Înălțimea efectuată din partea superioară a dreptului. Triunghi dreptunghic

10.05.2021

Proprietate: 1.În orice triunghi dreptunghiular, înălțimea, coborâtă din unghiul direct (pe hipotenuse), împarte triunghiul dreptunghiular, în trei triunghiuri similare.

Proprietate: 2.Înălțimea triunghiului dreptunghiular, coborât pe hipotenuse, este egală cu proiecțiile geometrice medii ale catetelor asupra hipotenusei (sau geometricul mediu al acelor segmente la care înălțimea rupe hipotenusele).

Proprietate: 3.Rădăcina este egală cu ipoteza geometrică medie și proiecția acestei datori pe hipotenuse.

Proprietate: 4.Rădăcinile împotriva unui unghi de 30 de grade sunt egale cu jumătate din hipotenuse.

Formula 1.

Formula 2. unde hipotenuse; , Kartete.

Proprietate: 5.În triunghiul dreptunghiular, medianul petrecut pe hipotenuse este egal cu jumătate și este egal cu raza cercului descris.

Proprietate: 6. Dependența dintre părțile laterale și colțurile triunghiului dreptunghiular:

44. Teorema cosinului. Corolar: comunicarea dintre diagonale și laturile paralelogramei; determinarea tipului de triunghi; formula pentru calcularea lungimii medianului triunghiului; Calculând cosinul colțului triunghiului.

Sfârșitul muncii -

Acest subiect aparține secțiunii:

Clasă. Program Planimetrie fundamentală de colocviu

Proprietatea unghiurilor adiacente .. Definirea a două unghiuri adiacente dacă o parte are una comună în alte două forme o linie dreaptă ..

Dacă aveți nevoie de materiale suplimentare pe acest subiect sau nu ați găsit ceea ce căutau, vă recomandăm să căutați căutarea bazei noastre de lucru:

Ce vom face cu materialul obținut:

Dacă acest material sa dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva în pagina dvs. de socializare:

Triunghiuri.

Noțiuni de bază.

Triunghi - Aceasta este o figură constând din trei segmente și trei puncte care nu se află pe o linie dreaptă.

Se cheamă tăieturile petreceriși puncte - viders..

Suma de colțuri Triunghiul este de 180 °.

Înălțimea triunghiului.

Înălțimea triunghiului - Aceasta este o perpendiculară condusă de partea de sus la partea opusă.

Într-un triunghi acut, înălțimea este conținută în interiorul unui triunghi (figura 1).

Într-un triunghi dreptunghiular, kartetele sunt înălțimile unui triunghi (figura 2).

În înălțimea triunghiului stupid trece în afara triunghiului (figura 3).

Proprietăți de înălțime triunghi:

Bessecttrix triunghi.

Bisector triunghi - Acesta este un segment care împarte unghiul vârfurilor în jumătate și leagă vârful cu un punct de pe partea opusă (figura 5).

Proprietăți Biserică:

Triunghiul median.

Triunghiul median - Acesta este un segment care leagă vârful din mijlocul părții opuse (figura 9a).

Lungimea mediană poate fi calculată prin formula:

2b. 2 + 2c. 2 - a. 2
m A. 2 = ——————
4

unde m A. - Median, petrecut dar.

Într-un triunghi dreptunghiular, o median condusă pentru hipotenuse este egală cu jumătate din hipotenuse:

c.
m C. = —
2

unde m C. - Median cheltuit pe hipotenuse c. (Figura 9V)

Mediansul triunghi se intersectează la un punct (în centrul masei triunghiului) și sunt împărțite la acest punct în raportul 2: 1, numărând pe vârful vertexului. Acesta este, un segment din partea de sus a centrului de două ori tăiați de la centru la partea triunghiului (figura 9c).

Trei medii de triunghi le împărtășesc pe șase triunghiuri izometrice.

Linia de mijloc a triunghiului.

Linia de mijloc a triunghiului - Acesta este un segment care leagă mijlocul celor două laturi (figura 10).

Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu cea de-a treia parte și este egală cu jumătate

Unghiul de triunghi extern.

În aer liber Triunghiul este egal cu suma a două unghiuri interioare ne-negative (figura 11).

Unghiul exterior al triunghiului este mai mare decât orice unghi ne-neural.

Triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic - Acesta este un triunghi care are un colț drept (Fig.12).

Partea triunghiului dreptunghiular, opuse colțului drept, se numește ipotenuză.

Două părți sunt numite catetie.

Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghiular.

1) Într-un triunghi dreptunghiular, înălțimea condusă dintr-un unghi direct formează trei triunghiuri similare: ABC, ACH și HCB (fig.15A). În consecință, unghiurile formate de o înălțime sunt egale cu colțurile A și V.

Fig.14a.

Triunghi isoscel.

Triunghi isoscel - Acesta este un triunghi, în care două părți sunt egale (figura 13).

Aceste partide egale sunt numite lateral, și al treilea - baza Triunghi.

Într-un triunghi echilibrat, unghiurile de la bază sunt egale. (În unghiul nostru triunghi A este egal cu colțul c).

Într-un triunghi echilibru, mediana, condusă la bază, este atât bisectorală, cât și o înălțime de triunghi.

Triunghi echilateral.

Un triunghi echilateral este un triunghi, în care toate partidele sunt egale (Fig.14).

Proprietățile triunghiului echilateral:

Proprietățile minunate ale triunghiurilor.

Triunghiurile au proprietăți originale care vă vor ajuta să rezolvați cu succes problemele asociate cu aceste cifre. Unele dintre aceste proprietăți sunt prezentate mai sus. Dar le repetăm \u200b\u200bdin nou, adăugând câteva alte caracteristici minunate pentru ei:

1) într-un triunghi dreptunghiular cu unghiuri de 90º, 30º și 60º CATAT b.situată opusă unui unghi de 30 ° este egal cu jumătate hipotenusuri. Și Kartet.a. Mai multe categoriib. √3 ori (Fig.15 dar). De exemplu, dacă rola B este egală cu 5, atunci hipotenuse c. în mod necesar egal cu 10 și cattate dar egal cu 5√3.

2) într-un triunghi liber dreptunghiular cu unghiuri de 90º, 45º și 45º Hypotenuse √2 ori mai multe categorii (Fig.15 b.). De exemplu, dacă paturile sunt egale cu 5, atunci hipotenuseul este 5√2.

3) linia de mijloc a triunghiului este egală cu jumătate din lateral paralel (Fig.15 din). De exemplu, dacă partea triunghiului este de 10, atunci linia de mijloc paralelă este de 5.

4) În triunghiul dreptunghiular, medianul efectuat la hipotenuse este egal cu jumătate din hipotenuse (Fig.9V): m C. \u003d C / 2.

5) Mediansul triunghiului, intersectarea la un moment dat, sunt împărțite la acest punct în raportul 2: 1. Adică, un segment din partea de sus la punctul de intersecție a medianului este de două ori tăiat din punctul de intersecție al medianului la partea triunghiului (Fig.9c)

6) În triunghiul dreptunghiular al la mijlocul hipotenusei este centrul cercului descris (Fig.15 d.).

Semne de egalitate de triunghiuri.

Primul semn al egalității: Dacă două laturi și unghiul dintre ele sunt un triunghi sunt egale cu două laturi și colțul dintre ele de un alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Al doilea semn al egalității: Dacă partea și unghiurile unui triunghi adiacent sunt egale cu partea și unghiurile celuilalt triunghi adiacent, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Al treilea semn al egalității: Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Triunghiul de inegalitate.

În orice triunghi, fiecare parte este mai mică decât suma celorlalte două părți.

Teorema lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul de hipotenuse este egal cu suma pătratelor catetelor:

c. 2 = a. 2 + b. 2 .

Zona unui triunghi.

1) Zona triunghiului este egală cu jumătate din activitatea laterală la înălțimea desfășurată spre această parte:

aH.
S. = ——
2

2) Zona triunghiului este egală cu jumătate din munca a două dintre laturile sale pe colțul sinusului între ele:

1
S. = — Abate AC. · păcat. A.
2

Triunghiul descris în apropierea cercului.

Cercul este numit inscripționat în triunghi, dacă se referă la toate părțile sale (Fig.16 dar).

Triunghi, inscripționat într-un cerc.

Triunghiul este numit inscripționat într-un cerc dacă se referă la toate vârfurile (Fig.17 a.).

SINE, Cosină, tangentă, Catangenes unghiul acut al triunghiului dreptunghiular (Fig.18).

Sinus colț acut x. opus Cate pentru hipotenuse.
Denotă așa: păcatulx..

Cosinus colț acut x. triunghiul dreptunghiular este o relație adiacent Cate pentru hipotenuse.
Denotă astfel: cos x..

Tangentă colț acut x. - Acesta este raportul dintre categoriile opuse la catelul adiacent.
Desemnat astfel: Tgx..

Cotangentă colț acut x. - Acesta este raportul dintre catemul adiacent la contrariul.
Denotă așa: CTGx..

Reguli:

Pisica x.este egală cu produsul de hipotenuse asupra păcatului x.:

b \u003d C. · Păcatul. x.

Colţ x.este egal cu produsul de hipotenusuri pe COS x.:

a \u003d C. · COS. x.

Bovine x.este egală cu activitatea celei de-a doua categorii pe Tg x.:

b \u003d A. · Tg. x.

Colţ x.este egală cu activitatea celei de-a doua categorii pe CTG x.:

a \u003d B. · CTG. x..

Pentru orice unghi acut x.:

păcat (90 ° - x.) \u003d Cos. x.

cOS (90 ° - x.) \u003d Păcatul. x.

De fapt, totul nu este atât de înfricoșător. Bineînțeles, definiția "actuală" a sinusurilor, a cosiniei, tangentelor și a catangenelor trebuie privită în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Putem referi: Pentru a rezolva problemele despre un triunghi dreptunghiular, puteți pur și simplu să completați următoarele lucruri simple:

Care este unghiul? Există o pisică care este vizavi de unghi, adică cattat opus (pentru colț)? Desigur, au! Este cathe!

Dar cum rămâne cu unghiul? Priveste cu atentie. Ce fel de cat este adiacent la colț? Desigur, cattat. Deci, pentru catatul de colț - intimitate și

Și acum, atenție! Vedeți ce am făcut:

Vedeți cât de cool:

Acum hai să mergem la tangentă și kotance.

Cum să scriu asta acum? Vizionând ceea ce este în legătură cu colțul? Cu opus, desigur, el "se află" față de colț. Și cattat? Squirting la colț. Deci, ce sa întâmplat cu noi?

Vedeți, numitorul și numitorul au schimbat locurile?

Și acum din nou colțurile și schimbate:

rezumat

Să scriem pe scurt tot ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Teorema principală de pe triunghiul dreptunghiular este teorema Pythagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, îți amintești bine ce sunt Katenets și Hypotenuse? Dacă nu într-adevăr, uitați-vă la desen - distruge cunoștințele

Este posibil să utilizați deja teorema lui Pitagora, dar ați crezut de ce o astfel de teoremă este corectă. Cum să-l dovediți? Și să facem ca greci vechi. Desenați un pătrat cu o parte.

Vedeți cum l-am împărțit pe tăieturile de lungimi și!

Și acum conectați punctele marcate

Aici, adevărul a observat, de asemenea, ceva, dar eu însumi mă uit la desen și gândesc de ce așa.

Care este zona unui pătrat mai mare?

Dreapta, .

Și zona este mai mică?

Sigur, .

A rămas suprafața totală a patru colțuri. Imaginați-vă că le-am luat doi și le-am condus reciproc cu hipotenusuri.

Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, zona de "tuns" este egală.

Să aducem împreună totul împreună.

Transformăm:

Așa că am vizitat Pythagore - l-am dovedit a fi teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghiular și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghiular, se efectuează următoarele rapoarte:

Sinusul unghiului acut este egal cu atitudinea categoriei opuse pentru hipotenuse

Cosina unghiului acut este egală cu atitudinea cateurii adiacente pentru hipotenuse.

Tangentul unghiului acut este egal cu atitudinea opusului catehe la catelul adiacent.

Cotangenes of Unghiul acut este egal cu atitudinea catehului adiacent la catemul opus.

Și din nou, toate acestea sub forma unei plăci:

Este foarte convenabil!

Semne de egalitate de triunghiuri dreptunghiulare

I. Pentru două categorii

II. Pe catete și hipotenuse

III. Pe hipotenuse și colț acut

IV. Pe catelu și colț acut

Atenţie! Este foarte important aici că karteții sunt "relevante". De exemplu, dacă este așa:

Apoi triunghiurile nu sunt egaleÎn ciuda faptului că au un colț acut identic.

Trebuie sa În ambele triunghiuri, cattatul a fost adiacent, fie în ambele - opuse.

Ați observat că semnele de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare diferă de semnele obișnuite ale egalității triunghiurilor?

Ploit în subiect "și să acorde atenție faptului că egalitatea triunghiurilor" obișnuite "necesită egalitatea celor trei elemente: două laturi și unghi între ele, două unghiuri și trei părți între ele sau trei laturi.

Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare, doar două elemente sunt suficiente. Mare, nu?

Aproximativ aceeași situație și semne de similitudinea triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare

I. Prin colțul acut

II. În două categorii

III. Pe catete și hipotenuse

Mediană într-un triunghi dreptunghiular

De ce este așa?

Ia în considerare în loc de un triunghi dreptunghiular un dreptunghi întregi.

Să tragem o diagonală și să luăm în considerare punctul - punctul de intersecție a diagonalelor. Ce se știe despre diagonala dreptunghiului?

Și ce urmează din asta?

Așa că sa dovedit a fi

- MEDIANA:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Și asta este și mai surprinzător, deci este ceea ce este adevărat și declarația opusă.

Ce bun poate fi obținut din faptul că medianul petrecut pe hipotenuse este egal cu jumătate din hipotenuse? Și să ne uităm la imagine

Priveste cu atentie. Avem: Există, adică distanța de la punctul la toate cele trei vârfuri ale triunghiului sa dovedit a fi egale. Dar în triunghi există un singur punct, distanța de la toate cele trei noduri ale triunghiului este egală și acesta este centrul cercului descris. Deci ce s-a întâmplat?

Aici, să începem cu acest "în afară ...".

Să ne uităm la și.

Dar în astfel de triunghiuri, toate colțurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și despre

Și acum o voi trage împreună:

Ce fel de beneficii pot fi învățate din această asemănare "triplă".

Ei bine, de exemplu - Două formule pentru înălțimea triunghiului dreptunghiular.

Scriem relația părților respective:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem Prima formulă "înălțime într-un triunghi dreptunghiular":

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu ceilalți, veți rezolva orice sarcină cu un triunghi dreptunghiular!

Deci, aplicăm o similitudine :.

Ce se va întâmpla acum?

Din nou, rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Ambele formule trebuie să-și amintească foarte bine și să aplice cel care este mai convenabil.

Le scriem din nou

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul hipotenuse este egal cu suma pătratelor catetelor :.

Semne de egalitate de triunghiuri dreptunghiulare:

În două categorii:
pe catete și hipotenuse: sau
pe Catette și colțul acut adiacent: sau
pe catelu și colțul acut opus: sau
pe hipotenuse și colț acut: sau.

Semne de similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare:

un colț acut: sau
a proporționalității a două catete:
din proporționalitatea catechului și a hipotenilor: Or.

Sinus, cosin, tangent, catangen într-un triunghi dreptunghiular

Sine a unghiului acut al triunghiului dreptunghiular se numește atitudinea categoriei opuse pentru hipotenuse:
Cosina unghiului acut al triunghiului dreptunghiular se numește raportul categoriei adiacente pentru hipotenuse:
Tangentul colțului ascuțit al triunghiului dreptunghiular se numește atitudinea categoriei opuse la adiacente:
Cotanganța unghiului acut al triunghiului dreptunghiular se numește raportul categoriei adiacente la opusul :.

Înălțimea triunghiului dreptunghiular: sau.

Într-un triunghi dreptunghiular, o median condusă de la vârful unui unghi direct este egală cu jumătate din hipotenuse :.

Zona triunghiului dreptunghiular:

prin pisici:

Triunghi dreptunghic - Acesta este un triunghi care are unul din colțuri - drept, adică este de 90 de grade.

Partea se opune colțului direct se numește hipotenuse (în figura indicată ca c. sau ab)
Partea adiacentă la colțul drept se numește cathe. Fiecare triunghi dreptunghiular are două categorii (în figura indicată ca a. și b sau ac și bc)

Formule și proprietăți ale unui triunghi dreptunghiular

Denumiri de formule:

(vezi desenul de mai sus)

a, B. - rădăcini de triunghi dreptunghiular

c. - Hypotenuse

α, β - colțurile ascuțite ale triunghiului

S. - Zona

h. - înălțimea, coborâtă din partea superioară a unghiului direct asupra ipotezei

m A. a. din unghiul opus ( α )

m B.- Median, petrecut b. din unghiul opus ( β )

m C.- Median, petrecut c. din unghiul opus ( γ )

ÎN triunghi dreptunghiular oricare dintre catete mai puțin hipotenuse (Formulele 1 și 2). Această proprietate este o consecință a teoremei pithagoreene.

Cosinus din oricare dintre colțurile ascuțite Mai puțină unitate (Formula 3 și 4). Această proprietate rezultă din cea anterioară. Deoarece oricare dintre catte este mai mică decât hipotenuse, atunci raportul dintre catemi pentru hipotenuse este întotdeauna mai mic decât o unitate.

Piața hipotensei este egală cu suma pătratelor catetelor (teorema lui Pythagore). (Formula 5). Această proprietate este utilizată în mod constant la rezolvarea problemelor.

Pătrat de triunghi dreptunghiular O jumătate egală a lucrării cattelor (Formula 6)

Suma pătratelor medianei La vamă, egală cu cinci pătrate de medici la hipotenuse și cinci pătrate de hipotenuse împărțite la patru (Formula 7). Pe lângă specificat, există 5 mai multe formulePrin urmare, este de asemenea recomandat să vă familiarizați cu lecția "triunghiului dreptunghiular" median ", în care proprietățile medianei sunt descrise mai detaliat.

Înălţimetriunghiul dreptunghiular este egal cu produsul de catete împărțit la hipotenuse (Formula 8)

Pătratele de catete sunt invers proporționale cu pătratul înălțimii, coborâți pe hipotenuse (Formula 9). Această identitate este, de asemenea, una dintre consecințele teoremei pithagoreene.

Hypotenusuri de lungime egală cu diametrul (două rază) a cercului descris (Formula 10). Hypotenus al unui triunghi dreptunghiular este diametrul cercului descris. Această proprietate este adesea folosită la rezolvarea problemelor.

Radius inscripționată în triunghi dreptunghic cercputeți găsi ambele jumătate din expresia care include suma catetelor acestui triunghi minus lungimea ipotezei. Sau ca produs de catete, împărțit la suma tuturor laturilor (perimetru) a acestui triunghi. (Formula 11)
Colțul sinusului relația opusă Acest colț cate pentru hipotenuse (prin definirea sinusului). (Formula 12). Această proprietate este utilizată la rezolvarea sarcinilor. Cunoscând părțile părților, puteți găsi unghiul pe care îl formează.

Unghiul de cosinie A (a, alfa) într-un triunghi dreptunghiular va fi egal relație adiacent Acest colț Cate pentru hipotenuse (prin definirea sinusului). (Formula 13)

(ABC) și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Triunghiul dreptunghiular are o parte hipotenuse care se află în fața unghiului direct.

Sfat 1: Cum să găsiți o înălțime într-un triunghi dreptunghiular

Părțile care formează un unghi drept sunt numite categorii. În imaginea laterală AD, DC și BD, DC - Kartete și laturi AC. și Sf. - Hypotenusuri.

Teorema 1. Într-un triunghi dreptunghiular cu un unghi de 30 ° Catt, opus acestui colț, a rulat jumătate din hipotenuse.

hC.

Au. - Hypotenuse;

ANUNȚ și Db.

Triunghi
Există o teoremă:
sistemul de comentare CACKL.E.

Soluție: 1) Diagonala oricărui dreptunghi este egală. Este 2) dacă unul este un unghi ascuțit într-un triunghi, atunci acest triunghi este acut. Neadevarat. Tipuri de triunghiuri. Triunghiul este numit acut, dacă toate cele trei dintre colțurile sale sunt ascuțite, adică mai puțin de 90 ° 3) dacă punctul se află pe.

Sau, într-un alt record,

Potrivit teoremei lui Pythagora

Ceea ce este egal cu înălțimea în triunghiul dreptunghiular al formulei

Înălțimea triunghiului dreptunghiular

Înălțimea triunghiului dreptunghiular, efectuată la hipotenuse, poate fi găsită într-un fel sau altul în funcție de datele privind problema problemei.

Sau, într-un alt record,

În cazul în care proiectarea BK și KC de catete pe hipotenuse (segmente pe care înălțimea împarte ipoteza).

Înălțimea condusă la hipotenuse poate fi găsită prin zona triunghiului dreptunghiular. Dacă aplicați formula pentru găsirea unei zone triunghiulare

(jumătate din partea de lucru la înălțimea efectuată în această parte) la hipotenuse și înălțime efectuate la hipotenuse, obținem:

De aici găsim înălțimea ca raportul dintre zona dublă a triunghiului până la lungimea ipotezei:

Deoarece zona unui triunghi dreptunghiular este egală cu jumătate din munca de catete:

Aceasta este, lungimea înălțimii efectuate la hipotenuse este egală cu raportul dintre produsul de catenă la hipotenuse. Dacă desemnați lungimea piulițelor prin A și B, lungimea hipotenilor prin C, formula poate fi rescrisă ca

Deoarece raza cercului descrisă lângă triunghiul dreptunghiular este egală cu jumătate din hipotenuse, lungimea înălțimii poate fi exprimată prin katenets și raza cercului descris:

Deoarece înălțimea speriată la hipotenuse formează două triunghiuri mai dreptunghiulare, lungimea sa poate fi găsită prin rapoartele într-un triunghi dreptunghiular.

De la un triunghi dreptunghiular abk

De la triunghiul dreptunghiular ack

Lungimea înălțimii triunghiului dreptunghiular poate fi exprimată prin lungimea catetelor. La fel de

Potrivit teoremei lui Pythagora

Dacă construiți ambele părți ale egalității la pătrat:

Puteți obține o altă formulă pentru comunicarea înălțimii unui triunghi dreptunghiular cu vamă:

Ceea ce este egal cu înălțimea în triunghiul dreptunghiular al formulei

Triunghi dreptunghic. Nivel mediu.

Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât sunteți pregătiți pentru examen sau pentru oge?

Teorema principală de pe triunghiul dreptunghiular este teorema Pythagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, îți amintești bine ce sunt Katenets și Hypotenuse? Dacă nu într-adevăr, uitați-vă la desen - distruge cunoștințele

Este posibil să utilizați deja teorema lui Pitagora, dar ați crezut de ce o astfel de teoremă este corectă. Cum să-l dovediți? Și să facem ca greci vechi. Desenați un pătrat cu o parte.

Vedeți cum l-am împărțit pe tăieturile de lungimi și!

Și acum conectați punctele marcate

Aici, adevărul a observat, de asemenea, ceva, dar eu însumi mă uit la desen și gândesc de ce așa.

Care este zona unui pătrat mai mare? Dreapta, . Și zona este mai mică? Sigur, . A rămas suprafața totală a patru colțuri. Imaginați-vă că le-am luat doi și le-am condus reciproc cu hipotenusuri. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, zona de "tuns" este egală.

Să aducem împreună totul împreună.

Așa că am vizitat Pythagore - l-am dovedit a fi teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghiular și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghiular, se efectuează următoarele rapoarte:

Sinusul unghiului acut este egal cu atitudinea categoriei opuse pentru hipotenuse

Cosina unghiului acut este egală cu atitudinea cateurii adiacente pentru hipotenuse.

Tangentul unghiului acut este egal cu atitudinea opusului catehe la catelul adiacent.

Cotangenes of Unghiul acut este egal cu atitudinea catehului adiacent la catemul opus.

Și din nou, toate acestea sub forma unei plăci:

Ați observat un lucru foarte convenabil? Uită-te la placă cu atenție.

Este foarte convenabil!

Semne de egalitate de triunghiuri dreptunghiulare

II. Pe catete și hipotenuse

III. Pe hipotenuse și colț acut

IV. Pe catelu și colț acut

Atenţie! Este foarte important aici că karteții sunt "relevante". De exemplu, dacă este așa:

Apoi triunghiurile nu sunt egaleÎn ciuda faptului că au un colț acut identic.

Trebuie sa În ambele triunghiuri, cattatul a fost adiacent, fie în ambele - opuse.

Ați observat că semnele de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare diferă de semnele obișnuite ale egalității triunghiurilor? În acest subiect "triunghi" și să acorde atenție faptului că egalitatea triunghiurilor "obișnuite" necesită egalitatea celor trei elemente: două părți și unghiuri între ele, două unghiuri și partea între ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare, doar două elemente sunt suficiente. Mare, nu?

Aproximativ aceeași situație și semne de similitudinea triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare

III. Pe catete și hipotenuse

Mediană într-un triunghi dreptunghiular

Ia în considerare în loc de un triunghi dreptunghiular un dreptunghi întregi.

Să tragem o diagonală și să luăm în considerare punctul din punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonala dreptunghiului?

Punctul de intersecție al diagonalei este împărțit în jumătate din diagonalele sunt egale

Și ce urmează din asta?

Așa că sa dovedit a fi

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Și asta este și mai surprinzător, deci este ceea ce este adevărat și declarația opusă.

Ce bun poate fi obținut din faptul că medianul petrecut pe hipotenuse este egal cu jumătate din hipotenuse? Și să ne uităm la imagine

Aici, să începem cu asta "în afară de asta. "

Dar în astfel de triunghiuri, toate colțurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și despre

Și acum o voi trage împreună:

Și aceleași colțuri ascuțite!

Ce fel de beneficii pot fi învățate din această asemănare "triplă".

Ei bine, de exemplu - Două formule pentru înălțimea triunghiului dreptunghiular.

Scriem relația părților respective:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem Prima formulă "înălțime într-un triunghi dreptunghiular":

Cum să obțineți al doilea?

Și acum vom aplica similitudinea triunghiurilor și.

Deci, aplicăm o similitudine :.

Ce se va întâmpla acum?

Din nou, rezolvăm proporția și obținem a doua formulă "Înălțime într-un triunghi dreptunghiular":

Ambele formule trebuie să-și amintească foarte bine și să aplice cel care este mai convenabil. Le scriem din nou

Ei bine, acum, aplicând și combinând aceste cunoștințe cu ceilalți, veți rezolva orice sarcină cu un triunghi dreptunghiular!

Comentarii

Distribuția materialelor fără negociere este permisă dacă există o legătură Dofollow către pagina sursă.

Politica de Confidențialitate

Respectarea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Citiți politica noastră de confidențialitate și ne informați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

În conformitate cu informațiile personale este supusă datelor care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a comunica cu acesta.

Puteți fi solicitat să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când vă conectați cu noi.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi astfel de informații.

Ce informații personale colectăm:

Când lăsați o aplicație pe site, putem colecta diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Așa cum folosim informațiile dvs. personale:

Proprietatea înălțimii triunghiului dreptunghiular, a coborât pe hipotenuse

Dacă participați la premiile, concurența sau evenimentul de stimulare similar, putem utiliza informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. la terțe părți.

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în proces și / sau pe baza interogărilor publice sau a cererilor de către organismele de stat pe teritoriul Federației Ruse - pentru a vă dezvălui informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă definim că o astfel de divulgare este necesară sau adecvată în scopul securității, menținând legea și ordinea sau alte cazuri importante din punct de vedere social. În cazul reorganizării, fuziunilor sau vânzărilor, putem transmite informațiile personale pe care le colectăm corespunzătoare părții terțe - un succesor.

Protecția informațiilor personale

Facem măsuri de precauție - inclusiv administrativ, tehnic și fizic - pentru a vă proteja informațiile personale de la pierderea, furtul și utilizarea lipsită de scrupule, precum și de la accesul neautorizat, dezvăluire, schimbări și distrugere.

Respectarea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a vă asigura că informațiile dvs. personale sunt sigure, aducem norma confidențialității și securității angajaților noștri și respectăm cu strictețe executarea măsurilor de confidențialitate.

Vă mulțumim pentru mesaj!

Comentariul dvs. este acceptat, după moderare va fi publicată pe această pagină.

Doriți să știți ce este ascuns sub tăiere și obțineți materiale exclusive despre pregătirea pentru Oge și Ege? Lăsați e-mailul

Proprietățile unui triunghi dreptunghiular

Luați în considerare un triunghi dreptunghiular (ABC) și proprietățile sale, care sunt prezentate în figură. Triunghiul dreptunghiular are o parte hipotenuse care se află în fața unghiului direct. Părțile care formează un unghi drept sunt numite categorii. În imaginea laterală AD, DC și BD, DC - Kartete și laturi AC. și Sf. - Hypotenusuri.

Semne ale egalității triunghiului dreptunghiular:

Teorema 1. Dacă hipotenuse și rola triunghiului dreptunghiular sunt similare cu hipotenurul și o rolă de alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Teorema 2. Dacă două cenți ale triunghiului dreptunghiular sunt egale cu două categorii de alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Teorema 3. Dacă hipotenuse și colțul acut al triunghiului dreptunghiular sunt similare cu unghiul hipotenour și acut al unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

TEOREM 4. DACĂ CATATĂ ȘI ADIANTAT (opus), colțul ascuțit al triunghiului dreptunghiular este egal cu culoarea culturii adiacentă (opusă) a celuilalt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Proprietățile categoriei, un colț opus de 30 °:

Teorema 1.

Înălțimea într-un triunghi dreptunghiular

Într-un triunghi dreptunghiular cu un unghi de 30 ° Catt, opus acestui colț, a rulat jumătate din hipotenuse.

Teorema 2. Dacă într-un triunghi dreptunghiular, catta este egală cu jumătate din hipotenuse, unghiul opus este de 30 °.

Dacă înălțimea este efectuată de la vârful unghiului direct la hipotenuse, atunci un astfel de triunghi este împărțit în două mai mici, similare cu cele ulterioare și similare celei altora. Aceste concluzii sunt urmate de aceasta:

Înălțimea este un geometric mediu (proporțional mediu) două segmente de hipotenuse.
Fiecare Catt Triangle este o hipotenuse proporțională medie și segmente adiacente.

În triunghiul dreptunghiular în rolul înălțimilor proeminente casele. Orthoccentul este un astfel de punct pe care apare înălțimea triunghiului. Coincide cu partea superioară a unghiului drept al figurii.

hC. - înălțimea care părăsește colțul direct al triunghiului;

Au. - Hypotenuse;

ANUNȚ și Db. - Segmente care au apărut atunci când se împarte înălțimea hipotenilor.

Reveniți pentru a vizualiza certificatele despre disciplina "Geometry"

Triunghi - Aceasta este o formă geometrică constând din trei puncte (vârfuri) care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente care conectează aceste puncte. Triunghiul dreptunghiular se numește un triunghi având unul dintre unghiuri la 90 ° (unghi drept).
Există o teoremă: Suma colțurilor ascuțite a triunghiului dreptunghiular este de 90 °.
sistemul de comentare CACKL.E.

Cuvinte cheie: Triunghi, dreptunghiular, cathe, hipotenuse, teorema Pitagora, cerc

Triunghi numit dreptunghiularDacă are un colț drept.
Triunghiul dreptunghiular are două laturi reciproc perpendiculare, numite catetie; A treia parte este numită ipotenuză.

Conform proprietăților ipotenusurilor perpendiculare și înclinate sunt mai lungi decât fiecare dintre catte (dar mai puțin decât suma lor).
Suma celor două colțuri ascuțite ale triunghiului dreptunghiular este egală cu colțul direct.
Două înălțimi ale triunghiului dreptunghiular coincid cu obiceiurile sale. Prin urmare, unul din cele patru puncte minunate intră în partea de sus a colțului direct al triunghiului.
Centrul cercului descris al triunghiului dreptunghiular se află în mijlocul hipotensei.
Medianul unui triunghi dreptunghiular, condus din partea de sus a unghiului sferei pe hipotenuse, este o rază a circumferinței descrisă în apropierea acestui triunghi.

Luați în considerare un triunghi dreptunghiular arbitrar ABC și petreceți CD-ul de înălțime \u003d HC de la vârful unghiului său direct.

Aceasta sparge acest triunghi în două triunghiuri dreptunghiulare de ACD și ADM; Fiecare dintre aceste triunghiuri are un unghi ascuțit de un triunghi și, prin urmare, este similar cu triunghiul ABC.

Toate cele trei triunghiuri ABC, ACD și ALD sunt similare unul cu celălalt.

Din similitudinea triunghiurilor, sunt determinate relațiile:

$$ H \u003d \\ SQRT (A_ (C) \\ CDOT B_ (C)) \u003d \\ Frac (A \\ CDOT B) (C) $$;
c \u003d AC + BC;
$$ a \u003d \\ sqrt (a_ (c) \\ cdot c), b \u003d \\ sqrt (b_ (c) \\ cdot c) $$;
$$ (\\ frac (a) (b)) ^ (2) \u003d \\ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

teorema lui Pitagora Una dintre teoremele fundamentale ale geometriei Euclidean, care stabilește raportul dintre părțile laterale ale triunghiului dreptunghiular.

Textul geometric. Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul pătratului construit pe hipotenuse este egal cu suma pătratelor pătratelor construite pe categorii.

Formularea algebrică.Într-un triunghi dreptunghiular, pătratul hipotenuse este egal cu suma pătratelor catetelor.
Adică referindu-se la lungimea hipotenusei triunghiului prin C, și lungimea catalelor prin A și B:
A2 + B2 \u003d C2

Teorema inversă a pythagorean.

Înălțimea triunghiului dreptunghiular

Pentru orice triplu de numere pozitive a, b și c, astfel încât
A2 + B2 \u003d C2,
Există un triunghi dreptunghiular cu Cates A și B și Hypotenurus C.

Semne de egalitate de triunghiuri dreptunghiulare:

pe catete și hipotenuse;
în două categorii;
pe catete și colț acut;
pe hipotenuse și colț acut.

Vezi si:
Zona triunghiului, un triunghi de echilibru, un triunghi echilateral

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

ANUNȚ : CD \u003d CD. : Bd. Prin urmare, CD2 \u003d anunț ∙ Bd. Ei spun:

ANUNȚ : AC \u003d AC. : AB. Prin urmare, AC2 \u003d AB ∙ ANUNȚ. Ei spun:

Bd. : Bc \u003d bc. : AB. Prin urmare, BC2 \u003d AB ∙ Bd.

Rezolvați sarcinile:

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Înălțimea triunghiului dreptunghiular, efectuată la hipotenuse, împarte ipoteza la segmentele 9 și 36.

Determină lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

8. Desen animat de un triunghi dreptunghiular este de 30 de ani.

Cum să găsiți o înălțime într-un triunghi dreptunghiular?

Găsiți distanța de la vârful unui unghi direct la hipotenusuri dacă raza circumferinței descrisă în apropierea acestui triunghi este de 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Verificați răspunsurile!

G8.04.1. Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghiular

Geometrie. 8 Clasă. Test 4. Opțiune 1 .

În Δ abc ∠av \u003d 90 °. AC și Sun Katenets, AB Hypotenuse.

Înălțimea CD a triunghiului efectuată la hipotenuse.

Proiecția anunțului de către hipotenuse,

BD proiectarea soarelui pe hipotenuse.

Înălțimea CD-ului împarte triunghiul ABC la două similare cu acesta (și reciproc) al triunghiului: Δ ADC și Δ CDB.

A proporționalității părților laterale ale ADC și Δ Δ CDB urmează:

ANUNȚ : CD \u003d CD. : Bd.

Proprietatea înălțimii triunghiului dreptunghiular, coborât pe hipotenuse.

Prin urmare, CD2 \u003d anunț ∙ Bd. Ei spun: Înălțimea triunghiului dreptunghiular, efectuată la hipotenuse,există o valoare medie proporțională între proiecțiile de catete pe hipotenuse.

De la similitudinea Δ ADC și Δ ACB urmează:

ANUNȚ : AC \u003d AC. : AB. Prin urmare, AC2 \u003d AB ∙ ANUNȚ. Ei spun: fiecare cattă este valoarea proporțională medie între întreaga hipotenuse și proiecția acestei categorii pe hipotenuse.

În mod similar, de la similitudinea Δ CDV și Δ ACB urmează:

Bd. : Bc \u003d bc. : AB. Prin urmare, BC2 \u003d AB ∙ Bd.

Rezolvați sarcinile:

1. Pentru a găsi înălțimea triunghiului dreptunghiular, efectuată la hipotenuse, dacă împarte ipoteza la segmente de 25 cm și 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Înălțimea triunghiului dreptunghiular, efectuată la hipotenuse, împarte ipoteza la segmentele 9 și 36. Determinați lungimea acestei înălțimi.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Înălțimea triunghiului dreptunghiular, efectuată la hipotenuse, este de 22, proiecția unuia dintre paturi este de 16. Găsiți proiecția unei alte categorii.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Desen animat de triunghi dreptunghiular este de 18 ani, iar proiecția sa pe hipotenuse 12. Găsiți hipotenuse.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hypotenuse este 32. Găsiți cattat, proiecția căreia este 2 din hipotenuse.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hipotenuzele triunghiului dreptunghiular este 45. Găsiți cattat, proiecția căreia este egală cu hypotenusele 9.

8. Rădăcinile unui triunghi dreptunghiular este de 30. găsiți distanța de la vârful unghiului direct la hipotenuse dacă raza circumferinței descrisă în apropierea acestui triunghi este de 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hipotenuzele triunghiului dreptunghiular este de 41, iar proiecția unuia dintre cattete 16. Găsiți lungimea înălțimii conduse de vârful unghiului direct la hipotenuse.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Diferența dintre previziunile de catete pe hipotenuse este de 15, iar distanța de la vârful unghiului direct la hipotenuse este 4. Găsiți raza cercului descris.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.