Priamka dotýkajúca sa kružnice zviera uhol 90 s polomerom nakresleným k bodu dotyku. Na zostrojenie priamky dotýkajúcej sa kružnice v danom bode je teda potrebné nakresliť požadovanú priamku kolmo na polomer.
Uvažujme o niekoľkých príkladoch konštrukcie dotyčníc a konjugácií.
PRÍKLAD 1
Cez bod A nakreslite priamku dotýkajúcu sa kružnice so stredom O 1
Na vyriešenie problému vykonávame nasledujúce konštrukcie:
1) spojte body O 1 a A priamkou;
2) z bodu O 2 - stred úsečky O 1 A - nakreslite pomocnú kružnicu s polomerom O 2 A, až kým sa nepretína s danou kružnicou v bode B.
Ten je bodom dotyku, pretože uhol ABO 1 je rovný 90 (vychádza
na priemere AO 1), preto je polomer O 1 B spoločnou normálou k priamke a kruhovému oblúku v bode B.
PRÍKLAD 2
Zostrojte spoločnú dotyčnicu dvoch kružníc s polomermi R 1 a R 2 (obr. 3.4).
Na vyriešenie problému vykonávame nasledujúce konštrukcie:
1) zo stredu O 1 veľkého kruhu nakreslíme pomocný kruh s polomerom rovným rozdielu medzi R 1 a R 2, t.j. R 1 - R 2;
2) k tejto kružnici z bodu O 2 nakreslíme dotyčnicu O 2 K tak, ako to bolo urobené v príklade 1;
3) pokračujeme po priamke O 1 K, až kým sa nepretne s danou veľkou kružnicou, dostaneme bod B, ktorý je bodom dotyku. Z bodu O 2 vedieme priamku rovnobežnú s O 1 B, kým sa priamka nepretína s kružnicou v bode A, ktorý je druhým bodom dotyku dotyčnice AB.
Ryža. 3.3. Konštrukcia dotyčnice
riadok do kruhu
Ryža. 3.4. Konštrukcia dotyčnice
do dvoch kruhov
3.3. Konjugácia dvoch línií
PRÍKLAD 3
Zostrojte konjugáciu dvoch pretínajúcich sa priamok m a n s polomerom
konjugácia R c (obr. 3.5).
Ryža. 3.5. Konštrukcia konjugácie dvoch pretínajúcich sa čiar
pustme kolmice na dané priamky a získame konjugačné body A a B; z bodu O s polomerom R c nakreslíme medzi bodmi A a B oblúk konjugácie.
3.4. Konjugácia priamky s kruhom (vnútorná a vonkajšia)
PRÍKLAD 4
Zostrojte vonkajšie a vnútorné konjugácie kružnice s polomerom R c
so stredom O 1 s priamkou t oblúkom daného polomeru konjugácie.
D Ryža. 3.6. Budovanie externého konjugácia kruhu a priamky Ryža. 3.7. Konštrukcia vnútornej konjugácie kruhu a priamky
Ak chcete vytvoriť externú väzbu, vykonajte nasledujúce akcie
|
1) nakreslite priamku m rovnobežnú s priamkou t vo vzdialenosti R c a pomocnú kružnicu od stredu O 1 s polomerom (R 1 + R c); priesečník priamky m a pomocnej kružnice - bod O - je stredom konjugačného oblúka; 2) spojíme stredy O 1 a O priamkou, jej priesečník s danou kružnicou dá prvý bod konjugácie - bod A; 3) pustíme kolmicu z bodu O na danú priamku t a získame druhý bod konjugácie - bod B; 4) z bodu O nakreslíme oblúk konjugácie AB s polomerom R c. Konštrukcia vnútornej konjugácie kružnice s priamkou (obr. 3.7) sa vykonáva podobne ako konštrukcia vonkajšej konjugácie. Rozdiel spočíva v tom, že polomer pomocnej kružnice sa nerovná súčtu polomerov, ale ich rozdielu (R 1 – R s). |
Pri kreslení obrysov objektov je pomerne často potrebné postaviť spoločné dotyčnice k dvom oblúkom kružníc. Spoločná dotyčnica dvoch kružníc môže byť vonkajšia, ak sú obe kružnice umiestnené na tej istej strane, a vnútorná, ak sa kružnice nachádzajú na rôznych stranách dotyčnice.
Konštrukcia spoločnej vonkajšej dotyčnice dvoch kružníc s polomermi R a r (Obrázok 47). Zo stredu kruhu väčšieho polomeru - bodov O 1 opísať kružnicu s polomerom R – r (Obrázok 47, a). Nájdite stred segmentu O 2 O 1 – bod O 3 a z nej nakreslite pomocnú kružnicu s polomerom O 3 O 2 alebo O 3 O 1. Oba nakreslené kruhy sa v bodoch pretínajú A a AT . bodov O 1 a B spájať priamku a v jej priesečníku s polomerom kružnice R definovať kontaktný bod D (Obrázok 47, b). Z jedného bodu O 2 rovnobežne s priamkou O 1 D nakreslite čiaru, kým sa nepretína s kruhom s polomerom r a získajte druhý dotykový bod C . Rovno CD je požadovaná dotyčnica. Zostrojí sa aj druhá spoločná vonkajšia dotyčnica k týmto kružniciam (priamka EF ).
Obrázok 47
Konštrukcia spoločnej vnútornej dotyčnice dvoch kružníc s polomermi R a r (Obrázok 48). Zo stredu ľubovoľného kruhu, napríklad: body O 1 , opíšte kružnicu s polomerom R +r (Obrázok 48, a). Rozdelenie segmentu O 2 O 1 znížiť na polovicu, získať bod O 3 . Z jedného bodu O 3 ako opísať druhú pomocnú kružnicu od stredu s polomerom O 3 O 2 = O 3 O 1 a označte body A a AT priesečníky pomocných kružníc. Spojenie priamych bodov A a O 1 (Obrázok 48, b), v jeho priesečníku s kruhom s polomerom R získať dotykový bod D . Cez stred kruhu s polomerom r nakreslite čiaru rovnobežnú s čiarou O 1 D , a v jej priesečníku s danou kružnicou sa určí druhý bod dotyku OD . Rovno CD – vnútorná dotyčnica k daným kružniciam. Druhá dotyčnica je skonštruovaná podobne EF .
Obrázok 48
3.3 Konjugáty s kruhovým oblúkom
3.3.1 Konjugácia dvoch čiar oblúkom kruhu
Všetky úlohy na konjugáciu oblúkom možno zredukovať na dva typy. Párovanie sa vykonáva buď daným polomerom párovacieho oblúka, alebo cez bod špecifikovaný na jednej z párovacích línií. V oboch prípadoch je potrebné zostrojiť stred párovacieho oblúka.
Konjugácia dvoch pretínajúcich sa čiar oblúkom s daným polomerom R c (Obrázok 49, a). Pretože párovací oblúk sa musí dotýkať daných čiar, potom musí byť jeho stred odstránený z každej čiary o veľkosť rovnajúcu sa polomeru R c . Konjugácia je postavená takto. Sú nakreslené dve priame čiary, rovnobežné s danými a vzdialené od nich polomerom R c a vyznačte bod na priesečníku týchto čiar O – stred párovacieho oblúka. Z jedného bodu O pustite kolmicu na každú z uvedených čiar. Kolmé základne - body A a B – sú body dotyku párovacieho oblúka. Táto konštrukcia konjugácie platí pre dve pretínajúce sa priamky, ktoré zvierajú ľubovoľný uhol. Na spárovanie strán pravého uhla môžete použiť aj metódu znázornenú na obrázku 49, b.
Obrázok 49
Konjugácia dvoch pretínajúcich sa čiar, z ktorých na jednej je daný bod dotyku A párovacieho oblúka (Obrázok 50). Je známe, že ťažisko stredov oblúkov spájajúcich dve pretínajúce sa čiary je osou uhla zvieraného týmito čiarami. Preto zostrojením osy uhla z bodu dotyku A obnovte kolmicu na priamku, kým sa nepretína s osou a označte bod O – stred párovacieho oblúka. klesá z bodu O kolmo na inú priamku, získajte druhý dotykový bod B a polomer R c =OA=OB vykonať konjugáciu dvoch priamok, z ktorých na jednej bol nastavený bod dotyku.
Konjugácia dvoch rovnobežných čiar oblúkom prechádzajúcim daným bodom dotyku A (Obrázok 51). Z jedného bodu A obnovte kolmicu na dané čiary a vyznačte bod v jej priesečníku s druhou čiarou B . Segment čiary AB rozdeliť na polovicu a získať bod O - stred párovacieho oblúka s polomerom.
Obrázok 50 Obrázok 51
Transekty, tangenty – to všetko bolo možné počuť na hodinách geometrie stokrát. Ale absolvovanie školy je za nami, roky plynú a všetky tieto vedomosti sú zabudnuté. Čo treba pamätať?
Esencia
Pojem „dotyčnica ku kruhu“ pozná snáď každý. Je však nepravdepodobné, že každý bude schopný rýchlo sformulovať jeho definíciu. Medzitým je dotyčnica taká priamka ležiaca v rovnakej rovine s kružnicou, ktorá ju pretína iba v jednom bode. Môže ich existovať veľké množstvo, ale všetky majú rovnaké vlastnosti, o ktorých sa bude diskutovať nižšie. Ako asi tušíte, bod dotyku je miesto, kde sa kružnica a čiara pretínajú. V kazdom pripade je to jeden, ale ak ich bude viac, tak to bude secant.
História objavovania a štúdia
Pojem tangenty sa objavil už v staroveku. Konštrukcia týchto priamok, najprv do kruhu a potom pomocou pravítka a kružidla elipsy, paraboly a hyperboly, bola vykonaná už v počiatočných fázach vývoja geometrie. Samozrejme, história nezachovala meno objaviteľa, ale je zrejmé, že už vtedy si ľudia celkom dobre uvedomovali vlastnosti dotyčnice ku kružnici.
V modernej dobe sa záujem o tento fenomén opäť rozhorel – začalo sa nové kolo štúdia tohto konceptu spojené s objavovaním nových kriviek. Galileo teda predstavil koncept cykloidy a Fermat a Descartes k nemu postavili tangentu. Čo sa týka kruhov, zdá sa, že v tejto oblasti nezostali pre starých ľudí žiadne tajomstvá.
Vlastnosti
Polomer nakreslený k priesečníku bude
hlavná, ale nie jediná vlastnosť, ktorú má dotyčnica ku kružnici. Ďalšou dôležitou vlastnosťou sú už dve rovné čiary. Takže cez jeden bod ležiaci mimo kruhu možno nakresliť dve dotyčnice, pričom ich segmenty budú rovnaké. Na túto tému existuje ďalšia teoréma, ktorá sa však v rámci štandardného školského kurzu preberá len zriedka, hoci je mimoriadne vhodná na riešenie niektorých problémov. Znie to takto. Z jedného bodu, ktorý sa nachádza mimo kruhu, sa k nemu nakreslí dotyčnica a sečnica. Vznikajú segmenty AB, AC a AD. A je priesečník čiar, B je bod dotyku, C a D sú priesečníky. V tomto prípade bude platiť nasledujúca rovnosť: dĺžka dotyčnice ku kružnici, na druhú, bude rovná súčinu segmentov AC a AD.
Z vyššie uvedeného je dôležitý dôsledok. Pre každý bod kruhu môžete postaviť dotyčnicu, ale iba jednu. Dôkaz toho je celkom jednoduchý: teoreticky pustením kolmice z polomeru na ňu zistíme, že vytvorený trojuholník nemôže existovať. A to znamená, že dotyčnica je jedinečná.
Budovanie
Medzi inými úlohami v geometrii existuje špeciálna kategória, spravidla nie
uprednostňované žiakmi a študentmi. Na riešenie úloh z tejto kategórie potrebujete iba kružidlo a pravítko. Toto sú stavebné úlohy. Existujú aj metódy na zostavenie dotyčnice.
Takže, ak je daný kruh a bod ležiaci mimo jeho hraníc. A cez ne je potrebné nakresliť dotyčnicu. Ako to spraviť? Najprv musíte nakresliť segment medzi stredom kruhu O a daným bodom. Potom ho pomocou kružidla rozdeľte na polovicu. Na to je potrebné nastaviť polomer – o niečo viac ako polovicu vzdialenosti medzi stredom pôvodnej kružnice a daným bodom. Potom musíte postaviť dva pretínajúce sa oblúky. Okrem toho nie je potrebné meniť polomer kompasu a stredom každej časti kruhu bude počiatočný bod a O. Priesečníky oblúkov musia byť spojené, čím sa segment rozdelí na polovicu. Na kompase nastavte polomer rovný tejto vzdialenosti. Potom so stredom v priesečníku nakreslite ďalší kruh. Bude na ňom ležať počiatočný bod aj bod O. V tomto prípade budú ďalšie dva priesečníky s kružnicou uvedenou v úlohe. Budú to dotykové body pre pôvodne daný bod.
Práve konštrukcia dotyčníc ku kružnici viedla k zrodu
diferenciálny počet. Prvú prácu na túto tému publikoval slávny nemecký matematik Leibniz. Poskytol možnosť nájsť maximá, minimá a dotyčnice bez ohľadu na zlomkové a iracionálne hodnoty. Teraz sa používa aj na mnohé iné výpočty.
Okrem toho dotyčnica ku kružnici súvisí s geometrickým významom dotyčnice. Odtiaľ pochádza jeho názov. V preklade z latinčiny znamená tangens "tangens". Tento pojem je teda spojený nielen s geometriou a diferenciálnym počtom, ale aj s trigonometriou.
Dva kruhy
Tangenta neovplyvňuje vždy iba jeden obrazec. Ak sa do jedného kruhu dá nakresliť veľké množstvo priamych čiar, tak prečo nie naopak? Môcť. Úloha je však v tomto prípade vážne komplikovaná, pretože dotyčnica k dvom kruhom nemusí prechádzať žiadnymi bodmi a relatívna poloha všetkých týchto útvarov môže byť veľmi
rôzne.
Druhy a odrody
Pokiaľ ide o dva kruhy a jednu alebo viac rovných čiar, aj keď je známe, že ide o dotyčnice, nie je okamžite jasné, ako sú všetky tieto čísla navzájom umiestnené. Na základe toho existuje niekoľko odrôd. Takže kruhy môžu mať jeden alebo dva spoločné body alebo ich nemajú vôbec. V prvom prípade sa budú pretínať a v druhom sa budú dotýkať. A tu sú dve odrody. Ak je jeden kruh akoby vložený do druhého, potom sa dotyk nazýva vnútorný, ak nie, potom vonkajší. Relatívnu polohu figúr môžete pochopiť nielen na základe výkresu, ale aj informáciou o súčte ich polomerov a vzdialenosti medzi ich stredmi. Ak sú tieto dve množstvá rovnaké, potom sa kruhy dotýkajú. Ak je prvý väčší, pretínajú sa a ak menej, potom nemajú spoločné body.
To isté s rovnými čiarami. Pre akékoľvek dva kruhy, ktoré nemajú spoločné body, jeden môže
postaviť štyri dotyčnice. Dve z nich sa budú pretínať medzi postavami, nazývajú sa vnútorné. Pár ďalších je externých.
Ak hovoríme o kruhoch, ktoré majú jeden spoločný bod, potom je úloha značne zjednodušená. Faktom je, že pre akékoľvek vzájomné usporiadanie v tomto prípade budú mať iba jednu tangentu. A prejde bodom ich priesečníka. Takže konštrukcia obtiažnosti nespôsobí.
Ak majú obrazce dva priesečníky, možno pre ne zostrojiť priamku, dotyčnicu ku kružnici, jednu aj druhú, ale iba vonkajšiu. Riešenie tohto problému je podobné tomu, o ktorom sa bude diskutovať nižšie.
Riešenie problémov
Vnútorné aj vonkajšie dotyčnice dvoch kružníc nie sú konštrukčne také jednoduché, aj keď tento problém možno vyriešiť. Faktom je, že sa na to používa pomocná figúrka, takže si túto metódu vymyslite sami
dosť problematické. Takže, dané dva kruhy s rôznymi polomermi a stredmi O1 a O2. Pre nich musíte postaviť dva páry dotyčníc.
Najprv musíte v blízkosti stredu väčšieho kruhu postaviť pomocný kruh. V tomto prípade musí byť na kompase stanovený rozdiel medzi polomermi dvoch počiatočných číslic. Tangenty k pomocnému kruhu sú postavené zo stredu menšieho kruhu. Potom sa od O1 a O2 nakreslia kolmice na tieto čiary, kým sa nepretnú s pôvodnými obrazcami. Ako vyplýva z hlavnej vlastnosti dotyčnice, požadované body sa nachádzajú na oboch kružniciach. Problém je vyriešený aspoň jeho prvá časť.
Aby bolo možné zostrojiť vnútorné dotyčnice, je potrebné ich prakticky vyriešiť
podobnú úlohu. Opäť je potrebná pomocná figúrka, ale tentoraz sa jej polomer bude rovnať súčtu pôvodných. Tangenty sú k nemu zostrojené zo stredu jednej z daných kružníc. Ďalší priebeh riešenia možno pochopiť z predchádzajúceho príkladu.
Tangenta ku kruhu alebo dokonca dvom alebo viacerým nie je taká náročná úloha. Samozrejme, matematici už dávno prestali riešiť takéto problémy manuálne a dôverujú výpočtom špeciálnym programom. Nemyslite si však, že teraz nie je potrebné, aby ste to dokázali sami, pretože na správne formulovanie úlohy pre počítač musíte urobiť a pochopiť veľa. Žiaľ, existujú obavy, že po definitívnom prechode na testovú formu ovládania vedomostí budú konštrukčné úlohy spôsobovať žiakom čoraz väčšie ťažkosti.
Čo sa týka hľadania spoločných dotyčníc pre viac kružníc, nie je to vždy možné, aj keď ležia v rovnakej rovine. Ale v niektorých prípadoch je možné nájsť takúto čiaru.
Príklady zo života
V praxi sa často stretávame so spoločnou dotyčnicou dvoch kružníc, aj keď to nie je vždy viditeľné. Dopravníky, blokové systémy, remene na prenos remeníc, napätie nite v šijacom stroji a dokonca aj reťaz na bicykli - to všetko sú príklady zo života. Nemyslite si teda, že geometrické problémy zostávajú len v teórii: v strojárstve, fyzike, stavebníctve a mnohých ďalších oblastiach nachádzajú praktické uplatnenie.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia
Gymnázium č.000
Dizajnérske práce na geometrii.
Osem spôsobov, ako zostrojiť dotyčnicu ku kružnici.
9 biologická a chemická trieda
vedecký poradca: ,
zástupca riaditeľa pre akademické záležitosti,
učiteľ matematiky.
Moskva 2012
Úvod
Kapitola 1. ………………………………………………………………………… 4
záver (záver)
Úvod
Najvyšším prejavom ducha je myseľ.
Najvyšším prejavom mysle je geometria.
Geometrická bunka je trojuholník. On je rovnaký
nevyčerpateľné, ako vesmír. Kruh je dušou geometrie.
Poznaj obvod a spoznáš nielen dušu
geometriu, ale aj povzniesť svoju dušu.
Claudius Ptolemaios
Úloha.
Zostrojte dotyčnicu ku kružnici so stredom O a polomerom R prechádzajúcou bodom A ležiacim mimo kružnice
Kapitola 1.
Konštrukcie dotyčnice ku kružnici, ktoré nevyžadujú odôvodnenie na základe teórie rovnobežiek.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°. Pre kruh (O; r) OB - polomer. OB AB, teda AB je dotyčnica na základe dotyčnice.
Podobne AC je dotyčnica ku kružnici.
Konštrukcia č. 1 je založená na skutočnosti, že dotyčnica kružnice je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyčnice.
Pre priamku existuje iba jeden kontaktný bod s kružnicou.
Cez daný bod na priamke možno nakresliť iba jednu kolmú priamku.
Budova číslo 2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°
5. OB - polomer, ABO = 90°, teda AB - dotyčnica na zákl.
6. Podobne v rovnoramennom trojuholníku AON je AC dotyčnica (ACO \u003d 90 °, OS je polomer)
7. AB a AC sú teda dotyčnice
Budova #3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM = OVA= 90° (ako zodpovedajúce uhly v rovnakých trojuholníkoch), teda AB - dotyčnica na základe dotyčnice.
4. Podobne je AC tangens
Budovanie №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Budova číslo 6.
budova:
2. Nakreslite bodom A ľubovoľnú priamku, ktorá v bodoch M a N pretína kružnicu (O, r).
6. AB a BC sú požadované dotyčnice.
Dôkaz:
1. Keďže trojuholníky PQN a PQM sú vpísané do kruhu a strana PQ je priemer kruhu, tieto trojuholníky sú pravouhlé trojuholníky.
2. V trojuholníku PQL sú segmenty PM a QN výšky pretínajúce sa v bode K, takže KL je tretia výška..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° – https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, potom |AQ| = |AS|ctg β Preto |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).
5. Porovnaním (1) a (2) dostaneme |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, alebo
(|OD| + R)(|OA| -R)=(R-|OD|)(|OA| + R).
Po otvorení zátvoriek a zjednodušení zistím, že |OD|·|OA|=R².
5. Zo vzťahu |OD|·|OA|=R² vyplýva, že |OD|:R=R: |OA|, teda trojuholníky ODB a OBA sú podobné..gif" width="17" height=" 16"> OBA=90°. Preto priamka AB je požadovaná dotyčnica, ktorá sa mala dokázať.
Budova číslo 6. 
budova:
1. Nakreslite kružnicu (A; |OA|).
2. Nájdem otvor kompasu rovný 2R, pre ktorý zvolím bod S na kružnici (O; R) a vyčlením tri oblúky, každý po 60º: SP=PQ=QT=60°. Body S a T sú diametrálne odlišné.
3. Postavím kruh (O; ST) pretínajúci sa w 1 Čo je to za kruh? v bodoch M a N.
4. Teraz postavím strednú MO. Aby som to urobil, postavím kruhy (O; OM) a (M; MO) a potom pre body M a O na nich nájdeme diametrálne opačné body U a V.
6. Nakoniec zostrojím kružnicu (K; KM) a (L; LM) pretínajúce sa v požadovanom bode B - strede MO.
dôkaz:
Trojuholníky KMV a UMK sú rovnoramenné a podobné. Preto zo skutočnosti, že KM \u003d 0,5MU, vyplýva, že MB \u003d 0,5MK \u003d 0,5R. Takže bod B je požadovaný kontaktný bod. Podobne môžete nájsť kontaktné miesto C.
Kapitola 3
Konštrukcia dotyčnice ku kružnici na základe vlastností sekán, osi.
Budova #7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Budova #8
budova:
1. Zostrojte kružnicu (A; AP), ktorá pretína priamku AP v bode D.
2. Zostrojte kružnicu w na priemere QD
3. V bode A ju pretnem kolmicou na priamku AR a dostanem body M a N.
dôkaz:
Je zrejmé, že AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Potom sa kružnica (A; AM) pretína (O; R) v bodoch dotyku B a C. AB a AC sú požadované dotyčnice.