Să aflăm volumul corpului generat de rotația arcului cicloidian în jurul bazei sale. Roberval a găsit-o prin spargerea corpului în formă de ou rezultat (Fig. 5.1) în straturi infinit de subțiri, înscriind cilindri în aceste straturi și adunându-le volumele. Dovada este lungă, plictisitoare și nu complet riguroasă. Prin urmare, pentru a-l calcula, apelăm la matematică superioară. Să setăm parametric ecuația cicloidă.
În calculul integral, când studiază volumele, folosește următoarea remarcă:
Dacă curba care mărginește trapezul curbiliniu este dată de ecuații parametrice și funcțiile din aceste ecuații îndeplinesc condițiile teoremei privind schimbarea variabilei într-o anumită integrală, atunci volumul corpului de rotație al trapezului în jurul axei Ox va se calculează cu formula:
Să folosim această formulă pentru a găsi volumul de care avem nevoie.
În același mod, calculăm suprafața acestui corp.
L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cost), 0 ? t ? 2р)
În calculul integral, există următoarea formulă pentru găsirea suprafeței unui corp de revoluție în jurul axei x a unei curbe specificate pe un segment parametric (t 0 ?t ?t 1):
Aplicând această formulă la ecuația noastră cicloidă, obținem:
Luați în considerare și o altă suprafață generată de rotația arcului cicloid. Pentru a face acest lucru, vom construi o reflectare în oglindă a arcului cicloid în raport cu baza acestuia și vom roti figura ovală formată de cicloidă și reflectarea acesteia în jurul axei KT (Fig. 5.2)
Mai întâi, să găsim volumul corpului format prin rotația arcului cicloid în jurul axei KT. Volumul acestuia va fi calculat prin formula (*):
Astfel, am calculat volumul a jumătate din acest corp de nap. Atunci volumul total va fi
Înainte de a trece la formulele pentru suprafața unei suprafețe de revoluție, oferim o scurtă formulare a suprafeței de revoluție în sine. Suprafața de revoluție sau, ceea ce este la fel, suprafața unui corp de revoluție este o figură spațială formată prin rotirea unui segment AB curba în jurul axei Bou(poza de mai jos).
Să ne imaginăm un trapez curbiliniu mărginit de sus de segmentul menționat al curbei. Corpul format prin rotirea acestui trapez în jurul aceleiași axe Bou, și există un corp de revoluție. Iar suprafața de rotație sau suprafața unui corp de rotație este învelișul său exterior, fără a număra cercurile formate prin rotație în jurul axei liniilor X = AȘi X = b .
Rețineți că corpul de revoluție și, în consecință, suprafața sa pot fi formate și prin rotirea figurii nu în jurul axei Bou, și în jurul axei Oi.
Calcularea ariei unei suprafețe de revoluție dată în coordonate dreptunghiulare
Lăsați coordonatele dreptunghiulare pe plan prin ecuație y = f(X) este dată o curbă, a cărei rotație în jurul axei de coordonate formează un corp de revoluție.
Formula pentru calcularea suprafeței de revoluție este următoarea:
(1).
Exemplul 1 Găsiți aria suprafeței unui paraboloid format prin rotație în jurul unei axe Bou arcul de parabolă corespunzător schimbării X din X= 0 la X = A .
Soluţie. Exprimăm în mod explicit funcția care definește arcul parabolei:
Să găsim derivata acestei funcții:
Înainte de a folosi formula pentru găsirea ariei suprafeței de revoluție, să scriem partea integrandului său care este rădăcina și să înlocuim derivata pe care tocmai am găsit-o acolo:
Răspuns: Lungimea arcului curbei este
.
Exemplul 2 Găsiți aria suprafeței formate prin rotație în jurul unei axe Bou astroizi.
Soluţie. Este suficient să calculăm suprafața rezultată din rotația unei ramuri a astroidului, situată în primul trimestru, și să o înmulțim cu 2. Din ecuația astroidului, exprimăm în mod explicit funcția pe care va trebui să o înlocuim în formula pentru a găsi suprafața de rotație:
.
Efectuăm integrarea de la 0 la A:
Calculul suprafeței de revoluție dat parametric
Luați în considerare cazul când curba care formează suprafața de revoluție este dată de ecuațiile parametrice
Apoi aria suprafeței de revoluție este calculată prin formula
(2).
Exemplul 3 Aflați aria suprafeței de revoluție formată de rotația în jurul unei axe Oi figură delimitată de o cicloidă și o linie dreaptă y = A. Cicloida este dată de ecuațiile parametrice
Soluţie. Aflați punctele de intersecție ale cicloidei și ale dreptei. Echivalarea ecuației cicloidă și a ecuației dreptei y = A, găsi
De aici rezultă că limitele integrării corespund
Acum putem aplica formula (2). Să găsim derivate:
Scriem expresia radicalului în formulă, înlocuind derivatele găsite:
Să găsim rădăcina acestei expresii:
.
Înlocuiți cel găsit în formula (2):
.
Să facem o înlocuire:
Și în sfârșit găsim
La transformarea expresiilor s-au folosit formule trigonometrice
Răspuns: Aria suprafeței de revoluție este .
Calcularea ariei unei suprafețe de revoluție dată în coordonate polare
Fie curba a cărei rotație formează suprafața să fie dată în coordonate polare.
Prelegeri 8. Aplicații ale unei integrale definite.
Aplicarea integralei la problemele fizice se bazează pe proprietatea aditivității integralei asupra unei mulțimi. Prin urmare, cu ajutorul integralei, se pot calcula astfel de cantități care sunt ele însele aditive în mulțime. De exemplu, aria unei figuri este egală cu suma ariilor părților sale.Lungimea arcului, suprafața, volumul corpului și masa corpului au aceeași proprietate. Prin urmare, toate aceste mărimi pot fi calculate folosind o integrală definită.
Există două moduri de a rezolva probleme: metoda sumelor integrale și metoda diferențialelor.
Metoda sumelor integrale repetă construcția unei integrale definite: se construiește o partiție, se marchează puncte, se calculează o funcție în ele, se calculează o sumă integrală și se realizează trecerea la limită. În această metodă, principala dificultate este de a demonstra că în limită se va obține exact ceea ce este necesar în problemă.
Metoda diferențială folosește integrala nedefinită și formula Newton-Leibniz. Se calculează diferența valorii de determinat, iar apoi, integrând această diferență, se obține valoarea necesară folosind formula Newton-Leibniz. În această metodă, principala dificultate este de a demonstra că diferența valorii dorite este calculată și nu altceva.
Calculul suprafeței figuri plate.
1. Figura este limitată la graficul unei funcții dată într-un sistem de coordonate carteziene.
Am ajuns la conceptul de integrală definită din problema ariei unui trapez curbiliniu (de fapt, folosind metoda sumelor integrale). Dacă funcția acceptă numai nu valori negative, atunci aria de sub graficul funcției de pe segment poate fi calculată folosind o integrală definită. observa asta 
deci aici puteți vedea metoda diferențialelor.
Dar funcția poate lua și valori negative pe un anumit segment, atunci integrala peste acest segment va da o zonă negativă, ceea ce contrazice definiția ariei.
Puteți calcula suprafața folosind formulaS=. Acest lucru este echivalent cu schimbarea semnului funcției în acele zone în care aceasta ia valori negative.
Dacă trebuie să calculați aria unei figuri delimitată de sus de graficul funcției și de jos de graficul funcției, atunci poți folosi formulaS=
, deoarece .
Exemplu. Calculați aria figurii mărginite de drepte x=0, x=2 și grafice ale funcțiilor y=x 2 , y=x 3 .
Rețineți că pe intervalul (0,1) inegalitatea x 2 > x 3 este satisfăcută, iar pentru x >1 inegalitatea x 3 > x 2 este satisfăcută. De aceea
2. Cifra este limitată la graficul funcției date în sistemul de coordonate polare.
Să fie dat graficul funcției în sistemul de coordonate polar și dorim să calculăm aria sectorului curbiliniu delimitat de două raze și graficul funcției în sistemul de coordonate polar.
Aici puteți utiliza metoda sumelor integrale, calculând aria unui sector curbat ca limită a sumei ariilor sectoarelor elementare în care graficul funcției este înlocuit cu un arc de cerc 
.
De asemenea, puteți utiliza metoda diferențială: 
.
Poți să raționezi așa. Înlocuind sectorul curbiliniu elementar corespunzător unghiului central cu un sector circular, avem proporția . De aici 
. Integrând și folosind formula Newton-Leibniz, obținem 
.
Exemplu. Calculați aria cercului (verificați formula). Noi credem . Aria cercului este 
.
Exemplu. Calculați aria delimitată de cardioid 
.
3 Figura este limitată la graficul unei funcții specificate parametric.
Funcția poate fi specificată parametric sub forma . Folosim formula S=
, substituind în ea limitele integrării faţă de noua variabilă . 
. De obicei, la calcularea integralei se disting acele zone în care integrandul are un anumit semn și se ia în considerare aria corespunzătoare cu un semn sau altul.
Exemplu. Calculați aria cuprinsă de elipsă.
Folosind simetria elipsei, calculăm aria unui sfert din elipsă, situată în primul cadran. în acest cadran. De aceea .
Calculul volumelor corpurilor.
1. Calculul volumelor corpurilor din zonele secțiunilor paralele.
Să fie necesar să se calculeze volumul unui corp V din ariile cunoscute ale secțiunilor acestui corp prin planuri perpendiculare pe dreapta OX, trasate prin orice punct x al segmentului de dreaptă OX.
Aplicam metoda diferentialelor. Considerând volumul elementar, deasupra segmentului ca volum al unui cilindru circular drept cu aria bazei și înălțimea, obținem 
. Integrarea și aplicarea formulei Newton-Leibniz, obținem
2. Calculul volumelor corpurilor de revoluție.
Să fie necesar să se calculeze BOU.
Apoi 
.
De asemenea, volumul unui corp de revoluție în jurul unei axeOY, dacă funcția este dată sub forma , poate fi calculată folosind formula .
Dacă funcția este dată sub formă și este necesară determinarea volumului corpului de revoluție în jurul axeiOY, atunci formula de calcul al volumului poate fi obținută după cum urmează.
Trecând la diferenţial şi neglijând termenii patratici, avem 
. Integrând și aplicând formula Newton-Leibniz, avem .
Exemplu. Calculați volumul sferei.
Exemplu. Calculați volumul direct con circular, limitat de suprafață si avionul.
Calculați volumul ca volum al unui corp de revoluție format prin rotație în jurul axei OZ triunghi dreptunghicîn planul OXZ, ale cărui picioare se află pe axa OZ și pe linia z \u003d H, iar ipotenuza se află pe linie.
Exprimând x în termeni de z, obținem 
.
Calculul lungimii arcului.
Pentru a obține formule de calcul a lungimii unui arc, să reamintim formulele pentru diferența de lungime a unui arc derivată în semestrul I.
Dacă arcul este un grafic al unei funcții continuu diferențiabile, diferența de lungime a arcului poate fi calculată prin formula
. De aceea 
Dacă un arc neted este specificat parametric, Acea
. De aceea 
.
Dacă arcul este în coordonate polare, Acea
. De aceea 
.
Exemplu. Calculați lungimea arcului grafic al funcției, . 
.
În lecţiile despre ecuația unei drepte pe un planȘi ecuațiile unei linii drepte în spațiu.
Faceți cunoștință cu un vechi prieten:
Trapezul curbiliniu este încununat cu mândrie de grafic și, după cum știți, aria se calculează folosind integrala definită printr-o formulă elementară sau, pe scurt: .
Luați în considerare situația când aceeași funcție dat sub formă parametrică.
Cum să găsiți zona în acest caz?
La unii foarte specific valoarea parametrului, ecuațiile parametrice vor determina coordonatele punctului și cu altul foarte specific valoarea este coordonatele punctului . Când „te” se schimbă de la la inclusiv, ecuațiile parametrice doar „desenează” curba. Cred că totul a devenit clar în detrimentul limitelor integrării. Acum la integrală în loc de„X” și „Y” înlocuim funcțiile și deschidem diferența:
Notă : se presupune că funcţiile continuu asupra intervalului de integrare și, în plus, a funcției monoton Pe el.
Formula pentru volumul unui corp de revoluție este la fel de simplă:
Volumul unui corp obținut prin rotirea unui trapez curbiliniu în jurul axei se calculează prin formula 
sau: . Substituim funcții parametrice în el, precum și limitele integrării:
Vă rugăm să introduceți ambele formule de lucru în manual.
Conform observațiilor mele, problemele legate de găsirea volumului sunt destul de rare și, prin urmare, o parte semnificativă a exemplelor din această lecție va fi dedicată găsirii zonei. Să nu amânăm problema:
Exemplul 1
Calculați aria unui trapez curbiliniu 
, Dacă
Soluţie: folosiți formula 
.
O problemă clasică pe această temă, care este întotdeauna și peste tot înțeleasă:
Exemplul 2
Calculați aria unei elipse
Soluţie: pentru certitudine, presupunem că ecuațiile parametrice definesc elipsă canonică centrat la origine, semiaxa majoră „a” și semiaxa minoră „fi”. Adică, conform condiției, nu ni se oferă nimic mai mult decât
găsiți aria elipsei
În mod evident, funcțiile parametrice sunt periodice, iar . S-ar părea că se poate încărca formula, dar nu totul este atât de transparent. Să aflăm direcţie, în care ecuațiile parametrice „desenează” o elipsă. Ca ghid, să găsim câteva puncte care corespund celor mai simple valori ale parametrilor: 
Este ușor de înțeles că atunci când parametrul „te” se schimbă de la zero la „doi pi”, ecuațiile parametrice „desenează” o elipsă în sens invers acelor de ceasornic:
Datorită simetriei figurii, calculăm porțiunea ariei din primul trimestru de coordonate, și înmulțim rezultatul cu 4. Aici observăm fundamental aceeași imagine pe care am comentat-o puțin mai sus: ecuațiile parametrice „desenează” arcul elipsei „în direcția opusă” axei, dar cifrele zonei sunt numărate de la stânga la dreapta! De aceea inferior limita de integrare corespunde valorii , și top valoare limită .
După cum v-am sfătuit deja în lecție Zona în coordonate polare, de patru ori rezultatul este mai bun O dată:
Integrala (dacă cineva a găsit dintr-o dată un astfel de gol incredibil) a fost analizată în lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice.
Răspuns:
De fapt, am derivat o formulă pentru găsirea zonei elipsă. Și dacă în practică întâlniți o problemă cu valori specifice de „a” și „fi”, atunci puteți efectua cu ușurință o reconciliere/verificare, deoarece problema a fost rezolvată într-un mod general.
Aria elipsei este, de asemenea, calculată în coordonate dreptunghiulare, pentru aceasta este necesar să exprimați „y” din ecuație și să rezolvați problema exact ca exemplul nr. 4 al articolului Metode eficiente de rezolvare a integralelor definite. Asigurați-vă că aruncați o privire la acest exemplu și comparați cât de ușor este să calculați aria unei elipse atunci când este dată parametric.
Și, bineînțeles, aproape că am uitat, ecuațiile parametrice pot defini un cerc sau o elipsă într-o poziție non-canonică.
Exemplul 3
Calculați aria unui arc a cicloidei 
Pentru a rezolva o problemă, trebuie să știi ce este cicloid sau cel puțin un desen pur formal. Exemplu de design la sfârșitul lecției. Cu toate acestea, nu vă voi trimite în tărâmuri îndepărtate, puteți vedea graficul acestei linii în următoarea problemă:
Exemplul 4
Soluţie: ecuaţii parametrice 
definiți un cicloid, iar constrângerea indică faptul că vorbim despre acesta primul arc, care este „desenat” atunci când valoarea parametrului se modifică în . Rețineți că aici este direcția „corectă” a acestui „desen” (de la stânga la dreapta), ceea ce înseamnă că nu vor fi probleme cu limitele integrării. Dar apoi vor apărea o grămadă de alte lucruri interesante =) Ecuația se stabilește direct, paralel cu axa x și condiția suplimentară (cm. inegalități liniare)
ne spune să calculăm aria figurii următoare: 
Voi numi asociativ figura umbrită dorită „acoperișul casei”, dreptunghiul - „peretele casei”, iar întreaga structură (perete + acoperiș) - „fațada casei”. Deși această clădire seamănă mai mult cu o grajd =)
Pentru a găsi zona „acoperișului” este necesar să se scadă zona „peretelui” din zona „fațadei”.
Să abordăm mai întâi fațada. Pentru a-și găsi aria, trebuie să aflați valorile care definesc punctele de intersecție ale liniei drepte cu primul arc al cicloidului (punctele și ). Înlocuiți în ecuația parametrică:
Ecuația trigonometrică este ușor de rezolvat prin simpla privire diagramă cosinus: două rădăcini satisfac egalitatea pe intervalul: . În principiu, totul este clar, dar, totuși, haideți să fim siguri și să le înlocuim în ecuație:
este coordonata "x" a punctului;
- și aceasta este coordonata „x” a punctului.
Astfel, ne-am asigurat că valoarea parametrului corespunde punctului , iar valoarea corespunde punctului .
Calculați aria „fațadei”. Pentru o notație mai compactă, funcția este adesea diferențiată direct sub integrală: 
Aria „peretelui” poate fi calculată prin metoda „școală” prin înmulțirea lungimii laturilor adiacente ale dreptunghiului. Lungimea este evidentă, rămâne de găsit. Se calculează ca diferență între coordonatele „x” ale punctelor „ce” și „fi” (găsite mai devreme):
Zona peretelui:
Desigur, nu este o rușine să-l găsești cu ajutorul celor mai simpli integrala definita din funcția pe interval:
Ca rezultat, zona „acoperișului”:
Răspuns: 
Și, desigur, în prezența unui desen, estimăm prin celule dacă rezultatul obținut este similar cu adevărul. Se pare ca.
Următoarea sarcină pentru o soluție independentă:
Exemplul 5
Calculați aria figurii delimitată de liniile date de ecuații 
Sistematizăm pe scurt algoritmul de soluție:
- În cele mai multe cazuri, va trebui să desenați și să determinați figura a cărei zonă doriți să găsiți.
- La al doilea pas, ar trebui să înțelegeți cum se calculează aria necesară: poate fi un singur trapez curbiliniu, poate fi diferența de zone, poate fi suma ariilor - pe scurt, toate acele jetoane pe care le-am considerat in lectie.
- La al treilea pas, este necesar să se analizeze dacă este recomandabil să se folosească simetria figurii (dacă este simetrică), apoi să se afle limitele de integrare (valorile inițiale și finale ale parametrului). De obicei, pentru aceasta este necesar să se rezolve cel mai simplu ecuație trigonometrică- aici puteti folosi metoda analitica, metoda grafica sau selectia ingenua a radacinilor dorite in functie de tabel trigonometric.
! Nu uita că ecuațiile parametrice pot „trage” linia de la dreapta la stânga, în acest caz facem rezervarea și corectarea corespunzătoare în formula de lucru.
- Și în etapa finală, se efectuează calcule tehnice. Este întotdeauna plăcut să evaluezi plauzibilitatea răspunsului primit din desen.
Și acum întâlnirea mult așteptată cu vedeta:
Exemplul 6
Calculați aria figurii delimitată de liniile date de ecuații
Soluţie: curba dată de ecuații este astroid, Și inegalitatea liniară definește în mod unic figura umbrită din desen: 
Să găsim valorile parametrului care determină punctele de intersecție ale dreptei și ale astroidului. Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația parametrică:
Modalități de a rezolva o astfel de ecuație au fost deja enumerate mai sus, în special, aceste rădăcini sunt ușor de selectat în funcție de tabel trigonometric.
Cifra este simetrică față de axa x, așa că calculăm jumătatea superioară a zonei (umbrire albastră) și dublăm rezultatul.
Înlocuiți valoarea în ecuația parametrică: 
Ca urmare, s-a obținut coordonata „greacă” a punctului de intersecție superior (necesar nouă) dintre astroid și linia dreaptă.
Vârful drept al astroidului corespunde în mod evident valorii . Să verificăm pentru orice eventualitate: 
, care urma să fie verificat.
Ca și în cazul elipsei, ecuațiile parametrice „desenează” arcul astroidului de la dreapta la stânga. Pentru o schimbare, voi aranja finalul în al doilea mod: când parametrul se modifică în cadrul funcției scade, prin urmare (nu uitați să dublați !!):
Integrala s-a dovedit a fi destul de greoaie și, pentru a „nu purta totul cu tine”, este mai bine să întrerupi soluția și să transformi integrantul separat. Standard scade gradul prin utilizarea formule trigonometrice:
Potrivit, în ultimul mandat aduceți funcția sub semnul diferenţialului:
Răspuns:
Da, e greu cu stelele =)
Următoarea sarcină pentru studenții avansați:
Exemplul 7
Calculați aria figurii delimitată de liniile date de ecuații
Pentru a o rezolva, vor fi suficiente materiale pe care le-am luat deja în considerare, dar calea obișnuită este foarte lungă, iar acum vă voi mai povesti despre unul. metoda eficienta. Ideea este de fapt familiară din lecție Calcularea ariei folosind integrala definită este integrarea peste variabila „y” și utilizarea formulei 
. Înlocuind funcțiile parametrice în el, obținem o formulă de lucru în oglindă:
Într-adevăr, de ce este mai rău decât cel „standard”? Acesta este un alt avantaj al formei parametrice - ecuațiile 
capabil să joace rolul nu numai de „obișnuit”, ci simultanȘi funcție inversă.
ÎN acest caz se presupune că funcţiile continuu asupra intervalului de integrare şi a funcţiei monoton Pe el. Mai mult, dacă in scadere pe intervalul de integrare (ecuațiile parametrice „desenează” graficul „în direcția opusă” (Atenţie!!) axa ), atunci este necesar, conform tehnologiei deja luate în considerare, să rearanjezi limitele integrării sau să punem inițial un „minus” în fața integralei.
Rezolvarea și răspunsul exemplului #7 la sfârșitul lecției.
Mini-secțiunea finală este dedicată unei sarcini mai rare:
Cum să găsiți volumul unui corp de revoluție,
dacă cifra este limitată de o linie dată parametric?
Actualizam formula derivata la inceputul lectiei: 
. Procedura generală de rezolvare este exact aceeași ca și pentru găsirea zonei. Voi scoate câteva sarcini din pușculița mea.
Când ne-am dat seama de semnificația geometrică a unei anumite integrale, am obținut o formulă cu care puteți găsi aria unui trapez curbiliniu delimitată de axa absciselor, linii drepte. x=a, x=b, precum și o funcție continuă (nenegativă sau nepozitivă). y = f(x) . Uneori este mai convenabil să setați funcția care delimitează figura într-o formă parametrică, de exemplu. exprimă dependenţa funcţională în termenii parametrului t . În cadrul acestui material, vom arăta cum puteți găsi aria unei figuri dacă este limitată de o curbă dată parametric.
După explicarea teoriei și derivarea formulei, vom analiza câteva exemple tipice pentru găsirea ariei unor astfel de figuri.
Formula de bază pentru calcul
Să presupunem că avem un trapez curbiliniu, ale cărui limite sunt liniile x = a, x = b, axa O x și curba definită parametric x = φ (t) y = ψ (t) și funcțiile x = φ (t) și y = ψ (t) sunt continue pe intervalul α ; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .
Definiția 1
Pentru a calcula aria unui trapez în astfel de condiții, trebuie să utilizați formula S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t .
L-am derivat din formula pentru aria unui trapez curbiliniu S (G) = ∫ a b f (x) d x folosind metoda de substituție x = φ (t) y = ψ (t):
S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t
Definiția 2
Având în vedere scăderea monotonă a funcției x = φ (t) pe intervalul β; a, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .
Dacă funcția x = φ (t) nu aparține celor elementare de bază, atunci trebuie să ne amintim regulile de bază pentru creșterea și descreșterea unei funcții pe un interval pentru a determina dacă aceasta va fi crescătoare sau descrescătoare.
În acest paragraf vom analiza mai multe probleme de aplicare a formulei derivate mai sus.
Exemplul 1
Condiție: găsiți aria figurii formată din dreapta dată de ecuații de forma x = 2 cos t y = 3 sin t .
Soluţie
Avem o linie definită parametric. Grafic, poate fi afișat ca o elipsă cu două semi-axe 2 și 3. Vezi ilustrația:
Să încercăm să găsim aria 1 4 a figurii rezultate, care ocupă primul cadran. Aria este în intervalul x ∈ a ; b = 0 2. Apoi, înmulțiți valoarea rezultată cu 4 și găsiți aria întregii figuri.
Iată cursul calculelor noastre:
x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
Cu k egal cu 0, obținem intervalul β; α = 0; π 2 . Funcția x = φ (t) = 2 cos t va scădea monoton pe ea (pentru mai multe detalii, vezi articolul despre funcțiile elementare de bază și proprietățile lor). Deci, puteți aplica formula ariei și puteți găsi o integrală definită folosind formula Newton-Leibniz:
- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2
Aceasta înseamnă că aria figurii dată de curba inițială va fi egală cu S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.
Răspuns: S (G) = 6 π
Să clarificăm că atunci când rezolvăm problema de mai sus, a fost posibil să luăm nu numai un sfert din elipsă, ci și jumătatea acesteia - superioară sau inferioară. O jumătate va fi situată pe intervalul x ∈ a ; b = - 2; 2. În acest caz, am avea:
φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z
Astfel, cu k egal cu 0 , obținem β ; α = 0; π . Funcția x = φ (t) = 2 cos t va scădea monoton pe acest interval.
După aceea, calculăm aria jumătății elipsei:
- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π
Este important să rețineți că puteți lua doar partea de sus sau de jos, și nu de dreapta sau de stânga.
Puteți scrie o ecuație parametrică pentru această elipsă, al cărei centru va fi situat la origine. Va arăta ca x = a cos t y = b sin t . Acționând în același mod ca în exemplul de mai sus, obținem o formulă pentru calcularea ariei elipsei S e l și p cu a \u003d πab.
Puteți defini un cerc al cărui centru este situat la origine folosind ecuația x = R cos t y = R sin t , unde t este un parametru și R este raza cercului dat. Dacă folosim imediat formula pentru aria unei elipse, atunci vom obține o formulă cu care putem calcula aria unui cerc cu raza R: S în jurul a = πR 2.
Să luăm în considerare încă o problemă.
Exemplul 2
Condiție: aflați care va fi aria figurii, care este mărginită de o curbă dată parametric x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .
Soluţie
Să clarificăm imediat că această curbă are forma unui astroid alungit. De obicei astroidul este exprimat folosind o ecuație de forma x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .
Acum vom analiza în detaliu cum să construim o astfel de curbă. Să construim pe puncte individuale. Aceasta este cea mai comună metodă și este aplicabilă la majoritatea sarcinilor. Exemple mai complexe necesită un calcul diferențial pentru a dezvălui o funcție definită parametric.
Avem x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.
Aceste funcții sunt definite pentru toate valorile reale ale lui t. Pentru sin și cos, se știe că sunt periodice și perioada lor este de 2 pi. Calcularea valorilor funcțiilor x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t pentru unele t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , obținem puncte x 0 ; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .
Să facem un tabel cu valorile totale:
| t0 | 0 | π 8 | π 4 | 3 π 8 | π 2 | 5 π 8 | 3 π 4 | 7 π 8 | π |
| x 0 \u003d φ (t 0) | 3 | 2 . 36 | 1 . 06 | 0 . 16 | 0 | - 0 . 16 | - 1 . 06 | - 2 . 36 | - 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | 0 | 0 . 11 | 0 . 70 | 1 . 57 | 2 | 1 . 57 | 0 . 70 | 0 . 11 | 0 |
| t0 | 9 π 8 | 5 π 4 | 11 pi 8 | 3 π 2 | 13 π 8 | 7 π 4 | 15 π 8 | 2 π |
| x 0 \u003d φ (t 0) | - 2 . 36 | - 1 . 06 | - 0 . 16 | 0 | 0 . 16 | 1 . 06 | 2 . 36 | 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | - 0 . 11 | - 0 . 70 | - 1 . 57 | - 2 | - 1 . 57 | - 0 . 70 | - 0 . 11 | 0 |
După aceea, marcați punctele dorite pe plan și conectați-le cu o singură linie.
Acum trebuie să găsim aria acelei părți a figurii care se află în primul trimestru de coordonate. Pentru ea x ∈ a ; b = 0 3:
φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
Dacă k este 0, atunci obținem intervalul β; α = 0; π 2 , iar funcția x = φ (t) = 3 cos 3 t va scădea monoton pe ea. Acum luăm formula ariei și calculăm:
- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t
Am obținut anumite integrale care pot fi calculate folosind formula Newton-Leibniz. Primitivele pentru această formulă pot fi găsite folosind formula recursivă J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , unde J n (x) = ∫ sin n x d x .
∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96
Am calculat aria unui sfert din cifră. Este egal cu 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.
Dacă înmulțim această valoare cu 4, obținem aria întregii figuri - 9 π 4.
Exact în același mod, putem demonstra că aria astroidului dată de ecuațiile x \u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t poate fi găsită prin formula , care este limitată de linie x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , se calculează prin formula S = 3 πab 8 .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter