>

Dați exemple de ecuații pătratice și rădăcinile acestora. Ecuații cuadratice

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

  1. Nu au rădăcini;
  2. Au exact o rădăcină;
  3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este diferenta importanta ecuații pătratice din cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Anume:

  1. Daca D< 0, корней нет;
  2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
  3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază a rădăcinii ecuație pătratică

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens numai pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

  1. Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
  2. Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Școala secundară rurală Kopyevskaya

10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice

Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematică

satul Kopevo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice de al-Khorezmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Nevoia de a rezolva ecuații nu numai de gradul I, ci și de gradul II, încă din cele mai vechi timpuri, a fost cauzată de necesitatea de a rezolva probleme legate de găsirea suprafețelor de terenuri și terasamente de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut fi rezolvate în jurul anului 2000 î.Hr. e. babilonienii.

Folosind notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum oferă doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără nicio indicație cu privire la modul în care au fost găsite.

În ciuda nivel înalt dezvoltarea algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale rezolvarea ecuațiilor pătratice.

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

Aritmetica lui Diofant nu conține o prezentare sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin construirea de ecuații de diferite grade.

Când compune ecuații, Diophantus selectează cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Problema 11.„Găsiți două numere, știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”

Diophantus argumentează astfel: din condițiile problemei rezultă că numerele cerute nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor nu ar fi egal cu 96, ci cu 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mare decât jumătate din suma lor, adică . 10 + x, celălalt este mai puțin, adică. anii 10. Diferența dintre ele 2x .

De aici rezultă ecuația:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2. Unul dintre numerele necesare este egal cu 12 , altele 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele necesare ca necunoscut, atunci vom ajunge la o soluție a ecuației

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)


Este clar că, alegând jumătate de diferență a numerelor necesare drept necunoscut, Diophantus simplifică soluția; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).

1.3 Ecuații cuadratice în India

Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul astronomic „Aryabhattiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a subliniat regula generala soluții de ecuații pătratice reduse la o singură formă canonică:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția O, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.

ÎN India antică Competițiile publice în rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, așa om învăţat va eclipsa gloria altuia adunările oamenilor, propunând și rezolvând probleme algebrice.” Problemele erau adesea prezentate sub formă poetică.

Aceasta este una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskars.

Problema 13.

„O turmă de maimuțe pline de frumusețe și douăsprezece de-a lungul viței...

Autoritățile, după ce au mâncat, s-au distrat. Au început să sară, să atârne...

Sunt ei în piață, partea a opta Câte maimuțe erau acolo?

Mă distram în poiană. Spune-mi, în pachetul ăsta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x = -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la un pătrat, se adaugă la ambele părți 32 2 , apoi obțineți:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ecuații cuadratice în al - Khorezmi

În tratatul de algebric al-Khorezmi, este dată o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

2) „Pătratele sunt egale cu numerele”, adică ax 2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numerele”, adică ah 2 + bx = s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c = ax 2 .

Pentru al-Khorezmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt sumanzi și nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul stabilește metode de rezolvare a acestor ecuații folosind tehnicile al-jabr și al-muqabala. Deciziile lui, desigur, nu coincid complet cu ale noastre. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip

al-Khorezmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că în probleme practice specifice nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, al-Khorezmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezi geometrice.

Problema 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (implicând rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Soluția autorului este cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, ceea ce rămâne este 4. Luați rădăcina din 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5. , obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce dă 7, aceasta este și o rădăcină.

Tratatul lui al-Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, care stabilește sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și oferă formule pentru rezolvarea lor.

1.5 Ecuații cuadratice în Europa XIII - XVII bb

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de-a lungul liniilor lui al-Khorezmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât țările islamice, cât și Grecia antică, se distinge atât prin completitudine, cât și prin claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din Cartea Abacului au fost folosite în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

x 2 + bx = c,

pentru toate combinațiile posibile de semne coeficiente b , Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice în vedere generală Viet o are, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Pe lângă cele pozitive, se iau în considerare și rădăcinile negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă o formă modernă.

1.6 Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, numită după Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + D, înmulțit cu O - O 2 , egal BD, Asta O egală ÎN si egali D ».

Pentru a înțelege pe Vieta, ar trebui să ne amintim asta O, ca orice literă vocală, însemna necunoscutul (nostru X), vocale ÎN, D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea Vieta de mai sus înseamnă: dacă există

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor cu formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viète a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul vieții este încă departe de a fi aspect modern. Nu a recunoscut numerele negative și de aceea, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile erau pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a VIII-a) până la absolvire.

Acest subiect poate părea complicat la început din cauza numeroaselor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au notații lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. În total, se obțin trei formule noi. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a unei ecuații pătratice

Aici propunem notarea lor explicită, când se scrie mai întâi gradul cel mai mare, apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii sunt inconsecvenți. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem o notație. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie desemnată numărul unu.

Când este dată o ecuație, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

  • soluția va avea două rădăcini;
  • răspunsul va fi un număr;
  • ecuația nu va avea deloc rădăcini.

Și până la finalizarea deciziei, este greu de înțeles care opțiune va apărea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Pot exista diferite intrări în sarcini. Nu vor arăta întotdeauna ca formula generala ecuație pătratică. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult, numai termenii cu coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Prima formulă să fie numărul doi, iar a doua - trei.

Discriminarea și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficientului în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Dacă numărul este negativ, nu vor exista rădăcini ale ecuației pătratice. Dacă este egal cu zero, va exista un singur răspuns.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești un discriminant. După ce se stabilește că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formule pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați următoarea formulă.

Deoarece conține semnul „±”, vor exista două valori. Expresie sub semn rădăcină pătrată este un discriminator. Prin urmare, formula poate fi rescrisă diferit.

Formula numărul cinci. Din aceeași înregistrare este clar că dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă rezolvarea ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Nici măcar nu este nevoie de formule suplimentare. Iar cele care au fost deja notate pentru discriminant și necunoscut nu vor fi necesare.

Mai întâi, să ne uităm la ecuația numărul doi incompletă. În această egalitate, este necesar să se scoată cantitatea necunoscută din paranteze și să se rezolve ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Prima este neapărat egală cu zero, deoarece există un multiplicator format din variabila însăși. Al doilea se va obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă numărul trei se rezolvă prin mutarea numărului din partea stângă a egalității la dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Tot ce rămâne este să extragi rădăcina pătrată și să nu uiți să o notezi de două ori cu semne opuse.

Mai jos sunt câteva acțiuni care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri pot cauza note slabe atunci când studiezi subiectul extins „Ecuații cadrate (clasa a VIII-a).” Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.

  • Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei, apoi - fără un grad, și ultimul - doar un număr.
  • Dacă înaintea coeficientului „a apare un minus”, poate complica munca unui începător care studiază ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.
  • Se recomandă să scăpați de fracții în același mod. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 − 7x = 0. Este incompletă, deci se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După ce o scoateți din paranteze, rezultă: x (x - 7) = 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 = 0. A doua va fi găsită din ecuația liniară: x - 7 = 0. Este ușor de observat că x 2 = 7.

A doua ecuație: 5x 2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Numai că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După ce mutați 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numerele: x 1 = √6, x 2 = - √6.

A treia ecuație: 15 − 2x − x 2 = 0. Aici și mai departe, rezolvarea ecuațiilor pătratice va începe prin a le rescrie în forma standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosiți a doua ecuație. sfaturi utileși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 = 0. Folosind a patra formulă, trebuie să calculați discriminantul: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, rezultă că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate folosind a cincea formulă. Rezultă că x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Atunci x 1 = 3, x 2 = - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x = 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 = 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 ar trebui rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x = -12/ (2 * 1) = -6.

A șasea ecuație (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, deschizând mai întâi parantezele. În locul primei va exista următoarea expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x = 0. A devenit incomplet . Ceva similar cu asta a fost deja discutat puțin mai sus. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.

Continuând subiectul „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce în ecuațiile pătratice.

Să privim totul în detaliu: esența și notarea unei ecuații pătratice, definiți termenii însoțitori, analizați schema de rezolvare a ecuațiilor incomplete și complete, faceți cunoștință cu formula rădăcinilor și discriminantului, stabiliți conexiuni între rădăcini și coeficienți, și bineînțeles că vom oferi o soluție vizuală exemplelor practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația pătratică, tipurile sale

Definiția 1

Ecuație cuadratică este o ecuație scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde x– variabilă, a , b și c– unele numere, în timp ce o nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece în esență o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul o se numește primul, sau senior, sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient, sau coeficient la x, A c numit membru liber.

De exemplu, în ecuația pătratică 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 coeficientul principal este 6, al doilea coeficient este − 2 , iar termenul liber este egal cu − 11 . Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși/sau c sunt negative, atunci se folosește o formă scurtă a formei 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, nu 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii oși/sau b egal 1 sau − 1 , atunci ei nu pot participa în mod explicit la scrierea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile scrierii coeficienților numerici indicați. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 − y + 7 = 0 coeficientul principal este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

Pe baza valorii primului coeficient, ecuațiile pătratice sunt împărțite în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1. Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică este neredusă.

Să dăm exemple: ecuațiile pătratice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sunt reduse, în fiecare dintre ele coeficientul principal este 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi convertită într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Considerare exemplu concret ne va permite să demonstrăm clar trecerea de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Având în vedere ecuația 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Soluţie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6. Apoi obținem: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, și acesta este același cu: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 si mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. De aici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În el am precizat că a ≠ 0. O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era tocmai pătrat, din moment ce or a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bŞi c sunt egale cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă- o astfel de ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bŞi c(sau ambele) este zero.

Ecuație pătratică completă– o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se dau exact aceste nume.

Când b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0, care este la fel ca a x 2 + c = 0. La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0, care este echivalent a x 2 + b x = 0. La b = 0Şi c = 0 ecuația va lua forma a x 2 = 0. Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că laturile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber, sau ambele. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuație – incompletă.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția dată mai sus face posibilă evidențierea următoarele tipuri ecuații patratice incomplete:

  • a x 2 = 0, această ecuație corespunde coeficienților b = 0şi c = 0;
  • a · x 2 + c = 0 la b = 0 ;
  • a · x 2 + b · x = 0 la c = 0.

Să considerăm secvenţial soluţia fiecărui tip de ecuaţie pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 =0

După cum am menționat mai sus, această ecuație corespunde coeficienților bŞi c, egal cu zero. Ecuaţie a x 2 = 0 poate fi convertit într-o ecuație echivalentă x 2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr o, nu este egal cu zero. Faptul evident este că rădăcina ecuației x 2 = 0 acesta este zero pentru că 0 2 = 0 . Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce poate fi explicat prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p 2 > 0, din care rezultă că atunci când p ≠ 0 egalitate p 2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru ecuația pătratică incompletă a x 2 = 0 există o rădăcină unică x = 0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă − 3 x 2 = 0. Este echivalent cu ecuația x 2 = 0, singura sa rădăcină este x = 0, atunci ecuația originală are o singură rădăcină - zero.

Pe scurt, soluția este scrisă după cum urmează:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rezolvarea ecuației a x 2 + c = 0

Urmează pe linie soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b = 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0. Să transformăm această ecuație prin mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în cel opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

  • transfer cîn partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 = − c;
  • împărțiți ambele părți ale ecuației cu o, ajungem cu x = - c a .

Transformările noastre sunt echivalente în consecință, ecuația rezultată este și ea echivalentă cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea de concluzii despre rădăcinile ecuației. Din care sunt valorile oŞi c valoarea expresiei - c a depinde: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1Şi c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = − 2Şi c = 6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este zero pentru că c ≠ 0. Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit când - c a > 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 = - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 = - c a. Nu este greu de înțeles că numărul - - c a este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a.

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind metoda contradicției. Pentru început, să definim notațiile pentru rădăcinile găsite mai sus ca x 1Şi − x 1. Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x 2, care este diferit de rădăcini x 1Şi − x 1. Știm că prin substituirea în ecuație x rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1Şi − x 1 scriem: x 1 2 = - c a , iar pentru x 2- x 2 2 = - c a . Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem un termen de egalitate corect cu termen dintr-un altul, ceea ce ne va da: x 1 2 − x 2 2 = 0. Folosim proprietățile operațiilor cu numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele de mai sus rezultă că x 1 − x 2 = 0și/sau x 1 + x 2 = 0, care este la fel x 2 = x 1și/sau x 2 = − x 1. A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x 2 diferit de x 1Şi − x 1. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini decât x = - c a și x = - - c a.

Să rezumam toate argumentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = - c a, care:

  • nu va avea rădăcini la - c a< 0 ;
  • va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a pentru - c a > 0.

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Având în vedere o ecuație pătratică 9 x 2 + 7 = 0. Este necesar să găsim o soluție.

Soluţie

Să mutam termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 = − 7.
Să împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9 . În partea dreaptă vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuaţie 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Ecuația trebuie rezolvată − x 2 + 36 = 0.

Soluţie

Să mutăm 36 în partea dreaptă: − x 2 = − 36.
Să împărțim ambele părți la − 1 , primim x 2 = 36. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36 .
Să extragem rădăcina și să notăm rezultatul final: ecuație pătratică incompletă − x 2 + 36 = 0 are două rădăcini x = 6 sau x = − 6.

Răspuns: x = 6 sau x = − 6.

Rezolvarea ecuației a x 2 +b x=0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0. Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, vom folosi metoda factorizării. Să factorizăm polinomul care se află în partea stângă a ecuației, luând factorul comun din paranteze x. Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu un set de ecuații x = 0Şi a x + b = 0. Ecuaţie a x + b = 0 liniară și rădăcina sa: x = − b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x = 0Şi x = − b a.

Să întărim materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsim o soluție la ecuația 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Soluţie

O vom scoate xîn afara parantezelor obținem ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x = 0și 2 3 x - 2 2 7 = 0. Acum ar trebui să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scrieți pe scurt soluția ecuației după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a găsi soluții la ecuații pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiția 8

x = - b ± D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c– așa-numitul discriminant al unei ecuații pătratice.

Scrierea x = - b ± D 2 · a înseamnă în esență că x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Ar fi util să înțelegem cum a fost derivată această formulă și cum să o aplici.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0. Să efectuăm o serie de transformări echivalente:

  • împărțiți ambele părți ale ecuației la un număr o, diferit de zero, obținem următoarea ecuație pătratică: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
  • Să selectăm pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
    x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
    După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
  • Acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • În cele din urmă, transformăm expresia scrisă în partea dreaptă a ultimei egalități:
    b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Astfel, ajungem la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am examinat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența acumulată deja face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

  • cu b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • când b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ecuația este x + b 2 · a 2 = 0, atunci x + b 2 · a = 0.

De aici singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

  • pentru b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, următoarele vor fi adevărate: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , care este același cu x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , adică. ecuația are două rădăcini.

Se poate concluziona că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 scris în partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este dat de semnul numărătorului, (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 − 4 a c. Această expresie b 2 − 4 a c se dă denumirea - discriminantul ecuației pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - pe baza valorii și semnului acestuia, ei pot concluziona dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, care este numărul de rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Să o rescriem folosind notația discriminantă: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Să formulăm din nou concluziile noastre:

Definiția 9

  • la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
  • la D=0 ecuaţia are o singură rădăcină x = - b 2 · a ;
  • la D > 0 ecuația are două rădăcini: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise sub forma: x = - b 2 · a + D 2 · a sau - b 2 · a - D 2 · a. Și, când deschidem modulele și aducem fracțiile la un numitor comun, obținem: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculate prin formula D = b 2 − 4 a c.

Aceste formule fac posibilă determinarea ambelor rădăcini reale atunci când discriminantul este mai mare decât zero. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină, ca singura solutie ecuație pătratică. În cazul în care discriminantul este negativ, dacă încercăm să folosim formula rădăcinii pătratice, ne vom confrunta cu necesitatea de a lua rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de sfera numerelor reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve o ecuație pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar acest lucru se face în general atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În majoritatea cazurilor, înseamnă de obicei să nu căutați rădăcini complexe, ci reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să determinați mai întâi discriminantul și să vă asigurați că acesta nu este negativ (în caz contrar vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), apoi să trecem la calcularea valoarea rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

  • conform formulei D = b 2 − 4 a c găsiți valoarea discriminantă;
  • la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • pentru D = 0, găsiți singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - b 2 · a ;
  • pentru D > 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice folosind formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a, va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a.

Să ne uităm la exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să dăm soluții la exemple pentru diferite valori ale discriminantului.

Exemplul 6

Trebuie să găsim rădăcinile ecuației x 2 + 2 x − 6 = 0.

Soluţie

Să notăm coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a = 1, b = 2 și c = − 6. În continuare procedăm conform algoritmului, adică. Să începem să calculăm discriminantul, pentru care înlocuim coeficienții a, b Şi cîn formula discriminantă: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Deci obținem D > 0, ceea ce înseamnă că ecuația originală va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x = - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x = - 2 ± 28 2 · 1. Să simplificăm expresia rezultată prin eliminarea factorului din semnul rădăcinii și apoi reducând fracția:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemplul 7

Trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluţie

Să definim discriminantul: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Răspuns: x = 3,5.

Exemplul 8

Ecuația trebuie rezolvată 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Soluţie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5, b = 6 și c = 2. Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Discriminantul calculat este negativ, astfel încât ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinii, efectuând acțiuni cu numere complexe:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 sau x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i sau x = - 3 5 - 1 5 · i.

Răspuns: nu există rădăcini reale; rădăcinile complexe sunt următoarele: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ÎN programa școlară Nu există o cerință standard de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă în timpul soluției discriminantul este determinat ca fiind negativ, răspunsul este imediat scris că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru coeficienți chiar și doi

Formula rădăcină x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compacte, care să permită găsirea soluțiilor ecuațiilor pătratice cu coeficient par pentru x ( sau cu un coeficient de forma 2 · n, de exemplu, 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), iar apoi folosim formula rădăcinii:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Să se noteze expresia n 2 − a · c cu D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 · n va lua forma:

x = - n ± D 1 a, unde D 1 = n 2 − a · c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1, sau D 1 = D 4. Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient de 2 n, este necesar:

  • găsiți D 1 = n 2 − a · c ;
  • la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • când D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - n a;
  • pentru D 1 > 0, determinați două rădăcini reale folosind formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Soluţie

Putem reprezenta al doilea coeficient al ecuației date ca 2 · (− 3) . Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, unde a = 5, n = − 3 și c = − 32.

Să calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Să le determinăm folosind formula rădăcină corespunzătoare:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2 .

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 este în mod clar mai convenabil de rezolvat decât 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o reprezentare simplificată a ecuației 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt numere coprime. Apoi, de obicei, împărțim ambele părți ale ecuației la cel mai mare divizor comun valorile absolute ale coeficienților săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Să determinăm GCD al valorilor absolute ale coeficienților săi: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Înmulțind ambele părți ale unei ecuații pătratice, de obicei scapi de coeficienții fracționali. În acest caz, ele se înmulțesc cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) = 6, atunci se va scrie într-o formă mai simplă x 2 + 4 x − 18 = 0 .

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpăm de minusul de la primul coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puteți merge la versiunea sa simplificată 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice, deja cunoscută nouă, x = - b ± D 2 · a, exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții ei numerici. Pe baza acestei formule, avem posibilitatea de a specifica alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile sunt formulele teoremei lui Vieta:

x 1 + x 2 = - b a și x 2 = c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, privind forma ecuației pătratice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3 și produsul rădăcinilor este 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Mai mult într-un mod simplu. Pentru a face acest lucru, puneți z din paranteze. Veți obține: z(аz + b) = 0. Factorii se pot scrie: z=0 și аz + b = 0, deoarece ambii pot rezulta zero. În notația az + b = 0, îl deplasăm pe al doilea la dreapta cu alt semn. De aici obținem z1 = 0 și z2 = -b/a. Acestea sunt rădăcinile originalului.

Dacă există o ecuație incompletă de forma аz² + с = 0, în în acest caz, sunt găsite prin simpla mutare a termenului liber în partea dreaptă a ecuației. Schimbați-i și semnul. Rezultatul va fi az² = -с. Exprimați z² = -c/a. Luați rădăcina și scrieți două soluții - pozitive și valoare negativă rădăcină pătrată.

Vă rugăm să rețineți

Dacă există coeficienți fracționali în ecuație, înmulțiți întreaga ecuație cu factorul corespunzător pentru a scăpa de fracții.

Cunoașterea modului de rezolvare a ecuațiilor pătratice este necesară atât pentru școlari, cât și pentru elevi, uneori, poate ajuta și un adult în viața de zi cu zi. Există mai multe metode specifice de rezolvare.

Rezolvarea ecuațiilor cuadratice

Ecuație pătratică de forma a*x^2+b*x+c=0. Coeficientul x este variabila dorită, a, b, c sunt coeficienți numerici. Amintiți-vă că semnul „+” se poate schimba într-un semn „-”.

Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să folosiți teorema lui Vieta sau să găsiți discriminantul. Cea mai comună metodă este găsirea discriminantului, deoarece pentru unele valori ale lui a, b, c nu este posibil să se folosească teorema lui Vieta.

Pentru a găsi discriminantul (D), trebuie să scrieți formula D=b^2 - 4*a*c. Valoarea D poate fi mai mare, mai mică sau egală cu zero. Dacă D este mai mare sau mai mic decât zero, atunci vor fi două rădăcini dacă D = 0, atunci rămâne doar o rădăcină, putem spune că D în acest caz are două rădăcini echivalente; Înlocuiți coeficienții cunoscuți a, b, c în formulă și calculați valoarea.

După ce ați găsit discriminantul, utilizați formulele pentru a găsi x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, unde sqrt este o funcție care înseamnă luarea rădăcinii pătrate a unui număr dat. După calcularea acestor expresii, veți găsi două rădăcini ale ecuației dvs., după care ecuația este considerată rezolvată.

Dacă D este mai mic decât zero, atunci are totuși rădăcini. Această secțiune practic nu este studiată la școală. Studenții ar trebui să știe că sub rădăcină apare un număr negativ. Ei scapă de ea prin evidențierea părții imaginare, adică -1 sub rădăcină este întotdeauna egal cu elementul imaginar „i”, care este înmulțit cu rădăcina cu același număr pozitiv. De exemplu, dacă D=sqrt(-20), după transformare obținem D=sqrt(20)*i. După această transformare, rezolvarea ecuației se reduce la aceeași constatare a rădăcinilor descrisă mai sus.

Teorema lui Vieta constă în selectarea valorilor lui x(1) și x(2). Se folosesc două ecuații identice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Și foarte punct important este semnul din fața coeficientului b, amintiți-vă că acest semn este opus celui din ecuație. La prima vedere, se pare că calcularea x(1) și x(2) este foarte simplă, dar la rezolvare, te vei confrunta cu faptul că va trebui să selectezi numerele.

Elemente de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Conform regulilor matematicii, unele pot fi factorizate: (a+x(1))*(b-x(2))=0, dacă ați reușit să transformați această ecuație pătratică într-un mod similar folosind formule matematice, atunci nu ezitați să notează răspunsul. x(1) și x(2) vor fi egali cu coeficienții adiacenți din paranteze, dar cu semnul opus.

De asemenea, nu uitați de ecuațiile pătratice incomplete. Este posibil să vă lipsească unii dintre termeni, dacă da, atunci toți coeficienții săi sunt pur și simplu egali cu zero. Dacă nu există nimic în fața lui x^2 sau x, atunci coeficienții a și b sunt egali cu 1.