Stereometria. Stereometria Ndërpriten dy rrafshe pingul me një drejtëz

21.09.2023

Marrëdhënia e pingulitetit të planeve konsiderohet - një nga më të rëndësishmet dhe më të përdorurat në gjeometrinë e hapësirës dhe aplikimet e saj.

Nga gjithë shumëllojshmëria e marrëveshjeve të ndërsjella

Dy plane meritojnë vëmendje dhe studim të veçantë kur rrafshet janë pingul me njëri-tjetrin (për shembull, rrafshet e mureve ngjitur të një dhome,

gardh e truall, derë e dysheme etj (Fig. 417, a–c).

Shembujt e mësipërm na lejojnë të shohim një nga vetitë kryesore të marrëdhënies që do të studiojmë - simetrinë e vendndodhjes së secilit plan në lidhje me tjetrin. Simetria sigurohet nga fakti se aeroplanët duket se janë "të endura" nga pingulët. Le të përpiqemi t'i sqarojmë këto vëzhgime.

Le të kemi një plan α dhe një vijë të drejtë c mbi të (Fig. 418, a). Le të vizatojmë nëpër secilën pikë të drejtëzës c drejtëza pingul me rrafshin α. Të gjitha këto drejtëza janë paralele me njëra-tjetrën (pse?) dhe, bazuar në problemin 1 § 8, përbëjnë një rrafsh të caktuar β (Fig. 418, b). Është e natyrshme të quhet rrafshi β pingul rrafshi α.

Nga ana tjetër, të gjitha vijat që shtrihen në rrafshin α dhe pingul me vijën c formojnë rrafshin α dhe janë pingul me rrafshin β (Fig. 418, c). Në të vërtetë, nëse a është një vijë arbitrare, atëherë ajo kryqëzon drejtëzën c në një pikë M. Një drejtëz b pingul me α kalon nëpër pikën M në rrafshin β, prandaj b a. Prandaj, a c, a b, pra a β. Kështu, rrafshi α është pingul me rrafshin β, dhe vija e drejtë c është vija e kryqëzimit të tyre.

Dy rrafshe quhen pingul nëse secila prej tyre formohet nga drejtëza pingul me rrafshin e dytë dhe që kalojnë nëpër pikat e kryqëzimit të këtyre rrafsheve.

Perpendikulariteti i rrafsheve α dhe β tregohet me shenjën e njohur: α β.

Një ilustrim i këtij përkufizimi mund të imagjinohet nëse marrim parasysh një fragment të një dhome në një shtëpi të vendit (Fig. 419). Në të, dyshemeja dhe muri janë bërë nga dërrasa pingul me murin dhe dyshemenë, përkatësisht. Prandaj ato janë pingule. Në praktikë

kjo do të thotë se dyshemeja është horizontale dhe muri është vertikal.

Përkufizimi i mësipërm është i vështirë për t'u përdorur kur kontrollohet në të vërtetë pinguliteti i planeve. Por nëse analizojmë me kujdes arsyetimin që çoi në këtë përkufizim, shohim se pinguliteti i rrafsheve α dhe β sigurohej nga prania në rrafshin β të një drejtëze b pingul me rrafshin α (Fig. 418, c) . Arritëm te kriteri i pingulitetit të dy planeve, i cili përdoret më shpesh në praktikë.

406 Perpendikulariteti i drejtëzave dhe planeve

Teorema 1 (test për pingulitetin e planeve).

Nëse njëri prej dy rrafsheve kalon nëpër një drejtëz pingul me rrafshin e dytë, atëherë këto plane janë pingul.

 Lëreni rrafshin β të kalojë nëpër një drejtëz b pingul me rrafshin α dhe c - vijën e prerjes së rrafsheve α dhe β (Fig. 420, a). Të gjitha drejtëzat e rrafshit β, paralele me drejtëzën b dhe që presin drejtëzën c, së bashku me drejtëzën b formojnë rrafshin β. Me teoremën rreth dy drejtëzave paralele, njëra prej të cilave është pingul me rrafshin (Teorema 1 § 19), të gjitha, së bashku me drejtëzën b, janë pingul me rrafshin α. Kjo do të thotë, rrafshi β përbëhet nga vija të drejta që kalojnë nëpër vijën e kryqëzimit të planeve α dhe β dhe pingul me planin α (Fig. 420, b).

Tani në rrafshin α, përmes pikës A të kryqëzimit të drejtëzave b dhe c, vizatojmë një drejtëz a pingul me drejtëzën c (Fig. 420, c). Drejtëza a është pingul me rrafshin β, bazuar në pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit (a c, nga ndërtimi dhe b, pasi b α). Duke përsëritur argumentet e mëparshme, gjejmë se rrafshi α përbëhet nga drejtëza pingule me rrafshin β, që kalojnë nëpër vijën e kryqëzimit të planeve. Sipas përkufizimit, rrafshet α dhe β janë pingul. ■

Kjo veçori bën të mundur vendosjen e pingulitetit të planeve ose sigurimin e saj.

Shembulli 1. Ngjitni mburojën në shtyllë në mënyrë që të vendoset vertikalisht.

 Nëse shtylla qëndron vertikalisht, atëherë mjafton të lidhni një mburojë në mënyrë të rastësishme në shtyllë dhe ta siguroni atë (Fig. 421, a). Sipas veçorisë së diskutuar më sipër, rrafshi i mburojës do të jetë pingul me sipërfaqen e tokës. Në këtë rast, problemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Perpendikulariteti i planeve

Nëse shtylla qëndron në mënyrë të pjerrët në tokë, atëherë mjafton të lidhni një shina vertikale në shtyllë (Fig. 421, b), dhe më pas të lidhni mburojën si në hekurudhë ashtu edhe në shtyllë. Në këtë rast, pozicioni i mburojës do të jetë mjaft i përcaktuar, pasi shtylla dhe hekurudha përcaktojnë një plan të vetëm. ■

Në shembullin e mëparshëm, detyra "teknike" u reduktua në një problem matematikor rreth vizatimit të një rrafshi pingul me një plan tjetër përmes një vije të drejtë të caktuar.

Shembulli 2. Nga kulmi A i katrorit ABCD vizatohet një segment AK pingul me rrafshin e tij, AB = AK = a.

1) Përcaktoni pozicionin relativ të avionëve AKC dhe ABD,

AKD dhe ABK.

2) Ndërtoni një rrafsh që kalon përmes drejtëzës BD pingul me rrafshin ABC.

3) Vizatoni një rrafsh pingul me rrafshin KAC përmes mesit F të segmentit KC.

4) Gjeni zonën e trekëndëshit BDF.

 Të ndërtojmë një vizatim që korrespondon me kushtet e shembullit (Fig. 422).

1) Planet AKC dhe ABD janë pingul, sipas kushtit të pingulitetit të planeve (teorema 1): AK ABD , sipas kushtit. Planet AKD dhe ABK janë gjithashtu pingul

janë polare, bazuar në pingulitetin e planeve (teorema 1). Në të vërtetë, drejtëza AB nëpër të cilën kalon rrafshi ABK është pingul me rrafshin AKD, sipas shenjës së pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit (Teorema 1 § 18): AB AD janë si brinjët ngjitur të një katrori; AB AK, që nga

AK ABD.

2) Në bazë të pingulitetit të rrafsheve, për ndërtimin e dëshiruar mjafton të vizatoni një drejtëz BD nëpër disa pika.

408 Perpendikulariteti i drejtëzave dhe planeve

drejtëza pingul me rrafshin ABC. Dhe për ta bërë këtë, mjafton të vizatoni një vijë përmes kësaj pike paralele me vijën e drejtë AK.

Në të vërtetë, sipas kushtit, drejtëza AK është pingul me rrafshin ABC dhe prandaj, sipas teoremës rreth dy drejtëzave paralele,

tonë, njëra prej të cilave është pingul me rrafshin (teorema 1§19),

drejtëza e ndërtuar do të jetë pingul me rrafshin ABC.

Ndërtimi.

Përmes pikës

B ne kryejmë

BE,

paralele

(Fig. 423). Aeroplani BDE është ai i dëshiruari.

3) Le të jetë F mesi i segmentit KC. pro-

ne çojmë përmes pikës

pingul-

aeroplan

Kjo vijë e drejtë

fëmijët drejtojnë

FO, ku

O - qendra e sheshit

ABCD (Fig. 424). Në të vërtetë, FO || A.K.

si mesatare

vijë trekëndëshi

Që kur

pingul-

në aeroplan

direkt FO

shaka-

det është pingul me të, sipas teoremës rreth

dy drejtëza paralele, njëra prej të cilave

ry pingul me rrafshin (teorema 1

§ 19). Kjo është arsyeja pse

FO DB. Dhe meqenëse AC DB, pastaj DB AOF (ose

KAC). Aeroplan

BDF kalon nëpër një vijë pingul me

avioni KAC, pra është ai i dëshiruari.

4) Në një trekëndësh

Segmenti BDF FO

Lartësia e tërhequr në

anë BD (shih Fig. 424). Kemi: BD =

2 a , si diagonalja e katër-

rata; FO = 1

AK =

1 a, nga vetia e vijës së mesit të një trekëndëshi.

Kështu, S = 2 BD FO =

2 2 a

2 a =

. ■

Përgjigje: 4)

a 2.

Studimi i vetive të pingulit-

të avionëve dhe aplikimeve të tij, le të fillojmë me më të thjeshtat

atë, por teoremë shumë e dobishme.

Teorema 2 (rreth pingules me vijën e prerjes së planeve pingul).

Nëse dy plane janë pingul, atëherë një vijë e drejtë që i përket një rrafshi dhe pingul me kryqëzimin e këtyre planeve është pingul me rrafshin e dytë.

 Lejoni rrafshe pingule

α dhe β priten përgjatë drejtëzës c, dhe drejtëza b në rrafshin β është pingul me drejtëzën c dhe e pret atë në pikën B (Fig. 425). Sipas definicionit

Duke pjesëtuar pingulësinë e rrafsheve, në rrafshin β një drejtëz kalon nëpër pikën B

b 1, pingul me rrafshin α. Është e qartë se është pingul me drejtëzën c. Por çfarë -

Nëse preni një pikë në një vijë të drejtë në një rrafsh, mund të vizatoni vetëm një vijë të drejtë pingul me drejtëzën e dhënë. Kjo është arsyeja pse

rreshtat b dhe b 1 përputhen. Kjo do të thotë se një vijë e drejtë e një rrafshi, pingul me vijën e kryqëzimit të dy planeve pingul, është pingul me rrafshin e dytë. ■

Le të zbatojmë teoremën e shqyrtuar për të justifikuar një shenjë tjetër të pingulitetit të planeve, e cila është e rëndësishme nga pikëpamja e studimit të mëvonshëm të pozicionit relativ të dy rrafsheve.

Le të jenë rrafshet α dhe β pingul, drejtëza c është drejtëza e prerjes së tyre. Nëpër një pikë arbitrare A vizatojmë një drejtëz c

në rrafshet α dhe β, drejtëza a dhe b, pingul me drejtëzën c (Fig. 426). Sipas teorisë

Me 2, drejtëzat a dhe b janë përkatësisht pingul me rrafshet β dhe α, pra janë pingul me njëra-tjetrën: a b . Drejt

a dhe b përcaktojnë një rrafsh të caktuar γ. Vija e prerjes me rrafshet α dhe β

pingul me rrafshin γ, bazuar në pingulësinë e drejtëzës dhe rrafshit (Teorema 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. Nëse marrim parasysh arbitraritetin e zgjedhjes së pikës A në drejtëzën c dhe faktin që përmes pikës A të drejtëzës c kalon një rrafsh i vetëm pingul me të, atëherë mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm.

Teorema 3 (rreth rrafshit pingul me vijën e prerjes së planeve pingul).

Një rrafsh pingul me vijën e kryqëzimit të dy rrafsheve pingul i pret këto rrafshe përgjatë vijave të drejta pingule.

Kështu, është vendosur një veçori tjetër e rrafsheve pingule. Kjo veti është karakteristike, pra nëse është e vërtetë për disa rrafshe, atëherë rrafshet janë pingul me njëri-tjetrin. Kemi edhe një shenjë të pingulitetit të planeve.

Teorema 4 (kriteri i dytë për pingulitetin e planeve).

Nëse kryqëzimet e drejtpërdrejta të dy rrafsheve me një rrafsh të tretë pingul me vijën e kryqëzimit të tyre janë pingul, atëherë edhe këta rrafshe janë pingul.

 Le të priten rrafshet α dhe β përgjatë një drejtëze me, dhe rrafshi γ, pingul me drejtëzën me, pret rrafshet α dhe β që korrespondojnë

përkatësisht përgjatë vijave të drejta a dhe b (Fig. 427). Sipas kushtit, a b. Meqenëse γ c, atëherë një c. Prandaj drejtëza a është pingul me rrafshin β, sipas shenjës së pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit (Teorema 1 § 18). kaq -

Po, rrjedh se rrafshet α dhe β janë pingul, sipas shenjës së pingulitetit të rrafsheve (teorema 1). ■

Gjithashtu meritojnë vëmendje teoremat mbi lidhjet midis pingulitetit të dy rrafsheve të një rrafshi të tretë dhe pozicionit të tyre të ndërsjellë.

Teorema 5 (për vijën e kryqëzimit të dy planeve pingul me rrafshin e tretë).

Nëse dy plane pingul me një rrafsh të tretë kryqëzohen, atëherë vija e kryqëzimit të tyre është pingul me këtë rrafsh.

 Le të priten rrafshet α dhe β, pingul me rrafshin γ, përgjatë drejtëzës a (a || γ), dhe A është pika e prerjes së drejtëzës a me

Perpendikulariteti i planeve
rrafshi γ (Fig. 428). Pika A i përket
jeton përgjatë vijave të kryqëzimit të rrafsheve γ dhe α, γ
dhe β, dhe, sipas kushtit, α γ dhe β γ. Prandaj, sipas
përcaktimi i pingulitetit të rrafshit
ju, përmes pikës A mund të vizatoni vija të drejta,
shtrirë në aeroplanët α	dhe β dhe pingul
plane polare γ. Sepse përmes pikës
është e mundur të vizatoni vetëm një vijë të drejtë, për-
pingul me rrafshin, pastaj të ndërtuar
vijat e drejta përkojnë dhe përkojnë me vijën
kryqëzimet e rrafsheve α dhe β. Kështu, drejt a është një vijë
prerja e rrafsheve α dhe β është pingul me rrafshin γ. ■

Le të shqyrtojmë teoremën që përshkruan marrëdhënien midis paralelizmit dhe pingulitetit të planeve. Tashmë kishim rezultatin përkatës për vijat e drejta dhe rrafshet.

Teorema 6 (rreth planeve paralele pingul me rrafshin e tretë).

Nëse njëri prej dy rrafsheve paralele është pingul me të tretin, atëherë rrafshi i dytë është pingul me të.

 Le të jenë rrafshet α dhe β paralel, dhe rrafshi γ pingul me rrafshin α. Që nga rrafshi γ

pret rrafshin α, atëherë duhet të presë edhe rrafshin β paralel me të. Le të marrim një pro-

një drejtëz arbitrare m pingul me rrafshin γ dhe vizatoni nëpër të, si dhe përmes një pike arbitrare të planit β, rrafshin δ (Fig. 429).

Planet δ dhe β priten përgjatë një drejtëze n, dhe meqë α ║ β, atëherë m ║ n (Teorema 2 §18). Nga teorema 1 rrjedh se n γ, dhe për këtë arsye rrafshi β që kalon nëpër drejtëzën n do të jetë gjithashtu pingul me rrafshin γ.

Teorema e vërtetuar jep një shenjë tjetër të pingulitetit të planeve.

Ju mund të vizatoni një plan pingul me pikën e dhënë përmes një pike të caktuar duke përdorur shenjën e pingulitetit të planeve (teorema 1). Mjafton të vizatoni një vijë të drejtë përmes kësaj pike pingul me rrafshin e dhënë (shih problemin 1 § 19). Dhe pastaj vizatoni një rrafsh përmes vijës së drejtë të ndërtuar Ajo do të jetë pingul me rrafshin e dhënë sipas kriterit të specifikuar. Është e qartë se një numër i pafund i planeve të tilla mund të vizatohen.

Më kuptimplotë është problemi i ndërtimit të një rrafshi pingul me një të dhënë, me kusht që ai të kalojë nëpër një vijë të caktuar. Është e qartë se nëse një vijë e caktuar është pingul me një plan të caktuar, atëherë mund të ndërtohet një numër i pafund i planeve të tilla. Mbetet të shqyrtohet rasti kur drejtëza e dhënë nuk është pingul me rrafshin e dhënë. Mundësia e një konstruksioni të tillë justifikohet në nivelin e modeleve fizike të vijave të drejta dhe planeve në shembullin 1.

Detyra 1. Vërtetoni se përmes një drejtëze arbitrare, jo pingul me një plan, është e mundur të vizatoni një rrafsh pingul me rrafshin e dhënë.

 Le të jepet një rrafsh α dhe një drejtëz l, l B\ a. Le të marrim një pikë arbitrare M në drejtëzën l dhe të vizatojmë një vijë m përmes saj, pingul me rrafshin α (Fig. 430, a). Meqenëse, sipas kushtit, l nuk është pingul me α, atëherë drejtëzat l dhe m priten. Nëpërmjet këtyre drejtëzave është e mundur të vizatohet një rrafsh β (Fig. 430, b), i cili, sipas provës për pingulitetin e rrafsheve (teorema 1), do të jetë pingul me rrafshin α. ■

Shembulli 3. Nëpër kulmin A të piramidës së rregullt SABC me bazën ABC, vizatoni një vijë të drejtë pingul me rrafshin e faqes anësore të SBC.

 Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim teoremën për pingulën në vijën e kryqëzimit të planeve pingulë

(Teorema 2). Le të jetë K mesi i skajit BC (Fig. 431). Rrafshët AKS dhe BCS janë pingul, sipas shenjës së pingulitetit të planeve (teorema 1). Në të vërtetë, BC SK dhe BC AK janë si mesataret e tërhequra te bazat në trekëndëshat izoscelorë. Prandaj, sipas kriterit të pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit (teorema 1 §18), drejtëza BC është pingul me rrafshin AKS. Rrafshi BCS kalon nëpër një vijë pingul me rrafshin AKS.

Ndërtimi. Le të vizatojmë një vijë AL në rrafshin AKS nga pika A, pingul me vijën KS - vijën e kryqëzimit të planeve AKS dhe BCS (Fig. 432). Sipas teoremës në pingul me vijën e kryqëzimit të planeve pingul (teorema 2), drejtëza AL është pingul me rrafshin BCS. ■


Pyetje sigurie
Në Fig. 433 tregon katrorin ABCD,
drejtëza MD është pingul me rrafshin
ABCD. Cilat çifte avionësh nuk janë
janë pingul:
	MAD dhe MDC;	MBC dhe MAV;
	ABC dhe MDC;	MAD dhe MAV?

2. Në Fig. 434 është paraqitur saktë- piramida e re katërkëndore

SABCD, pika P, M, N - mes -

Skajet AB, BC, BS, O janë qendra e bazës ABCD. Cilat nga çiftet janë të sheshta- kockat janë pingul:

1) ACS dhe BDS; 2) MOS dhe POS;

3) COS dhe MNP; 4) MNP dhe SOB;

5) CND dhe ABS?

		Perpendikulariteti i vijave dhe planeve
3. Në Fig. 435	përshkruan një drejtkëndëshe
trekëndëshi		me kënd të drejtë C dhe
vijë e drejtë BP, pingul me rrafshin
ty ABC . Cilat nga çiftet e mëposhtme janë të sheshta?
kockat janë pingule:
1) CBP dhe ABC;		2) ABP dhe ABC;

3) PAC dhe PBC; 4) PAC dhe PAB?

4. Dy plane janë pingul. A është e mundur përmes një pike arbitrare të njërës prej a duhet të vizatojnë një vijë të drejtë në këtë rrafsh, rrafshin e dytë?

5. Është e pamundur të vizatoni një vijë të drejtë në rrafshin α, por në rrafshin β. A mund të jenë këta avionë mi?

6. Nëpër një pikë të caktuar të rrafshit α kalon një drejtëz në këtë rrafsh dhe është pingul me rrafshin, kështu që rrafshet α dhe β janë pingul?

Një pjesë e gardhit është ngjitur në një shtyllë vertikale, a është e mundur të pretendohet se rrafshi i gardhit është vertikal?

Si të lidhni një mburojë vertikalisht në një hekurudhë paralele me sipërfaqen e tokës?

Pse sipërfaqet e dyerve, pavarësisht nëse janë të mbyllura apo të hapura, janë vertikale me dyshemenë?

Pse një vijë kumbulle përshtatet fort në një mur vertikal, por jo domosdoshmërisht në një mur të pjerrët?

A është e mundur të lidhni një mburojë në një shtyllë të pjerrët në mënyrë që të jetë pingul me sipërfaqen e tokës?

Si të përcaktohet praktikisht nëse një plan është pingul

muret dyshemeja e aeroplanit? pingulperpendicularperpendicular- drejt, shtrirë - β.

E vërtetë 7. . E mundur 8.9.10.11.12.

1. Ushtrime grafike Në Fig. 436 tregon një kub

1) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Përcaktoni plane pingul me rrafshin

2) VDD 1.

Si janë avionët dhe

Perpendikulariteti i planeve
			A1 B1 CAB 1 C 1
	437 katrorë të rrafshët ABCD dhe		ABC1 D1		pingul. Largësia
	CC1
		barazohet b. Gjeni gjatësinë e segmentit:		AB;

		D1 C;		D1 D;	C1 D.
	Dan-

	Ndërtoni një vizatim sipas dhënë
	1) Planet e trekëndëshave barabrinjës
		ABC dhe ABC janë pingul.
		Plani ABC është pingul me rrafshet BDC dhe BEA.
	përgjatë drejtëzës a, vijat e kryqëzimit të tyre me rrafshin γ
	janë drejtëza b dhe c.
		Në një rrafsh drejtkëndor paralelipiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
	kockat AB 1 C 1 dhe ICA 1 janë pingul.

421. Segmenti OS është tërhequr nga qendra O e katrorit ABCD pingul me rrafshin e tij.

1°) Përcaktoni pozicionin relativ të planeve ACS

dhe ABC.

2°) Përcaktoni pozicionin relativ të planeve ACS

dhe BDS.

3) Ndërtoni një rrafsh që kalon përmes vijës së drejtë OS pingul me rrafshin ABS.

4) Ndërtoni një rrafsh pingul me rrafshin ABC dhe që kalon nga mesi i brinjëve AD dhe CD.

422. Nga pika e prerjes O e diagonaleve të rombit ABCD vizatohet një segment OS pingul me rrafshin e rombit; AB=DB=

1°) Përcaktoni pozicionin relativ të SDB dhe

ABC, SDB dhe ACS.

2°) Ndërtoni një rrafsh që kalon përmes drejtëzës BC pingul me rrafshin ABD.

3) Vizatoni një rrafsh pingul me planin ABC përmes mesit F të segmentit CS.

4) Gjeni zonën e trekëndëshit BDF.

423. Jepet një kub ABCDA1 B1 C1 D1.

1°) Përcaktoni pozicionin relativ të rrafsheve AB 1 C 1

dhe CDD1.

2°) Përcaktoni pozicionin relativ të rrafsheve AB 1 C 1

dhe CD1 A1.

3°) Ndërtoni një rrafsh që kalon nga pika A pingul me rrafshin BB 1 D 1.

4) Ndërtoni një seksion të kubit me një plan që kalon nga mesi i skajeve A 1 D 1 dhe B 1 C 1 pingul me rrafshin ABC. 5) Përcaktoni pozicionin relativ të rrafshit AA 1 B dhe rrafshit që kalon nga mesi i brinjëve A 1 B 1, C 1 D 1, CD.

6) Gjeni zonën e prerjes tërthore të kubit nga një aeroplan që kalon nga skaji BB 1 dhe mesi i skajit A 1 D 1 (BB 1 = a).

7) Ndërtoni një pikë simetrike me pikën A në lidhje me rrafshin A 1 B 1 C.

424. Në një katërkëndor të rregullt ABCD me skaj 2 cm, pika M është mesi i DB dhe pika N është mesi i AC.

1°) Vërtetoni se drejtëza DB është pingul me rrafshin

2°) Vërtetoni se rrafshi BDM është pingul me rrafshin AMC.

3) Nëpër pikën O të prerjes së ndërmjetësve të trekëndëshit ADC, vizatoni një drejtëz pingul me rrafshin AMC.

4) Gjeni gjatësinë e këtij segmenti të vijës brenda tetraedrit. 5) Në çfarë raporti e ndan rrafshi AMC këtë segment?

425. Dy trekëndësha barabrinjës ABC dhe ADC shtrihen në rrafshe pingul.

1°) Gjeni gjatësinë e segmentit BD nëse AC = 1 cm.

2) Vërtetoni se rrafshi BKD (K shtrihet në drejtëzën AC) është pingul me rrafshin e secilit prej trekëndëshave nëse dhe vetëm nëse K është mesi i brinjës AC.

426. Drejtkëndëshi ABCD, brinjët e të cilit janë 3 cm dhe 4 cm, është i përkulur përgjatë diagonales AC në mënyrë që trekëndëshat ABC dhe ADC të vendosen në rrafshe pingul. Përcaktoni distancën midis pikave B dhe D pas përkuljes së drejtkëndëshit ABCD.

427. Nëpër këtë pikë vizatoni një rrafsh pingul me secilin nga dy rrafshet e dhëna.

428°. Vërtetoni se rrafshet e faqeve fqinje të një kubi janë pingul.

429. Planet α dhe β janë pingul me njëri-tjetrin. Nga pika A e rrafshit α vizatohet drejtëza AB pingul me rrafshin β. Vërtetoni se drejtëza AB shtrihet në rrafshin α.

430. Vërtetoni se nëse një rrafsh dhe një drejtëz që nuk shtrihen në këtë rrafsh janë pingul me të njëjtin rrafsh, atëherë ato janë paralele me njëra-tjetrën.

431. Nëpër pikat A dhe B që shtrihen në vijën e prerjes p të rrafsheve α dhe β pingul me njëri-tjetrin, vizatohen drejtëza pingul me p: AA 1 në α, BB 1 në β. Pika X shtrihet në vijën e drejtë AA 1 dhe pika Y shtrihet në BB 1. Vërtetoni se drejtëza ВB 1 është pingul me drejtëzën ВХ, dhe drejtëza АА 1 është pingul me drejtëzën АY.

432*. Në mes të secilës anë të trekëndëshit vizatohet një rrafsh pingul me këtë anë. Vërtetoni se të tre rrafshet e vizatuara kryqëzohen përgjatë një drejtëze pingul me rrafshin e trekëndëshit.

Ushtrime për të përsëritur

433. Në një trekëndësh barabrinjës me brinjë b përcaktoni: 1) lartësinë; 2) rrezet e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar.

434. Nga një pikë në një drejtëz të caktuar vizatohen drejtëza pingule dhe dy të zhdrejta. Përcaktoni gjatësinë e pingules nëse ato të pjerrëta janë 41 cm dhe 50 cm, dhe projeksionet e tyre në këtë vijë janë në raportin 3:10.

435. Përcaktoni këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë nëse bis- sektriksi i këndit të drejtë e ndan hipotenuzën në segmente 15 cm dhe

Përkufizimi bazë

Të dy avionët quhen

janë pingul , nëse secila prej tyre është e formuar nga vija të drejta- mi, pingul- mi të rrafshit të dytë dhe duke kaluar nëpër pikat e kryqëzimit të këtyre planeve.

	Deklaratat kryesore
Shenjë pingul		Nëse vetëm
veçori		aeroplanët	kaloj-
aeroplanët		dit përmes
		pingul
		avioni i dytë, atëherë		b α, b β α β
		këta avionë janë për-		b α, b β α β
		pendikular.


	perpend-		dy avionë
grykë		atëherë janë pingule
kryqëzimetsperpen		i drejtpërdrejtë, që i përket
dicular	banesë	duke ndarë një aeroplan
		dhe pingul
			kryqëzimet
		këta avionë, për-		α β, b β, c = α ∩β,
		pendikular në të dytën		b c b α
		aeroplan.

Koncepti i rrafsheve pingul

Kur dy plane kryqëzohen, marrim kënde dykëndëshe prej $4$. Dy kënde janë të barabarta me $\varphi $, dhe dy të tjerët janë të barabartë me $(180)^0-\varphi $.

Përkufizimi 1

Këndi ndërmjet rrafsheve është minimumi i këndeve dihedrale të formuara nga këto plane.

Përkufizimi 2

Dy plane të kryqëzuara quhen pingul nëse këndi ndërmjet këtyre planeve është $90^\circ$ (Fig. 1).

Figura 1. Planet pingul

Shenja e pingulitetit të dy rrafsheve

Teorema 1

Nëse një vijë e drejtë e një rrafshi është pingul me një rrafsh tjetër, atëherë këto plane janë pingul me njëri-tjetrin.

Dëshmi.

Le të na jepen aeroplanët $\alpha $ dhe $\beta $, të cilët kryqëzohen përgjatë vijës së drejtë $AC$. Lëreni drejtëzën $AB$ që shtrihet në rrafshin $\alpha $ të jetë pingul me rrafshin $\beta $ (Fig. 2).

Figura 2.

Meqenëse drejtëza $AB$ është pingul me rrafshin $\beta$, ajo është gjithashtu pingul me vijën $AC$. Le të vizatojmë gjithashtu një vijë $AD$ në rrafshin $\beta$, pingul me vijën $AC$.

Ne gjejmë se këndi $BAD$ është këndi linear i këndit dihedral, i barabartë me $90^\circ$. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit 1, këndi ndërmjet planeve është $90^\circ$, që do të thotë se këto plane janë pingul.

Teorema është e vërtetuar.

Nga kjo teoremë rrjedh teorema e mëposhtme.

Teorema 2

Nëse një rrafsh është pingul me vijën përgjatë së cilës kryqëzohen dy plane të tjera, atëherë ai është gjithashtu pingul me këto rrafshe.

Dëshmi.

Le të na jepen dy rrafshe $\alpha $ dhe $\beta $ që kryqëzohen përgjatë vijës së drejtë $c$. Rrafshi $\gamma $ është pingul me vijën e drejtë $c$ (Fig. 3)

Figura 3.

Meqenëse rreshti $c$ i përket rrafshit $\alpha $ dhe rrafshi $\gamma $ është pingul me vijën $c$, atëherë, sipas Teoremës 1, rrafshit $\alpha $ dhe $\gamma $ janë pingul.

Meqenëse rreshti $c$ i përket rrafshit $\beta $ dhe rrafshi $\gamma $ është pingul me vijën $c$, atëherë, sipas Teoremës 1, rrafshit $\beta $ dhe $\gamma $ janë pingul.

Teorema është e vërtetuar.

Për secilën nga këto teorema, pohimet e kundërta janë gjithashtu të vërteta.

Shembuj problemesh

Shembulli 1

Le të na jepet një paralelipiped drejtkëndor $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Gjeni të gjitha çiftet e planeve pingul (Fig. 5).

Figura 4.

Zgjidhje.

Sipas përcaktimit të një plani drejtkëndor paralelipiped dhe pingul, ne shohim tetë çiftet e mëposhtme të planeve pingul me njëri-tjetrin: $(ABB_1)$ dhe $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ dhe $(A_1B_1C_1)$, $( ABB_1)$ dhe $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ dhe $(ABC)$, $(DCC_1)$ dhe $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ dhe $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1) $ dhe $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ dhe $(ABC)$.

Shembulli 2

Le të na jepen dy rrafshe pingul reciprokisht. Nga një pikë në një rrafsh tërhiqet një pingul në një plan tjetër. Vërtetoni se kjo vijë shtrihet në rrafshin e dhënë.

Dëshmi.

Le të na jepen plane pingul $\alpha $ dhe $\beta $ që kryqëzohen përgjatë vijës së drejtë $c$. Nga pika $A$ e rrafshit $\beta $ një pingul $AC$ tërhiqet në rrafshin $\alfa $. Le të supozojmë se $AC$ nuk qëndron në rrafshin $\beta$ (Fig. 6).

Figura 5.

Merrni parasysh trekëndëshin $ABC$. Është drejtkëndëshe me kënd të drejtë $ACB$. Prandaj, $\këndi ABC\ne (90)^0$.

Por nga ana tjetër, $\këndi ABC$ është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga këto plane. Kjo do të thotë, këndi dihedral i formuar nga këto plane nuk është i barabartë me 90 gradë. Konstatojmë se këndi ndërmjet planeve nuk është i barabartë me 90$^\circ$. Kontradikta. Prandaj, $AC$ qëndron në planin $\beta$.

Kujtojmë se rrafshet quhen pingul nëse këndi ndërmjet tyre është i drejtë. Dhe ky kënd përcaktohet kështu. Merrni pikën O në vijën C, përgjatë së cilës kryqëzohen rrafshet, dhe vizatoni vija të drejta përmes saj në rrafshe (Fig. 1.9a). Këndi ndërmjet a dhe b është këndi ndërmjet . Kur ky kënd është i drejtë, atëherë ata thonë se rrafshet janë pingul dhe shkruajnë

Ju, sigurisht, tashmë keni vënë re se kur, atëherë nga tre drejtëzat a, b, c, çdo dy janë reciproke pingule (Fig. 2.28). Në veçanti,. Prandaj (në bazë të pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit). Po kështu,

Pra, secili prej dy rrafsheve reciprokisht pingul përmban një pingul me rrafshin tjetër. Për më tepër, këto pingule mbushin plane reciproke pingul. (Fig. 2.29).

Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Në të vërtetë, nëse përmes ndonjë pike të rrafshit a vizatojmë një vijë të drejtë

Pastaj (nga Teorema 5 mbi paralelizmin e pingulave).

Dhe për të treguar pingulësinë e planeve, mjafton një pingul me rrafshin.

Teorema 7. (test për pingulitetin e planeve). Nëse një rrafsh kalon përmes një rrafshi pingul me një rrafsh tjetër, atëherë këto plane janë reciprokisht pingul.

Le të përmbajë rrafshi a një drejtëz a pingul me rrafshin P (Fig. 2.28). Pastaj drejtëza a pret rrafshin P në pikën O. Pika O shtrihet në drejtëzën C përgjatë së cilës ato kryqëzohen. Le të vizatojmë një vijë të drejtë në rrafshin P përmes pikës O. Meqenëse b gjithashtu shtrihet në rrafshin P, atëherë,

Kjo veçori ka një kuptim të thjeshtë praktik: rrafshi i një dere të varur në një rrip pingul me dyshemenë është pingul me rrafshin e dyshemesë në çdo pozicion të derës (Fig. 2.1). Një aplikim tjetër praktik i kësaj veçorie: kur duhet të kontrolloni nëse një sipërfaqe e sheshtë (mur, gardh, etj.) është instaluar vertikalisht, kjo bëhet duke përdorur një linjë plumbash - një litar me ngarkesë. Linja kumbulle drejtohet gjithmonë vertikalisht, dhe muri qëndron vertikalisht nëse në ndonjë moment linja e plumbit, e vendosur përgjatë saj, nuk devijon.

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë plane pingule, shpesh përdoren tre fjalitë e mëposhtme.

Pohimi 1. Një drejtëz që shtrihet në një nga dy rrafshet pingul reciprokisht dhe pingul me drejtëzën e tyre të përbashkët është pingul me rrafshin tjetër.

Le të jenë rrafshet reciprokisht pingul dhe të priten përgjatë drejtëzës C. Le të, më tej, një vijë e drejtë shtrihet në rrafshin a dhe (Fig. 2.28). Drejtëza a e pret drejtëzën C në një pikë O. Le të vizatojmë një drejtëz b përmes pikës O në rrafshin P, pingul me drejtëzën c. Kështu është kështu. Që atëherë (nga Teorema 2).

Fjalia e dytë është e kundërta e së parës.

Pohimi 2. Një drejtëz që ka një pikë të përbashkët me një nga dy rrafshet reciprokisht pingul dhe është pingul me rrafshin tjetër, shtrihet në të parin prej tyre.

Le të jenë rrafshet reciprokisht pingul, dhe linja e drejtë a të ketë një pikë të përbashkët A me rrafshin a (Fig. 2.30). Përmes pikës A në rrafshin a vizatojmë një vijë të drejtë pingul me drejtëzën C - vijën e kryqëzimit të planeve. Sipas propozimit, meqenëse në hapësirë vetëm një drejtëz pingul me një plan të caktuar kalon nëpër secilën pikë, atëherë drejtëzat a dhe përkojnë. Meqenëse një shtrihet në aeroplan, atëherë një gënjeshtër në aeroplan

Pohim 3. Nëse dy rrafshe pingul me një rrafsh të tretë priten, atëherë drejtëza e prerjes së tyre është pingul me rrafshin e tretë.

Le të jenë pingul me rrafshin y dy rrafshe që kryqëzohen përgjatë drejtëzës a (Fig. 2.31). Pastaj përmes çdo pike të drejtëzës a vizatojmë një drejtëz pingul me rrafshin y. Sipas propozimit 2, kjo drejtëz shtrihet si në rrafshin a ashtu edhe në rrafshin P, d.m.th., ajo përkon me drejtëzën a. Pra,

Ligjëratë me temën “Testi i pingulitetit të dy planeve”

Ideja e një aeroplani në hapësirë na lejon të marrim, për shembull, sipërfaqen e një tavoline ose muri. Sidoqoftë, një tavolinë ose mur ka përmasa të fundme, dhe rrafshi shtrihet përtej kufijve të tij deri në pafundësi.

Konsideroni dy plane të kryqëzuara. Kur kryqëzohen, formojnë katër kënde dykëndëshe me një skaj të përbashkët.

Le të kujtojmë se çfarë është një kënd dihedral.

Në realitet, hasim objekte që kanë formën e një këndi dykëndor: për shembull, një derë pak e hapur ose një dosje gjysmë të hapur.

Kur dy rrafshe alfa dhe beta ndërpriten, marrim katër kënde dykëndëshe. Le të jetë një nga këndet dihedral të barabartë me (phi), atëherë i dyti është i barabartë me (180 0 –), e treta, e katërta (180 0 -).

α Dheβ, 0°< 90 °

Shqyrtoni rastin kur njëri nga këndet dihedral është 90 0 .

Atëherë, të gjitha këndet dihedrale në këtë rast janë të barabarta me 90 0 .

këndi dihedral ndërmjet planeveα Dheβ,

90º

Le të prezantojmë përkufizimin e planeve pingul:

Dy plane quhen pingul nëse këndi dihedral ndërmjet tyre është 90°.

Këndi midis planeve sigma dhe epsilon është 90 gradë, që do të thotë se rrafshet janë pingul

Sepse =90°

Le të japim shembuj të planeve pingul.

Mur dhe tavan.

Muri anësor dhe pjesa e sipërme e tavolinës.

Muri dhe tavani

Le të formulojmë një shenjë të pingulitetit të dy planeve:

TEOREMA:Nëse njëri prej dy rrafsheve kalon nëpër një drejtëz pingul me rrafshin tjetër, atëherë këto plane janë pingul.

Le ta vërtetojmë këtë shenjë.

Me kusht dihet se drejtëzaAM shtrihet në rrafshin α, drejtëza AM është pingul me rrafshin β,

Vërtetoni: rrafshet α dhe β janë pingul.

Dëshmi:

1) Planet α dheβ kryqëzohen përgjatë vijës së drejtë AR dhe AM AR, pasi AM β sipas kushtit, domethënë AM është pingul me çdo vijë të drejtë që shtrihet në rrafshin β.

2) Le të vizatojmë një vijë të drejtë në rrafshin βAT pingulAR.

Marrim këndin TAM është këndi linear i këndit dihedral. Por këndi TAM = 90°, pasi MA është β. Pra α β.

Q.E.D.

TEOREMA:Nëse një rrafsh kalon nëpër një vijë pingul me një rrafsh tjetër, atëherë këto plane janë pingul.

E dhënë:α, β, AM α, AMβ, AM∩=A

Vërtetoni: αβ.

Dëshmi:

1) α∩β = AR, ndërsa AM AR, pasi AM β sipas kushtit, domethënë AM është pingul me çdo vijë të drejtë që shtrihet në rrafshin β.

2) ATβ,ATAR.

TAM është këndi linear i këndit dihedral. TAM = 90°, sepse MA β. Pra α β.

Q.E.D

Nga shenja e pingulitetit të dy rrafsheve kemi një përfundim të rëndësishëm:

NDIKIMI:Një rrafsh pingul me një vijë përgjatë së cilës kryqëzohen dy plane është pingul me secilin prej këtyre rrafsheve.

Le të vërtetojmë këtë përfundim: nëse rrafshi i gama është pingul me drejtëzën c, atëherë, bazuar në paralelizmin e dy planeve, gama është pingul me alfa. Po kështu, gama është pingul me beta

Kjo është: nëse α∩β=с dhe γс, atëherë γα dhe γβ.

sepseγс dhe σα nga shenja e pingulitetit γα.

Ngjashëm me γ β

Le ta riformulojmë këtë përfundim për një kënd dihedral:

Rrafshi që kalon nëpër këndin linear të një këndi dykëndor është pingul me skajin dhe faqet e këtij këndi dihedral. Me fjalë të tjera, nëse kemi ndërtuar një kënd linear të një këndi dykëndor, atëherë rrafshi që kalon nëpër të është pingul me skajin dhe faqet e këtij këndi dihedral.

Detyrë.

Jepet: ΔАВС, С = 90°, АС shtrihet në rrafshin α, këndi ndërmjet rrafsheve α dheABC= 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.

Gjeni: distancën nga pika B në rrafshin α.

Zgjidhja:

1) Le të ndërtojmë VC α. Atëherë KS është projeksioni i diellit në këtë plan.

2) BC AC (sipas kushtit), që do të thotë, sipas teoremës së tre pingulave (TPP), KS AC. Prandaj, VSK është këndi linear i këndit dihedral ndërmjet rrafshit α dhe rrafshit të trekëndëshit ABC. Kjo është, VSK = 60 °.

3) Nga ΔBCA sipas teoremës së Pitagorës:

Nga ΔVKS:

Ky mësim do t'i ndihmojë ata që dëshirojnë të kuptojnë temën "Shenja e pingulitetit të dy planeve". Në fillim të tij, ne do të përsërisim përkufizimin e këndeve dihedral dhe linear. Pastaj do të shqyrtojmë se cilët rrafshe quhen pingul dhe do të vërtetojmë shenjën e pingulitetit të dy rrafsheve.

Tema: Perpendikulariteti i drejtëzave dhe planeve

Mësimi: Shenja e pingulitetit të dy planeve

Përkufizimi. Një kënd dihedral është një figurë e formuar nga dy gjysmërrafshe që nuk i përkasin të njëjtit rrafsh dhe drejtëza e tyre e përbashkët a (a është një skaj).

Oriz. 1

Le të shqyrtojmë dy gjysmërrafshe α dhe β (Fig. 1). Kufiri i tyre i përbashkët është l. Kjo shifër quhet një kënd dihedral. Dy plane të kryqëzuara formojnë katër kënde dihedrale me një skaj të përbashkët.

Një kënd dihedral matet me këndin e tij linear. Ne zgjedhim një pikë arbitrare në skajin e përbashkët l të këndit dihedral. Në gjysmërrafshet α dhe β, nga kjo pikë vizatojmë pingulat a dhe b në drejtëzën l dhe fitojmë këndin linear të këndit dykëndor.

Vijat e drejta a dhe b formojnë katër kënde të barabarta me φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Kujtojmë se këndi ndërmjet vijave të drejta është më i vogli nga këto kënde.

Përkufizimi. Këndi ndërmjet rrafsheve është më i vogli nga këndet dihedrale të formuara nga këto rrafshe. φ është këndi ndërmjet planeve α dhe β, nëse

Përkufizimi. Dy plane të kryqëzuara quhen pingul (reciprokisht pingul) nëse këndi ndërmjet tyre është 90°.

Oriz. 2

Një pikë arbitrare M zgjidhet në skajin l (Fig. 2). Le të vizatojmë dy drejtëza pingule MA = a dhe MB = b në skajin l në rrafshin α dhe në rrafshin β, përkatësisht. Ne morëm këndin AMB. Këndi AMB është këndi linear i një këndi dihedral. Nëse këndi AMB është 90°, atëherë rrafshet α dhe β quhen pingul.

Drejtëza b është pingul me drejtëzën l nga ndërtimi. Drejtëza b është pingul me drejtëzën a, pasi këndi ndërmjet rrafsheve α dhe β është 90°. Konstatojmë se drejtëza b është pingul me dy drejtëza a dhe l që ndërpriten nga rrafshi α. Kjo do të thotë se drejtëza b është pingul me rrafshin α.

Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetojmë se drejtëza a është pingul me rrafshin β. Drejtëza a është pingul me drejtëzën l nga ndërtimi. Drejtëza a është pingul me drejtëzën b, pasi këndi ndërmjet rrafsheve α dhe β është 90°. Konstatojmë se drejtëza a është pingul me dy drejtëza të prera b dhe l nga rrafshi β. Kjo do të thotë se drejtëza a është pingul me rrafshin β.

Nëse njëri nga dy rrafshet kalon nëpër një drejtëz pingul me rrafshin tjetër, atëherë rrafshe të tilla janë pingul.

Provoni:

Oriz. 3

Dëshmi:

Le të ndërpriten rrafshet α dhe β përgjatë vijës së drejtë AC (Fig. 3). Për të vërtetuar se rrafshet janë pingul reciprokisht, duhet të ndërtoni një kënd linear midis tyre dhe të tregoni se ky kënd është 90°.

Drejtëza AB është pingul me rrafshin β, dhe për rrjedhojë me drejtëzën AC që shtrihet në rrafshin β.

Le të vizatojmë një drejtëz AD pingul me një drejtëz AC në rrafshin β. Atëherë BAD është këndi linear i këndit dihedral.

Drejtëza AB është pingul me rrafshin β, dhe për rrjedhojë me drejtëzën AD që shtrihet në rrafshin β. Kjo do të thotë se këndi linear BAD është 90°. Kjo do të thotë se rrafshet α dhe β janë pingul, gjë që duhej vërtetuar.

Rrafshi pingul me drejtëzën përgjatë së cilës kryqëzohen dy plane të dhëna është pingul me secilin prej këtyre rrafsheve (Fig. 4).

Provoni:

Oriz. 4

Dëshmi:

Drejtëza l është pingul me rrafshin γ, dhe rrafshi α kalon nëpër drejtëzën l. Kjo do të thotë se, në bazë të pingulitetit të planeve, rrafshet α dhe γ janë pingul.

Drejtëza l është pingul me rrafshin γ, dhe rrafshi β kalon nëpër drejtëzën l. Kjo do të thotë se, në bazë të pingulitetit të planeve, rrafshet β dhe γ janë pingul.