Sekuencë monotone. Teorema e Weierstrass mbi kufirin e një sekuence monotone Sekuenca nuk është monotone

Përkufizimi 1. Sekuenca quhet në rënie (jo në rritje ), nëse për të gjithë
pabarazia qëndron
.

Përkufizimi 2. Konsistenca
thirrur në rritje (jo në rënie ), nëse për të gjithë
pabarazia qëndron
.

Përkufizimi 3. Sekuencat zvogëluese, jozritëse, rritëse dhe jozvogëluese quhen monotone sekuenca quhen edhe sekuenca zvogëluese dhe rritëse rreptësisht monotone sekuencat.

Natyrisht, një sekuencë jo-zvogëluese është e kufizuar nga poshtë, dhe një sekuencë jo në rritje është e kufizuar nga lart. Prandaj, çdo sekuencë monotonike është padyshim e kufizuar në njërën anë.

Shembull 1. Konsistenca
rritet, nuk ulet,
zvogëlohet
nuk rritet
– sekuencë jo monotonike.

Për sekuencat monotonike, sa vijon luan një rol të rëndësishëm:

Teorema 1. Nëse një sekuencë jo-zvogëluese (jo në rritje) kufizohet sipër (poshtë), atëherë ajo konvergon.

Dëshmi. Lëreni sekuencën
nuk zvogëlohet dhe kufizohet nga lart, d.m.th.
dhe shumë
kufizuar nga lart. Nga Teorema 1 § 2 ekziston
. Le ta vërtetojmë këtë
.

Le të marrim
në mënyrë arbitrare. Që nga viti A– kufiri i saktë i sipërm, ka një numër N të tilla që
. Meqenëse sekuenca nuk është në rënie, atëherë për të gjithë
kemi, d.m.th.
, Kjo është arsyeja pse
për të gjithë
, dhe kjo do të thotë se
.

Për një sekuencë jo në rritje të kufizuar më poshtë, prova është e ngjashme me ( nxënësit mund ta vërtetojnë këtë pohim vetë në shtëpi). Teorema është vërtetuar.

Komentoni. Teorema 1 mund të formulohet ndryshe.

Teorema 2. Për të konverguar një varg monoton, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë e kufizuar.

Mjaftueshmëria përcaktohet në Teoremën 1, domosdoshmëria - në Teoremën 2 të § 5.

Kushti i monotonitetit nuk është i nevojshëm për konvergjencën e një sekuence, pasi një sekuencë konvergjente nuk është domosdoshmërisht monotonike. Për shembull, sekuenca
jo monotonike, por konvergon në zero.

Pasoja. Nëse sekuenca
rritet (zvogëlohet) dhe kufizohet nga lart (nga poshtë), pastaj
(
).

Në të vërtetë, nga teorema 1
(
).

Përkufizimi 4. Nëse
në
, atëherë thirret sekuenca sistemi kontraktues i segmenteve të mbivendosur .

Teorema 3 (parimi i segmenteve të mbivendosur). Çdo sistem kontraktues i segmenteve të mbivendosur ka një pikë unike Me, që i përket të gjitha segmenteve të këtij sistemi.

Dëshmi. Le ta vërtetojmë këtë çështje Me ekziston. Që nga viti
, Kjo
dhe për këtë arsye sekuenca
nuk zvogëlohet, por sekuenca
nuk rritet. Në të njëjtën kohë
Dhe
kufizuar sepse. Pastaj, nga Teorema 1, ekzistojnë
Dhe
, por që nga
, Kjo
=
. Pika e gjetur Me i përket të gjitha segmenteve të sistemit, pasi sipas teoremës 1
,
, d.m.th.
për të gjitha vlerat n.

Le të tregojmë tani se pika Me- i vetmi. Le të supozojmë se ka dy pika të tilla: Me Dhe d dhe le për siguri
. Pastaj segmenti
i përket të gjitha segmenteve
, d.m.th.
për të gjithë n, gjë që është e pamundur, pasi
dhe, për rrjedhojë, duke u nisur nga një numër i caktuar,
. Teorema është vërtetuar.

Vini re se gjëja thelbësore këtu është që të merren parasysh intervalet e mbyllura, d.m.th. segmente. Nëse marrim parasysh një sistem intervalesh kontraktuese, atëherë parimi është, në përgjithësi, i pasaktë. Për shembull, intervalet
, padyshim kontrata deri në një pikë
, megjithatë pikë
nuk i përket asnjë intervali të këtij sistemi.

Le të shqyrtojmë tani shembuj të sekuencave monotonike konvergjente.

1) Numri e.

Le të shqyrtojmë tani sekuencën
. Si po sillet ajo? Baza

gradë
, Kjo është arsyeja pse
? Në anën tjetër,
, A
, Kjo është arsyeja pse
? Apo nuk ka kufi?

Për t'iu përgjigjur këtyre pyetjeve, merrni parasysh sekuencën ndihmëse
. Le të vërtetojmë se zvogëlohet dhe kufizohet më poshtë. Në të njëjtën kohë, do të na duhet

Lemë. Nëse
, pastaj për të gjitha vlerat natyrore n ne kemi

(Pabarazia e Bernulit).

Dëshmi. Le të përdorim metodën e induksionit matematik.

Nëse
, Kjo
, d.m.th. pabarazia është e vërtetë.

Le të supozojmë se është e vërtetë për
dhe të provojë vlefshmërinë e saj për
+1.

E drejta
. Le ta shumëzojmë këtë pabarazi me
:

Kështu,. Kjo do të thotë, sipas parimit të induksionit matematik, pabarazia e Bernulit është e vërtetë për të gjitha vlerat natyrore n. Lema është e provuar.

Le të tregojmë se sekuenca
zvogëlohet. ne kemi

Pabarazia e Bernoulli-t
, dhe kjo do të thotë se sekuenca
zvogëlohet.

Kufizimi nga poshtë rrjedh nga pabarazia
Pabarazia e Bernoulli-t
për të gjitha vlerat natyrore n.

Nga teorema 1 ekziston
, e cila shënohet me shkronjën e. Kjo është arsyeja pse
.

Numri e irracionale dhe transcendentale, e= 2.718281828…. Është, siç dihet, baza e logaritmeve natyrore.

Shënime. 1) Pabarazia e Bernulit mund të përdoret për të vërtetuar këtë
në
. Në të vërtetë, nëse
, Kjo
. Pastaj, sipas pabarazisë së Bernoulli-t, me
. Prandaj, në
ne kemi
, pra
në
.

2) Në shembullin e diskutuar më sipër, baza e shkallës priret në 1, dhe eksponenti n- Për të , pra ka pasiguri të formës . Pasiguria e këtij lloji, siç kemi treguar, zbulohet nga kufiri i jashtëzakonshëm
.

2)
(*)

Le të vërtetojmë se kjo sekuencë konvergon. Për ta bërë këtë, ne tregojmë se është i kufizuar nga poshtë dhe nuk rritet. Në këtë rast, ne përdorim pabarazinë
për të gjithë
, e cila është pasojë e pabarazisë
.

ne kemi
shih pabarazia është më e lartë!
, d.m.th. sekuenca kufizohet më poshtë me numrin
.

Më pas,
që prej

, d.m.th. sekuenca nuk rritet.

Nga teorema 1 ekziston
, të cilën e shënojmë X. Kalimi në barazi (*) në ​​kufirin në
, marrim

, d.m.th.
, ku
(marrim shenjën plus, pasi të gjitha termat e sekuencës janë pozitive).

Sekuenca (*) përdoret në llogaritje
përafërsisht. Për merrni ndonjë numër pozitiv. Për shembull, le të gjejmë
. Le
. Pastaj
,. Kështu,
.

3)
.

ne kemi
. Që nga viti
në
, ka një numër N, e tillë që për të gjithë
pabarazia qëndron
. Pra, sekuenca
, duke filluar nga një numër N, zvogëlohet dhe kufizohet më poshtë, pasi
për të gjitha vlerat n. Kjo do të thotë se nga Teorema 1 ekziston
. Që nga viti
, kemi
.

Pra,
.

4)
, djathtas - n rrënjët.

Duke përdorur metodën e induksionit matematik do të tregojmë se
për të gjitha vlerat n. ne kemi
. Le
. Pastaj, nga këtu marrim një deklaratë të bazuar në parimin e induksionit matematik. Duke përdorur këtë fakt, gjejmë, d.m.th. pasues
rritet dhe kufizohet nga lart. Prandaj ekziston sepse
.

Kështu,
.

Nëse çdo numër natyror n shoqërohet me ndonjë numër real x n, atëherë themi se i dhënë sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

Numri x 1 quhet anëtar i sekuencës me numrin 1 ose termi i parë i sekuencës, numri x 2 - anëtar i sekuencës me numrin 2 ose anëtari i dytë i sekuencës etj. Numri x n quhet anëtar i vargut me numër n.

Ka dy mënyra për të specifikuar sekuencat e numrave - me dhe me formula e përsëritur.

Sekuenca duke përdorur formulat për termin e përgjithshëm të një sekuence- kjo është një detyrë e radhës

x 1 , x 2 , … x n , …

duke përdorur një formulë që shpreh varësinë e termit x n nga numri i tij n.

Shembulli 1. Sekuenca e numrave

1, 4, 9, … n 2 , …

dhënë duke përdorur formulën e termit të përbashkët

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Specifikimi i një sekuence duke përdorur një formulë që shpreh një anëtar sekuence x n përmes anëtarëve të sekuencës me numrat e mëparshëm quhet specifikimi i një sekuence duke përdorur formula e përsëritur.

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur në sekuencë në rritje, më shumë anëtari i mëparshëm.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n

x n + 1 >x n

Shembulli 3. Sekuenca e numrave natyrorë

1, 2, 3, … n, …

është sekuencë në rritje.

Përkufizimi 2. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur sekuencë zbritëse, nëse secili anëtar i kësaj sekuence më pak anëtari i mëparshëm.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

x n + 1 < x n

Shembulli 4. Pasoja

dhënë nga formula

është sekuencë zbritëse.

Shembulli 5. Sekuenca e numrave

1, - 1, 1, - 1, …

dhënë nga formula

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nuk është as në rritje e as në rënie sekuencë.

Përkufizimi 3. Quhen vargje numrash në rritje dhe në zvogëlim sekuenca monotonike.

Sekuenca të kufizuara dhe të pakufishme

Përkufizimi 4. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur kufizuar nga lart, nëse ka një numër M të tillë që secili anëtar i kësaj sekuence më pak numrat M.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Përkufizim 5. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

thirrur kufizohet më poshtë, nëse ka një numër m të tillë që secili anëtar i kësaj vargu më shumë numrat m.

Me fjalë të tjera, për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Përkufizimi 6. Sekuenca e numrave

x 1 , x 2 , … x n , …

quhet e kufizuar nëse ajo kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë.

Me fjalë të tjera, ka numra M dhe m të tillë që për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

m< x n < M

Përkufizimi 7. Sekuencat numerike që nuk janë të kufizuara, thirri sekuenca të pakufizuara.

Shembulli 6. Sekuenca e numrave

1, 4, 9, … n 2 , …

dhënë nga formula

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

kufizohet më poshtë, për shembull, numri 0. Megjithatë, kjo sekuencë të pakufizuar nga lart.

Shembulli 7. Pasoja

dhënë nga formula

është sekuencë e kufizuar, sepse për të gjithë n= 1, 2, 3, ... pabarazia plotësohet

Në faqen tonë të internetit ju gjithashtu mund të njiheni me materialet arsimore të zhvilluara nga mësuesit e qendrës së trajnimit Resolventa për përgatitjen për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Për nxënësit e shkollës që duan të përgatiten mirë dhe të kalojnë Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë ose në gjuhën ruse për një rezultat të lartë, zhvillon qendra e trajnimit Resolventa

Teorema e Weierstrass-it mbi kufirin e një sekuence monotone

Çdo sekuencë e kufizuar monotone (xn) ka një kufi të fundëm të barabartë me kufirin e sipërm ekzakt, sup (xn) për një kufi të poshtëm jo në rënie dhe të saktë, inf(xn) për një sekuencë jo në rritje.
Çdo sekuencë monotonike e pakufizuar ka një kufi të pafund të barabartë me plus pafundësi për një sekuencë jozagoniste dhe minus pafundësi për një sekuencë jozritëse.

Dëshmi

1) sekuencë e kufizuar pa rënie.

(1.1) .

Meqenëse sekuenca është e kufizuar, ajo ka një kufi të sipërm të fundëm
.
Kjo do të thotë se:

• per te gjitha n,
  (1.2) ;
• për çdo numër pozitiv, ka një numër në varësi të ε, kështu që
  (1.3) .

.
Këtu kemi përdorur edhe (1.3). Duke u kombinuar me (1.2), gjejmë:
në .
Që atëherë
,
ose
në .
Pjesa e parë e teoremës është vërtetuar.

2) Le të jetë tani sekuenca sekuencë e kufizuar jo në rritje:
(2.1) për të gjithë n.

Meqenëse sekuenca është e kufizuar, ajo ka një kufi të poshtëm të fundëm
.
Kjo do të thotë sa vijon:

• për të gjithë n vlejnë pabarazitë e mëposhtme:
  (2.2) ;
• për çdo numër pozitiv, ka një numër, në varësi të ε, për të cilin
  (2.3) .

.
Këtu kemi përdorur edhe (2.3). Duke marrë parasysh (2.2), gjejmë:
në .
Që atëherë
,
ose
në .
Kjo do të thotë se numri është kufiri i sekuencës.
Pjesa e dytë e teoremës është e vërtetuar.

Tani merrni parasysh sekuencat e pakufizuara.
3) Le të jetë sekuenca sekuencë e pakufizuar jo-zvogëluese.

Meqenëse sekuenca nuk është në rënie, pabarazitë e mëposhtme vlejnë për të gjitha n:
(3.1) .

Meqenëse sekuenca nuk është në rënie dhe e pakufizuar, ajo është e pakufizuar në anën e djathtë. Atëherë për çdo numër M ka një numër, në varësi të M, për të cilin
(3.2) .

Meqenëse sekuenca nuk është në rënie, atëherë kur kemi:
.
Këtu kemi përdorur edhe (3.2).

.
Kjo do të thotë që kufiri i sekuencës është plus pafundësi:
.
Pjesa e tretë e teoremës është e vërtetuar.

4) Së fundi, merrni parasysh rastin kur sekuencë e pakufizuar jo në rritje.

Ngjashëm me atë të mëparshmin, pasi sekuenca nuk është në rritje, atëherë
(4.1) për të gjithë n.

Meqenëse sekuenca nuk është në rritje dhe e pakufizuar, ajo është e pakufizuar në anën e majtë. Atëherë për çdo numër M ka një numër, në varësi të M, për të cilin
(4.2) .

Meqenëse sekuenca nuk është në rritje, atëherë kur kemi:
.

Pra, për çdo numër M ka një numër natyror në varësi të M, kështu që për të gjithë numrat vlejnë pabarazitë e mëposhtme:
.
Kjo do të thotë që kufiri i sekuencës është i barabartë me minus pafundësi:
.
Teorema është vërtetuar.

Shembull i zgjidhjes së problemit

Duke përdorur teoremën e Weierstrass, provoni konvergjencën e sekuencës:
, , . . . , , . . .
Pastaj gjeni kufirin e saj.

Le të paraqesim sekuencën në formën e formulave të përsëritura:
,
.

Le të vërtetojmë se sekuenca e dhënë është e kufizuar më lart me vlerën
(P1) .
Vërtetimi kryhet duke përdorur metodën e induksionit matematik.
.
Le .
.
Pastaj

Vërtetohet pabarazia (A1).
;
Le të vërtetojmë se sekuenca rritet në mënyrë monotone. .
(P2)
.
Meqenëse , atëherë emëruesi i thyesës dhe faktori i parë në numërues janë pozitiv. Për shkak të kufizimit të termave të sekuencës nga pabarazia (A1), faktori i dytë është gjithashtu pozitiv. Kjo është arsyeja pse

Kjo do të thotë, sekuenca po rritet rreptësisht.

Meqenëse sekuenca është në rritje dhe e kufizuar më lart, ajo është një sekuencë e kufizuar. Prandaj, sipas teoremës së Weierstrass, ajo ka një kufi.
.
Le ta gjejmë këtë kufi. Le ta shënojmë me një:
.
Le ta zbatojmë këtë në (A2), duke përdorur vetitë aritmetike të kufijve të sekuencave konvergjente:
.
Gjendja plotësohet nga rrënja.

Elementet e të cilave nuk zvogëlohen me rritjen e numrit, ose, anasjelltas, nuk rriten. Sekuenca të tilla shpesh hasen në kërkime dhe kanë një sërë veçorish dalluese dhe veçori shtesë. Një sekuencë e një numri nuk mund të konsiderohet rritëse ose zbritëse.

YouTube Enciklopedike

• 1 / 5

  Le të ketë një grup X (\displaystyle X), mbi të cilin futet relacioni i rendit.

  Sekuenca e elementeve të grupit X (\displaystyle X) thirrur jo në rënie , nëse çdo element i kësaj sekuence nuk është më i madh se tjetri.

  ( x n ) (\style ekrani \(x_(n)\))- jo në rënie ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\displaystyle \Shigjeta djathtas ~\për të gjitha n\në \mathbb (N) \colon x_(n)\leqslant x_(n+1))

  Pasoja ( x n ) (\style ekrani \(x_(n)\)) elementet e kompletit X (\displaystyle X) thirrur jo në rritje , nëse çdo element tjetër i kësaj sekuence nuk e kalon atë të mëparshëm.

  ( x n ) (\style ekrani \(x_(n)\))- jo në rritje ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\displaystyle \Shigjeta djathtas ~\për të gjitha n\në \mathbb (N) \colon x_(n)\geqslant x_(n+1))

  Pasoja ( x n ) (\style ekrani \(x_(n)\)) elementet e kompletit X (\displaystyle X) thirrur në rritje , nëse çdo element tjetër i kësaj sekuence është më i madh se ai i mëparshmi.

  ( x n ) (\style ekrani \(x_(n)\))- në rritje ⇔ ∀ n ∈ N: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  Pasoja ( x n ) (\style ekrani \(x_(n)\)) elementet e kompletit X (\displaystyle X) thirrur në rënie , nëse çdo element i kësaj sekuence është më i madh se tjetri.

  ( x n ) (\style ekrani \(x_(n)\))- në rënie ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 (\displaystyle \Shigjeta djathtas ~\për të gjitha n\në \mathbb (N) \colon x_(n)>x_(n+1))

  monotone, nëse nuk është në rënie ose jo në rritje.

  Sekuenca quhet rreptësisht monotone, nëse është në rritje ose në rënie.

  Natyrisht, një sekuencë rreptësisht monotonike është monotonike.

  Ndonjëherë përdoret një variant i terminologjisë në të cilin termi "rend në rritje" konsiderohet si sinonim për termin "rend jo-zvogëlues", dhe termi "rend në rënie" konsiderohet si sinonim për termin "rend pa rritje". ". Në një rast të tillë, sekuencat rritëse dhe zvogëluese nga përkufizimi i mësipërm quhen përkatësisht "rreptësisht në rritje" dhe "rreptësisht në rënie".

  Intervalet e monotonisë

  Mund të rezultojë se kushtet e mësipërme nuk janë plotësuar për të gjithë numrat n ∈ N (\displaystyle n\in \mathbb (N) ), por vetëm për numra nga një gamë e caktuar

  I = ( n ∈ N ∣ N − ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (këtu lejohet të kthehet mbrapsht kufiri i djathtë N + (\displaystyle N_(+)) deri në pafundësi). Në këtë rast sekuenca quhet monotonike në interval Unë (\displaystyle I) , dhe vetë gamën Unë (\displaystyle I) thirrur një interval monotonie sekuencat.