Distanța dintre punct și direct. Distanța de la punct la Direct pe avion

13.07.2020

Lăsați sistemul de coordonate dreptunghiulare să fie fixat în spațiu tridimensional Oxyz., Punctul este setat, drept a. și este necesar să găsiți distanța de la punct DAR pentru a direcționa a..

Arătăm două modalități de a calcula distanța de la punctul la o linie dreaptă în spațiu. În primul caz, găsirea distanței de la punct M. 1 pentru a direcționa a. coboară la găsirea distanței de la punct M. 1 până la punctul H. 1 Unde H. 1 - baza perpendiculară, coborâtă din punct M. 1 La domiciliu a.. În al doilea caz, distanța de la punctul în plan va fi găsită ca înălțimea paralelogramei.

Deci, procedați.

Prima metodă de găsire a distanței de la punctul de a direcționa un spațiu în spațiu.

Deoarece distanța de definiție de la punct M. 1 pentru a direcționa a. - Aceasta este lungimea perpendiculară M. 1 H. 1 , apoi definirea coordonatelor punctului H. 1 , putem calcula distanța dorită ca distanța dintre punctele și conform formulei.

Astfel, sarcina este redusă la găsirea coordonatelor fundamentării perpendicularului construit din punct M. 1 pentru a direcționa a.. Face destul de simplu: punct H. 1 - Acesta este un punct de intersecție directă a. cu un avion care trece prin punct M. 1 perpendicular de direct a..

Prin urmare, algoritmul care vă permite să determinați distanța de la punct pentru a direcționaa. in spatiuAstfel de:

O a doua metodă care vă permite să găsiți distanța de la punctul de a direcționa un spațiu.

Deoarece este întrebată condiția de sarcină a.Apoi, putem determina vectorul său de ghidare și coordonatele unui punct M. 3 situată pe o dreaptă a.. Apoi de coordonatele punctelor și putem calcula coordonatele vectorului: (dacă este necesar, se referă la coordonatele articolului prin coordonatele punctelor de la începutul și sfârșitul acestuia).

Am amânat vectori și din punct de vedere M. 3 Și vom construi paralelograme pe ele. În această paralelă va petrece înălțimea M. 1 H. 1 .

Evident, înălțimea M. 1 H. 1 Paralelograma construită este egală cu distanța dorită de la punct M. 1 pentru a direcționa a.. Vom găsi.

Pe de o parte, zona paralelogramei (o denotăm S.) Se poate găsi un produs de foraj al vectorilor. și prin formula . Pe de altă parte, zona paralelogramei este egală cu produsul din partea sa de lateral la înălțime, adică, Unde - vector de lungime , o lungime egală Părțile luate în considerare de paralelogram. În consecință, distanța de la punctul specificat M. 1 la un anumit director a. pot fi găsite din egalitate la fel de .

Asa de, pentru a găsi distanța de la punct pentru a direcționaa. În spațiul de care aveți nevoie

Rezolvarea sarcinilor pentru a găsi distanța de la un punct dat la un anumit director în spațiu.

Luați în considerare soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți distanța de la punct pentru a direcționa .

Decizie.

Primul mod.

Scrieți ecuația avionului care trece prin punct M. 1 perpendicular la o linie dreaptă dată:

Găsiți coordonatele punctului H. 1 - Punct de intersecție a planului și o linie dreaptă dată. Pentru a face acest lucru, faceți tranziția de la ecuații canonice. Direct la ecuațiile a două avioane intersectate

după care rezolvăm un sistem de ecuații liniare metoda Cramer:

În acest fel, .

Rămâne să calculați distanța necesară față de punctul la drept ca distanța dintre punctele și:.

Al doilea mod.

Numerele din denominatorii fracțiilor din ecuațiile canonice reprezintă direct coordonatele corespunzătoare ale vectorului de ghidare a acestui drept, adică, - Vector direct direct . Calculați lungimea sa: .

Evident, Drept. trece prin punct , apoi vector cu începutul la punct și se termină la punct există . Găsim o lucrare de artă vectorială și :
apoi, lungimea acestei lucrări vectoriale este egală .

Acum avem toate datele pentru a profita de formula pentru a calcula distanța de la punctul specificat la planul specificat: .

Răspuns:

Locația reciprocă a spațiului direct

Abilitatea de a găsi distanța dintre diferitele obiecte geometrice este importantă atunci când se efectuează calcule ale suprafeței figurilor și volumul acestora. În acest articol, luați în considerare problema modului de a găsi de la punct la o distanță directă în spațiu și în avion.

Descrierea matematică Direct.

Pentru a înțelege cum să găsiți distanța de la punct la Direct, trebuie să vă ocupați de problema sarcinii matematice a acestor obiecte geometrice.

Cu un punct, totul este simplu, este descris de un set de coordonate, ale căror număr corespunde dimensiunii spațiului. De exemplu, în avion este două coordonate, în spațiu tridimensional - trei.

În ceea ce privește obiectul unidimensional - direct, atunci pentru descrierea sa, sunt utilizate mai multe specii de ecuații. Ia în considerare doar două dintre ele.

Prima specie se numește ecuația vectorială. Mai jos sunt expresii pentru direct în spațiul tridimensional și bidimensional:

(x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + α × (A; b; c);
(x; y) \u003d (x 0; y 0) + α × (a; b)

În aceste expresii, coordonatele cu indicii zero descriu punctul prin intermediul căruia directă, setul de coordonate (A; b) și (a; b) sunt așa-numitele ghiduri vectori pentru linia dreaptă corespunzătoare, α este a parametru care poate lua orice valoare de valoare.

Ecuația vectorului este convenabilă în sensul că conține în mod explicit direcțiile directe directe, ale căror coordonate pot fi utilizate în rezolvarea sarcinilor de paralelism sau perpendicularitate a diferitelor obiecte geometrice, cum ar fi două directe.

Al doilea tip de ecuație, pe care îl considerăm pentru o direcție este numit comun. În spațiu, această specie este dată de ecuațiile comune ale a două planuri. Pe avionul are forma următoare:

A × X + B × Y + C \u003d 0

Când se bazează programul, este adesea scrisă de dependența de ICA / Gamepec, adică:

y \u003d -a / b × x + (- c / b)

Aici, un membru gratuit-C / B corespunde coordonatei intersecției unei linii cu axa Y, iar coeficientul -A / B este asociat cu unghiul de înclinare directă spre axa X.

Conceptul de distanță dintre drept și punct

După ce ați înțeles cu ecuațiile, puteți trece direct la răspunsul la întrebarea modului de a găsi de la punct la o distanță directă. În școala clară a 7-a, încep să ia în considerare această problemă de a determina valoarea corespunzătoare.

Distanța dintre drept și punct este lungimea lungimii perpendiculare a acestui segment direct, care este omisă din punctul în cauză. Mai jos în figură prezintă linia dreaptă R și punctul A. Albastru prezintă un segment de linie dreaptă perpendiculară. Lungimea lui este distanța dorită.

Un caz bidimensional este descris aici, totuși, această definiție a distanței este valabilă pentru o sarcină tridimensională.

Formulele necesare

În funcție de care ecuația este scrisă la Direct și în ce spațiu, sarcina este rezolvată, două formule de bază pot fi date întrebării modului de a găsi distanța dintre direct și punct.

Denotă punctul cunoscut prin simbolul P 2. Dacă ecuația este setată direct în formularul vectorial, atunci pentru distanțele D între obiectele luate în considerare, formula este adevărată:

d \u003d ||. / | Vin |

Aceasta este, pentru a determina D, este necesar să se calculeze modulul produsului vector al ghidajului pentru vectorul drept și vectorul P 1 P 2, începutul căruia se află într-un punct arbitrar P 1 pe o linie dreaptă , iar sfârșitul este la punctul P 2, apoi împărțiți acest modul pentru lungimea V ¯. Această formulă este universală pentru spațiul plat și tridimensional.

Dacă sarcina este luată în considerare în avion în sistemul de coordonate XY și ecuația directă este setată în generalApoi, următoarea formulă pentru a găsi distanța de la un drept la punct permite:

Drept: a × x + b × y + c \u003d 0;
Punct: P2 (x 2; Y2; Z2);
Distanță: D \u003d | A × x 2 + B × Y 2 + C | / √ (A 2 + B 2)

Formula de mai sus este destul de simplă, dar utilizarea sa este limitată la condițiile marcate mai sus.

Coordonatele proiecției punctului de pe partea dreaptă și la distanță

Răspundeți la întrebarea modului de a găsi distanța de la punct la Direct, poate fi, de asemenea, altfel nu este implicat în memorarea formulelor de mai sus. Această metodă este de a determina punctul de pe linie, care este proiecția punctului original.

Să presupunem că există punctul M și R. Proiecția de la punctul M corespunde unui punct M 1. Distanța de la m la R este egală cu lungimea vectorului mm 1 ¯.

Cum să găsiți coordonatele m 1? Foarte simplu. Este suficient să ne amintim că linia vectorului v va fi perpendiculară pe mm 1, adică produsul lor scalar ar trebui să fie zero. Prin adăugarea acestei condiții ca coordonatele m 1 să satisfacă ecuația directă R, obținem un sistem de ecuații liniare simple. Ca urmare a soluției sale, se obțin coordonatele proiecției punctului M pe R.

Metoda descrisă în acest punct este distanța de la direct la punct poate fi utilizată pentru un plan și pentru spațiu, dar utilizarea acestuia implică cunoașterea ecuației vectoriale pentru o linie dreaptă.

Sarcină în avion

Acum este timpul să arătăm cum să utilizați aparatul matematic prezentat pentru a rezolva probleme reale. Să presupunem că avionul este dat punctul M (-4; 5). Este necesar să găsiți distanța de la punctul M la o linie dreaptă, care este descrisă de ecuația generală:

3 × (-4) + 6 \u003d -6 ≠ 5

Asta este, m nu se află pe o linie dreaptă.

Deoarece ecuația este stabilită direct în formă generală, le oferim astfel încât să putem folosi formula adecvată, avem:

y \u003d 3 × x + 6 \u003d\u003e
3 × x - y + 6 \u003d 0

Acum puteți înlocui numere celebre În formula pentru D:

d \u003d | a × x 2 + b × y 2 + c | / √ (A 2 + B 2) \u003d
\u003d | 3 × (-4) -1 × 5 + 6 | / √ (3 2 + (- 1) 2) \u003d 11 / √10 ≈ 3.48

Sarcină în spațiu

Acum luați în considerare cazul în spațiu. Să fie direct descrisă prin următoarea ecuație:

(x; y; z) \u003d (1; -1; 0) + a × (3; -2; 1)

Care este distanța de la ea până la punctul M (0; 2; -3)?

La fel ca în cazul precedent, verificăm aparținerea punctului de referință M. Pentru a face acest lucru, vom înlocui coordonatele la ecuație și vom rescrie în mod explicit:

x \u003d 0 \u003d 1 + 3 × α \u003d\u003e α \u003d -1/3;
y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α \u003d\u003e α \u003d -3/2;

Deoarece au fost obținuți diferiți parametri α, atunci M nu se află pe această linie dreaptă. Calculați acum distanța de la ea la dreapta.

Pentru a profita de formula pentru D, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă, de exemplu P (1; -1; 0), atunci:

Calculăm produsul vectorial între PM »direct V2. Primim:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Acum, înlocuim modulele vectorului găsit și vectorul VCO în formula pentru D, primim:

d \u003d √ (9 + 64 + 49) / √ (9 + 4 + 1) ≈ 2.95

Acest răspuns ar putea fi obținut utilizând metoda descrisă mai sus, care implică soluția sistemului de ecuații liniare. În aceste sarcini anterioare, valorile de distanță calculate de la direct la punct sunt prezentate în unități ale sistemului de coordonate corespunzător.

Unghiul dintre direct în plan.

Definiție.

Ieșire a distanței distanței de la punctul de a direcționa

Opțiunea 1

Lăsați avionul să dea o linie dreaptă l.: tOPOR. + de + c. \u003d 0 și punct M 1.(x 1.;y 1.), nu aparținând acestei linii drepte. Vom găsi distanța de la punctul spre dreapta. Sub distanța ρ de la punct M 1.pentru a direcționa l. Înțelegeți lungimea tăierii M 0.M 1.⏊ l..

Pentru a determina distanța, este convenabil să utilizați un singur vector, vectorul normal colinear drept.

Explicaţie:de la punctul M 0. Se află într-o dreaptă l., coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația cu această linie, adică. axa 0. + cu 0. + c.= 0Opțiunea 2.

Dacă este specificat punctul M (x 0, Y 0), atunci distanța la o linie dreaptă ah + W + C \u003d 0 este definită ca .

Dovezi. Lăsați punctul M 1 (x 1, in 1) baza perpendicularului, coborât din punctul M pe specific specific. Apoi distanța dintre punctele m și m 1: (1) Coordonatele x 1 Și 1 poate fi găsit ca o soluție a sistemului de ecuații: A doua ecuație a sistemului este ecuația trecerii directe printr-un punct dat M 0 perpendicular pe directorul direct specificat. Dacă convertiți prima ecuație a sistemului în minte: A (x - x 0) + B (Y-Y 0) + AX \u200b\u200b0 + cu 0 + C \u003d 0, apoi, rezolvarea, obțineți: Înlocuirea acestor expresii la ecuația (1), găsim: . Teorema este dovedită.

Metoda de coordonate (distanța dintre punct și plan, între drept)

Distanța dintre punct și plan.

Distanța dintre punct și direct.

Distanța între două drepte.

Primul lucru este util să știi, este cum să găsiți distanța de la punctul în plan:

Valorile coeficienților A, B, C, D - plan

x, Y, Z - Coordonatele punctului

O sarcină. Găsiți distanța dintre punctul A \u003d (3; 7; -2) și planul 4x + 3Y + 13Z - 20 \u003d 0.

Toate sunt date, puteți înlocui imediat valorile la ecuație:

O sarcină. Găsiți distanța de la punctul K \u003d (1; -2; 7) la o trecere directă prin punctele V \u003d (8; 6; -13) și t \u003d (-1; -6; 7).

Găsiți vectorul drept.
Calculați vectorul care trece prin punctul dorit și oriunde pe linia dreaptă.
Specificăm matricea și găsim determinantul pentru doi vectori obținuți în paragraful 1 și al doilea.
Distanța ajunge când rădăcină pătrată Din suma pătratelor coeficienților matricei, împărțim lungimea vectorului care stabilește drept(Cred că nu este clar, așa că ne întoarcem la un exemplu specific).

1) TV \u003d (8- (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; -20)

2) Vom găsi vectorul prin punctele K și T, deși ar fi posibil și prin k și v sau orice alt punct de pe această linie.

Tk \u003d (1- (- 1); -2- (-6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)

3) Se pare că M Atrix fără raport D (aici nu este necesar să se rezolve):

4) Avionul sa dovedit a fi coeficienți A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12,

x, Y, Z - coordonatele vectorului drept, în acest caz - televizorul vectorial are coordonate (9; 12; -20)

O sarcină. Găsiți distanța dintre trecerea directă prin punctele E \u003d (1; 0; -2), g \u003d (2; 2; -1) și trecerea directă prin punctele m \u003d (4; -1; 4), L \u003d (-2; 3; 0).

Am stabilit vectorii de ambele linii drepte.
Noi găsim un vector, luând un punct cu fiecare drept.
Noi scriem pe matricea a 3 vectori (două linii de la primul punct, o linie de la 2) și găsim determinantul său numeric.
Specificăm matricea primilor doi vectori (la alineatul (1)). Prima linie specifică ca x, y, z.
Distanța pe care o obținem când împărțim valoarea rezultată de la punctul 3 prin modulul pe o rădăcină pătrată din suma pătratelor clauzei 4.

Trecerea la numere.

Formula pentru calcularea distanței de la punct la Direct pe plan

Dacă ecuația este setată la AXA DIGHT + BY + C \u003d 0, distanța de la punctul M (m x, m y) la dreapta poate fi găsită utilizând următoarea formulă

Exemple de sarcini pentru calcularea distanței de la punct la Direct pe plan

Exemplul 1.

Găsiți distanța dintre direcția 3x + 4Y la 6 \u003d 0 și punctul M (-1, 3).

Decizie. Înlocuiți în formula coeficienții direcți și coordonatelor punctului

Răspuns: Distanța de la punct la drept egal cu 0,6.

ecuația planului care trece prin Dots perpendicular ecuația plană vectorială

Vectorul nonzero, perpendicular pe planul specificat, se numește vector normal (sau, pe scurt, normal ) Pentru acest avion.

Lăsați în spațiul de coordonare (în sistemul de coordonate dreptunghiulare) set:

un punct ;

b) vector nonzero (fig.4.8, a).

Este necesar să se facă ecuația planului care trece prin punct perpendicular pe vector Sfârșitul dovezii.

Luați în considerare acum diferitele tipuri de ecuații drepte în avion.

1) Ecuația generală a planuluiP. .

De la ieșirea ecuației rezultă că în același timp A., B. și C. Nu egală cu 0 (explicați de ce).

Punctul aparține avionului P. Numai în cazul în care coordonatele sale satisfac ecuația avionului. În funcție de coeficienți A., B., C. și D.avion P. Îngrijorează orice poziție:

- avionul trece prin începutul sistemului de coordonate - avionul nu trece prin începutul sistemului de coordonate,

- plan paralel cu axa X.,

X.,

- plan paralel cu axa Y.,

- planul nu paralel cu axa Y.,

- plan paralel cu axa Z.,

- planul nu paralel cu axa Z..

Dovedește-te singur aceste afirmații.

Ecuația (6) este ușor derivată din ecuația (5). Într-adevăr, lăsați punctul să se afle în avion P.. Apoi, coordonatele sale satisfac ecuația ecuației de la ecuația (7) și formularea termenilor, obținem ecuația (6). Acum luăm în considerare doi vectori cu coordonate, respectiv. Din formula (6) rezultă că produsul lor scalar este zero. În consecință, vectorul perpendicular pe vectorul începe și capătul ultimului vector sunt, respectiv, la punctele care aparțin planului P.. În consecință, planul perpendicular vector P.. Distanța de la locația plană P., ecuația generală din care Determinată de formula Dovada acestei formule este complet similară cu dovada formulei distanței dintre punct și direct (vezi figura 2).
Smochin. 2. la ieșirea distanței dintre plan și direct.

Într-adevăr, distanța d. între planul drept și planul este egal

unde - Punctul se află în avion. Prin urmare, la fel ca în cazul nr. 11, se obține formula de mai sus. Două planuri sunt paralele, dacă vectorul lor normal este paralel. De aici obținem starea paralelismului a două planuri - coeficienți ecuații comune Avioane. Două avioane sunt perpendiculare dacă vectorul lor normal este perpendicular pe starea perpendicularității a două planuri, dacă sunt cunoscute ecuațiile lor comune.

Unghi f. Între două planuri este egală cu colțul dintre vectorii lor normali (vezi figura 3) și poate fi, prin urmare, calculată prin formula
Determinarea colțului dintre avioane.

(11)

Distanța de la punct la plan și modalități de ao găsi

Distanța de la punctul la avion - lungimea perpendiculară, coborâtă de la punct la acest plan. Există cel puțin două moduri de a găsi distanța de la punctul în plan: geometric și algebric.

În metoda geometrică Trebuie să înțelegeți mai întâi cum se află perpendicularul din punct spre plan: poate să se situeze într-un plan confortabil, este înălțime în unele triunghi convenabil (sau nu foarte) și poate că această perpendiculară este în general înălțime în unele piramide.

După aceasta, prima și cea mai complexă etapă, problema se dezintegrează în mai multe sarcini planimetrice specifice (poate în diferite avioane).

Cu o metodă algebrică Pentru a găsi distanța de la punctul în plan, trebuie să introduceți sistemul de coordonate, să găsiți coordonatele punctului și ecuația planului și apoi să aplicați formula distanței de la punctul în plan.