Aria unui triunghi - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt formule pentru găsirea ariei unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea ariei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile acestuia. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, aici sunt explicații privind utilizarea sau justificarea corectitudinii lor. De asemenea, o figură separată arată corespondența desemnărilor literelor în formule și a desemnărilor grafice din desen.

Notă ... Dacă triunghiul are proprietăți speciale (isoscel, dreptunghiular, echilateral), puteți utiliza formulele date mai jos, precum și formule suplimentare speciale care sunt valabile numai pentru triunghiurile cu aceste proprietăți:

• "Formule pentru aria unui triunghi echilateral"

Formule de zonă pentru un triunghi

Explicarea formulelor:
a, b, c- lungimile laturilor triunghiului, a cărui zonă dorim să o găsim
r- raza unui cerc înscris într-un triunghi
R- raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi
h- înălțimea triunghiului coborât în ​​lateral
p- semi-perimetrul unui triunghi, 1/2 suma laturilor sale (perimetru)
α - unghiul opus laturii a a triunghiului
β - unghiul opus laturii b a triunghiului
γ - unghiul opus laturii c a triunghiului
h A, h b , h c- înălțimea triunghiului, coborât în ​​partea a, b, c

Vă rugăm să rețineți că denumirile date corespund cu figura de mai sus, astfel încât atunci când rezolvați o problemă reală în geometrie, vă va fi mai ușor vizual să înlocuiți valorile corecte în locurile potrivite ale formulei.

• Aria triunghiului este jumătate din produsul înălțimii triunghiului după lungimea laturii pe care această înălțime este coborâtă(Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea scăzută la bază va împărți un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă completăm fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiunile b și h, atunci, evident, aria acestor triunghiuri va fi exact jumătate din aria dreptunghiului (Sпр = bh)
• Aria triunghiului este jumătate din produsul celor două laturi ale sale prin sinusul unghiului dintre ele(Formula 2) (a se vedea mai jos un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind această formulă). În ciuda faptului că pare diferit de cel anterior, poate fi ușor transformat în el. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul B la latura b, se dovedește că produsul laturii a prin sinusul unghiului γ în funcție de proprietățile sinusului într-un triunghi dreptunghi este egal cu înălțimea triunghiului pe care l-am desenat, care ne va da formula anterioară
• Se poate găsi aria unui triunghi arbitrar peste muncă jumătate din raza cercului înscris cu suma lungimilor tuturor laturilor sale(Formula 3), cu alte cuvinte, trebuie să multiplicați semiperimetrul triunghiului cu raza cercului înscris (acest lucru este mai ușor de reținut)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită împărțind produsul tuturor laturilor sale la 4 raze ale cercului circumscris în jurul său (Formula 4)
• Formula 5 reprezintă găsirea ariei unui triunghi prin lungimile laturilor sale și semiperimetrul său (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
• Formula Heron(6) este o reprezentare a aceleiași formule fără a utiliza conceptul de semiperimetru, numai prin lungimile laturilor
• Aria unui triunghi arbitrar este egală cu produsul pătratului laturii unui triunghi de sinele unghiurilor adiacente acestei laturi împărțit la sinusul dublu al unghiului opus acestei laturi (Formula 7)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca produsul a două pătrate ale unui cerc circumscris în jurul său de sinele fiecărui colț. (Formula 8)
• Dacă lungimea unei laturi și magnitudinea celor două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria unui triunghi poate fi găsită ca pătratul acestei laturi, împărțit la suma dublă a cotangențelor acestor unghiuri (Formula 9)
• Dacă se cunoaște doar lungimea fiecărei înălțimi a triunghiului (Formula 10), atunci aria unui astfel de triunghi este invers proporțională cu lungimile acestor înălțimi, după cum arată formula Heron
• Formula 11 vă permite să calculați aria unui triunghi de coordonatele vârfurilor sale, care sunt date ca valori (x; y) pentru fiecare vârf. Vă rugăm să rețineți că valoarea rezultată trebuie luată modul, deoarece coordonatele vârfurilor individuale (sau chiar ale tuturor) pot fi în intervalul valorilor negative

Notă... Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi aria unui triunghi. Dacă trebuie să rezolvați o problemă în geometrie, care nu este similară cu cea care nu este aici - scrieți-o în forum. În soluții, în loc de simbolul „ Rădăcină pătrată"se poate utiliza funcția sqrt (), în care sqrt este un caracter rădăcină pătrată, iar expresia radicală este specificată între paranteze.Uneori pentru expresii radicale simple simbolul √

Sarcină. Găsiți zona de-a lungul celor două laturi și unghiul dintre ele

Laturile triunghiului sunt de 5 și 6 cm. Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți aria unui triunghi.

Soluţie.

Pentru a rezolva această problemă, vom folosi formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Aria unui triunghi poate fi găsită prin lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele și va fi egală cu
S = 1/2 ab sin γ

Deoarece avem toate datele necesare pentru soluție (conform formulei), trebuie doar să înlocuim valorile din starea problemei în formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

În tabelul de valori funcții trigonometrice găsiți și înlocuiți valoarea sinusoidală de 60 de grade în expresie. Va fi egal cu rădăcina de trei la doi.
S = 15 √3 / 2

Răspuns: 7,5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, probabil puteți părăsi 15 √3 / 2)

Sarcină. Găsiți aria unui triunghi echilateral

Găsiți aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm.

Soluție.

Aria unui triunghi poate fi găsită folosind formula lui Heron:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Deoarece a = b = c formula pentru aria unui triunghi echilateral va lua forma:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

Sarcină. Schimbarea zonei la schimbarea lungimii laturilor

De câte ori va crește aria triunghiului dacă laturile sunt mărite de 4 ori?

Soluţie.

Deoarece dimensiunile laturilor triunghiului ne sunt necunoscute, atunci pentru a rezolva problema vom presupune că lungimile laturilor sunt, respectiv, egale cu numerele arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, vom găsi aria acestui triunghi, iar apoi vom găsi aria unui triunghi ale cărui laturi sunt de patru ori mai mari. Raportul suprafețelor acestor triunghiuri ne va oferi răspunsul la problemă.

Mai jos este o explicație textuală a soluției problemei în pași. Cu toate acestea, la final, aceeași soluție este prezentată într-o formă grafică mai ușor de citit. Cei interesați pot renunța imediat la soluție.

Pentru soluție, folosim formula lui Heron (a se vedea mai sus în partea teoretică a lecției). Arată așa:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(vezi prima linie a figurii de mai jos)

Lungimile laturilor unui triunghi arbitrar sunt date de variabilele a, b, c.
Dacă laturile sunt mărite de 4 ori, atunci aria noului triunghi c va fi:

S 2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(vezi a doua linie din imaginea de mai jos)

După cum puteți vedea, 4 este un factor comun care poate fi scos din paranteze din toate cele patru expresii prin reguli generale matematică.
Atunci

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pe a treia linie a figurii
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - a patra linie

Rădăcina pătrată este perfect extrasă din numărul 256, așa că o scoatem de sub rădăcină
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(vezi a cincea linie din figura de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea pusă în problemă, trebuie doar să împărțim aria triunghiului rezultat la aria originalului.
Determinați rapoartele ariei împărțind expresiile între ele și reducând fracția rezultată.

Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor sale de sinusul unghiului dintre ele.

Dovadă:

Să considerăm un triunghi arbitrar ABC. Fie latura BC = a, latura CA = b și S să fie aria acestui triunghi. Este necesar să se demonstreze că S = (1/2) * a * b * sin (C).

Pentru început, introducem un sistem de coordonate dreptunghiular și plasăm originea în punctul C. Plasați sistemul nostru de coordonate astfel încât punctul B să se afle pe direcția pozitivă a axei Cx, iar punctul A să aibă o ordonată pozitivă.

Dacă totul este făcut corect, ar trebui să obțineți următoarea figură.

Aria unui triunghi dat poate fi calculată folosind următoarea formulă: S = (1/2) * a * h unde h este înălțimea triunghiului. În cazul nostru, înălțimea triunghiului h este egală cu ordonata punctului A, adică h = b * sin (C).

Având în vedere rezultatele obținute, formula pentru aria unui triunghi poate fi rescrisă astfel: S = (1/2) * a * b * sin (C). Q.E.D.

Rezolvarea problemelor

Problema 1. Găsiți aria unui triunghi ABC dacă a) AB = 6 * √8 cm, AC = 4 cm, unghiul A = 60 grade b) BC = 3 cm, AB = 18 * √2 cm, unghiul B = 45 grade in) AC = 14 cm, CB = 7 cm, unghiul C = 48 grade.

Prin teorema demonstrată mai sus, aria S a unui triunghi ABC este egală cu:

S = (1/2) * AB * AC * sin (A).

Să facem calculele:

a) S = ((1/2) * 6 * √8 * 4 * sin (60˚)) = 12 * √6 cm ^ 2.

b) S = (1/2) * BC * BA * sin (B) = ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2 / 2)) = 27 cm ^ 2.

c) S = (1/2) * CA * CB * sin (C) = ½ * 14 * 7 * sin48˚ cm ^ 2.

Valoarea sinusului unghiului este calculată pe un calculator sau folosim valorile din tabelul valorilor unghiurilor trigonometrice. Răspuns:

a) 12 * √6 cm ^ 2.

c) aproximativ 36,41 cm ^ 2.

Problema 2. Aria triunghiului ABC este de 60 cm ^ 2. Găsiți latura AB dacă AC = 15 cm, unghiul A = 30˚.

Fie S aria triunghiului ABC. Prin teorema zonei unui triunghi, avem:

S = (1/2) * AB * AC * sin (A).

Să înlocuim valorile pe care le avem în ea:

60 = (1/2) * AB * 15 * sin30˚ = (1/2) * 15 * (1/2) * AB = (15/4) * AB.

De aici exprimăm lungimea laturii AB: AB = (60 * 4) / 15 = 16.

Dacă în problemă sunt date lungimile celor două laturi ale triunghiului și unghiul dintre ele, atunci puteți aplica formula pentru aria unui triunghi în termeni de sinus.

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi printr-un sinus. Având în vedere laturile a = 3, b = 4 și unghiul γ = 30 °. Sinusul unui unghi de 30 ° este 0,5

Aria triunghiului va fi de 3 metri pătrați. cm.

Pot exista și alte condiții. Dacă sunt date lungimea unei laturi și unghiurile, atunci mai întâi trebuie să calculați unghiul lipsă. pentru că suma tuturor unghiurilor triunghiului este de 180 °, apoi:

Suprafața va fi egală cu jumătate din pătratul laturii înmulțit cu fracția. Numărătorul său conține produsul sinelor unghiurilor adiacente, iar numitorul este sinusul unghiului opus. Acum calculăm aria folosind următoarele formule:

De exemplu, dat un triunghi cu latura a = 3 și unghiurile γ = 60 °, β = 60 °. Calculăm al treilea unghi:
Înlocuirea datelor în formulă
Obținem că aria triunghiului este de 3,87 metri pătrați. cm.

II. Aria unui triunghi în termeni de cosinus

Pentru a găsi aria unui triunghi, trebuie să cunoașteți lungimile tuturor laturilor. Prin teorema cosinusului, puteți găsi laturi necunoscute și abia apoi le folosiți.
Prin teorema cosinusului, pătratul laturii necunoscute a unui triunghi este egal cu suma pătratelor laturilor rămase minus produsul dublu al acestor laturi de cosinusul unghiului dintre ele.

Din teoremă derivăm formule pentru găsirea lungimii laturii necunoscute:

Știind cum să găsiți partea lipsă, având două laturi și unghiul dintre ele, puteți calcula cu ușurință aria. Formula pentru aria unui triunghi în termeni de cosinus vă ajută să găsiți rapid și ușor o soluție la diferite probleme.

Un exemplu de calcul al formulei pentru aria unui triunghi în termeni de cosinus
Dat fiind un triunghi cu laturile cunoscute a = 3, b = 4 și un unghi γ = 45 °. Mai întâi, găsiți partea lipsă cu... În cosinus 45 ° = 0,7. Pentru a face acest lucru, înlocuim datele în ecuația derivată din teorema cosinusului.
Acum, folosind formula, găsim

Pur și simplu, acestea sunt legume gătite în apă după o rețetă specială. Voi lua în considerare două componente inițiale (salată de legume și apă) și rezultatul final - borș. Geometric, acest lucru poate fi gândit ca un dreptunghi cu o parte care reprezintă salată și cealaltă parte reprezintă apă. Suma acestor două părți va reprezenta borș. Diagonala și aria unui astfel de dreptunghi „borș” sunt concepte pur matematice și nu sunt utilizate niciodată în rețetele borșului.

Cum se transformă matula salata și apa în borș? Cum se poate transforma suma a două segmente de linie în trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții de unghi liniar.

Nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiului liniar în manualele de matematică. Dar fără ele nu poate exista matematică. Legile matematicii, la fel ca legile naturii, funcționează indiferent dacă știm sau nu despre existența lor.

Funcțiile unghiului liniar sunt legi de adăugare. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie și geometria se transformă în trigonometrie.

Se pot renunța la funcțiile unghiului liniar? Puteți, pentru că matematicienii încă fac fără ei. Trucul matematicienilor constă în faptul că aceștia ne spun întotdeauna doar despre acele probleme pe care ei înșiși știu să le rezolve și nu vorbesc niciodată despre acele probleme pe care nu le pot rezolva. Uite. Dacă cunoaștem rezultatul adunării și un termen, folosim scăderea pentru a găsi celălalt termen. Tot. Nu cunoaștem alte sarcini și nu suntem capabili să le rezolvăm. Ce trebuie făcut dacă știm doar rezultatul adunării și nu cunoaștem ambii termeni? În acest caz, rezultatul adunării trebuie descompus în doi termeni folosind funcții de unghi liniar. Apoi, noi înșine alegem ce poate fi un termen, iar funcțiile unghiului liniar arată ce ar trebui să fie al doilea termen, astfel încât rezultatul adunării să fie exact ceea ce avem nevoie. Poate exista un număr infinit de astfel de perechi de termeni. V Viata de zi cu zi putem face bine fără a descompune suma; scăderea este suficientă pentru noi. Dar în cercetarea științifică a legilor naturii, descompunerea sumei în termeni poate fi foarte utilă.

O altă lege a adaosului, despre care matematicienilor nu le place să vorbească (un alt truc al lor), impune ca termenii să aibă aceleași unități de măsură. Pentru salată, apă și borș, acestea pot fi unități de greutate, volum, valoare sau unități de măsură.

Figura arată două niveluri de diferență pentru matematică. Primul nivel este diferențele în câmpul numerelor, care sunt indicate A, b, c... Asta fac matematicienii. Al doilea nivel este diferențele în zona unităților de măsură, care sunt prezentate între paranteze pătrate și indicate de literă U... Așa fac fizicienii. Putem înțelege al treilea nivel - diferențe în zona obiectelor descrise. Diferite obiecte pot avea același număr de unități de măsură identice. Cât de important este acest lucru, putem vedea pe exemplul trigonometriei borșului. Dacă adăugăm indicii la aceeași denumire a unităților de măsură ale diferitelor obiecte, putem spune exact ce valoare matematică descrie un anumit obiect și cum se schimbă în timp sau în legătură cu acțiunile noastre. Prin scrisoare W Voi desemna apa, cu scrisoarea S Voi desemna salata și scrisoarea B- Borsch. Așa ar arăta funcțiile unghiulare liniare pentru borsch.

Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o porție de borș. Aici vă sugerez să faceți o pauză de la borș și să vă amintiți copilăria îndepărtată. Vă amintiți cum am fost învățați să punem iepurași și rațe împreună? Era necesar să găsim câte animale ar fi. Ce am fost învățați să facem? Am fost învățați să separăm unitățile de numere și să adăugăm numere. Da, orice număr poate fi adăugat la orice alt număr. Aceasta este o cale directă către autismul matematicii moderne - nu înțelegem ce, nu este clar de ce și înțelegem foarte puțin cum se raportează acest lucru la realitate, din cauza celor trei niveluri de diferență, matematica operează doar unul. Ar fi mai corect să învățăm cum să trecem de la o unitate de măsură la alta.

Și iepurașii, rațele și animalele pot fi numărate în bucăți. O unitate comună de măsură pentru diferite obiecte ne permite să le adăugăm împreună. Aceasta este o versiune infantilă a problemei. Să aruncăm o privire la o problemă similară pentru adulți. Ce se întâmplă dacă adăugați iepurași și bani? Există două soluții posibile aici.

Prima opțiune... Determinăm valoarea de piață a iepurașilor și o adăugăm la suma disponibilă de bani. Am obținut valoarea totală a averii noastre în termeni monetari.

A doua opțiune... Puteți adăuga numărul de iepurași la numărul de bancnote pe care le avem. Vom primi numărul de bunuri mobile în bucăți.

După cum puteți vedea, aceeași lege a adăugării vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de ce anume vrem să știm.

Dar înapoi la borșul nostru. Acum putem vedea ce se va întâmpla când sensuri diferite unghiul funcțiilor unghiulare liniare.

Unghiul este zero. Avem salată, dar nu avem apă. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este, de asemenea, zero. Acest lucru nu înseamnă deloc că zero borș este egal cu zero apă. Borșul zero poate fi la zero salată (unghi drept).

Pentru mine personal, aceasta este principala dovadă matematică a faptului că. Zero nu modifică numărul la adăugare. Acest lucru se datorează faptului că adăugarea în sine este imposibilă dacă există un singur termen și al doilea termen lipsește. Vă puteți raporta la acest lucru după cum doriți, dar amintiți-vă - totul operații matematice matematicienii înșiși au venit cu zero, așa că aruncă-ți logica și înghesuie prost definițiile inventate de matematicieni: „împărțirea la zero este imposibilă”, „orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero”, „dincolo de punctul zero” și alte prostii. Este suficient să ne amintim o dată că zero nu este un număr și nu veți avea niciodată o întrebare dacă zero este un număr natural sau nu, deoarece o astfel de întrebare își pierde în general orice semnificație: cum putem considera un număr care nu este un număr. Este ca și cum ai întreba ce culoare ar trebui să aibă o culoare invizibilă. Adăugarea zero la un număr este ca pictarea cu vopsea care nu există. Am fluturat cu o perie uscată și le-am spus tuturor că „am pictat”. Dar deviez puțin.

Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem multă salată, dar nu avem suficientă apă. Drept urmare, obținem un borș gros.

Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem cantități egale de apă și salată. Acesta este borșul perfect (iartă-mă pe bucătari, e doar matematică).

Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai mic de nouăzeci de grade. Avem multă apă și puțină salată. Veți obține borș lichid.

Unghi drept. Avem apă. Din salată, rămân doar amintiri, deoarece continuăm să măsurăm unghiul de la linia care a reprezentat odată salata. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este zero. În acest caz, țineți-vă și beți apă în timp ce o aveți)))

Aici. Ceva de genul. Pot spune aici alte povești care vor fi mai mult decât adecvate aici.

Doi prieteni au avut acțiunile lor în afacerea comună. După uciderea unuia dintre ei, totul s-a dus la celălalt.

Apariția matematicii pe planeta noastră.

Toate aceste povești sunt spuse în limbajul matematicii folosind funcții de unghi liniar. Altă dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, să revenim la trigonometria borsului și să luăm în considerare proiecțiile.

Sâmbătă, 26 octombrie 2019

Am urmărit un videoclip interesant despre Grandi rând Un minus unu plus unu minus one - Numberphile... Matematicienii mint. Ei nu au efectuat testul egalității în cursul raționamentului lor.

Acest lucru ecouă raționamentul meu despre.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra semnelor de a ne înșela de către matematicieni. Chiar la începutul raționamentului, matematicienii spun că suma secvenței DEPENDE dacă numărul elementelor din ea este par sau nu. Acesta este un FACT DETERMINAT OBIECTIV. Ce se întâmplă în continuare?

Apoi matematicienii scad o secvență dintr-una. La ce duce asta? Acest lucru duce la o modificare a numărului de elemente din secvență - un număr par se transformă într-un număr impar, un număr impar se transformă într-un număr par. La urma urmei, am adăugat un element egal cu unul la secvență. În ciuda tuturor asemănărilor externe, secvența înainte de conversie nu este egală cu secvența de după conversie. Chiar dacă vorbim despre o secvență infinită, trebuie să ne amintim că o secvență infinită cu un număr impar de elemente nu este egală cu o secvență infinită cu un număr par de elemente.

Punând un semn egal între două secvențe diferite prin numărul de elemente, matematicienii susțin că suma secvenței NU DEPENDE de numărul de elemente din secvență, ceea ce contrazice un FACT OBLIGATIV DETERMINAT. Mai multe raționamente despre suma unei secvențe infinite sunt false, deoarece se bazează pe falsă egalitate.

Dacă vedeți că matematicienii în cursul probelor plasează paranteze, rearanjează elementele unei expresii matematice, adaugă sau elimină ceva, fiți foarte atenți, cel mai probabil încearcă să vă înșele. La fel ca magicienii de cărți, matematicienii vă distrag atenția cu diferite manipulări ale expresiei pentru a ajunge să vă strecoare un rezultat fals. Dacă nu puteți repeta trucul cărții fără să cunoașteți secretul înșelăciunii, atunci în matematică totul este mult mai simplu: nici măcar nu bănuiți nimic despre înșelăciune, dar repetarea tuturor manipulărilor cu o expresie matematică vă permite să îi convingeți pe alții de corectitudinea rezultat, la fel ca atunci când ceva te-a convins.

Întrebare din partea publicului: Și ce zici de infinit (ca număr de elemente din secvența S), este par sau impar? Cum poți schimba paritatea a ceva care nu are paritate?

Infinit pentru matematicieni, precum Împărăția Cerurilor pentru preoți - nimeni nu a fost vreodată acolo, dar toată lumea știe exact cum funcționează totul acolo))) Sunt de acord, după moarte vei fi absolut indiferent dacă ai trăit un număr par sau impar zile, dar ... doar o zi la începutul vieții tale, vom obține o persoană complet diferită: numele, prenumele și patronimicul său sunt exact aceleași, doar data nașterii este complet diferită - s-a născut cu o zi înainte tu.

Și acum, în esență)))) Să presupunem că o secvență finită care are paritate pierde această paritate când merge la infinit. Apoi, orice segment finit al unei secvențe infinite trebuie, de asemenea, să piardă paritatea. Nu vedem asta. Faptul că nu putem spune cu certitudine dacă numărul elementelor dintr-o secvență infinită este par sau impar nu înseamnă deloc că paritatea a dispărut. Paritatea, dacă există, nu poate dispărea fără o urmă în infinit, ca în mâneca unui sharpie. Există o foarte bună analogie pentru acest caz.

Ați întrebat vreodată un cuc așezat într-un ceas în ce direcție se rotește mâna ceasului? Pentru ea, săgeata se rotește direcție inversă ceea ce numim „în sensul acelor de ceasornic”. Oricât de paradoxal pare, direcția de rotație depinde numai de ce parte observăm rotația. Așadar, avem o roată care se rotește. Nu putem spune în ce direcție are loc rotația, deoarece o putem observa atât dintr-o parte a planului de rotație, cât și din cealaltă. Putem atesta doar faptul că există rotație. Analogie completă cu paritatea unei secvențe infinite S.

Acum să adăugăm o a doua roată de rotație, al cărei plan de rotație este paralel cu planul de rotație a primei roți de rotație. Încă nu putem spune cu certitudine în ce direcție se rotesc aceste roți, dar putem spune cu siguranță dacă ambele roți se rotesc în aceeași direcție sau în direcții opuse. Comparând două secvențe nesfârșite Sși 1-S, Am arătat cu ajutorul matematicii că aceste secvențe au o paritate diferită și este o eroare să punem un semn egal între ele. Personal, cred în matematică, nu am încredere în matematicieni))) Apropo, pentru o înțelegere completă a geometriei transformărilor secvențelor infinite, este necesar să se introducă conceptul "simultaneitate"... Acest lucru va trebui desenat.

Miercuri, 7 august 2019

Încheierea conversației despre, există un număr infinit de luat în considerare. Rezultatul este că conceptul de „infinit” acționează asupra matematicienilor ca un boa constrictor asupra unui iepure. Frica tremurândă de infinit îi jefuiește pe matematicieni bun simț... Iată un exemplu:

Sursa originală este localizată. Alpha reprezintă numărul real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu un set infinit de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi prezentate în următoarea formă:

Pentru o dovadă vizuală a corectitudinii lor, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca șamani dansanți cu tamburine. În esență, toți se rezumă la faptul că fie unele camere nu sunt ocupate, cât și oaspeții noi se mută, sau că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere cu privire la astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blondă. Pe ce se bazează raționamentul meu? Relocarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră pentru oaspete, unul dintre vizitatori va merge întotdeauna de-a lungul coridorului din camera sa până în următoarea până la sfârșitul secolului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat prost, dar acest lucru va fi deja din categoria „legea nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: ajustarea realității pentru a se potrivi teoriilor matematice sau invers.

Ce este un „hotel fără sfârșit”? Un hotel fără sfârșit este un hotel care are întotdeauna orice număr de locuri vacante, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din coridorul nesfârșit al vizitatorilor sunt ocupate, există un alt coridor nesfârșit cu camerele de oaspeți. Va exista un număr infinit de astfel de coridoare. Mai mult, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de zei. Cu toate acestea, matematicienii nu sunt capabili să se distanțeze de problemele obișnuite de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna doar unul, hotelul este unul, coridorul este unul singur. Matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că puteți „împinge lucrurile”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu pe exemplul unui set infinit de numere naturale. În primul rând, trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, din moment ce noi am inventat numerele, în Natură nu există numere. Da, Natura este excelentă la numărare, dar pentru aceasta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. După cum crede Natura, îți voi spune altă dată. De când am inventat numerele, vom decide noi câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum se potrivește unui adevărat om de știință.

Prima opțiune. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu mai sunt alte numere naturale rămase pe raft și nu există unde să le iau. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Și dacă chiar vrei? Nici o problemă. Putem lua unul din setul pe care l-am luat deja și îl putem returna pe raft. După aceea, putem lua o unitate din raft și o putem adăuga la ceea ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, obținem din nou un set infinit de numere naturale. Puteți scrie toate manipulările noastre astfel:

Am notat acțiunile din sistemul de notație algebrică și din sistemul de notație adoptat în teoria mulțimilor, cu o enumerare detaliată a elementelor setului. Indicele indică faptul că avem un singur set de numere naturale. Se pare că setul de numere naturale va rămâne neschimbat numai dacă se scade din acesta și se adaugă aceeași unitate.

Opțiunea a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raftul nostru. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că sunt practic indistincte. Luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar și două seturi de numere naturale. Iată ce obținem:

Indice „unu” și „doi” indică faptul că aceste articole au aparținut unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la setul infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă adăugăm un alt set infinit la un set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elementele primelor două seturi.

O mulțime de numere naturale sunt utilizate pentru numărarea în același mod ca o riglă pentru măsurători. Acum imaginați-vă adăugând un centimetru la riglă. Aceasta va fi deja o linie diferită, nu egală cu originalul.

Puteți accepta sau nu acceptarea raționamentului meu - este propria dvs. afacere. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme matematice, gândiți-vă dacă nu urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, a face matematică, în primul rând, formează un stereotip stabil de gândire în noi și abia apoi ne adaugă abilități mentale (sau, dimpotrivă, ne privează de gândirea liberă).

pozg.ru

Duminică, 4 august 2019

Am scris un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogata bază teoretică a matematicii Babilonului nu avea un caracter holistic și a fost redusă la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.

Wow! Cât de inteligenți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile altora. Ne este greu să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am obținut următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este holistică și este redusă la un set de secțiuni disparate lipsite de un sistem comun și o bază de dovezi.

Nu voi merge prea departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume din diferite domenii ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente gafe ale matematicii moderne. Ne vedem în curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se subdivizează un set? Pentru a face acest lucru, este necesar să introduceți o nouă unitate de măsură care este prezentă pentru unele dintre elementele setului selectat. Să vedem un exemplu.

Să avem multe A format din patru persoane. Acest set este format pe baza „oamenilor” Să notăm elementele acestui set prin scrisoare A, un indice cu o cifră va indica numărul ordinal al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „sex” și să o notăm cu litera b... Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului A după sex b... Observați că acum mulțimea noastră de „oameni” a devenit o multitudine de „oameni cu caracteristici sexuale”. După aceea, putem împărți caracteristicile sexului în masculin bmși femei bw caracteristici sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, nu contează care dintre ele este bărbat sau femeie. Dacă o persoană o are, atunci o înmulțim cu una, dacă nu există un astfel de semn, o înmulțim cu zero. Și apoi aplicăm matematica școlară obișnuită. Vezi ce s-a întâmplat.

După multiplicare, reducere și rearanjare, am obținut două subseturi: un subset de bărbați Bmși un subset de femei Bw... Matematicienii gândesc la fel atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar nu ne dedică detaliilor, ci dau un rezultat final - „o mulțime de oameni constau dintr-un subgrup de bărbați și un subgrup de femei”. Bineînțeles, vă puteți întreba cât de corect se aplică matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur, de fapt, totul a fost făcut corect, este suficient să cunoașteți baza matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor ramuri ale matematicii. Ce este? O să vă povestesc despre asta și altădată.

În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset alegând unitatea de măsură care este prezentă pentru elementele acestor două seturi.

După cum puteți vedea, unitățile și matematica obișnuită fac din teoria mulțimilor un lucru din trecut. Un indiciu că teoria mulțimilor nu este în regulă este că matematicienii au venit cu propriul limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au făcut ceea ce au făcut odată șamanii. Numai șamanii știu să își aplice „corect” „cunoștințele”. Ei ne învață această „cunoaștere”.

În sfârșit, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât o broască țestoasă și se află la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa va târâ cu o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a parcurs o sută de pași, broasca țestoasă va târâi încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a venit ca un șoc logic pentru toate generațiile ulterioare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert ... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporiile lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât „ ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună despre esența paradoxurilor ... analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei. ; niciuna dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la întrebare ...„[Wikipedia, Aporia lui Zenon”]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege care este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la magnitudine la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților variabile de măsură fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm unități constante de măsurare a timpului la reciproc. Din punct de vedere fizic, pare o dilatare a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile este la nivel de broască țestoasă. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși broasca țestoasă.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul se încadrează în loc. Ahile fuge cu viteza constanta... Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel precedent. În consecință, timpul petrecut pentru a o depăși este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Ahile va prinde la infinit rapid țestoasa”.

Cum poți evita această capcană logică? Rămâneți în unități de timp constante și nu mergeți înapoi. În limba lui Zenon, arată așa:

În timpul în care Ahile va alerga o mie de pași, broasca țestoasă va târâ cu o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar broasca țestoasă va târâ cu o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași în fața broaștei țestoase.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără paradoxuri logice. Dar aceasta nu este o soluție completă la problemă. Afirmația lui Einstein despre insuperabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zenon „Ahile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Și soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă, Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

Săgeata zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment al timpului este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment al timpului, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că, în fiecare moment al timpului, o săgeată zburătoare se sprijină în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Un alt punct ar trebui menționat aici. Dintr-o singură fotografie a unei mașini pe drum, este imposibil să se determine fie faptul mișcării sale, fie distanța față de aceasta. Pentru a determina faptul mișcării unei mașini, sunt necesare două fotografii, făcute din același punct în momente diferite, dar nu pot fi utilizate pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute diferite puncte spațiu la un moment dat, dar este imposibil să se determine faptul de mișcare de la acestea (desigur, sunt necesare date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Ceea ce vreau să atrag o atenție specială este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite pentru cercetare.
Permiteți-mi să vă arăt procesul cu un exemplu. Selectăm „roșu solid într-un coș” - acesta este „întregul” nostru. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc, și nu există arcuri. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu arc”. Acesta este modul în care șamanii se hrănesc legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum să facem un mic truc murdar. Luați „solid într-un coș cu arc” și combinați aceste „întregi” după culoare, selectând elementele roșii. Avem o mulțime de „roșu”. Acum o întrebare de completat: seturile rezultate „cu arc” și „roșu” sunt același set sau sunt două seturi diferite? Numai șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum se spune, așa să fie.

Acest exemplu simplu arată că teoria mulțimilor este complet inutilă atunci când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „solid roșu într-o umflătură cu arc”. Formarea a avut loc în funcție de patru unități diferite de măsură: culoare (roșu), rezistență (solidă), rugozitate (într-un cos), ornamente (cu arc). Doar un set de unități de măsură face posibilă descrierea adecvată a obiectelor reale în limbajul matematicii... Așa arată.

Litera „a” cu indici diferiți denotă diferite unități de măsură. Unitățile de măsură sunt evidențiate între paranteze, prin care „întregul” este alocat în etapa preliminară. Unitatea de măsură, prin care este format setul, este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică și nu șamani dansanți cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentându-l „prin dovezi”, deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor „științific”.

Este foarte ușor de utilizat unitățile pentru a împărți unul sau a combina mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă asupra algebrei acestui proces.