Rombi. Forma gjeometrike

Rombi- një nga figurat më të thjeshta gjeometrike. Ne hasim një romb aq shpesh në problemet gjeometrike saqë fjalët "fantazi" dhe "romb" na duken se janë koncepte të papajtueshme. Ndërkohë, e mahnitshmja, siç thonë ata, është afër... në Britani. Por së pari, le të kujtojmë se çfarë është një "romb", shenjat dhe vetitë e tij.

Termi "romb" i përkthyer nga greqishtja e lashtë do të thotë "dajre". Dhe kjo nuk është rastësi. Këtu është gjëja. Të gjithë kanë parë një dajre të paktën një herë në jetën e tyre. Dhe të gjithë e dinë se është e rrumbullakët. Por shumë kohë më parë, dajre janë bërë në formën e një katrori ose rombi. Për më tepër, me këtë fakt lidhet edhe emri i kostumit të diamanteve.

Nga gjeometria imagjinojmë se si duket një romb. Ky është një katërkëndësh, i cili përshkruhet si një katror i anuar. Por në asnjë rrethanë nuk duhet të ngatërrohen një romb dhe një katror. Do të ishte më e saktë të thuhet se një romb është një rast i veçantë i një paralelogrami. I vetmi ndryshim është se të gjitha anët e një rombi janë të barabarta. Për të zgjidhur shpejt dhe saktë problemet e gjeometrisë, duhet të mbani mend vetitë e një rombi. Nga rruga, një romb ka të gjitha vetitë e një paralelogrami. Pra:

Vetitë e rombit:

1. anët e kundërta janë të barabarta;
2. këndet e kundërta janë të barabarta;
3. diagonalet e një rombi kryqëzohen nën një vijë të drejtë dhe ndahen në gjysmë në pikën e kryqëzimit;
4. shuma e këndeve ngjitur me njërën anë është 180°;
5. shuma e katrorëve të diagonaleve është e barabartë me shumën e katrorëve të të gjitha brinjëve;
6. diagonalet janë përgjysmuesit e këndeve të tij.

Shenjat e një diamanti:

1. nëse diagonalet e një paralelogrami janë pingule, atëherë paralelogrami është një romb;
2. Nëse diagonalja e një paralelogrami është përgjysmues i këndit të tij, atëherë paralelogrami është një romb.

Dhe një tjetër pikë e rëndësishme, pa njohuri për të cilat nuk është e mundur të zgjidhet me sukses problemi - formula. Më poshtë janë formulat për gjetjen e zonës së çdo rombi, të cilat përdoren në varësi të të dhënave të njohura: lartësia, diagonalja, ana, rrezja e rrethit të brendashkruar. Formulat e mëposhtme përdorin konventat e mëposhtme: a – ana e rombit, h a – lartësia e tërhequr në anën a, A– këndi ndërmjet brinjëve, d 1 d 2 – diagonalet e rombit.

Formulat bazë:

S = një 2 mëkat A

S = 1/2 (d 1 d 2)

S = 4r 2 / mëkat a

Ekziston një formulë tjetër që nuk përdoret aq shpesh, por është e dobishme:

d 1 2 + d 2 2 = 4a 2 ose shuma e katrorëve të diagonaleve është e barabartë me katrorin e brinjës shumëzuar me 4.

Tani është koha për t'u kthyer në fillim. Çfarë është kaq e habitshme ndoshta në këtë figurë? Rezulton se në shekullin e 19-të një romb u gjet gjatë gërmimeve arkeologjike. Po, jo e thjeshtë, por e artë, dhe në kuptimin më të drejtpërdrejtë të fjalës! Ky zbulim nga tuma britanike Bash u gjet në zonën e Wilsford, jo shumë larg nga Stonehenge i famshëm. Diamanti misterioz është një pjatë e lëmuar në të cilën janë gdhendur modele të pazakonta. Madhësia e tij është 15,2 x 17,8 cm (diamanti me vetëm një paralajmërim të vogël). Përveç skajit, pllaka ka tre modele më të vogla në formë diamanti që supozohet se janë fole brenda njëri-tjetrit. Në të njëjtën kohë, në qendër të kësaj të fundit është gdhendur një rrjetë rombike. Përgjatë skajeve të diamantit është një model chevron - nëntë simbole në secilën anë të diamantit. Gjithsej janë tridhjetë e gjashtë trekëndësha të tillë.

Sigurisht, ky produkt është shumë i shtrenjtë, por është gjithashtu e qartë se krijimi i një diamanti të tillë kishte një qëllim specifik. Por për një kohë të gjatë shkencëtarët nuk mund të kuptonin se cili.

Një nga versionet më të besueshme dhe më të pranuara ka të bëjë me vetë Stonehenge. Dihet se strukturat e Stonehenge u ndërtuan gradualisht gjatë disa shekujve. Besohet se ndërtimi filloi rreth 3000 para Krishtit. Duhet të merret parasysh se ari në Britani u bë i njohur tashmë diku nga viti 2800 para Krishtit. Nga kjo mund të supozojmë se diamanti i artë mund të ketë qenë një instrument prifti. Në veçanti, vizori. Kjo hipotezë u soll në vëmendjen e shkencëtarëve modernë nga profesor A. Tom, një studiues i famshëm i Stonehenge, në çerekun e fundit të shekullit të njëzetë.

Jo të gjithë mund të imagjinojnë se ndërtuesit e lashtë mund të përcaktonin me saktësi këndet në tokë. Megjithatë, studiuesi anglez D. Furlong propozoi një metodë që, sipas tij, egjiptianët e lashtë mund ta kishin përdorur. Furlong besonte se paraardhësit tanë përdornin raporte të parazgjedhura të pamjes trekëndëshat kënddrejtë. Në fund të fundit, prej kohësh dihet se egjiptianët përdorën gjerësisht një trekëndësh me anët e njësive tre, katër dhe pesë dimensionale. Me sa duket, banorët e lashtë të Ishujve Britanikë dinin shumë teknika të ngjashme.

Epo, edhe nëse imagjinojmë se njerëzit që ndërtuan Stonehenge ishin topografë të shkëlqyer, si mund t'i ndihmonte ata me këtë një diamant të artë? Nuk ka gjasa që ndonjë topograf modern të jetë në gjendje t'i përgjigjet kësaj pyetjeje. Me shumë mundësi, fakti që Furlong ishte një topograf me profesion i mundësoi atij të zgjidhte këtë gjëegjëzë. Pas një studimi të kujdesshëm, studiuesi arriti në përfundimin se diamanti prej ari i lëmuar me shenja është i shkëlqyeshëm për t'u përdorur si reflektues i dritës së diellit, me fjalë të tjera, një pasqyrë e veçantë matëse.

U vërtetua se për të përcaktuar shpejt azimutin në tokë me gabime mjaft të vogla, ishte e nevojshme të përdorni dy pasqyra të ngjashme. Skema ishte si vijon: një prift, për shembull, qëndronte në majë të një kodre dhe tjetri në luginën ngjitur. Ishte gjithashtu e nevojshme që së pari të vendosej distanca midis priftërinjve. Kjo mund të bëhet në hapa të thjeshtë. Edhe pse zakonisht përdornin një shkop matës, pasi rezultatet ishin më të besueshme. Dy pasqyra metalike në formë diamanti ofrojnë një kënd të drejtë. Dhe pastaj është e lehtë të matësh pothuajse çdo kënd të kërkuar. D. Furlong madje ofroi një tabelë me çifte të tilla numrash të plotë, e cila ju lejon të vendosni çdo kënd me një gabim prej një shkalle. Me shumë mundësi, kjo ishte metoda e përdorur nga priftërinjtë e epokës së Stonehenge. Natyrisht, për të konfirmuar këtë hipotezë do të ishte e nevojshme të gjesh një diamant të dytë të artë, të çiftëzuar, por, me sa duket, kjo nuk ia vlen. Në fund të fundit, provat tashmë janë mjaft të dukshme. Përveç llogaritjes së azimuteve në tokë, u zbulua një aftësi tjetër e diamantit të mahnitshëm të artë. Kjo gjë e vogël e mahnitshme ju lejon të llogaritni momentet e solsticit të dimrit dhe verës, pranverës dhe ekuinoksi i vjeshtës. Kjo ishte një cilësi e domosdoshme për jetën e egjiptianëve të lashtë, të cilët atëherë adhuronin kryesisht Diellin.

Ka të ngjarë që pamja mbresëlënëse e diamantit nuk ishte vetëm një mjet i domosdoshëm për priftërinjtë, por ishte edhe një dekorim spektakolar për pronarin e tij. Në përgjithësi, shumica dërrmuese e bizhuterive në dukje të shtrenjta që gjenden sot janë, siç mësojmë më vonë, instrumente matëse.

Pra, njerëzit janë tërhequr gjithmonë nga e panjohura. Dhe, duke gjykuar nga fakti se kaq shumë gjëra mbeten misterioze dhe të paprovuara në botën tonë, njerëzit do të vazhdojnë të përpiqen të gjejnë të dhëna për antikitetin për një kohë të gjatë. Dhe kjo është shumë e lezetshme! Në fund të fundit, ne mund të mësojmë shumë nga paraardhësit tanë. Për ta bërë këtë ju duhet të dini shumë, të jeni në gjendje dhe të mësoni. Por është e pamundur të bëhesh një specialist kaq i kualifikuar pa njohuri bazë. Në fund të fundit, çdo arkeolog dhe zbulues i madh dikur shkoi në shkollë!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

AB \paralel CD,\;BC \paralel AD

AB = CD,\;BC = AD

2. Diagonalet e rombit janë pingul.

AC\perp BD

Dëshmi

Meqenëse një romb është një paralelogram, diagonalet e tij ndahen në gjysmë.

Kjo do të thotë se \trekëndësh BOC = \trekëndësh DOC në tre anët (BO = OD, OC - bashkim, BC = CD). Marrim se \këndi BOC = \këndi COD dhe ato janë ngjitur.

\Shigjeta djathtas \këndi BOC = 90^(\circ) dhe \këndi COD = 90^(\circ) .

3. Pika e kryqëzimit të diagonaleve i ndan ato në gjysmë.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Diagonalet e rombit janë përgjysmuesit e këndeve të tij.

\këndi 1 = \këndi 2; \; \këndi 5 = \këndi 6;

\këndi 3 = \këndi 4; \; \këndi 7 = \këndi 8.

Dëshmi

Për shkak të faktit se diagonalet ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit, dhe të gjitha anët e rombit janë të barabarta me njëra-tjetrën, e gjithë figura ndahet nga diagonalet në 4 trekëndësha të barabartë:

\trekëndëshi BOC,\; \trekëndëshi BOA,\; \trekëndëshi AOD,\; \trekëndësh COD.

Kjo do të thotë që BD, AC janë përgjysmues.

5. Diagonalet formojnë 4 trekëndësha kënddrejtë nga një romb.

6. Çdo romb mund të përmbajë një rreth me qendër në pikën e prerjes së diagonaleve të tij.

7. Shuma e katrorëve të diagonaleve është e barabartë me katrorin e njërës prej anëve të rombit shumëzuar me katër

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Shenjat e një diamanti

1. Një paralelogram me diagonale pingule është një romb.

\fillimi (rastet) AC \perp BD \\ ABCD \fund (rastet)- paralelogram, \Rightarrow ABCD - romb.

Dëshmi

ABCD është një paralelogram \Rightarrow AO = CO; BO = OD. Gjithashtu thuhet se AC \perp BD \Rightarrow \trekëndësh AOB = \trekëndësh BOC = \trekëndësh COD = \trekëndësh AOD- në 2 këmbë.

Rezulton se AB = BC = CD = AD.

E provuar!

2. Kur në një paralelogram të paktën një nga diagonalet i ndan të dy këndet (nëpër të cilët kalon) përgjysmë, atëherë kjo figurë do të jetë një romb.

Dëshmi

Shënim: jo çdo figurë (katërkëndësh) me diagonale pingule do të jetë romb.

Për shembull:

Ky nuk është më një romb, pavarësisht pingulitetit të diagonaleve.

Për të dalluar, vlen të kujtojmë se së pari katërkëndëshi duhet të jetë një paralelogram dhe të ketë

1. - drejt. Prandaj, zgjidhja e pabarazisë
, është një gjysmë rrafsh i shtrirë poshtë ose mbi këtë vijë.

2.
- hiperbolë, sepse nga këtu
. Kjo hiperbolë e ndan rrafshin në 3 (!!!) rajone, kështu që shenja e pabarazisë duhet të kontrollohet në secilën prej tyre.

3.
- “parabola e shtrirë”, d.m.th. parabola u rrotullua 90 në drejtim të akrepave të orës. E ndan aeroplanin në 2 pjesë (brenda parabolës dhe jashtë saj.)

4.
- një rreth me qendër në origjinë, rreze R (ku R>0). Zgjidhja e pabarazisë
është një rreth (d.m.th. e gjithë zona që shtrihet brenda rrethit, së bashku me kufirin) dhe pabarazitë
- zona jashtë rrethit.

5.
- për a > 0 – një katror me kulme në pikat (a;0), (0;a), (-a;0), (0; -a). Prandaj, zgjidhja e pabarazisë
është sipërfaqja brenda katrorit dhe pabarazitë
- zona jashtë sheshit.

Transformimet e grafikut:
1 f(x-a; y-b)=0, së pari duhet të vizatoni ekuacionin f(x; y)=0, dhe më pas ta zhvendosni atë me A njësi përgjatë boshtit Oh, dhe me radhë b njësi përgjatë boshtit Oy.
2 . Për të grafikuar ekuacionin
, është e nevojshme të kryhet simetria e grafikut të ekuacionit f(x; y) = 0 në lidhje me boshtin Oy (duke mos harruar të fshihet pjesa e grafikut origjinal që shtrihet në të majtë të boshtit Oy).
3 . Për të grafikuar ekuacionin
, është e nevojshme të kryhet simetria e grafikut të ekuacionit f(x; y) = 0 në lidhje me boshtin Ox (duke mos harruar të fshihet pjesa e grafikut origjinal që ndodhet nën boshtin Ox).
4. Prandaj, për të vizatuar ekuacionin
, së pari duhet të ndërtoni një grafik të ekuacionit f(x; y)=0 (d.m.th. të hiqni të gjitha modulet) në tremujori i parë, dhe më pas kryeni simetrinë e këtij grafiku për të gjitha boshtet.
Pabarazitë me dy ndryshore.

Më shpesh, "metoda e zonës" përdoret për zgjidhje. Kjo do të thotë, së pari në pabarazi, shenja e pabarazisë zëvendësohet me shenjën "=" dhe grafiku që rezulton paraqitet në planin koordinativ. Më pas, duke përdorur "metodën e pikës së provës", kontrollohet shenja e pabarazisë në secilën nga zonat e formuara.

Përveç kësaj, ne mund të konsiderojmë veçmas pabarazitë e formës
Dhe
. Për t'i zgjidhur ato, së pari ndërtoni një grafik të funksionit
. Atëherë zgjidhja e pabarazisë së parë do të jetë pikat që shtrihen poshtë këtij grafiku, dhe zgjidhja për të dytën, në përputhje me rrethanat, do të jenë pikat e vendosura më lart.

Mund të dallojmë edhe pabarazitë e formës
. (Shenja e pabarazisë mund të jetë e ndryshme.) Për ta zgjidhur atë, duhet të vizatoni një grafik me një vijë të fortë ekuacionet
dhe vijë me pika - grafik ekuacionet
dhe kontrolloni shenjën e pabarazisë në secilën zonë që rezulton (duke zgjedhur çdo pikë nga secila zonë).

Shembulli 1.

№ 9,20 (g)

Vizatoni zgjidhjen e pabarazisë
dhe përcaktoni të gjitha vlerat e a për të cilat kjo pabarazi ka të paktën një zgjidhje.

Zgjidhje.

Kjo pabarazi është ekuivalente me sa vijon:
.


Për ta bërë këtë, fillimisht ne vizatojmë ekuacionin
.

a) Nga ana tjetër, për të ndërtuar këtë grafik, ne do të përdorim rregullin 4 të transformimit të grafikut. Këtu f(x; a) = 5x + 2a. Grafiku i këtij ekuacioni është një vijë e drejtë që pret boshtet koordinative në pikat (2, 0) dhe (0, 5). Sepse ne e konsiderojmë rastin pa module (d.m.th. x
dhe y), atëherë marrim vetëm pjesën e kësaj rreshti që shtrihet në tremujorin e parë.

b) për të ndërtuar një grafik të ekuacionit, ne kryejmë simetrinë e segmentit që rezulton në lidhje me të gjitha boshtet e koordinatave dhe origjinën e koordinatave. Ne marrim një romb me një "qendër" në origjinë.

b) Tani le ta zhvendosim këtë grafik 3 njësi djathtas dhe 1 njësi poshtë.

Ne morëm një grafik të ekuacionit

1. 
   Shohim se plani koordinativ ishte i ndarë në 2 rajone, brenda rombit dhe jashtë tij. Ne shohim që, për shembull, pika (3,-1) i përket rajonit të brendshëm. Le t'i zëvendësojmë koordinatat e tij në pabarazia. Sigurohemi që pabarazia të plotësohet në këtë pikë. Kjo do të thotë se të gjitha pikat në këtë rajon plotësojnë pabarazinë. Për të kontrolluar, ne gjithashtu zëvendësojmë një pikë nga rajoni i jashtëm në pabarazi. Për shembull, kjo është pika (0, 8). Me këto vlera pabarazia e variablave kthehet në një pabarazi numerike të pasaktë, që do të thotë se asnjë pikë nga rajoni i jashtëm nuk e plotëson pabarazinë. Më në fund, gjejmë se zgjidhja e pabarazisë është "brenda" e rombit. Këtë e tregojmë me hijezim.

Përgjigje: kjo pabarazi ka një zgjidhje në

Shembulli 2. Vizatoni në planin koordinativ një grup pikash që plotësojnë pabarazinë
.

Zgjidhje

1. Le të ndërtojmë linja që kufizojnë grafikun e pabarazisë. Këto do të jenë vija që janë imazhe të bashkësive të atyre pikave në të cilat numëruesi dhe emëruesi kthehen në 0. D.m.th. le të vizatojmë ekuacionet

(A)

Dhe
(B)

A) Grafiku i këtij ekuacioni është një rreth me qendër në pikën (2, -3) dhe një rreze prej 4 - e paraqitur si një vijë e fortë, sepse pabarazia nuk është strikte.

B) Grafiku i këtij ekuacioni - një "parabolë e shtrirë" e ulur me 1 njësi - përshkruhet me një vijë me pika për shkak të domenit të përkufizimit të pabarazisë.

2. Le të,
. Atëherë pabarazia jonë merr formën
.

Rrethi dhe parabola ndahen rrafshi koordinativ në 4 zona.

Vini re se zona brenda rrethit korrespondon me pabarazinë
, d.m.th.
. Zona jashtë rrethit - pabarazi
, d.m.th.
.

Në mënyrë të ngjashme, rajoni "brenda" ose në të djathtë të parabolës korrespondon me pabarazinë
ose
, dhe zona "jashtë", ose në të majtë të parabolës - në pabarazi
ose
.

Dhe së fundi, në rajonin IV dhe , d.m.th. thyesa është jo pozitive dhe pabarazia nuk qëndron.

Kështu, zgjidhja e pabarazisë është të kombinohen rajonet I dhe III.

përmbledhje e prezantimeve të tjera

"Detyrat për shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave" - ​​Ngjashmëria e trekëndëshave. Përcaktimi i lartësisë së një objekti duke përdorur një pasqyrë. Përcaktimi i lartësisë së një objekti nga një pellg. Zgjidhja e problemeve praktike. Hije nga një shkop. Përcaktimi i lartësisë së një objekti. Matja e lartësisë së objekteve të mëdha. Motoja e mësimit. Zgjidhja e problemeve duke përdorur vizatime të gatshme. Punë e pavarur. Gjimnastikë për sytë. Metoda e Talesit. Kartë individuale. Përcaktimi i lartësisë së piramidës. Emërtoni trekëndëshat e ngjashëm.

“Vetitë e katërkëndëshave” - Emrat e katërkëndëshave. Të gjitha këndet janë të drejta. Vetitë e katërkëndëshave. Trapezoid. Një katror është një drejtkëndësh, brinjët e të cilit janë të gjitha të barabarta. Elementet e një paralelogrami. Diagonalet përgjysmojnë këndet. Katërkëndësh. Diktim. Diagonale. Kënde të kundërta. Ndihmo që nuk di të korrigjojë deuce. Informacion historik. Katërkëndëshat dhe vetitë e tyre. Diagonalet. Rombi. Anët e kundërta. Partitë.

"Rhomb" - Shenjat. Perimetri. Shfaqja e një rombi. Një përrallë për një romb. Rombi. Një romb me diagonale. Çfarë është një romb? Formula e sipërfaqes. Fakte interesante. Vetitë e një rombi. Diamanti në jetë.

"Zgjidhja e Teoremës së Pitagorës" - Vërtetimi me metodën e dekompozimit. Sipërfaqja e një katrori. Prova më e thjeshtë. Dëshmia e Perigalit. pitagorasit. Diagonale. Dëshmi nga shekulli i 9-të pas Krishtit Ndjekësit. Lartësia. Diametri. Dëshmi e plotë. Motivi. Gjashtëkëndëshat. Vërtetimi me metodën e zbritjes. Sheshi. Drejtkëndësh. Zbatime të mundshme të teoremës. Prova e Gutheil. Zbatimi i teoremës. Problemi i lotusit. Historia e teoremës.

"Sipërfaqja e një drejtkëndëshi" klasa e 8-të - Sipërfaqja e një katrori është e barabartë me katrorin e anës së tij. Sheshi. Gjeni sipërfaqen dhe perimetrin e katrorit. Njësitë matëse të sipërfaqes. Një shumëkëndësh përbëhet nga disa shumëkëndësha. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit. Brinjët e secilit prej drejtkëndëshave. Njësitë. Gjeni sipërfaqen e sheshit. ABCD dhe DСМK janë katrorë. Sipërfaqja e një rombi është e barabartë me gjysmën e produktit të diagonaleve të tij. Në anën AB ndërtohet një paralelogram. Gjeni sipërfaqen e gjashtëkëndëshit.

“Trapezoid” klasa e 8-të - Muskujt trapez të të dy anëve të shpinës së bashku kanë formën e një trapezi. Detyrat për punë gojore. A janë katërkëndëshat trapezoide? Vetitë e një trapezi izoscelular. Shenjat e një trapezi isosceles. Llojet e trapezoideve. Zona e një trapezi. Elementet e një trapezi. Përkufizimi. Vija e mesme e trapezit. Trapezoid. Figura gjeometrike u emërua kështu për shkak të ngjashmërisë së saj me një tryezë të vogël.

Dhe përsëri pyetja: a është një romb paralelogram apo jo?

Me të drejtë të plotë - një paralelogram, sepse ka dhe (kujtoni veçorinë tonë 2).

Dhe përsëri, meqenëse një romb është një paralelogram, atëherë ai duhet të ketë të gjitha vetitë e një paralelogrami. Kjo do të thotë që këndet e kundërta të rombit janë të barabarta, anët e kundërta paralele, dhe diagonalet janë dyshuar në pikën e kryqëzimit.

Vetitë e një rombi

Shikoni foton:

Ashtu si në rastin e një drejtkëndëshi, këto veti janë të dallueshme, domethënë, për secilën nga këto veti mund të konkludojmë se ky nuk është thjesht një paralelogram, por një romb.

Shenjat e një diamanti

Dhe përsëri, kushtojini vëmendje: nuk duhet të ketë vetëm një katërkëndësh, diagonalet e të cilit janë pingul, por një paralelogram. Sigurohuni:

Jo, sigurisht, megjithëse diagonalet e saj janë pingule, dhe diagonalja është përgjysmuesja e këndeve dhe. Por... diagonalet nuk ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit, prandaj - NUK një paralelogram, dhe për rrjedhojë JO një romb.

Kjo do të thotë, një katror është një drejtkëndësh dhe një romb në të njëjtën kohë. Le të shohim se çfarë ndodh.

A është e qartë pse? - romb është përgjysmues i këndit A, i cili është i barabartë me. Kjo do të thotë se ndahet (dhe gjithashtu) në dy kënde përgjatë.

Epo, është mjaft e qartë: diagonalet e një drejtkëndëshi janë të barabarta; Diagonalet e një rombi janë pingul, dhe në përgjithësi, një paralelogram i diagonaleve ndahet në gjysmë me pikën e kryqëzimit.

NIVELI I MESËM

Vetitë e katërkëndëshave. Paralelogrami

Vetitë e një paralelogrami

Kujdes! fjalë " vetitë e një paralelogrami"do të thotë se nëse në detyrën tuaj ka paralelogram, atëherë mund të përdoren të gjitha sa vijon.

Teorema mbi vetitë e një paralelogrami.

Në çdo paralelogram:

Le të kuptojmë pse e gjithë kjo është e vërtetë, me fjalë të tjera NE DO TË VËRMOJMË teorema.

Pra, pse është 1) e vërtetë?

Nëse është një paralelogram, atëherë:

• shtrirë si kryq
• shtrirë si kryqe.

Kjo do të thotë (sipas kriterit II: dhe - e përgjithshme.)

Epo, kjo është ajo, kjo është ajo! - vërtetoi.

Por meqë ra fjala! Ne gjithashtu vërtetuam 2)!

Pse? Por (shikoni foton), domethënë, pikërisht sepse.

Kanë mbetur vetëm 3).

Për ta bërë këtë, ju ende duhet të vizatoni një diagonale të dytë.

Dhe tani e shohim atë - sipas karakteristikës II (këndet dhe anët "midis tyre").

Vetitë e vërtetuara! Le të kalojmë te shenjat.

Shenjat e një paralelogrami

Kujtoni se shenja e paralelogramit i përgjigjet pyetjes "si e dini se një figurë është një paralelogram".

Në ikonat është kështu:

Pse? Do të ishte mirë të kuptonim pse - mjafton. Por shikoni:

Epo, ne kuptuam pse shenja 1 është e vërtetë.

Epo, është edhe më e lehtë! Le të vizatojmë përsëri një diagonale.

Që do të thotë:

DHEËshtë gjithashtu e lehtë. Por... ndryshe!

Mjetet,. Uau! Por gjithashtu - e brendshme e njëanshme me një sekant!

Prandaj fakti që do të thotë se.

Dhe nëse shikoni nga ana tjetër, atëherë - e brendshme e njëanshme me një sekant! Dhe kjo është arsyeja pse.

E shihni sa e mrekullueshme është?!

Dhe përsëri e thjeshtë:

Pikërisht e njëjta gjë, dhe.

Ju lutemi vini re: nëse keni gjetur të paktën një shenjë të një paralelogrami në problemin tuaj, atëherë ju keni pikërisht paralelogram dhe mund ta përdorni të gjithë vetitë e një paralelogrami.

Për qartësi të plotë, shikoni diagramin:

Vetitë e katërkëndëshave. Drejtkëndësh.

Karakteristikat e drejtkëndëshit:

Pika 1) është mjaft e qartë - në fund të fundit, shenja 3 () thjesht përmbushet

Dhe pika 2) - shumë e rëndësishme. Pra, le ta vërtetojmë këtë

Kjo do të thotë në dy anët (dhe - të përgjithshme).

Epo, meqenëse trekëndëshat janë të barabartë, atëherë edhe hipotenuset e tyre janë të barabarta.

E vërtetoi këtë!

Dhe imagjinoni, barazia e diagonaleve është një veti dalluese e një drejtkëndëshi midis të gjithë paralelogrameve. Kjo do të thotë, kjo deklaratë është e vërtetë^

Le të kuptojmë pse?

Kjo do të thotë (nënkupton këndet e një paralelogrami). Por le të kujtojmë edhe një herë se është një paralelogram, prandaj.

Mjetet,. Epo, sigurisht, rrjedh se secili prej tyre! Në fund të fundit, ata duhet të japin në total!

Kështu ata vërtetuan se nëse paralelogrami papritmas (!) diagonalet rezultojnë të barabarta, atëherë kjo saktësisht një drejtkëndësh.

Por! Kushtojini vëmendje! Bëhet fjalë për paralelogramet! Jo vetëm kushdo një katërkëndësh me diagonale të barabarta është një drejtkëndësh dhe vetëm paralelogram!

Vetitë e katërkëndëshave. Rombi

Dhe përsëri pyetja: a është një romb paralelogram apo jo?

Me të drejtë të plotë - një paralelogram, sepse ka (Mos harroni veçorinë tonë 2).

Dhe përsëri, duke qenë se një romb është një paralelogram, ai duhet të ketë të gjitha vetitë e një paralelogrami. Kjo do të thotë se në një romb, këndet e kundërta janë të barabarta, anët e kundërta janë paralele dhe diagonalet përgjysmohen në pikën e kryqëzimit.

Por ka edhe veti të veçanta. Le ta formulojmë.

Vetitë e një rombi

Pse? Epo, meqenëse një romb është një paralelogram, atëherë diagonalet e tij ndahen në gjysmë.

Pse? Po, kjo është arsyeja pse!

Me fjalë të tjera, diagonalet rezultuan të ishin përgjysmues të qosheve të rombit.

Ashtu si në rastin e një drejtkëndëshi, këto veti janë dalluese, secila prej tyre është gjithashtu një shenjë e një rombi.

Shenjat e një diamanti.

Pse është kjo? Dhe shiko,

Kjo do të thotë të dyja Këta trekëndësha janë dykëndësh.

Për të qenë një romb, një katërkëndësh duhet së pari të "bëhet" një paralelogram dhe më pas të shfaqë tiparin 1 ose tiparin 2.

Vetitë e katërkëndëshave. Sheshi

Kjo do të thotë, një katror është një drejtkëndësh dhe një romb në të njëjtën kohë. Le të shohim se çfarë ndodh.

A është e qartë pse? Një katror - një romb - është përgjysmues i një këndi që është i barabartë me. Kjo do të thotë se ndahet (dhe gjithashtu) në dy kënde përgjatë.

Epo, është mjaft e qartë: diagonalet e një drejtkëndëshi janë të barabarta; Diagonalet e një rombi janë pingul, dhe në përgjithësi, një paralelogram i diagonaleve ndahet në gjysmë me pikën e kryqëzimit.

Pse? Epo, le të zbatojmë teoremën e Pitagorës në...

PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE

Vetitë e një paralelogrami:

1. Brinjët e kundërta janë të barabarta: , .
2. Këndet e kundërta janë të barabarta: , .
3. Këndet në njërën anë mblidhen deri në: , .
4. Diagonalet ndahen përgjysmë me pikën e prerjes: .

Karakteristikat e drejtkëndëshit:

1. Diagonalet e drejtkëndëshit janë të barabarta: .
2. Një drejtkëndësh është një paralelogram (për një drejtkëndësh plotësohen të gjitha vetitë e një paralelogrami).

Vetitë e rombit:

1. Diagonalet e rombit janë pingule: .
2. Diagonalet e rombit janë përgjysmuesit e këndeve të tij: ; ; ; .
3. Një romb është një paralelogram (për një romb plotësohen të gjitha vetitë e një paralelogrami).

Vetitë e një katrori:

Një katror është një romb dhe një drejtkëndësh në të njëjtën kohë, prandaj, për një katror plotësohen të gjitha vetitë e një drejtkëndëshi dhe një rombi. Dhe gjithashtu.