Le të gjejmë vëllimin e trupit të krijuar nga rrotullimi i harkut cikloid rreth bazës së tij. Roberval e gjeti atë duke e thyer trupin në formë veze (Fig. 5.1) në shtresa pafundësisht të holla, duke shkruar cilindra në këto shtresa dhe duke shtuar vëllimet e tyre. Prova doli të jetë e gjatë, e lodhshme dhe jo tërësisht rigoroze. Prandaj, për ta llogaritur atë, ne i drejtohemi matematikë e lartë. Le të përcaktojmë ekuacionin e cikloidit në mënyrë parametrike.
Në llogaritjen integrale, kur studiohen vëllimet, përdoret vërejtja e mëposhtme:
Nëse kurba që kufizon një trapez lakor jepet me ekuacione parametrike dhe funksionet në këto ekuacione plotësojnë kushtet e ndryshimit të teoremës së ndryshueshme në një integral të caktuar, atëherë vëllimi trupat e rrotullimit trapezi rreth boshtit Ox, do të llogaritet me formulën:
Le të përdorim këtë formulë për të gjetur vëllimin që na nevojitet.
Në të njëjtën mënyrë, ne llogarisim sipërfaqen e këtij trupi.
L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - kosto), 0 ? t ? 2р)
Në llogaritjen integrale, ekziston formula e mëposhtme për gjetjen e sipërfaqes së një trupi rrotullues rreth boshtit x të një lakore të përcaktuar parametrikisht në një segment (t 0 ?t ?t 1):
Duke zbatuar këtë formulë në ekuacionin tonë cikloide, marrim:
Le të shqyrtojmë gjithashtu një sipërfaqe tjetër të krijuar nga rrotullimi i harkut cikloid. Për ta bërë këtë, ne do të ndërtojmë një imazh pasqyre të harkut cikloid në lidhje me bazën e tij dhe do të rrotullojmë figurën ovale të formuar nga cikloidi dhe reflektimi i tij rreth boshtit KT (Fig. 5.2).
Së pari, le të gjejmë vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i harkut cikloid rreth boshtit KT. Ne do të llogarisim vëllimin e tij duke përdorur formulën (*):
Kështu, ne llogaritëm vëllimin e gjysmës së këtij trupi në formë rrepe. Atëherë i gjithë vëllimi do të jetë i barabartë
Përpara se të kalojmë te formulat për zonën e një sipërfaqe revolucioni, do të japim një formulim të shkurtër të vetë sipërfaqes së revolucionit. Një sipërfaqe e rrotullimit, ose, çfarë është e njëjta gjë, një sipërfaqe e një trupi rrotullues është një figurë hapësinore e formuar nga rrotullimi i një segmenti AB kthesë rreth boshtit kau(foto më poshtë).
Le të imagjinojmë një trapez të lakuar të kufizuar nga lart nga segmenti i përmendur i kurbës. Një trup i formuar nga rrotullimi i këtij trapezi rreth të njëjtit bosht kau, dhe është një trup revolucioni. Dhe zona e sipërfaqes së rrotullimit ose sipërfaqja e një trupi rrotullues është guaska e saj e jashtme, pa llogaritur rrathët e formuar nga rrotullimi rreth boshtit të vijave të drejta x = a Dhe x = b .
Vini re se një trup rrotullues dhe, në përputhje me rrethanat, sipërfaqja e tij mund të formohet gjithashtu duke rrotulluar figurën jo rreth boshtit kau, dhe rreth boshtit Oy.
Llogaritja e sipërfaqes së një sipërfaqe rrotullimi të specifikuar në koordinatat drejtkëndore
Lëreni në koordinata drejtkëndore në rrafsh ekuacionin y = f(x) specifikohet një kurbë, rrotullimi i së cilës rreth boshtit koordinativ formon një trup rrotullimi.
Formula për llogaritjen e sipërfaqes së revolucionit është si më poshtë:
(1).
Shembulli 1. Gjeni sipërfaqen e paraboloidit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të tij kau harku i një parabole që korrespondon me ndryshimin x nga x= 0 deri x = a .
Zgjidhje. Le të shprehim në mënyrë eksplicite funksionin që përcakton harkun e parabolës:
Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni:
Përpara se të përdorim formulën për të gjetur sipërfaqen e një sipërfaqeje rrotullimi, le të shkruajmë atë pjesë të integrandit të saj që përfaqëson rrënjën dhe të zëvendësojmë derivatin që sapo gjetëm atje:
Përgjigje: Gjatësia e harkut të lakores është
.
Shembulli 2. Gjeni sipërfaqen e formuar nga rrotullimi rreth një boshti kau astroid.
Zgjidhje. Mjafton të llogarisim sipërfaqen që rezulton nga rrotullimi i një dege të astroidit, që ndodhet në tremujorin e parë, dhe ta shumëzojmë me 2. Nga ekuacioni i astroidit, do të shprehim qartë funksionin që do të na duhet të zëvendësojmë në formula për të gjetur sipërfaqen e rrotullimit:
.
Ne integrojmë nga 0 në a:
Llogaritja e sipërfaqes së një sipërfaqe rrotullimi të specifikuar në mënyrë parametrike
Le të shqyrtojmë rastin kur kurba që formon sipërfaqen e rrotullimit jepet me ekuacione parametrike
Pastaj sipërfaqja e rrotullimit llogaritet me formulë
(2).
Shembulli 3. Gjeni zonën e sipërfaqes së rrotullimit të formuar nga rrotullimi rreth një boshti Oy figurë e kufizuar nga një cikloide dhe një vijë e drejtë y = a. Cikloidi jepet me ekuacione parametrike
Zgjidhje. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të cikloidit dhe drejtëzës. Barazimi i ekuacionit të një cikloide dhe ekuacionit të një drejtëze y = a, le të gjejmë
Nga kjo rezulton se kufijtë e integrimit korrespondojnë me
Tani mund të aplikojmë formulën (2). Le të gjejmë derivatet:
Le të shkruajmë shprehjen radikale në formulë, duke zëvendësuar derivatet e gjetur:
Le të gjejmë rrënjën e kësaj shprehjeje:
.
Le të zëvendësojmë atë që gjetëm në formulën (2):
.
Le të bëjmë një zëvendësim:
Dhe më në fund e gjejmë
Formulat trigonometrike u përdorën për të transformuar shprehjet
Përgjigje: Sipërfaqja e revolucionit është .
Llogaritja e sipërfaqes së një sipërfaqe revolucioni të specifikuar në koordinatat polare
Lëreni kurbë, rrotullimi i së cilës formon sipërfaqen, të specifikohet në koordinata polare.
Leksione 8. Zbatime të një integrali të caktuar.
Zbatimi i integralit në problemet fizike bazohet në vetinë e aditivitetit të integralit mbi një grup. Prandaj, duke përdorur integralin, mund të llogariten sasi që janë vetë shtesë në grup. Për shembull, sipërfaqja e një figure është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të pjesëve të saj, gjatësia e harkut, sipërfaqja, vëllimi i një trupi dhe masa e një trupi kanë të njëjtën veti. Prandaj, të gjitha këto sasi mund të llogariten duke përdorur një integral të caktuar.
Ju mund të përdorni dy mënyra për të zgjidhur problemet: metoda e shumave integrale dhe metoda e diferencialeve.
Metoda e shumave integrale përsërit ndërtimin e një integrali të caktuar: ndërtohet një ndarje, shënohen pikat, llogaritet funksioni në to, llogaritet shuma integrale dhe kryhet kalimi në kufi. Në këtë metodë, vështirësia kryesore është të vërtetohet se në kufi rezultati është pikërisht ai që nevojitet në problem.
Metoda diferenciale përdor integralin e pacaktuar dhe formulën Njuton-Leibniz. Llogaritet diferenciali i sasisë që do të përcaktohet dhe më pas, duke integruar këtë diferencial, sasia e kërkuar fitohet duke përdorur formulën Njuton-Leibniz. Në këtë metodë, vështirësia kryesore është të vërtetohet se është llogaritur diferenciali i vlerës së kërkuar dhe jo diçka tjetër.
Llogaritja e sipërfaqeve figura të sheshta.
1. Shifra kufizohet nga grafiku i një funksioni të përcaktuar në një sistem koordinativ kartezian.
Kemi ardhur në konceptin e një integrali të caktuar nga problemi i sipërfaqes së një trapezi të lakuar (në fakt, duke përdorur metodën e shumave integrale). Nëse funksioni pranon vetëm vlerat negative, atëherë sipërfaqja nën grafikun e një funksioni në një segment mund të llogaritet duke përdorur një integral të caktuar. Vini re se 
prandaj këtu mund të shihet edhe metoda e diferencialeve.
Por një funksion mund të marrë edhe vlera negative në një segment të caktuar, atëherë integrali mbi këtë segment do të japë një zonë negative, e cila bie ndesh me përcaktimin e zonës.
Ju mund të llogarisni zonën duke përdorur formulënS=. Kjo është ekuivalente me ndryshimin e shenjës së funksionit në ato zona në të cilat ai merr vlera negative.
Nëse ju duhet të llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar më lart nga grafiku i funksionit dhe më poshtë nga grafiku i funksionit, atëherë ju mund të përdorni formulënS=
, sepse.
Shembull. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar me drejtëza x=0, x=2 dhe grafikët e funksioneve y=x 2, y=x 3.
Vini re se në intervalin (0,1) vlen pabarazia x 2 > x 3, dhe për x >1 vlen pabarazia x 3 > x 2. Kjo është arsyeja pse
2. Shifra kufizohet nga grafiku i një funksioni të specifikuar në një sistem koordinativ polar.
Le të jepet grafiku i një funksioni në një sistem koordinativ polar dhe duam të llogarisim sipërfaqen e një sektori lakor të kufizuar nga dy rreze dhe grafikun e një funksioni në një sistem koordinativ polar.
Këtu mund të përdorni metodën e shumave integrale, duke llogaritur sipërfaqen e një sektori lakor si kufi i shumës së zonave të sektorëve elementar në të cilët grafiku i funksionit zëvendësohet nga një hark rrethor 
.
Ju gjithashtu mund të përdorni metodën diferenciale: 
.
Ju mund të mendoni kështu. Duke zëvendësuar sektorin elementar lakor që korrespondon me këndin qendror me një sektor rrethor, kemi proporcionin . Nga këtu 
. Duke integruar dhe duke përdorur formulën Njuton-Leibniz, marrim 
.
Shembull. Le të llogarisim sipërfaqen e rrethit (kontrolloni formulën). ne besojmë. Sipërfaqja e rrethit është 
.
Shembull. Le të llogarisim zonën e kufizuar nga kardiodi 
.
3 Shifra kufizohet nga grafiku i një funksioni të përcaktuar parametrikisht.
Funksioni mund të specifikohet parametrikisht në formën . Ne përdorim formulën S=
, duke zëvendësuar në të kufijtë e integrimit mbi variablin e ri. 
. Zakonisht, gjatë llogaritjes së integralit, identifikohen ato zona ku funksioni integrand ka një shenjë të caktuar dhe merret parasysh zona përkatëse me një ose një shenjë tjetër.
Shembull. Llogaritni sipërfaqen e mbyllur nga elipsi.
Duke përdorur simetrinë e elipsës, ne llogarisim sipërfaqen e çerekut të elipsës që ndodhet në kuadrantin e parë. Në këtë kuadrat. Kjo është arsyeja pse.
Llogaritja e vëllimeve të trupave.
1. Llogaritja e vëllimeve të trupave nga zonat e prerjeve paralele.
Le të kërkohet llogaritja e vëllimit të një trupi të caktuar V nga zonat e njohura të prerjes tërthore të këtij trupi me rrafshe pingul me drejtëzën OX të tërhequr nëpër çdo pikë x të segmentit të drejtëzës OX.
Le të zbatojmë metodën e diferencialeve. Duke marrë parasysh vëllimin elementar, mbi një segment vëllimi i një vije të drejtë cilindër rrethor me sipërfaqen e bazës dhe lartësinë, marrim 
. Duke integruar dhe zbatuar formulën Njuton-Leibniz, marrim
2. Llogaritja e vëllimeve të trupave të revolucionit.
Le të jetë e nevojshme për të llogaritur OK.
Pastaj 
.
Po kështu, vëllimi i një trupi rrotullues rreth një boshtiOY, nëse funksioni është dhënë në formë , mund të llogaritet duke përdorur formulën .
Nëse funksioni është specifikuar në formë dhe kërkohet të përcaktohet vëllimi i një trupi rrotullues rreth një boshtiOY, atëherë formula për llogaritjen e vëllimit mund të merret si më poshtë.
Duke kaluar në diferencial dhe duke lënë pas dore termat kuadratikë, kemi 
. Duke integruar dhe zbatuar formulën Njuton-Leibniz, kemi .
Shembull. Llogaritni vëllimin e sferës.
Shembull. Llogaritni vëllimin e një koni rrethor të drejtë të kufizuar nga një sipërfaqe dhe një rrafsh.
Le të llogarisim vëllimin si vëllimin e një trupi rrotullues të formuar nga rrotullimi rreth boshtit OZ trekëndësh kënddrejtë në rrafshin OXZ, këmbët e të cilit shtrihen në boshtin OZ dhe drejtëza z = H, dhe hipotenuza shtrihet në vijë.
Duke shprehur x në terma të z, marrim 
.
Llogaritja e gjatësisë së harkut.
Për të marrë formulat për llogaritjen e gjatësisë së një harku, kujtoni formulat e nxjerra në semestrin e parë për diferencialin e gjatësisë së harkut.
Nëse harku është grafiku i një funksioni vazhdimisht të diferencueshëm, diferenciali i gjatësisë së harkut mund të llogaritet duke përdorur formulën
. Kjo është arsyeja pse 
Nëse një hark i lëmuar është specifikuar në mënyrë parametrike, Kjo
. Kjo është arsyeja pse 
.
Nëse harku është specifikuar në një sistem koordinativ polar, Kjo
. Kjo është arsyeja pse 
.
Shembull. Llogaritni gjatësinë e harkut të grafikut të funksionit, . 
.
Në mësimet rreth ekuacioni i një vije të drejtë në një plan Dhe ekuacionet e një drejtëze në hapësirë.
Takoni një mik të vjetër:
Trapezi lakor kurorëzohet me krenari me një grafik dhe, siç e dini, ai sipërfaqja llogaritet duke përdorur një integral të caktuar sipas formulës elementare ose shkurt: .
Le të shqyrtojmë situatën kur të njëjtin funksion dhënë në formë parametrike.
Si të gjeni zonën në këtë rast?
Në disa mjaft specifike vlera e parametrit, ekuacionet parametrike do të përcaktojnë koordinatat e pikës, dhe për një tjetër mjaft specifike vlera – koordinatat e pikës. Kur "te" ndryshon nga në përfshirëse, ekuacionet parametrike "vizatojnë" kurbën. Mendoj se gjithçka është bërë e qartë për kufijtë e integrimit. Tani në integral në vend të"X" dhe "Y" ne zëvendësojmë funksionet dhe hapim diferencialin:
Shënim : supozohet se funksionet të vazhdueshme në intervalin e integrimit dhe, përveç kësaj, funksionin monotone mbi të.
Formula për vëllimin e një trupi revolucioni është po aq e thjeshtë:
Vëllimi i një trupi i marrë nga rrotullimi i një trapezi të lakuar rreth boshtit llogaritet me formulën 
ose: . Ne zëvendësojmë funksionet parametrike në të, si dhe kufijtë e integrimit:
Ju lutemi regjistroni të dyja formulat e punës në librin tuaj të referencës.
Sipas vëzhgimeve të mia, problemet në gjetjen e vëllimit janë mjaft të rralla, dhe për këtë arsye një pjesë e konsiderueshme e shembujve në këtë mësim do t'i kushtohet gjetjes së zonës. Le të mos i shtyjmë gjërat për një kohë të gjatë:
Shembulli 1
Llogaritni sipërfaqen e një trapezi të lakuar 
, Nëse
Zgjidhje: përdorni formulën 
.
Një problem klasik për një temë që kuptohet gjithmonë dhe kudo:
Shembulli 2
Llogaritni sipërfaqen e një elipsi
Zgjidhje: për definicion, supozojmë se ekuacionet parametrike përcaktojnë elipsë kanonike me qendër në origjinë, boshti gjysmë i madh “a” dhe boshti gjysmë i vogël “be”. Dmth sipas kushtit nuk na ofrohet asgjë më shumë se
gjeni zonën e elipsës
Është e qartë se funksionet parametrike janë periodike, dhe . Duket se mund ta ngarkoni formulën, por jo gjithçka është aq transparente. Le të zbulojmë drejtimin, në të cilën ekuacionet parametrike “vizatojnë” një elips. Si udhëzues, do të gjejmë disa pika që korrespondojnë me vlerat më të thjeshta të parametrave: 
Është e lehtë të kuptohet se kur parametri "te" ndryshon nga zero në "dy pi", ekuacionet parametrike "vizatojnë" një elips. në të kundërt të akrepave të orës:
Për shkak të simetrisë së figurës, ne llogarisim pjesën e zonës në tremujorin e parë të koordinatave dhe rezultatin e shumëzojmë me 4. Këtu shohim në thelb të njëjtën pamje që komentova pak më lart: ekuacionet parametrike "vizatojnë" harkun e elipsa "në drejtim të kundërt" të boshtit, por shifrat e sipërfaqes numërohen nga e majta në të djathtë! Kjo është arsyeja pse më të ulëta kufiri i integrimit korrespondon me vlerën , dhe krye limit – vlera .
Siç e këshillova tashmë në mësim Zona në koordinata polare, katërfishohet rezultati është më i mirë menjëherë:
Integrali (nëse dikush zbuloi papritur një hendek kaq të jashtëzakonshëm) u analizua në klasë Integrale të funksioneve trigonometrike.
Përgjigju:
Në thelb, ne kemi nxjerrë një formulë për gjetjen e zonës elips. Dhe nëse në praktikë hasni në një detyrë me vlera specifike të "a" dhe "be", atëherë mund të kryeni lehtësisht një pajtim/kontroll, pasi problemi zgjidhet në një formë të përgjithshme.
Sipërfaqja e elipsës llogaritet gjithashtu në koordinata drejtkëndëshe për ta bërë këtë, duhet të shprehni "Y" nga ekuacioni dhe ta zgjidhni problemin saktësisht si në shembullin nr. 4 të artikullit; Metoda efikase për zgjidhjen e integraleve të përcaktuara. Sigurohuni që të shikoni këtë shembull dhe të krahasoni sa më e lehtë është të llogaritni sipërfaqen e një elipsi nëse përcaktohet në mënyrë parametrike.
Dhe, sigurisht, pothuajse harrova, ekuacionet parametrike mund të përcaktojnë një rreth ose elips në një pozicion jo-kanonik.
Shembulli 3
Llogaritni sipërfaqen e një harku të një cikloide 
Për të zgjidhur një problem, duhet të dini se çfarë është cikloide ose të paktën të plotësoni thjesht formalisht vizatimin. Një model modeli në fund të mësimit. Megjithatë, unë nuk do t'ju dërgoj larg, ju mund të shikoni grafikun e kësaj rreshti në problemin e mëposhtëm:
Shembulli 4
Zgjidhje: ekuacionet parametrike 
Përcaktoni një cikloide, dhe kufizimi tregon faktin që po flasim për të harku i parë, i cili “vizatohet” kur vlera e parametrit ndryshon brenda . Ju lutemi vini re se këtu është drejtimi "i saktë" i këtij "vizatimi" (nga e majta në të djathtë), që do të thotë se nuk do të ketë probleme me kufijtë e integrimit. Por do të shfaqen një mori gjërash të tjera interesante =) Ekuacioni vendoset e drejtpërdrejtë, paralel me boshtin x dhe një kusht shtesë (cm. pabarazitë lineare)
na tregon se duhet të llogarisim sipërfaqen e figurës së mëposhtme: 
Në mënyrë asociative do ta quaj figurën e dëshiruar të hijes "çatia e shtëpisë", drejtkëndëshin - "muri i shtëpisë" dhe të gjithë strukturën (mur + çati) - "fasada e shtëpisë". Edhe pse kjo ndërtesë duket më shumë si një lloj kasolleje lopësh =)
Për të gjetur zonën e "çatisë" është e nevojshme të zbritet sipërfaqja e "murit" nga zona e "fasadës".
Së pari, le të merremi me "fasadën". Për të gjetur zonën e saj, duhet të zbuloni vlerat që përcaktojnë pikat e kryqëzimit të vijës me harkun e parë të cikloidit (pikat dhe ). Le të zëvendësojmë në ekuacionin parametrik:
Një ekuacion trigonometrik mund të zgjidhet lehtësisht duke parë komplot kosinus: në interval, barazia plotësohet nga dy rrënjë: . Në parim, gjithçka është e qartë, por, megjithatë, le të luajmë mirë dhe t'i zëvendësojmë ato në ekuacionin:
– kjo është koordinata “x” e pikës;
– dhe kjo është koordinata “X” e pikës.
Kështu, ne jemi të bindur se vlera e parametrit korrespondon me pikën, dhe vlera korrespondon me pikën.
Le të llogarisim sipërfaqen e "fasadës". Për një shënim më kompakt, funksioni shpesh diferencohet drejtpërdrejt nën integralin: 
Sipërfaqja e "murit" mund të llogaritet duke përdorur metodën "shkollë" duke shumëzuar gjatësinë e anëve ngjitur të drejtkëndëshit. Gjatësia është e dukshme, gjithçka që mbetet është ta gjejmë atë. Ai llogaritet si diferenca midis koordinatave "X" të pikave "tse" dhe "be" (të gjetura më herët):
Zona e murit:
Sigurisht, nuk ka turp ta gjesh atë edhe me ndihmën e më të thjeshtëve integral i caktuar nga funksioni në segment:
Si rezultat, sipërfaqja e çatisë është:
Përgjigju: 
Dhe, sigurisht, nëse kemi një vizatim, vlerësojmë, kuti pas kutie, nëse rezultati i marrë është i ngjashëm me të vërtetën. Të ngjashme
Detyrën e mëposhtme duhet ta zgjidhni vetë:
Shembulli 5
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija të dhëna nga ekuacionet 
Le të sistematizojmë shkurtimisht algoritmin e zgjidhjes:
– Në shumicën e rasteve, do t'ju duhet të bëni një vizatim dhe të përcaktoni figurën zonën e së cilës dëshironi të gjeni.
– Në hapin e dytë, duhet të kuptoni se si llogaritet sipërfaqja e kërkuar: mund të jetë një trapez i vetëm i lakuar, mund të jetë një ndryshim në zona, mund të jetë një shumë zonash - me pak fjalë, të gjitha ato çipa që shikuam. në mësim.
– Në hapin e tretë, duhet të analizojmë nëse është e këshillueshme të përdorim simetrinë e figurës (nëse është simetrike), dhe më pas të zbulojmë kufijtë e integrimit (vlera fillestare dhe përfundimtare e parametrit). Zakonisht kjo kërkon zgjidhjen më të thjeshtë ekuacioni trigonometrik– këtu mund të përdorni metodën analitike, metodën grafike ose zgjedhjen e thjeshtë të rrënjëve të nevojshme sipas tabelë trigonometrike.
! mos harro se ekuacionet parametrike mund të "vizatojnë" një vijë nga e djathta në të majtë, në këtë rast bëjmë një rezervim dhe ndryshim të duhur në formulën e punës.
– Dhe në fazën përfundimtare kryhen llogaritjet teknike. Është gjithmonë mirë të vlerësohet besueshmëria e përgjigjes së marrë nga vizatimi.
Dhe tani takimi i shumëpritur me yllin:
Shembulli 6
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija të dhëna nga ekuacionet
Zgjidhje: kurba e dhënë nga ekuacionet është astroid, Dhe pabarazia lineare identifikon në mënyrë unike figurën e hijezuar në vizatim: 
Le të gjejmë vlerat e parametrave që përcaktojnë pikat e kryqëzimit të linjës dhe astroidit. Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë në ekuacionin parametrik:
Metodat për zgjidhjen e një ekuacioni të tillë tashmë janë renditur më sipër, në veçanti, këto rrënjë mund të zgjidhen lehtësisht sipas; tabelë trigonometrike.
Shifra është simetrike rreth boshtit x, kështu që le të llogarisim gjysmën e sipërme të zonës (hije blu) dhe të dyfishojmë rezultatin.
Le ta zëvendësojmë vlerën në ekuacionin parametrik: 
Si rezultat, ne morëm koordinatën "greke" të pikës së sipërme (na duhet) e kryqëzimit të astroidit dhe vijës së drejtë.
Kulmi i djathtë i astroidit padyshim korrespondon me vlerën . Le të kontrollojmë për çdo rast: 
, e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.
Ashtu si me elipsin, ekuacionet parametrike "vizatojnë" harkun e astroidit nga e djathta në të majtë. Për shumëllojshmëri, unë do ta formatoj përfundimin në mënyrën e dytë: kur parametri ndryshon brenda kufijve, funksioni zvogëlohet, prandaj (mos harroni të dyfishoni!!):
Integrali doli të ishte mjaft i rëndë, dhe për të mos "mbartur gjithçka me vete", është më mirë të ndërprisni zgjidhjen dhe ta transformoni integruesin veç e veç. Standard ulni shkallën duke përdorur formulat trigonometrike:
I përshtatshëm, në afatin e fundit le ta vendosim funksionin nën shenjën diferenciale:
Përgjigju:
Po, është pak e vështirë me yjet =)
Detyra e mëposhtme është për studentët e avancuar:
Shembulli 7
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija të dhëna nga ekuacionet
Për ta zgjidhur atë, do të ketë mjaft materiale që kemi shqyrtuar tashmë, por rruga e zakonshme është shumë e gjatë, dhe tani do t'ju tregoj për një tjetër metodë efektive. Ideja është në të vërtetë e njohur nga mësimi Llogaritja e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar– ky është integrimi mbi variablin “y” dhe përdorimi i formulës 
. Duke zëvendësuar funksionet parametrike në të, marrim një formulë funksionimi të pasqyrës:
Në të vërtetë, pse është më keq se ai "standard"? Ky është një avantazh tjetër i formës parametrike - ekuacioni 
të aftë për të luajtur rolin jo vetëm të një “të zakonshëm”, por njëkohësisht Dhe funksioni i anasjelltë.
NË në këtë rast supozohet se funksionet të vazhdueshme mbi intervalin e integrimit dhe funksionin monotone mbi të. Për më tepër, nëse zvogëlohet në intervalin e integrimit (ekuacionet parametrike "vizatojnë" grafikun "në drejtim të kundërt" (vëmendje!!) boshti), më pas duke përdorur teknologjinë e diskutuar tashmë, duhet të riorganizoni kufijtë e integrimit ose fillimisht të vendosni një "minus" përpara integralit.
Zgjidhja dhe përgjigja për shembullin nr. 7 janë në fund të orës së mësimit.
Mini-seksioni i fundit i kushtohet një problemi më të rrallë:
Si të gjeni vëllimin e një trupi rrotullues,
nëse figura kufizohet nga një vijë e përcaktuar parametrikisht?
Le të përditësojmë formulën e nxjerrë në fillim të mësimit: 
. Metoda e përgjithshme e zgjidhjes është saktësisht e njëjtë si për gjetjen e zonës. Do të nxjerr disa detyra nga derrkucja ime.
Kur kuptuam kuptimin gjeometrik të një integrali të caktuar, dolëm me një formulë që mund të përdoret për të gjetur zonën e një trapezi lakor të kufizuar nga boshti x dhe vijat e drejta x = a, x = b, si dhe një funksion të vazhdueshëm (jo negativ ose jo pozitiv). y = f(x). Ndonjëherë është më e përshtatshme të specifikohet funksioni që kufizon figurën në formë parametrike, d.m.th. shprehin varësinë funksionale nëpërmjet parametrit t. Në këtë material, ne do të tregojmë se si mund të gjeni sipërfaqen e një figure nëse ajo kufizohet nga një kurbë e përcaktuar parametrikisht.
Pas shpjegimit të teorisë dhe nxjerrjes së formulës, do të shikojmë disa shembuj tipikë për të gjetur sipërfaqen e figurave të tilla.
Formula bazë për llogaritjen
Le të supozojmë se kemi një trapez lakor, kufijtë e të cilit janë drejtëzat x = a, x = b, boshti O x dhe një kurbë e përcaktuar parametrikisht x = φ (t) y = ψ (t), dhe funksionet x = φ (t) dhe y = ψ (t) janë të vazhdueshme në intervalin α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .
Përkufizimi 1
Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi në kushte të tilla, duhet të përdorni formulën S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t.
E kemi nxjerrë nga formula për sipërfaqen e një trapezi lakor S (G) = ∫ a b f (x) d x me zëvendësim x = φ (t) y = ψ (t):
S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t
Përkufizimi 2
Duke marrë parasysh uljen monotonike të funksionit x = φ (t) në intervalin β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .
Nëse funksioni x = φ (t) nuk është një nga elementët bazë, atëherë do të na duhet të kujtojmë rregullat bazë për rritjen dhe zvogëlimin e një funksioni në një interval për të përcaktuar nëse ai do të jetë në rritje apo në ulje.
Në këtë paragraf do të analizojmë disa probleme duke përdorur formulën e nxjerrë më sipër.
Shembulli 1
gjendja: gjeni sipërfaqen e figurës së formuar nga drejtëza e dhënë nga ekuacionet e formës x = 2 cos t y = 3 sin t.
Zgjidhje
Kemi një vijë të përcaktuar parametrikisht. Grafikisht mund të shfaqet si një elips me dy gjysmëboshte 2 dhe 3. Shih ilustrimin:
Le të përpiqemi të gjejmë sipërfaqen 1 4 të figurës që rezulton, e cila zë kuadrantin e parë. Rajoni është në intervalin x ∈ a; b = 0; 2. Tjetra, shumëzoni vlerën që rezulton me 4 dhe gjeni sipërfaqen e të gjithë figurës.
Këtu është ecuria e llogaritjeve tona:
x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
Me k të barabartë me 0, marrim intervalin β; α = 0 ; π 2. Funksioni x = φ (t) = 2 cos t do të ulet në mënyrë monotone mbi të (për më shumë detaje, shihni artikullin mbi funksionet kryesore elementare dhe vetitë e tyre). Kjo do të thotë që ju mund të aplikoni formulën për llogaritjen e sipërfaqes dhe të gjeni integralin e caktuar duke përdorur formulën Newton-Leibniz:
- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - mëkat 2 π 2 2 - 0 - mëkat 2 0 2 = 3 π 2
Kjo do të thotë që zona e figurës së dhënë nga kurba origjinale do të jetë e barabartë me S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.
Përgjigje: S(G) = 6π
Le të sqarojmë se gjatë zgjidhjes së problemit të mësipërm, ishte e mundur të merrej jo vetëm një e katërta e elipsës, por edhe gjysma e saj - ajo e sipërme ose e poshtme. Njëra gjysmë do të vendoset në intervalin x ∈ a; b = -2; 2. Në këtë rast do të kishim:
φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z
Kështu, me k të barabartë me 0, marrim β; α = 0 ; π. Funksioni x = φ (t) = 2 cos t do të ulet në mënyrë monotonike në këtë interval.
Pas kësaj, ne llogarisim sipërfaqen e gjysmës së elipsës:
- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π
Është e rëndësishme të theksohet se ju mund të merrni vetëm pjesën e sipërme ose të poshtme, por jo djathtas ose majtas.
Ju mund të krijoni një ekuacion parametrik për një elips të caktuar, qendra e së cilës do të jetë në origjinë. Do të duket si x = a · cos t y = b · sin t . Duke vazhduar në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mësipërm, marrim një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së elipsës S e l dhe p me a = πab.
Ju mund të përcaktoni një rreth, qendra e të cilit ndodhet në origjinë duke përdorur ekuacionin x = R · cos t y = R · sin t , ku t është një parametër dhe R është rrezja e këtij rrethi. Nëse menjëherë përdorim formulën për sipërfaqen e një elipsi, atëherë do të marrim një formulë me të cilën mund të llogarisim sipërfaqen e një rrethi me rreze R: S k r y r a = πR 2.
Le të shohim një problem tjetër.
Shembulli 2
Kushti: gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë sipërfaqja e figurës, e cila kufizohet nga një kurbë e përcaktuar parametrikisht x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.
Zgjidhje
Le të sqarojmë menjëherë se kjo kurbë ka formën e një astroidi të zgjatur. Zakonisht astroidi shprehet duke përdorur një ekuacion të formës x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .
Tani le të shohim në detaje se si të ndërtojmë një kurbë të tillë. Le të ndërtojmë në bazë të pikave individuale. Kjo është metoda më e zakonshme dhe është e zbatueshme për shumicën e detyrave. Shembujt më kompleksë kërkojnë llogaritje diferenciale për të identifikuar një funksion të përcaktuar parametrikisht.
Kemi x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.
Këto funksione janë të përcaktuara për të gjitha vlerat reale të t. Për sin dhe cos dihet se ato janë periodike dhe periudha e tyre është 2 pi. Pasi të kemi llogaritur vlerat e funksioneve x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t për disa t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, marrim pikë x 0; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .
Le të bëjmë një tabelë të vlerave totale:
| t 0 | 0 | π 8 | π 4 | 3 π 8 | π 2 | 5 π 8 | 3 π 4 | 7 π 8 | π |
| x 0 = φ (t 0) | 3 | 2 . 36 | 1 . 06 | 0 . 16 | 0 | - 0 . 16 | - 1 . 06 | - 2 . 36 | - 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | 0 | 0 . 11 | 0 . 70 | 1 . 57 | 2 | 1 . 57 | 0 . 70 | 0 . 11 | 0 |
| t 0 | 9 π 8 | 5 π 4 | 11 π 8 | 3 π 2 | 13 π 8 | 7 π 4 | 15 π 8 | 2π |
| x 0 = φ (t 0) | - 2 . 36 | - 1 . 06 | - 0 . 16 | 0 | 0 . 16 | 1 . 06 | 2 . 36 | 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | - 0 . 11 | - 0 . 70 | - 1 . 57 | - 2 | - 1 . 57 | - 0 . 70 | - 0 . 11 | 0 |
Pas kësaj, shënoni pikat e kërkuara në aeroplan dhe lidhini ato me një vijë.
Tani duhet të gjejmë sipërfaqen e asaj pjese të figurës që ndodhet në tremujorin e parë të koordinatave. Për të x ∈ a; b = 0; 3:
φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
Nëse k është e barabartë me 0, atëherë marrim intervalin β; α = 0 ; π 2 , dhe funksioni x = φ (t) = 3 cos 3 t do të ulet në mënyrë monotonike mbi të. Tani marrim formulën e zonës dhe llogarisim:
- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t
Ne kemi marrë integrale të përcaktuara që mund të llogariten duke përdorur formulën Newton-Leibniz. Antiderivativët për këtë formulë mund të gjenden duke përdorur formulën e përsëritur J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , ku J n (x) = ∫ mëkat n x d x.
∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96
Llogaritëm sipërfaqen e një të katërtës së një figure. Është e barabartë me 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.
Nëse e shumëzojmë këtë vlerë me 4, marrim sipërfaqen e të gjithë figurës - 9 π 4.
Në të njëjtën mënyrë, ne mund të vërtetojmë se zona e astroidit, e dhënë nga ekuacionet x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t, mund të gjendet me formulën S a stroid = 3 πa 2 8 , dhe zona e figurës, e cila kufizohet nga rreshti x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t, llogaritet duke përdorur formulën S = 3 πab 8.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter