Lloji më i zakonshëm i mesatares është mesatarja aritmetike.
Mesatarja e thjeshtë aritmetike
Një mesatare e thjeshtë aritmetike është një term mesatar, në përcaktimin e të cilit vëllimi i përgjithshëm i një veçorie të caktuar në të dhëna shpërndahet në mënyrë të barabartë midis të gjitha njësive të përfshira në këtë grup. Pra, prodhimi mesatar vjetor për punonjës është sasia e prodhimit që do të binte mbi secilin punonjës nëse i gjithë vëllimi i prodhimit do të shpërndahej në mënyrë të barabartë midis të gjithë punonjësve të organizatës. Vlera mesatare aritmetike e thjeshtë llogaritet me formulën:
Shembulli 1 ... Një ekip prej 6 punëtorësh merr 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 mijë rubla në muaj.Mesatarja e thjeshtë aritmetike- E barabartë me raportin e shumës së vlerave individuale të një veçorie me numrin e veçorive në total
Gjeni Paga Mesatare
Zgjidhja: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 mijë rubla.
Mesatarja aritmetike e ponderuar
Nëse vëllimi i grupit të të dhënave është i madh dhe përfaqëson një seri shpërndarjeje, atëherë llogaritet një mesatare aritmetike e ponderuar. Kështu përcaktohet çmimi mesatar i ponderuar për njësi prodhimi: kostoja totale e prodhimit (shuma e produkteve të sasisë së saj me çmimin e një njësie prodhimi) ndahet me sasinë e përgjithshme të prodhimit.
Ne e paraqesim këtë në formën e formulës së mëposhtme:
Shembulli 2 ... Gjeni pagën mesatare mujore të një punëtori në punëtoriMesatarja aritmetike e ponderuar- është e barabartë me raportin e (shumës së produkteve të vlerës së një tipari me frekuencën e përsëritjes së një tipari të caktuar) me (shumën e frekuencave të të gjitha tipareve). Përdoret kur variantet e studiuara popullsia ndodh një numër të pabarabartë herë.
Pagat mesatare mund të merren duke pjesëtuar pagat totale me numrin e përgjithshëm të punëtorëve:
Përgjigje: 3.35 mijë rubla.
Mesatarja aritmetike për seritë e intervalit
Kur llogaritni mesataren aritmetike për një seri të ndryshimit të intervalit, së pari përcaktoni mesataren për secilin interval, si gjysmën e shumës së kufijve të sipërm dhe të poshtëm, dhe pastaj - mesataren e të gjithë serisë. Në rastin e intervaleve të hapura, vlera e intervalit të poshtëm ose të sipërm përcaktohet nga madhësia e intervaleve ngjitur me to.
Mesataret e llogaritura nga seritë e intervalit janë të përafërta.
Shembulli 3... Përcaktoni Mosha mesatare mbrëmje studentët.
Mesataret e llogaritura nga seritë e intervalit janë të përafërta. Shkalla e përafrimit të tyre varet nga shkalla në të cilën shpërndarja aktuale e njësive të popullsisë brenda intervalit i afrohet uniformës.
Kur llogaritni mesataret, jo vetëm vlerat absolute, por edhe relative (frekuenca) mund të përdoren si pesha:
Mesatarja aritmetike ka një numër vetish që zbulojnë më plotësisht thelbin e saj dhe thjeshtojnë llogaritjen:
1. Produkti i mesatares sipas shumës së frekuencave është gjithmonë i barabartë me shumën e produkteve të variantit sipas frekuencave, d.m.th.
2. Mesatarja aritmetike e shumës së madhësive të ndryshme është e barabartë me shumën e mesatares aritmetike të këtyre madhësive:
3. Shuma algjebrike e devijimeve të vlerave individuale të atributit nga mesatarja është e barabartë me zero:
4. Shuma e katrorëve të devijimeve të opsioneve nga mesatarja është më e vogël se shuma e katrorëve të devijimeve nga çdo vlerë tjetër arbitrare, d.m.th.
Për të gjetur vlerën mesatare në Excel (nuk ka rëndësi numerike, teksti, përqindje ose vlerë tjetër) ka shumë funksione. Dhe secila prej tyre ka karakteristikat dhe përparësitë e veta. Në të vërtetë, në këtë detyrë, disa kushte mund të vendosen.
Për shembull, vlerat mesatare të një serie numrash në Excel llogariten duke përdorur funksionet statistikore... Ju gjithashtu mund të futni manualisht formulën tuaj. Le të shqyrtojmë opsione të ndryshme.
Si të gjeni mesataren aritmetike të numrave?
Për të gjetur mesataren aritmetike, shtoni të gjithë numrat në grup dhe ndani shumën me numrin. Për shembull, notat e një studenti në shkencat kompjuterike: 3, 4, 3, 5, 5. Çfarë shkon përtej një të katërtës: 4. Ne gjetëm mesataren aritmetike me formulën: = (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5
Si ta bëni shpejt me funksionet Excel? Merrni, për shembull, një seri numrash të rastësishëm në një varg:
Ose: le ta bëjmë qelizën aktive dhe thjesht të futim manualisht formulën: = AVERAGE (A1: A8).
Tani le të shohim se çfarë tjetër mund të bëjë funksioni AVERAGE.
Gjeni mesataren aritmetike të dy numrave të parë dhe tre të fundit. Formula: = MESATARE (A1: B1; F1: H1). Rezultati:
Mesatarja sipas gjendjes
Kushti për gjetjen e mesatares aritmetike mund të jetë një kriter numerik ose një tekst. Ne do të përdorim funksionin: = AVERAGEIF ().
Gjeni mesataren aritmetike të numrave më të mëdhenj ose të barabartë me 10.
Funksioni: = AVERAGEIF (A1: A8, "> = 10")
Rezultati i përdorimit të funksionit AVERAGEIF nga gjendja "> = 10": Argumenti i tretë - "Gama mesatare" - është lënë jashtë. Së pari, është opsionale. Së dyti, diapazoni i analizuar nga programi përmban VETYM vlera numerike. Qelizat e specifikuara në argumentin e parë do të kërkohen nga gjendja e specifikuar në argumentin e dytë.
Kujdes! Kriteri i kërkimit mund të specifikohet në qelizë. Dhe në formulë bëni një lidhje me të.
Le të gjejmë vlerën mesatare të numrave sipas kriterit të tekstit. Për shembull, shitjet mesatare të produktit "tavolina".
Funksioni do të duket kështu: = AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Gama - një kolonë me emrat e produkteve. Kriteri i kërkimit është një lidhje me një qelizë me fjalën "tabela" (mund të futni vetë fjalën "tabela" në vend të lidhjes A7). Gama mesatare - ato qeliza nga të cilat do të merren të dhëna për të llogaritur mesataren.
Si rezultat i llogaritjes së funksionit, marrim vlerën e mëposhtme:
Kujdes! Për një kriter teksti (kusht), diapazoni mesatar duhet të specifikohet.
Si të llogarisni çmimin mesatar të ponderuar në Excel?
Si e dinim çmimin mesatar të ponderuar?
Formula: = SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12).
Duke përdorur formulën SUMPRODUCT, ne zbulojmë të ardhurat totale pas shitjes së të gjithë sasisë së mallrave. Dhe funksioni SUM përmbledh sasinë e mallrave. Ndarja e të ardhurave totale nga shitja e mallrave me shuma totale njësi, gjetëm çmimin mesatar të ponderuar. Ky tregues merr parasysh "peshën" e secilit çmim. Pjesa e tij në masën totale të vlerave.
Devijimi standard: formula në Excel
Bëni dallimin midis devijimit standard për popullatën e përgjithshme dhe për mostrën. Në rastin e parë, është rrënja e variancës së përgjithshme. Në të dytën, nga varianca e mostrës.
Për të llogaritur këtë statistikë, përpilohet një formulë e variancës. Rrënja nxirret prej saj. Por Excel ka një funksion të gatshëm për të gjetur devijimin standard.
Devijimi standard lidhet me shkallën e të dhënave origjinale. Kjo nuk është e mjaftueshme për një paraqitje figurative të variacionit të gamës së analizuar. Koeficienti i ndryshimit llogaritet për të marrë nivelin relativ të variancës së të dhënave:
devijimi standard / mesatarja aritmetike
Formula në Excel duket kështu:
STDEVP (diapazoni i vlerës) / AVERAGE (diapazoni i vlerës).
Koeficienti i ndryshimit llogaritet si përqindje. Prandaj, ne vendosim formatin e përqindjes në qelizë.
Mbi të gjitha në eku. praktika duhet të përdorë mesataren aritmetike, e cila mund të llogaritet si një mesatare aritmetike e thjeshtë dhe e ponderuar.
Mesatarja aritmetike (CA)-n Lloji më i zakonshëm i mediumit. Përdoret në rastet kur vëllimi i një karakteristike të ndryshueshme për të gjithë popullsinë është shuma e vlerave të karakteristikave të njësive të tij individuale. Fenomenet shoqërore karakterizohen nga aditiviteti (përmbledhja) e vëllimeve të atributit të ndryshëm, kjo përcakton fushën e aplikimit të CA dhe shpjegon mbizotërimin e saj si një tregues përgjithësues, Për shembull: fondi i përgjithshëm i pagës është shuma e pagës së të gjithë punonjësve.
Për të llogaritur CA, duhet të ndani shumën e të gjitha vlerave karakteristike me numrin e tyre. CA aplikohet në 2 forma.
Le të shqyrtojmë së pari mesataren e thjeshtë aritmetike.
1-CA e thjeshtë (forma fillestare, përcaktuese) është e barabartë me shumën e thjeshtë të vlerave individuale të atributit mesatar, të ndarë me numrin e përgjithshëm të këtyre vlerave (të përdorura kur ka ind. vlera të pa grupuara të atributit):
Llogaritjet e kryera mund të përmblidhen në formulën e mëposhtme:
(1)
ku 
- vlera mesatare e veçorisë së ndryshme, domethënë mesatarja e thjeshtë aritmetike;
do të thotë përmbledhje, domethënë shtimi i veçorive individuale;
x- vlerat individuale të një karakteristike të ndryshueshme, të cilat quhen variante;
n - numri i njësive të popullsisë
Shembulli 1, kërkohet të gjendet prodhimi mesatar i një punëtori (bravandreqës) nëse dihet se sa pjesë ka bërë secili nga 15 punëtorët, d.m.th. një numër ind. vlerat e atributeve, copë.: 21; njëzet; njëzet; 19; 21; 19; tetëmbëdhjetë; 22; 19; njëzet; 21; njëzet; tetëmbëdhjetë; 19; njëzet
CA e thjeshtë llogaritet me formulën (1), copë.:
Shembull2... Le të llogarisim CA bazuar në të dhënat e kushtëzuara për 20 dyqane të përfshira në kompaninë tregtare (Tabela 1). Tabela 1
Shpërndarja e dyqaneve të kompanisë tregtare "Vesna" sipas zonës tregtare, sq. M
|
Dyqani Nr. |
Dyqani Nr. | ||
Për të llogaritur sipërfaqen mesatare të dyqanit ( 
) është e nevojshme të shtoni sipërfaqet e të gjitha dyqaneve dhe të ndani rezultatin me numrin e dyqaneve:
Kështu, zona mesatare e dyqaneve për këtë grup ndërmarrjesh tregtare është 71 sq. M.
Prandaj, për të përcaktuar CA të thjeshtë, duhet të ndani shumën e të gjitha vlerave të një atributi të caktuar me numrin e njësive që kanë këtë atribut.
2
ku f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
pesha (shpeshtësia e përsëritjes së shenjave të njëjta); - shuma e produkteve të madhësisë së veçorive sipas frekuencës së tyre; - numri i përgjithshëm i njësive në popullsi.
(2)
Ku NS- opsione;
f- frekuenca (pesha).
SA e ponderuar është herësi i pjesëtimit të shumës së produkteve të varianteve dhe frekuencave të tyre përkatëse me shumën e të gjitha frekuencave. Frekuencat ( f) që shfaqen në formulën CA zakonisht quhen peshore, si rezultat i së cilës AK, e llogaritur duke marrë parasysh peshat, quhet e ponderuar.
Ne do të ilustrojmë teknikën për llogaritjen e ponderuar të CA duke përdorur shembullin e mësipërm 1. Për ta bërë këtë, ne grupojmë të dhënat fillestare dhe i vendosim ato në tabelë.
Mesatarja e të dhënave të grupuara përcaktohet si më poshtë: së pari, opsionet shumëzohen me frekuencat, pastaj produktet shtohen dhe shuma që rezulton ndahet me shumën e frekuencave.
Sipas formulës (2), CA e ponderuar është e barabartë me, copë.: 
NS
Shpërndarja e dyqaneve Vesna sipas hapësirës me pakicë, sq. m
Kështu, rezultati është i njëjtë. Sidoqoftë, kjo tashmë do të jetë vlera mesatare aritmetike e ponderuar.
Në shembullin e mëparshëm, ne kemi llogaritur mesataren aritmetike duke supozuar se frekuencat absolute (numri i dyqaneve) janë të njohura. Sidoqoftë, në një numër rastesh, frekuencat absolute mungojnë, por frekuencat relative janë të njohura, ose, siç quhen zakonisht, frekuencat që tregojnë një pjesë ose proporcioni i frekuencave në të gjithë popullsinë.
Kur llogaritet përdorimi i ponderuar i CA frekuencat ju lejon të thjeshtoni llogaritjet kur frekuenca shprehet në numra të mëdhenj, shumëshifrorë. Llogaritja bëhet në të njëjtën mënyrë, megjithatë, meqenëse vlera mesatare rritet me një faktor 100, rezultati duhet të ndahet me 100.
Atëherë formula për mesataren aritmetike të ponderuar do të duket si kjo:
ku d- frekuenca, d.m.th. pjesa e secilës frekuencë në totalin e të gjitha frekuencave.
(3)Në shembullin tonë, 2 së pari përcaktoni gravitet specifik dyqane sipas grupeve në numrin e përgjithshëm të dyqaneve Vesna. Pra, për grupin e parë, graviteti specifik korrespondon me 10% 
... Ne marrim të dhënat e mëposhtme Tabela 3
Çfarë është mesatarja aritmetike? Si të gjeni mesataren aritmetike? Ku dhe për çfarë qëllimi përdoret ky kuptim?
Për të kuptuar plotësisht thelbin e problemit, duhet të studioni algjebër për disa vjet në shkollë, dhe më pas në institut. Por në jetën e përditshme, për të ditur se si të gjeni mesataren aritmetike të numrave, nuk është e nevojshme të dini gjithçka në lidhje me të tërësisht. Duke shpjeguar gjuhë e thjeshtë, kjo është shuma e numrave të ndarë me numrin e këtyre numrave.
Meqenëse llogaritja e mesatares aritmetike nuk merret gjithmonë pa mbetur, vlera madje mund të dalë e pjesshme, edhe kur llogaritet numri mesatar i njerëzve. Kjo është për shkak të faktit se mesatarja aritmetike është një koncept abstrakt.
Kjo sasi abstrakte prek shumë fusha. jeta moderne... Përdoret në matematikë, biznes, statistika dhe shpesh edhe në sport.
Për shembull, shumë janë të interesuar për të gjithë anëtarët e një ekipi ose sasinë mesatare të ushqimit të ngrënë në muaj për sa i përket një dite. Dhe të dhënat për sa janë shpenzuar mesatarisht për ndonjë ngjarje të shtrenjtë mund të gjenden në të gjitha burimet e mediave. Më shpesh, natyrisht, të dhëna të tilla përdoren në statistika: për të ditur saktësisht se cili fenomen ka rënë dhe cili është rritur; cili produkt është më i kërkuar dhe në cilën periudhë; për eliminimin e lehtë të treguesve të padëshiruar.
Në sport, mund të hasim në konceptin e mesatares, kur, për shembull, na njoftohet mosha mesatare e sportistëve ose golat e shënuar në futboll. Dhe si llogaritet rezultati mesatar i fituar gjatë konkursit ose në KVN -në tonë të dashur? Po, për këtë, nuk keni nevojë të bëni asgjë tjetër, si të gjeni mesataren aritmetike të të gjitha notave të dhëna nga gjyqtarët!
Nga rruga, shpesh në jetën shkollore, disa mësues përdorin një metodë të ngjashme, duke nxjerrë nota tremujore dhe vjetore për studentët e tyre. Gjithashtu përdoret shpesh në më të lartat institucionet arsimore, shpesh në shkolla, për të llogaritur notën mesatare të performancës akademike të nxënësve në mënyrë që të përcaktohet efektiviteti i mësuesit ose të shpërndahen nxënësit sipas aftësive të tyre. Ende ka shumë fusha të jetës në të cilat përdoret kjo formulë, por qëllimi është në thelb i njëjtë - për të gjetur dhe kontrolluar.
Në biznes, mesatarja aritmetike mund të përdoret për të llogaritur dhe kontrolluar të ardhurat dhe humbjet, pagat dhe shpenzimet e tjera. Për shembull, kur dorëzoni certifikata për disa organizata për të ardhurat, kërkohet vetëm mesatarja mujore për gjashtë muajt e fundit. Surprizues është fakti se disa punonjës, detyrat e të cilëve përfshijnë mbledhjen e një informacioni të tillë, pasi kanë marrë një certifikatë jo me pagën mesatare mujore, por thjesht me të ardhurat për gjashtë muaj, nuk dinë të gjejnë mesataren aritmetike, domethënë, të llogarisin mesataren pagë mujore.
Mesatarja aritmetike është çdo shenjë (çmimet, pagat, popullsia, etj.), Vëllimi i së cilës nuk ndryshon gjatë llogaritjes. Me fjalë të thjeshta, kur llogaritet numri mesatar i mollëve të ngrënë nga Petya dhe Masha, rezultati do të jetë një numër që do të jetë i barabartë me gjysmën e numrit të përgjithshëm të mollëve. Edhe nëse Masha hëngri dhjetë, dhe Petya mori vetëm një, atëherë kur e ndajmë numrin e tyre të përgjithshëm në gjysmë, atëherë do të marrim mesataren aritmetike.
Sot, shumë po bëjnë shaka me deklaratën e Putinit se paga mesatare e atyre që jetojnë në Rusi është 27 mijë rubla. Shakatë e zgjuarsisë në përgjithësi tingëllojnë kështu: “Apo nuk jam rus? Apo nuk jetoj më? " Dhe e gjithë pyetja është se edhe këto zgjuarsi, me sa duket, nuk dinë të gjejnë mesataren aritmetike të pagave të banorëve të Rusisë.
Thjesht duhet të shtoni të ardhurat e oligarkëve, drejtuesve të biznesit, biznesmenëve nga njëra anë, dhe pagat e pastruesve, pastruesve, shitësve dhe dirigjentëve nga ana tjetër. Dhe pastaj ndajeni shumën që rezulton me numrin e njerëzve, të ardhurat e të cilëve përfshinin këtë shumë. Kështu që ju merrni një shifër të mahnitshme, e cila shprehet në 27,000 rubla.
Tre fëmijë shkuan në pyll për manaferrat. Vajza më e madhe gjeti 18 manaferra, e mesmja - 15, dhe vëllai i vogël - 3 manaferra (shih Fig. 1). Ata i sollën manaferrat nënës sime, e cila vendosi t'i ndante manaferrat në mënyrë të barabartë. Sa manaferra mori secili prej fëmijëve?
Oriz. 1. Ilustrim për problemin
Zgjidhja
(yag.) - fëmijët mblodhën gjithçka
2) Ndani numrin e përgjithshëm të manave me numrin e fëmijëve:
(yag.) mori çdo fëmijë
Pergjigju: çdo fëmijë do të marrë 12 manaferra.
Në problemin 1, numri i marrë në përgjigje është mesatarja aritmetike.
Mesatarja aritmetike disa numra quhet herësi i pjesëtimit të shumës së këtyre numrave me numrin e tyre.
Shembulli 1
Kemi dy numra: 10 dhe 12. Gjeni mesataren aritmetike të tyre.
Zgjidhja
1) Përcaktoni shumën e këtyre numrave :.
2) Numri i këtyre numrave është 2, prandaj, mesatarja aritmetike e këtyre numrave është :.
Pergjigju: Mesatarja aritmetike e 10 dhe 12 është 11.
Shembulli 2
Kemi pesë numra: 1, 2, 3, 4 dhe 5. Gjeni mesataren e tyre aritmetike.
Zgjidhja
1) Shuma e këtyre numrave është :.
2) Nga përkufizimi, mesatarja aritmetike është herësi i pjesëtimit të shumës së numrave me numrin e tyre. Ne kemi pesë numra, kështu që mesatarja aritmetike është:
Pergjigju: mesatarja aritmetike e të dhënave në gjendjen e numrave është 3.
Përveç faktit që sugjerohet vazhdimisht të gjendet në mësime, gjetja e mesatares aritmetike është shumë e dobishme në Jeta e përditshme... Për shembull, supozoni se duam të shkojmë me pushime në Greqi. Për të zgjedhur rrobat e përshtatshme, ne shikojmë temperaturën në këtë vend në ky moment... Sidoqoftë, ne nuk e dimë pamjen e përgjithshme të motit. Prandaj, është e nevojshme të zbuloni temperaturën e ajrit në Greqi, për shembull, për një javë, dhe të gjeni mesataren aritmetike të këtyre temperaturave.
Shembulli 3
Temperatura në Greqi për javën: e hënë -; E martë -; E mërkurë -; E enjte -; E premte -; E shtunë -; E diel -. Llogaritni temperaturën mesatare për javën.
Zgjidhja
1) Le të llogarisim shumën e temperaturave :.
2) Ndani shumën e marrë me numrin e ditëve :.
Pergjigju: temperature mesatare për një javë rreth.
Aftësia për të gjetur mesataren aritmetike mund të jetë gjithashtu e nevojshme për të përcaktuar moshën mesatare të lojtarëve në një ekip futbolli, domethënë, për të përcaktuar nëse ekipi është me përvojë apo jo. Isshtë e nevojshme të përmblidhen moshat e të gjithë lojtarëve dhe të ndahet me numrin e tyre.
Detyra 2
Tregtari shiste mollë. Në fillim, ai i shiti ato me një çmim prej 85 rubla për 1 kg. Kështu ai shiti 12 kg. Pastaj ai uli çmimin në 65 rubla dhe shiti 4 kg të tjera të mollëve. Cfare ishte çmimi mesatar për mollët?
Zgjidhja
1) Le të llogarisim sa para fitoi tregtari në total. Ai shiti 12 kilogramë me një çmim prej 85 rubla për 1 kg: 
(fshij.)
Ai shiti 4 kilogramë me një çmim prej 65 rubla për 1 kg: (rubla).
Prandaj, shuma totale e parave të fituara është e barabartë me: (rubla).
2) Pesha totale e mollëve të shitura është :.
3) Ndani shumën e marrë të parave me peshën totale të mollëve të shitura dhe merrni çmimin mesatar për 1 kg mollë: (rubla).
Pergjigju: çmimi mesatar prej 1 kg mollë të shitura është 80 rubla.
Mesatarja aritmetike ju ndihmon të vlerësoni të dhënat në tërësi, pa marrë secilën vlerë veç e veç.
Sidoqoftë, nuk është gjithmonë e mundur të përdoret koncepti i mesatares aritmetike.
Shembulli 4
Qitësi ka qëlluar dy herë drejt objektivit (shiko figurën 2): herën e parë ai goditi një metër më lart se objektivi, dhe e dyta - një metër më poshtë. Mesatarja aritmetike do të tregojë se ai goditi pikërisht në qendër, edhe pse i humbi të dyja herët.
Oriz. 2. Ilustrim për shembull
Në këtë mësim, ne u njohëm me konceptin e mesatares aritmetike. Ne mësuam përkufizimin e këtij koncepti, mësuam se si të llogarisim mesataren aritmetike për disa numra. Ne gjithashtu mësuam zbatimin praktik të këtij koncepti.
- N. Ya Vilenkin. Matematikë: tekst mësimor. për 5 cl. të përgjithshme uchr - Ed. 17. - M.: Mnemosina, 2005. )
- Igor kishte 45 rubla me të, Andrey - 28, dhe Denis - 17.
- Me të gjitha paratë e tyre, ata blenë 3 bileta kinemaje. Sa kushtoi një biletë?