Prezantimi “Funksioni y=ax 2, grafiku dhe vetitë e tij” është ndihmës vizuale, e cila u krijua për të shoqëruar shpjegimin e mësuesit për këtë temë. Ky prezantim diskuton në detaje funksionin kuadratik, vetitë e tij, veçoritë e vizatimit dhe zbatimin praktik të metodave të përdorura për zgjidhjen e problemeve në fizikë.
Duke ofruar një shkallë të lartë qartësie, ky material do ta ndihmojë mësuesin të rrisë efektivitetin e mësimdhënies dhe të ofrojë një mundësi për të shpërndarë në mënyrë më racionale kohën në mësim. Përdorimi i efekteve të animacionit, nxjerrja në pah e koncepteve dhe pika të rëndësishme ngjyra, vëmendja e nxënësve përqendrohet në lëndën që studiohet dhe arrihet memorizimi më i mirë i përkufizimeve dhe rrjedhës së arsyetimit gjatë zgjidhjes së problemeve.
Prezantimi fillon me një hyrje në titullin e prezantimit dhe konceptin e një funksioni kuadratik. Theksohet rëndësia e kësaj teme. U kërkohet nxënësve të mbajnë mend përkufizimin e një funksioni kuadratik si varësi funksionale e formës y=ax 2 +bx+c, në të cilën është një ndryshore e pavarur dhe janë numra, me a≠0. Më vete, në rrëshqitjen 4 shënohet për të kujtuar se fusha e përcaktimit të këtij funksioni është i gjithë boshti i vlerave reale. Në mënyrë konvencionale, ky pohim shënohet me D(x)=R.
Një shembull i një funksioni kuadratik është aplikimi i tij i rëndësishëm në fizikë - formula për varësinë e shtegut gjatë lëvizjes së përshpejtuar uniformisht në kohë. Në të njëjtën kohë, në mësimet e fizikës, studentët studiojnë formula lloje të ndryshme lëvizjet, kështu që ata do të kenë nevojë për aftësinë për të zgjidhur probleme të tilla. Në rrëshqitjen 5, nxënësve u kujtohet se kur një trup lëviz me nxitim dhe në fillim të numërimit të kohës dihet distanca e përshkuar dhe shpejtësia e lëvizjes, atëherë varësia funksionale që përfaqëson një lëvizje të tillë do të shprehet me formulën S=(at 2)/2+v 0 t+S 0 . Më poshtë është një shembull i shndërrimit të kësaj formule në një funksion të caktuar kuadratik nëse vlerat e nxitimit = 8, shpejtësia fillestare = 3 dhe rruga fillestare = 18. Në këtë rast, funksioni do të marrë formën S=4t 2 +3t+18.
Sllajdi 6 shqyrton formën e funksionit kuadratik y=ax 2, në të cilin ai përfaqësohet në. Nëse =1, atëherë funksioni kuadratik ka formën y=x 2. Vihet re se grafiku i këtij funksioni do të jetë një parabolë.
Pjesa tjetër e prezantimit i kushtohet vizatimit të një funksioni kuadratik. Propozohet të merret në konsideratë vizatimi i funksionit y=3x 2 . Së pari, tabela tregon korrespondencën midis vlerave të funksionit dhe vlerave të argumentit. Vihet re se ndryshimi midis grafikut të ndërtuar të funksionit y=3x 2 dhe grafikut të funksionit y=x 2 është se çdo vlerë do të jetë tre herë më e madhe se ajo përkatëse. Ky ndryshim është gjurmuar mirë në pamjen e tabelës. Aty pranë, në paraqitjen grafike, dallohet qartë edhe dallimi në ngushtimin e parabolës.
Sllajdi tjetër shikon vizatimin e funksionit kuadratik y=1/3 x 2. Për të ndërtuar një grafik, duhet të tregoni në tabelë vlerat e funksionit në një numër pikash të tij. Vihet re se çdo vlerë e funksionit y=1/3 x 2 është 3 herë më e vogël se vlera përkatëse e funksionit y=x 2. Ky ndryshim, përveç tabelës, duket qartë edhe në grafik. Parabola e saj është më e zgjeruar në raport me boshtin e ordinatave sesa parabola e funksionit y=x 2.
Shembujt ju ndihmojnë të kuptoni rregull i përgjithshëm, sipas të cilit mund të ndërtoni më thjesht dhe më shpejt grafikët përkatës. Në rrëshqitjen 9, theksohet një rregull i veçantë që grafiku i funksionit kuadratik y=ax 2 mund të ndërtohet në varësi të vlerës së koeficientit duke e shtrirë ose ngushtuar grafikun. Nëse a>1, atëherë grafiku shtrihet nga boshti x me një faktor. Nëse 0 Përfundimi në lidhje me simetrinë e grafikëve të funksioneve y=ax 2 dhe y=-ax2 (në ≠0) në lidhje me boshtin e abshisave është theksuar veçmas në rrëshqitjen 12 për memorizimin dhe shfaqet qartë në grafikun përkatës. Më pas, koncepti i grafikut të një funksioni kuadratik y=x 2 zgjerohet në rastin më të përgjithshëm të funksionit y=ax 2, duke thënë se një graf i tillë do të quhet edhe parabolë. Sllajdi 14 diskuton vetitë e funksionit kuadratik y=ax 2 kur është pozitiv. Vihet re se grafiku i tij kalon nga origjina e koordinatave dhe të gjitha pikat përveçse shtrihen në gjysmë-rrafshin e sipërm. Vërehet simetria e grafikut në lidhje me boshtin e ordinatave, duke specifikuar se vlerat e kundërta të argumentit korrespondojnë me vlerat e njëjta të funksionit. Tregohet se intervali i uljes së këtij funksioni është (-∞;0], dhe rritja e funksionit kryhet në interval. Vlerat e këtij funksioni mbulojnë të gjithë pjesën pozitive të boshtit real, është e barabartë me zero në pikë, dhe nuk ka vlerën më të madhe. Sllajdi 15 përshkruan vetitë e funksionit y=ax 2 nëse është negativ. Vihet re se grafiku i tij kalon edhe nga origjina, por të gjitha pikat e tij, përveçse, shtrihen në gjysmërrafshin e poshtëm. Grafiku është simetrik në lidhje me boshtin, dhe vlerat e kundërta të argumentit korrespondojnë me vlera të barabarta të funksionit. Funksioni rritet në interval dhe zvogëlohet. Vlerat e këtij funksioni qëndrojnë në intervalin, ai është i barabartë me zero në një pikë dhe nuk ka vlerë minimale. Duke përmbledhur karakteristikat e marra në shqyrtim, në rrëshqitjen 16 arrihet në përfundimin se degët e parabolës janë të drejtuara poshtë dhe lart. Parabola është simetrike rreth boshtit, dhe kulmi i parabolës ndodhet në pikën e kryqëzimit të saj me boshtin. Maja e parabolës y=ax 2 është origjina. Gjithashtu, në rrëshqitjen 17 shfaqet një përfundim i rëndësishëm për shndërrimet e parabolës. Ai paraqet opsionet për transformimin e grafikut të një funksioni kuadratik. Vihet re se grafiku i funksionit y=ax 2 transformohet duke shfaqur në mënyrë simetrike grafikun në raport me boshtin. Është gjithashtu e mundur të kompresohet ose shtrihet grafiku në lidhje me boshtin. Sllajdi i fundit nxjerr përfundime të përgjithshme rreth transformimeve të grafikut të një funksioni. Paraqiten përfundimet se grafiku i një funksioni fitohet nga një transformim simetrik rreth boshtit. Dhe grafiku i funksionit merret duke kompresuar ose shtrirë grafikun origjinal nga boshti. Në këtë rast shtrirja në tërheqje nga boshti vërehet në rastin kur. Duke e ngjeshur boshtin me 1/a herë, formohet grafiku në kasë. Prezantimi “Funksioni y=ax 2, grafiku dhe vetitë e tij” mund të përdoret nga mësuesi si një mjet pamor në një mësim algjebër. Gjithashtu, ky manual mbulon mirë temën, duke dhënë një kuptim të thellë të temës, në mënyrë që të mund të ofrohet për studim të pavarur nga studentët. Ky material do të ndihmojë gjithashtu mësuesin të japë shpjegime gjatë mësimit në distancë. Materiale shtesë Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 8
Djema, në mësimet e fundit ndërtuam një numër të madh grafikësh, duke përfshirë shumë parabola. Sot do të përmbledhim njohuritë e marra dhe do të mësojmë se si të ndërtojmë më së shumti grafikët e këtij funksioni pamje e përgjithshme. Le të shohim funksionin $y=a*x^2+b*x+c$. Ky funksion quhet "kuadratik" sepse fuqia më e lartë është e dyta, domethënë një katror. Koeficientët janë të njëjtë me atë të përcaktuar më sipër. Në mësimin e fundit, në shembullin e fundit, ne shikuam vizatimin e një grafiku të një funksioni të ngjashëm. Grafiku i një funksioni të tillë ndërtohet duke përdorur një sistem koordinativ shtesë. Në matematikën e madhe, numrat janë mjaft të rrallë. Pothuajse çdo problem duhet të vërtetohet në rastin më të përgjithshëm. Sot do të shohim një provë të tillë. Djema, mund të shihni fuqinë e plotë të aparatit matematikor, por edhe kompleksitetin e tij. Le të izolojmë katrorin e përsosur nga trinomi kuadratik: Për të vizatuar grafikun $y=a(x+l)^2+m$, duhet të vizatoni funksionin $y=ax^2$. Për më tepër, kulmi i parabolës do të vendoset në pikën me koordinata $(-l;m)$. Shembulli 1. Zgjidhje. Zgjidhje. Ka shumë mënyra për të thjeshtuar ndërtimin e grafikëve të parabolës. Shembulli 3. Zgjidhje. Shënimet e mësimit të algjebrës për shkollën e mesme të 8-të Tema e mësimit: Funksioni Objektivi i mësimit: Edukative: përcaktoni konceptin e një funksioni kuadratik të formës (krahasoni grafikët e funksioneve dhe ), tregoni formulën për gjetjen e koordinatave të kulmit të një parabole (mësoni si ta zbatoni këtë formulë në praktikë); të zhvillojë aftësinë për të përcaktuar vetitë e një funksioni kuadratik nga një grafik (gjetja e boshtit të simetrisë, koordinatat e kulmit të një parabole, koordinatat e pikave të prerjes së grafikut me boshtet e koordinatave). Zhvillimore: zhvillimi i të folurit matematikor, aftësia për të shprehur saktë, në mënyrë të qëndrueshme dhe racionale mendimet e dikujt; zhvillimi i aftësisë për të shkruar saktë tekstin matematik duke përdorur simbole dhe shënime; zhvillimi i të menduarit analitik; zhvillimi i veprimtarisë njohëse të nxënësve nëpërmjet aftësisë për të analizuar, sistemuar dhe përgjithësuar materialin. Edukative: nxitja e pavarësisë, aftësia për të dëgjuar të tjerët, zhvillimi i saktësisë dhe vëmendjes në fjalimin e shkruar matematikor. Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri. Metodat e mësimdhënies: heuristike e përgjithësuar riprodhuese, induktive. Kërkesat për njohuritë dhe aftësitë e nxënësve të dijë se çfarë është funksioni kuadratik i formës, formula për gjetjen e koordinatave të kulmit të një parabole; të jetë në gjendje të gjejë koordinatat e kulmit të një parabole, koordinatat e pikave të prerjes së grafikut të një funksioni me boshtet e koordinatave dhe të përdorë grafikun e një funksioni për të përcaktuar vetitë e një funksioni kuadratik. Pajisjet: Plani i mësimit Momenti organizativ (1-2 min) Përditësimi i njohurive (10 min) Prezantimi i materialit të ri (15 min) Konsolidimi i materialit të ri (12 min) Përmbledhje (3 min) Detyrë shtëpie (2 min) Ecuria e mësimit Momenti organizativ Përshëndetja, kontrolli i të munguarve, mbledhja e fletoreve. Përditësimi i njohurive Mësuesi: Në mësimin e sotëm do të studiojmë një temë të re: "Funksioni". Por së pari, le të përsërisim materialin e studiuar më parë. Sondazh frontal: Çfarë është një funksion kuadratik? (Një funksion ku numrat realë të dhënë, , është një ndryshore reale, quhet funksion kuadratik.) Cili është grafiku i një funksioni kuadratik? (Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë.) Listoni vetitë e funksionit. (Nëse , atëherë funksioni merr vlera pozitive në , nëse , atëherë funksioni merr vlera negative në , vlera e funksionit është vetëm 0; parabola është simetrike rreth boshtit të ordinatave; nëse , atëherë funksioni rritet në dhe zvogëlohet në , nëse , atëherë funksioni rritet në , zvogëlohet - në .) Prezantimi i materialit të ri Mësuesi: Le të fillojmë të mësojmë materiale të reja. Hapni fletoret tuaja, shkruani datën dhe temën e mësimit. Kushtojini vëmendje tabelës. Shkrimi në tabelë: Numri. Funksioni. Mësuesi: Në tabelë shihni dy grafikë funksionesh. Grafiku i parë dhe i dyti. Le të përpiqemi t'i krahasojmë ato. Ju i dini vetitë e funksionit. Bazuar në to, dhe duke krahasuar grafikët tanë, ne mund të nxjerrim në pah vetitë e funksionit. Pra, çfarë mendoni se do të përcaktojë drejtimin e degëve të parabolës? Nxënësit: Drejtimi i degëve të të dy parabolave do të varet nga koeficienti. Mësuesja: Absolutisht e drejtë. Ju gjithashtu mund të vini re se të dy parabolat kanë një bosht simetrie. Në grafikun e parë të funksionit, cili është boshti i simetrisë? Nxënësit: Për një parabolë, boshti i simetrisë është boshti i ordinatave. Mësuesja: Ashtu është. Cili është boshti i simetrisë së një parabole? Nxënësit: Boshti i simetrisë së një parabole është drejtëza që kalon në kulmin e parabolës, paralel me boshtin e ordinatës. Mësuesja: E saktë. Pra, boshti i simetrisë së grafikut të një funksioni do të quhet drejtëz që kalon nga kulmi i parabolës, paralel me boshtin e ordinatave. Dhe kulmi i një parabole është një pikë me koordinata. Ato përcaktohen nga formula: Shkruani formulën në fletore dhe rrethojeni në një kornizë. Shkrimi në tabelë dhe në fletore Koordinatat e kulmit të parabolës. Mësuesi: Tani, për ta bërë më të qartë, le të shohim një shembull. Shembulli 1: Gjeni koordinatat e kulmit të parabolës Zgjidhja: Sipas formulës Mësuesi: Siç e kemi vërejtur tashmë, boshti i simetrisë kalon nëpër kulmin e parabolës. Shikoni tabelën. Vizatoni këtë figurë në fletoren tuaj. Shkruani në tabelë dhe në fletore: Mësuesi/ja: Në vizatim: - ekuacioni i boshtit të simetrisë së një parabole me kulmin në pikën ku abshisa është kulmi i parabolës. Le të shohim një shembull. Shembulli 2: Duke përdorur grafikun e funksionit, përcaktoni ekuacionin e boshtit të simetrisë së parabolës. Ekuacioni për boshtin e simetrisë ka formën: , që do të thotë ekuacioni për boshtin e simetrisë së kësaj parabole është . Përgjigje: - ekuacioni i boshtit të simetrisë. Konsolidimi i materialit të ri Mësuesi: Ka detyra të shkruara në tabelë që duhet të zgjidhen në klasë. Hyrja në bord: Nr. 609(3), 612(1), 613(3) Mësuesi: Por së pari, le të zgjidhim një shembull jo nga teksti shkollor. Ne do të vendosim në bord. Shembulli 1: Gjeni koordinatat e kulmit të parabolës Përgjigje: koordinatat e kulmit të parabolës. Shembulli 2: Gjeni koordinatat e pikave të kryqëzimit të parabolës Zgjidhje: 1) Me bosht: Ato. Sipas teoremës së Vietës: Pikat e kryqëzimit me boshtin x janë (1;0) dhe (2;0). Siç tregon praktika, detyrat mbi vetitë dhe grafikët e një funksioni kuadratik shkaktojnë vështirësi serioze. Kjo është mjaft e çuditshme, sepse ata studiojnë funksionin kuadratik në klasën e 8-të, dhe më pas gjatë gjithë tremujorit të parë të klasës së 9-të ata "torturojnë" vetitë e parabolës dhe ndërtojnë grafikët e saj për parametra të ndryshëm. Kjo për faktin se kur i detyrojnë studentët të ndërtojnë parabola, ata praktikisht nuk i kushtojnë kohë "leximit" të grafikëve, domethënë nuk praktikojnë të kuptuarit e informacionit të marrë nga fotografia. Me sa duket, supozohet se, pasi të ndërtojë një duzinë ose dy grafikë, vetë një student i zgjuar do të zbulojë dhe formulojë marrëdhënien midis koeficientëve në formulë dhe pamjes së grafikut. Në praktikë kjo nuk funksionon. Për një përgjithësim të tillë, kërkohet përvojë serioze në minikërkime matematikore, të cilën shumica e nxënësve të klasës së nëntë, natyrisht, nuk e posedojnë. Ndërkohë, Inspektorati Shtetëror propozon përcaktimin e shenjave të koeficientëve duke përdorur grafikun. Ne nuk do të kërkojmë të pamundurën nga nxënësit e shkollës dhe thjesht do të ofrojmë një nga algoritmet për zgjidhjen e problemeve të tilla. Pra, një funksion i formës y = sëpatë 2 + bx + c i quajtur kuadratik, grafiku i tij është një parabolë. Siç sugjeron emri, termi kryesor është sëpatë 2. Kjo është A nuk duhet të jetë i barabartë me zero, koeficientët e mbetur ( b Dhe Me) mund të jetë i barabartë me zero. Le të shohim se si shenjat e koeficientëve të saj ndikojnë në shfaqjen e një parabole. Varësia më e thjeshtë për koeficientin A. Shumica e nxënësve të shkollës përgjigjen me besim: “nëse A> 0, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0. y = 0,5x 2 - 3x + 1 NË në këtë rast A = 0,5 Dhe tani për A < 0: y = - 0,5x2 - 3x + 1 Në këtë rast A = - 0,5 Ndikimi i koeficientit MeËshtë gjithashtu mjaft e lehtë për t'u ndjekur. Le të imagjinojmë se duam të gjejmë vlerën e një funksioni në një pikë X= 0. Zëvendësoni zeron në formulën: y = a 0 2 + b 0 + c = c. Rezulton se y = c. Kjo është Meështë ordinata e pikës së prerjes së parabolës me boshtin y. Në mënyrë tipike, kjo pikë është e lehtë për t'u gjetur në grafik. Dhe përcaktoni nëse qëndron mbi zero apo më poshtë. Kjo është Me> 0 ose Me < 0. Me > 0: y = x 2 + 4x + 3 Me < 0 y = x 2 + 4x - 3 Prandaj, nëse Me= 0, atëherë parabola do të kalojë domosdoshmërisht përmes origjinës: y = x 2 + 4x Më e vështirë me parametrin b. Pika në të cilën do ta gjejmë varet jo vetëm nga b por edhe nga A. Kjo është maja e parabolës. Abshisa e saj (koordinata e boshtit X) gjendet me formulë x në = - b/(2a). Kështu, b = - 2 ax in. Kjo do të thotë, ne vazhdojmë si më poshtë: gjejmë kulmin e parabolës në grafik, përcaktojmë shenjën e abscisës së saj, domethënë shikojmë në të djathtë të zeros ( x in> 0) ose majtas ( x in < 0) она лежит. Megjithatë, kjo nuk është e gjitha. Duhet t'i kushtojmë vëmendje edhe shenjës së koeficientit A. Kjo do të thotë, shikoni se ku janë drejtuar degët e parabolës. Dhe vetëm pas kësaj, sipas formulës b = - 2 ax in përcaktoni shenjën b. Le të shohim një shembull: Degët janë të drejtuara lart, që do të thotë A> 0, parabola e pret boshtin në nën zero, domethënë Me < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Pra b = - 2 ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Me < 0. Ofron të dhëna referencë për funksionin eksponencial - vetitë bazë, grafikët dhe formulat. Janë marrë në konsideratë çështjet e mëposhtme: fusha e përkufizimit, grupi i vlerave, monotonia, funksioni i anasjelltë, derivati, integrali, zgjerimi dhe paraqitja e serive të fuqisë duke përdorur numra kompleks. Funksioni eksponencial y = a x ka këto veti në bashkësinë e numrave realë (): Formula të tjera të dobishme. ,
,
,
,
.
Figura tregon grafikët e funksionit eksponencial Duke u ngjitur, duke zbritur Funksioni i anasjelltë Anasjellta e një funksioni eksponencial me bazë a është logaritmi me bazën a. Diferencimi i një funksioni eksponencial Për të diferencuar një funksion eksponencial, baza e tij duhet të reduktohet në numrin e, të zbatohet tabela e derivateve dhe rregulli për diferencimin e një funksioni kompleks. dhe formula nga tabela e derivateve: .
Gjeni derivatin e një funksioni Zgjidhje
Le të shprehim bazën e funksionit eksponencial përmes numrit e. Përgjigju
Merrni parasysh funksionin e numrit kompleks z:
Prezantimi dhe mësimi me temën:
"Grafiku i funksionit $y=ax^2+bx+c$. Vetitë"
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.
Një manual për librin shkollor nga Dorofeev G.V. Një manual për librin shkollor nga Nikolsky S.M.
Le të shohim trinomin kuadratik $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ quhen koeficientë. Mund të jenë çdo numër, por $a≠0$. $a*x^2$ quhet termi kryesor, $a$ është koeficienti kryesor. Vlen të përmendet se koeficientët $b$ dhe $c$ mund të jenë të barabartë me zero, domethënë, trinomi do të përbëhet nga dy terma, dhe i treti është i barabartë me zero.
Le të vërtetojmë se çdo funksion i tillë kuadratik mund të reduktohet në formën: $y=a(x+l)^2+m$.
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Ne morëm atë që donim.
Çdo funksion kuadratik mund të përfaqësohet si:
$y=a(x+l)^2+m$, ku $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Pra, funksioni ynë $y=a*x^2+b*x+c$ është një parabolë.
Boshti i parabolës do të jetë vija e drejtë $x=-\frac(b)(2a)$, dhe koordinatat e kulmit të parabolës përgjatë boshtit të abshisës, siç mund ta shohim, llogariten me formulën: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Për të llogaritur koordinatat e boshtit y të kulmit të një parabole, mund të:
Si të llogaritet ordinata e një kulmi? Përsëri, zgjedhja është e juaja, por zakonisht metoda e dytë do të jetë më e lehtë për t'u llogaritur.
Nëse ju duhet të përshkruani disa veti ose t'u përgjigjeni disa pyetjeve specifike, nuk keni nevojë gjithmonë të ndërtoni një grafik të funksionit. Ne do t'i shqyrtojmë pyetjet kryesore që mund të marrin përgjigje pa ndërtim në shembullin e mëposhtëm.
Pa bërë grafikun e funksionit $y=4x^2-6x-3$, përgjigjuni pyetjet e mëposhtme:
a) Boshti i parabolës është drejtëza $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 ) (4) $ .
b) Ne gjetëm abshisën e kulmit mbi $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Ne gjejmë ordinatën e kulmit me zëvendësim të drejtpërdrejtë në funksionin origjinal:
$y_(v)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Grafiku i funksionit të kërkuar do të fitohet me transferim paralel të grafikut $y=4x^2$. Degët e tij shikojnë lart, që do të thotë se degët e parabolës së funksionit origjinal do të shikojnë gjithashtu lart.
Në përgjithësi, nëse koeficienti $a>0$, atëherë degët duken lart, nëse koeficienti $a
Shembulli 2.
Grafikoni funksionin: $y=2x^2+4x-6$.
Le të gjejmë koordinatat e kulmit të parabolës:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(v)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Le të shënojmë koordinatat e kulmit në boshtin koordinativ. Në këtë pikë, sikur në një sistem të ri koordinativ, do të ndërtojmë një parabolë $y=2x^2$.
Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit: $y=-x^2+6x+4$ në segmentin $[-1;6]$.
Le të ndërtojmë një grafik të këtij funksioni, të zgjedhim intervalin e kërkuar dhe të gjejmë pikat më të ulëta dhe më të larta të grafikut tonë.
Le të gjejmë koordinatat e kulmit të parabolës:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(v)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
Në pikën me koordinata $(3;13)$ ndërtojmë një parabolë $y=-x^2$. 
Le të zgjedhim intervalin e kërkuar. 
Pika më e ulët ka një koordinatë prej -3, pika më e lartë ka një koordinatë prej 13.
$y_(emri)=-3$; $y_(maksimumi)=13$.Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
1. Pa paraqitur grafikun e funksionit $y=-3x^2+12x-4$, përgjigjuni pyetjeve të mëposhtme:
a) Identifikoni drejtëzën që shërben si bosht i parabolës.
b) Gjeni koordinatat e kulmit.
c) Në cilën drejtim tregon parabola (lart ose poshtë)?
2. Ndërtoni një grafik të funksionit: $y=2x^2-6x+2$.
3. Ndërtoni një grafik të funksionit: $y=-x^2+8x-4$.
4. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit: $y=x^2+4x-3$ në segmentin $[-5;2]$. 
.
me boshte koordinative.
Vetitë e funksionit eksponencial
(1.1)
të përcaktuara dhe të vazhdueshme, për , për të gjithë;
(1.2)
për një ≠ 1
ka shumë kuptime;
(1.3)
rritet rreptësisht në, zvogëlohet rreptësisht në,
është konstante në ;
(1.4)
në ;
në ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
.
Formula për konvertimin në një funksion eksponencial me një bazë të ndryshme eksponenciale:
Kur b = e, marrim shprehjen e funksionit eksponencial përmes eksponencialit: Vlerat private
y = a x për vlera të ndryshme të bazës a.
y (x) = sëpatë
për katër vlera bazat e shkallës: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
dhe a = 1/8
. 1
Mund të shihet se për një > 0
< a < 1
funksioni eksponencial rritet në mënyrë monotonike. Sa më e madhe të jetë baza e shkallës a, aq më e fortë është rritja. Nëfunksioni eksponencial zvogëlohet në mënyrë monotonike. Sa më i vogël të jetë eksponenti a, aq më i fortë është ulja.
Funksioni eksponencial për është rreptësisht monoton dhe për këtë arsye nuk ka ekstreme. Karakteristikat e tij kryesore janë paraqitur në tabelë. 1
y = a x, a > 0
< a < 1
y = sëpatë, - ∞ < x < + ∞
- ∞ < x < + ∞
Domeni i përkufizimit 0
< y < + ∞
0
< y < + ∞
Gama e vlerave Monotone rritet në mënyrë monotone
zvogëlohet në mënyrë monotone 0
Zero, y = Zero, y =
Nr 0
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 1
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 1
+ ∞
0
0
+ ∞
y =
.
Nëse, atëherë
.
Nëse, atëherë
Për ta bërë këtë ju duhet të përdorni vetinë e logaritmeve
.
.
Le të jepet një funksion eksponencial:
E sjellim në bazën e:
Pastaj
Nga tabela e derivateve kemi (zëvendësojmë variablin x me z):
.
Meqenëse është një konstante, derivati i z në lidhje me x është i barabartë me
.
Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:
.
Derivat i një funksioni eksponencial
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >Një shembull i diferencimit të një funksioni eksponencial
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 3 5 x
3 = e ln 3
Pastaj
.
Futni një ndryshore
.
Pastaj
Nga tabela e derivateve gjejmë:
.
Që kur 5ln 3është një konstante, atëherë derivati i z në lidhje me x është i barabartë me:
.
Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks, kemi:
.
Integrale
Shprehje duke përdorur numra kompleks
f (z) = a z
ku z = x + iy; 2 = - 1
.
i
Le të shprehim konstanten komplekse a në terma të modulit r dhe argumentit φ:
Pastaj
.
a = r e i φ
φ = φ Argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike. Në përgjithësi,
0 + 2 πn ku n është një numër i plotë. Prandaj funksioni f(z)
.