O linie dreaptă tangentă la un cerc formează un unghi de 90 cu raza trasată la punctul de contact. Astfel, pentru a construi o linie tangentă la un cerc într-un punct dat, este necesar să se tragă linia dorită perpendiculară pe rază.
Să ne uităm la câteva exemple de construcție a tangentelor și a matelor.
Exemplul 1
Prin punctul A trageți o dreaptă tangentă la cercul cu centrul O 1
Pentru a rezolva problema, executăm următoarele construcții:
1) conectați punctele O 1 și A cu o linie dreaptă;
2) din punctul O 2 - mijlocul segmentului O 1 A - se trasează un cerc auxiliar cu raza O 2 A până când se intersectează cu cercul dat în punctul B.
Acesta din urmă este un punct de contact, deoarece unghiul ABO 1 este egal cu 90 (se odihnește
cu diametrul AO 1), prin urmare, raza O 1 B este normala comună dreptei și arcului de cerc în punctul B.
Exemplul 2
Construiți o tangentă comună la două cercuri cu raze R 1 și R 2 (Fig. 3.4).
Pentru a rezolva problema, executăm următoarele construcții:
1) din centrul O 1 al cercului mare trasăm un cerc auxiliar cu raza egală cu diferența dintre R 1 și R 2, adică R 1 – R 2;
2) la acest cerc din punctul O 2 trasăm o tangentă O 2 K așa cum am făcut în exemplul 1;
3) continuăm dreapta O 1 K până la intersecția cu cercul mare dat, obținem punctul B, care este punctul de tangență. Din punctul O 2 trasăm o dreaptă paralelă cu O 1 B până când linia intersectează cercul în punctul A, care este al doilea punct de tangență al tangentei AB.
Orez. 3.3. Construcția tangentei-
nici o linie dreaptă la un cerc
Orez. 3.4. Construcția unei tangente
la două cercuri
3.3. Împerecherea a două linii drepte
Exemplul 3
Construiți o conjugare a două drepte care se intersectează m și n cu rază
împerecherea R c (Fig. 3.5).
Orez. 3.5. Construirea unei conjugări a două drepte care se intersectează
aruncați perpendicularele pe liniile date și obțineți punctele de legătură A și B; Din punctul O cu raza R c desenăm un arc conjugat între punctele A și B.
3.4. Conjugarea unei linii drepte cu un cerc (intern și extern)
Exemplul 4
Construiți conjugarea externă și internă a unui cerc cu raza R c
cu centrul O 1 cu un arc drept t de o rază de conjugare dată.
D Orez. 3.6. Construcția exteriorului conjugarea unui cerc și a unei linii Orez. 3.7. Construirea unei conjugări interne a unui cerc și a unei linii
Pentru a construi o interfață externă, parcurgeți următorii pași
|
1) se trasează o dreaptă m paralelă cu o dreaptă t la distanţa R c şi un cerc auxiliar din centrul O 1 cu rază (R 1 + R c); punctul de intersecție al dreptei m și cercul auxiliar - punctul O - este centrul arcului de conjugare; 2) conectați centrele O 1 și O cu o dreaptă, intersecția acestuia cu un cerc dat va da primul punct de conjugare - punctul A; 3) coborâți perpendiculara din punctul O la dreapta dată t și obțineți al doilea punct de conjugare - punctul B; 4) din punctul O trasăm un arc de conjugare AB cu raza R c. |
Construcția unei conjugări interne a unui cerc cu o linie dreaptă (Fig. 3.7) se realizează în mod similar construcției unei conjugări externe.
Diferența este că raza cercului auxiliar nu este egală cu suma razelor, ci cu diferența lor (R 1 – R c). Când desenați contururile obiectelor, este relativ adesea necesar să construiți tangente comune la două arce de cerc. O tangentă comună la două cercuri poate fi externă dacă ambele cercuri sunt situate pe aceeași parte a acesteia și internă dacă cercurile sunt situate pe laturi diferite ale tangentei. Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1 (Figura 47). Din centrul unui cerc de rază mai mare - puncte O – descrie un cerc cu raza R Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 2 Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1 – r Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 3 (Figura 47, a). Găsiți punctul de mijloc al segmentului Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 3 Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 2 punct Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 3 Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1. iar din el se trage un cerc auxiliar de rază sau Ambele cercuri desenate se intersectează în puncte O Şi Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1 Ambele cercuri desenate se intersectează în puncte ÎN . Puncte O B conectează o linie dreaptă și la intersecția ei cu un cerc de rază determina punctul de contact Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 2 D Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1 conectează o linie dreaptă și la intersecția ei cu un cerc de rază (Figura 47, b). Din punct de vedere descrie un cerc cu raza paralel cu linia trageți o linie până când se intersectează cu un cerc de rază și obțineți un al doilea punct de contact C . Drept CD ).
este tangenta dorită. Este construită și a doua tangentă externă comună la aceste cercuri (linie dreaptă
E.F. Figura 47 Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1 Construirea unei tangente interne comune la două cercuri de raze R și r O +descrie un cerc cu raza (Figura 48). Din centrul oricărui cerc, de exemplu: puncte Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 2 Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1 , descrie un cerc cu rază Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 3 (Figura 48, a). Împărțirea segmentului Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 3 la jumătate, obține un punct Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 3 Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 2 . Din punct de vedere 3 cum se descrie un al doilea cerc auxiliar de rază de la centru 1 = O sau DESPRE O și marchează punctele sau DESPRE Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1 Şi O intersecțiile cercurilor auxiliare. Conectarea punctelor drepte conectează o linie dreaptă și la intersecția ei cu un cerc de rază (Figura 48, b), la intersecția sa cu un cerc de rază descrie un cerc cu raza obține un punct de contact Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r 1 conectează o linie dreaptă și la intersecția ei cu un cerc de rază , iar la intersecția lui cu un cerc dat se determină al doilea punct de contact CU . Drept C – tangentă internă la cercuri date. A doua tangentă este construită în mod similar CD .
Figura 48
3.3 Se potrivește folosind un arc de cerc
3.3.1 Conjugarea a două drepte cu arc de cerc
Toate problemele care implică conjugarea arcului pot fi reduse la două tipuri. Conjugarea se realizează fie printr-o rază dată a arcului de împerechere, fie printr-un punct specificat pe una dintre liniile de împerechere. În ambele cazuri, este necesar să se construiască centrul arcului de legătură.
Conjugarea a două drepte care se intersectează cu un arc de rază R dată c (Figura 49, a). Deoarece arcul conjugat trebuie să atingă liniile date, centrul său trebuie îndepărtat din fiecare linie cu o cantitate egală cu raza O c . Asocierea este construită astfel. Desenați două linii drepte paralele cu cele date și îndepărtate de ele prin rază O c iar la intersecția acestor drepte marcați un punct Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r – centrul arcului de împerechere. Din punct de vedere cum se descrie un al doilea cerc auxiliar de rază de la centru aruncați o perpendiculară pe fiecare dintre liniile date. Bazele perpendicularelor sunt puncte sau Ambele cercuri desenate se intersectează în puncte ÎN – sunt punctele de tangență ale arcului conjugat. Această construcție a unei conjugări este valabilă pentru două drepte care se intersectează care formează orice unghi. Pentru a împerechea laturile unui unghi drept, puteți folosi și metoda indicată în Figura 49, b.
Figura 49
Conjugarea a două drepte care se intersectează, pe una dintre care este specificat punctul tangent A al arcului conjugat (Figura 50). Se știe că locul geometric al centrelor arcelor care conjugă două drepte care se intersectează este bisectoarea unghiului format de aceste drepte. Prin urmare, având construit bisectoarea unghiului, din punctul de tangență sau restabiliți perpendiculara pe linie până când intersectează bisectoarea și marcați punctul Construirea unei tangente externe comune la două cercuri de raze R și r – centrul arcului de împerechere. Scăzând din punct cum se descrie un al doilea cerc auxiliar de rază de la centru perpendicular pe o altă dreaptă, obținem un al doilea punct de tangență B și rază O c = OA = OB efectuați conjugarea a două drepte, pe una dintre care s-a specificat punctul tangent.
Conjugarea a două drepte paralele cu un arc care trece printr-un punct dat de tangență A (Figura 51). Din punct de vedere sau construiți o perpendiculară pe liniile date și marcați un punct la intersecția lui cu a doua dreaptă ÎN . Segment AB împărțiți în jumătate și obțineți un punct cum se descrie un al doilea cerc auxiliar de rază de la centru – centrul arcului conjugat cu raza.
Figura 50 Figura 51
Secantă, tangentă - toate acestea puteau fi auzite de sute de ori la lecțiile de geometrie. Dar absolvirea școlii este în urmă, anii trec și toate aceste cunoștințe sunt uitate. Ce ar trebui să vă amintiți?
Esenţă
Termenul „tangent la un cerc” este probabil familiar tuturor. Dar este puțin probabil ca toată lumea să-și poată formula rapid definiția. Între timp, o tangentă este o dreaptă situată în același plan cu un cerc care o intersectează doar într-un punct. Poate fi un număr mare de ele, dar toate au aceleași proprietăți, despre care vom vorbi de mai jos. După cum ați putea ghici, punctul de tangență este locul în care cercul și linia dreaptă se intersectează. În fiecare caz specific există doar unul, dar dacă sunt mai mulți, atunci va fi o secantă.
Istoria descoperirii și studiului
Conceptul de tangentă a apărut în antichitate. Construcția acestor linii drepte, mai întâi la un cerc, și apoi la elipse, parabole și hiperbole folosind o riglă și o busolă, a fost realizată în etapele inițiale ale dezvoltării geometriei. Desigur, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dar este evident că chiar și la acea vreme oamenii erau destul de familiarizați cu proprietățile unei tangente la un cerc.
În vremurile moderne, interesul pentru acest fenomen a aprins din nou - o nouă rundă de studiu a acestui concept a început în combinație cu descoperirea de noi curbe. Astfel, Galileo a introdus conceptul de cicloidă, iar Fermat și Descartes au construit o tangentă la acesta. Cât despre cercuri, se pare că nu au mai rămas secrete pentru străvechi în această zonă.
Proprietăți
Raza trasată către punctul de intersecție va fi Aceasta
principala, dar nu singura proprietate pe care o are tangenta la un cerc. încă unul caracteristică importantă include deja două linii drepte. Deci, printr-un punct situat în afara cercului, pot fi trase două tangente, iar segmentele lor vor fi egale. Există o altă teoremă pe acest subiect, dar este rar predată ca parte a unui curs școlar standard, deși este extrem de convenabilă pentru rezolvarea unor probleme. Sună așa. Dintr-un punct situat în afara cercului, sunt trase la el o tangentă și o secantă. Se formează segmentele AB, AC și AD. A este intersecția dreptelor, B este punctul de tangență, C și D sunt intersecții. În acest caz, va fi valabilă următoarea egalitate: lungimea tangentei la cerc, la pătrat, va fi egală cu produsul segmentelor AC și AD.
Există un corolar important pentru cele de mai sus. Pentru fiecare punct de pe cerc puteți construi o tangentă, dar numai una. Dovada acestui lucru este destul de simplă: teoretic aruncând o perpendiculară din rază pe ea, aflăm că triunghiul format nu poate exista. Și asta înseamnă că tangenta este singura.
Constructii
Printre alte probleme de geometrie există o categorie specială, de regulă, nu
iubit de elevi și studenți. Pentru a rezolva problemele din această categorie, aveți nevoie doar de o busolă și o riglă. Acestea sunt sarcini de construcție. Există și altele pentru construirea unei tangente.
Deci, având în vedere un cerc și un punct situat în afara granițelor sale. Și este necesar să desenați o tangentă prin ele. Cum să faci asta? În primul rând, trebuie să desenați un segment între centrul cercului O și un punct dat. Apoi folosiți o busolă pentru a o împărți în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați raza - puțin mai mult de jumătate din distanța dintre centrul cercului original și acest punct. După aceasta, trebuie să construiți două arce care se intersectează. În plus, raza busolei nu trebuie schimbată, iar centrul fiecărei părți a cercului va fi punctul original și, respectiv, O. Intersecțiile arcurilor trebuie conectate, ceea ce va împărți segmentul în jumătate. Setați o rază pe busolă egală cu această distanță. Apoi, construiți un alt cerc cu centrul în punctul de intersecție. Atât punctul original, cât și O se vor afla pe el. În acest caz, vor mai exista două intersecții cu cercul dat în problemă. Acestea vor fi punctele de contact pentru punctul specificat inițial.
Construcția tangentelor la cerc a dus la naștere
calcul diferenţial. Prima lucrare pe această temă a fost publicată de celebrul matematician german Leibniz. Acesta prevedea posibilitatea de a găsi maxime, minime și tangente indiferent de mărimile fracționale și iraționale. Ei bine, acum este folosit pentru multe alte calcule.
În plus, tangenta la un cerc este legată de semnificația geometrică a tangentei. De aici provine numele său. Tradus din latină tangens înseamnă „tangentă”. Astfel, acest concept este asociat nu numai cu geometria și calculul diferențial, ci și cu trigonometria.
Două cercuri
Tangenta nu afectează întotdeauna o singură figură. Dacă un număr mare de linii drepte pot fi trase într-un cerc, atunci de ce nu invers? Can. Dar sarcina în acest caz devine serios complicată, deoarece tangenta la două cercuri poate să nu treacă prin niciun punct, iar poziția relativă a tuturor acestor cifre poate fi foarte
diferit.
Tipuri și soiuri
Când vorbim despre două cercuri și una sau mai multe drepte, chiar dacă se știe că acestea sunt tangente, nu este imediat clar cum sunt situate toate aceste figuri una în raport cu cealaltă. Pe baza acestui fapt, se disting mai multe soiuri. Astfel, cercurile pot avea unul sau două puncte comune sau să nu le aibă deloc. În primul caz se vor intersecta, iar în al doilea se vor atinge. Și aici se disting două soiuri. Dacă un cerc este, parcă, încorporat în al doilea, atunci tangența se numește internă, dacă nu, atunci externă. Puteți înțelege poziția relativă a figurilor nu numai pe baza desenului, ci și având informații despre suma razelor lor și distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două cantități sunt egale, atunci cercurile se ating. Dacă prima este mai mare, se intersectează, iar dacă este mai mică, atunci nu au puncte comune.
Același lucru este valabil și pentru liniile drepte. Pentru oricare două cercuri care nu au puncte comune, puteți
construiți patru tangente. Două dintre ele se vor intersecta între figuri, se numesc interne. Alți doi sunt externi.
Dacă vorbim de cercuri care au un punct comun, atunci problema este mult simplificată. Ideea este că indiferent de ce poziție relativăîn acest caz vor avea o singură tangentă. Și va trece prin punctul de intersecție. Deci construcția nu va fi dificilă.
Dacă figurile au două puncte de intersecție, atunci se poate construi o linie dreaptă pentru ele, tangentă la cercul atât a uneia, cât și a celeilalte, dar numai exterioară. Soluția la această problemă este similară cu cea care va fi discutată mai jos.
Rezolvarea problemelor
Atât tangenta internă, cât și cea externă la două cercuri nu sunt atât de simplu de construit, deși această problemă poate fi rezolvată. Faptul este că pentru aceasta se folosește o figură auxiliară, așa că trebuie să veniți singur cu această metodă
destul de problematic. Deci, sunt date două cercuri cu raze și centre diferite O1 și O2. Pentru ei trebuie să construiți două perechi de tangente.
În primul rând, trebuie să construiți unul auxiliar lângă centrul cercului mai mare. În acest caz, diferența dintre razele celor două cifre inițiale trebuie stabilită pe busolă. Tangentele la cercul auxiliar sunt construite din centrul cercului mai mic. După aceasta, se trasează perpendiculare de la O1 și O2 pe aceste linii până când se intersectează cu figurile originale. După cum rezultă din proprietatea de bază a tangentei, se găsesc punctele necesare pe ambele cercuri. Problema este rezolvată, cel puțin prima parte.
Pentru a construi tangente interne, va trebui să rezolvați practic
sarcină similară. Din nou veți avea nevoie de o cifră auxiliară, dar de data aceasta raza acesteia va fi egală cu suma celor inițiale. Tangentele sunt construite la acesta din centrul unuia dintre aceste cercuri. Evoluția ulterioară a soluției poate fi înțeleasă din exemplul anterior.
Tangenta la un cerc sau chiar două sau mai multe nu este o sarcină atât de dificilă. Desigur, matematicienii au încetat de mult să rezolve astfel de probleme manual și încredințează calculele unor programe speciale. Dar nu ar trebui să crezi că acum nu trebuie să poți să o faci singur, deoarece pentru a formula corect o sarcină pentru un computer trebuie să faci și să înțelegi multe. Din păcate, există îngrijorări că, după trecerea finală la o formă de testare de control al cunoștințelor, sarcinile de construcție vor cauza elevilor din ce în ce mai multe dificultăți.
În ceea ce privește găsirea tangentelor comune pentru un număr mai mare de cercuri, acest lucru nu este întotdeauna posibil, chiar dacă acestea se află în același plan. Dar, în unele cazuri, puteți găsi o astfel de linie dreaptă.
Exemple din viață
O tangentă comună la două cercuri apare adesea în practică, deși acest lucru nu este întotdeauna vizibil. Transportoare, sisteme de blocuri, curele de transmisie cu scripete, tensiunea firului într-o mașină de cusut și chiar și doar un lanț de bicicletă - toate acestea sunt exemple reale. Deci nu ar trebui să credeți că problemele geometrice rămân doar în teorie: în inginerie, fizică, construcții și multe alte domenii își găsesc aplicații practice.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Instituție de învățământ bugetară de stat
Gimnaziul nr 000
Lucrări de proiectare în geometrie.
Opt moduri de a construi o tangentă la un cerc.
9 clasa biologico-chimică
Supraveghetor stiintific: ,
Director adjunct pentru afaceri academice,
profesor de matematică.
Moscova 2012
Introducere
Capitolul 1. …………………………………………………………………………………4
Concluzie
Introducere
Cea mai înaltă manifestare a spiritului este mintea.
Cea mai înaltă manifestare a rațiunii este geometria.
Celula de geometrie este un triunghi. El de asemenea
inepuizabil, ca universul. Cercul este sufletul geometriei.
Cunoașteți cercul și nu numai sufletul
geometrie, dar și ridică-ți sufletul.
Claudius Ptolemeu
Sarcină.
Construiți o tangentă la un cerc cu centrul O și raza R care trece prin punctul A aflat în afara cercului
Capitolul 1.
Construcția unei tangente la un cerc care nu necesită justificare bazată pe teoria dreptelor paralele.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO = 90°. Pentru un cerc (O; r) OB - raza. OB AB, prin urmare, AB este o tangentă conform proprietății tangentei.
În mod similar, AC este tangentă la un cerc.
Construcția nr. 1 se bazează pe faptul că tangenta unui cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.
Pentru o linie dreaptă există un singur punct de contact cu un cerc.
Doar o singură dreaptă perpendiculară poate fi trasată printr-un punct dat pe o dreaptă.
Construcția nr. 2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°
5. OB – raza, ABO = 90°, deci, AB – tangentă după atribut.
6. În mod similar, în triunghiul isoscel AON AC este tangenta (ACO = 90°, OS este raza)
7. Deci, AB și AC sunt tangente
Formația nr. 3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ORM = OVA = 90° (ca unghiuri corespunzătoare în triunghiuri egale), prin urmare, AB – tangentă bazată pe tangentă.
4. În mod similar, AC este o tangentă
Constructii №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Construcția nr. 6.
Constructie:
2. Voi trasa o dreaptă arbitrară prin punctul A care intersectează cercul (O, r) în punctele M și N.
6. AB și BC sunt tangentele necesare.
Dovada:
1. Deoarece triunghiurile PQN și PQM sunt înscrise într-un cerc și latura PQ este diametrul cercului, atunci aceste triunghiuri sunt dreptunghiulare.
2. În triunghiul PQL, segmentele PM și QN sunt înălțimi care se intersectează în punctul K, prin urmare KL este a treia înălțime..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, apoi |AQ| |AS|ctg β. Prin urmare |PA|.
5. Comparând (1) și (2) obțin |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, sau
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
După ce am deschis parantezele și am simplificat, constat că |OD|·|OA|=R².
5. Din relația |OD|·|OA|=R² rezultă că |OD|:R=R: |OA|, adică triunghiurile ODB și OBA sunt similare..gif" width="17" height=" 16"> OBA = 90°. Prin urmare, linia dreaptă AB este tangenta dorită, ceea ce trebuia demonstrat.
Construcția nr. 6. 
Constructie:
1. Voi construi un cerc (A; |OA|).
2. Voi găsi o deschidere de busolă egală cu 2R, pentru care voi selecta punctul S de pe cerc (O; R) și voi reprezenta trei arce care conțin 60º fiecare: SP=PQ=QT=60°. Punctele S și T sunt diametral opuse.
3. Construiesc un cerc (O; ST) care se intersectează w 1 Ce fel de cerc este acesta? în punctele M și N.
4. Acum voi construi mijlocul MO. Pentru a face acest lucru, construiesc cercuri (O; OM) și (M; MO), iar apoi pentru punctele M și O găsim punctele U și V diametral opuse pe ele.
6. În final, voi construi un cerc (K; KM) și (L; LM), care se intersectează în punctul dorit B - mijlocul MO.
Dovada:
Triunghiurile KMV și UMK sunt isoscele și similare. Prin urmare, din faptul că KM = 0,5 MU, rezultă că MB = 0,5 MK = 0,5 R. Deci, punctul B este punctul de contact dorit. În mod similar, puteți găsi punctul de contact C.
Capitolul 3.
Construcția unei tangente la un cerc pe baza proprietăților secantelor și bisectoarelor.
Formația nr. 7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Formația nr. 8
Constructie:
1. Construiți un cerc (A;AP) care intersectează dreapta AP în punctul D.
2. Construiți un cerc w pe diametrul QD
3. Îl voi intersecta cu o perpendiculară pe dreapta AP în punctul A și voi obține punctele M și N.
Dovada:
Este evident că AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Atunci cercul (A;AM) se intersectează (O;R) în punctele tangente B și C. AB și AC sunt tangentele necesare.