pe care le-am marcat pe cerc pe axă... Care? Care axă arată valoarea sinusurilor? Corect,. Acesta este ceea ce ar trebui să obțineți:
Privind această poză, care este mai mare: sau? Desigur, pentru că punctul este deasupra punctului.
Într-un mod similar, comparăm valoarea cosinusurilor. Coborâm doar perpendiculara pe axă... Așa e, . În consecință, ne uităm la ce punct este la dreapta (sau mai sus, ca în cazul sinusurilor), atunci valoarea este mai mare.
Probabil că știi deja să compari tangente, nu? Tot ce trebuie să știi este ce este o tangentă. Deci, ce este o tangentă?) Așa este, raportul dintre sinus și cosinus.
Pentru a compara tangente, desenăm un unghi în același mod ca în cazul precedent. Să presupunem că trebuie să comparăm:
L-ai desenat? Acum marchem și valorile sinusului pe axa de coordonate. ai observat? Acum indicați valorile cosinusului pe linia de coordonate. A funcționat? Să comparăm:
Acum analizează ce ai scris. - împărțim un segment mare într-unul mic. Răspunsul va conține o valoare care este cu siguranță mai mare decât unu. Corect?
Și când îl împărțim pe cel mic cu cel mare. Răspunsul va fi un număr care este exact mai mic decât unu.
Deci, care expresie trigonometrică are valoarea mai mare?
Corect:
După cum înțelegeți acum, compararea cotangenților este același lucru, doar invers: ne uităm la modul în care segmentele care definesc cosinusul și sinusul se relaționează între ele.
Încercați să comparați singur următoarele expresii trigonometrice:
Exemple.
Răspunsuri.
COMPARAȚIA NUMERELOR. NIVEL INTERMEDIAR.
Care număr este mai mare: sau? Răspunsul este evident. Și acum: sau? Nu mai este atât de evident, nu? Deci: sau?
Adesea trebuie să știți care expresie numerică este mai mare. De exemplu, pentru a plasa punctele de pe axă în ordinea corectă la rezolvarea unei inegalități.
Acum vă voi învăța cum să comparați astfel de numere.
Dacă trebuie să comparați numere și, punem un semn între ele (derivat din cuvântul latin Versus sau prescurtat vs. - împotriva): . Acest semn înlocuiește semnul de inegalitate necunoscut (). În continuare, vom efectua transformări identice până când devine clar care semn trebuie plasat între numere.
Esența comparării numerelor este aceasta: tratăm semnul ca și cum ar fi un fel de semn de inegalitate. Și cu expresia putem face tot ce facem de obicei cu inegalități:
- adăugați orice număr de ambele părți (și, desigur, putem scădea și noi)
- „mutați totul într-o parte”, adică scădeți una dintre expresiile comparate din ambele părți. În locul expresiei scăzute va rămâne: .
- înmulțiți sau împărțiți cu același număr. Dacă acest număr este negativ, semnul inegalității este inversat: .
- ridicați ambele părți la aceeași putere. Dacă această putere este egală, trebuie să vă asigurați că ambele părți au același semn; dacă ambele părți sunt pozitive, semnul nu se schimbă atunci când este ridicat la o putere, dar dacă sunt negative, atunci se schimbă la opus.
- extrageți rădăcina de același grad din ambele părți. Dacă extragem o rădăcină de grad par, trebuie mai întâi să ne asigurăm că ambele expresii sunt nenegative.
- orice alte transformări echivalente.
Important: este indicat să faceți transformări astfel încât semnul inegalității să nu se schimbe! Adică, în timpul transformărilor, nu este de dorit să se înmulțească cu un număr negativ și nu îl puteți pătra dacă una dintre părți este negativă.
Să ne uităm la câteva situații tipice.
1. Exponentiatie.
Exemplu.
Care este mai mult: sau?
Soluţie.
Deoarece ambele părți ale inegalității sunt pozitive, o putem pătra pentru a scăpa de rădăcina:
Exemplu.
Care este mai mult: sau?
Soluţie.
Și aici îl putem pătra, dar asta ne va ajuta doar să scăpăm de rădăcina pătrată. Aici este necesar să o ridicați într-un asemenea grad încât ambele rădăcini să dispară. Aceasta înseamnă că exponentul acestui grad trebuie să fie divizibil atât cu (gradul primei rădăcini) cât și cu. Acest număr este, prin urmare, ridicat la puterea a-lea:
2. Înmulțirea prin conjugatul său.
Exemplu.
Care este mai mult: sau?
Soluţie.
Să înmulțim și să împărțim fiecare diferență la suma conjugată:
Evident, numitorul din partea dreaptă este mai mare decât numitorul din stânga. Prin urmare, fracția din dreapta este mai mică decât cea din stânga:
3. Scăderea
Să ne amintim asta.
Exemplu.
Care este mai mult: sau?
Soluţie.
Desigur, am putea pătra totul, să ne regrupăm și să-l pătram din nou. Dar poți face ceva mai inteligent:
Se poate observa că în partea stângă fiecare termen este mai mic decât fiecare termen în partea dreaptă.
În consecință, suma tuturor termenilor din partea stângă este mai mică decât suma tuturor termenilor din partea dreaptă.
Dar fii atent! Am fost întrebați ce mai...
Partea dreaptă este mai mare.
Exemplu.
Comparați numerele și...
Soluţie.
Să ne amintim formulele de trigonometrie:
Să verificăm în ce sferturi de pe cercul trigonometric punctele și se află.
4. Diviziune.
Aici folosim și o regulă simplă: .
La sau, adică.
Când semnul se schimbă: .
Exemplu.
Comparați: .
Soluţie.
5. Compară numerele cu al treilea număr
Dacă și, atunci (legea tranzitivității).
Exemplu.
Comparaţie.
Soluţie.
Să comparăm numerele nu între ele, ci cu numărul.
Evident.
Pe de altă parte, .
Exemplu.
Care este mai mult: sau?
Soluţie.
Ambele numere sunt mai mari, dar mai mici. Să selectăm un număr astfel încât să fie mai mare decât unul, dar mai mic decât celălalt. De exemplu, . Să verificăm:
6. Ce să faci cu logaritmii?
Nimic special. Cum să scapi de logaritmi este descris în detaliu în subiect. Regulile de bază sunt:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
De asemenea, putem adăuga o regulă despre logaritmi cu baze diferite și același argument:
Poate fi explicat astfel: cu cât baza este mai mare, cu atât va trebui să fie ridicată mai puțin pentru a obține același lucru. Dacă baza este mai mică, atunci este adevărat opusul, deoarece funcția corespunzătoare este monoton în scădere.
Exemplu.
Comparați numerele: și.
Soluţie.
Conform regulilor de mai sus:
Și acum formula pentru avansați.
Regula pentru compararea logaritmilor poate fi scrisă mai pe scurt:
Exemplu.
Care este mai mult: sau?
Soluţie.
Exemplu.
Comparați care număr este mai mare: .
Soluţie.
COMPARAȚIA NUMERELOR. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
1. Exponentiatie
Dacă ambele părți ale inegalității sunt pozitive, ele pot fi pătrate pentru a scăpa de rădăcină
2. Înmulțirea prin conjugatul său
Un conjugat este un factor care completează expresia cu formula diferenței de pătrate: - conjugat pentru și invers, deoarece .
3. Scăderea
4. Diviziune
Când sau așa este
Când semnul se schimbă:
5. Comparație cu al treilea număr
Dacă și atunci
6. Compararea logaritmilor
Reguli de bază:
Logaritmi cu baze diferite și același argument:
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.
vei avea nevoie rezolva problemele in timp.
Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliatași decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.
Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
Si in concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.
„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați-le!
Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.
Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Deci, să începem.
Adunarea și scăderea logaritmilor
Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log o xși log o y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:
- jurnal o x+ jurnal o y=log o (x · y);
- jurnal o x− jurnal o y=log o (x : y).
Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!
Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:
Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.
Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.
Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.
Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.
Extragerea exponentului din logaritm
Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:
Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.
Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: o > 0, o ≠ 1, x> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .
Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
[Letină pentru imagine]
Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:
[Letină pentru imagine] Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.
Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.
Tranziția la o nouă fundație
Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?
Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:
Să fie dat jurnalul de logaritm o x. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:
[Letină pentru imagine]
În special, dacă punem c = x, obținem:
[Letină pentru imagine]
Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.
Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.
Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.
Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Acum să „inversăm” al doilea logaritm:
[Letină pentru imagine]Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.
Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:
[Letină pentru imagine]Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:
[Letină pentru imagine]Identitatea logaritmică de bază
Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:
În primul caz, numărul n devine un indicator al gradului aflat în argument. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar o valoare logaritmică.
A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.
De fapt, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la o asemenea putere încât numărul b acestei puteri dă numărul o? Așa este: obțineți același număr o. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.
Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
[Letină pentru imagine]
Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu am luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:
[Letină pentru imagine]Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)
Unitate logaritmică și zero logaritmic
În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.
- jurnal o o= 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritm la orice bază o chiar din această bază este egal cu unu.
- jurnal o 1 = 0 este zero logaritmic. Baza o poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece o 0 = 1 este o consecință directă a definiției.
Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.
În secțiunea despre întrebarea cum se compară logaritmii când....(+)? dat de autor Cerne cel mai bun răspuns este Sau nu o puteți reduce la o singură bază, ci folosiți proprietățile funcției logaritmice.
Dacă baza unei funcții logaritmice este mai mare decât 1, atunci funcția crește, iar pentru x > 1, cu cât baza este mai mică, cu atât graficul este situat mai sus,
pentru 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Dacă baza logaritmului este mai mare decât zero și mai mică decât 1, atunci funcția este descrescătoare,
Mai mult, pentru x > 1, cu cât baza este mai mică, cu atât graficul este mai mare,
pentru 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Se va dovedi astfel:
Răspuns de la slab[guru]
Reduceți logaritmii la aceeași bază (de exemplu, la un număr natural) și apoi comparați.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.
Răspuns de la neuropatolog[guru]
Utilizați formula pentru a trece la o nouă bază: log(a)b=1/log(b)a.
Apoi comparați numitorii fracțiilor ca logaritmii cu aceeași bază.
Dintre două fracții cu aceiași numărători, fracția cu numitorul mai mic este mai mare.
De exemplu, log(7)16 și log(3)16
1/log(16)7 și 1/log(16)3
Deoarece log(16)7>log(16)3, atunci 1/log(16)7< 1/log(16)3.