Funksioni i valës. Koncepti i funksionit valor

27.09.2019

Derivimi i formulës për bërthamën në rastin e një grimce të lirë, i dhënë në problemin 4.11, është i pakënaqshëm për dy arsye, të cilat janë të ndërlidhura. Së pari, koncepti i një shume mbi gjendje të ndryshme dhe i përdorur në shprehjen (4.62) nuk është i kënaqshëm nëse gjendjet i përkasin një spektri të vazhdueshëm, që është rasti në rastin e një grimce të lirë. Së dyti, funksionet valore për grimcat e lira (valët e rrafshët), edhe pse ortogonale, nuk mund të normalizohen, pasi

dhe kushti i barazisë (4.47), i cili është përdorur në nxjerrjen e shprehjes (4.62), nuk është i plotësuar. Të dyja këto pika mund të korrigjohen në të njëjtën kohë thjesht matematikisht. Le të kthehemi te zgjerimi i një funksioni arbitrar për sa i përket eigenfunksioneve:

(4.65)

dhe merrni parasysh se të gjitha ose një pjesë e gjendjeve mund t'i përkasin një spektri të vazhdueshëm, kështu që një pjesë e shumës duhet të zëvendësohet me një integral. Është e mundur që në mënyrë rigoroze matematikisht të merret një shprehje e saktë për bërthamën, e ngjashme me shprehjen (4.62), por edhe e zbatueshme në rastin kur gjendjet janë në pjesën e vazhdueshme të spektrit.

Normalizimi deri në vëllimin përfundimtar. Shumë fizikanë preferojnë një qasje të ndryshme, më pak rigoroze. Ajo që ata bëjnë është një modifikim i problemit fillestar dhe rezultatet (në kuptimin e tyre fizik) ndryshojnë në mënyrë të parëndësishme, por të gjitha gjendjet rezultojnë të jenë diskrete në energji dhe për këtë arsye të gjitha zgjerimet marrin formën e shumave të thjeshta. Në shembullin tonë, kjo mund të arrihet si më poshtë. Ne marrim parasysh amplitudën e probabilitetit të lëvizjes nga një pikë në tjetrën në një kohë të fundme. Nëse këto dy pika janë në një distancë të kufizuar nga njëra-tjetra dhe intervali kohor që i ndan nuk është shumë i gjatë, atëherë me siguri nuk do të ketë ndonjë ndryshim të dukshëm në amplitudë nëse elektroni është në të vërtetë i lirë ose supozohet të vendoset në një vend shumë të madh. vëllim i madh kuti me mure të vendosura shumë larg pikave dhe . Nëse grimca mund të arrijë në mure dhe të kthehet prapa në kohë, kjo mund të ndikojë në amplitudë; por nëse muret janë mjaft larg, ato nuk do të ndikojnë në amplitudë në asnjë mënyrë.

Sigurisht, ky supozim mund të bëhet i pasaktë me një zgjedhje të veçantë të mureve; për shembull, nëse pika është në fokusin e valëve që dalin nga pika dhe reflektohen nga muret. Ndonjëherë, për shkak të inercisë, ata bëjnë gabim duke zëvendësuar një sistem të vendosur në hapësirë të lirë me një sistem të vendosur në qendër të një sfere të madhe. Fakti që sistemi mbetet saktësisht në qendër të një sfere të përsosur mund të prodhojë një efekt të caktuar (i ngjashëm me shfaqjen e një njolle drite në qendër të hijes së një objekti krejtësisht të rrumbullakët) që nuk zhduket edhe nëse rrezja e sfera priret në pafundësi. Ndikimi i sipërfaqes do të ishte i papërfillshëm në rastin e mureve të një forme të ndryshme ose për një sistem kompensimi në lidhje me qendrën e kësaj sfere.

Le të shqyrtojmë së pari rastin njëdimensional. Funksionet valore në varësi të koordinatës kanë formën , ku merr të dyja shenjat. Çfarë forme do të kenë funksionet nëse diapazoni i ndryshimit është i kufizuar në një interval arbitrar nga deri në? Përgjigja varet nga kushtet kufitare që përcaktojnë vlerat në pikat dhe . Më të thjeshtat nga pikëpamja fizike janë kushtet kufitare në rastin e mureve që krijojnë një potencial të fortë refuzues për grimcën, duke kufizuar kështu zonën e lëvizjes së saj (d.m.th., me reflektim ideal). Në këtë rast, në pikat dhe . Zgjidhjet e ekuacionit të valës

, (4.66)

që korrespondon me energjinë në rajon do të jenë eksponencialet dhe ose ndonjë kombinim linear i tyre. Të dyja , dhe nuk i plotësojnë kushtet kufitare të zgjedhura, megjithatë, sepse (ku është një numër i plotë), vetitë e kërkuara zotërohen në rastin e tek me gjysmën e tyre (d.m.th.), dhe në rastin e çift - pjesëtuar me gjysmë-diferencë (d.m.th.), siç tregohet skematikisht në Fig. 4.1. Kështu, funksionet valore të gjendjeve kanë formën e sinusit dhe kosinusit, dhe nivelet përkatëse të energjisë janë diskrete dhe nuk formojnë një vazhdimësi.

Fig. 4.1. Pamje e funksioneve valore njëdimensionale të normalizuara në një kuti.

Tregohen katër të parat prej tyre. Energjitë e niveleve përkatëse janë të barabarta , , Dhe . Vlera absolute e energjisë, e cila varet nga madhësia e kutisë sonë fiktive, është e parëndësishme për shumicën e problemeve të jetës reale. Ajo që ka vërtet rëndësi është marrëdhënia midis energjive të gjendjeve të ndryshme.

Nëse zgjidhjet shkruhen në formën dhe , atëherë ato do të normalizohen, pasi

. (4.67)

Shuma mbi të gjitha shtetet është shuma mbi . Nëse marrim parasysh, për shembull, funksionet e valës sinusoidale (d.m.th., vlerat çift), atëherë për vlera të vogla dhe një vlerë shumë të madhe (muret janë larg nga pika e interesit për ne), numrat e funksioneve fqinjë ndryshojnë shumë pak. Dallimi i tyre

(4.68)

afërsisht proporcionale me vlerën e vogël. Prandaj, shuma mbi mund të zëvendësohet me integrale mbi . Meqenëse vlerat e vlefshme janë të vendosura në mënyrë sekuenciale me një interval, gjendjet janë të vendosura në interval. E gjithë kjo vlen edhe për gjendjet me funksion valor kosinus, kështu që në të gjitha formulat tona mund të zëvendësojmë shumat me integrale

, (4.69)

duke mos harruar se në fund ju duhet të shtoni rezultatet për të dy llojet e funksioneve valore, përkatësisht dhe .

Shpesh është i papërshtatshëm për t'u përdorur dhe si funksione valore, dhe kombinimet e tyre lineare janë më të preferueshme

Dhe .

Megjithatë, duke futur një vëllim të kufizuar, ne jemi të detyruar të përdorim sinuset dhe kosinuset, dhe jo kombinimet e tyre lineare, sepse për një vlerë të caktuar, vetëm njëri prej këtyre funksioneve do të jetë zgjidhje, dhe jo të dyja menjëherë. Por nëse neglizhojmë gabimet e vogla që rezultojnë nga ndryshime kaq të vogla në vlerat e , atëherë mund të presim të marrim rezultate të sakta me këto kombinime të reja lineare. Pas normalizimit marrin formën dhe . Meqenëse një valë mund të shihet si një valë, por me një vlerë negative, procedura jonë e re, duke përfshirë kombinimin e dy llojeve të funksioneve valore, zbret në rregullin e mëposhtëm: merrni funksionet valore të një grimce të lirë, normalizoni ato në një segment i gjatësisë së ndryshimit të ndryshores (d.m.th., grupi) dhe zëvendësoni shumat mbi gjendjet me integrale mbi një ndryshore në mënyrë që numri i gjendjeve me vlerat e përfshira në interval të jetë i barabartë me , dhe vetë të ndryshojë nga në .

Kushtet kufitare periodike. Ndonjëherë një ekskursion i tillë drejt kosinuseve dhe sinuseve, dhe më pas përsëri në eksponenciale, mund të anashkalohet duke përdorur argumentin e mëposhtëm. Meqenëse futja e një muri është një teknikë artificiale, pozicioni i tij specifik dhe gjendja kufitare përkatëse nuk duhet të kenë ndonjë rëndësi fizike, përveç nëse muri hiqet mjaftueshëm. Prandaj, në vend të fizikisht kushte të thjeshta ne mund të përdorim të tjera, zgjidhjet për të cilat menjëherë do të rezultojnë të jenë eksponenciale. Këto kushte janë

(4.70)

. (4.71)

Ato quhen kushte kufitare periodike sepse kërkesa për periodicitet me një periudhë në të gjithë hapësirën do të çonte në të njëjtat kushte. Është e lehtë të kontrollohet nëse funksionet janë zgjidhje të normalizuara në intervalin me kusht që , ku është ndonjë numër i plotë (pozitiv ose negativ) ose zero. Kjo ndjek drejtpërdrejt rregullin e formuluar më sipër.

Ne mund të kuptojmë se çfarë ndodh në rastin e tre dimensioneve nëse marrim parasysh një kuti drejtkëndëshe me brinjë të barabartë me , , . Ne përdorim kushte kufitare periodike, domethënë kërkojmë që vlerat e funksionit të valës dhe derivatit të tij të parë në njërën anë të kutisë të jenë në mënyrë simetrike të barabarta me vlerat e tyre në anën e kundërt. Funksioni valor i normalizuar i një grimce të lirë do të jetë produkti

, (4.72)

ku është vëllimi i kutisë, dhe vlerat e pranueshme do të ketë , dhe (, , - numra të plotë). Përveç kësaj, numri i zgjidhjeve me vlera , , , që shtrihen përkatësisht në intervalet , , , është i barabartë me produktin, duhet të futni një faktor shtesë. [Shprehja (4.64) përmban produktin e dy funksioneve valore.] Së dyti, simboli i shumës duhet të zëvendësohet nga integrali . E gjithë kjo justifikon atë që u bë në § 2 të Kapitullit. 4, si dhe rezultatet e daljes në problemin 4.11.

Duhet të theksohet se shumëzuesit anulohen, siç duhet, pasi kerneli nuk duhet të varet nga madhësia e kutisë.

Disa shënime mbi ashpërsinë matematikore. Lexuesi, duke parë zvogëlimin e vëllimit në fund të llogaritjes, mund të ketë një nga dy reagimet: ose kënaqësinë që po zvogëlohet, siç duhet, pasi muret nuk ndikojnë asgjë, ose hutim se përse bëhet gjithçka kështu. shumë i dobët, "i pistë" dhe konfuz, duke përdorur mure që nuk kanë kuptim të vërtetë, etj., kur e gjithë kjo mund të bëhej shumë më elegante dhe rigorozisht matematikisht pa asnjë mur e të ngjashme. Lloji i reagimit që keni varet nëse mendoni fizikisht apo matematikisht. Ka shumë keqkuptime midis matematikanëve dhe fizikantëve për ashpërsinë matematikore në fizikë, kështu që mund të jetë e përshtatshme të vlerësohet secila metodë: arsyetimi i kutisë dhe ashpërsia matematikore.

Kjo, natyrisht, përmban një pyetje më të parëndësishme: cila metodë është më e njohur për ne, d.m.th., kërkon një minimum njohurish të reja? Para se të numëronim numrin e gjendjeve të ndryshme në një kuti, kjo ishte gjëja e parë që menduan shumica e fizikantëve.

Së bashku me këtë, një zgjidhje matematikisht rigoroze mund të mos jetë rigoroze nga pikëpamja fizike; me fjalë të tjera, është e mundur që kutia ekziston në të vërtetë. Mund të mos jetë domosdoshmërisht një kuti drejtkëndëshe, sepse nuk rezulton shpesh që eksperimentet kryhen nën yje; më shpesh ato shpenzohen në dhomë. Edhe pse fizikisht duket mjaft e arsyeshme që muret të mos ndikojnë në eksperiment, megjithatë, një deklaratë e tillë e problemit duhet të konsiderohet si një idealizim. Heqja e mureve deri në pafundësi nuk është më mirë sesa zëvendësimi i tyre me pasqyra ideale mjaft të largëta. Në rastin e parë, shkelet edhe ashpërsia matematikore, pasi muret reale nuk janë në pafundësi.

Qasja e murit në distancë është sa e drejtë dhe rigoroze aq edhe e justifikuar. Ka disa avantazhe. Për shembull, kur vëllimi në formulat përfundimtare zvogëlohet, shohim se të paktën një aspekt i idealizimit është i parëndësishëm - sa larg janë hequr muret. Ky rezultat intuitivisht na bind më tej se vendndodhja e vërtetë e mjedisit aktual mund të mos jetë domethënëse. Së fundi, formula që rezulton është shumë e dobishme kur në fakt kemi një rast të dimensioneve të fundme. Për shembull, në kap. 8 do ta përdorim për të numëruar numrin e të ndryshmeve valët e zërit në një bllok të madh të substancës drejtkëndëshe.

Nga ana tjetër, avantazhi i një qasjeje matematikisht rigoroze është eliminimi i detajeve thelbësisht të panevojshme që nuk përfshihen në rezultat. Megjithëse futja e mureve na lejon të mësojmë diçka se pse ato ende nuk ndikojnë asgjë, megjithatë mund të bindeni për vlefshmërinë e kësaj pa u thelluar në detaje.

Problemi i normalizimit të funksioneve të valës është një shembull mjaft i veçantë, por ai ilustron pikën kryesore. Një fizikan nuk mund ta kuptojë kujdesin e treguar nga një matematikan kur zgjidh një problem fizik të idealizuar. Ai e di se problemi i vërtetë është shumë më i vështirë. Ajo tashmë është thjeshtuar nga intuita, e cila hedh poshtë të parëndësishmen dhe përafron atë që mbetet.

· Kuantike e vëzhgueshme · Funksioni i valës· Mbipozicioni kuantik · Ngatërrimi kuantik · Gjendja e përzier · Matja · Pasiguria · Parimi i Paulit · Dualizmi · Dekoherenca · Teorema e Ehrenfestit · Efekti i tunelit

Eksperimentet
Eksperimenti Davisson-Germer · Eksperiment Popper · Eksperiment Stern-Gerlach · Eksperiment i ri · Testi i pabarazive të Bell · Efekti fotoelektrik · Efekti Compton

Formulimet
Paraqitja e Shrodingerit · Paraqitja e Heisenberg · Paraqitja e ndërveprimit · Mekanika kuantike e matricës · Integralet e rrugës · Diagramet e Feynman

Ekuacionet
Ekuacioni i Schrödinger · Ekuacioni Pauli · Ekuacioni Klein-Gordon · Ekuacioni Dirac · Ekuacioni Schwinger-Tomonaga · Ekuacioni Von Neumann · Ekuacioni i Bloch · Ekuacioni i Lindblad · Ekuacioni i Heisenberg

Interpretimet
Kopenhagë · Teoria e parametrave të fshehur · Shumë botë · Teoria De Broglie-Bohm

Zhvillimi i teorisë
Teoria kuantike e fushës · Elektrodinamika kuantike · Teoria Glashow-Weinberg-Salam · Kromodinamika kuantike · Modeli standard · Graviteti kuantik

Shkencëtarët e njohur
Planck · Einstein · Schrödinger · Heisenberg · Jordan · Bohr · Pauli · Dirac · Fock · Lindur · de Broglie · Landau · Feynman · Bohm · Everett

Shihni gjithashtu: Portali:Fizikë

Funksioni i valës, ose funksioni psi $\psi$ është një funksion me vlerë komplekse që përdoret në mekanikën kuantike për të përshkruar gjendjen e pastër të një sistemi. Është koeficienti i zgjerimit të vektorit të gjendjes mbi një bazë (zakonisht një koordinative):

$\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\djathtas\rangle dx$

Ku $\majtas|x\djathtas\rangle = \majtas|x_1, x_2, \ldots, x_n\djathtas\rangle$ është vektori bazë i koordinatave, dhe $\Psi(x,t)= \langle x\majtas|\psi(t)\djathtas\rangle$ - funksioni valor në paraqitjen e koordinatave.

Normalizimi i funksionit të valës

Funksioni i valës $\Psi$ në kuptimin e tij duhet të plotësojë të ashtuquajturin kusht normalizimi, për shembull, në paraqitjen e koordinatave që ka formën:

$(\int\limits_(V)(\Psi^\ast\Psi)dV)=1$

Ky kusht shpreh faktin se probabiliteti për të gjetur një grimcë me një funksion të caktuar valor kudo në hapësirë është e barabartë me një. Në rastin e përgjithshëm, integrimi duhet të kryhet mbi të gjitha variablat nga të cilët varet funksioni i valës në një paraqitje të caktuar.

Parimi i mbivendosjes së gjendjeve kuantike

Për funksionet valore, parimi i mbivendosjes është i vlefshëm, që është se nëse një sistem mund të jetë në gjendje të përshkruar nga funksionet valore $\Psi_1$ Dhe $\Psi_2$ , atëherë mund të jetë edhe në një gjendje të përshkruar nga funksioni valor

$\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2$ për çdo kompleks $c_1$ Dhe $c_2$ .

Natyrisht, mund të flasim për mbivendosjen (imponimin) e çdo numri gjendjesh kuantike, domethënë për ekzistencën e një gjendje kuantike të sistemit, e cila përshkruhet nga funksioni valor $\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + (c)_N(\Psi)_N=\sum_(n=1)^(N) (c)_n(\Psi)_n$ .

Në këtë gjendje, katrori i modulit të koeficientit $(c)_n$ përcakton probabilitetin që, kur matet, sistemi të zbulohet në një gjendje të përshkruar nga funksioni valor $(\Psi)_n$ .

Prandaj, për funksionet valore të normalizuara $\sum_(n=1)^(N)\majtas|c_(n)\djathtas|^2=1$ .

Kushtet për rregullsinë e funksionit valor

Kuptimi probabilistik i funksionit valor imponon kufizime ose kushte të caktuara në funksionet valore në problemet e mekanikës kuantike. Këto kushte standarde shpesh quhen kushtet për rregullsinë e funksionit valor.

Kushti për fundshmërinë e funksionit valor. Funksioni i valës nuk mund të marrë vlera të pafundme të tilla që integrali $(1)$ do të bëhet divergjente. Rrjedhimisht, ky kusht kërkon që funksioni i valës të jetë një funksion i integrueshëm në mënyrë kuadratike, domethënë t'i përkasë hapësirës Hilbert. $L^2$ . Në veçanti, në problemet me një funksion valor të normalizuar, moduli në katror i funksionit të valës duhet të priret në zero në pafundësi.
Kushti për veçantinë e funksionit valor. Funksioni i valës duhet të jetë një funksion i paqartë i koordinatave dhe kohës, pasi densiteti i probabilitetit të zbulimit të një grimce duhet të përcaktohet në mënyrë unike në çdo problem. Në problemet që përdorin një sistem koordinativ cilindrik ose sferik, kushti i unicitetit çon në periodicitetin e funksioneve të valës në ndryshore këndore.
Kushti për vazhdimësinë e funksionit valor. Në çdo moment në kohë, funksioni i valës duhet të jetë një funksion i vazhdueshëm i koordinatave hapësinore. Përveç kësaj, derivatet e pjesshme të funksionit të valës duhet të jenë gjithashtu të vazhdueshme $\frac(\partial \Psi)(\x pjesshme)$ , $\frac(\partial \Psi)(\partial y)$ , $\frac(\partial \Psi)(\partial z)$ . Këto derivate të pjesshme të funksioneve vetëm në raste të rralla të problemeve me fusha të forcave të idealizuara mund të jenë të ndërprera në ato pika të hapësirës ku energji potenciale, e cila përshkruan fushën e forcës në të cilën grimca lëviz, përjeton një ndërprerje të llojit të dytë.

Funksioni valor në paraqitje të ndryshme

Bashkësia e koordinatave që veprojnë si argumente funksioni përfaqëson një sistem të plotë të vëzhguesve në lëvizje. Në mekanikën kuantike është e mundur të zgjidhen disa grupe të plota të vëzhgueshme, kështu që funksioni valor i së njëjtës gjendje mund të shkruhet në terma të argumenteve të ndryshëm. Përcakton grupi i plotë i sasive të zgjedhura për të regjistruar funksionin e valës përfaqësimi i funksionit valor. Kështu, një përfaqësim koordinativ, një përfaqësim i momentit është i mundur në teorinë kuantike të fushës, kuantizimi sekondar dhe përfaqësimi i numrave të okupimit ose përfaqësimi Fock, etj.

Nëse funksioni i valës, për shembull, i një elektroni në një atom, jepet në paraqitjen e koordinatave, atëherë moduli në katror i funksionit të valës përfaqëson densitetin e probabilitetit të zbulimit të një elektroni në një pikë të caktuar në hapësirë. Nëse i njëjti funksion valor jepet në paraqitjen e impulsit, atëherë katrori i modulit të tij përfaqëson densitetin e probabilitetit të zbulimit të një impulsi të veçantë.

Formulimet e matricës dhe vektorit

Funksioni valor i së njëjtës gjendje në paraqitje të ndryshme do të korrespondojë me shprehjen e të njëjtit vektor në sisteme të ndryshme koordinative. Operacionet e tjera me funksione valore do të kenë gjithashtu analoge në gjuhën e vektorëve. Në mekanikën valore, përdoret një paraqitje ku argumentet e funksionit psi janë sistemi i plotë të vazhdueshme duke lëvizur të vëzhgueshmet, dhe paraqitja e matricës përdor një paraqitje ku argumentet e funksionit psi janë sistemi i plotë diskrete të vëzhgueshmet e udhëtimit. Prandaj, formulimet funksionale (valë) dhe matricë janë padyshim ekuivalente matematikisht.

Kuptimi filozofik i funksionit valor

Funksioni i valës është një metodë për të përshkruar gjendjen e pastër të një sistemi mekanik kuantik. Gjendjet kuantike të përziera (në statistikat kuantike) duhet të përshkruhen nga një operator si një matricë densiteti. Kjo do të thotë, disa funksione të përgjithësuara të dy argumenteve duhet të përshkruajnë korrelacionin midis vendndodhjes së një grimce në dy pika.

Duhet kuptuar se problemi që zgjidh mekanika kuantike është një problem në thelbin e tij. metodë shkencore njohja e botës.

Shihni gjithashtu

Shkruani një përmbledhje në lidhje me artikullin "Funksioni i valës"

Letërsia

Fizike fjalor enciklopedik/ Ch. ed. A. M. Prokhorov. Ed. numëroj D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov dhe të tjerë - M.: Sov. Enciklopedi, 1984. - 944 f.

Lidhjet

Mekanika kuantike- artikull nga Enciklopedia e Madhe Sovjetike.

Kjo letër nuk i ishte dorëzuar ende sovranit kur Barclay i tha Bolkonsky në darkë se sovrani do të dëshironte të shihte personalisht Princin Andrei për ta pyetur atë për Turqinë dhe se Princi Andrei do të shfaqej në apartamentin e Bennigsen në orën gjashtë të mëngjesit. mbrëmje.
Në të njëjtën ditë, në banesën e sovranit u mor lajmi për lëvizjen e re të Napoleonit, e cila mund të ishte e rrezikshme për ushtrinë - lajm që më vonë rezultoi i padrejtë. Dhe po atë mëngjes, koloneli Michaud, duke vizituar fortifikimet e Dries me sovranin, i dëshmoi sovranit se ky kamp i fortifikuar, i ndërtuar nga Pfuel dhe i konsideruar deri më tani mjeshtër i taktikave, i destinuar për të shkatërruar Napoleonin, - se ky kamp ishte marrëzi dhe shkatërrim rus. ushtria.
Princi Andrei mbërriti në banesën e gjeneralit Bennigsen, i cili zinte shtëpinë e një pronari të vogël tokash në bregun e lumit. As Bennigsen dhe as sovrani nuk ishin aty, por Chernyshev, ndihmësi i sovranit, priti Bolkonsky dhe i njoftoi atij se sovrani kishte shkuar me gjeneralin Bennigsen dhe Markezin Paulucci një herë tjetër atë ditë për të vizituar fortifikimet e Drissa. kampi, komoditeti i të cilit kishte filluar të vihej në dyshim serioz.
Chernyshev ishte ulur me një libër të një romani francez në dritaren e dhomës së parë. Kjo dhomë ndoshta ka qenë më parë një sallë; kishte ende një organ në të, mbi të cilin ishin grumbulluar disa qilima dhe në një cep qëndronte shtrati i palosshëm i adjutantit Bennigsen. Ky adjutant ishte këtu. Ai, me sa duket i rraskapitur nga një festë apo punë, u ul në një shtrat të mbështjellë dhe dremiste. Dy dyer të çonin nga korridori: njëra drejt e në ish-dhomen e ndenjes, tjetra djathtas në zyrë. Nga dera e parë dëgjoheshin zëra që flisnin në gjermanisht dhe herë pas here në frëngjisht. Atje, në ish-dhomen e ndenjes, me kërkesë të sovranit, nuk u mblodh një këshill ushtarak (sovrani e donte pasigurinë), por disa njerëz, mendimet e të cilëve për vështirësitë e ardhshme, donte të dinte. Ky nuk ishte një këshill ushtarak, por, si të thuash, një këshill i të zgjedhurve për të sqaruar disa çështje personalisht për sovranin. Të ftuar në këtë gjysmë këshill ishin: gjenerali suedez Armfeld, gjenerali adjutanti Wolzogen, Wintzingerode, të cilin Napoleoni e quajti një subjekt francez të arratisur, Michaud, Tol, aspak ushtarak - Konti Stein dhe, së fundi, vetë Pfuel, i cili, si Princi Andrei dëgjoi se ishte la cheville ouvriere [baza] e gjithë çështjes. Princi Andrei pati mundësinë ta shikonte mirë, pasi Pfuhl mbërriti menjëherë pas tij dhe hyri në dhomën e ndenjes, duke u ndalur për një minutë për të folur me Chernyshev.
Në pamje të parë, Pfuhl, me uniformën e tij të gjeneralit rus të qepur keq, e cila i ulej në siklet, si i veshur, dukej i njohur për princin Andrei, megjithëse ai nuk e kishte parë kurrë. Ai përfshinte Weyrother, Mack, Schmidt dhe shumë gjeneralë të tjerë teorikë gjermanë, të cilët Princi Andrei arriti t'i shihte në 1805; por ai ishte më tipik se të gjithë. Princi Andrei nuk kishte parë kurrë një teoricien të tillë gjerman, i cili kombinonte në vetvete gjithçka që ishte në ata gjermanë.
Pfuel ishte i shkurtër, shumë i hollë, por me kocka të gjera, me një strukturë të ashpër, të shëndetshme, me legen të gjerë dhe shpatulla kockore. Fytyra e tij ishte shumë e rrudhur, me sy të thellë. Flokët e tij përpara, afër tëmthit, ishin qartë të lëmuar me ngut me një furçë dhe të mbërthyer në mënyrë naive me xhufka në pjesën e pasme. Ai, duke parë përreth i shqetësuar dhe i zemëruar, hyri në dhomë, sikur kishte frikë nga gjithçka në dhomën e madhe në të cilën hyri. Ai, duke mbajtur shpatën me një lëvizje të sikletshme, iu drejtua Chernyshev, duke pyetur në gjermanisht se ku ishte sovrani. Me sa duket ai donte të kalonte nëpër dhoma sa më shpejt të ishte e mundur, të përfundonte përkuljen dhe përshëndetjet dhe të ulej të punonte përballë hartës, ku ndihej si në shtëpinë e tij. Ai tundi kokën me nxitim ndaj fjalëve të Chernyshev dhe buzëqeshi me ironi, duke dëgjuar fjalët e tij se sovrani po inspektonte fortifikimet që ai, vetë Pfuel, kishte vendosur sipas teorisë së tij. Ai murmuriti diçka në mënyrë bazike dhe gjakftohtë, siç thonë gjermanët me vetëbesim, me vete: Dummkopf... ose: zu Grunde die ganze Geschichte... ose: s"wird was gescheites d"raus werden... [pakuptimësi... në dreq me gjithë këtë... (Gjermanisht) ] Princi Andrei nuk dëgjoi dhe donte të kalonte, por Chernyshev e prezantoi Princin Andrei me Pful, duke vënë në dukje se Princi Andrei erdhi nga Turqia, ku lufta kishte mbaruar me kaq lumturi. Pful pothuajse e shikoi jo aq shumë Princin Andrei sesa përmes tij, dhe tha duke qeshur: "Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein". ["Duhet të ketë qenë një luftë e saktë taktike." (Gjermanisht)] - Dhe, duke qeshur me përbuzje, ai hyri në dhomë nga ku u dëgjuan zëra.
Me sa duket, Pfuhl, i cili ishte gjithmonë gati për acarim ironik, tani ishte veçanërisht i emocionuar nga fakti që ata guxuan të inspektonin kampin e tij pa të dhe ta gjykonin. Princi Andrei, nga ky takim i shkurtër me Pfuel, falë kujtimeve të tij të Austerlitz, përpiloi një përshkrim të qartë të këtij njeriu. Pfuel ishte një nga ata njerëz pa shpresë, pa ndryshim, me vetëbesim deri në martirizim, që mund të jenë vetëm gjermanët, dhe pikërisht sepse vetëm gjermanët kanë vetëbesim në bazë të një ideje abstrakte - shkencës, domethënë njohurive imagjinare. të së vërtetës së përsosur. Francezi është i sigurt në vetvete, sepse e konsideron veten personalisht, si në mendje ashtu edhe në trup, si simpatik i papërmbajtshëm si për burrat ashtu edhe për gratë. Një anglez ka besim në vetvete me arsyetimin se është qytetar i shtetit më të rehatshëm në botë, dhe për këtë arsye, si anglez, ai gjithmonë e di se çfarë duhet të bëjë dhe e di se gjithçka që bën si anglez është padyshim. mirë. Italiani ka vetëbesim sepse emocionohet dhe harron lehtësisht veten dhe të tjerët. Rusi është i sigurt në vetvete pikërisht sepse nuk di asgjë dhe nuk dëshiron të dijë, sepse nuk beson se është e mundur të dish plotësisht asgjë. Gjermani është më i sigurti në vetvete nga të gjithë, më i vendosuri nga të gjithë dhe më i neveritshmi nga të gjithë, sepse imagjinon se e di të vërtetën, një shkencë që ai vetë e shpiku, por që për të është e vërteta absolute. Ky, padyshim, ishte Pfuel. Ai kishte një shkencë - teorinë e lëvizjes fizike, të cilën e nxori nga historia e luftërave të Frederikut të Madh dhe gjithçka që hasi në histori moderne luftërat e Frederikut të Madh dhe gjithçka që ai hasi në kohët moderne histori ushtarake, i dukej marrëzi, barbarizëm, një përplasje e shëmtuar, në të cilën u bënë aq shumë gabime nga të dyja palët, sa që këto luftëra nuk mund të quheshin luftëra: nuk i përshtateshin teorisë dhe nuk mund të shërbenin si lëndë e shkencës.
Në 1806, Pfuel ishte një nga hartuesit e planit për luftën që përfundoi me Jena dhe Auerstätt; por në rezultatin e kësaj lufte ai nuk pa asnjë provë më të vogël të pasaktësisë së teorisë së tij. Përkundrazi, devijimet e bëra nga teoria e tij, sipas koncepteve të tij, ishin arsyeja e vetme e gjithë dështimit dhe ai me ironinë e tij karakteristike të gëzueshme tha: “Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird. ” [Në fund të fundit, thashë se e gjithë puna do të shkonte në ferr (gjermanisht)] Pfuhl ishte një nga ata teoricienët që e duan aq shumë teorinë e tyre, saqë harrojnë qëllimin e teorisë - zbatimin e saj në praktikë; Në dashurinë e tij për teorinë, ai urrente çdo praktikë dhe nuk donte ta dinte atë. Madje ai gëzohej për dështimin, sepse dështimi, i cili rezultoi nga një devijim në praktikë nga teoria, vetëm se i vërtetoi vlefshmërinë e teorisë së tij.
Ai tha disa fjalë me Princin Andrei dhe Chernyshev për luftën e vërtetë me shprehjen e një njeriu që e di paraprakisht se gjithçka do të jetë keq dhe se ai as nuk është i pakënaqur me të. Tufat e çrregullta të flokëve që i dilnin në pjesën e prapme të kokës dhe tempujt e lëmuar me ngut, e konfirmuan veçanërisht me elokuencë këtë.
Ai hyri në një dhomë tjetër dhe prej andej u dëgjuan menjëherë tingujt e zhurmshëm dhe rënkues të zërit të tij.

Para se Princi Andrei të kishte kohë të ndiqte Pfuelin me sytë e tij, konti Bennigsen hyri me nxitim në dhomë dhe, duke tundur kokën drejt Bolkonsky, pa u ndalur, hyri në zyrë, duke i dhënë disa urdhëra ndihmësit të tij. Perandori po e ndiqte dhe Bennigsen nxitoi përpara për të përgatitur diçka dhe për të pasur kohë për të takuar Perandorin. Chernyshev dhe Princi Andrei dolën në verandë. Perandori zbriti nga kali me një vështrim të lodhur. Markez Paulucci i tha diçka sovranit. Perandori, duke ulur kokën majtas, dëgjoi me një vështrim të pakënaqur Pauluccin, i cili foli me zjarr të veçantë. Perandori eci përpara, me sa duket donte të përfundonte bisedën, por italiani i skuqur, i emocionuar, duke harruar mirësjelljen, e ndoqi duke vazhduar të thoshte:
"Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [Sa i përket atij që këshilloi kampin e Drissa", tha Paulucci, ndërsa sovrani, duke hyrë në shkallët dhe duke vënë re Princin Andrei, vështroi në një fytyrë të panjohur.

Bazuar në idenë se një elektron ka veti valore. Schrödinger në 1925 sugjeroi që gjendja e një elektroni që lëviz në një atom duhet të përshkruhet nga ekuacioni i një valë elektromagnetike në këmbë, të njohur në fizikë. Duke zëvendësuar vlerën e tij nga ekuacioni de Broglie në vend të gjatësisë së valës në këtë ekuacion, ai përftoi një ekuacion të ri që lidh energjinë e elektronit me koordinatat hapësinore dhe të ashtuquajturin funksion valor, që korrespondon në këtë ekuacion me amplituda e procesit të valës tredimensionale. .

Funksioni valor është veçanërisht i rëndësishëm për karakterizimin e gjendjes së elektronit. Ashtu si amplituda e çdo procesi valor, ai mund të marrë edhe pozitive dhe vlerat negative. Sidoqoftë, vlera është gjithmonë pozitive. Për më tepër, ai ka një veti të jashtëzakonshme: sa më e madhe të jetë vlera në një rajon të caktuar të hapësirës, aq më e lartë është probabiliteti që elektroni të shfaqë veprimin e tij këtu, domethënë që ekzistenca e tij të zbulohet në ndonjë proces fizik.

Deklarata e mëposhtme do të jetë më e saktë: probabiliteti i zbulimit të një elektroni në një vëllim të caktuar të vogël shprehet nga produkti. Kështu, vetë vlera shpreh densitetin e probabilitetit të gjetjes së një elektroni në rajonin përkatës të hapësirës.

Oriz. 5. Reja elektronike e atomit të hidrogjenit.

Për të kuptuar kuptimin fizik të katrorit të funksionit valor, merrni parasysh Fig. 5, i cili përshkruan një vëllim të caktuar pranë bërthamës së një atomi hidrogjeni. Dendësia e pikave në Fig. 5 është proporcionale me vlerën në vendin përkatës: sa më e madhe të jetë vlera, aq më të dendura janë pikat. Nëse një elektron kishte vetitë e një pike materiale, atëherë Fig. 5 mund të merret duke vëzhguar në mënyrë të përsëritur atomin e hidrogjenit dhe çdo herë duke shënuar vendndodhjen e elektronit: dendësia e pikave në figurë do të ishte më e madhe, sa më shpesh elektroni të zbulohet në rajonin përkatës të hapësirës ose, me fjalë të tjera, aq më e madhe është probabiliteti i zbulimit të tij në këtë rajon.

Ne e dimë, megjithatë, se ideja e një elektroni si një pikë materiale nuk korrespondon me natyrën e tij të vërtetë fizike. Prandaj Fig. Është më e saktë të konsiderohet 5 si një paraqitje skematike e një elektroni "të lyer" në të gjithë vëllimin e një atomi në formën e të ashtuquajturës re elektronike: sa më të dendura të jenë pikat në një vend ose në një tjetër, aq më i madh është dendësia e resë elektronike. Me fjalë të tjera, dendësia e resë elektronike është proporcionale me katrorin e funksionit të valës.

Ideja e gjendjes së një elektroni si një re ngarkesë elektrike rezulton të jetë shumë i përshtatshëm, përcjell mirë tiparet kryesore të sjelljes së elektronit në atome dhe molekula dhe do të përdoret shpesh në prezantimin pasues. Në të njëjtën kohë, megjithatë, duhet të kihet parasysh se reja e elektroneve nuk ka kufij të caktuar, të përcaktuar qartë: edhe në një distancë të madhe nga bërthama, ka një probabilitet, megjithëse shumë të vogël, për të zbuluar një elektron. Prandaj, me re elektronike ne do të kuptojmë në mënyrë konvencionale rajonin e hapësirës afër bërthamës së një atomi në të cilin është përqendruar pjesa mbizotëruese (për shembull, ) e ngarkesës dhe masës së elektronit. Një përkufizim më i saktë i këtij rajoni të hapësirës është dhënë në faqen 75.

Funksioni i valës, ose funksioni psi ψ (\displaystyle \psi) - funksion me vlerë komplekse, përdoret në mekanika kuantike për përshkrim gjendje e pastër e sistemit. Është koeficienti i zgjerimit vektori i gjendjes sipas bazës (zakonisht koordinon):

Ku ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x , t) |është vektori bazë i koordinatave, dhe x ⟩ d x (\displaystyle \majtas|\psi (t)\djathtas\rangle =\int \Psi (x,t)\majtas|x\djathtas\rangle dx)|

Normalizimi i funksionit të valës

Funksioni i valës x⟩ = | në kuptimin e tij duhet të plotësojë të ashtuquajturin kusht normalizimi, për shembull, në paraqitjen e koordinatave që ka formën:

x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \majtas|x\djathtas\rangle =\majtas|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\djathtas\rangle )

Parimi i mbivendosjes së gjendjeve kuantike

Ψ(x, t) = ⟨x | - funksioni valor në paraqitjen e koordinatave.Ψ (\displaystyle \Psi) ∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1) Dhe Për funksionet valore është e vërtetë, atëherë mund të jetë edhe në një gjendje të përshkruar nga funksioni valor

Parimi i mbivendosjes për çdo kompleks parimi i mbivendosjes Dhe , i cili konsiston në faktin se nëse sistemi mund të jetë në gjendje të përshkruara nga funksionet valore.

Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)).

Në këtë gjendje, katrori i modulit të koeficientit Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)) përcakton probabilitetin që, kur matet, sistemi të zbulohet në një gjendje të përshkruar nga funksioni valor c 1 (\displaystyle c_(1)).

Prandaj, për funksionet valore të normalizuara c 2 (\displaystyle c_(2)).

Kushtet për rregullsinë e funksionit valor

Funksioni valor në paraqitje të ndryshme Natyrisht, mund të flasim për mbivendosjen (shtimin) e çdo numri gjendjesh kuantike, domethënë për ekzistencën e një gjendje kuantike të sistemit, e cila përshkruhet nga funksioni valor vektoriale në sisteme të ndryshme koordinative. Operacionet e tjera me funksione valore do të kenë gjithashtu analoge në gjuhën e vektorëve. Në mekanikën valore, përdoret një paraqitje ku argumentet e funksionit psi janë sistemi i plotë të vazhdueshme duke lëvizur të vëzhgueshmet, dhe paraqitja e matricës përdor një paraqitje ku argumentet e funksionit psi janë sistemi i plotë diskrete të vëzhgueshmet e udhëtimit. Prandaj, formulimet funksionale (valë) dhe matricë janë padyshim ekuivalente matematikisht.