सूत्र की ज्यामितीय प्रगति कैसी है। उदाहरणों पर ज्यामितीय प्रगति

गणित वह है, जिससेलोग प्रकृति को नियंत्रित करते हैं और खुद से।

सोवियत गणितज्ञ, अकादमिक एएन। Kolmogorov

ज्यामितीय अनुक्रम।

अंकगणितीय प्रगति के कार्यों के साथ, गणित में प्रवेश परीक्षणों पर ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा से जुड़ी समस्याएं आम हैं। ऐसे कार्यों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, ज्यामितीय प्रगति के गुणों को जानना जरूरी है और अच्छे उपयोग कौशल हैं।

यह आलेख ज्यामितीय प्रगति के मुख्य गुणों की प्रस्तुति के लिए समर्पित है। यहां ठेठ कार्यों के समाधान के उदाहरण दिए गए हैं।, गणित में प्रवेश परीक्षा के कार्यों से उधार लिया गया।

पहले ज्यामितीय प्रगति के मूल गुणों को नोट करें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों और अनुमोदन को याद दिलाएं, इस अवधारणा से जुड़ा हुआ है।

परिभाषा। संख्यात्मक अनुक्रम को ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक संख्या में से प्रत्येक को पिछले एक के बराबर से शुरू होता है तो उसी संख्या से गुणा होता है। संख्या को ज्यामितीय प्रगति के संप्रदाय कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के लिएसूत्र मान्य हैं

, (1)

कहां है। फॉर्मूला (1) को ज्यामितीय प्रगति के सामान्य सदस्य का सूत्र कहा जाता है, और फॉर्मूला (2) ज्यामितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति है: प्रगति के प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी सदस्यों के औसत ज्यामितीय के साथ मेल खाता है।

ध्यान दें इस संपत्ति के कारण वास्तव में क्या, विचार के तहत प्रगति को "ज्यामितीय" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) निम्नानुसार सामान्यीकृत हैं:

, (3)

राशि की गणना करने के लिए प्रथम ज्यामितीय प्रगति के सदस्य सूत्र लागू किया जाता है

यदि आप नामित करते हैं, तो

कहां है। चूंकि, फॉर्मूला (6) फॉर्मूला (5) का एक सामान्यीकरण है।

मामले में जब और ज्यामितीय अनुक्रम असीम रूप से घट रहा है। राशि की गणना करने के लिएअसीम रूप से घटते ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों का उपयोग सूत्र का उपयोग किया जाता है

. (7)

उदाहरण के लिए , फॉर्मूला की मदद से (7) आप दिखा सकते हैं, क्या भ

कहां है। ये समानता सूत्र (7) से प्राप्त की जाती है, बशर्ते, (पहली समानता) और (दूसरी समानता)।

प्रमेय। तो अगर

साक्ष्य। तो अगर

प्रमेय साबित हुआ है।

आइए हम "ज्यामितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरणों के विचार को चालू करें।

उदाहरण 1। डैनो: और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। यदि फॉर्मूला (5) लागू करें, तो

उत्तर :.

उदाहरण 2।होने दो. ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। चूंकि, हम सूत्रों (5), (6) का उपयोग करते हैं और हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

यदि दूसरा सिस्टम समीकरण (9) पहले में विभाजित है, फिर या। इसलिए I. । दो मामलों पर विचार करें।

1. अगर, फिर सिस्टम के पहले समीकरण (9) से हमारे पास है.

2. यदि, तो।

उदाहरण 3।चलो, और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। सूत्र (2) से यह उस प्रकार है या। तब से, फिर या।

हालत से। मगर इसलिए। जबसे फिर यहां समीकरणों की एक प्रणाली है

यदि सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले, तो या में बांटा गया है।

चूंकि, समीकरण में एकमात्र उपयुक्त जड़ है। इस मामले में, सिस्टम के पहले समीकरण से प्रवाह प्रवाह होता है।

फॉर्मूला (7) को ध्यान में रखते हुए, हमें मिलता है।

उत्तर :.

उदाहरण 4।दानर: और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। तब से।

तब से, फिर

सूत्र (2) के अनुसार हमारे पास है। इस संबंध में, समानता (10) से हमें मिलता है या।

हालांकि, स्थिति से, इसलिए।

उदाहरण 5। यह जाना जाता है कि । ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। प्रमेय के अनुसार हमारे पास दो समानताएं हैं

तब से, फिर या। तब से।

उत्तर :.

उदाहरण 6। दानर: और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। फॉर्मूला (5) को ध्यान में रखते हुए, हमें मिलता है

तब से। तब से, और, फिर।

उदाहरण 7। होने दो. ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला। सूत्र के अनुसार (1) आप रिकॉर्ड कर सकते हैं

इसलिए, हमारे पास है या। यह ज्ञात है कि इसलिए।

उत्तर :.

उदाहरण 8। अनंत घटते ज्यामितीय प्रगति का एक संप्रदाय का पता लगाएं यदि

तथा।

फेसला। सूत्र से (7) निम्नानुसार है तथा । यहां से और कार्य की शर्तों से हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

यदि सिस्टम का पहला समीकरण एक वर्ग का निर्माण करना है, और फिर प्राप्त समीकरण दूसरे समीकरण में बांटा गया है, मैंने पाया

या।

उत्तर :.

उदाहरण 9। सभी मानों को खोजें जिनमें अनुक्रम ज्यामितीय प्रगति है।

फेसला। चलो, और। सूत्र (2) के अनुसार, जो ज्यामितीय प्रगति की मूल संपत्ति सेट करता है, रिकॉर्ड किया जा सकता है या।

यहां से हमें एक वर्ग समीकरण मिलता है, जिनकी जड़ें हैं तथा।

जाँच करें: यदि, तब फिर; यदि, तो, और।

पहले मामले में हमारे पास है और, और दूसरे में - और।

उत्तर :,।

उदाहरण 10।समीकरण हल करें

, (11)

और कहां।

फेसला। समीकरण का बायां हिस्सा (11) अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, जिसमें, प्रदान किया गया: और।

सूत्र से (7) निम्नानुसार है, क्या भ । इस संबंध में, समीकरण (11) लेता है या । उपयुक्त जड़ वर्ग समीकरण है एक

उत्तर :.

उदाहरण 11।पी सकारात्मक संख्या की संधि अंकगणितीय प्रगति बनाता है, लेकिन अ - ज्यामितीय अनुक्रम, इसके साथ क्या करना है। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला।जैसा अंकगणित क्रमटी (अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति)। जहां तक \u200b\u200bकि, फिर या। इसका अर्थ है , उस ज्यामितीय प्रगति का रूप है। सूत्र के अनुसार (2), फिर लिखें।

ज्यों का त्यों । इस मामले में, अभिव्यक्ति एक दृश्य लेता है या। शर्त से, इसलिए, समीकरण से हमें विचाराधीन समस्या का एकमात्र समाधान मिलता है। ।

उत्तर :.

उदाहरण 12।योग की गणना करें

. (12)

फेसला। समानता के 5 दोनों हिस्सों को गुणा करें (12) और प्राप्त करें

यदि परिणामी अभिव्यक्ति से कम (12)टी

या।

गणना के लिए, हम मूल्यों के सूत्र (7) में प्रतिस्थापित करते हैं, और हमें मिलता है। तब से।

उत्तर :.

यहां दिए गए समाधानों को हल करने के उदाहरण प्रारंभिक परीक्षणों की तैयारी करते समय आवेदकों के लिए उपयोगी होंगे। समस्या निवारण विधियों के गहरे अध्ययन के लिए, ज्यामितीय प्रगति के साथ जुड़े, इस्तेमाल किया जा सकता है ट्यूटोरियल अनुशंसित साहित्य की सूची से।

1. मिट्टी / ईडी में आने वाले के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह। एम.आई. Schanavi। - एम।: विश्व और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. Suprun V.P. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल कार्यक्रम के अतिरिक्त वर्ग। - एम।: Lenand / urss2014. - 216 पी।

3. मेडिकल एमएम। कार्यों और अभ्यासों में प्राथमिक गणित का पूरा कोर्स। पुस्तक 2: संख्यात्मक अनुक्रम और प्रगति। - एम।: ओडिटस, 2015. - 208 पी।

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ज्यामितीय अनुक्रम अंकगणित के मुकाबले गणित में कोई कम महत्वपूर्ण नहीं है। ज्यामितीय प्रगति को संख्या बी 1, बी 2, ..., बी [एन] का अनुक्रम कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक अगली अवधि पिछली संख्या को गुणा करके प्राप्त की जाती है। यह एक संख्या है जो प्रगति की दर को भी दर्शाती है या प्रगति की कमी को बुलाया जाता है डेनोमिनेटर ज्यामितीय प्रगति और निरूपित करें

ज्यामितीय प्रगति के पूर्ण कार्य के लिए, denominator के अलावा, यह अपने पहले कार्यकाल को जानना या परिभाषित करना आवश्यक है। के लिये सकारात्मक मूल्य Denominator प्रगति एक एकान्त अनुक्रम है, और यदि संख्याओं का यह अनुक्रम एकान्त रूप से घट रहा है और एकान्त रूप से बढ़ रहा है। मामला जब संप्रदाय एक अभ्यास के बराबर होता है, क्योंकि हमारे पास समान संख्याओं का अनुक्रम होता है, और उनके सारांश में व्यावहारिक रुचि नहीं होती है।

ज्यामितीय प्रगति के सामान्य सदस्य सूत्र द्वारा गणना

ज्यामितीय प्रगति के पहले सदस्यों की राशि सूत्र का निर्धारण करें

ज्यामितीय प्रगति के लिए शास्त्रीय कार्यों के समाधान पर विचार करें। चलो सबसे सरल समझना शुरू करते हैं।

उदाहरण 1. ज्यामितीय प्रगति का पहला सदस्य 27 है, और इसका denominator 1/3 है। छह पहले ज्यामितीय प्रगति सदस्यों को खोजें।

समाधान: फॉर्म में समस्या की स्थिति लिखें

गणना के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र का उपयोग करते हैं

इसके आधार पर हमें प्रगति के अज्ञात सदस्य मिलते हैं

आप कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों की गणना सरल है। प्रगति ही इस तरह दिखाई देगी

उदाहरण 2. ज्यामितीय प्रगति के तीन पहले सदस्य हैं: 6; -12; 24. संप्रदाय और उसके डिक के सातवें का पता लगाएं।

समाधान: इसकी परिभाषा के आधार पर ज्यामितीय प्रगति के संप्रदाय की गणना करें

संप्रदाय की एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति प्राप्त हुई जिसमें -2 है। सातवां सदस्य सूत्र की गणना करते हैं

इस समस्या पर हल हो गया है।

उदाहरण 3. ज्यामितीय प्रगति दो सदस्यों द्वारा निर्धारित की जाती है । प्रगति के दसवें सदस्य को खोजें।

फेसला:

हम सूत्रों के माध्यम से निर्दिष्ट मान लिखते हैं

नियमों के अनुसार एक denominator खोजने के लिए आवश्यक होगा, और फिर वांछित मूल्य की तलाश करें, लेकिन हमारे पास दसवें सदस्य के लिए है

इनपुट डेटा के साथ गैर-हार्ड हेरफेर के आधार पर एक ही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। हम पंक्ति के छठे सदस्य को दूसरे में विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें मिलता है

यदि मूल्य छठे सदस्य तक भिन्न होता है, तो हमें दसवां मिल जाता है

इस प्रकार, इस तरह की समस्याओं के लिए सरल परिवर्तन की मदद से तेज़ तरीका आप सही समाधान पा सकते हैं।

उदाहरण 4. ज्यामितीय प्रगति पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दी जाती है

एक denominator ज्यामितीय प्रगति और पहले छह सदस्यों की राशि खोजें।

फेसला:

हम समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में दिए गए डेटा को लिखते हैं

पहले के लिए दूसरा समीकरण देने वाले संप्रदाय व्यक्त करें

पहले समीकरण की प्रगति का पहला शब्द खोजें

हम ज्यामितीय प्रगति की मात्रा को खोजने के लिए निम्नलिखित पांच सदस्यों की गणना करते हैं

अनुदेश

10, 30, 90, 270...

यह ज्यामितीय प्रगति का एक संप्रदाय खोजने के लिए आवश्यक है।
फेसला:

1 विकल्प। प्रगति की मनमानी शब्द लें (उदाहरण के लिए, 90) और इसे पिछले एक (30): 90/30 \u003d 3 पर विभाजित करें।

यदि ज्यामितीय प्रगति के कई सदस्यों का योग या घटते ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों का योग ज्ञात है, तो प्रगति के संप्रदाय को खोजने के लिए, उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करें:
एसएन \u003d बी 1 * (1-क्यू ^ एन) / (1-क्यू), जहां एसएन ज्यामितीय प्रगति के पहले सदस्यों का योग है और
एस \u003d बी 1 / (1-क्यू), जहां एस असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है (छोटी इकाई के संप्रदाय के साथ प्रगति के सभी सदस्यों का योग)।
उदाहरण।

डा imming ज्यामितीय प्रगति की पहली अवधि एक के बराबर है, और इसके सभी सदस्यों का योग दो है।

इस प्रगति के संप्रदाय को निर्धारित करने के लिए यह आवश्यक है।
फेसला:

सूत्र में कार्य से डेटा सबमोल्ड। यह पता चला है:
2 \u003d 1 / (1-क्यू), जहां से क्यू \u003d 1/2।

प्रगति संख्याओं का एक अनुक्रम है। ज्यामितीय प्रगति में, प्रत्येक बाद की अवधि पिछले संख्या क्यू को गुणा करके प्राप्त की जाती है, जिसे प्रगति के संप्रदाय कहा जाता है।

अनुदेश

यदि दो पड़ोसी ज्यामितीय बी (एन + 1) और बी (एन) को डेनोमिनेटर प्राप्त करने के लिए जाना जाता है, तो संख्या को बड़े से विभाजित करना आवश्यक है: क्यू \u003d बी (एन + 1) / बी (एन)। यह प्रगति और उसके denominator निर्धारित करने से आता है। एक महत्वपूर्ण स्थिति पहले सदस्य और प्रगति के संप्रदाय के शून्य की असमानता है, अन्यथा इसे अनिश्चित माना जाता है।

इस प्रकार, प्रगति के सदस्यों के बीच निम्नलिखित संबंध स्थापित किए जाते हैं: बी 2 \u003d बी 1 क्यू, बी 3 \u003d बी 2 क्यू, ..., बी (एन) \u003d बी (एन - 1) क्यू। फॉर्मूला बी (एन) \u003d बी 1 क्यू ^ (एन - 1) के अनुसार, ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य की गणना की जा सकती है, जिसमें डेनोमिनेटर क्यू और बी 1 के सदस्य को जाना जाता है। इसके अलावा, मॉड्यूल की प्रत्येक प्रगति अपने पड़ोसी सदस्यों के औसत के बराबर है: | बी (एन) | \u003d √, इसलिए प्रगति और इसे प्राप्त किया।

ज्यामितीय प्रगति का एक एनालॉग सबसे सरल संकेतक समारोह वाई \u003d ए ^ एक्स है, जहां एक्स डिग्री के संकेतक में है, ए एक संख्या है। इस मामले में, प्रगति का संप्रदाय पहले सदस्य के साथ मेल खाता है और संख्या के बराबर ए। वाई फ़ंक्शन के मूल्य के तहत, आप समझ सकते हैं एन-वें सदस्य प्रगति, अगर एक्स तर्क प्राकृतिक संख्या एन (काउंटर) के लिए लिया जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के पहले एन सदस्य के योग के लिए है: एस (एन) \u003d बी 1 (1-क्यू ^ एन) / (1-क्यू)। यह सूत्र q ≠ 1 के लिए मान्य है। यदि q \u003d 1, तो पहले एन सदस्यों की राशि का गणना सूत्र एस (एन) \u003d एन बी 1 द्वारा की जाती है। वैसे, प्रगति को एक बड़ी इकाई और सकारात्मक बी 1 के साथ बढ़ाया जाएगा। प्रगति के एक संप्रदाय के साथ, मॉड्यूल इकाई से अधिक नहीं है, प्रगति को संदर्भित किया जाएगा।

ज्यामितीय प्रगति का एक विशेष मामला असीमित रूप से ज्यामितीय प्रगति (बी.जी.पी.पी.) को कम कर रहा है। तथ्य यह है कि घटते ज्यामितीय प्रगति के सदस्य समय के साथ कम हो जाएंगे, लेकिन वे कभी भी शून्य तक नहीं पहुंचे। इसके बावजूद, आप इस तरह की प्रगति के सभी सदस्यों की राशि पा सकते हैं। यह सूत्र एस \u003d बी 1 / (1-क्यू) द्वारा निर्धारित किया जाता है। कुल रकम सदस्य n असीम रूप से।

स्पष्ट रूप से कल्पना करने के लिए कि अनंत संख्या संख्याओं को कैसे जोड़ना है और अनंतता नहीं मिलता है, केक सेंकना। इसका आधा कटौती। फिर आधे से 1/2 काट लें, और इसी तरह। जिन टुकड़ों को आप प्राप्त किए जाएंगे वे एक denominator 1/2 के साथ असीमित कम ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों से अधिक कुछ नहीं हैं। यदि आप इन सभी टुकड़ों को फोल्ड करते हैं, तो आपको मूल केक मिलेगा।

ज्यामिति के लिए कार्य एक विशेष प्रकार का अभ्यास है जिसके लिए स्थानिक सोच की आवश्यकता होती है। यदि आप ज्यामितीय को हल नहीं कर सकते हैं टास्क, नीचे दिए गए नियमों का पालन करने का प्रयास करें।

अनुदेश

कार्य की स्थिति को बहुत सावधानी से पढ़ें, अगर कुछ याद नहीं किया जाता है या समझ में नहीं आया, फिर से फिर से पढ़ा।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि यह किस प्रकार का ज्यामितीय कार्य करता है, उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए: कंप्यूटिंग, जब आपको किसी भी मूल्य को जानने की आवश्यकता होती है, तो कार्यों की तार्किक श्रृंखला की आवश्यकता होती है, एक परिसंचरण की मदद से निर्माण के लिए कार्य, एक परिसंचरण और शासक। मिश्रित प्रकार के अधिक कार्य। जब आप कार्य के प्रकार को पाते हैं, तो तर्कसंगत बहस करने की कोशिश करें।

इस कार्य के लिए आवश्यक प्रमेय लागू करें, अगर संदेह हैं या कोई विकल्प नहीं है, तो प्रासंगिक विषय के अनुसार पारित सिद्धांत को याद रखने का प्रयास करें।

मसौदे पर भी समस्या बताएं। अपने निर्णय की वफादारी को सत्यापित करने के लिए जाने-माने तरीकों को लागू करने का प्रयास करें।

नोटबुक में सावधानी से कार्य के समाधान में देरी, ब्लॉट और क्रॉसिंग के बिना, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि पहले ज्यामितीय कार्यों और समय को हल करना संभव है। हालांकि, जैसे ही आप इस प्रक्रिया को निपुण करते हैं - सॉफ़्टवेयर जैसे सॉफ़्टवेयर के कार्यों को क्लिक करना शुरू करें, इससे आनंद लें!

ज्यामितीय प्रगति संख्या बी 1, बी 2, बी 3, ..., बी (एन - 1), बी (एन) का एक अनुक्रम है, जो बी 2 \u003d बी 1 * क्यू, बी 3 \u003d बी 2 * क्यू, ..., बी (एन ) \u003d बी (एन - 1) * क्यू, बी 1 ≠ 0, क्यू ≠ 0। दूसरे शब्दों में, प्रगति के प्रत्येक सदस्य को क्यू के उत्सर्जन के कुछ नॉनज़रो संप्रदाय से पिछले गुणा से प्राप्त किया जाता है।

अनुदेश

प्रगति के लिए कार्य अक्सर बी 1 की प्रगति के पहले सदस्य के सापेक्ष तैयारी और बाद की प्रणाली द्वारा हल किए जाते हैं और क्यू के उत्सर्जन के संप्रदाय। समीकरणों को संकलित करने के लिए, कुछ सूत्रों को याद रखना उपयोगी है।

प्रगति की पहली अवधि के माध्यम से प्रगति के एन-वें सदस्य को कैसे व्यक्त करें और प्रगति के संप्रदाय: बी (एन) \u003d बी 1 * क्यू ^ (एन -1)।

एक अलग मामले पर विचार करें | क्यू |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

विषय पर सबक और प्रस्तुति: "संख्यात्मक अनुक्रम। ज्यामितीय प्रगति"

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दोस्तों, आज हम एक और प्रकार की प्रगति पेश करेंगे।
आज के पाठ का विषय ज्यामितीय प्रगति है।

ज्यामितीय अनुक्रम

परिभाषा। संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें प्रत्येक सदस्य दूसरे से शुरू होने वाले प्रत्येक सदस्य पिछले के उत्पाद के बराबर होता है और कुछ निश्चित संख्या को ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।
आइए आवर्ती के हमारे अनुक्रम को सेट करें: $ b_ (1) \u003d b $, $ b_ (n) \u003d b_ (n - 1) * q $
जहां बी और क्यू निश्चित निर्दिष्ट संख्याएं हैं। संख्या क्यू को प्रगति का संप्रदाय कहा जाता है।

उदाहरण। 1,2,4,8,16 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहली अवधि एक के बराबर है, और $ q \u003d $ 2।

उदाहरण। 8,88,88 ... ज्यामितीय प्रगति, जो आठ के बराबर है,
$ Q \u003d 1 $।

उदाहरण। 3, -3.3, -3.3 ... ज्यामितीय प्रगति, जो पहले सदस्य तीन के बराबर है,
एक $ q \u003d -1 $।

ज्यामितीय प्रगति में एकान्त गुण हैं।
यदि $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e $ 1,
फिर अनुक्रम बढ़ रहा है।
यदि $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 अनुक्रम को फॉर्म में विभाजित किया जाता है: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., B_ (एन), ... $।

अंकगणितीय प्रगति के रूप में, यदि ज्यामितीय प्रगति में पाठ्यक्रम के तत्वों की संख्या, तो प्रगति को अंतिम ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n) $।
नोट यदि अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो सदस्यों के वर्गों का अनुक्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है। दूसरे अनुक्रम में, पहला शब्द $ b_ (1) ^ 2 $ है, और denominator $ q ^ 2 $ है।

ज्यामितीय प्रगति के एन-बीओएस सदस्य का सूत्र

ज्यामितीय प्रगति को एक विश्लेषणात्मक रूप में सेट किया जा सकता है। आइए देखें कि यह कैसे करें:
$ b_ (1) \u003d b_ (1) $।
$ b_ (2) \u003d b_ (1) * q $।
$ b_ (3) \u003d b_ (2) * q \u003d b_ (1) * q * q \u003d b_ (1) * q ^ 2 $।
$ b_ (4) \u003d b_ (3) * q \u003d b_ (1) * q ^ $ 3।
$ b_ (5) \u003d b_ (4) * q \u003d b_ (1) * q ^ 4 $।
हम आसानी से पैटर्न को नोटिस करते हैं: $ b_ (n) \u003d b_ (1) * q ^ (n - 1) $।
हमारे सूत्र को "ज्यामितीय प्रगति के एन-सीओ सदस्य का सूत्र" कहा जाता है।

आइए हमारे उदाहरणों पर वापस जाएं।

उदाहरण। 1,2,4,8,16 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहली अवधि एक के बराबर है,
एक $ q \u003d $ 2।
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $।

उदाहरण। 16,84,2,11 / 2 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला शब्द सोलह है, और $ q \u003d \\ frac (1) (2) $।
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n - 1) $।

उदाहरण। 8,88,88 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला शब्द आठ है, और $ q \u003d 1 $ है।
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8।

उदाहरण। 3, -3.3, -3.3 ... ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला शब्द तीन के बराबर है, और $ q \u003d -1 $।
$ B_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $।

उदाहरण। $ B_ (1), B_ (2), ..., B_ (एन), ... की ज्यामितीय प्रगति ... $।
ए) यह ज्ञात है कि $ B_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3। $ B_ (5) $ खोजें।
बी) यह ज्ञात है कि $ B_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d $ 768। N.
सी) यह ज्ञात है कि $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d $ 96। $ B_ (1) $ खोजें।
डी) यह ज्ञात है कि $ B_ (1) \u003d - 2, B_ (12) \u003d $ 4096। Q.

फेसला।
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d $ 486।
बी) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d $ 768।
$ 2 ^ (n - 1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $, $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n - 1 \u003d 7 के बाद से; N \u003d $ 8।
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - $ 3।
डी) $ B_ (12) \u003d B_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $।

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति के सातवें और पांचवें सदस्यों के बीच का अंतर 1 9 2 है, प्रगति के पांचवें और छठे सदस्य की राशि 1 9 2 है। इस प्रगति के दसवें सदस्य को ढूंढें।

फेसला।
हम जानते हैं कि: $ B_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ और $ B_ (5) + B_ (6) \u003d 192 $।
हम यह भी जानते हैं: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ B_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ B_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $।
फिर:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $।
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $।
समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की:
$ \\ प्रारंभ (मामलों) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (मामले) $।
तैयारी, हमारे समीकरण प्राप्त किए जाएंगे:
$ B_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $।
$ Q ^ 2-1 \u003d q + 1 $।
$ Q ^ 2-Q-2 \u003d 0 $।
दो समाधान प्राप्त किए गए प्रश्न: $ Q_ (1) \u003d 2, Q_ (2) \u003d - 1 $।
हम बाद में दूसरे समीकरण के लिए प्रतिस्थापित करते हैं:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4।
$ B_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ कोई समाधान नहीं।
के रूप में प्राप्त: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d $ 2।
हमें दसवां सदस्य मिलते हैं: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048।

परिमित ज्यामितीय प्रगति की राशि

आइए एक सीमित ज्यामितीय प्रगति करें। चलो, साथ ही अंकगणितीय प्रगति के लिए, हम अपने सदस्यों की राशि पर विचार करते हैं।

अंतिम ज्यामितीय प्रगति दी गई: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $।
हम अपने सदस्यों के योग का पदनाम करते हैं: $ s_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $।
मामले में जब $ q \u003d 1 $। ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य पहले सदस्य के बराबर होते हैं, फिर यह स्पष्ट है कि $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $।
अब $ q ≠ $ 1 का मामला देखें।
उपरोक्त राशि प्रति प्रश्न गुणा करें।
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + B_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $।
ध्यान दें:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $।
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $।

$ S_ (n) * q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + B_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $।

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $।

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $।

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $।

हमने सीमित ज्यामितीय प्रगति की मात्रा का सूत्र प्राप्त किया।

उदाहरण।
ज्यामितीय प्रगति के पहले सात सदस्यों की राशि का पता लगाएं, जिसमें पहला शब्द 4 है, और denominator 3।

फेसला।
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1))) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372।

उदाहरण।
ज्यामितीय प्रगति के पांचवें सदस्य को ढूंढें, जो ज्ञात है: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ B_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - $ 4095।

फेसला।
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n - 1) \u003d - $ 3072।
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $।
$ Q ^ (n) \u003d 1024Q $।

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (Q-1) \u003d - $ 4095।
$ -4095 (Q-1) \u003d 3 * (q ^ (n) -1) $।
$ -4095 (क्यू -1) \u003d - 3 * (1024Q -1) $।
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $।
$ 341Q \u003d $ 1364।
$ Q \u003d $ 4।
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $।

ज्यामितीय प्रगति की विशिष्ट संपत्ति

दोस्तों, ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए। आइए लगातार तीन सदस्य देखें: $ b_ (n - 1), b_ (n), b_ (n + 1) $।
हम जानते हैं कि:
$ \\ Frac (b_ (n)) (q) \u003d b_ (n-1) $।
$ B_ (n) * q \u003d b_ (n + 1) $।
फिर:
$ \\ Frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q \u003d b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $।
$ B_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $।
यदि प्रगति परम है, तो यह समानता सभी सदस्यों के लिए किया जाता है, जो पहले और आखिरी को छोड़कर।
यदि यह पहले से ही अनुक्रम में नहीं जाना जाता है, लेकिन यह ज्ञात है कि: $ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $।
फिर आप सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक ज्यामितीय प्रगति है।

संख्यात्मक अनुक्रम ज्यामितीय प्रगति है, केवल तभी जब प्रत्येक सदस्य का वर्ग इसके साथ दो आसन्न प्रगति के उत्पाद के बराबर होता है। अंतिम प्रगति के लिए यह मत भूलना, यह स्थिति पहले और अंतिम सदस्य के लिए नहीं की जाती है।

आइए इस पहचान को देखें: $ \\ sqrt (b_ (n) ^ (2)) \u003d \\ sqrt (b_ (n - 1) * b_ (n + 1)) $।
$ | b_ (n) | \u003d \\ sqrt (b_ (n - 1) * b_ (n + 1)) $।
$ \\ sqrt (a * b) $ औसत कहा जाता है ज्यामितीय संख्या ए और बी।

ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मॉड्यूल इसके समीप औसत ज्यामितीय दो सदस्यों के बराबर है।

उदाहरण।
ऐसे एक्स को ढूंढें जो $ x + 2 होगा; 2x + 2; 3x + 3 $ ज्यामितीय प्रगति के तीन लगातार सदस्य थे।

फेसला।
हम विशेषता संपत्ति का उपयोग करते हैं:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $।
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6।
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $।
$ x_ (1) \u003d 2 $ और $ x_ (2) \u003d - 1 $।
मूल अभिव्यक्ति में लगातार प्रतिस्थापित करें, हमारे समाधान:
$ X \u003d $ 2 पर, अनुक्रम प्राप्त किया गया था: 4; 6; 9 - ज्यामितीय प्रगति, जिसमें $ q \u003d $ 1.5 $।
$ X \u003d -1 $ के लिए, अनुक्रम प्राप्त किया गया: 1; 0; 0।
उत्तर: $ x \u003d 2. $

स्वयं समाधान के लिए कार्य

1. 16 की ज्यामितीय प्रगति के आठवें पहले सदस्य का पता लगाएं; -8; 4; -2 ....
2. 11,22,44 की ज्यामितीय प्रगति के दसवें सदस्य को खोजें ....
3. यह ज्ञात है कि $ B_ (1) \u003d 5, q \u003d $ 3। $ B_ (7) $ खोजें।
4. यह ज्ञात है कि $ B_ (1) \u003d 8, q \u003d -2, b_ (n) \u003d 512 $। N.
5. ज्यामितीय प्रगति के पहले 11 सदस्यों का योग 3; 12; 48 ....
6. ऐसे एक्स को $ 3x + 4 खोजें; 2x + 4; एक्स + 5 $ ज्यामितीय प्रगति के तीन लगातार सदस्य हैं।