Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com
Titrat e rrëshqitjes:
Vetitë e monotonitetit të një logaritmi. Krahasimi i logaritmeve. Algjebra klasa e 11-të. Përfunduar nga mësuesja e matematikës: Liliya Anasovna Kinzyabulatova, Noyabrsk, 2014.
y= log a x, ku a>0; a≠1. a) Nëse a> 1, atëherë y= log a x – duke u rritur b) Nëse 0 Metodat për krahasimin e logaritmeve. ① Vetia e monotonitetit Krahaso log a b log a c bazat janë a Nëse a> 1, atëherë y= log a t po rritet, atëherë nga b> c = > log a b > log a c ; Nëse 0 c => log a b log 1/3 8; Metodat për krahasimin e logaritmeve. ② Metoda grafike Krahasoni log a b log me b bazat janë të ndryshme, numrat janë të barabartë me b 1) Nëse a> 1; с > 1, pastaj y=log a t, y=log с t – mosha. a) Nëse a> c, b>1, atëherë log a b log c b Metodat për krahasimin e logaritmeve. ② Metoda grafike Krahaso log a b log me b bazat janë të ndryshme, numrat janë të barabartë me b 2) Nëse 0 c, b>1, atëherë log a b > log c b b) Nëse a Metodat për krahasimin e logaritmeve. ② Metoda grafike Krahaso log a b log me b bazat janë të ndryshme, numrat janë të barabartë me b Shembuj log 2 3 > log 4 3 2 1 log 3 1/4 0,25; 3>1 Regjistri 0.3 0.6 Metodat për krahasimin e logaritmeve. ③ Funksione me monotoni të ndryshme a>1 y=log a x – rritet 0 1, pastaj log a c > log b d b) Nëse 0 1) log 0,5 1/3 > log 5 1/2 Metodat për krahasimin e logaritmeve. ⑤ Regjistri i metodës së vlerësimit 3 5 log 4 17 1 > > > > Metodat për krahasimin e logaritmeve. ⑦ Krahasimi me mesin e segmentit log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64
Kur zgjidhni ekuacione dhe pabarazi, si dhe probleme me module, duhet të vendosni rrënjët e gjetura në vijën numerike. Siç e dini, rrënjët e gjetura mund të jenë të ndryshme. Ato mund të jenë kështu: , ose mund të jenë kështu: , .
Prandaj, nëse numrat nuk janë racionalë, por irracionalë (nëse keni harruar se çfarë janë, shikoni në temë), ose janë shprehje komplekse matematikore, atëherë vendosja e tyre në rreshtin numerik është shumë problematike. Për më tepër, nuk mund të përdorni kalkulatorë gjatë provimit dhe llogaritjet e përafërta nuk japin garanci 100% që një numër është më i vogël se një tjetër (po nëse ka një ndryshim midis numrave që krahasohen?).
Sigurisht, ju e dini se numrat pozitivë janë gjithmonë më të mëdhenj se ata negativë dhe se nëse imagjinojmë një bosht numerik, atëherë kur krahasojmë, numrat më të mëdhenj do të jenë djathtas se sa më i vogli: ; ; etj.
Por a është gjithçka gjithmonë kaq e lehtë? Ku në vijën numerike shënojmë, .
Si mund të krahasohen, për shembull, me një numër? Ky është fërkimi...)
Së pari, le të flasim në terma të përgjithshëm se si dhe çfarë të krahasojmë.
E rëndësishme: këshillohet që të bëhen transformime të tilla që shenja e pabarazisë të mos ndryshojë! Kjo do të thotë, gjatë transformimeve është e padëshirueshme të shumëzohet me një numër negativ dhe është e ndaluar katror nëse njëra nga pjesët është negative.
Krahasimi i thyesave
Pra, duhet të krahasojmë dy thyesa: dhe.
Ka disa opsione se si ta bëni këtë.
Opsioni 1. Zvogëloni thyesat në një emërues të përbashkët.
Le ta shkruajmë në formën e një thyese të zakonshme:
- (siç mund ta shihni, kam zvogëluar edhe numëruesin dhe emëruesin).
Tani duhet të krahasojmë thyesat:
Tani mund të vazhdojmë të krahasojmë në dy mënyra. Ne mund të:
- thjesht sillni gjithçka në një emërues të përbashkët, duke i paraqitur të dy thyesat si të pahijshme (numëruesi është më i madh se emëruesi):
Cili numër është më i madh? Ashtu është ai me numëruesin më të madh, pra i pari.
- "Le ta hedhim poshtë" (konsideroni se kemi zbritur një nga secila fraksion, dhe raporti i thyesave me njëri-tjetrin, në përputhje me rrethanat, nuk ka ndryshuar) dhe krahasoni thyesat:
Ne gjithashtu i sjellim ato në një emërues të përbashkët:
Ne morëm saktësisht të njëjtin rezultat si në rastin e mëparshëm - numri i parë është më i madh se i dyti:
Le të kontrollojmë gjithashtu nëse kemi zbritur një të saktë? Le të llogarisim ndryshimin në numërues në llogaritjen e parë dhe të dytën:
1)
2)
Pra, ne shikuam se si të krahasojmë thyesat, duke i sjellë ato në një emërues të përbashkët. Le të kalojmë në një metodë tjetër - krahasimi i thyesave, sjellja e tyre në një numërues të përbashkët.
Opsioni 2. Krahasimi i thyesave duke reduktuar në një numërues të përbashkët.
Po, po. Kjo nuk është një gabim shtypi. Kjo metodë rrallë i mësohet dikujt në shkollë, por shumë shpesh është shumë e përshtatshme. Në mënyrë që të kuptoni shpejt thelbin e saj, unë do t'ju bëj vetëm një pyetje - "në cilat raste vlera e një fraksioni është më e madhe?" Sigurisht, ju do të thoni "kur numëruesi është sa më i madh që të jetë e mundur dhe emëruesi është sa më i vogël".
Për shembull, mund të thuash patjetër që është e vërtetë? Po sikur të na duhet të krahasojmë thyesat e mëposhtme: ? Unë mendoj se edhe ju menjëherë do ta vendosni saktë shenjën, sepse në rastin e parë ato ndahen në pjesë, dhe në të dytin në të tëra, që do të thotë se në rastin e dytë copat rezultojnë të jenë shumë të vogla dhe në përputhje me rrethanat: . Siç mund ta shihni, emëruesit këtu janë të ndryshëm, por numëruesit janë të njëjtë. Megjithatë, për të krahasuar këto dy thyesa, nuk duhet të kërkoni një emërues të përbashkët. Edhe pse... gjeni dhe shikoni nëse shenja e krahasimit është ende e gabuar?
Por shenja është e njëjtë.
Le të kthehemi në detyrën tonë origjinale - krahasoni dhe ... Ne do të krahasojmë dhe... Le t'i reduktojmë këto thyesa jo në një emërues të përbashkët, por në një numërues të përbashkët. Për ta bërë këtë thjesht numërues dhe emërues shumëzojeni thyesën e parë me. Ne marrim:
Dhe. Cila thyesë është më e madhe? Është e drejtë, e para.
Opsioni 3: Krahasimi i thyesave duke përdorur zbritjen.
Si të krahasohen thyesat duke përdorur zbritjen? Po, shumë e thjeshtë. Ne zbresim një tjetër nga një thyesë. Nëse rezultati është pozitiv, atëherë fraksioni i parë (minuend) është më i madh se i dyti (nëntrahe), dhe nëse negativ, atëherë anasjelltas.
Në rastin tonë, le të përpiqemi të zbresim thyesën e parë nga e dyta: .
Siç e kuptoni tashmë, ne gjithashtu konvertojmë në një fraksion të zakonshëm dhe marrim të njëjtin rezultat - . Shprehja jonë merr formën:
Më tej, ne do të duhet të përdorim reduktimin në një emërues të përbashkët. Pyetja është: në mënyrën e parë, konvertimi i fraksioneve në të pahijshme, apo në mënyrën e dytë, sikur "heq" njësinë? Nga rruga, ky veprim ka një justifikim plotësisht matematikor. Shikoni:
Më pëlqen më shumë opsioni i dytë, pasi shumëzimi në numërues kur reduktohet në një emërues të përbashkët bëhet shumë më i lehtë.
Le ta sjellim atë në një emërues të përbashkët:
Gjëja kryesore këtu është të mos ngatërrohemi se nga cili numër kemi zbritur dhe ku. Shikoni me kujdes ecurinë e zgjidhjes dhe mos i ngatërroni rastësisht shenjat. I zbritëm numrin e parë nga numri i dytë dhe morëm një përgjigje negative, pra?.. Ashtu është, numri i parë është më i madh se i dyti.
E kuptove? Provoni të krahasoni thyesat:
Ndalo, ndalo. Mos nxitoni për të sjellë në një emërues të përbashkët ose për të zbritur. Shikoni: mund ta shndërroni lehtësisht në një thyesë dhjetore. Sa kohë do të jetë? E drejta. Çfarë ka më në fund?
Ky është një opsion tjetër - krahasimi i thyesave duke i kthyer në një dhjetore.
Opsioni 4: Krahasimi i thyesave duke përdorur pjesëtimin.
Po, po. Dhe kjo është gjithashtu e mundur. Logjika është e thjeshtë: kur pjesëtojmë një numër më të madh me një numër më të vogël, përgjigja që marrim është një numër më i madh se një, dhe nëse një numër më të vogël pjesëtojmë me një numër më të madh, atëherë përgjigja bie në intervalin nga deri në.
Për të mbajtur mend këtë rregull, merrni çdo dy numra të thjeshtë për krahasim, për shembull, dhe. E dini çfarë ka më shumë? Tani le të ndajmë me. Përgjigja jonë është. Prandaj, teoria është e saktë. Nëse e ndajmë me, marrim më pak se një, gjë që konfirmon se në të vërtetë është më pak.
Le të përpiqemi ta zbatojmë këtë rregull për fraksionet e zakonshme. Le të krahasojmë:
Ndani thyesën e parë me të dytën:
Le të shkurtojmë herë pas here.
Rezultati i marrë është më i vogël, që do të thotë se dividenti është më i vogël se pjesëtuesi, domethënë:
Ne kemi shqyrtuar të gjitha opsionet e mundshme për krahasimin e thyesave. Si i shihni ato 5:
- reduktimi në një emërues të përbashkët;
- reduktimi në një numërues të përbashkët;
- reduktimi në formën e një thyese dhjetore;
- zbritje;
- ndarje.
Gati për të stërvitur? Krahasoni thyesat në mënyrën optimale:
Le të krahasojmë përgjigjet:
- (- konverto në dhjetor)
- (pjestojeni një thyesë me një tjetër dhe zvogëlojeni me numërues dhe emërues)
- (zgjidhni të gjithë pjesën dhe krahasoni thyesat bazuar në parimin e të njëjtit numërues)
- (pjestojeni një thyesë me një tjetër dhe zvogëlojeni me numërues dhe emërues).
2. Krahasimi i gradave
Tani imagjinoni se duhet të krahasojmë jo vetëm numrat, por shprehjet ku ka një shkallë ().
Sigurisht, lehtë mund të vendosni një shenjë:
Në fund të fundit, nëse zëvendësojmë shkallën me shumëzim, marrim:
Nga ky shembull i vogël dhe primitiv rrjedh rregulli:
Tani përpiquni të krahasoni sa vijon: . Ju gjithashtu mund të vendosni lehtësisht një shenjë:
Sepse nëse e zëvendësojmë fuqizimin me shumëzimin...
Në përgjithësi, ju kuptoni gjithçka, dhe nuk është aspak e vështirë.
Vështirësitë lindin vetëm kur, kur krahasohen, gradat kanë baza dhe tregues të ndryshëm. Në këtë rast, është e nevojshme të përpiqeni të çoni në një bazë të përbashkët. Për shembull:
Sigurisht, ju e dini që kjo, në përputhje me rrethanat, shprehja merr formën:
Le të hapim kllapat dhe të krahasojmë atë që marrim:
Një rast disi i veçantë është kur baza e shkallës () është më e vogël se një.
Nëse, atëherë prej dy shkallësh dhe më i madh është ai indeksi i të cilit është më i vogël.
Le të përpiqemi të vërtetojmë këtë rregull. Le të jetë.
Le të prezantojmë një numër natyror si ndryshim midis dhe.
E logjikshme, apo jo?
Dhe tani le t'i kushtojmë vëmendje edhe një herë gjendjes - .
Përkatësisht: . Prandaj,.
Për shembull:
Siç e kuptoni, kemi konsideruar rastin kur bazat e shkallëve janë të barabarta. Tani le të shohim kur baza është në intervalin nga në, por eksponentët janë të barabartë. Gjithçka është shumë e thjeshtë këtu.
Le të kujtojmë se si ta krahasojmë këtë duke përdorur një shembull:
Sigurisht, ju e bëtë llogaritjen shpejt:
Prandaj, kur hasni probleme të ngjashme për krahasim, mbani në mend një shembull të thjeshtë të ngjashëm që mund ta llogaritni shpejt, dhe bazuar në këtë shembull, vendosni shenja në një shembull më kompleks.
Kur kryeni transformime, mbani mend se nëse shumëzoni, shtoni, zbrisni ose pjesëtoni, atëherë të gjitha veprimet duhet të bëhen me anën e majtë dhe të djathtë (nëse shumëzoni me, atëherë duhet t'i shumëzoni të dyja).
Për më tepër, ka raste kur është thjesht e padobishme të bësh ndonjë manipulim. Për shembull, ju duhet të krahasoni. Në këtë rast, nuk është aq e vështirë të ngrihet në një fuqi dhe të rregulloni shenjën bazuar në këtë:
Le të praktikojmë. Krahasoni shkallët:
Gati për të krahasuar përgjigjet? Ja çfarë mora:
- - njëjtë si
- - njëjtë si
- - njëjtë si
- - njëjtë si
3. Krahasimi i numrave me rrënjët
Së pari, le të kujtojmë se cilat janë rrënjët? Ju kujtohet ky regjistrim?
Rrënja e një fuqie të një numri real është një numër për të cilin vlen barazia.
Rrënjët të shkallës tek ekzistojnë për numrat negativë dhe pozitivë, dhe edhe rrënjët- vetëm për ato pozitive.
Vlera e rrënjës është shpesh një dhjetore e pafundme, gjë që e bën të vështirë llogaritjen e saktë, kështu që është e rëndësishme të jeni në gjendje të krahasoni rrënjët.
Nëse keni harruar se çfarë është dhe me çfarë hahet - . Nëse mbani mend gjithçka, le të mësojmë të krahasojmë rrënjët hap pas hapi.
Le të themi se duhet të krahasojmë:
Për të krahasuar këto dy rrënjë, nuk keni nevojë të bëni ndonjë llogaritje, thjesht analizoni vetë konceptin e "rrënjës". A e kupton se për çfarë po flas? Po, për këtë: përndryshe mund të shkruhet si fuqia e tretë e një numri, e barabartë me shprehjen radikale.
Çfarë ka më shumë? apo? Sigurisht, ju mund ta krahasoni këtë pa asnjë vështirësi. Sa më i madh të jetë numri që ngremë në një fuqi, aq më e madhe do të jetë vlera.
Pra. Le të nxjerrim një rregull.
Nëse eksponentët e rrënjëve janë të njëjtë (në rastin tonë kjo është), atëherë është e nevojshme të krahasohen shprehjet radikale (dhe) - sa më i madh të jetë numri radikal, aq më e madhe është vlera e rrënjës me eksponentë të barabartë.
E vështirë për t'u mbajtur mend? Pastaj mbani një shembull në kokën tuaj dhe ... Çfarë ka më shumë?
Eksponentët e rrënjëve janë të njëjtë, pasi rrënja është katrore. Shprehja radikale e një numri () është më e madhe se një tjetër (), që do të thotë se rregulli është vërtet i vërtetë.
Po sikur shprehjet radikale të jenë të njëjta, por shkallët e rrënjëve janë të ndryshme? Për shembull: .
Është gjithashtu mjaft e qartë se kur nxirret një rrënjë e një shkalle më të lartë, do të merret një numër më i vogël. Le të marrim për shembull:
Le të shënojmë vlerën e rrënjës së parë si, dhe të dytën - si, atëherë:
Ju lehtë mund të shihni se duhet të ketë më shumë në këto ekuacione, prandaj:
Nëse shprehjet radikale janë të njëjta(në rastin tonë), dhe eksponentët e rrënjëve janë të ndryshëm(në rastin tonë kjo është dhe), atëherë është e nevojshme të krahasohen eksponentët(Dhe) - sa më i lartë të jetë treguesi, aq më e vogël është kjo shprehje.
Mundohuni të krahasoni rrënjët e mëposhtme:
Le të krahasojmë rezultatet?
Ne e zgjidhëm këtë me sukses :). Shtrohet një pyetje tjetër: po sikur të jemi të gjithë të ndryshëm? Edhe shkalla edhe shprehja radikale? Jo çdo gjë është aq e ndërlikuar, thjesht duhet të... “të heqim qafe” rrënjën. Po, po. Thjesht hiqni qafe)
Nëse kemi shkallë dhe shprehje radikale të ndryshme, duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët (lexoni pjesën rreth) për eksponentët e rrënjëve dhe t'i ngremë të dyja shprehjet në një fuqi të barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët.
Se të gjithë jemi me fjalë e fjalë. Ja një shembull:
- Ne shikojmë treguesit e rrënjëve - dhe. Shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është .
- Le t'i ngremë të dyja shprehjet në një fuqi:
- Le të transformojmë shprehjen dhe të hapim kllapat (më shumë detaje në kapitull):
- Le të numërojmë atë që kemi bërë dhe të vendosim një shenjë:
4. Krahasimi i logaritmeve
Pra, ngadalë por me siguri vijmë te pyetja se si të krahasojmë logaritmet. Nëse nuk e mbani mend se çfarë lloj kafshe është kjo, ju këshilloj që së pari të lexoni teorinë nga seksioni. E keni lexuar? Pastaj përgjigjuni disa pyetjeve të rëndësishme:
- Cili është argumenti i një logaritmi dhe cila është baza e tij?
- Çfarë përcakton nëse një funksion rritet apo zvogëlohet?
Nëse mbani mend gjithçka dhe e keni zotëruar atë në mënyrë të përsosur, le të fillojmë!
Për të krahasuar logaritmet me njëri-tjetrin, duhet të dini vetëm 3 teknika:
- ulje në të njëjtën bazë;
- reduktimi në të njëjtin argument;
- krahasimi me numrin e tretë.
Fillimisht, kushtojini vëmendje bazës së logaritmit. A ju kujtohet se nëse është më pak, atëherë funksioni zvogëlohet, dhe nëse është më shumë, atëherë rritet. Kjo është ajo në të cilën do të bazohen gjykimet tona.
Le të shqyrtojmë një krahasim të logaritmeve që tashmë janë reduktuar në të njëjtën bazë ose argument.
Për të filluar, le të thjeshtojmë problemin: futim logaritmet e krahasuara baza të barabarta. Pastaj:
- Funksioni, për, rritet në intervalin nga, që do të thotë, sipas përkufizimit, atëherë ("krahasim i drejtpërdrejtë").
- Shembull:- arsyet janë të njëjta, ne i krahasojmë argumentet në përputhje me rrethanat: , prandaj:
- Funksioni, në, zvogëlohet në intervalin nga, që do të thotë, sipas përkufizimit, atëherë ("krahasim i kundërt"). - bazat janë të njëjta, krahasojmë argumentet në përputhje me rrethanat: , megjithatë, shenja e logaritmeve do të jetë "e kundërt", pasi funksioni është në rënie: .
Tani merrni parasysh rastet kur arsyet janë të ndryshme, por argumentet janë të njëjta.
- Baza është më e madhe.
- . Në këtë rast ne përdorim "krahasim të kundërt". Për shembull: - argumentet janë të njëjta, dhe. Le të krahasojmë bazat: megjithatë, shenja e logaritmeve do të jetë "e kundërt":
- Baza a është në hendek.
- . Në këtë rast ne përdorim "krahasim të drejtpërdrejtë". Për shembull:
- . Në këtë rast ne përdorim "krahasim të kundërt". Për shembull:
Le të shkruajmë gjithçka në një formë tabelare të përgjithshme:
| , ndërsa | , ndërsa | |
Në përputhje me rrethanat, siç e keni kuptuar tashmë, kur krahasojmë logaritmet, ne duhet të çojmë në të njëjtën bazë, ose argument.
Ju gjithashtu mund të krahasoni logaritmet me numrin e tretë dhe, bazuar në këtë, të nxirrni një përfundim se çfarë është më pak dhe çfarë është më shumë. Për shembull, mendoni se si t'i krahasoni këto dy logaritme?
Një sugjerim i vogël - për krahasim, një logaritëm do t'ju ndihmojë shumë, argumenti i të cilit do të jetë i barabartë.
Mendimi? Le të vendosim së bashku.
Ne mund t'i krahasojmë lehtësisht këto dy logaritme me ju:
Nuk e di si? Shihni më lart. Sapo e zgjidhëm këtë. Çfarë shenjë do të ketë? E drejta:
Dakord?
Le të krahasohemi me njëri-tjetrin:
Ju duhet të merrni sa vijon:
Tani kombinoni të gjitha përfundimet tona në një. A funksionoi?
5. Krahasimi i shprehjeve trigonometrike.
Çfarë është sinusi, kosinusi, tangjenti, kotangjenti? Pse na duhet një rreth njësi dhe si të gjejmë vlerën e funksioneve trigonometrike në të? Nëse nuk i dini përgjigjet e këtyre pyetjeve, ju rekomandoj të lexoni teorinë për këtë temë. Dhe nëse e dini, atëherë krahasimi i shprehjeve trigonometrike me njëri-tjetrin nuk është i vështirë për ju!
Le të rifreskojmë pak kujtesën tonë. Le të vizatojmë një rreth trigonometrik njësi dhe një trekëndësh të gdhendur në të. A ia dolët? Tani shënoni në cilën anë vizatojmë kosinusin dhe në cilën anë sinusin, duke përdorur anët e trekëndëshit. (ju, sigurisht, mbani mend se sinusi është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën, dhe kosinusi është ana ngjitur?). E keni vizatuar? E shkëlqyeshme! Prekja e fundit është të vendosim ku do ta kemi, ku e kështu me radhë. E keni vënë poshtë? Phew) Le të krahasojmë çfarë ndodhi me mua dhe ty.
Eh! Tani le të fillojmë krahasimin!
Le të themi se duhet të krahasojmë dhe. Vizatoni këto kënde duke përdorur udhëzimet në kutitë (ku kemi shënuar ku), duke vendosur pika në rrethin e njësisë. A ia dolët? Ja çfarë kam marrë.
Tani le të hedhim një pingul nga pikat që shënuam në rreth në bosht... Cila? Cili bosht tregon vlerën e sinuseve? E drejta,. Kjo është ajo që duhet të merrni:
Duke parë këtë foto, e cila është më e madhe: apo? Sigurisht, sepse pika është mbi pikën.
Në mënyrë të ngjashme, ne krahasojmë vlerën e kosinuseve. Ne ulim vetëm pingulën me boshtin... Ashtu është, . Prandaj, ne shikojmë se cila pikë është në të djathtë (ose më e lartë, si në rastin e sinuseve), atëherë vlera është më e madhe.
Ju ndoshta tashmë dini si të krahasoni tangjentet, apo jo? Gjithçka që duhet të dini është se çfarë është një tangjente. Pra, çfarë është një tangjente?) Kjo është e drejtë, raporti i sinusit me kosinusin.
Për të krahasuar tangjentet, ne vizatojmë një kënd në të njëjtën mënyrë si në rastin e mëparshëm. Le të themi se duhet të krahasojmë:
E keni vizatuar? Tani shënojmë edhe vlerat e sinusit në boshtin koordinativ. E keni vënë re? Tani tregoni vlerat e kosinusit në vijën e koordinatave. A funksionoi? Le të krahasojmë:
Tani analizoni atë që keni shkruar. - ne ndajmë një segment të madh në një të vogël. Përgjigja do të përmbajë një vlerë që është padyshim më e madhe se një. E drejtë?
Dhe kur e ndajmë të voglin me të madhin. Përgjigja do të jetë një numër që është saktësisht më pak se një.
Pra, cila shprehje trigonometrike ka vlerën më të madhe?
E drejta:
Siç e kuptoni tani, krahasimi i kotangjentave është e njëjta gjë, vetëm në të kundërt: ne shikojmë sesi segmentet që përcaktojnë kosinusin dhe sinusin lidhen me njëri-tjetrin.
Mundohuni të krahasoni vetë shprehjet trigonometrike të mëposhtme:
Shembuj.
Përgjigjet.
KRAHASIMI I NUMRAVE. NIVELI I NDËRMJETËR.
Cili numër është më i madh: apo? Përgjigja është e qartë. Dhe tani: apo? Jo më aq e qartë, apo jo? Pra: apo?
Shpesh duhet të dini se cila shprehje numerike është më e madhe. Për shembull, për të vendosur pikat në bosht në rendin e duhur kur zgjidhet një pabarazi.
Tani do t'ju mësoj se si të krahasoni numra të tillë.
Nëse keni nevojë të krahasoni numrat dhe, ne vendosim një shenjë midis tyre (që rrjedh nga fjala latine Versus ose shkurtuar vs. - kundër): . Kjo shenjë zëvendëson shenjën e panjohur të pabarazisë (). Më pas, ne do të kryejmë transformime identike derisa të bëhet e qartë se cila shenjë duhet të vendoset midis numrave.
Thelbi i krahasimit të numrave është ky: ne e trajtojmë shenjën sikur të ishte një lloj shenje pabarazie. Dhe me shprehjen mund të bëjmë gjithçka që bëjmë zakonisht me pabarazitë:
- shtoni ndonjë numër në të dy anët (dhe, natyrisht, mund të zbresim gjithashtu)
- "Lëviz gjithçka në njërën anë", domethënë, zbrit një nga shprehjet e krahasuara nga të dyja pjesët. Në vend të shprehjes së zbritur do të mbetet: .
- shumëzoni ose pjesëtoni me të njëjtin numër. Nëse ky numër është negativ, shenja e pabarazisë përmbyset: .
- ngriti të dyja palët në të njëjtën fuqi. Nëse kjo fuqi është e barabartë, duhet të siguroheni që të dyja pjesët të kenë të njëjtën shenjë; nëse të dyja pjesët janë pozitive, shenja nuk ndryshon kur ngrihet në një fuqi, por nëse janë negative, atëherë ndryshon në të kundërtën.
- nxjerr rrënjën e së njëjtës shkallë nga të dyja pjesët. Nëse po nxjerrim një rrënjë të një shkalle çift, fillimisht duhet të sigurohemi që të dyja shprehjet të jenë jo negative.
- çdo transformim tjetër ekuivalent.
E rëndësishme: këshillohet që të bëhen transformime të tilla që shenja e pabarazisë të mos ndryshojë! Kjo do të thotë, gjatë transformimeve, është e padëshirueshme të shumëzohet me një numër negativ dhe nuk mund ta katrori nëse njëra nga pjesët është negative.
Le të shohim disa situata tipike.
1. Shpallja.
Shembull.
Cila është më shumë: apo?
Zgjidhje.
Meqenëse të dyja anët e pabarazisë janë pozitive, ne mund ta katrorojmë atë për të hequr qafe rrënjën:
Shembull.
Cila është më shumë: apo?
Zgjidhje.
Këtu mund edhe ta katrorë, por kjo do të na ndihmojë vetëm të heqim qafe rrënjën katrore. Këtu është e nevojshme ta ngrini atë në një shkallë të tillë që të dy rrënjët të zhduken. Kjo do të thotë se eksponenti i kësaj shkalle duhet të jetë i pjesëtueshëm me të dyja (shkalla e rrënjës së parë) dhe me. Prandaj, ky numër është ngritur në fuqinë e th:
2. Shumëzimi me konjugatin e tij.
Shembull.
Cila është më shumë: apo?
Zgjidhje.
Le të shumëzojmë dhe pjesëtojmë çdo ndryshim me shumën e konjuguar:
Natyrisht, emëruesi në anën e djathtë është më i madh se emëruesi në të majtë. Prandaj, thyesa e djathtë është më e vogël se e majta:
3. Zbritja
Le ta kujtojmë atë.
Shembull.
Cila është më shumë: apo?
Zgjidhje.
Natyrisht, ne mund të rregullojmë gjithçka, të rigrupojmë dhe ta rregullojmë përsëri. Por ju mund të bëni diçka më të zgjuar:
Mund të shihet se në anën e majtë çdo term është më i vogël se çdo term në anën e djathtë.
Prandaj, shuma e të gjithë termave në anën e majtë është më e vogël se shuma e të gjithë termave në anën e djathtë.
Por kujdes! Na pyetën se çfarë më shumë...
Ana e djathtë është më e madhe.
Shembull.
Krahasoni numrat dhe...
Zgjidhje.
Le të kujtojmë formulat e trigonometrisë:
Le të kontrollojmë se në cilat katërshe në rrethin trigonometrik janë pikat dhe shtrihen.
4. Divizioni.
Këtu përdorim edhe një rregull të thjeshtë: .
Në ose, domethënë.
Kur ndryshon shenja: .
Shembull.
Krahasoni: .
Zgjidhje.
5. Krahasoni numrat me numrin e tretë
Nëse dhe, atëherë (ligji i tranzicionit).
Shembull.
Krahasoni.
Zgjidhje.
Le t'i krahasojmë numrat jo me njëri-tjetrin, por me numrin.
Natyrisht.
Në anën tjetër,.
Shembull.
Cila është më shumë: apo?
Zgjidhje.
Të dy numrat janë më të mëdhenj, por më të vegjël. Le të zgjedhim një numër të tillë që të jetë më i madh se njëri, por më i vogël se tjetri. Për shembull,. Le të kontrollojmë:
6. Çfarë duhet bërë me logaritmet?
Asgjë e veçantë. Si të shpëtojmë nga logaritmet përshkruhet në detaje në temë. Rregullat bazë janë:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Shigjeta djathtas (\rm( ))\majtas[ (\fillimi(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \pykë (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \pykë y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Mund të shtojmë gjithashtu një rregull për logaritmet me baza të ndryshme dhe të njëjtin argument:
Mund të shpjegohet në këtë mënyrë: sa më e madhe të jetë baza, aq më e vogël është shkalla që do të duhet të ngrihet për të marrë të njëjtën gjë. Nëse baza është më e vogël, atëherë e kundërta është e vërtetë, pasi funksioni përkatës është në rënie monotonike.
Shembull.
Krahasoni numrat: dhe.
Zgjidhje.
Sipas rregullave të mësipërme:
Dhe tani formula për të avancuarit.
Rregulli për krahasimin e logaritmeve mund të shkruhet më shkurt:
Shembull.
Cila është më shumë: apo?
Zgjidhje.
Shembull.
Krahasoni cili numër është më i madh: .
Zgjidhje.
KRAHASIMI I NUMRAVE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE
1. Shpallja
Nëse të dyja anët e pabarazisë janë pozitive, ato mund të vihen në katror për të hequr qafe rrënjën
2. Shumëzimi me konjugatin e tij
Një konjuguar është një faktor që plotëson shprehjen me formulën e ndryshimit të katrorëve: - konjuguar për dhe anasjelltas, sepse .
3. Zbritja
4. Divizioni
Kur ose kjo është
Kur shenja ndryshon:
5. Krahasimi me numrin e tretë
Nëse dhe atëherë
6. Krahasimi i logaritmeve
Rregullat themelore:
Logaritme me baza të ndryshme dhe të njëjtin argument:
Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.
Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!
Tani gjëja më e rëndësishme.
Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.
Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...
Për çfarë?
Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.
Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...
Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.
Por kjo nuk është gjëja kryesore.
Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...
Por mendoni vetë...
Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?
FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.
Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.
Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.
Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.
Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.
Gjeni koleksionin ku të doni, detyrimisht me zgjidhje, analiza të hollësishme dhe vendosni, vendosni, vendosni!
Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.
Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.
Si? Ka dy opsione:
- Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 899 RUR
Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.
Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.
Dhe në përfundim ...
Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.
"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.
Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!
Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe transformohen në çdo mënyrë. Por meqenëse logaritmet nuk janë saktësisht numra të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë kryesore.
Ju patjetër duhet t'i dini këto rregulla - pa to, asnjë problem i vetëm serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - mund të mësoni gjithçka brenda një dite. Pra, le të fillojmë.
Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve
Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: log a x dhe log a y. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:
- log a x+ log a y=log a (x · y);
- log a x− log a y=log a (x : y).
Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe diferenca është e barabartë me logaritmin e herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është baza identike. Nëse arsyet janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!
Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni një shprehje logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:
Regjistri 6 4 + regjistri 6 9.
Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 2 48 − log 2 3.
Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 3 135 − log 3 5.
Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk llogariten veçmas. Por pas shndërrimeve fitohen numra krejtësisht normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, shprehjet e ngjashme me testin ofrohen me gjithë seriozitetin (nganjëherë praktikisht pa ndryshime) në Provimin e Unifikuar të Shtetit.
Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi
Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur baza ose argumenti i një logaritmi të jetë një fuqi? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:
Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parët. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.
Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas, d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 7 49 6 .
Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
[Diçitura për foton]
Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ne kemi:
[Diçitura për foton] Unë mendoj se shembulli i fundit kërkon disa sqarime. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin. Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".
Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log 2 7. Meqenëse log 2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.
Kalimi në një themel të ri
Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po nëse arsyet janë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?
Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:
Le të jepet regjistri i logaritmit a x. Pastaj për çdo numër c të tilla që c> 0 dhe c≠ 1, barazia është e vërtetë:
[Diçitura për foton]
Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:
[Diçitura për foton]
Nga formula e dytë del se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.
Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.
Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 5 16 log 2 25.
Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:
[Diçitura për foton]Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 9 100 lg 3.
Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:
[Diçitura për foton]Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:
[Diçitura për foton]Identiteti bazë logaritmik
Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:
Në rastin e parë, numri n bëhet tregues i shkallës që qëndron në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.
Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kjo është ajo që quhet: identiteti bazë logaritmik.
Në fakt, çfarë do të ndodhë nëse numri b ngrenë në një fuqi të tillë që numri b kësaj fuqie i jep numri a? Kjo është e drejtë: ju merrni të njëjtin numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz ngecin në të.
Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
[Diçitura për foton]
Vini re se log 25 64 = log 5 8 - thjesht morëm katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:
[Diçitura për foton]Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)
Njësia logaritmike dhe zero logaritmike
Si përfundim, do të jap dy identitete që vështirë se mund të quhen veti - përkundrazi, ato janë pasoja të përkufizimit të logaritmit. Ato shfaqen vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për studentët e “avancuar”.
- log a a= 1 është një njësi logaritmike. Mos harroni një herë e përgjithmonë: logaritmin në çdo bazë a nga kjo bazë është e barabartë me një.
- log a 1 = 0 është zero logaritmike. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një, logaritmi është i barabartë me zero! Sepse a 0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.
Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.
Në pjesën për pyetjen si të krahasohen logaritmet kur....(+)? dhënë nga autori Shosh përgjigja më e mirë është Ose nuk mund ta reduktoni në një bazë, por përdorni vetitë e funksionit logaritmik.
Nëse baza e një funksioni logaritmik është më e madhe se 1, atëherë funksioni rritet, dhe për x > 1, sa më e vogël të jetë baza, aq më i lartë është grafiku.
për 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Nëse baza e logaritmit është më e madhe se zero dhe më e vogël se 1, atëherë funksioni është në rënie,
Për më tepër, për x > 1, sa më e vogël të jetë baza, aq më i lartë është grafiku,
për 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Do të dalë kështu:
Përgjigju nga i dobët[guru]
Reduktoni logaritmet në të njëjtën bazë (për shembull, në një numër natyror) dhe më pas krahasoni.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.
Përgjigju nga Neuropatolog[guru]
Përdorni formulën për të kaluar në një bazë të re: log(a)b=1/log(b)a.
Pastaj krahasoni emëruesit e thyesave si logaritme me të njëjtën bazë.
Nga dy thyesa me numërues të njëjtë, thyesa me emërues më të vogël është më e madhe.
Për shembull, log(7)16 dhe log(3)16
1/log(16)7 dhe 1/log(16)3
Meqenëse log(16)7>log(16)3, atëherë 1/log(16)7< 1/log(16)3.