Este considerată relația de perpendicularitate a planurilor - una dintre cele mai importante și mai utilizate în geometria spațiului și aplicațiile sale.
Din toată varietatea aranjamentelor reciproce
Două planuri merită o atenție și un studiu special atunci când planurile sunt perpendiculare unul pe celălalt (de exemplu, planurile pereților adiacenți ai unei încăperi,
gard și teren, ușă și podea etc. (Fig. 417, a–c).
Exemplele de mai sus ne permit să vedem una dintre principalele proprietăți ale relației pe care o vom studia - simetria locației fiecărui plan în raport cu celălalt. Simetria este asigurată de faptul că planurile par a fi „țesute” din perpendiculare. Să încercăm să clarificăm aceste observații.
Să avem pe el un plan α și o dreaptă c (Fig. 418, a). Să trasăm prin fiecare punct al dreptei c drepte perpendiculare pe planul α. Toate aceste drepte sunt paralele între ele (de ce?) și, pe baza Problemei 1 § 8, constituie un anumit plan β (Fig. 418, b). Este firesc să numim planul β perpendicular planul α.
La rândul lor, toate liniile situate în planul α și perpendiculare pe dreapta c formează planul α și sunt perpendiculare pe planul β (Fig. 418, c). Într-adevăr, dacă a este o dreaptă arbitrară, atunci ea intersectează linia c într-un punct M. O dreaptă b perpendiculară pe α trece prin punctul M în planul β, deci b a. Prin urmare, a c, a b, deci a β. Astfel, planul α este perpendicular pe planul β, iar dreapta c este linia de intersecție a acestora.
Două plane se numesc perpendiculare dacă fiecare dintre ele este format din drepte perpendiculare pe al doilea plan și care trec prin punctele de intersecție ale acestor plane.
Perpendicularitatea planurilor α și β este indicată de semnul familiar: α β.
O ilustrare a acestei definiții poate fi imaginată dacă luăm în considerare un fragment dintr-o cameră dintr-o casă de țară (Fig. 419). În el, podeaua și peretele sunt realizate din scânduri perpendiculare pe perete și, respectiv, pe podea. Prin urmare, sunt perpendiculare. În practică
aceasta înseamnă că podeaua este orizontală și peretele este vertical.
Definiția de mai sus este dificil de utilizat atunci când se verifică de fapt perpendicularitatea planurilor. Dar dacă analizăm cu atenție raționamentul care a condus la această definiție, vedem că perpendicularitatea planelor α și β era asigurată de prezența în planul β a unei drepte b perpendiculare pe planul α (Fig. 418, c) . Am ajuns la criteriul perpendicularității a două planuri, care este cel mai des folosit în practică.
406 Perpendicularitatea dreptelor și planelor
Teorema 1 (test pentru perpendicularitatea planelor).
Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o linie perpendiculară pe al doilea plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.
Să treacă planul β printr-o dreaptă b perpendiculară pe planul α și c - linia de intersecție a planelor α și β (Fig. 420, a). Toate liniile drepte ale planului β, paralele cu dreapta b și care intersectează dreapta c, împreună cu dreapta b formează planul β. După teorema despre două drepte paralele, dintre care una perpendiculară pe plan (Teorema 1 § 19), toate, împreună cu dreapta b, sunt perpendiculare pe planul α. Adică, planul β este format din drepte care trec prin linia de intersecție a planurilor α și β și perpendiculare pe planul α (Fig. 420, b).
Acum în planul α, prin punctul A al intersecției dreptelor b și c, trasăm o dreaptă a perpendiculară pe dreapta c (Fig. 420, c). Linia dreaptă a este perpendiculară pe planul β, pe baza perpendicularității dreptei și a planului (a c, prin construcție, și b, deoarece b α). Repetând argumentele anterioare, constatăm că planul α este format din drepte perpendiculare pe planul β, care trec prin linia de intersecție a planelor. Conform definiției, planurile α și β sunt perpendiculare. ■
Această caracteristică face posibilă stabilirea perpendicularității planurilor sau asigurarea acesteia.
Exemplul 1. Atașați scutul la stâlp astfel încât să fie poziționat vertical.
Dacă stâlpul stă vertical, atunci este suficient să atașați la întâmplare un scut pe stâlp și să îl asigurați (Fig. 421, a). Conform caracteristicii discutate mai sus, planul scutului va fi perpendicular pe suprafața pământului. În acest caz, problema are un număr infinit de soluții.
Perpendicularitatea planurilor |
||
Dacă stâlpul stă oblic față de sol, atunci este suficient să atașați o șină verticală la stâlp (Fig. 421, b) și apoi atașați scutul atât pe șină, cât și pe stâlp. În acest caz, poziția scutului va fi destul de precisă, deoarece stâlpul și șina definesc un singur plan. ■
În exemplul anterior, sarcina „tehnică” a fost redusă la o problemă matematică despre desenarea unui plan perpendicular pe un alt plan printr-o dreaptă dată.
Exemplul 2. Din vârful A al pătratului ABCD se trasează un segment AK perpendicular pe planul său, AB = AK = a.
1) Determinați poziția relativă a planurilor AKC și ABD,
AKD și ABK.
2) Construiți un plan care trece prin dreapta BD perpendicular pe planul ABC.
3) Desenați un plan perpendicular pe planul KAC prin mijlocul F al segmentului KC.
4) Găsiți aria triunghiului BDF.
Să construim un desen care să corespundă condițiilor exemplului (Fig. 422).
1) Planele AKC și ABD sunt perpendiculare, după semnul perpendicularității planelor (Teorema 1): AK ABD , conform condiției. Planurile AKD și ABK sunt de asemenea perpendiculare
sunt polare, bazate pe perpendicularitatea planurilor (Teorema 1). Într-adevăr, dreapta AB prin care trece planul ABK este perpendiculară pe planul AKD, după semnul de perpendicularitate al dreptei și al planului (Teorema 1 § 18): AB AD sunt ca laturile adiacente ale unui pătrat; AB AK , din moment ce
AK ABD.
2) Pe baza perpendicularității planurilor, pentru construcția dorită este suficientă trasarea unei linii drepte BD prin unele puncte
408 Perpendicularitatea dreptelor și planelor
linie perpendiculară pe planul ABC. Și pentru a face acest lucru, este suficient să trasați o linie prin acest punct paralelă cu dreapta AK.
Într-adevăr, prin condiție, dreapta AK este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, conform teoremei despre două drepte paralele,
al nostru, dintre care unul este perpendicular pe plan (Teorema 1§19), |
|||||||||||||||||
dreapta construită va fi perpendiculară pe planul ABC. |
|||||||||||||||||
Constructii. |
Prin punct |
B conducem |
|||||||||||||||
FI, |
paralel |
||||||||||||||||
(Fig. 423). Avionul BDE este cel dorit. |
|||||||||||||||||
3) Fie F punctul de mijloc al segmentului KC. Pro- |
|||||||||||||||||
conducem prin punct |
perpendicular- |
||||||||||||||||
avion |
Această linie dreaptă |
||||||||||||||||
copiii direct |
FO, unde |
O - centrul pătratului |
|||||||||||||||
ABCD (Fig. 424). Într-adevăr, FO || A.K. |
|||||||||||||||||
ca medie |
linie triunghiulară |
||||||||||||||||
Din moment ce |
perpendicular- |
||||||||||||||||
în avion |
direct FO |
hui- |
|||||||||||||||
det este perpendicular pe acesta, conform teoremei despre |
|||||||||||||||||
două linii paralele, dintre care una |
|||||||||||||||||
ry perpendicular pe plan (teorema 1 |
|||||||||||||||||
§ 19). De aceea |
FO DB. Și din moment ce AC DB, apoi DB AOF (sau |
||||||||||||||||
KAC). Avion |
BDF trece printr-o linie perpendiculară pe |
||||||||||||||||
planul KAC, adică este cel dorit. |
|||||||||||||||||
4) Într-un triunghi |
BDF segment FO |
Înălțimea trasă la |
|||||||||||||||
lateral BD (vezi Fig. 424). Avem: BD = |
2 a ca diagonala quad- |
||||||||||||||||
rata; FO = 1 |
AK = |
1 a, prin proprietatea liniei mediane a unui triunghi. |
|||||||||||||||
Astfel, S = 2 BD FO = |
2 2 a |
2 a = |
. ■ |
||||||||||||||
Raspuns: 4) |
a 2 . |
||||||||||||||||
Studiul proprietăților perpendiculare- |
|||||||||||||||||
de avioane și aplicațiile sale, să începem cu cele mai simple |
|||||||||||||||||
asta, dar teoremă foarte utilă. |
|||||||||||||||||
Teorema 2 (despre perpendiculara pe dreapta de intersecție a planurilor perpendiculare).
Dacă două plane sunt perpendiculare, atunci o dreaptă aparținând unui plan și perpendiculară pe intersecția acestor planuri este perpendiculară pe cel de-al doilea plan.
Fie plane perpendiculare
α și β se intersectează de-a lungul dreptei c, iar dreapta b în planul β este perpendiculară pe dreapta c și o intersectează în punctul B (Fig. 425). Prin definiție
împărțind perpendicularitatea planelor, în planul β o dreaptă trece prin punctul B
b 1, perpendicular pe planul α. Este clar că este perpendiculară pe dreapta c. Dar ce-
Dacă tăiați un punct pe o dreaptă într-un plan, puteți desena o singură linie dreaptă perpendiculară pe linia dreaptă dată. De aceea
liniile b și b 1 coincid. Aceasta înseamnă că o dreaptă a unui plan, perpendiculară pe linia de intersecție a două plane perpendiculare, este perpendiculară pe al doilea plan. ■
Să aplicăm teorema avută în vedere la fundamentarea unui alt semn al perpendicularității planelor, ceea ce este important din punctul de vedere al studiului ulterior al poziției relative a două plane.
Fie planele α și β perpendiculare, dreapta c este linia de intersecție a acestora. Printr-un punct arbitrar A trasăm o dreaptă c
în planurile α și β, drepte a și b, perpendiculare pe dreapta c (Fig. 426). Conform teoriei
Me 2, dreptele a și b sunt perpendiculare pe planele β și respectiv α, deci sunt perpendiculare între ele: a b . Drept
a și b definesc un anumit plan γ. Linia de intersecție cu planele α și β
perpendicular pe planul γ, bazat pe perpendicularitatea dreptei și a planului (Teorema 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. Dacă luăm în considerare arbitrariul alegerii punctului A pe dreapta c și faptul că prin punctul A al dreptei c trece un singur plan perpendicular pe acesta, atunci putem trage următoarea concluzie.
Teorema 3 (despre planul perpendicular pe dreapta de intersecție a planurilor perpendiculare).
Un plan perpendicular pe linia de intersecție a două plane perpendiculare intersectează aceste planuri de-a lungul unor linii perpendiculare.
Astfel, a fost stabilită încă o proprietate a planurilor perpendiculare. Această proprietate este caracteristică, adică dacă este adevărată pentru două plane, atunci planurile sunt perpendiculare unul pe celălalt. Mai avem un semn de perpendicularitate a planurilor.
Teorema 4 (al doilea criteriu pentru perpendicularitatea planelor).
Dacă intersecțiile directe a două plane cu un al treilea plan perpendicular pe dreapta intersecției lor sunt perpendiculare, atunci aceste planuri sunt și perpendiculare.
Fie că planele α și β se intersectează de-a lungul unei drepte cu, iar planul γ, perpendicular pe dreapta cu, intersectează planele α și β corespunzătoare
respectiv de-a lungul liniilor drepte a şi b (Fig. 427). După condiție, a b . Deoarece γ c, atunci a c. Și deci dreapta a este perpendiculară pe planul β, după semnul de perpendicularitate al dreptei și al planului (Teorema 1 § 18). Asta este-
Da, rezultă că planele α și β sunt perpendiculare, după semnul perpendicularității planelor (Teorema 1). ■
De asemenea, merită atenție și teoremele despre legăturile dintre perpendicularitatea a două plane ale unui al treilea plan și poziția lor reciprocă.
Teorema 5 (despre dreapta de intersecție a două plane perpendiculare pe al treilea plan).
Dacă două plane perpendiculare pe un al treilea plan se intersectează, atunci linia lor de intersecție este perpendiculară pe acest plan.
Fie planurile α și β, perpendiculare pe planul γ, să se intersecteze de-a lungul dreptei a (a || γ), iar A este punctul de intersecție al dreptei a cu
Perpendicularitatea planurilor |
|
planul γ (Fig. 428). Punctul A îi aparține |
|
trăiește de-a lungul liniilor de intersecție ale planurilor γ și α, γ |
|
şi β şi, după condiţie, αy şi βy. Prin urmare, conform |
|
determinând perpendicularitatea planului |
|
Prin punctul A se pot desena linii drepte, |
|
situată în planurile α |
și β și perpendiculară |
planuri polare γ. Pentru că prin punct |
|
este posibil să trasezi o singură linie dreaptă, per- |
|
perpendicular pe plan, apoi cel construit |
|
liniile drepte coincid și coincid cu linia |
|
intersecțiile planelor α și β. Astfel, dreapta a este o linie |
|
intersecția planelor α și β este perpendiculară pe planul γ. ■ |
|
Să luăm în considerare teorema care descrie relația dintre paralelismul și perpendicularitatea planurilor. Am avut deja rezultatul corespunzător pentru linii drepte și plane.
Teorema 6 (despre plane paralele perpendiculare pe al treilea plan).
Dacă unul dintre cele două plane paralele este perpendicular pe al treilea, atunci al doilea plan este perpendicular pe acesta.
Fie planele α și β paralele, iar planul γ perpendicular pe planul α. Deoarece planul γ
intersectează planul α, atunci trebuie să intersecteze și planul β paralel cu acesta. Să luăm un pro-
o dreaptă arbitrară m perpendiculară pe planul γ și trageți prin ea, precum și printr-un punct arbitrar al planului β, planul δ (Fig. 429).
Planele δ și β se intersectează de-a lungul unei drepte n, iar din moment ce α ║ β, atunci m ║ n (Teorema 2 §18). Din teorema 1 rezultă că n γ și, prin urmare, planul β care trece prin dreapta n va fi de asemenea perpendicular pe planul γ.
Teorema demonstrată oferă un alt semn al perpendicularității planelor.
Puteți desena un plan perpendicular pe punctul dat printr-un punct dat folosind semnul perpendicularității planelor (Teorema 1). Este suficient să trasezi o dreaptă prin acest punct perpendicular pe planul dat (vezi Problema 1 § 19). Și apoi trageți un plan prin linia dreaptă construită. Acesta va fi perpendicular pe planul dat conform criteriului specificat. Este clar că un număr infinit de astfel de planuri pot fi desenate.
Mai semnificativă este problema construirii unui plan perpendicular pe unul dat, cu condiția ca acesta să treacă printr-o dreaptă dată. Este clar că dacă o dreaptă dată este perpendiculară pe un plan dat, atunci se poate construi un număr infinit de astfel de plane. Rămâne de luat în considerare cazul în care linia dată nu este perpendiculară pe planul dat. Posibilitatea unei astfel de construcții este justificată la nivelul modelelor fizice de linii drepte și plane din exemplul 1.
Sarcina 1. Demonstrați că printr-o dreaptă arbitrară, nu perpendiculară pe un plan, este posibil să se deseneze un plan perpendicular pe planul dat.
Să fie date un plan α şi o dreaptă l, l B\ a. Să luăm un punct arbitrar M pe dreapta l și să trasăm o dreaptă m prin el, perpendiculară pe planul α (Fig. 430, a). Deoarece, prin condiție, l nu este perpendicular pe α, atunci dreptele l și m se intersectează. Prin aceste drepte se poate trasa un plan β (Fig. 430, b), care, conform testului pentru perpendicularitatea planurilor (Teorema 1), va fi perpendicular pe planul α. ■
Exemplul 3. Prin vârful A al piramidei regulate SABC cu baza ABC, trageți o dreaptă perpendiculară pe planul feței laterale a SBC.
Pentru a rezolva această problemă, folosim teorema despre perpendiculara pe dreapta de intersecție a planurilor perpendiculare
(Teorema 2). Fie K punctul de mijloc al muchiei BC (Fig. 431). Planele AKS și BCS sunt perpendiculare, după semnul perpendicularității planelor (Teorema 1). Într-adevăr, BC SK și BC AK sunt ca medianele trase la baze în triunghiuri isoscele. Prin urmare, după criteriul perpendicularității unei drepte și a unui plan (Teorema 1 §18), dreapta BC este perpendiculară pe planul AKS. Planul BCS trece printr-o linie perpendiculară pe planul AKS.
Constructii. Să trasăm o dreaptă AL în planul AKS din punctul A, perpendiculară pe dreapta KS - linia de intersecție a planurilor AKS și BCS (Fig. 432). După teorema pe perpendiculară pe dreapta de intersecție a planurilor perpendiculare (Teorema 2), dreapta AL este perpendiculară pe planul BCS. ■
Întrebări de securitate |
|||||
În fig. 433 arată pătratul ABCD, |
|||||
dreapta MD este perpendiculară pe plan |
|||||
ABCD. Care dintre perechile de avioane nu sunt |
|||||
sunt perpendiculare: |
|||||
MAD și MDC; |
MBC și MAV; |
||||
ABC și MDC; |
MAD și MAV? |
||||
2. În fig. 434 este afișat corect- noua piramida patruunghiulara
SABCD, punctele P, M, N - mijloc -
Muchiile AB, BC, BS, O sunt centrul bazei ABCD. Care dintre perechi sunt plate- oasele sunt perpendiculare:
1) ACS și BDS; 2) MOS și POS;
3) COS și MNP; 4) MNP și SOB;
5) CND și ABS?
Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor |
||
3. În Fig. 435 |
înfățișat dreptunghiular |
|
triunghi |
cu unghi drept C şi |
|
dreaptă BP, perpendiculară pe plan |
||
ty ABC. Care dintre următoarele perechi sunt plate? |
||
oasele sunt perpendiculare: |
||
1) CBP și ABC; |
2) ABP și ABC; |
|
3) PAC și PBC; 4) PAC și PAB?
4. Cele două plane sunt perpendiculare. Este posibil printr-un punct arbitrar al unuia dintre ar trebui să tragă o linie dreaptă în acest plan, al doilea plan?
5. Este imposibil să trasezi o linie dreaptă în planul α, dar nu și în planul β. Aceste avioane ar putea fi mi?
6. Printr-un anumit punct din planul α trece o dreaptă în acest plan și este perpendiculară pe plan, astfel încât planele α și β sunt perpendiculare?
O secțiune de gard este atașată la un stâlp vertical, se poate pretinde că planul gardului este vertical?
Cum să atașezi un scut vertical pe o șină paralelă cu suprafața pământului?
De ce suprafețele ușilor, indiferent dacă sunt închise sau deschise, sunt verticale pe podea?
De ce un plumb se potrivește strâns pe un perete vertical, dar nu neapărat pe unul înclinat?
Este posibil să atașați un scut la un stâlp înclinat astfel încât să fie perpendicular pe suprafața pământului?
Cum să determinați practic dacă un plan este perpendicular
pereți plan podea? perpendicularperpendicularperpendicular- drept, culcat - β.
Adevărat 7. . Posibil 8.9.10.11.12.
1. Exerciții graficeÎn fig. 436 arată un cub
1) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Specificați planuri perpendiculare pe plan
2) VDD 1.
Cum sunt avioanele și
Perpendicularitatea planurilor |
|||||||
A1 B1 CAB 1 C 1 |
|||||||
437 pătrate plane ABCD și |
ABC1 D1 |
perpendicular. Distanţă |
|||||
CC1 |
|||||||
egal cu b. Aflați lungimea segmentului: |
AB; |
||||||
D1 C; |
D1 D; |
C1 D. |
|||||
Dan- |
|||||||
Construiți un desen conform celor date |
|||||||
1) Planurile triunghiurilor echilaterale |
|||||||
ABC și ABC sunt perpendiculare. |
|||||||
Planul ABC este perpendicular pe planurile BDC și BEA. |
|||||||
de-a lungul dreptei a, liniile de intersecție a acestora cu planul γ |
|||||||
sunt drepte b și c. |
|||||||
Într-un plan paralelipiped dreptunghic ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 |
|||||||
oasele AB 1 C 1 şi ICA 1 sunt perpendiculare. |
|||||||
421. Segmentul OS este trasat din centrul O al pătratului ABCD perpendicular pe planul său.
1°) Determinați poziția relativă a planurilor ACS
și ABC.
2°) Determinați poziția relativă a planurilor ACS
și BDS.
3) Construiți un plan care trece prin linia dreaptă OS perpendicular pe planul ABS.
4) Construiți un plan perpendicular pe planul ABC și care trece prin punctele medii ale laturilor AD și CD.
422. Din punctul de intersecție O al diagonalelor rombului ABCD se trasează un segment OS perpendicular pe planul rombului; AB=DB=
1°) Determinați poziția relativă a SDB și
ABC, SDB și ACS.
2°) Construiți un plan care trece prin dreapta BC perpendicular pe planul ABD.
3) Desenați un plan perpendicular pe planul ABC prin mijlocul F al segmentului CS.
4) Găsiți aria triunghiului BDF.
423. Dat un cub ABCDA1 B1 C1 D1.
1°) Să se determine poziția relativă a planelor AB 1 C 1
și CDD1.
2°) Să se determine poziția relativă a planelor AB 1 C 1
și CD1 A1.
3°) Construiți un plan care trece prin punctul A perpendicular pe planul BB 1 D 1.
4) Construiți o secțiune a cubului cu un plan care trece prin punctele medii ale muchiilor A 1 D 1 și B 1 C 1 perpendicular pe planul ABC. 5) Să se determine poziţia relativă a planului AA 1 B şi a planului care trece prin mijlocul nervurilor A 1 B 1, C 1 D 1, CD.
6) Aflați aria secțiunii transversale a cubului după planul care trece prin muchia BB 1 și mijlocul muchiei A 1 D 1 (BB 1 = a).
7) Construiți un punct simetric față de punctul A față de planul A 1 B 1 C.
424. Într-un tetraedru regulat ABCD cu o muchie de 2 cm, punctul M este punctul de mijloc al lui DB, iar punctul N este punctul de mijloc al lui AC.
1°) Demonstrați că dreapta DB este perpendiculară pe plan
2°) Demonstrați că planul BDM este perpendicular pe planul AMC.
3) Prin punctul O al intersecției medianelor triunghiului ADC, trasați o dreaptă perpendiculară pe planul AMC.
4) Aflați lungimea acestui segment de dreaptă în interiorul tetraedrului. 5) În ce raport împarte acest segment planul AMC?
425. Două triunghiuri echilaterale ABC și ADC se află în planuri perpendiculare.
1°) Aflați lungimea segmentului BD dacă AC = 1 cm.
2) Demonstrați că planul BKD (K se află pe dreapta AC) este perpendicular pe planul fiecărui triunghi dacă și numai dacă K este mijlocul laturii AC.
426. Dreptunghiul ABCD, ale cărui laturi sunt de 3 cm și 4 cm, este îndoit de-a lungul diagonalei AC astfel încât triunghiurile ABC și ADC să fie situate în planuri perpendiculare. Determinați distanța dintre punctele B și D după îndoirea dreptunghiului ABCD.
427. Prin acest punct trageți un plan perpendicular pe fiecare dintre cele două plane date.
428°. Demonstrați că planele fețelor adiacente ale unui cub sunt perpendiculare.
429. Planurile α și β sunt perpendiculare între ele. Din punctul A al planului α se trasează o dreaptă AB perpendiculară pe planul β. Demonstrați că dreapta AB se află în planul α.
430. Demonstrați că dacă un plan și o dreaptă care nu se află în acest plan sunt perpendiculare pe același plan, atunci sunt paralele între ele.
431. Prin punctele A și B situate pe dreapta de intersecție p a planelor α și β perpendiculare între ele se trasează drepte perpendiculare pe p: AA 1 în α, BB 1 în β. Punctul X se află pe linia dreaptă AA 1, iar punctul Y se află pe BB 1. Demonstrați că dreapta ВB 1 este perpendiculară pe dreapta ВХ, iar dreapta АА 1 este perpendiculară pe dreapta АY.
432*. Prin mijlocul fiecărei laturi a triunghiului este trasat un plan perpendicular pe această latură. Demonstrați că toate cele trei plane desenate se intersectează de-a lungul unei drepte perpendiculare pe planul triunghiului.
Exerciții de repetat
433. Într-un triunghi echilateral cu latura b determinați: 1) înălțimea; 2) razele cercurilor înscrise și circumscrise.
434. Dintr-un punct sunt trasate o dreaptă perpendiculară și două drepte oblice pe o dreaptă dată. Determinați lungimea perpendicularei dacă cele înclinate au 41 cm și 50 cm, iar proiecțiile lor pe această linie sunt în raport de 3:10.
435. Determinați catetele unui triunghi dreptunghic dacă bis- sectrixa unui unghi drept împarte ipotenuza în segmente de 15 cm şi
Definiție de bază
Cele două avioane sunt numite
sunt perpendiculare , dacă fiecare dintre ele este format din linii drepte- mi, perpendicular- mi al celui de-al doilea plan și trecând prin punctele de intersecție ale acestor plane.
Declarații principale |
||||
Semn perpendicular |
Dacă singur |
|||
cularitate |
avioane |
pasa- |
||
avioane |
dit prin |
|||
perpendicular |
||||
al doilea plan, atunci |
b α, b β α β |
|||
aceste avioane sunt per- |
||||
pendiculară. |
||||
permanent- |
două avioane |
||||
orificiu |
sunt perpendiculare, atunci |
||||
intersecţiiperpen |
direct, aparținând |
||||
diculară |
plat |
împărțind un avion |
|||
și perpendiculară |
|||||
intersecții |
|||||
aceste avioane, per- |
α β, b β, c = α ∩β, |
||||
perpendicular pe al doilea |
b c b α |
||||
avion. |
|||||
Conceptul de planuri perpendiculare
Când două plane se intersectează, obținem unghiuri diedrice de $4$. Două unghiuri sunt egale cu $\varphi $, iar celelalte două sunt egale cu $(180)^0-\varphi $.
Definiția 1
Unghiul dintre plane este minimul unghiurilor diedrice formate de aceste plane.
Definiția 2
Două plane care se intersectează se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre aceste plane este $90^\circ$ (Fig. 1).
Figura 1. Planuri perpendiculare
Semn de perpendicularitate a două plane
Teorema 1
Dacă o dreaptă a unui plan este perpendiculară pe alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare între ele.
Dovada.
Să ni se dea planele $\alpha $ și $\beta $, care se intersectează de-a lungul dreptei $AC$. Fie ca dreapta $AB$ situată în planul $\alpha $ să fie perpendiculară pe planul $\beta $ (Fig. 2).
Figura 2.
Deoarece linia $AB$ este perpendiculară pe planul $\beta$, este și perpendiculară pe dreapta $AC$. În plus, să desenăm o linie dreaptă $AD$ în planul $\beta $, perpendiculară pe linia dreaptă $AC$.
Constatăm că unghiul $BAD$ este unghiul liniar al unghiului diedru, egal cu $90^\circ$. Adică, prin definiția 1, unghiul dintre plane este $90^\circ$, ceea ce înseamnă că aceste plane sunt perpendiculare.
Teorema a fost demonstrată.
Din această teoremă rezultă următoarea teoremă.
Teorema 2
Dacă un plan este perpendicular pe dreapta de-a lungul căreia alte două plane se intersectează, atunci este și perpendicular pe aceste plane.
Dovada.
Să ne dăm două plane $\alpha $ și $\beta $ care se intersectează de-a lungul dreptei $c$. Planul $\gamma $ este perpendicular pe dreapta $c$ (Fig. 3)
Figura 3.
Deoarece dreapta $c$ aparține planului $\alpha $ și planul $\gamma $ este perpendicular pe dreapta $c$, atunci, după teorema 1, planele $\alpha $ și $\gamma $ sunt perpendiculare.
Deoarece dreapta $c$ aparține planului $\beta $ și planul $\gamma $ este perpendicular pe dreapta $c$, atunci, după teorema 1, planele $\beta $ și $\gamma $ sunt perpendiculare.
Teorema a fost demonstrată.
Pentru fiecare dintre aceste teoreme, afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate.
Exemple de probleme
Exemplul 1
Să ni se dea un paralelipiped dreptunghic $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Găsiți toate perechile de plane perpendiculare (Fig. 5).
Figura 4.
Soluţie.
După definiția unui paralelipiped dreptunghiular și a planurilor perpendiculare, vedem următoarele opt perechi de plane perpendiculare între ele: $(ABB_1)$ și $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ și $(A_1B_1C_1)$, $( ABB_1)$ și $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ și $(ABC)$, $(DCC_1)$ și $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ și $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1) $ și $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ și $(ABC)$.
Exemplul 2
Să ni se dea două plane reciproc perpendiculare. Dintr-un punct de pe un plan este trasată o perpendiculară pe alt plan. Demonstrați că această dreaptă se află în planul dat.
Dovada.
Să fim date plane perpendiculare $\alpha $ și $\beta $ care se intersectează de-a lungul dreptei $c$. Din punctul $A$ al planului $\beta $ este trasată o perpendiculară $AC$ pe planul $\alpha $. Să presupunem că $AC$ nu se află în planul $\beta$ (Fig. 6).
Figura 5.
Luați în considerare triunghiul $ABC$. Este dreptunghiular cu unghi drept $ACB$. Prin urmare, $\unghiul ABC\ne (90)^0$.
Dar, pe de altă parte, $\angle ABC$ este unghiul liniar al unghiului diedric format de aceste plane. Adică unghiul diedric format de aceste plane nu este egal cu 90 de grade. Constatăm că unghiul dintre plane nu este egal cu $90^\circ$. Contradicţie. Prin urmare, $AC$ se află în planul $\beta$.
Amintiți-vă că planurile se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este drept. Și acest unghi este determinat astfel. Luați punctul O de pe dreapta C, de-a lungul căreia se intersectează planele și trageți prin el linii drepte în planuri (Fig. 1.9a). Unghiul dintre a și b este unghiul dintre . Când acest unghi este corect, atunci ei spun că planurile sunt reciproc perpendiculare și scriu
Desigur, ați observat deja că atunci când dintre cele trei drepte a, b, c, oricare două sunt reciproc perpendiculare (fig. 2.28). În special, . Prin urmare (pe baza perpendicularității unei drepte și a unui plan). De asemenea,
Deci, fiecare dintre cele două planuri reciproc perpendiculare conține o perpendiculară pe celălalt plan. Mai mult, aceste perpendiculare umplu planuri reciproc perpendiculare. (Fig. 2.29).
Să demonstrăm ultima afirmație. Într-adevăr, dacă prin orice punct al planului a tragem o linie dreaptă
Apoi (prin teorema 5 privind paralelismul perpendicularelor).
Și pentru a indica perpendicularitatea planurilor, este suficientă o perpendiculară pe plan.
Teorema 7. (test pentru perpendicularitatea planelor). Dacă un plan trece printr-o perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste planuri sunt reciproc perpendiculare.
Fie planul a să conţină o dreaptă a perpendiculară pe planul P (fig. 2.28). Apoi linia dreaptă a intersectează planul P în punctul O. Punctul O se află pe dreapta C de-a lungul căreia se intersectează. Să trasăm o dreaptă în planul P prin punctul O. Deoarece b se află și în planul P, atunci,
Această caracteristică are o semnificație practică simplă: planul unei uși atârnate pe un jamb perpendicular pe podea este perpendicular pe planul podelei în orice poziție a ușii (Fig. 2.1). O altă aplicație practică a acestei caracteristici: atunci când trebuie să verificați dacă o suprafață plană (perete, gard etc.) este instalată vertical, acest lucru se face folosind un fir de plumb - o frânghie cu o sarcină. Linia de plumb este întotdeauna îndreptată vertical, iar peretele stă vertical dacă în orice punct firul de plumb, situat de-a lungul acestuia, nu se abate.
La rezolvarea problemelor care implică planuri perpendiculare, sunt adesea folosite următoarele trei propoziții.
Propunerea 1. O dreaptă situată într-unul din cele două plane reciproc perpendiculare și perpendiculară pe linia lor comună este perpendiculară pe celălalt plan.
Fie planele să fie reciproc perpendiculare și să se intersecteze de-a lungul dreptei C. Fie, în continuare, drepta a se află în planul a și (Fig. 2.28). Linia a intersectează dreapta C într-un punct O. Să desenăm o dreaptă b prin punctul O în planul P, perpendicular pe dreapta c. Deci așa este. Din moment ce , atunci (prin teorema 2).
A doua propoziție este opusă primei.
Propoziția 2. O dreaptă care are un punct comun cu unul dintre cele două plane reciproc perpendiculare și este perpendiculară pe celălalt plan se află în primul dintre ele.
Fie planele să fie reciproc perpendiculare, iar dreapta a să aibă un punct comun A cu planul a (Fig. 2.30). Prin punctul A din planul a trasăm o dreaptă perpendiculară pe dreapta C - linia de intersecție a planelor. Conform propunerii, deoarece în spațiu o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat trece prin fiecare punct, atunci liniile a și coincid. Deoarece a minte în avion, atunci a minte în avion
Propunerea 3. Dacă două plane perpendiculare pe un al treilea plan se intersectează, atunci linia de intersecție a acestora este perpendiculară pe al treilea plan.
Fie două plane care se intersectează de-a lungul dreptei a să fie perpendiculare pe planul y (Fig. 2.31). Apoi prin orice punct al dreptei a trasăm o dreaptă perpendiculară pe planul y. Conform Propoziției 2, această dreaptă se află atât în planul a cât și în planul P, adică coincide cu dreapta a. Aşa,
Prelegere pe tema „Testul de perpendicularitate a două planuri”
Ideea unui avion în spațiu ne permite să obținem, de exemplu, suprafața unei mese sau a unui perete. Cu toate acestea, o masă sau un perete are dimensiuni finite, iar planul se extinde dincolo de limitele sale până la infinit.Luați în considerare două plane care se intersectează. Când se intersectează, formează patru unghiuri diedrice cu o margine comună.
Să ne amintim ce este un unghi diedru.
În realitate, întâlnim obiecte care au forma unui unghi diedru: de exemplu, o ușă ușor deschisă sau un dosar întredeschis.
Când două plane alfa și beta se intersectează, obținem patru unghiuri diedrice. Fie unul dintre unghiurile diedrice egal cu (phi), apoi al doilea este egal cu (180 0 –), al treilea, al patrulea (180 0 -).
α Şiβ, 0°< 90 °
Luați în considerare cazul în care unul dintre unghiurile diedrice este de 90 0 .
Apoi, toate unghiurile diedrice în acest caz sunt egale cu 90 0 .
unghi diedru între planuriα Şiβ,
90º
Să introducem definiția planurilor perpendiculare:
Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul diedric dintre ele este de 90°.
Unghiul dintre planurile sigma și epsilon este de 90 de grade, ceea ce înseamnă că planurile sunt perpendiculare
Deoarece =90°
Să dăm exemple de planuri perpendiculare.
Perete și tavan.
Peretele lateral și blatul mesei.
Perete și tavan
Să formulăm un semn de perpendicularitate a două plane:
TEOREMA:Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o linie perpendiculară pe celălalt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.
Să demonstrăm acest semn.
Prin condiție se știe că linia dreaptăAM se află în planul α, linia dreaptă AM este perpendiculară pe planul β,
Demonstrați: planurile α și β sunt perpendiculare.
Dovada:
1) Planurile α șiβ se intersectează de-a lungul dreptei AR și AM AR, deoarece AM β prin condiție, adică AM este perpendiculară pe orice dreaptă situată în planul β.
2) Să desenăm o dreaptă în planul βOT perpendicularOR.
Obținem unghiul TOM este unghiul liniar al unghiului diedru. Dar unghiul TOM = 90°, deoarece MA este β. Deci α β.
Q.E.D.
TEOREMA:Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.
Dat:α, β, AM α, AMβ, AM∩=A
Demonstrați: αβ.
Dovada:
1) α∩β = AR, în timp ce AM AR, deoarece AM β prin condiție, adică AM este perpendiculară pe orice dreaptă situată în planul β.
2) ATβ,OTOR.
TAM este unghiul liniar al unghiului diedric. TAM = 90°, deoarece MA β. Deci α β.
Q.E.D
Din semnul perpendicularității a două plane avem un corolar important:
IMPACT:Un plan perpendicular pe o dreaptă de-a lungul căreia două plane se intersectează este perpendicular pe fiecare dintre aceste planuri.
Să demonstrăm acest corolar: dacă planul gamma este perpendicular pe dreapta c, atunci, pe baza paralelismului celor două plane, gamma este perpendicular pe alfa. La fel, gamma este perpendicular pe beta
Adică: dacă α∩β=с și γс, atunci γα și γβ.
deoareceγс și сα din semnul perpendicularității γα.
Similar cu γβ
Să reformulăm acest corolar pentru un unghi diedru:
Planul care trece prin unghiul liniar al unui unghi diedru este perpendicular pe muchia și fețele acestui unghi diedru. Cu alte cuvinte, dacă am construit un unghi liniar al unui unghi diedru, atunci planul care trece prin el este perpendicular pe muchia și fețele acestui unghi diedru.
Sarcină.
Având în vedere: ΔАВС, С = 90°, АС se află în planul α, unghiul dintre planele α șiABC= 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Aflați: distanța de la punctul B la planul α.
Soluţie:
1) Să construim VC α. Atunci KS este proiecția soarelui pe acest plan.
2) BC AC (prin condiție), ceea ce înseamnă, conform teoremei celor trei perpendiculare (TPP), KS AC. Prin urmare, VSK este unghiul liniar al unghiului diedru dintre planul α și planul triunghiului ABC. Adică VSK = 60°.
3) Din ΔBCA conform teoremei lui Pitagora:
De la ΔVKS: 
Această lecție îi va ajuta pe cei care doresc să înțeleagă subiectul „Semnul perpendicularității a două planuri”. La începutul acesteia, vom repeta definiția unghiurilor diedrice și liniare. Apoi vom lua în considerare care planuri sunt numite perpendiculare și vom demonstra semnul perpendicularității a două plane.
Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor
Lecția: Semnul perpendicularității a două plane
Definiţie. Un unghi diedru este o figură formată din două semiplane care nu aparțin aceluiași plan și linia lor dreaptă comună a (a este o muchie).
Orez. 1
Să considerăm două semiplane α și β (Fig. 1). Granița lor comună este l. Această figură se numește unghi diedru. Două plane care se intersectează formează patru unghiuri diedrice cu o muchie comună.
Un unghi diedru se măsoară prin unghiul său liniar. Alegem un punct arbitrar pe muchia comună l a unghiului diedric. În semiplanele α și β, din acest punct tragem perpendiculare a și b pe dreapta l și obținem unghiul liniar al unghiului diedru.
Liniile drepte a și b formează patru unghiuri egale cu φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Amintiți-vă că unghiul dintre liniile drepte este cel mai mic dintre aceste unghiuri.
Definiţie. Unghiul dintre plane este cel mai mic dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. φ este unghiul dintre planele α și β, dacă
Definiţie. Două plane care se intersectează sunt numite perpendiculare (perpendiculare reciproce) dacă unghiul dintre ele este de 90°.
Orez. 2
Un punct arbitrar M este selectat pe muchia l (Fig. 2). Să desenăm două drepte perpendiculare MA = a și MB = b pe muchia l în planul α și, respectiv, în planul β. Avem unghiul AMB. Unghiul AMB este unghiul liniar al unui unghi diedru. Dacă unghiul AMB este de 90°, atunci planurile α și β se numesc perpendiculare.
Linia b este perpendiculară pe dreapta l prin construcție. Linia b este perpendiculară pe dreapta a, deoarece unghiul dintre planele α și β este de 90°. Constatăm că dreapta b este perpendiculară pe două drepte care se intersectează a și l din planul α. Aceasta înseamnă că dreapta b este perpendiculară pe planul α.
În mod similar, putem demonstra că dreapta a este perpendiculară pe planul β. Linia a este perpendiculară pe dreapta l prin construcție. Linia a este perpendiculară pe dreapta b, deoarece unghiul dintre planele α și β este de 90°. Constatăm că linia a este perpendiculară pe două drepte care se intersectează b și l din planul β. Aceasta înseamnă că dreapta a este perpendiculară pe planul β.
Dacă unul dintre cele două planuri trece printr-o linie perpendiculară pe celălalt plan, atunci astfel de planuri sunt perpendiculare.
Dovedi:
Orez. 3
Dovada:
Fie că planele α și β se intersectează de-a lungul dreptei AC (Fig. 3). Pentru a demonstra că planurile sunt reciproc perpendiculare, trebuie să construiți un unghi liniar între ele și să arătați că acest unghi este de 90°.
Linia dreaptă AB este perpendiculară pe planul β și, prin urmare, pe dreapta AC aflată în planul β.
Să desenăm o dreaptă AD perpendiculară pe o dreaptă AC în planul β. Atunci BAD este unghiul liniar al unghiului diedru.
Linia dreaptă AB este perpendiculară pe planul β și, prin urmare, pe dreapta AD aflată în planul β. Aceasta înseamnă că unghiul liniar BAD este de 90°. Aceasta înseamnă că planurile α și β sunt perpendiculare, ceea ce trebuia demonstrat.
Planul perpendicular pe dreapta de-a lungul căreia două plane date se intersectează este perpendicular pe fiecare dintre aceste plane (Fig. 4).
Dovedi:
Orez. 4
Dovada:
Linia dreaptă l este perpendiculară pe planul γ, iar planul α trece prin dreapta l. Aceasta înseamnă că, pe baza perpendicularității planelor, planurile α și γ sunt perpendiculare.
Linia dreaptă l este perpendiculară pe planul γ, iar planul β trece prin dreapta l. Aceasta înseamnă că, pe baza perpendicularității planelor, planurile β și γ sunt perpendiculare.