Lasă f(x,y)Şi g(x, y)- două expresii cu variabile XŞi lași domeniul de aplicare X. Apoi inegalitățile de formă f(x, y) > g(x, y) sau f(x, y) < g(x, y) numit inegalitatea cu două variabile .
Înţeles Variables x, y din multi X, la care inegalitatea se transformă într-o adevărată inegalitate numerică, se numește decizie si este desemnat (x, y). Rezolvați inegalitatea - asta înseamnă să găsești multe astfel de perechi.
Dacă fiecare pereche de numere (x, y) din setul de soluții la inegalitate, potriviți punctul M(x, y), obținem mulțimea punctelor de pe planul definit de această inegalitate. Îl sună graficul acestei inegalități . Graficul unei inegalități este de obicei o zonă pe un plan.
Pentru a descrie setul de soluții ale inegalității f(x, y) > g(x, y), procedați după cum urmează. În primul rând, înlocuiți semnul inegalității cu un semn egal și găsiți o linie care are ecuația f(x,y) = g(x,y). Această linie împarte planul în mai multe părți. După aceasta, este suficient să luați un punct în fiecare parte și să verificați dacă inegalitatea este satisfăcută în acest moment f(x, y) > g(x, y). Dacă este executat în acest punct, atunci va fi executat în toată partea în care se află acest punct. Combinând astfel de piese, obținem multe soluții.
Sarcină. y > x.
Soluţie.În primul rând, înlocuim semnul inegalității cu un semn egal și construim o linie într-un sistem de coordonate dreptunghiular care are ecuația y = x.
Această linie împarte planul în două părți. După aceasta, luați câte un punct în fiecare parte și verificați dacă inegalitatea este satisfăcută în acest moment y > x.
Sarcină. Rezolvați grafic inegalitatea
X 2 + la 2 25 GBP.
|
Soluţie.În primul rând, înlocuiți semnul inegalității cu un semn egal și trageți o linie X 2 + la 2 = 25. Acesta este un cerc cu un centru la origine și o rază de 5. Cercul rezultat împarte planul în două părți. Verificarea satisfacabilității inegalității X 2 + la 2 £ 25 în fiecare parte, aflăm că graficul este un set de puncte pe un cerc și părți dintr-un plan în interiorul cercului. Să fie date două inegalități f 1(x, y) > g 1(x, y)Şi f 2(x, y) > g 2(x, y).
Sisteme de mulțimi de inegalități cu două variabile
Sistemul de inegalități reprezintă te conjuncţia acestor inegalităţi. Soluție de sistem este orice sens (x, y), care transformă fiecare dintre inegalități într-o adevărată inegalitate numerică. Multe solutii sisteme inegalitățile este intersecția unor mulțimi de soluții ale inegalităților care formează un sistem dat.
Set de inegalități reprezintă te disjuncția acestora inegalităților Setați soluția este orice sens (x, y), care transformă cel puțin una dintre inegalitățile mulțimii într-o inegalitate numerică adevărată. Multe solutii totalitate este o uniune de mulțimi de soluții ale inegalităților care formează o mulțime.
Sarcină. Rezolvați grafic sistemul de inegalități 
Soluţie. y = xŞi X 2 + la 2 = 25. Rezolvăm fiecare inegalitate a sistemului.
Graficul sistemului va fi mulțimea de puncte din plan care sunt intersecția (hașurarea dublă) a mulțimilor de soluții ale primei și celei de-a doua inegalități.
Sarcină. Rezolvați grafic un set de inegalități 
Exerciții pentru munca independentă
1. Rezolvați grafic inegalitățile: a) la> 2x; b) la< 2x + 3;
V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 GBP.
2. Rezolvați grafic sisteme de inegalități:
a) b) 
1. Inegalități cu două variabile. Metode de rezolvare a unui sistem de două inegalități cu două variabile: metoda analitică și metoda grafică.
2. Sisteme de două inegalități cu două variabile: înregistrarea rezultatului soluției.
3. Mulțimi de inegalități cu două variabile.
INEGALITATI SI SISTEME DE INEGUALITATI CU DOUA VARIABILE. Predicat de forma f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - sunt numite expresii cu variabilele x și y definite pe mulțimea XxY inegalitate cu două variabile (cu două necunoscute) x și y. Este clar că orice inegalitate a formei cu două variabile poate fi scrisă în formă f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Rezolvarea inegalității cu două variabile este o pereche de valori variabile care transformă o inegalitate într-o inegalitate numerică adevărată. Se știe că o pereche de numere reale (x, y) determină în mod unic un punct pe planul de coordonate. Acest lucru face posibilă reprezentarea geometrică a soluțiilor la inegalități sau a sistemelor de inegalități cu două variabile, sub forma unui anumit set de puncte pe planul de coordonate. Dacă Ec.
f(x, y)= 0 definește o anumită dreaptă pe planul de coordonate, apoi mulțimea de puncte ale planului care nu se află pe această dreaptă constă dintr-un număr finit de regiuni C₁, C 2,..., S p(Fig. 17.8). În fiecare dintre zonele C, funcția f(x, y) este diferit de zero, deoarece puncte în care f(x, y)= 0 aparțin limitelor acestor zone.
Soluţie. Să transformăm inegalitatea în formă x > y 2 + 2y - 3. Să construim o parabolă pe planul de coordonate X= y 2 + 2y - 3. Va împărți planul în două regiuni G₁ și G 2 (Fig. 17.9). Deoarece abscisa oricărui punct situat în dreapta parabolei X= y 2 + 2y- 3, mai mare decât abscisa unui punct care are aceeași ordonată, dar se află pe o parabolă etc. inegalitate x>y g + 2y -3 nu este strictă, atunci reprezentarea geometrică a soluțiilor acestei inegalități va fi mulțimea de puncte ale planului aflat pe parabolă X= la 2+ 2у - 3 și în dreapta acestuia (Fig. 17.9).
| Orez. 17.9 |
Orez. 17.10
Exemplul 17.15. Desenați pe planul de coordonate mulțimea soluțiilor sistemului de inegalități
y > 0,
xy > 5,
x + y<6.
Soluţie. O reprezentare geometrică a soluției sistemului de inegalități x > 0, y > 0 este mulțimea de puncte a primului unghi de coordonate. Reprezentarea geometrică a soluțiilor inegalităților x + y< 6 sau la< 6 - X este mulțimea de puncte aflate sub linie și pe linia însăși, servind drept grafic al funcției y = 6 - X. Reprezentarea geometrică a soluțiilor inegalităților xy > 5 sau, pentru că X> 0 inegalități y > 5/x este mulțimea de puncte situată deasupra ramurii hiperbolei care servește ca grafic al funcției y = 5/x. Ca urmare, obținem o mulțime de puncte ale planului de coordonate situate în primul unghi de coordonate sub dreapta, care servește ca grafic al funcției y = 6 - x, și deasupra ramurii hiperbolei, care servește ca graficul funcției y = 5x(Fig. 17.10).
Capitolul III. NUMERE NATURALE ȘI ZERO
Rezolvarea unei inegalități în două variabile, și cu atât mai mult sisteme de inegalităţi cu două variabile, pare a fi o sarcină destul de dificilă. Cu toate acestea, există un algoritm simplu care ajută la rezolvarea problemelor aparent foarte complexe de acest gen cu ușurință și fără prea mult efort. Să încercăm să ne dăm seama.
Să avem o inegalitate cu două variabile de unul dintre următoarele tipuri:
y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).
Pentru a descrie setul de soluții la o astfel de inegalitate pe planul de coordonate, procedați după cum urmează:
1. Construim un grafic al funcției y = f(x), care împarte planul în două regiuni.
2. Selectăm oricare dintre zonele rezultate și luăm în considerare un punct arbitrar în ea. Verificăm fezabilitatea inegalității originale pentru acest punct. Dacă testul are ca rezultat o inegalitate numerică corectă, atunci concluzionăm că inegalitatea inițială este satisfăcută în întreaga regiune căreia îi aparține punctul selectat. Astfel, setul de soluții ale inegalității este regiunea căreia îi aparține punctul selectat. Dacă rezultatul verificării este o inegalitate numerică incorectă, atunci setul de soluții ale inegalității va fi a doua regiune căreia nu îi aparține punctul selectat.
3.
Dacă inegalitatea este strictă, atunci limitele regiunii, adică punctele graficului funcției y = f(x), nu sunt incluse în setul de soluții, iar limita este reprezentată cu o linie punctată. Dacă inegalitatea nu este strictă, limitele regiunii, adică punctele graficului funcției y = f(x), sunt incluse în setul de soluții ale acestei inegalități și granița în acest caz este reprezentată ca o linie continuă.
Acum să ne uităm la mai multe probleme pe acest subiect.
Sarcina 1.
Ce set de puncte este dat de inegalitatea x · y ≤ 4?
Soluţie.
1) Construim un grafic al ecuației x · y = 4. Pentru a face acest lucru, îl transformăm mai întâi. Evident, x în acest caz nu se transformă în 0, deoarece altfel am avea 0 · y = 4, ceea ce este incorect. Aceasta înseamnă că ne putem împărți ecuația la x. Se obține: y = 4/x. Graficul acestei funcții este o hiperbolă. Împarte întregul plan în două regiuni: cea dintre cele două ramuri ale hiperbolei și cea din afara acestora.
2) Să selectăm un punct arbitrar din prima regiune, să fie punctul (4; 2).
Să verificăm inegalitatea: 4 · 2 ≤ 4 – fals.
Aceasta înseamnă că punctele acestei regiuni nu satisfac inegalitatea inițială. Apoi putem concluziona că setul de soluții ale inegalității va fi a doua regiune căreia nu îi aparține punctul selectat.
3) Deoarece inegalitatea nu este strictă, trasăm cu linie continuă punctele de limită, adică punctele graficului funcției y = 4/x.
Să pictăm în galben setul de puncte care definește inegalitatea inițială (Fig. 1).
Sarcina 2.
Desenați aria definită pe planul de coordonate de către sistem
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.
Soluţie.
Pentru început, construim grafice ale următoarelor funcții (Fig. 2):
y = x 2 + 2 – parabolă,
y + x = 1 – linie dreaptă
x 2 + y 2 = 9 – cerc.
1) y > x 2 + 2.
Luăm punctul (0; 5), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 5 > 0 2 + 2 – adevărat.
În consecință, toate punctele situate deasupra parabolei date y = x 2 + 2 satisfac prima inegalitate a sistemului. Să le vopsim în galben.
2) y + x > 1.
Luăm punctul (0; 3), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 3 + 0 > 1 – adevărat.
În consecință, toate punctele situate deasupra dreptei y + x = 1 satisfac cea de-a doua inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire verde.
3) x 2 + y 2 ≤ 9.
Luați punctul (0; -4), care se află în afara cercului x 2 + y 2 = 9.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – incorect.
Prin urmare, toate punctele situate în afara cercului x 2 + y 2 = 9, 
nu satisfac a treia inegalitate a sistemului. Apoi putem concluziona că toate punctele aflate în interiorul cercului x 2 + y 2 = 9 satisfac a treia inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire violet.
Nu uitați că, dacă inegalitatea este strictă, atunci linia de delimitare corespunzătoare trebuie trasă cu o linie punctată. Obținem următoarea imagine (Fig. 3).
(Fig. 4).
Sarcina 3.
Desenați aria definită pe planul de coordonate de către sistem:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.
Soluţie.
Pentru început, construim grafice ale următoarelor funcții: 
x 2 + y 2 = 16 – cerc,
x = -y – linie dreaptă
x 2 + y 2 = 4 – cerc (Fig. 5).
Acum să ne uităm la fiecare inegalitate separat.
1) x 2 + y 2 ≤ 16.
Luați punctul (0; 0), care se află în interiorul cercului x 2 + y 2 = 16.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – adevărat.
Prin urmare, toate punctele situate în interiorul cercului x 2 + y 2 = 16 satisfac prima inegalitate a sistemului.
Să le pictăm cu umbrire roșie. 
Luăm punctul (1; 1), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 1 ≥ -1 – adevărat.
În consecință, toate punctele situate deasupra dreptei x = -y satisfac cea de-a doua inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire albastră.
3) x 2 + y 2 ≥ 4.
Luați punctul (0; 5), care se află în afara cercului x 2 + y 2 = 4.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – adevărat.
În consecință, toate punctele situate în afara cercului x 2 + y 2 = 4 satisfac cea de-a treia inegalitate a sistemului. Să le vopsim în albastru.
În această problemă, toate inegalitățile nu sunt stricte, ceea ce înseamnă că trasăm toate limitele cu o linie continuă. Obținem următoarea imagine (Fig. 6).
Zona de căutare este zona în care toate cele trei zone colorate se intersectează (Figura 7).
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi un sistem de inegalități cu două variabile?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Rezolvarea unei inegalități în două variabile, și cu atât mai mult sisteme de inegalităţi cu două variabile, pare a fi o sarcină destul de dificilă. Cu toate acestea, există un algoritm simplu care ajută la rezolvarea problemelor aparent foarte complexe de acest gen cu ușurință și fără prea mult efort. Să încercăm să ne dăm seama.
Să avem o inegalitate cu două variabile de unul dintre următoarele tipuri:
y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).
Pentru a descrie setul de soluții la o astfel de inegalitate pe planul de coordonate, procedați după cum urmează:
1. Construim un grafic al funcției y = f(x), care împarte planul în două regiuni.
2. Selectăm oricare dintre zonele rezultate și luăm în considerare un punct arbitrar în ea. Verificăm fezabilitatea inegalității originale pentru acest punct. Dacă testul are ca rezultat o inegalitate numerică corectă, atunci concluzionăm că inegalitatea inițială este satisfăcută în întreaga regiune căreia îi aparține punctul selectat. Astfel, setul de soluții ale inegalității este regiunea căreia îi aparține punctul selectat. Dacă rezultatul verificării este o inegalitate numerică incorectă, atunci setul de soluții ale inegalității va fi a doua regiune căreia nu îi aparține punctul selectat.
3.
Dacă inegalitatea este strictă, atunci limitele regiunii, adică punctele graficului funcției y = f(x), nu sunt incluse în setul de soluții, iar limita este reprezentată cu o linie punctată. Dacă inegalitatea nu este strictă, limitele regiunii, adică punctele graficului funcției y = f(x), sunt incluse în setul de soluții ale acestei inegalități și granița în acest caz este reprezentată ca o linie continuă.
Acum să ne uităm la mai multe probleme pe acest subiect.
Sarcina 1.
Ce set de puncte este dat de inegalitatea x · y ≤ 4?
Soluţie.
1) Construim un grafic al ecuației x · y = 4. Pentru a face acest lucru, îl transformăm mai întâi. Evident, x în acest caz nu se transformă în 0, deoarece altfel am avea 0 · y = 4, ceea ce este incorect. Aceasta înseamnă că ne putem împărți ecuația la x. Se obține: y = 4/x. Graficul acestei funcții este o hiperbolă. Împarte întregul plan în două regiuni: cea dintre cele două ramuri ale hiperbolei și cea din afara acestora.
2) Să selectăm un punct arbitrar din prima regiune, să fie punctul (4; 2).
Să verificăm inegalitatea: 4 · 2 ≤ 4 – fals.
Aceasta înseamnă că punctele acestei regiuni nu satisfac inegalitatea inițială. Apoi putem concluziona că setul de soluții ale inegalității va fi a doua regiune căreia nu îi aparține punctul selectat.
3) Deoarece inegalitatea nu este strictă, trasăm cu linie continuă punctele de limită, adică punctele graficului funcției y = 4/x.
Să pictăm în galben setul de puncte care definește inegalitatea inițială (Fig. 1).
Sarcina 2.
Desenați aria definită pe planul de coordonate de către sistem
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.
Soluţie.
Pentru început, construim grafice ale următoarelor funcții (Fig. 2):
y = x 2 + 2 – parabolă,
y + x = 1 – linie dreaptă
x 2 + y 2 = 9 – cerc.
1) y > x 2 + 2.
Luăm punctul (0; 5), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 5 > 0 2 + 2 – adevărat.
În consecință, toate punctele situate deasupra parabolei date y = x 2 + 2 satisfac prima inegalitate a sistemului. Să le vopsim în galben.
2) y + x > 1.
Luăm punctul (0; 3), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 3 + 0 > 1 – adevărat.
În consecință, toate punctele situate deasupra dreptei y + x = 1 satisfac cea de-a doua inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire verde.
3) x 2 + y 2 ≤ 9.
Luați punctul (0; -4), care se află în afara cercului x 2 + y 2 = 9.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – incorect.
Prin urmare, toate punctele situate în afara cercului x 2 + y 2 = 9, nu satisfac a treia inegalitate a sistemului. Apoi putem concluziona că toate punctele aflate în interiorul cercului x 2 + y 2 = 9 satisfac a treia inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire violet.
Nu uitați că, dacă inegalitatea este strictă, atunci linia de delimitare corespunzătoare trebuie trasă cu o linie punctată. Obținem următoarea imagine (Fig. 3).
(Fig. 4).
Sarcina 3.
Desenați aria definită pe planul de coordonate de către sistem:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.
Soluţie.
Pentru început, construim grafice ale următoarelor funcții:
x 2 + y 2 = 16 – cerc,
x = -y – linie dreaptă
x 2 + y 2 = 4 – cerc (Fig. 5).
Acum să ne uităm la fiecare inegalitate separat.
1) x 2 + y 2 ≤ 16.
Luați punctul (0; 0), care se află în interiorul cercului x 2 + y 2 = 16.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – adevărat.
Prin urmare, toate punctele situate în interiorul cercului x 2 + y 2 = 16 satisfac prima inegalitate a sistemului.
Să le pictăm cu umbrire roșie.
Luăm punctul (1; 1), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 1 ≥ -1 – adevărat.
În consecință, toate punctele situate deasupra dreptei x = -y satisfac cea de-a doua inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire albastră.
3) x 2 + y 2 ≥ 4.
Luați punctul (0; 5), care se află în afara cercului x 2 + y 2 = 4.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – adevărat.
În consecință, toate punctele situate în afara cercului x 2 + y 2 = 4 satisfac cea de-a treia inegalitate a sistemului. Să le vopsim în albastru.
În această problemă, toate inegalitățile nu sunt stricte, ceea ce înseamnă că trasăm toate limitele cu o linie continuă. Obținem următoarea imagine (Fig. 6).
Zona de căutare este zona în care toate cele trei zone colorate se intersectează (Figura 7).
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi un sistem de inegalități cu două variabile?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Lecția video „Inegalități cu două variabile” este destinată predării algebrei pe această temă în clasa a IX-a a unei școli gimnaziale. Lecția video conține o descriere a fundamentelor teoretice ale rezolvării inegalităților, descrie în detaliu procesul de rezolvare a inegalităților într-un mod grafic, caracteristicile acestuia și demonstrează exemple de rezolvare a sarcinilor pe această temă. Scopul acestei lecții video este de a facilita înțelegerea materialului folosind o prezentare vizuală a informațiilor, de a promova formarea deprinderilor în rezolvarea problemelor folosind metodele matematice studiate.
Principalele instrumente ale lecției video sunt utilizarea animației în prezentarea graficelor și a informațiilor teoretice, evidențierea conceptelor și caracteristicilor importante pentru înțelegerea și memorarea materialului în culori și alte moduri grafice, explicații vocale în scopul memorării mai ușoare a informațiilor și formarea capacităţii de a folosi limbajul matematic.
Lecția video începe prin introducerea subiectului și a unui exemplu care demonstrează conceptul de rezolvare a unei inegalități. Pentru a înțelege semnificația conceptului de soluție, este prezentată inegalitatea 3x 2 -y<10, в которое подставляется пара значений х=2 и у=6. Демонстрируется, как после подстановки данных значений неравенство становится верным. Понятие решения данного неравенства как пары значений (2;6) выведено на экран, подчеркивая его важность. Затем представляется определение рассмотренного понятия для запоминания его учениками или записи в тетрадь.
O parte importantă a capacității de a rezolva inegalitățile este capacitatea de a reprezenta setul soluțiilor sale pe un plan de coordonate. Formarea unei astfel de abilități în această lecție începe cu o demonstrație a găsirii unui set de soluții la inegalitățile liniare ax+by
Un exemplu de astfel de inegalitate este x+3y>6. Pentru a transforma inegalitatea într-o inegalitate echivalentă care reflectă dependența valorilor lui y de valorile lui x, ambele părți ale inegalității sunt împărțite la 3, y rămâne pe o parte a ecuației și x este transferat la celelalte. Valoarea x=3 este selectată în mod arbitrar pentru înlocuirea în inegalitate. Se observă că dacă înlocuiți această valoare x în inegalitate și înlocuiți semnul inegalității cu un semn egal, puteți găsi valoarea corespunzătoare y=1. Perechea (3;1) va fi o soluție a ecuației y=-(1/3)x+2. Dacă înlocuim orice valoare a lui y mai mare decât 1, atunci inegalitatea cu o valoare dată a lui x va fi adevărată: (3;2), (3;8), etc. Similar acestui proces de găsire a unei soluții, este considerat cazul general pentru găsirea unui set de soluții la o inegalitate dată. Căutarea unui set de soluții la inegalitatea începe cu înlocuirea unei anumite valori x 0. În partea dreaptă a inegalității obținem expresia -(1/3)x 0 +2. O anumită pereche de numere (x 0;y 0) este o soluție a ecuației y=-(1/3)x+2. În consecință, soluțiile inegalității y>-(1/3)x 0 +2 vor fi perechile corespunzătoare de valori cu x 0, unde y este mai mare decât valorile lui y 0. Adică, soluțiile acestei inegalități vor fi perechi de valori (x 0 ; y).
Pentru a găsi mulțimea soluțiilor inegalității x+3y>6 pe planul de coordonate, se demonstrează pe ea construcția unei drepte corespunzătoare ecuației y=-(1/3)x+2. Pe această linie, punctul M este marcat cu coordonatele (x 0; y 0). Se observă că toate punctele K(x 0;y) cu ordonatele y>y 0, adică situate deasupra acestei drepte, vor îndeplini condițiile de inegalitate y>-(1/3)x+2. Din analiză se concluzionează că această inegalitate este dată de o mulțime de puncte care sunt situate deasupra dreptei y=-(1/3)x+2. Acest set de puncte constituie un semiplan peste o dreaptă dată. Deoarece inegalitatea este strictă, linia dreaptă în sine nu se află printre soluții. În figură, acest fapt este marcat cu o desemnare punctată.
Rezumând datele obținute în urma descrierii soluției inegalității x+3y>6, putem spune că dreapta x+3y=6 împarte planul în două semiplane, în timp ce semiplanul situat mai sus reflectă set de valori care satisface inegalitatea x+3y>6 și situate sub linie - soluție la inegalitatea x+3y<6. Данный вывод является важным для понимания, каким образом решаются неравенства, поэтому выведен на экран отдельно в рамке.
În continuare, luăm în considerare un exemplu de rezolvare a unei inegalități nestricte de gradul doi y>=(x-3) 2. Pentru a determina mulțimea de soluții, în apropiere se construiește o parabolă y = (x-3) 2 în figură. Punctul M(x 0 ; y 0) este marcat pe parabolă, ale cărei valori vor fi soluții ale ecuației y = (x-3) 2. În acest punct, se construiește o perpendiculară, pe care se marchează un punct K(x 0 ;y) deasupra parabolei, care va fi soluția inegalității y>(x-3) 2. Putem concluziona că inegalitatea inițială este satisfăcută de coordonatele punctelor situate pe o parabolă dată y = (x-3) 2 și deasupra acesteia. În figură, această zonă de soluție este marcată prin umbrire.
Următorul exemplu care demonstrează poziția pe planul punctelor care sunt o soluție a unei inegalități de gradul doi este o descriere a soluției inegalității x 2 + y 2<=9. На координатной плоскости строится окружность радиусом 3 с центром в начале координат. Отмечается, что решениями уравнения будут точки, сумма квадратов координат которых не превышает квадрата радиуса. Также отмечается, что окружность х 2 +у 2 =9 разбивает плоскость на области внутри окружности и вне круга. Очевидно, что множество точек внутренней части круга удовлетворяют неравенству х 2 +у 2 <9, а внешняя часть - неравенству х 2 +у 2 >9. În consecință, soluția inegalității inițiale va fi mulțimea de puncte de pe cerc și regiunea din interiorul acestuia.
În continuare, luăm în considerare soluția ecuației xy>8. Pe planul de coordonate de lângă sarcină, se construiește o hiperbolă care satisface ecuația xy=8. Marcați punctul M(x 0;y 0) aparținând hiperbolei și K(x 0;y) deasupra acestuia paralel cu axa y. Este evident că coordonatele punctului K corespund inegalității xy>8, întrucât produsul coordonatelor acestui punct depășește 8. Se subliniază că în același mod se poate demonstra corespondența punctelor aparținând zonei B cu inegalitatea xy<8. Следовательно, решением неравенства ху>8 va exista un set de puncte situate în zonele A și C.
Lecția video „Inegalități cu două variabile” poate servi drept ajutor vizual pentru profesor în clasă. Materialul va ajuta, de asemenea, elevii care învață materialul pe cont propriu. Este util să folosiți o lecție video în timpul învățământului la distanță.