Všeobecný vzorec pre sínusovú rovnicu. Metódy riešenia trigonometrických rovníc

14.10.2019

Súlad s vaším súkromím je pre nás dôležitý. Z tohto dôvodu sme vyvinuli zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uložíme vaše informácie. Prečítajte si naše zásady ochrany osobných údajov a informujte nás, ak máte akékoľvek otázky.

Zber a využívanie osobných údajov

Pod osobnými údajmi podlieha údajom, ktoré možno použiť na identifikáciu určitej osoby alebo komunikácie s ním.

Môžete byť požiadaní o poskytnutie vašich osobných údajov kedykoľvek, keď sa s nami pripojíte.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných informácií, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď zanecháte aplikáciu na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Zhromažďovali sme osobné údaje, ktoré nám umožňujú kontaktovať a podávať správy o jedinečných návrhoch, propagačných akciách a iných podujatiach a najbližších udalostiach.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na odoslanie dôležitých oznámení a správ.
Môžeme tiež použiť personalizované informácie pre interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie s cieľom zlepšiť služby našich služieb a poskytnúť vám odporúčania pre naše služby.
Ak sa zúčastňujete na ceny, súťaži alebo podobnej podujatí, môžeme použiť informácie, ktoré poskytnete na správu takýchto programov.

Informácie o zverejnení tretím stranám

Neodkaľujeme informácie získané od vás na tretie strany.

Výnimky:

Ak je to potrebné - v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a / alebo na základe verejných dotazov alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie - odhaliť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak definujete, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné na účely bezpečnosti, udržiavania zákona a poriadku alebo iných sociálne dôležitých prípadov.
V prípade reorganizácie, fúzií alebo predaja môžeme sprostredkovať osobné údaje, ktoré zbierame zodpovedajúce tretej strane - nástupcom.

Ochrana osobných údajov

Urobíme preventívne opatrenia - vrátane administratívnych, technických a fyzických - na ochranu vašich osobných údajov zo straty, krádeže a bezohľadného použitia, ako aj z neoprávneného prístupu, zverejnenia, zmien a ničenia.

Súlad so svojím súkromím na úrovni spoločnosti

Aby ste sa uistili, že vaše osobné údaje sú bezpečné, prinášame našim zamestnancom normu dôvernosti a bezpečnosti a striktne dodržiavať vykonávanie opatrení dôvernosti.

Lekcia pre integrované uplatňovanie vedomostí.

Ciele Lekcia.

Zvážte rôzne metódy riešenia trigonometrické rovnice.
Vývoj tvorivých schopností študenta riešením rovníc.
Robenie študentov na sebaovládanie, vzájomne prepojené, sebaanalýzu svojich študijných činností.

Vybavenie: obrazovka, projektor, referenčný materiál.

Počas tried

Úvodná konverzácia.

Hlavnou metódou riešenia trigonometrických rovníc sú informácie o ich najjednoduchších. V tomto prípade sa používajú bežné metódy, napríklad rozklad multiplikátorov, ako aj techniky používané len na riešenie trigonometrických rovníc. Tieto techniky sú veľmi veľa, napríklad rôzne trigonometrické substitúcie, konverzia uhlov, konverzie trigonometrické funkcie. Nepravidelné použitie akýchkoľvek trigonometrických transformácií zvyčajne nezjednodušuje rovnicu, a to sťažuje katastrofálne. S cieľom vypracovať všeobecné podmienky, plán rovnice riešenia, načrtnúť cestu rovnice na najjednoduchšie, musí najprv analyzovať uhly - argumenty trigonometrických funkcií zahrnutých do rovnice.

Dnes budeme hovoriť o metódach riešenia trigonometrických rovníc. Správne zvolená metóda často umožňuje výrazne zjednodušiť riešenie, takže všetky metódy, ktoré sme naučili, vždy potrebujú udržať svoju pozornosť v zóne, aby vyriešili trigonometrické rovnice najvhodnejšiu metódu.

II. (S pomocou projektora opakujeme metódy riešenia rovníc.)

1. Spôsob prinášajúcej trigonometrickú rovnicu k algebru.

Je potrebné vyjadriť všetky trigonometrické funkcie cez jeden, s rovnakým argumentom. To možno urobiť pomocou hlavnej trigonometrickej identity a jej následkov. Získavame rovnicu s jednou trigonometrickou funkciou. Po prijatí nového neznámeho získavame algebraickú rovnicu. Zistili sme, že korene a vrátime sa na staré neznáme, rieši najjednoduchšie trigonometrické rovnice.

2. Spôsob rozkladu na multiplikátoroch.

Na zmenu rohov sú často užitočné vzorce, sumy a rozdiely argumentov, ako aj vzorec pre transformáciu množstva (rozdiel) trigonometrických funkcií v práci a naopak.

sIN X + SIN 3X \u003d SIN 2X + SIN4X

3. Spôsob zavedenia dodatočného uhla.

4. Spôsob použitia univerzálnej substitúcie.

Rovosti formulára F (SINX, COSX, TGX) \u003d 0 sú redukované na algebraické s pomocou univerzálnej trigonometrickej substitúcie

Vyjadrenie sínusu, kosínu a dotyčnice cez pol uhol dotyčnice. Táto technika môže viesť k cieľovej rovnici. Ktoré riešenie je ťažké.

Zber a využívanie osobných údajov

Pod osobnými údajmi podlieha údajom, ktoré možno použiť na identifikáciu určitej osoby alebo komunikácie s ním.

Môžete byť požiadaní o poskytnutie vašich osobných údajov kedykoľvek, keď sa s nami pripojíte.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných informácií, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď zanecháte aplikáciu na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Zhromažďovali sme osobné údaje, ktoré nám umožňujú kontaktovať a podávať správy o jedinečných návrhoch, propagačných akciách a iných podujatiach a najbližších udalostiach.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na odoslanie dôležitých oznámení a správ.
Môžeme tiež použiť personalizované informácie pre interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie s cieľom zlepšiť služby našich služieb a poskytnúť vám odporúčania pre naše služby.
Ak sa zúčastňujete na ceny, súťaži alebo podobnej podujatí, môžeme použiť informácie, ktoré poskytnete na správu takýchto programov.

Informácie o zverejnení tretím stranám

Neodkaľujeme informácie získané od vás na tretie strany.

Výnimky:

Ak je to potrebné - v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a / alebo na základe verejných dotazov alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie - odhaliť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak definujete, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné na účely bezpečnosti, udržiavania zákona a poriadku alebo iných sociálne dôležitých prípadov.
V prípade reorganizácie, fúzií alebo predaja môžeme sprostredkovať osobné údaje, ktoré zbierame zodpovedajúce tretej strane - nástupcom.

Ochrana osobných údajov

Súlad so svojím súkromím na úrovni spoločnosti

Aby ste sa uistili, že vaše osobné údaje sú bezpečné, prinášame našim zamestnancom normu dôvernosti a bezpečnosti a striktne dodržiavať vykonávanie opatrení dôvernosti.

Metódy riešenia trigonometrických rovníc

Úvod 2.

Metódy riešenia trigonometrických rovníc 5

Algebraic 5.

Riešenie rovníc s použitím rovnosti rovnakých trigonometrických funkcií 7

Ingentálny rozklad 8

Prináša homogénnu rovnicu 10

Zavedenie pomocného uhla 11

Transformácia práce vo výške 14

Univerzálna substitúcia 14.

ZÁVER 17.

Úvod

Až do desiateho ročníka je postup pre akcie mnohých cvičení, ktoré vedú k cieľu pravidlo jedinečne definované. Napríklad lineárne a štvorcové rovnice a nerovnosti, frakčné rovnice a rovnice uvedené v štvorcových a podobne. Bez toho, aby sa podrobne sledoval zásada riešenia každého z uvedených príkladov, poznamenávame, že všeobecné, ktoré je potrebné na ich úspešné rozhodnutie.

Vo väčšine prípadov je potrebné stanoviť, ako je typ úlohy pripomenúť postupnosť akcií vedúcich k cieľu a vykonávať tieto akcie. Je zrejmé, že úspech alebo neúspech študenta vo zvládaní metód riešenia rovníc závisí najmä na tom, koľko to bude schopné správne určiť typ rovnice a vyvolať postupnosť všetkých fáz jeho riešenia. Samozrejme, predpokladá sa, že študent vlastní zručnosti vykonávania identické transformácie a výpočty.

Získa sa úplne odlišná situácia, keď sa školák nachádza s trigonometrickými rovnicami. V tomto prípade zistite skutočnosť, že rovnica je trigonometrická, nie je to ťažké. Ťažkosti vznikajú, keď by sa poradie opatrení viedlo k pozitívnemu výsledku. A tu pred študentom sú dva problémy. Za vzhľad Rovosti sú ťažké určiť typ. Nepoznať typ, je takmer nemožné zvoliť požadovaný vzorec niekoľkých desiatok k dispozícii.

Ak chcete pomôcť študentom nájsť pravú cestu v komplexnom labyrinte trigonometrických rovníc, najprv predstavia rovnice, ktoré po zavedení novej premennej sú uvedené na námestí. Potom vyriešite homogénne rovnice a vedú k nim. Všetko končí podľa pravidla, podľa rovníc, na vyriešenie, ktoré ľavá časť by sa mala rozložiť na multiplikátoroch, pričom sa každý z multiplikátorov na nulu.

Pochopenie, že tam jasne nie sú jasne rozobraté v lekciách jedného a pol roka, aby sa študent v nezávislom plávaní na trigonometrickom "more", učiteľ pridáva niekoľko odporúčaní od seba.

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať:

Vytvorte všetky funkcie rovnice na "rovnaké rohy";

Priniesť rovnicu na "identické funkcie";

Odosielať ľavú časť výrobných rovníc atď.

Ale napriek vedomostiam základných typov trigonometrických rovníc a niekoľkých princípov hľadania ich riešenia, mnohí študenti sú stále v slepom konci pred každou rovnicou, mierne odlišné od tých, ktoré boli vyriešené skôr. Zostáva nejasné, čo by sa malo usilovať o to, že sa má snažiť, že alebo táto rovnica, prečo je v jednom prípade potrebné použiť vzorce dvojitého uhla, v druhej polovici a v treťom výdavkoch atď.

Definícia 1. Trigonometrický sa nazýva rovnica, v ktorej je neznáme obsiahnuté pod znakom trigonometrických funkcií.

Definícia 2. Hovorí sa, že v trigonometrickej rovnici rovnaké uhly, ak všetky trigonometrické funkcie zahrnuté do nej majú rovnaké argumenty. Hovorí sa, že v trigonometrickej rovnici rovnaké funkcie, ak obsahuje iba jednu z trigonometrických funkcií.

Definícia 3. Stupeň single-wing obsahujúce trigonometrické funkcie sa nazýva súčet stupňov trigonometrických funkcií zahrnutých v ňom.

Definícia 4. Rovnica sa nazýva homogénna, ak sa v ňom pozerajú, majú rovnaký stupeň. Tento stupeň sa nazýva poradie rovnice.

Definícia 5. Trigonometrická rovnica obsahujúca iba funkcie hriech. a cos., Nazýva sa homogénny, ak každý je jednoznačný vzhľadom na trigonometrické funkcie majú rovnaký stupeň a trigonometrické funkcie majú rovnaké rohy a počet jednorazových čísel 1 väčších ako rád rovnice.

Metódy na riešenie trigonometrických rovníc.

Riešenie trigonometrických rovníc pozostáva z dvoch stupňov: konverzia rovnice na získanie jeho najjednoduchšieho typu a roztokom vyššie uvedenej trigonometrickej rovnice. Existuje sedem hlavných metód na riešenie trigonometrických rovníc.

I.. Algebraická metóda. Táto metóda je dobre známa z algebry. (Spôsob výmeny premennej a substitúcie).

Riešiť rovnice.

Predstavujeme označenie x.=2 hriech.3 t.dostať sa

Rozhodnutím tejto rovnice dostaneme:
alebo

tí. môže byť zaznamenaný

Pri nahrávaní roztoku získaného z dôvodu prítomnosti značiek moc
Pozdenok nedáva zmysel.

Odpoveď:

Označiť

Prijať kvadratická rovnica
. Jeho korene sú čísla
a
. Preto sa táto rovnica zníži na najjednoduchšie trigonometrické rovnice
a
. Riešenie, zistíte to
alebo
.

Odpoveď:
;
.

Označiť

Nespĺňa stav

Tak

Odpoveď:

Premeníme ľavú časť rovnice:

Táto počiatočná rovnica môže byť napísaná ako:

Označený
dostať sa
Rozhodnutím tejto štvorcovej rovnice máme:

Nespĺňa stav

Zapíšeme riešenie zdrojovej rovnice:

Odpoveď:

Striedanie
znížila rovnicu na štvorcovú rovnicu
. Jeho korene sú čísla
a
. Ako
, zadaná rootová rovnica nemá.

Odpoveď: Žiadne korene.

II.. Riešenie rovníc s použitím stavu rovnosti rovnakých trigonometrických funkcií.

ale)
, Ak

b)
, Ak

v)
, Ak

Použitie týchto podmienok zvážte riešenie nasledujúcich rovníc:

Použitie uvedeného v odseku A) dostaneme, že rovnica má riešenie v tom a len vtedy, keď
.

Riešenie tejto rovnice, nájdeme
.

Máme dve skupiny riešení:

.

7) Riešenie rovnice:
.

Použitie stavu odseku b) to uložíme
.

Riešenie týchto štvorcových rovníc, dostaneme:

8) Riešiť rovnicu
.

Z tejto rovnice to predkladáme. Rozhodovanie tejto štvorcovej rovnice, zistíte, že

.

Iii. Faktorizácia.

Táto metóda sa považuje za príklady.

9) Riešiť rovnicu
.

Rozhodnutie. Presuňte všetkých členov ľavej rovnice :.

Konvertujeme a rozložíme výraz na zariadeniach v ľavej časti rovnice:
.

1)
2)

Pretože
a
Neužívajte hodnotu nula

Zároveň rozdelíme obe časti

rovnice
,

Odpoveď:

10) Riešenie rovnice:

Rozhodnutie.

alebo

Odpoveď:

11) Riešiť rovnicu

Rozhodnutie:

1)
2)
3)

Odpoveď:

Iv. Prináša do homogénnej rovnice.

Vyriešiť homogénnu rovnicu potrebnú:

Previesť všetkých svojich členov na ľavú stranu;

Urobte všetky všeobecné faktory pre zátvorky;

Rovnotovať všetky multiplikátory a konzoly na nulu;

Zátvorky rovné nulu poskytujú homogénnu rovnicu v menšej miere, aby sa rozdelili do
(alebo
) do vysokého stupňa;

Vyriešte získanú algebraickú rovnicu
.

Zvážte príklady:

12) Riešenie rovnice:

Rozhodnutie.

Rozdeľujeme obe časti rovnice
,

Zadávanie označení
názov

korene tejto rovnice:

odtiaľto 1)
2)

Odpoveď:

13) Riešenie rovnice:

Rozhodnutie. Použitie dvojitého uhla vzorcov a hlavnej trigonometrickej identity, dajte túto rovnicu na polovičný argument:

Po podaní podobných podmienok máme:

Rozdelenie homogénnej poslednej rovnice
dostať sa

Poznámka
, dostaneme štvorcovú rovnicu
ktorých korene sú čísla

Touto cestou

Vyjadrenie
na nulovanie, keď
. pre
,
.

Riešenie rovnice získanej USA neobsahuje počet čísel.

Odpoveď:
, .

V.. Zavedenie pomocného uhla.

Zvážte pohľad rovnice

Kde a, B, C - koeficienty x. - Neznáme.

Rozdeľujeme obe časti tejto rovnice

Teraz koeficienty rovnice majú vlastnosti sínusu a kosínu, a to: modul každého z nich nepresahuje jednotku a súčet ich štvorcov sa rovná 1.

Potom ich môžete určiť podľa toho
(tu - Pomocný uhol) a naša rovnica má formulár :.

Potom

A jeho rozhodnutie

Upozorňujeme, že zavedené označenia sú vzájomne vymeniteľné.

14) Riešenie rovnice:

Rozhodnutie. Tu
Takže rozdeľujeme obe časti rovnice

Odpoveď:

15) Riešiť rovnicu

Rozhodnutie. Ako
Potom je táto rovnica rovná rovnici

Ako
Potom je taký uhol
,
(tí.
).

Mať

Ako
, Konečne dostanem:

Všimnite si, že druhová rovnica má potom riešenie a len vtedy, keď

16) Riešenie rovnice:

Na vyriešenie tejto rovnice zoskupené trigonometrické funkcie s rovnakými argumentmi

Rozdelime obe časti rovnice pre dvoch

Premeníme súčet trigonometrických funkcií do práce:

Odpoveď:

Vi. Transformáciu práce vo výške.

Tu sú vhodné vzorce.

17) Riešenie rovnice:

Rozhodnutie. Premenime ľavú časť v množstve:

VII.Univerzálna substitúcia.

tieto vzorce sú pravdivé pre všetkých

Striedanie
Univerzálne.

18) Riešenie rovnice:

Riešenie: Nahradiť a
na ich výraz
A označujú
.

Dostaneme racionálnu rovnicu
ktorý je transformovaný na štvorcový
.

Korene tejto rovnice sú čísla
.

Úloha sa preto znížila na riešenie dvoch rovníc
.

Zistili sme to
.

Hodnota typu
Zdrojová rovnica nespĺňa to, čo je overené kontrolou - nahradenie tejto hodnoty. t. V pôvodnej rovnici.

Odpoveď:
.

Komentár. Rovnica 18 by mohla byť vyriešená iným spôsobom.

Rozdeľujeme obe časti tejto rovnice na 5 (t.j.
):
.

Ako
Potom existuje také číslo
, čo
a
. Rovnica preto má formulár:
alebo
. Odtiaľ to nájdeme
Kde
.

19) Riešiť rovnicu
.

Rozhodnutie. Vzhľadom k tomu, funkcie
a
mať najväčšia hodnotarovná 1, potom ich suma je 2, ak
a
v rovnakom čase, to je
.

Odpoveď:
.

Pri riešení tejto rovnice sa použili obmedzené funkcie a.

Záver.

Práca na téme "Riešenia trigonometrických rovníc" každému učiteľovi je užitočné na splnenie týchto odporúčaní:

Systematizovať metódy riešenia trigonometrických rovníc.

Vyberte si pre seba kroky na vykonanie analýzy rovnice a príznakov vhodnosti použitia jednej alebo inej metódy riešenia.

Premýšľajte o metódach sebakontrolu ich aktivít na implementáciu metódy.

Naučte sa kompilovať "ich" rovnice pre každú z študovaných metód.

Príloha č. 1.

Rozhodovať homogénne alebo vedú k homogénnej rovnici.

1.	OT.
	OT.

	OT.
5.	OT.
	OT.
7.	OT.
	OT.

Trigonometrické rovnice - Téma nie je najjednoduchšia. Ublížili im rôznorodé.) Napríklad, ako:

sIN 2 X + COS3X \u003d CTG5X

hriech (5x + π / 4) \u003d CTG (2x-π / 3)

sinx + COS2X + TG3X \u003d CTG4X

Atď...

Ale tieto (a všetky ostatné) trigonometrické monštrá majú dve spoločné a povinné funkcie. Prvá - neveríte - trigonometrické funkcie sú prítomné v rovniciach.) Druhá: Všetky výrazy s xom sú umiestnené v rámci týchto funkcií. A len tam! Ak xe sa objaví niekde vonku, napr sIN2X + 3X \u003d 3, Toto bude už zmiešaná rovnica. Takéto rovnice vyžadujú individuálny prístup. Tu ich nepovažujeme.

Zlé rovnice V tejto lekcii sa nerozhodneme.) Tu sa budeme zaoberať jednoducho jednoduché trigonometrické rovnice. Prečo? Áno, pretože rozhodnutie akýkoľvek Trigonometrické rovnice pozostávajú z dvoch stupňov. V prvej fáze, zlatá rovnica pri rôznych transformáciách dostáva do jednoduchého. Na druhom mieste - to je najjednoduchšia rovnica. Žiadny iný spôsob.

Takže, ak máte problémy v druhej fáze - prvá etapa nedáva zmysel.)

Ako vyzerajú elementárne trigonometrické rovnice?

sINX \u003d A.

cOSX \u003d A.

tgx \u003d A.

ctgx \u003d A.

Tu ale Označuje ľubovoľné číslo. Akýkoľvek.

Mimochodom, vo vnútri funkcie nemusí byť čistý x, ale nejaký výraz, typ:

cOS (3X + π / 3) \u003d 1/2

atď. To komplikuje život, ale nemá vplyv na spôsob riešenia trigonometrickej rovnice.

Ako vyriešiť trigonometrické rovnice?

Trigonometrické rovnice môžu byť vyriešené dvoma spôsobmi. Prvým spôsobom: Používanie logiky a trigonometrického kruhu. Týmto spôsobom sa tu budeme pozerať. Druhým spôsobom je použiť pamäť a vzorce - zvážte v nasledujúcej lekcii.

Prvý spôsob je jasný, spoľahlivý a je ťažké zabudnúť.) Je to dobré na riešenie a trigonometrické rovnice a nerovnosti, a všetky mazané neštandardné príklady. Logická silnejšia pamäť!)

Riešime rovnice pomocou trigonometrického kruhu.

Zapneme základnú logiku a schopnosť používať trigonometrický kruh. Neviem ako!? Avšak ... ťažké vám v trigonometria bude mať ...), ale nie problémy. Pozrite sa na lekcie "trigonometrický kruh ...... čo je to?" A "počíta rohy na trigonometrický kruh." Všetko je tam jednoduché. Na rozdiel od učebníc ...)

Oh, vieš!? A dokonca zvládol "praktickú prácu s trigonometrickým kruhom"!? Gratulujeme. Táto téma bude pre teba blízko a zrozumiteľná.) Čo je obzvlášť potešené, trigonometrický kruh je ľahostajný na akú rovnicu sa rozhodnete. Sinus, Kosinus, Tangent, Kothanns - všetko je jedno. Zásady rozhodnutia.

Tu berieme akúkoľvek elementárnu trigonometrickú rovnicu. Aspoň to:

cOSX \u003d 0,5

Musíme nájsť X. Ak hovoríme ľudským jazykom, potrebujete nájdite uhol (X), ktorého Cosine je 0,5.

Ako sme predtým používali kruh? Maľovali sme na to uhol. V stupňoch alebo radiánoch. A okamžite videli Trigonometrické funkcie tohto uhla. Teraz urobíme naopak. Nakreslite Cosine na kruhu, rovný 0,5 a okamžite pozrieť sa uhol. Zostane len zapisovať odpoveď.) Áno, áno!

Nakreslíme kruh a označujeme Cosine rovnú 0,5. Samozrejme na osi kosínu. Páči sa ti to:

Teraz nakreslite uhol, ktorý nám dáva túto kosínu. Myšou cez myš nad obrázok (alebo klepnite na obrázky na tablete) a pozrieť sa Tento rovnaký roh x.

Kosinus, ktorý uhol je 0,5?

x \u003d π / 3

cos. 60 ° \u003d Cos ( π / 3.) = 0,5

Niekto skepticky kotlety, áno ... hovoria, či bol kruh stojí za to, keď je všetko jasné ... môžete, samozrejme, grind ...), ale faktom je, že je to chybná odpoveď. Skôr nedostatočné. Connability kruhu chápu, že stále existuje celá banda uhlov, ktoré tiež dávajú Cosine rovné 0,5.

Ak otočíte hnuteľnú stranu OA na plný otočiť, Bod A pôjde do pôvodnej polohy. S rovnakou kosínom rovnou 0,5. Tí. uhol sa zmení 360 ° alebo 2π Radiány a cosine - Nie. Nový uhol 60 ° + 360 ° \u003d 420 ° bude tiež riešením našej rovnice, pretože

Takéto úplné revolúcie môžu byť potiahnuté nekonečným set ... a všetky tieto nové rohy budú riešením našej trigonometrickej rovnice. A musia byť napísané v reakcii na nejako. Všetko. V opačnom prípade sa rozhodnutie nepovažuje za áno ...)

Matematika to môže urobiť jednoduché a elegantné. V jednej krátkej odpovedi nekonečný set Riešenia. Takto to hľadá našu rovnicu:

x \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

Dešifrovať. Stále písanie bezvýznamný Je to krajšie ako hlúpe čerpať nejaké tajomné zobáky, správne?)

π / 3. - Toto je ten istý uhol píliť sa Na kruhu I. obhajovaný na kosínovom stole.

2π. - Toto je jeden plný obrat v radiánoch.

n. - Toto je počet úplných, t.j. celé čísla revolúcie. Je jasné že n. Môže sa rovnať 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... A tak ďalej. Ako je uvedené stručným záznamom:

n ∈ Z.

n. patrí ( ∈ ) nastaviť celé čísla ( Z. ). Mimochodom, namiesto listu n. môžu byť použité písmená k, m, t atď.

Tento vstup znamená, že môžete si vziať akékoľvek celé číslo. n. . Aj keď -3, aspoň 0, hoci +55. Čo chceš. Ak nahrádzate toto číslo, aby ste napísali odpoveď, získajte konkrétny uhol, ktorý bude určite riešenie našej drsnej rovnice.)

Alebo inými slovami, x \u003d π / 3 - Toto je jediný koreň nekonečnej súpravy. Ak chcete získať všetky ostatné korene, dostatočné na π / 3 pridať ľubovoľný počet úplných otáčok ( n. ) v radiánoch. Tí. 2π N. Radián.

Všetko? Nie. Som drahý natiahnuť. Aby sme si mali lepšie.) Dostali sme len časť odpovedí na našu rovnicu. Táto prvá časť rozhodnutia to napíšem ako:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

x 1 - Nie jeden koreň, toto je celá séria koreňov zaznamenaných stručnou formou.

Ale stále existujú uhly, ktoré tiež dávajú Cosine rovné 0,5!

Poďme sa vrátiť k nášmu obrázku, na ktorom bola odpoveď zaznamenaná. Tu je:

Nosíme myš na obrázok a pozrieť sa Iný roh tiež dáva cosine 0,5. Čo si myslíte, že je to rovné? Trojuholníky sú rovnaké ... ÁNO! Je rovný rohu h. , odložil len záporným smerom. Tento roh -H. Ale X sa už vypočíta. π / 3 alebo60 °. Preto môžete bezpečne napísať:

x 2 \u003d - π / 3

No, samozrejme, pridajte všetky uhly, ktoré sú získané prostredníctvom plných otáčok:

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n, n ∈ z

Teraz všetko.) Podľa trigonometrického kruhu píliť sa (Kto chápe, samozrejme)) všetko Rohy dávajú Cosine rovné 0,5. A zaznamenali tieto rohy v krátkej matematickej forme. Odpoveď ukázala dve nekonečné série koreňov:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n, n ∈ z

Toto je správna odpoveď.

Dúfam všeobecný princíp riešenia trigonometrických rovníc Použitie kruhu je pochopiteľné. Poznamenávame v kruhu Cosine (Sinus, Tangent, Catangent) zo zadanej rovnice, nakreslíme zodpovedajúce uhly a napíšeme odpoveď. Samozrejme, musíte zistiť, aký druh rohov my píliť sa Na kruhu. Niekedy to nie je tak zrejmé. Povedal som, že tu sa vyžaduje logika.)

Budeme napríklad analyzovať ďalšiu trigonometrickú rovnicu:

Žiadam vás, aby ste zvážili, že číslo 0.5 nie je jediným možným číslom v rovniciach!) Len to napíšem pohodlnejšie pre to ako korene a frakcie.

Pracujeme podľa všeobecného princípu. Nakreslíme kruh, značku (na osi dutín, samozrejme!) 0.5. Nakreslite všetky rohy zodpovedajúce tomuto sínusu naraz. Dostaneme tento obrázok:

Najprv sa zaoberáme uhlom h. v prvom štvrťroku. Zapamätajte si sinusový stôl a určte veľkosť tohto uhla. Je to jednoduchá vec:

x \u003d π / 6

Pamätáme si na plné revízie a s čistým svedomím, zapíšte si prvú sériu odpovedí:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

Polovicu prípadu. Ale teraz je potrebné určiť druhý uhol ... Je to stále ako v kosíne, áno ... ale logika nás zachráni! Ako určiť druhý uhol cez x? ÁNO EASY! Trojuholníky na obrázku sú rovnaké a červený uhol h. rovný rohu h. . Započítava sa len z uhla π v negatívnom smere. Preto červená.) A potrebujeme uhol, spočítaný správne, z pozitívnej polosy, t.j. Z uhla 0 stupňov.

Prinášame kurzor na kresbu a vidieť všetko. Prvý roh som odstránil, aby som nezhistil obrázok. Uhol záujmu pre nás (maľovaný zelený) sa bude rovnať:

π - H.

IX to vieme π / 6. . To sa stalo, druhý roh bude:

π - π / 6 \u003d 5π / 6

Opäť si pamätáme o pridaní úplných otáčok a napíšte druhú sériu odpovedí:

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ z

To je všetko. Plnohodnotná odpoveď sa skladá z dvoch sérií koreňov:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ z

Roviny s dotyčnicou a kotangentnou možno ľahko vyriešiť všeobecným princípom riešenia trigonometrických rovníc. Ak, samozrejme, viete, ako kresliť dotyčnicu a coty na trigonometrickom kruhu.

Vo vyššie uvedených príkladoch som použil hodnotu tabuľky Sine a Cosine: 0,5. Tí. jedna z týchto hodnôt, ktoré študent vie musieť. A teraz budeme rozšíriť naše príležitosti všetky ostatné hodnoty. Rozhodnite sa tak!)

Takže potrebujeme vyriešiť takúto trigonometrickú rovnicu:

Neexistuje žiadna táto hodnota Cosine v krátkych tabuľkách. Chladno ignorovať túto strašnú skutočnosť. Nakreslíme kruh, označujeme na osi Cosine 2/3 a nakreslite vhodné uhly. Dostaneme tento obrázok.

Rozumieme, s uhlom v prvom štvrťroku. Vedieť, čo sa rovná X, okamžite som napísal odpoveď! Nevieme ... zlyhanie!? Pokoj! Matematika ich vlastných v problémoch nie je hádzaná! V tomto prípade vynašiel arkkosinus. Neviem? Márne. Zistite, je to oveľa jednoduchšie, než si myslíte. Pod týmto odkazom nie je jediné priestorové kúzlo o "reverzných trigonometrických funkciách" nie je v tejto téme zbytočné.

Ak viete, stačí sa povedať: "X je uhol, ktorého Cosine je 2/3." A okamžite, čisto podľa definície Arkkosinus, môžete napísať:

Pamätáme si na ďalšie otáčky a pokojne zapíšeme prvú sériu koreňov našej trigonometrickej rovnice:

X 1 \u003d Arccos 2/3 + 2π N, N ∈ Z

Druhá séria koreňov, pre druhý uhol, je napísané takmer automatické. To isté, len X (Arccos 2/3) bude s mínusom:

x 2 \u003d - Arccos 2/3 + 2π N, N ∈ Z

A všetky veci! Toto je správna odpoveď. Ešte jednoduchšie ako s tabuľkami. Mimochodom, najkrajšie oznámenie, že tento obrázok s rozhodnutím cez Arkkosinus nie, v podstate sa nelíši od obrazu pre COSX \u003d 0,5 rovnice.

Presne! Všeobecná zásada všeobecne! Špecificky som maľoval dve takmer rovnaké obrázky. Kruh zobrazuje roh h. jeho kosínu. Tablet je Cosine, alebo nie - kruh nie je známy. Aký je tento uhol, π / 3 alebo arcinus, čo sa môžeme rozhodnúť.

Sinus rovnaká pieseň. Napríklad:

Opäť nakreslíme kruh, označujeme sínus rovný 1/3, nakreslite rohy. Ukazuje sa na tento obrázok:

A opäť je obraz takmer rovnaký ako pre rovnicu sINX \u003d 0,5. Nočný začiatok z rohu v prvom štvrťroku. Čo je IX, ak je jeho sínus 1/3? Žiaden problém!

Tu je prvé balenie koreňov:

x 1 \u003d Arcsin 1/3 + 2π N, N ∈ Z

Chápeme s druhým uhlom. V príklade s hodnotou tabuľky 0,5 sa rovnalo:

π - H.

Takže tu bude presne to isté! Iba X je iný, Arcsin 1/3. No a čo!? Môžete bezpečne napísať druhé balenie koreňov:

x 2 \u003d π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ z

To je absolútne správna odpoveď. Aj keď to vyzerá nie je veľmi dobre známe. Ale je to jasné, dúfam.)

Takto sú trigonometrické rovnice riešené kruhom. Táto cesta je vizuálna a rozumie. Je to on, kto šetrí do trigonometrických rovníc s výberom koreňov v danom intervale, v trigonometrických nerovnostiach - tie, ktoré sú všeobecne vyriešené takmer vždy v kruhu. Stručne povedané, v akomkoľvek úlohách, ktoré sú štandardne zložité.

Aplikovať vedomosti v praxi?)

Riešiť trigonometrické rovnice:

Po prvé, jednoduchšie, priamo na túto lekciu.

Teraz komplexnejšie.

Tip: Tu musíte premýšľať o kruhu. Osobne.)

A teraz navonok jednoducho ... Stále nazývajú súkromné \u200b\u200bprípady.

sinx. = 0

sinx. = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tip: Tu je potrebné zistiť v kruhu, kde dva série odpovedí, a kde jeden ... a ako namiesto dvoch epizód odpovedí na písanie. Áno, takže žiadny koreň z nekonečnej sumy je stratený!)

No, celkom jednoduché):

sinx. = 0,3

cosx = π

tGX. = 1,2

ctgx = 3,7

Tip: Tu potrebujete vedieť, čo Arksinus je, Arkkosinus? Čo je arctangent, arkkothangence? Seba jednoduché definície. Ale pamätajte, akékoľvek hodnoty tabuľky nie sú potrebné!)

Odpovede, samozrejme, v rozprašovaní):

x 1 \u003d arcsin0.3 + 2π N, n ∈ z
x 2 \u003d π - arcsin0,3 + 2

Nie všetko funguje? To sa stáva. Znova si prečítajte lekciu. Len premýšľavý (Existuje také zastarané slovo ...) a kliknite na odkazy. Hlavné odkazy sú o kruhu. Bez neho v trigonometrie - ako cesta pohybovať so zaviazanými očami. Niekedy sa ukáže.)

Ak sa vám táto stránka páči ...

Mimochodom, mám pre teba ďalší pár zaujímavých miest.)

Je možné pristupovať k vyriešeniu príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitou kontrolou. Učte sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.