Grafiku Arcsin cos x. Nxjerrja e formulave për funksionet trigonometrike të anasjellta

09.10.2019

Çfarë është arksina, arkozina? Çfarë është arktangjenti, arkotangjenti?

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Tek konceptet arksine, arkozine, arktangjente, arkotangjente Popullata studentore është e kujdesshme. Ai nuk i kupton këto terma dhe, për rrjedhojë, nuk i beson kësaj familjeje të këndshme.) Por më kot. Kjo është shumë koncepte të thjeshta. Të cilat, meqë ra fjala, e bëjnë jetën jashtëzakonisht të lehtë. person i ditur gjatë zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike!

Dyshime për thjeshtësinë? Më kot.) Pikërisht këtu dhe tani do ta shihni këtë.

Natyrisht, për të kuptuar, do të ishte mirë të dinim se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjenta. Po, vlerat e tyre tabelare për disa kënde... Të paktën në termat më të përgjithshëm. Atëherë as këtu nuk do të ketë probleme.

Pra, ne jemi të befasuar, por mbani mend: arksina, arkozina, arktangjenti dhe arkotangjenti janë vetëm disa kënde. As më shumë, as më pak. Ka një kënd, le të themi 30°. Dhe ka një qoshe harku 0.4. Ose arctg(-1.3). Ka të gjitha llojet e këndeve.) Ju thjesht mund t'i shkruani këndet në mënyra të ndryshme. Ju mund ta shkruani këndin në gradë ose radianë. Ose mundeni - përmes sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së tij...

Çfarë do të thotë shprehja

arcsin 0.4 ?

Ky është një kënd, sinusi i të cilit është 0.4! Po, po. Ky është kuptimi i arksinës. Unë do të përsëris në mënyrë specifike: harku 0.4 është një kënd sinusi i të cilit është i barabartë me 0.4.

Kjo është e gjitha.

Për ta mbajtur këtë mendim të thjeshtë në kokën tuaj për një kohë të gjatë, madje do të jap një përmbledhje të këtij termi të tmerrshëm - arksina:

hark mëkat 0,4
qoshe, sinusi i të cilit e barabartë me 0.4

Ashtu siç është shkruar, ashtu dëgjohet.) Pothuajse. Parashtesa hark do të thotë hark(fjalë hark e dini?), sepse Njerëzit e lashtë përdornin harqe në vend të këndeve, por kjo nuk e ndryshon thelbin e çështjes. Mos harroni këtë dekodim elementar të një termi matematikor! Për më tepër, për arkozinën, arktangjentin dhe arkotangjentin, dekodimi ndryshon vetëm në emër të funksionit.

Çfarë është arccos 0.8?
Ky është një kënd kosinusi i të cilit është 0.8.

Çfarë është arctg(-1,3)?
Ky është një kënd tangjenta e të cilit është -1.3.

Çfarë është arcctg 12?
Ky është një kënd, kotangjentja e të cilit është 12.

Një dekodim i tillë elementar lejon, meqë ra fjala, të shmangen gabimet epike.) Për shembull, shprehja arccos1,8 duket mjaft e respektueshme. Le të fillojmë dekodimin: arccos1.8 është një kënd kosinusi i të cilit është i barabartë me 1.8... Kërce-kërcim!? 1.8!? Kosinusi nuk mund të jetë më i madh se një!!!

E drejta. Shprehja arccos1,8 nuk ka kuptim. Dhe shkrimi i një shprehjeje të tillë në një përgjigje do ta argëtojë shumë inspektorin.)

Elementare, siç mund ta shihni.) Çdo kënd ka sinusin dhe kosinusin e vet personal. Dhe pothuajse të gjithë kanë tangjenten dhe kotangjenten e tyre. Prandaj, duke ditur funksionin trigonometrik, ne mund të shkruajmë vetë këndin. Kjo është ajo për të cilën synohen arksinet, arkozinat, arktangentët dhe arkotangjentët. Tani e tutje do ta quaj gjithë këtë familje me një emër të vogël - harqe Për të shtypur më pak.)

Kujdes! Fjalore elementare dhe i ndërgjegjshëm deshifrimi i harqeve ju lejon të zgjidhni me qetësi dhe besim një sërë detyrash. Dhe në e pazakontë Vetëm ajo ruan detyrat.

A është e mundur të kaloni nga harqet në shkallë ose radianë të zakonshëm?- Dëgjoj një pyetje të kujdesshme.)

Pse jo!? Lehtësisht. Mund të shkoni atje dhe të ktheheni. Për më tepër, ndonjëherë kjo duhet të bëhet. Harqet janë një gjë e thjeshtë, por është disi më e qetë pa to, apo jo?)

Për shembull: çfarë është arcsin 0.5?

Le të kujtojmë dekodimin: harku 0,5 është këndi sinusi i të cilit është 0,5. Tani ndizni kokën (ose Google)) dhe mbani mend se cili kënd ka një sinus 0.5? Sinusi është i barabartë me 0,5 y Këndi 30 gradë. Kjo është e gjitha: harku 0.5 është një kënd prej 30°. Ju mund të shkruani me siguri:

harku 0,5 = 30°

Ose, më formalisht, për sa i përket radianeve:

Kjo është e gjitha, ju mund të harroni për arksinën dhe të vazhdoni të punoni me shkallët ose radianët e zakonshëm.

Nëse e kuptove cfare eshte arksina, arkozina... Cfare eshte arktangjente, arkotangjente... Ju mund të merreni lehtësisht, për shembull, me një përbindësh të tillë.)

Një injorant do të tërhiqet nga tmerri, po...) Por një person i informuar mbani mend dekodimin: harku është këndi sinusi i të cilit... E kështu me radhë. Nëse një njeri i ditur e njeh edhe tabelën e sinuseve... Tabela e kosinuseve. Tabela e tangjentave dhe kotangjentave, atëherë nuk ka fare probleme!

Mjafton të kuptojmë se:

Do ta deshifroj, d.m.th. Më lejoni ta përkthej formulën me fjalë: kënd tangjenta e të cilit është 1 (arctg1)- ky është një kënd prej 45°. Ose, e cila është e njëjtë, Pi / 4. Po kështu:

dhe kaq... I zevendesojme te gjitha harqet me vlera ne radiane, cdo gje eshte reduktuar, mbetet te llogarisim sa eshte 1+1. Do të jetë 2.) Cila është përgjigjja e saktë.

Kjo është mënyra se si ju mund (dhe duhet) të lëvizni nga arksinat, arkosinat, arktangentët dhe arkotangjentët në shkallë dhe radianë të zakonshëm. Kjo thjeshton shumë shembuj të frikshëm!

Shpesh, në shembuj të ngjashëm, në brendësi të harqeve qëndrojnë negative kuptimet. Si, arctg(-1.3), ose, për shembull, arccos(-0.8)... Ky nuk është problem. Këtu janë formula të thjeshta për kalimin nga vlerat negative në ato pozitive:

Ju duhet, të themi, të përcaktoni vlerën e shprehjes:

Kjo mund të zgjidhet duke përdorur rrethin trigonometrik, por ju nuk dëshironi ta vizatoni atë. Oh mirë. Ne lëvizim nga negative vlerat brenda kosinusit të harkut të k pozitive sipas formulës së dytë:

Brenda kosinusit të harkut në të djathtë është tashmë pozitive kuptimi. Çfarë

thjesht duhet ta dini. Gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë radianët në vend të kosinusit të harkut dhe të llogarisim përgjigjen:

Kjo është ajo.

Kufizimet në arksine, arccosine, arctangent, arccotangent.

A ka ndonjë problem me shembujt 7 - 9? Epo, po, ka një mashtrim atje.)

Të gjithë këta shembuj, nga 1 deri në 9, janë analizuar me kujdes në Seksionin 555. Çfarë, si dhe pse. Me të gjitha kurthet dhe truket sekrete. Plus mënyra për të thjeshtuar në mënyrë dramatike zgjidhjen. Nga rruga, në këtë seksion ka shumë informacione të dobishme Dhe këshilla praktike mbi trigonometrinë në përgjithësi. Dhe jo vetëm në trigonometri. Ndihmon shumë.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Mësim dhe prezantim me temën: "Arksina. Tabela e harksineve. Formula y=arcsin(x)"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Mjedisi i softuerit "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Zgjidhja e problemeve në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë

Çfarë do të studiojmë:
1. Çfarë është arksina?
2. Shënimi i arksinës.
3. Pak histori.
4. Përkufizimi.

6. Shembuj.

Çfarë është arksina?

Djema, ne kemi mësuar tashmë se si të zgjidhim ekuacionet për kosinusin, le të mësojmë tani se si të zgjidhim ekuacione të ngjashme për sinusin. Konsideroni sin(x)= √3/2. Për të zgjidhur këtë ekuacion, duhet të ndërtoni një drejtëz y= √3/2 dhe të shihni se në cilat pika e pret rrethin numerik. Mund të shihet se drejtëza e pret rrethin në dy pika F dhe G. Këto pika do të jenë zgjidhja e ekuacionit tonë. Le të ripërcaktojmë F si x1 dhe G si x2. Tashmë kemi gjetur zgjidhjen e këtij ekuacioni dhe kemi marrë: x1= π/3 + 2πk,
dhe x2= 2π/3 + 2πk.

Zgjidhja e këtij ekuacioni është mjaft e thjeshtë, por si të zgjidhet, për shembull, ekuacioni
sin(x)= 5/6. Natyrisht, ky ekuacion do të ketë gjithashtu dy rrënjë, por cilat vlera do të korrespondojnë me zgjidhjen në rrethin e numrave? Le të hedhim një vështrim më të afërt në ekuacionin tonë sin(x)= 5/6.
Zgjidhja e ekuacionit tonë do të jetë dy pika: F= x1 + 2πk dhe G= x2 + 2πk,
ku x1 është gjatësia e harkut AF, x2 është gjatësia e harkut AG.
Shënim: x2= π - x1, sepse AF= AC - FC, por FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Por cilat janë këto pika?

Përballë një situate të ngjashme, matematikanët dolën me një simbol të ri - arcsin(x). Lexohet si arksine.

Atëherë zgjidhja e ekuacionit tonë do të shkruhet si më poshtë: x1= harksin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Dhe zgjidhja është pamje e përgjithshme: x= harksin(5/6) + 2πk dhe x= π - harksin(5/6) + 2πk.
Arksina është këndi (gjatësia e harkut AF, AG) sinus, i cili është i barabartë me 5/6.

Pak histori e arksinës

Historia e origjinës së simbolit tonë është saktësisht e njëjtë me atë të arkove. Simboli arcsin shfaqet për herë të parë në veprat e matematikanit Scherfer dhe shkencëtarit të famshëm francez J.L. Lagranzhit. Disi më herët, koncepti i arksinës është konsideruar nga D. Bernouli, megjithëse e ka shkruar me simbole të ndryshme.

Këto simbole u pranuan përgjithësisht vetëm në fund të shekullit të 18-të. Parashtesa "hark" vjen nga latinishtja "arcus" (hark, hark). Kjo është mjaft në përputhje me kuptimin e konceptit: harku x është një kënd (ose mund të thuhet një hark) sinusi i të cilit është i barabartë me x.

Përkufizimi i arksinës

Nëse |a|≤ 1, atëherë arcsin(a) është një numër nga segmenti [- π/2; π/2], sinusi i të cilit është i barabartë me a.

Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni sin(x)= a ka një zgjidhje: x= arcsin(a) + 2πk dhe
x= π - harksin(a) + 2πk

Le të rishkruajmë:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Djema, shikoni me kujdes dy zgjidhjet tona. Çfarë mendoni: a mund të shkruhen ato duke përdorur një formulë të përgjithshme? Vini re se nëse ka një shenjë plus përpara harkut, atëherë π shumëzohet me numrin çift 2πk, dhe nëse ka një shenjë minus, atëherë shumëzuesi është tek 2k+1.
Duke marrë parasysh këtë, le të shkruajmë formulë e përgjithshme zgjidhje për ekuacionin sin(x)=a:

Janë tre raste në të cilat preferohet të shënohen zgjidhjet në një mënyrë më të thjeshtë:

sin(x)=0, pastaj x= πk,

sin(x)=1, pastaj x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, pastaj x= -π/2 + 2πk.

Për çdo -1 ≤ a ≤ 1 barazia vlen: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Le të shkruajmë tabelën e vlerave të kosinusit në të kundërt dhe të marrim një tabelë për harkun.

Shembuj

1. Llogaritni: arcsin(√3/2).
Zgjidhje: Le të arcsin(√3/2)= x, pastaj sin(x)= √3/2. Sipas përkufizimit: - π/2 ≤x≤ π/2. Le të shohim vlerat e sinusit në tabelë: x= π/3, sepse sin(π/3)= √3/2 dhe –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Përgjigje: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Njehso: arcsin(-1/2).
Zgjidhje: Le të arcsin(-1/2)= x, pastaj sin(x)= -1/2. Sipas përkufizimit: - π/2 ≤x≤ π/2. Le të shohim vlerat e sinusit në tabelë: x= -π/6, sepse sin(-π/6)= -1/2 dhe -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Përgjigje: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Njehsoni: arcsin(0).
Zgjidhje: Le të themi arcsin(0)= x, pastaj sin(x)= 0. Sipas përkufizimit: - π/2 ≤x≤ π/2. Le të shohim vlerat e sinusit në tabelë: do të thotë x= 0, sepse sin(0)= 0 dhe - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Përgjigje: arcsin(0)=0.

4. Zgjidh barazimin: sin(x) = -√2/2.
x= harksin(-√2/2) + 2πk dhe x= π - harksin(-√2/2) + 2πk.
Le të shohim vlerën në tabelë: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Përgjigje: x= -π/4 + 2πk dhe x= 5π/4 + 2πk.

5. Zgjidh barazimin: sin(x) = 0.
Zgjidhja: Le të përdorim përkufizimin, atëherë zgjidhja do të shkruhet në formën:
x= harksin(0) + 2πk dhe x= π - harksin(0) + 2πk. Le të shohim vlerën në tabelë: arcsin(0)= 0.
Përgjigje: x= 2πk dhe x= π + 2πk

6. Zgjidh barazimin: sin(x) = 3/5.
Zgjidhja: Le të përdorim përkufizimin, atëherë zgjidhja do të shkruhet në formën:
x= harksin(3/5) + 2πk dhe x= π - harksin(3/5) + 2πk.
Përgjigje: x= (-1) n - harksin(3/5) + πk.

7. Zgjidh inekuacionin sin(x) Zgjidhje: Sinus është ordinata e një pike në rrethin numerik. Kjo do të thotë: ne duhet të gjejmë pika, ordinata e të cilave është më e vogël se 0.7. Të vizatojmë një drejtëz y=0.7. Ai e pret rrethin numerik në dy pika. Pabarazia y Atëherë zgjidhja e mosbarazimit do të jetë: -π – harksin(0.7) + 2πk

Problemet e arksinës për zgjidhje të pavarur

1) Llogaritni: a) harkun (√2/2), b) harkun (1/2), c) harkun (1), d) harkun (-0,8).
2) Zgjidhe ekuacionin: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Zgjidhe mosbarazimin: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Janë dhënë përkufizimet e inverseve. funksionet trigonometrike dhe oraret e tyre. Si dhe formulat që lidhin funksionet trigonometrike të anasjellta, formulat për shumat dhe diferencat.

Përkufizimi i funksioneve trigonometrike të anasjellta

Meqenëse funksionet trigonometrike janë periodike, funksionet e tyre të anasjellta nuk janë unike. Pra, ekuacioni y = mëkat x, për një të dhënë , ka pafundësisht shumë rrënjë. Në të vërtetë, për shkak të periodicitetit të sinusit, nëse x është një rrënjë e tillë, atëherë është e tillë x + 2πn(ku n është një numër i plotë) do të jetë gjithashtu rrënja e ekuacionit. Kështu, Funksionet trigonometrike të anasjellta janë me shumë vlera. Për ta bërë më të lehtë punën me ta, prezantohet koncepti i kuptimeve të tyre kryesore. Konsideroni, për shembull, sinusin: y = mëkat x. mëkat x Nëse argumentin x e kufizojmë në intervalin , atëherë mbi të funksioni y = rritet në mënyrë monotone. Prandaj, ai ka një funksion unik të anasjelltë, i cili quhet harksine: x =.

arcsin y

Arksine ( y = harku x) është funksioni i anasjelltë i sinusit ( x = mëkatar

kosinusi i harkut ( y = arccos x) është funksioni i anasjelltë i kosinusit ( x = cos y), duke pasur një fushë përkufizimi dhe një grup vlerash.

Arktangjent ( y = arktan x) është funksioni i anasjelltë i tangjentes ( x = tg y), duke pasur një fushë përkufizimi dhe një grup vlerash.

arkotangjent ( y = arcctg x) është funksioni i anasjelltë i kotangjentes ( x = ctg y), duke pasur një fushë përkufizimi dhe një grup vlerash.

Grafikët e funksioneve trigonometrike të anasjellta

Grafikët e funksioneve trigonometrike të anasjellta merren nga grafikët e funksioneve trigonometrike me reflektim pasqyre në lidhje me drejtëzën y = x.

y = harku x

y = arccos x

y = arktan x

y = arcctg x

Shih seksionet Sinus, kosinus, Tangent, cotangent.

Formulat bazë

Këtu duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë intervaleve për të cilat formulat janë të vlefshme. harksin(sin x) = x
në
sin(arcsin x) = x harksin(sin x) = x
arccos(cos x) = x

cos(arccos x) = x harksin(sin x) = x
arctan(tg x) = x
tg(arctg x) = x harksin(sin x) = x
arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Formulat që lidhen me funksionet trigonometrike të anasjellta

Formulat e shumës dhe diferencës

në ose

në dhe

në dhe

në

në

Funksionet sin, cos, tg dhe ctg shoqërohen gjithmonë nga arksina, arkozina, arktangjenti dhe arkotangjenti. Njëra është pasojë e tjetrës dhe çiftet e funksioneve janë po aq të rëndësishme për të punuar me shprehjet trigonometrike.

Konsideroni një vizatim të një rrethi njësi, i cili tregon grafikisht vlerat e funksioneve trigonometrike.

Nëse llogarisim harqet OA, arcos OC, arctg DE dhe arcctg MK, atëherë të gjithë do të jenë të barabartë me vlerën e këndit α. Formulat e mëposhtme pasqyrojnë marrëdhënien midis funksioneve bazë trigonometrike dhe harqeve të tyre përkatëse. Për të kuptuar më shumë për vetitë e arksinës, është e nevojshme të merret parasysh funksioni i tij. Orari

ka formën e një lakore asimetrike që kalon nga qendra koordinative.

Karakteristikat e arksinës: mëkat Dhe Nëse krahasojmë grafikët harku

, dy funksione trigonometrike mund të kenë modele të përbashkëta.

kosinusi i harkut

Arccos e një numri është vlera e këndit α, kosinusi i të cilit është i barabartë me a. Kurbë y = arcos x

pasqyron grafikun e harkut x, me ndryshimin e vetëm që ai kalon nëpër pikën π/2 në boshtin OY.

Le të shohim më në detaje funksionin e kosinusit të harkut:
Funksioni përcaktohet në intervalin [-1; 1].
ODZ për harqe - .
Grafiku ndodhet tërësisht në tremujorin e parë dhe të dytë, dhe vetë funksioni nuk është as çift dhe as tek.
Y = 0 në x = 1.

Kurba zvogëlohet përgjatë gjithë gjatësisë së saj. Disa veti të kosinusit të harkut përkojnë me funksionin e kosinusit.

Disa veti të kosinusit të harkut përkojnë me funksionin e kosinusit. Ndoshta nxënësve të shkollës do ta kenë të panevojshëm një studim kaq "të hollësishëm" të "harqeve". Megjithatë, përndryshe, disa tipike themelore mund t'i çojë nxënësit në konfuzion.

Detyra 1. Tregoni funksionet e paraqitura në figurë.

Përgjigje: oriz. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

Në këtë shembull, theksi vihet në gjërat e vogla. Në mënyrë tipike, studentët janë shumë të pavëmendshëm ndaj ndërtimit të grafikëve dhe paraqitjes së funksioneve. Në të vërtetë, pse të mbani mend llojin e kurbës nëse gjithmonë mund të vizatohet duke përdorur pikat e llogaritura. Mos harroni se në kushtet e provës, koha e kaluar për vizatimin për një detyrë të thjeshtë do të kërkohet për të zgjidhur detyra më komplekse.

Arktangjent

Arctg numrat a janë vlera e këndit α të tillë që tangjentja e tij të jetë e barabartë me a.

Nëse marrim parasysh grafikun arktangjent, mund të theksojmë vetitë e mëposhtme:

Grafiku është i pafund dhe i përcaktuar në intervalin (- ∞; + ∞).
Arktangjenti është një funksion tek, prandaj, arctan (- x) = - arctan x.
Y = 0 në x = 0.
Kurba rritet në të gjithë diapazonin e përkufizimit.

Këtu është një e shkurtër analiza krahasuese tg x dhe arctg x në formë tabele.

Arkotangjente

Arcctg i një numri - merr një vlerë α nga intervali (0; π) të tillë që kotangjentja e tij të jetë e barabartë me a.

Vetitë e funksionit kotangjent të harkut:

Intervali i përcaktimit të funksionit është pafundësi.
Rajoni vlerat e pranueshme– intervali (0; π).
F(x) nuk është as çift dhe as tek.
Gjatë gjithë gjatësisë së tij, grafiku i funksionit zvogëlohet.

Është shumë e thjeshtë të krahasosh ctg x dhe arctg x, thjesht duhet të bësh dy vizatime dhe të përshkruani sjelljen e kthesave.

Detyra 2. Përputhni grafikun dhe formën e shënimit të funksionit.

Nëse mendojmë logjikisht, nga grafikët duket qartë se të dy funksionet janë në rritje. Prandaj, të dy figurat shfaqin një funksion të caktuar arctan. Nga vetitë e arktangjentes dihet se y=0 në x = 0,

Përgjigje: oriz. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Identitetet trigonometrike arcsin, arcos, arctg dhe arcctg

Më parë, ne kemi identifikuar tashmë marrëdhëniet midis harqeve dhe funksioneve themelore të trigonometrisë. Kjo varësi mund të shprehet me një sërë formulash që e lejojnë njeriun të shprehë, për shembull, sinusin e një argumenti përmes arksines, arkosinës ose anasjelltas. Njohja e identiteteve të tilla mund të jetë e dobishme kur zgjidhen shembuj të veçantë.

Ekzistojnë gjithashtu marrëdhënie për arctg dhe arcctg:

Një palë tjetër e dobishme formulash vendos vlerën për shumën e arcsin dhe arcos, si dhe arcctg dhe arcctg të të njëjtit kënd.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Detyrat e trigonometrisë mund të ndahen në katër grupe: llogaritni vlerën numerike të një shprehjeje specifike, ndërtoni një grafik të një funksioni të caktuar, gjeni domenin e tij të përkufizimit ose ODZ dhe kryeni transformime analitike për të zgjidhur shembullin.

Kur zgjidhni llojin e parë të problemit, duhet t'i përmbaheni planit të mëposhtëm të veprimit:

Kur punoni me grafikët e funksioneve, gjëja kryesore është njohja e vetive të tyre dhe pamjen i shtrembër. Për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike dhe pabarazitë, nevojiten tabela identiteti. Sa më shumë formula të kujtojë një student, aq më e lehtë është të gjejë përgjigjen e detyrës.

Le të themi në Provimin e Unifikuar të Shtetit ju duhet të gjeni përgjigjen për një ekuacion si:

Nëse e transformoni saktë shprehjen dhe e sillni në formën e dëshiruar, atëherë zgjidhja e saj është shumë e thjeshtë dhe e shpejtë. Së pari, le të lëvizim arcsin x në anën e djathtë të barazisë.

Nëse e mbani mend formulën harksin (sin α) = α, atëherë mund të zvogëlojmë kërkimin e përgjigjeve në zgjidhjen e një sistemi prej dy ekuacionesh:

Kufizimi në modelin x u ngrit përsëri nga vetitë e arksinës: ODZ për x [-1; 1]. Kur a ≠0, pjesë e sistemit është ekuacioni kuadratik me rrënjë x1 = 1 dhe x2 = - 1/a. Kur a = 0, x do të jetë e barabartë me 1.

Është paraqitur një metodë për nxjerrjen e formulave për funksionet trigonometrike të anasjellta. Janë marrë formulat për argumentet negative dhe shprehjet që kanë të bëjnë me arksinën, arkozinën, arktangentin dhe arkotangjentin. Tregohet një metodë për nxjerrjen e formulave për shumën e arksineve, arkosinave, arktangentëve dhe arkotangjentëve.

Shih seksionet Sinus, kosinus, Tangent, cotangent.

Nxjerrja e formulave për funksionet trigonometrike të anasjellta është e thjeshtë, por kërkon kontroll mbi vlerat e argumenteve të funksioneve të drejtpërdrejta. Kjo për faktin se funksionet trigonometrike janë periodike dhe, për rrjedhojë, funksionet e tyre të anasjellta janë me shumë vlera. Nëse nuk përcaktohet ndryshe, funksionet trigonometrike të anasjellta nënkuptojnë vlerat e tyre kryesore. Për të përcaktuar vlerën kryesore, fusha e përcaktimit të funksionit trigonometrik ngushtohet në intervalin mbi të cilin ai është monoton dhe i vazhdueshëm. Derivimi i formulave për funksionet trigonometrike të anasjellta bazohet në formulat e funksioneve dhe vetive trigonometrike funksionet e anasjellta si i tillë. Vetitë e funksioneve të anasjellta mund të ndahen në dy grupe.

Grupi i parë përfshin formula që janë të vlefshme në të gjithë fushën e përkufizimit të funksioneve të anasjellta:
në
arccos(cos x) = x
arctan(tg x) = x (-∞ < x < +∞ )
arcctg(ctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Grupi i dytë përfshin formula që janë të vlefshme vetëm për grupin e vlerave të funksioneve të anasjellta.
Këtu duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë intervaleve për të cilat formulat janë të vlefshme. harksin(sin x) = x
sin(arcsin x) = x harksin(sin x) = x
cos(arccos x) = x harksin(sin x) = x
tg(arctg x) = x harksin(sin x) = x

Nëse ndryshorja x nuk bie në intervalin e mësipërm, atëherë duhet të reduktohet në të duke përdorur formulat e funksioneve trigonometrike (në tekstin e mëtejmë n është një numër i plotë):
sin x = mëkat (- x-π); sin x = mëkat (π-x); sin x = mëkat (x+2 πn);
cos x = cos(-x); cos x = cos(2 π-x); cos x = cos(x+2 πn);
tan x = tan(x+πn); ahur x = ahur (x+πn)

Për shembull, nëse dihet se
harksin(sin x) = arcsin(sin( π - x)) = π - x.

Është e lehtë të verifikohet se kur π - x bie në intervalin e dëshiruar. Për ta bërë këtë, shumëzoni me -1: dhe shtoni π: ose Gjithçka është e saktë.

Funksionet e anasjellta të argumentit negativ

Duke zbatuar formulat e mësipërme dhe vetitë e funksioneve trigonometrike, marrim formula për funksionet e anasjellta të një argumenti negativ.

harksin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - harku x

Duke shumëzuar me -1, kemi: ose
Argumenti sinus bie brenda intervalit të lejuar të gamës së harkut. Prandaj formula është e saktë.

E njëjta gjë për funksionet e tjera.
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x

arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Shprehja e arksines nepermjet arkozines dhe arktangjentes nepermjet arkotangjentit

Le të shprehim arksinën në terma të arkozinës.

Formula është e vlefshme kur këto pabarazi plotësohen sepse

Për ta verifikuar këtë, shumëzoni pabarazitë me -1: dhe shtoni π/2: ose Gjithçka është e saktë.

Në mënyrë të ngjashme, ne shprehim arktangjentin përmes arkotangjentit.

Shprehja e arksinës përmes arktangjentit, arkozinës përmes arkotangjentit dhe anasjelltas

Ne vazhdojmë në të njëjtën mënyrë.

Formulat që lidhen me funksionet trigonometrike të anasjellta

Në mënyrë të ngjashme, marrim formulën për shumën e arksineve.

Le të vendosim kufijtë e zbatueshmërisë së formulës. Për të mos u marrë me shprehje të rënda, ne prezantojmë shënimin e mëposhtëm: X = harku x, Y = rritet në mënyrë monotone. Prandaj, ai ka një funksion unik të anasjelltë, i cili quhet harksine: x =.
Formula është e zbatueshme kur . Më tej theksojmë se, që nga harku (- x) = - harku x, arcsin(- y) = - harksin y, pastaj me shenja të ndryshme të x dhe y, X dhe Y gjithashtu

shenjë të ndryshme > 0 dhe prandaj plotësohen pabarazitë. Kushti për shenja të ndryshme të x dhe y mund të shkruhet si një pabarazi: . > 0 Kjo është, kur formula është e vlefshme. > 0 Tani merrni parasysh rastin x > 0 dhe y 0 , ose X
;
;
;
.
dhe Y
;
.
. Atëherë kushti për zbatueshmërinë e formulës është të plotësojë pabarazinë: .:
;
;
;
.

Meqenëse kosinusi zvogëlohet në mënyrë monotonike për vlerat e argumentit në intervalin nga

, në π, atëherë merrni kosinusin e anës së majtë dhe të djathtë të kësaj pabarazie dhe transformoni shprehjen: 1 Që dhe ;

atëherë kosinuset e përfshira këtu nuk janë negative. Të dyja anët e pabarazisë janë pozitive. I vendosim në katror dhe i transformojmë kosinuset përmes sinuseve:

Le të zëvendësojmë

sin X = mëkat arcsin x = x

Pra, formula që rezulton është e vlefshme për ose .
Tani merrni parasysh rastin x > 0, y > 0 dhe x 2 + y 2 >

Le të zëvendësojmë
.

Le të zëvendësojmë

Këtu argumenti sinus merr këto vlera: .

Duhet të sillet në intervalin e rajonit të vlerës së arksinës:

Pra,

në i.