Raskime kūno tūrį, susidarantį sukantis cikloidinei arkai aplink jo pagrindą. Ją Robervalis rado suskaidęs gautą kiaušinio formos kūną (5.1 pav.) į be galo plonus sluoksnius, į šiuos sluoksnius įrėžęs cilindrus ir sudėjęs jų tūrius. Įrodymas ilgas, varginantis ir ne visai griežtas. Todėl norėdami jį apskaičiuoti, kreipiamės į aukštoji matematika. Nustatykime cikloidų lygtį parametriškai.
Integraliniame skaičiavime, studijuodamas apimtis, jis naudoja tokią pastabą:
Jei kreivė, ribojanti kreivinę trapeciją, yra pateikta parametrinėmis lygtimis ir šiose lygtyse esančios funkcijos tenkina kintamojo kaitos tam tikrame integrale teoremos sąlygas, tai trapecijos kūno sukimosi aplink Ox ašį tūris bus apskaičiuojamas pagal formulę:
Naudokime šią formulę norėdami rasti reikiamą tūrį.
Lygiai taip pat apskaičiuojame šio kūno paviršių.
L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – kaina), 0 ? t ? 2р)
Integraliniame skaičiavime yra tokia formulė, kaip rasti besisukančio kūno paviršiaus plotą aplink kreivės x ašį, nurodytą segmente parametriškai (t 0 ?t ?t 1):
Taikydami šią formulę savo cikloidinei lygčiai, gauname:
Taip pat apsvarstykite kitą paviršių, susidarantį sukantis cikloidiniam lankui. Tam pastatysime veidrodinį cikloido arkos atspindį jos pagrindo atžvilgiu, o cikloido ir jo atspindžio suformuotą ovalią figūrą suksime aplink KT ašį (5.2 pav.)
Pirmiausia suraskime kūno tūrį, susidariusį sukantis cikloidiniam lankui aplink KT ašį. Jo tūris bus apskaičiuojamas pagal formulę (*):
Taigi, mes apskaičiavome pusės šios ropės kūno tūrį. Tada bendras tūris bus
Prieš pereidami prie sukimosi paviršiaus ploto formulių, trumpai suformuluojame patį sukimosi paviršių. Revoliucijos paviršius arba, kas yra tas pats, revoliucijos kūno paviršius yra erdvinė figūra, suformuota sukant segmentą AB kreivė aplink ašį Jautis(nuotrauka žemiau).
Įsivaizduokime kreivinę trapeciją, kurią iš viršaus riboja minėta kreivės atkarpa. Kūnas, susidaręs šiai trapecijai sukantis aplink tą pačią ašį Jautis, ir yra revoliucijos kūnas. O sukimosi paviršiaus plotas arba sukimosi kūno paviršius yra jo išorinis apvalkalas, neskaičiuojant apskritimų, susidarančių sukantis aplink linijų ašį x = a Ir x = b .
Atkreipkite dėmesį, kad sukimosi kūnas ir atitinkamai jo paviršius taip pat gali būti suformuotas sukant figūrą ne aplink ašį Jautis, ir aplink ašį Oy.
Apskaičiuokite apsisukimo paviršiaus plotą, nurodytą stačiakampėmis koordinatėmis
Įveskite stačiakampes koordinates plokštumoje pagal lygtį y = f(x) pateikta kreivė, kurią sukantis aplink koordinačių ašį susidaro apsisukimo kūnas.
Revoliucijos paviršiaus ploto apskaičiavimo formulė yra tokia:
(1).
1 pavyzdys Raskite paraboloido paviršiaus plotą, susidarantį sukantis apie ašį Jautis pokytį atitinkančios parabolės lankas x iš x= nuo 0 iki x = a .
Sprendimas. Mes aiškiai išreiškiame funkciją, kuri apibrėžia parabolės lanką:
Raskime šios funkcijos išvestinę:
Prieš naudodami formulę apsisukimo paviršiaus plotui rasti, parašykime jo integrando dalį, kuri yra šaknis, ir pakeiskime išvestinę, kurią ką tik radome ten:
Atsakymas: Kreivės lanko ilgis yra
.
2 pavyzdys Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis apie ašį Jautis astroidai.
Sprendimas. Pakanka apskaičiuoti paviršiaus plotą, susidarantį sukantis vienai astroido atšakai, esančios pirmajame ketvirtyje, ir padauginti jį iš 2. Iš astroidinės lygties aiškiai išreiškiame funkciją, kurią turėsime pakeisti formulėje. Norėdami rasti sukimosi paviršiaus plotą:
.
Integraciją atliekame nuo 0 iki a:
Parametru pateikto apsisukimo paviršiaus ploto apskaičiavimas
Apsvarstykite atvejį, kai sukimosi paviršių formuojanti kreivė yra pateikta parametrinėmis lygtimis
Tada sukimosi paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę
(2).
3 pavyzdys Raskite sukimosi paviršiaus plotą, susidarantį sukantis apie ašį Oy figūrą riboja cikloidas ir tiesia linija y = a. Cikloidas pateikiamas parametrinėmis lygtimis
Sprendimas. Raskite cikloido ir tiesės susikirtimo taškus. Cikloido lygties ir tiesės lygties prilyginimas y = a, rasti
Iš to išplaukia, kad integracijos ribos atitinka
Dabar galime taikyti formulę (2). Raskime išvestinius:
Radikaliąją išraišką rašome formulėje, pakeisdami rastus išvestinius:
Raskime šios išraiškos šaknį:
.
Pakeiskite rastą formulėje (2):
.
Padarykime pakaitalą:
Ir pagaliau randame
Transformuojant išraiškas buvo naudojamos trigonometrinės formulės
Atsakymas: Revoliucijos paviršiaus plotas yra .
Apskaičiuokite sukimosi paviršiaus plotą, pateiktą polinėmis koordinatėmis
Tegul kreivė, kurios sukimasis sudaro paviršių, pateikiama polinėmis koordinatėmis.
Paskaitos 8. Apibrėžtinio integralo taikymai.
Integralo taikymas fizinėms problemoms grindžiamas integralo adityvumo per aibę savybe. Todėl integralo pagalba galima apskaičiuoti tokius kiekius, kurie patys yra adityvūs rinkinyje. Pavyzdžiui, figūros plotas lygus jos dalių plotų sumai. Lanko ilgis, paviršiaus plotas, kūno tūris ir kūno masė turi tą pačią savybę. Todėl visus šiuos dydžius galima apskaičiuoti naudojant apibrėžtąjį integralą.
Yra du būdai išspręsti problemas: integralinių sumų metodas ir diferencialų metodas.
Integralų sumų metodas pakartoja apibrėžtojo integralo konstravimą: sukonstruojama pertvara, pažymimi taškai, apskaičiuojama juose funkcija, apskaičiuojama integralinė suma ir atliekamas perėjimas į ribą. Taikant šį metodą, pagrindinis sunkumas yra įrodyti, kad ribose bus gauta būtent tai, ko reikia užduotyje.
Diferencialinis metodas naudoja neapibrėžtą integralą ir Niutono – Leibnizo formulę. Apskaičiuojamas nustatytinos vertės skirtumas, o tada, integruojant šį skirtumą, pagal Niutono-Leibnizo formulę gaunama reikiama reikšmė. Taikant šį metodą, pagrindinis sunkumas yra įrodyti, kad apskaičiuojamas norimos vertės skirtumas, o ne kažkas kita.
Ploto skaičiavimas plokščios figūros.
1. Paveikslas apsiriboja funkcijos grafiku, pateiktu Dekarto koordinačių sistemoje.
Prie apibrėžtojo integralo sąvokos priėjome iš kreivinės trapecijos ploto problemos (tiesą sakant, taikant integralinių sumų metodą). Jei funkcija priima tik ne neigiamos reikšmės, tada plotą po atkarpos funkcijos grafiku galima apskaičiuoti naudojant apibrėžtąjį integralą. pastebėti, kad 
taigi čia galite pamatyti skirtumų metodą.
Tačiau funkcija taip pat gali turėti neigiamas reikšmes tam tikram segmentui, tada integralas per šį segmentą duos neigiamą sritį, o tai prieštarauja srities apibrėžimui.
Galite apskaičiuoti plotą naudodami formulęS=. Tai tolygu funkcijos ženklo pakeitimui tose srityse, kuriose ji įgauna neigiamas reikšmes.
Jei reikia apskaičiuoti figūros plotą, kurį iš viršaus riboja funkcijos grafikas, o iš apačios - funkcijos grafikas, tada galite naudoti formulęS=
, nes.
Pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės x=0, x=2 ir funkcijų y=x 2, y=x 3 grafikai.
Atkreipkite dėmesį, kad intervale (0,1) tenkinama nelygybė x 2 > x 3, o x >1 – nelygybė x 3 > x 2. Štai kodėl
2. Paveikslas apsiriboja funkcijos grafiku, pateiktu polinių koordinačių sistemoje.
Tegul funkcijos grafikas pateikiamas polinėje koordinačių sistemoje ir norime apskaičiuoti kreivinio sektoriaus plotą, kurį riboja du spinduliai, ir funkcijos grafiką polinėje koordinačių sistemoje.
Čia galite naudoti integralinių sumų metodą, apskaičiuojant kreivo sektoriaus plotą kaip elementariųjų sektorių plotų sumos ribą, kurioje funkcijos grafikas pakeičiamas apskritimo lanku. 
.
Taip pat galite naudoti diferencialinį metodą: 
.
Galite samprotauti taip. Elementarų kreivinį sektorių, atitinkantį centrinį kampą, pakeitę apskritimu, gauname proporciją . Iš čia 
. Integruodami ir naudodami Niutono-Leibnizo formulę, gauname 
.
Pavyzdys. Apskaičiuokite apskritimo plotą (patikrinkite formulę). Mes tikime . Apskritimo plotas yra 
.
Pavyzdys. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja kardioidas 
.
3 Paveikslas apribotas parametriškai nurodytos funkcijos grafiku.
Funkciją galima nurodyti parametriškai formoje . Mes naudojame formulę S=
, pakeičiant į jį integravimo ribas naujo kintamojo atžvilgiu. 
. Dažniausiai skaičiuojant integralą išskiriamos tos sritys, kuriose integralas turi tam tikrą ženklą ir atsižvelgiama į atitinkamą plotą su vienu ar kitu ženklu.
Pavyzdys. Apskaičiuokite elipsės aptvertą plotą.
Naudodamiesi elipsės simetrija, apskaičiuojame ketvirtadalio elipsės, esančios pirmajame kvadrante, plotą. šiame kvadrante. Štai kodėl .
Kūnų tūrių skaičiavimas.
1. Kūnų tūrių skaičiavimas iš lygiagrečių pjūvių plotų.
Tegul reikia apskaičiuoti kurio nors kūno V tūrį iš žinomų šio kūno pjūvių plotų plokštumose, statmenomis tiesei OX, nubrėžtai per bet kurį atkarpos OX tašką x.
Taikome diferencialų metodą. Atsižvelgdami į elementarų tūrį , virš segmento kaip dešiniojo apskrito cilindro tūrį su pagrindo plotu ir aukščiu , gauname 
. Integruodami ir pritaikę Niutono-Leibnizo formulę, gauname
2. Apsisukimo kūnų tūrių skaičiavimas.
Tegul reikia apskaičiuoti JAUTIS.
Tada 
.
Taip pat, kūno, besisukančio apie ašį, tūrisOY, jei funkcija pateikta formoje , galima apskaičiuoti naudojant formulę .
Jei funkcija pateikta forma ir reikia nustatyti apsisukimo aplink ašį kūno tūrįOY, tada tūrio apskaičiavimo formulę galima gauti taip.
Pereinant prie diferencialo ir nepaisydami kvadratinių terminų, turime 
. Integruodami ir taikydami Niutono-Leibnizo formulę, turime .
Pavyzdys. Apskaičiuokite sferos tūrį.
Pavyzdys. Apskaičiuokite tiesioginio tūrį apskritas kūgis, apribotas paviršiumi ir lėktuvas.
Apskaičiuokite tūrį kaip sukimosi kūno, susidarančio sukantis aplink OZ ašį, tūrį taisyklingas trikampis OXZ plokštumoje, kurios kojos yra ant OZ ašies ir linijos z \u003d H, o hipotenuzė yra ant linijos.
Išreikšdami x skaičiumi z, gauname 
.
Lanko ilgio skaičiavimas.
Tam, kad gautume lanko ilgio skaičiavimo formules, prisiminkime lanko ilgio diferencialo formules, išvestas I semestre.
Jei lankas yra nuolat diferencijuojamos funkcijos grafikas, lanko ilgio skirtumą galima apskaičiuoti pagal formulę
. Štai kodėl 
Jei lygus lankas nurodytas parametriškai, Tai
. Štai kodėl 
.
Jei lankas yra polinėse koordinatėse, Tai
. Štai kodėl 
.
Pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos grafiko lanko ilgį, . 
.
Pamokose apie plokštumos tiesės lygtis Ir tiesės erdvėje lygtys.
Susipažink su senu draugu:
Kreivinę trapeciją išdidžiai vainikuoja grafikas ir, kaip žinote, jos plotas apskaičiuojamas naudojant apibrėžtąjį integralą pagal elementariąją formulę arba trumpai tariant: .
Apsvarstykite situaciją, kai ta pati funkcija pateikta parametrine forma.
Kaip šiuo atveju rasti sritį?
Kai kuriuose labai specifinis parametro reikšmė, parametrinės lygtys nustatys taško koordinates , o su kitu labai specifinis reikšmė yra taško koordinatės. Kai „te“ keičiasi iš į imtinai, parametrinės lygtys tiesiog „nubrėžia“ kreivę. Manau, viskas paaiškėjo integracijos ribų sąskaita. Dabar prie integralo vietoj„X“ ir „Y“ pakeičiame funkcijas ir atidarome diferencialą:
Pastaba : daroma prielaida, kad funkcijos tęstinis apie integravimo intervalą ir, be to, funkciją monotoniškas Ant jo.
Revoliucijos kūno tūrio formulė tokia pat paprasta:
Kūno tūris, gautas sukant kreivinę trapeciją aplink ašį, apskaičiuojamas pagal formulę 
arba:. Į jį pakeičiame parametrines funkcijas, taip pat integravimo ribas:
Į savo vadovą įveskite abi darbo formules.
Mano pastebėjimais, problemos ieškant tūrio yra gana retos, todėl didelė dalis šios pamokos pavyzdžių bus skirta ploto paieškai. Neatidėliokime reikalo:
1 pavyzdys
Apskaičiuokite kreivinės trapecijos plotą 
, Jei
Sprendimas: naudokite formulę 
.
Klasikinė temos problema, kuri visada ir visur suprantama:
2 pavyzdys
Apskaičiuokite elipsės plotą
Sprendimas: siekiant apibrėžtumo, darome prielaidą, kad parametrinės lygtys apibrėžia kanoninė elipsė centruojama ištakoje, pusiau didžioji ašis „a“ ir pusiau mažoji ašis „būti“. Tai yra, pagal sąlygą mums nesiūloma nieko daugiau nei
Raskite elipsės plotą
Akivaizdu, kad parametrinės funkcijos yra periodinės ir . Atrodytų, kad įkrauti formulę galima, bet ne viskas taip skaidru. Išsiaiškinkime kryptis, kurioje parametrinės lygtys „nubrėžia“ elipsę. Kaip vadovą, suraskime keletą punktų, atitinkančių paprasčiausias parametrų reikšmes: 
Nesunku pastebėti, kad parametrui „te“ pasikeitus iš nulio į „du pi“, parametrinės lygtys „nubrėžia“ elipsę. prieš laikrodžio rodyklę:
Dėl figūros simetrijos apskaičiuojame 1 koordinačių ketvirčio ploto dalį, o gautą rezultatą padauginame iš 4. Čia stebime iš esmės tą patį paveikslą, kurį komentavau kiek aukščiau: parametrinės lygtys „braižo“ elipsės lankas "priešinga kryptimi" ašiai, bet ploto skaičiai skaičiuojami iš kairės į dešinę! Štai kodėl žemesnė integravimo riba atitinka reikšmę , ir viršuje ribinė vertė .
Kaip jau patariau pamokoje Plotas polinėmis koordinatėmis, keturis kartus rezultatas yra geresnis Iškart:
Pamokoje buvo analizuojamas integralas (jei kas nors staiga rastų tokią neįtikėtiną spragą). Trigonometrinių funkcijų integralai.
Atsakymas:
Tiesą sakant, mes sukūrėme formulę, kaip rasti sritį elipsė. Ir jei praktiškai susiduriate su problema su konkrečiomis „a“ ir „be“ reikšmėmis, galite lengvai atlikti suderinimą / patikrinimą, nes problema buvo išspręsta bendrai.
Elipsės plotas taip pat apskaičiuojamas stačiakampėmis koordinatėmis, tam reikia iš lygties išreikšti „y“ ir išspręsti problemą tiksliai taip, kaip straipsnio pavyzdyje Nr. Veiksmingi apibrėžtųjų integralų sprendimo metodai. Būtinai pažiūrėkite į šį pavyzdį ir palyginkite, kiek lengviau apskaičiuoti elipsės plotą, kai jis pateikiamas parametriškai.
Ir, žinoma, beveik pamiršau, parametrinės lygtys gali apibrėžti apskritimą ar elipsę nekanoninėje padėtyje.
3 pavyzdys
Apskaičiuokite vieno cikloido lanko plotą 
Norėdami išspręsti problemą, turite žinoti, kas yra cikloidas ar bent jau grynai formalus piešinys. Pamokos pabaigoje dizaino pavyzdys. Tačiau į tolimus kraštus jūsų nesiųsiu, šios linijos grafiką galite pamatyti šioje užduotyje:
4 pavyzdys
Sprendimas: parametrinės lygtys 
apibrėžti cikloidą, o apribojimas rodo faktą, kad kalbame apie jį pirmoji arka, kuris „nutraukiamas“, kai parametro reikšmė pasikeičia per . Atkreipkite dėmesį, kad čia yra „teisinga“ šio „brėžinio“ kryptis (iš kairės į dešinę), o tai reiškia, kad nebus problemų dėl integracijos ribų. Bet tada atsiras krūva kitų šaunių dalykų =) Lygčių rinkiniai tiesioginis, lygiagrečiai x ašiai ir papildoma sąlyga (cm. tiesinės nelygybės)
nurodo mums apskaičiuoti šios figūros plotą: 
Norimą nuspalvintą figūrą asociatyviai pavadinsiu „namo stogu“, stačiakampį – „namo siena“, o visą konstrukciją (siena + stogas) – „namo fasadu“. Nors šis pastatas labiau panašus į karvidę =)
Norint rasti „stogo“ plotą, iš „fasado“ ploto reikia atimti „sienos“ plotą.
Pirmiausia išspręskime fasadą. Norėdami rasti jo plotą, turite sužinoti reikšmes, kurios apibrėžia tiesės susikirtimo taškus su pirmuoju cikloido lanku (taškai ir ). Pakeiskite parametrinę lygtį:
Trigonometrinę lygtį lengva išspręsti tiesiog pažiūrėjus kosinuso sklypas: dvi šaknys tenkina lygybę intervale: . Iš principo viskas aišku, bet vis dėlto žaiskime saugiai ir pakeiskime juos į lygtį:
yra taško "x" koordinatė;
- ir tai yra taško "x" koordinatė.
Taigi įsitikinome, kad parametro reikšmė atitinka tašką, o reikšmė – tašką .
Apskaičiuokite "fasado" plotą. Kad žymėjimas būtų kompaktiškesnis, funkcija dažnai diferencijuojama tiesiai po integralu: 
„Sienos“ plotą galima apskaičiuoti „mokyklos“ metodu, padauginus gretimų stačiakampio kraštinių ilgius. Ilgis akivaizdus, belieka surasti . Jis apskaičiuojamas kaip skirtumas tarp taškų "ce" ir "be" koordinačių "x" (rasta anksčiau):
Sienos plotas:
Žinoma, ne gėda jį surasti pasitelkus paprasčiausią apibrėžtasis integralas iš intervalo funkcijos:
Dėl to "stogo" plotas:
Atsakymas: 
Ir, žinoma, esant brėžiniui, pagal ląsteles įvertiname, ar gautas rezultatas panašus į tiesą. Atrodo kaip.
Ši užduotis savarankiškam sprendimui:
5 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja lygčių pateiktos linijos 
Trumpai susisteminame sprendimo algoritmą:
- Daugeliu atvejų turėsite nupiešti ir nustatyti figūrą, kurios sritį norite rasti.
- Antrame žingsnyje turėtumėte suprasti, kaip apskaičiuojamas norimas plotas: tai gali būti viena kreivinė trapecija, tai gali būti plotų skirtumas, tai gali būti plotų suma - trumpai tariant, visos tos lustai, kuriuos mes svarstėme. pamokoje.
- Trečiame žingsnyje reikia išanalizuoti, ar tikslinga naudoti figūros simetriją (jei ji yra simetriška), o tada išsiaiškinti integracijos ribas (parametro pradinę ir galutinę reikšmes). Paprastai tam reikia išspręsti paprasčiausią trigonometrinė lygtis- čia galite naudoti analitinį metodą, grafinį metodą arba išradingą norimų šaknų pasirinkimą pagal trigonometrinė lentelė.
! Nepamiršk kad parametrinės lygtys gali „nubrėžti“ liniją iš dešinės į kairę, tokiu atveju darbo formulėje atliekame atitinkamą rezervaciją ir pataisymą.
– O paskutiniame etape atliekami techniniai skaičiavimai. Visada malonu iš piešinio įvertinti gauto atsakymo patikimumą.
O dabar ilgai lauktas susitikimas su žvaigžde:
6 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja lygčių pateiktos linijos
Sprendimas: lygčių pateikta kreivė yra astroidas, Ir tiesinė nelygybė unikaliai apibrėžia nuspalvintą figūrą brėžinyje: 
Raskime parametro reikšmes, kurios nustato linijos ir astroido susikirtimo taškus. Norėdami tai padaryti, į parametrinę lygtį pakeičiame:
Tokios lygties sprendimo būdai jau buvo išvardyti aukščiau, visų pirma, šios šaknys yra lengvai parenkamos pagal trigonometrinė lentelė.
Paveikslas yra simetriškas x ašies atžvilgiu, todėl apskaičiuojame viršutinę ploto pusę (mėlynas atspalvis) ir padvigubiname rezultatą.
Pakeiskite vertę parametrinėje lygtyje: 
Rezultate gauta „graikiška“ viršutinio (mums reikalingo) astroido ir tiesės susikirtimo taško koordinatė.
Dešinioji astroido viršūnė akivaizdžiai atitinka reikšmę . Tik tuo atveju patikrinkime: 
, kuris turėjo būti patikrintas.
Kaip ir elipsės atveju, parametrinės lygtys „nubrėžia“ astroido lanką iš dešinės į kairę. Pakeitimui galūnę išdėstysiu antruoju būdu: pasikeitus parametrui funkcijos viduje mažėja, todėl (nepamirškite padvigubinti!!):
Integralas pasirodė gana sudėtingas, o norint „nenešioti visko su savimi“, geriau nutraukti sprendimą ir transformuoti integrandą atskirai. Standartinis sumažinti laipsnį naudojant trigonometrines formules:
Tinka paskutinėje kadencijoje perkelkite funkciją po diferencialo ženklu:
Atsakymas:
Taip, su žvaigždėmis sunku =)
Ši užduotis pažengusiems studentams:
7 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja lygčių pateiktos linijos
Norėdami tai išspręsti, bus pakankamai medžiagų, kurias jau svarstėme, tačiau įprastas kelias yra labai ilgas, o dabar papasakosiu apie dar vieną efektyvus metodas. Idėja iš tikrųjų pažįstama iš pamokos Ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą yra kintamojo "y" integravimas ir formulės naudojimas 
. Pakeitę į jį parametrines funkcijas, gauname veidrodžio darbo formulę:
Iš tiesų, na, kodėl jis blogesnis už „standartinį“? Tai dar vienas parametrinės formos privalumas – lygtys 
galintis atlikti ne tik „paprasto“ vaidmenį, bet tuo pačiu metu Ir atvirkštinė funkcija.
IN Ši byla daroma prielaida, kad funkcijos tęstinis apie integravimo intervalą ir funkciją monotoniškas Ant jo. Be to, jei mažėja apie integravimo intervalą (parametrinės lygtys "braižo" grafiką "priešinga kryptimi" (demesio!!) ašis ), tada pagal jau svarstytą technologiją reikia pertvarkyti integravimo ribas arba iš pradžių prieš integralą įdėti „minusą“.
7 pavyzdžio sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Paskutinė mini dalis skirta retesniam uždaviniui:
Kaip rasti revoliucijos kūno tūrį,
jei figūrą riboja parametriškai duota linija?
Atnaujiname formulę, gautą pamokos pradžioje: 
. Bendra sprendimo procedūra yra lygiai tokia pati, kaip ir randant plotą. Išimsiu keletą užduočių iš savo taupyklės.
Kai išsiaiškinome geometrinę tam tikro integralo reikšmę, gavome formulę, pagal kurią galite rasti kreivinės trapecijos plotą, ribojamą abscisių ašies, tiesių linijų. x=a, x=b, taip pat nuolatinė (ne neigiama arba ne teigiama) funkcija y = f(x) . Kartais figūrą ribojančią funkciją patogiau nustatyti parametrine forma, t.y. funkcinę priklausomybę išreikškite parametru t . Šioje medžiagoje parodysime, kaip galite rasti figūros plotą, jei jį riboja parametriškai nurodyta kreivė.
Paaiškinus teoriją ir išvedus formulę, išanalizuosime keletą tipinių pavyzdžių, kaip rasti tokių figūrų plotą.
Pagrindinė skaičiavimo formulė
Tarkime, kad turime kreivinę trapeciją, kurios ribos yra tiesės x = a, x = b, ašis O x ir parametriškai apibrėžta kreivė x = φ (t) y = ψ (t) ir funkcijos x = φ (t) ir y = ψ (t) yra tolydžios intervale α ; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .
1 apibrėžimas
Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą tokiomis sąlygomis, turite naudoti formulę S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t .
Išvedėme jį iš kreivinės trapecijos ploto formulės S (G) = ∫ a b f (x) d x, naudodami x = φ (t) y = ψ (t) pakeitimo metodą:
S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t
2 apibrėžimas
Atsižvelgiant į funkcijos x = φ (t) monotoninį mažėjimą intervale β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .
Jei funkcija x = φ (t) nepriklauso pagrindinėms elementarioms, tai turime prisiminti pagrindines funkcijos didinimo ir mažinimo intervale taisykles, kad galėtume nustatyti, ar ji didės, ar mažės.
Šioje pastraipoje išanalizuosime keletą aukščiau pateiktos formulės taikymo problemų.
1 pavyzdys
Būklė: raskite figūros plotą, sudarytą iš tiesės, pateiktos formulės x = 2 cos t y = 3 sin t lygtimis.
Sprendimas
Turime parametriškai apibrėžtą liniją. Grafiškai jis gali būti rodomas kaip elipsė su dviem pusašimis 2 ir 3 . Žiūrėkite iliustraciją:
Pabandykime surasti gautos figūros plotą 1 4, kuris užima pirmąjį kvadrantą. Plotas yra intervale x ∈ a ; b = 0 2. Tada gautą vertę padauginkite iš 4 ir raskite visos figūros plotą.
Štai mūsų skaičiavimų eiga:
x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ β = b ⇔ = 2 cos 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
Kai k lygus 0, gauname intervalą β; α = 0; π 2 . Funkcija x = φ (t) = 2 cos t ant jos monotoniškai mažės (plačiau žr. straipsnį apie pagrindines elementarias funkcijas ir jų savybes). Taigi, galite pritaikyti ploto formulę ir rasti apibrėžtą integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę:
- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 2 \u003d 3 π 2 - nuodėmė 2 π 2 2 - 0 - nuodėmė 2 0 2 \u003d 3 π 2
Tai reiškia, kad pradinės kreivės pateiktos figūros plotas bus lygus S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.
Atsakymas: S (G) = 6 π
Paaiškinkime, kad sprendžiant aukščiau pateiktą uždavinį buvo galima paimti ne tik ketvirtadalį elipsės, bet ir jos pusę – viršutinę arba apatinę. Viena pusė bus intervale x ∈ a ; b = -2; 2. Šiuo atveju turėtume:
φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z
Taigi, kai k lygus 0 , gauname β ; α = 0; π . Funkcija x = φ (t) = 2 cos t šiame intervale mažės monotoniškai.
Po to apskaičiuojame pusės elipsės plotą:
– ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t „d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 – cos (2 t) d t = = 3 t – sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π
Svarbu pažymėti, kad galite paimti tik viršų arba apačią, o ne dešinę ar kairę.
Šiai elipsei galite parašyti parametrinę lygtį, kurios centras bus pradinėje vietoje. Tai atrodys taip: x = a cos t y = b sin t . Veikdami taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame pavyzdyje, gauname elipsės S e l ir p ploto apskaičiavimo formulę su \u003d πab.
Apskritimą, kurio centras yra pradžioje, galite apibrėžti naudodami lygtį x = R cos t y = R sin t , kur t yra parametras, o R yra nurodyto apskritimo spindulys. Jei iš karto panaudosime elipsės ploto formulę, tada gausime formulę, pagal kurią galime apskaičiuoti apskritimo, kurio spindulys R, plotą: S apskritimas a = πR 2.
Panagrinėkime dar vieną problemą.
2 pavyzdys
Būklė: Raskite, koks bus figūros plotas, kurį riboja parametriškai duota kreivė x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .
Sprendimas
Iš karto paaiškinkime, kad ši kreivė yra pailgos astroido formos. Paprastai astroidas išreiškiamas naudojant x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t formos lygtį.
Dabar mes išsamiai išanalizuosime, kaip sukurti tokią kreivę. Remdamiesi atskirais taškais. Tai yra labiausiai paplitęs metodas ir taikomas daugeliui užduočių. Sudėtingesniems pavyzdžiams reikia diferencialinio skaičiavimo, kad būtų atskleista parametriškai apibrėžta funkcija.
Turime x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.
Šios funkcijos yra apibrėžtos visoms tikrosioms t reikšmėms. Dėl sin ir cos yra žinoma, kad jie yra periodiniai ir jų periodas yra 2 pi. Apskaičiuojant funkcijų x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t reikšmes, kai t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , gauname taškus x 0 ; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .
Padarykime bendrų verčių lentelę:
| t0 | 0 | π 8 | π 4 | 3 π 8 | π 2 | 5 π 8 | 3 π 4 | 7 π 8 | π |
| x 0 \u003d φ (t 0) | 3 | 2 . 36 | 1 . 06 | 0 . 16 | 0 | - 0 . 16 | - 1 . 06 | - 2 . 36 | - 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | 0 | 0 . 11 | 0 . 70 | 1 . 57 | 2 | 1 . 57 | 0 . 70 | 0 . 11 | 0 |
| t0 | 9 π 8 | 5 π 4 | 11 pi 8 | 3 π 2 | 13 π 8 | 7 π 4 | 15 π 8 | 2 pi |
| x 0 \u003d φ (t 0) | - 2 . 36 | - 1 . 06 | - 0 . 16 | 0 | 0 . 16 | 1 . 06 | 2 . 36 | 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | - 0 . 11 | - 0 . 70 | - 1 . 57 | - 2 | - 1 . 57 | - 0 . 70 | - 0 . 11 | 0 |
Po to plokštumoje pažymėkite norimus taškus ir sujunkite juos viena linija.
Dabar turime rasti tos figūros dalies, kuri yra pirmajame koordinačių ketvirtyje, plotą. Jai x ∈ a ; b = 0 3:
φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ⇔
Jei k yra 0, tai gauname intervalą β; α = 0; π 2 , o funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t ant jo monotoniškai mažės. Dabar paimame ploto formulę ir apskaičiuojame:
- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) 10 d t = 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t
Gavome tam tikrus integralus, kuriuos galima apskaičiuoti naudojant Niutono-Leibnizo formulę. Šios formulės primityvus galima rasti naudojant rekursinę formulę J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , kur J n (x) = ∫ sin n x d x .
∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos 3 t 4 - 3 kaš t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - kaš t sin 3 t 4 - 3 kaš t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 0 6 ∫ π 5 t 2 6 3 π 16 = 15 π 96
Apskaičiavome ketvirtadalio figūros plotą. Jis lygus 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.
Jei šią reikšmę padauginsime iš 4, gausime visos figūros plotą - 9 π 4.
Lygiai taip pat galime įrodyti, kad lygčių x \u200b\u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t pateiktą astroido plotą galima rasti pagal formulę , kurią riboja linija x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , apskaičiuojamas pagal formulę S = 3 πab 8 .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter