Așa cum a fost aplicat funcției z \u003d cp (x, x 2, ... XJ. NONLINEAR În raport cu sistemul argumentelor sale, soluția problemei în formularea de mai sus poate fi obținută, de regulă, numai aproximativ pe baza metodei de liniarizare. Esența metodei de liniarizare este că funcția neliniară se înlocuiește cu unele caracteristici numerice ale acestei funcții liniare, luând în considerare aproximativ caracteristicile numerice ale unei funcții neliniare.
Esența acestei metode va privi exemplul funcției unui argument aleatoriu.
Dacă valoarea aleatorie Z este o funcție dată
argumentul aleator X, apoi valorile sale posibile z. asociate cu posibile valori ale argumentului h. Funcția de același tip, adică
(de exemplu, dacă z \u003d Sin x, atunci z. \u003d Sin x).
Spatulați funcția (3.20) într-o serie de Taylor în vecinătatea punctului h. \u003d m, limitat la primii doi membri ai descompunerii și presupunem asta 
Valoarea funcției derivate (3.20) de argument h. pentru h. = t x.
O astfel de presupunere este echivalentă cu înlocuirea funcției specificate (3.19) cu o funcție liniară
Pe baza teoremelor privind așteptările matematice și dispersiile, obținem formule calculate pentru determinarea caracteristicilor numerice. m Z. În formă
Rețineți că, în cazul în cauză, deviația standard și G ar trebui să fie calculată prin formula
(Modulul derivat aici este luat pentru că ea
poate negativ.)
Aplicarea unei metode de liniarizare pentru a găsi caracteristicile numerice ale funcției neliniare
un număr arbitrar de argumente aleatorii duce la formulele calculate pentru a determina așteptările sale matematice având o viziune 
x 2. ..., x n) prin argumente x. și x. în consecință, calculată în funcție de semnele de la punct sH x, t ^, t hp, adică prin înlocuirea tuturor argumentelor x V x 2, ..., x P. așteptările lor matematice.
Împreună cu formula (3.26) pentru a determina dispersia D? Puteți utiliza formula calculată a tipului
unde g.x - Coeficientul de corelație al argumentelor aleatorii x.
În ceea ce privește funcția neliniară a argumentelor aleatorii independente (sau cel puțin necorelate) cu formula (3.26) și (3.26)
Formulele bazate pe liniarizarea funcțiilor neliniare ale argumentelor aleatorii fac posibilă determinarea caracteristicilor lor numerice doar aproximativ. Precizia calculului este mai mică decât funcțiile mai specificate diferă de liniară și cu atât este mai mare dispersia argumentelor. Estimați eventuala eroare în fiecare caz nu este întotdeauna posibilă.
Pentru a clarifica rezultatele obținute de aceasta metodaPot fi utilizate, pe baza conservării în descompunerea unei funcții neliniare nu numai liniară, ci și a unor membri ulteriori ai descompunerii (de obicei patratic).
În plus, caracteristicile numerice ale funcției neliniare ale argumentelor aleatorii pot fi determinate pe baza constatării preliminare a distribuției sale distribuției sale cu o distribuție dată a sistemului de argumentare. Cu toate acestea, ar trebui să se țină cont de faptul că soluția analitică a unei astfel de sarcini este adesea prea complexă. Prin urmare, pentru a găsi caracteristicile numerice ale funcțiilor neliniare ale argumentelor aleatorii, se utilizează pe scară largă metoda de modelare statistică.
Baza metodei este de a imita o serie de teste, în fiecare dintre care prin modelarea se dovedește un anumit set x și, x 2i, ..., x ni. Valorile argumentelor aleatorii x V H. 2 ,..., x P. De la un set care le îndeplinește în distribuirea în comun. Valorile obținute cu o relație dată (3.24) sunt convertite în valorile corespunzătoare. z. Funcția investigată Z. Conform rezultatelor z v z 2, ..., z., ..., z K. Toate la Astfel de teste, caracteristicile numerice dorite sunt calculate prin metode de statistici matematice.
Exemplul 3.2.Determinați pe baza metodei de liniarizare a așteptărilor matematice și a deviației standard a variabilelor aleatorii 
1. Prin formula (3.20) ajungem
2. Folosind tabelul derivatilor funcțiilor elementare, găsim
și calculați valoarea acestui derivat la punct 
:
3. Prin formula (3.23) ajungem 
Exemplul 3.3. Determinați pe baza metodei de liniarizare a așteptărilor matematice și a deviației standard a variabilelor aleatorii
1. Prin formula (3.25) ajungem
2. Noi scriem formula (3.27) pentru funcția a două argumente aleatorii 
3. Găsiți derivați privați din funcția Z pentru argumente X 1 dintre ele 2:
și să calculeze valorile lor la punct (m xi , T. X2):
4. Înlocuirea datelor obținute în formula pentru calcularea dispersiei Z, ajungem D Z. \u003d 1. În consecință, St G \u003d 1.
Metoda generală Liniarizarea
În majoritatea cazurilor, puteți linia dependențe neliniare utilizând metoda de abateri mici sau variații. Pentru examinare, reveniți la o anumită legătură a sistemului de reglare automată (figura 2.2). Valorile de intrare și ieșire sunt indicate de X1 și X2, iar perturbarea externă - prin F (t).
Să presupunem că legătura este descrisă de unele ecuații diferențiale non-liniare de tip
Pentru a compila o astfel de ecuație, este necesar să se utilizeze industria relevantă a științelor tehnice (de exemplu, inginerie electrică, mecanică, hidraulică etc.), care studiază acest tip de dispozitiv particular.
Baza de liniarizare este ipoteza suficientă a deviațiilor tuturor variabilelor incluse în ecuația dinamicii legăturii, deoarece tocmai într-o secțiune suficient de mică, o caracteristică curbilinară poate fi înlocuită cu un segment drept. Abaterile variabilelor sunt numărate din valorile lor în procesul constant sau într-o anumită stare de echilibru a sistemului. Să presupunem, de exemplu, procesul stabilit este caracterizat printr-o valoare constantă a variabilei X1, care este indicată de X10. În procesul de reglementare (figura 2.3), variabila X1 va avea valorile în care denotă abaterea variabilei x 1 de la valoarea constantă x10.
Relațiile similare sunt introduse pentru alte variabile. Pentru cazul în cauză, avem și noi.
Toate abaterile sunt așteptate suficient de mici. Această ipoteză matematică nu contrazice sensul fizic al problemei, deoarece ideea de reglementare automată necesită ca toate abaterile valorii reglabile în timpul procesului de reglementare să fie suficient de mici.
Starea instalată a legăturii este determinată de valorile lui X10, X20 și F0. Apoi ecuația (2.1) trebuie înregistrată pentru starea stabilită sub formă de
Spatulați partea stângă a ecuației (2.1) într-o serie de Taylor
unde d este membrii celei mai înalte ordine. Indexul 0 cu derivate private înseamnă că, după administrarea unui derivat în expresia sa, este necesar să se înlocuiască valoarea stabilită a tuturor variabilelor.
Membrii celei mai înalte ordine în formula (2.3) includ derivați privați de top înmulțiți cu pătrate, cuburi și grade mai mari de abateri, precum și de lucrările de deviații. Acestea vor fi mulțumiri mici în comparație cu abaterile în sine, care sunt mici ordinea.
Ecuația (2.3) este ecuația dinamicii legăturii, precum și (2.1), dar înregistrată într-o altă formă. Thump în această ecuație sunt mulțumiri mici, după care ecuația statului constant (2.2) este prezentată din ecuația (2.3). Ca rezultat, obținem următoarea ecuație aproximativă a dinamicii legăturilor în abateri mici.
În această ecuație, toate variabilele și derivatele lor sunt liniar, adică la gradul I. Toate derivatele private reprezintă de la ei înșiși coeficienții constanți în cazul în care sistemul cu parametri constanți este investigat. Dacă sistemul are parametri variabili, atunci ecuația (2.4) va avea coeficienți variabili. Luați în considerare numai cazul coeficienților constanți.
Metoda generală de liniarizare este conceptul și tipurile. Clasificarea și caracteristicile categoriei "Metoda generală de liniarizare" 2015, 2017-2018.
Dependențe
Prelucrarea rezultatelor măsurătorilor indirecte cu neliniar
Prezentarea rezultatelor măsurătorilor
Datorită faptului că fiecare argument poate avea frontiere de încredere adecvate de erori sistematice și aleatorii neexclusive, sarcina de a determina eroarea măsurării indirecte în aceste cazuri este împărțită în trei etape:
a) sumarea erorilor sistematice neexclusive private de argumente;
b) sumarea erorilor private de argumentare accidentale;
c) Adăugarea componentelor sistematice și aleatorii ale erorii.
Frontiera de încredere a erorii sistematice neexclusive a măsurării indirecte, cu condiția ca probabilitatea egală de încredere a erorilor private și distribuția lor uniformă în limitele specificate să fie determinată prin formula (cu excepția semnului):
unde θ. y.- Frontiera de încredere a erorii sistematice neexclusive a mediului X J.-Ho argument. În absența unei corelații între argumente, evaluarea abordării erorii accidentale a măsurătorilor indirecte se calculează de către
unde S x J.- Estimarea aproximării erorii aleatorii a rezultatului de măsurare X J.-Ho argument.
Cu distribuția normală a erorilor de măsurare indirectă, frontiera de încredere a componentei aleatorie a erorii este calculată prin formula:
unde t p.- Studentul Quanthal în probabilitate confidențială P.cu un număr efectiv de grade de libertate k ef.determinată cu volume mici de eșantionare cu formula:
Cu volume mari, numărul de grade de libertate este prin formula
Trust frontieră a erorii totale a rezultatului indirect
măsurătorile sunt determinate de regulile stabilite mai sus.
Există două metode pentru determinarea punctului de evaluare a rezultatului măsurării indirecte și a erorii sale: liniarizarea și aducerea.
Pentru măsurători indirecte cu dependențe neliniare și erori necorelate de măsurători ale argumentelor, se utilizează o metodă de liniarizare. Metoda liniarizării se bazează pe faptul că eroarea de măsurare este semnificativ mai mică decât valoarea măsurată și, prin urmare, aproape valori medii Xi.argumentele dependenței funcționale neliniare sunt liniarizate și respinse într-o serie de Taylor (membrii ordinului de înaltă nu sunt luați în considerare). Linearizând funcția mai multor argumente aleatorii (care sunt rezultatele măsurătorilor și erorile lor), este posibilă obținerea unei expresii suficient de simple pentru a calcula estimările medii
valori și deviație medie de funcționare medie. Descompunerea unei funcții neliniare într-o serie de Taylor are forma:
Metoda de liniarizare presupune dacă puteți neglija membrul rezidual R.. Membru rezidual.
neglija dacă
unde X S.- deviația medie patrată a erorilor de măsurare aleatorie x I.-Ho argument. Primul mandat al ecuației este estimarea exactă a valorii reale a valorii indirecte, obținută prin înlocuire
dependența funcțională a aritmeticii medii X I., valori argument:
Al doilea mandat
există o sumă a componentelor erorii măsurării indirecte, numite erori private și derivați privați
Coeficienți de influență.
Abateri δ. Xi.trebuie să fie luate din valorile obținute ale erorilor și astfel încât să maximizeze expresia pentru membrul rezidual R.. Dacă erorile private ale măsurătorilor indirecte nu depind una de alta, adică sunt necorelate, iar limitele de încredere ale erorii argumentelor sunt cunoscute la aceeași probabilitate, eroarea limită (excluderea semnului) a măsurătorilor indirecte se calculează de către formulă:
valorile derivatelor private ale dependenței funcționale sunt determinate de valorile medii ale argumentelor
Această metodă, numită minimă maximă, oferă o semnificație supraestimată semnificativ a erorii măsurării indirecte. Evaluarea relativ corectă a erorii măsurării indirecte se obține prin metoda de sumare patratic
În unele cazuri, calculul erorii măsurării indirecte este foarte simplificat atunci când se deplasează la erori relative. Pentru a face acest lucru, utilizați logarithing și diferențierea ulterioară a dependenței funcționale. Când eroarea de limitare a măsurării indirecte, obținută prin metoda maximă maximă.
Metoda de liniarizare armonică (sold armonic) vă permite să determinați condițiile existenței și parametrilor posibilelor auto-oscilații în Nonlinear Sau. Auto-oscilațiile sunt determinate de ciclurile limită din spațiul de fază al sistemelor. Cicluri limită Spațiu de împărtășire (în cazul general - multidimensional.) Pe câmpul de pulverizare și procese divergente. Ca urmare a calculului parametrilor auto-oscilației, puteți face o concluzie cu privire la admisibilitatea acestora pentru acest sistem sau despre necesitatea modificării parametrilor sistemului.
Metoda permite:
Determinarea condițiilor pentru stabilitatea sistemului neliniar;
Găsiți frecvența și amplitudinea oscilațiilor sistemului liber;
Sintetizați lanțurile corective pentru a furniza parametrii de auto-oscilație necesari;
Investigați fluctuațiile forțate și evaluați calitatea proceselor tranzitorii în SAU neliniar.
Condițiile pentru aplicabilitatea metodei de linearizare armonică.
1) Când se utilizează metoda se presupune că liniar O parte a sistemului este stabilă sau neutră.
2) Semnalul de la intrarea legăturii neliniare este aproape de formă la semnalul armonic. Această prevedere necesită explicații.
Figura 1 prezintă schemele structurale ale SAU neliniar. Schema constă în legături succesive legate de legături: o legătură neliniară y \u003d f (x) și liniară
ceea ce este descris de ecuația diferențială
La y \u003d f (g - x) \u003d g - x, obținem ecuația mișcării sistemului liniar.
Luați în considerare libera circulație, adică. la g (t) º 0. Apoi
În cazul în care există auto-oscilații în sistem, mișcarea liberă a sistemului este periodică. Mișcarea non-periodică în timp se încheie cu o oprire a sistemului într-o anumită poziție (de obicei, pe un limitator specializat).
Cu orice formă de semnal periodic la intrarea elementului neliniar, semnalul de la ieșire va conține, cu excepția frecvenței principale a celor mai înalte armonice. Presupunerea că semnalul de la intrarea părții neliniare ale sistemului poate fi considerat armonic, adică
x (t) @ a × păcat (wt),
unde w \u003d 1 / t, t este perioada de oscilații gratuite ale sistemului, este echivalentă cu presupunerea că partea liniară a sistemului este eficientă filtre Armonici mai mari ale semnalului y (t) \u003d f (x (t)).
În general, sub acțiuni la intrarea elementului neliniar al semnalului armonic X (T), semnalul de ieșire poate fi convertit în Fourier:
Coeficienții din seria Fourier.
Pentru a simplifica calculele, puneți C 0 \u003d 0, adică că funcția F (x) este simetrică față de începutul coordonatelor. O astfel de restricție nu este neapărat și făcută. Apariția coeficienților C K ¹ 0 înseamnă că, în cazul general, conversia semnalului neliniar este însoțită de schimbările de fază ale semnalului transformat. În special, acest lucru are loc în neliniarități cu caracteristici ambigue (cu diferite tipuri de balamale de histerezis), precum și întârzierea și, în unele cazuri, faza în față.
Presupunerea unei filtrări eficiente înseamnă că amplitudinile armonicii superioare la ieșirea părții liniare ale sistemului sunt mici, adică
Această condiție este facilitată de faptul că, în multe cazuri, amplitudinea armoniei este deja direct la ieșirea neliniarității, există semnificativ mai puțin decât amplitudinea primului armonic. De exemplu, la ieșirea releului perfect cu un semnal armonic la intrare
y (t) \u003d f (cu × păcat (wt)) \u003d un semn × (păcat (wt))
chiar și armonicile sunt absente și amplitudinea celei de-a treia armonici în de trei ori Mai puțină amplitudine a primului armonic
Fă-o evaluarea gradului de suprimare Cea mai mare armonică a semnalului în partea liniară a SAU. Pentru a face acest lucru, faceți o serie de ipoteze.
1) Frecvența oscilațiilor gratuite Sau aproximativ egală cu frecvența cutoff partea sa liniară. Rețineți că frecvența oscilațiilor gratuite ale SAU neliniar poate diferi semnificativ de frecvența oscilațiilor libere ale sistemului liniar, astfel încât această ipoteză să nu fie întotdeauna corectă.
2) Indicele oscilabilității SAU va dura egal cu M \u003d 1.1.
3) Calele din vecinătatea frecvenței de tăiere (WC) are o pantă -20 dB / dec. Limitele acestei secțiuni de lax sunt asociate cu un indicator al oscilalizabilității prin relații
4) Frecvența W MAX este împerecheată cu zona LFC, astfel încât când W\u003e W Max este ușor minus 40 dB / dec.
5) Nonlinearitatea este un releu ideal cu o caracteristică Y \u003d semn (x), astfel încât numai armonicii ciudate să fie prezentă la producția sa de neliniaritate.
Frecvențele celei de-a treia armonice W 3 \u003d 3W C, Cincea W 5 \u003d 5W C,
lGW 3 \u003d 0,48 + LGW C,
lGW 5 \u003d 0,7 + LGW C.
Frecvență w max \u003d 1,91W C, LGW MAX \u003d 0,28 + LGW C. Frecvența de împerechere este de la frecvența tăierii cu 0,28 decenii.
Reducerea amplitudinilor de armonici mai mari ale semnalului atunci când trec prin partea liniară a sistemului vor fi pentru a treia armonică
L 3 \u003d -0,28 × 20- (0,48-0,28) × 40 \u003d -13,6 dB, adică de 4,8 ori,
pentru a cincea - L 5 \u003d -0,28 × 20- (0,7-0,28) × 40 \u003d -22.4 dB, adică de 13 ori.
În consecință, semnalul de la ieșirea părții liniare va fi aproape de armonică
Acest lucru este echivalent cu presupunerea că sistemul este un filtru de frecvență redusă.
HV, L (0) \u003d 0 și diferențiați de Frecchec. Unul dintre clasic. Metodele de decizie (1) asociate cu liniarizarea (1) este metoda iterativă a Newton - Cantorovich, în K-ROM cu o aproximare cunoscută si n. Noua aproximare și n +. 1 este definită ca o soluție de ecuație liniară
cu un parametru iterativ care trebuie selectat. În punerea în aplicare a metodelor menționate, abordarea soluției de sistem ar trebui luată în considerare (de exemplu, ca urmare a utilizării metodelor auxiliare iterative) (vezi, de exemplu, ,,). Atunci când se iau în considerare sarcinile neliniare privind valori proprii (sarcini de găsire a punctelor de bifurcare), de exemplu. Vedere
ideea de liniarizare (5), care reduce studiul problemei (5) la studiul unei probleme liniare asupra valorilor proprii
sa dovedit a fi foarte fructuoasă (vezi -). Aceasta sau că liniarizarea este adesea utilizată în metodele de rețea pentru rezolvarea sarcinilor neliniare neliniare (vezi, de exemplu, -), efectuate în detrimentul soluțiilor bine-cunoscute în momentul în care t n. și oferind ecuații liniare pentru rezolvarea următoarei discrete (t - pas în timp). Lit.: Krasnoselsky M. A. [și colab.], O soluție aproximativă de ecuații operatorului, T 1, M., 1969; La aproximativ l l și t c l., Analiza funcțională și, per. cu el., M., 1969; Metodele iterative pentru rezolvarea sistemelor neliniare de ecuații cu multe necunoscute, per. Din engleză, M., 1975; B E L L M a N R., K A L A B A R., Quasilinearizare și Valoarea limită neliniară, per. Din engleză, M., 1968; P despre b e d r i B. B., în cartea: elasticitate și inelasticitate, în. 3, M., 1973, p. 95-173; Despre d e n d., Elemente finite în mecanica neliniară de mediu solid, per. Din engleză, M., 1976; Zenkevich O., metoda elementelor finite în tehnica, trans. Din engleză, M., 1975; De la B și R S K și Y I. V., metode de tip Bubnov - Galerie și aproximări consecutive, M., 1968; M și X L și N S. G., implementarea numerică a metodelor variaționale, M., 1966; Futik S., Kratochvil A., Necas I. ", Acta Univ. Corolinae. Math, et Phys", 1974, v. 15, Nr. 1-2, p. 31-33; Amosov A. A., Bowls N. S., O S I-P și la Yu. Și.; "Zh, calculat. Mat. Și Mat. Fizica", 1980, vol. 20, No. 1, p. 104-11; E i s e n s t a T S. S., S C H u L T Z M. N. N. N. N. Note. Note Math. ", 1974, nr. 430, p. 131 - 53; Dyakonov E. G., în carte: metode numerice de mecanică a unui mediu continuu, vol. 7, nr. 5, M., 1976, p. 14-78; În r de la B și CH I. I., în carte: problemele hidrodinamicii și mecanicii unui mediu solid. La aniversarea sixtiere a Acad. L. I. SEDOVA, M., 1969; Berger M.S., în carte: teoria ramificației și a sarcinilor neliniare pentru valori proprii, per. Din engleză, M., 1974, p. 71-128; Skipnik i.v., ecuații elliptice neliniare de ordin superior, K., 1973; Ladyzhenskaya O. A., Întrebări matematice Dinamica fluidului incompetativ vâscos, 2 ed., M., 1970; Dyakonov E. G., Diferența Metode de rezolvare a problemelor de valoare limită, în. 2 - sarcini non-stivuite, M., 1972; P și în K și n D V. YA., U N. N., V.: Probleme ale analizei matematice, c. 3, L., 1972, p. 69-111; Fairweather G., Metode Galerkin element finit pentru ecuații diferențiale, N. Y., 1978; L U S K i n M., "Siam J. Numer. Analiza", 1979, v. 16, Nr. 2, p. 284-99.
E. Dyakonov.
Enciclopedia matematică. - M.: Enciclopedia sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Urmăriți ce este "metodele de liniarizare" în alte dicționare:
grup functional - 2.1.8. Grup funcțional: Un grup constând din mai multe blocuri funcționale este interconectat electric pentru a finaliza funcțiile specificate. O sursă …
Metode numerice de rezolvare a metodelor care înlocuiesc soluția problemei valorii limită prin rezolvarea unei probleme discrete (a se vedea problema valorii limită liniare; metode numerice de soluție și ecuație neliniară; metode numerice de rezolvare). În multe cazuri, mai ales când luați în considerare ... ... Enciclopedia matematică
Metode numerice secțiunea. computing matematicăDedicat metodelor de găsire a valorilor extreme ale funcționalilor. Metode numerice V. și. Este obișnuit să împărțiți în două clase mari: metode indirecte și directe. Metodele indirecte se bazează pe ... ... Enciclopedia matematică
Acest termen are alte semnificații, a se vedea moștenirea. Diagramă de clase de moștenire sub formă de romb. Moștenirea rombilor (... Wikipedia
Prognoza - Definirea previziunilor, sarcinilor și principiilor previziunilor. Definirea prognozării, sarcinilor și principiilor de prognoză, metode de prognoză Conținutul de conținut Definiție Concepte de bază ale sarcinilor și principiilor de prognoză ... ... Enciclopedia Investitor
Metode aproximative de rezolvare a metodelor de obținere analitică. Expresii (formule) sau valori numerice care se apropie cu un grad de precizie soluția privată dorită ecuație diferențială (d.) sau sistem pentru unul sau mai multe ... ... Enciclopedia matematică
Metode numerice pentru rezolvarea metodelor iterative pentru rezolvarea ecuațiilor neliniare. În cadrul ecuațiilor neliniare sunt înțelese (vezi) ecuațiile algebrice și transcendentale ale speciilor în care X este un număr valid, o funcție neliniară și sub sistem ... ... ... Enciclopedia matematică
Ultrasunete care nu posedă o liniaritate; Folosit în fizică ca mat. Modele de fenomene neliniare în Split. Mass-media solide. N. Y. m. f. Partea importantă. Aparatul folosit în fozate. Phys. Teorii: Teorii de Gravitate și Teoria cuantice ... ... Enciclopedia fizică
- (din Lat. Linearis Linear), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul sistemului neliniar se înlocuiește cu analiza sistemului liniar, într-un sentiment de sursă echivalentă. Metode ... ... Wikipedia
static - 3.7 Încărcarea statică: impact extern care nu provoacă accelerații de mase deformabile și forțele de inerție. O sursă … Directorul dicționar Termeni de reglementare și documentație tehnică
Cărți
- Predicția fiabilității proceselor tehnologice, a uneltelor și a mașinilor în prelucrarea presiunii metalelor, L. G. Stepanansky. Manualul corespunde programului "Teoria controlului automat". Sunt luate în considerare modelele și metodele matematice de analiză a stabilității sistemelor discrete. Metodele armonice și ...