Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка , прямая a и требуется найти расстояние от точки А до прямой a .
Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М 1 до прямой a сводится к нахождению расстояния от точки М 1 до точки H 1 , где H 1 - основание перпендикуляра, опущенного из точкиМ 1 на прямую a . Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.
Итак, приступим.
Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
Так
как по определению расстояние от
точки М
1
до
прямой a
–
это длина перпендикуляраM
1
H
1
,
то, определив координаты точки H
1
,
мы сможем вычислить искомое расстояние
как расстояние между точками 
и 
по
формуле .
Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М 1 к прямой a . Сделать это достаточно просто: точка H 1 – это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .
Следовательно, алгоритм,
позволяющий определять расстояние от
точки
до
прямой
a
в
пространстве
,
таков:
Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
Так
как в условии задачи нам задана прямая a
,
то мы можем определить ее направляющий
вектор 
и
координаты некоторой
точки М
3
,
лежащей на прямой a
.
Тогда по координатам точек и 
мы
можем вычислить координаты вектора : (при
необходимости обращайтесь к статье
координаты
вектора через координаты точек его
начала и конца).
Отложим
векторы 
и от
точки М
3
и
построим на них параллелограмм. В этом
параллелограмме проведем высоту М
1
H
1
.
Очевидно, высота М 1 H 1 построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точкиМ 1 до прямой a . Найдем .
С
одной стороны площадь параллелограмма
(обозначим ее S
)
может быть найдена черезвекторное
произведение векторов 
и по
формуле 
.
С другой стороны площадь параллелограмма
равна произведению длины его стороны
на высоту, то есть, 
,
где 
- длина
вектора 
,
равная длине стороны рассматриваемого
параллелограмма. Следовательно,
расстояние от
заданной точки М
1
до
заданной прямой a
может
быть найдена из равенства 
как 
.
Итак, чтобы
найти расстояние от точки
до
прямой
a
в
пространстве нужно
Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите
расстояние от точки 
до
прямой 
.
Решение.
Первый способ.
Напишем уравнение плоскости , проходящей через точку М 1 перпендикулярно заданной прямой:
Найдем
координаты точки H
1
-
точки пересечения плоскости и
заданной прямой. Для этого выполним переход
от канонических уравнений прямой к
уравнениям двух пересекающихся
плоскостей
после
чего решим систему линейных
уравнений 
методом
Крамера:
Таким образом, .
Осталось
вычислить требуемое расстояние от точки
до прямой как расстояние между
точками 
и :
.
Второй способ.
Числа,
стоящие в знаменателях дробей в
канонических уравнениях прямой,
представляют собой соответствующие
координаты направляющего вектора этой
прямой, то есть, 
-
направляющий вектор прямой 
.
Вычислим его длину: 
.
Очевидно,
что прямая 
проходит
через точку 
,
тогда вектор с началом в точке 
и
концом в точке 
есть 
.
Найдем векторное произведение
векторов 
и 
:
тогда
длина этого векторного произведения
равна 
.
Теперь
мы располагаем всеми данными, чтобы
воспользоваться формулой для вычисления
расстояния от заданной точки до заданной
плоскости: 
.
Ответ:
Взаимное расположение прямых в пространстве
Умение находить расстояние между разными геометрическими объектами важно, когда выполняются расчеты площади поверхности фигур и их объемов. В данной статье рассмотрим вопрос о том, как находить от точки до прямой расстояние в пространстве и на плоскости.
Математическое описание прямой
Чтобы понять, как находить расстояние от точки до прямой, следует разобраться с вопросом математического задания этих геометрических объектов.
С точкой все просто, она описывается набором координат, число которых соответствует мерности пространства. Например, на плоскости это две координаты, в трехмерном пространстве - три.
Что касается одномерного объекта - прямой, то для ее описания применяют несколько видов уравнений. Рассмотрим только два из них.
Первый вид называется векторным уравнением. Ниже приведены выражения для прямых в трехмерном и двумерном пространстве:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)
В этих выражениях координаты с нулевыми индексами описывают точку, через которую проходит заданная прямая, набор координат (a; b; c) и (a; b) - это так называемые направляющие вектора для соответствующей прямой, α - это параметр, который может принимать любое действительное значение.
Векторное уравнение удобно в том плане, что оно явно содержит вектор направления прямой, координаты которого можно использовать при решении задач параллельности или перпендикулярности разных геометрических объектов, например двух прямых.
Второй вид уравнения, который мы рассмотрим для прямой, называется общим. В пространстве этот вид задается общими уравнениями двух плоскостей. На плоскости же он имеет следующую форму:
A × x + B × y + C = 0
Когда выполняют построение графика, то его часто записывают зависимостью от икса/игрека, то есть:
y = -A / B × x +(-C / B)
Здесь свободный член -C / B соответствует координате пересечения прямой с осью y, а коэффициент -A / B связан с углом наклона прямой к оси x.
Понятие о расстоянии между прямой и точкой
Разобравшись с уравнениями, можно непосредственно переходить к ответу на вопрос о том, как находить от точки до прямой расстояние. В 7 классе школы начинают рассматривать этот вопрос с определения соответствующей величины.
Расстоянием между прямой и точкой называется длина перпендикулярного этой прямой отрезка, который опущен из рассматриваемой точки. Ниже на рисунке изображена прямая r и точка A. Синим цветом показан перпендикулярный прямой r отрезок. Его длина является искомым расстоянием.
Здесь изображен двумерный случай, тем не менее данное определение расстояния справедливо и для трехмерной задачи.
Необходимые формулы
В зависимости от того, в каком виде записано уравнение прямой и в каком пространстве решается задача, можно привести две основные формулы, дающие ответ на вопрос о том, как найти расстояние между прямой и точкой.
Обозначим известную точку символом P 2 . Если уравнение прямой задано в векторном виде, то для d расстояния между рассматриваемыми объектами справедлива формула:
d = || / |v¯|
То есть для определения d следует вычислить модуль векторного произведения направляющего для прямой вектора v¯ и вектора P 1 P 2 ¯, начало которого лежит в произвольной точке P 1 на прямой, а конец находится в точке P 2 , затем поделить этот модуль на длину v¯. Эта формула является универсальной для плоского и трехмерного пространства.
Если задача рассматривается на плоскости в системе координат xy и уравнение прямой задано в общем виде, тогда следующая формула найти расстояние от прямой до точки позволяет так:
Прямая: A × x + B × y + C = 0;
Точка: P 2 (x 2 ; y 2 ; z 2);
Расстояние: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)
Приведенная формула является достаточно простой, однако ее использование ограничено отмеченными выше условиями.
Координаты проекции точки на прямую и расстояние
Ответить на вопрос о том, как находить расстояние от точки до прямой, можно также другим способом, не предполагающим запоминание приведенных формул. Этот способ заключается в определении точки на прямой, которая является проекцией исходной точки.
Предположим, что имеется точка M и прямая r. Проекция на r точки M соответствует некоторой точке M 1 . Расстояние от M до r равно длине вектора MM 1 ¯.
Как найти координаты M 1 ? Очень просто. Достаточно вспомнить, что вектор прямой v¯ будет перпендикулярен MM 1 ¯, то есть их скалярное произведение должно быть равным нулю. Добавляя к этому условию тот факт, что координаты M 1 должны удовлетворять уравнению прямой r, мы получаем систему простых линейных уравнений. В результате ее решения получаются координаты проекции точки M на r.
Описанная в этом пункте методика нахождения расстояния от прямой до точки может использоваться для плоскости и для пространства, однако ее применение предполагает знание векторного уравнения для прямой.
Задача на плоскости
Теперь пришло время показать, как использовать представленный математический аппарат для решения реальных задач. Предположим, что на плоскости задана точка M(-4; 5). Необходимо расстояние найти от точки М до прямой, которая описывается уравнением общего вида:
3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5
То есть M не лежит на прямой.
Поскольку уравнение прямой задано не в общем виде, приведем его к таковому, чтобы иметь возможность воспользоваться соответствующей формулой, имеем:
y = 3 × x + 6 =>
3 × x - y + 6 = 0
Теперь можно подставлять известные числа в формулу для d:
d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =
= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48
Задача в пространстве
Теперь рассмотрим случай в пространстве. Пусть прямая описывается следующим уравнением:
(x; y; z) = (1; -1 ; 0) + α × (3; -2; 1)
Чему равно расстояние от нее до точки M(0; 2; -3)?
Так же, как и в предыдущем случае, проверим принадлежность M заданной прямой. Для этого подставим координаты в уравнение и перепишем его в явном виде:
x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;
y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;
Поскольку получены разные параметры α, то M не лежит на этой прямой. Рассчитаем теперь расстояние от нее до прямой.
Чтобы воспользоваться формулой для d, возьмем произвольную точку на прямой, например P(1; -1; 0), тогда:
Вычислим векторное произведение между PM¯ и прямой v¯. Получаем:
= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)
Теперь подставляем модули найденного вектора и вектора v¯ в формулу для d, получаем:
d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95
Этот ответ можно было получить, воспользовавшись описанной выше методикой, предполагающей решение системы линейных уравнений. В этой и предыдущей задачах вычисленные значения расстояния от прямой до точки представлены в единицах соответствующей системы координат.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение.
Вывод формулы расстояния от точки до прямой
Вариант 1
Пусть на плоскости дана прямая l : ax + by + c = 0 и точка M 1 (x 1 ;y 1 ), не принадлежащая этой прямой. Найдем расстояние от точки до прямой. Под расстоянием ρ от точки M 1 до прямой l понимают длину отрезка M 0 M 1 ⏊l .
Для определения расстояния удобно использовать единичный вектор, коллинеарный нормальному вектору прямой.
Пояснение
:
поскольку точка M 0
лежит в на прямой l
, то ее координаты должны удовлетворять уравнению данной прямой, т.е. ax 0
+ by 0
+ c
= 0
Вариант 2
Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство.
Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:
(1)
Координаты
x
1
и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим
:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
.
Теорема доказана.
Метод координат (расстояние между точкой и плоскостью, между прямыми)
Расстояние между точкой и плоскостью.
Расстояние между точкой и прямой.
Расстояние между двумя прямыми.
Первое, что полезно знать, это как найти расстояние от точки до плоскости:
Значения A, B, C, D - коэффициенты плоскости
x, y, z - координаты точки
Задача. Найти расстояние между точкой А = (3; 7; −2) и плоскостью 4x + 3y + 13z - 20 = 0.
Все дано, можно сразу подставить значения в уравнение:
Задача. Найдите расстояние от точки К = (1; −2; 7) до прямой, проходящей через точки V = (8; 6; −13) и T = (−1; −6; 7).
- Находим вектор прямой.
- Вычисляем вектор, проходящий через искомую точку и любую точку на прямой.
- Задаем матрицу и находим определитель по двум полученным векторам в 1-ом и 2-ом пункте.
- Расстояние получим, когда квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов матрицы поделим на длину вектора, который задает прямую (Думаю непонятно, поэтому перейдем к конкретному примеру).
1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)
2) Вектор найдем через точки K и T, хотя так же можно было бы через K и V или любую другую точку на данной прямой.
TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)
3) Получится м атрица без коэффициента D (здесь он не нужен для решения):
4) Плоскость получилась с коэффициентами А = 80, В = 40, С = 12,
x, y, z - координаты вектора прямой, в данном случае - вектор TV имеет координаты (9; 12; −20)
Задача.
Найти расстояние между прямой, проходящей через точки Е = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), и прямой, проходящей через точки M = (4; −1; 4), L = (−2; 3; 0).
- Задаем векторы обеих прямых.
- Находим вектор, взяв по одной точке с каждой прямой.
- Записываем матрицу из 3-х векторов (две строчки из 1-го пункта, одна строчка из 2-го) и находим ее численный определитель.
- Задаем матрицу из двух первых векторов (в пункте 1). Первую строчку задаем как x, y, z.
- Расстояние получим, когда разделим получившееся значение из пункта 3 по модулю на квадратный корень из суммы квадратов пункта 4.
Перейдем к цифрам.
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости
Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y) до прямой можно найти, используя следующую формулу
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости
Пример 1.
Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).
Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки
Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.
уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости
Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой плоскости.
Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы:
а)
точка 
;
б) ненулевой вектор (рис.4.8,а).
Требуется
составить уравнение плоскости, проходящей
через точку 
перпендикулярно
векторуКонец
доказательства.
Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.
1) Общее уравнение плоскости P .
Из вывода уравнения следует, что одновременно A , B и C не равны 0 (объясните почему).
Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A , B , C и D плоскость P занимает то или иное положение:
‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат,
‑ плоскость параллельна оси X ,
X ,
‑ плоскость параллельна оси Y ,
‑ плоскость не параллельна оси Y ,
‑ плоскость параллельна оси Z ,
‑ плоскость не параллельна оси Z .
Докажите эти утверждения самостоятельно.
Уравнение
(6) легко выводится из уравнения (5).
Действительно, пусть точка лежит
на плоскости P
.
Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнениюВычитая
из уравнения (5) уравнение (7) и группируя
слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим
теперь два вектора с координатами соответственно.
Из формулы (6) следует, что их скалярное
произведение равно нулю. Следовательно,
вектор перпендикулярен
вектору Начало
и конец последнего вектора находятся
соответственно в точках которые
принадлежат плоскости P
.
Следовательно, вектор перпендикулярен
плоскости P
.
Расстояние от точкидо
плоскости P
,
общее уравнение которой
определяется
по формуле
Доказательство
этой формулы полностью аналогично
доказательству формулы расстояния
между точкой и прямой (см. рис. 2).
Рис.
2. К выводу формулы расстояния между
плоскостью и прямой.
Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно
где ‑
точка лежащая на плоскости. Отсюда, как
и в лекции № 11, получается выше приведенная
формула. Две плоскости параллельны,
если параллельны их нормальные вектора.
Отсюда получаем условие параллельности
двух плоскостей
‑
коэффициенты общих уравнений плоскостей .
Две плоскости перпендикулярны, если
перпендикулярны их нормальные вектора,
отсюда получаем условие перпендикулярности
двух плоскостей, если известны их общие
уравнения
Угол f
между
двумя плоскостями равен углу между их
нормальными векторами (см. рис. 3) и может,
поэтому, быть вычислен по формуле
Определение
угла между плоскостями.
(11)
Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения
Расстояние
от точки до
плоскости
–
длина перпендикуляра, опущенного из
точки на эту плоскость.
Существует,
по крайней мере, два способа найти
расстояние от точки до
плоскости:геометрический
и алгебраический
.
При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.
После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).
При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.