Nech je obdĺžnikový súradnicový systém upevnený v trojrozmernom priestore Oxyz., bod je nastavený, rovný a. A je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu ALE na priame a..
Ukazujeme dva spôsoby, ako vypočítať vzdialenosť od bodu na priamku v priestore. V prvom prípade nájdete vzdialenosť od bodu M. 1 na priame a. prichádza k hľadaniu vzdialenosti od bodu M. 1 k veci H. 1 kde H. 1 - základňa kolmého, znížená z bodu M. 1 na rovno a.. V druhom prípade sa vzdialenosť od bodu do roviny nachádza ako výška rovnobehu.
Pokračujte.
Prvý spôsob, ako nájsť vzdialenosť od bodu nasmerovať do priestoru.
Od definície vzdialenosti od bodu M. 1
na priame a. - Toto je dĺžka kolmého M. 1
H. 1
, potom definujú súradnice bodu H. 1
, môžeme vypočítať požadovanú vzdialenosť ako vzdialenosť medzi bodmi 
a 
podľa vzorca.
Úloha sa teda zníži na nájdenie súradníc základu kolmého postaveného z bodu M. 1 na priame a.. Urobte to dosť jednoduché: bod H. 1 - Toto je priamy priesečník a. s lietadlom prechádzajúcim bodom M. 1 kolmé na priame a..
Teda, algoritmus, ktorý vám umožní určiť vzdialenosť od bodu 
na priamea.
vo vesmíreTakéto:
Druhá metóda, ktorá vám umožní nájsť vzdialenosť od bodu nasmerovať do priestoru.
Vzhľadom k tomu, podmienka úlohy a.Potom môžeme definovať svoj vodiaci vektor 
a súradnice určitého bodu M. 3
ležiaci na rovnom a.. Potom súradnicami bodov a 
môžeme vypočítať súradnice vektora: (v prípade potreby odkazujú na článok súradnice prostredníctvom súradníc bodov jeho začiatku a konca).
Sme odložia vektory 
a z bodu M. 3
A budeme na nich postaviť paralely. V tomto paralelere strávi výšku M. 1
H. 1
.
Samozrejme, výška M. 1 H. 1 Konštruovaný rovnobežník sa rovná požadovanej vzdialenosti od bodu M. 1 na priame a.. Nájdeme.
Na jednej strane, paralelnú oblasť (označujeme ho S.) Vŕtací produkt vektorov možno nájsť. 
a vzorcom 
. Na druhej strane je oblasť rovnobežníka rovná produktu svojej strany jeho strany na výšku, to znamená, 
kde 
- dĺžka vektora 
,
rovná dĺžka Strany posudzované paralelom. V dôsledku toho vzdialenosť od zadaného bodu M. 1
na daný priamy a. možno nájsť z rovnosti 
ako 
.
Tak, nájsť vzdialenosť od bodu 
na priamea.
v priestore, ktoré potrebujete
Riešenie úloh na nájdenie vzdialenosti od daného bodu na daný priamy priestor.
Zvážte riešenie príkladu.
Príklad.
Nájdite vzdialenosť od bodu 
na priame 
.
Rozhodnutie.
Prvým spôsobom.
Napíšte rovnicu lietadla prechádzajúcej bodom M. 1 kolmé na danú priamku:
Nájsť súradnice bodu H. 1
- bod priesečníka lietadla a danej priamky. Urobiť to, urobte prechod kanonické rovnice Priamo na rovnice dvoch pretínajúcich lietadiel 
potom, čo som vyriešil systém lineárnych rovníc 
metóda Cramer: 
Touto cestou, .
Zostáva vypočítať požadovanú vzdialenosť od bodu do rovno ako vzdialenosť medzi bodkami 
a:.
Druhý spôsob.
Čísla v denominátoroch frakcií v kanonických rovniciach priamo predstavujú zodpovedajúce súradnice vodiaceho vektora tohto priameho, to znamená, 
- priamy vektor priamy 
. Vypočítajte jej dĺžku: 
.
Samozrejme, rovno 
prechádza bodom 
, potom vektor so začiatkom v bode 
a skončiť v mieste 
existuje 
. Nájdeme vektorové umelecké dielo 
a 
:
potom je dĺžka tejto vektorovej práce rovná 
.
Teraz máme všetky údaje, ktoré by mohli využiť vzorec na výpočet vzdialenosti od zadaného bodu do určenej roviny: 
.
Odpoveď:
Vzájomné umiestnenie priameho v priestore
Schopnosť nájsť vzdialenosť medzi rôznymi geometrickými objektmi je dôležitá pri výpočtoch povrchovej plochy obrázkov a ich objem. V tomto článku zvážte otázku, ako nájsť z miesta na priamu vzdialenosť v priestore a v lietadle.
Matematický popis Direct
Ak chcete pochopiť, ako nájsť vzdialenosť od bodu na priamu, mali by ste sa zaoberať otázkou matematickej úlohy týchto geometrických objektov.
S bodom, všetko je jednoduché, je opísané súborom súradníc, ktorých počet zodpovedá rozmeru priestoru. Napríklad v rovine je to dva súradnice, v trojrozmernom priestore - tri.
Pokiaľ ide o jeden dimenzionálny objekt - priamo pre jeho opis, používa sa niekoľko druhov rovníc. Zvážte len dve z nich.
Prvý druh sa nazýva vektorová rovnica. Nižšie sú uvedené výrazy pre priame v trojrozmernom a dvojrozmernom priestore:
(x; y; z) \u003d (x 0; y 0; Z 0) + a × (A; b; c);
(x; y) \u003d (x 0, y 0) + α × (a; b)
V týchto výrazoch súradnice s nulovými indexmi opisujú bod, cez ktorý sú špecifikované priame, súradnicové súpravy (A; B; c) a (A; b) sú takzvanými vektormi pre zodpovedajúcu priamku, α je a parameter, ktorý môže mať akúkoľvek hodnotu hodnoty.
Vektorová rovnica je vhodná v tom zmysle, že výslovne obsahuje pokyny priamych priamych, ktorých súradnice môžu byť použité pri riešení úloh paralelnosti alebo kolmách rôznych geometrických objektov, ako sú dva priame.
Druhý typ rovnice, ktorý považujeme za priamy, sa volá spoločné. V priestore, tento druh je daný spoločnými rovnicami dvoch lietadiel. V lietadle má Ďalšia forma:
A × x + b × y + c \u003d 0
Keď je plán založený na, je často napísaný závislosťou na ICA / GAMEPEC, to znamená:
y \u003d -a / b × x + (- c / b)
Voľný člen -C / B zodpovedá koordinácii priesečníka čiary s osou Y a koeficient -A / B je spojený s uhlom sklonu priamo k osi X.
Koncepcia vzdialenosti medzi rovným a bodom
Po pochopení rovníc môžete priamo presunúť na odpoveď na otázku, ako nájsť z miesta do priamej vzdialenosti. V 7. triede začínajú túto otázku považovať za určenie primeranej hodnoty.
Vzdialenosť medzi rovným a bodom je dĺžka kolmého dĺžky tohto priameho segmentu, ktorá je vynechaná z posudzovaného bodu. Nižšie na obrázku znázorňuje priamku R a bod A. Modrá ukazuje kolmo s priamou čiarou R segment. Jeho dĺžka je požadovaná vzdialenosť.
Tu je tu zobrazený dvojrozmerný prípad, avšak táto definícia vzdialenosti platí pre trojrozmernú úlohu.
Potrebné vzorky
V závislosti od toho, ktorý rovnica je napísaná na priamu a v akom priestore, úloha je vyriešená, dve základné vzorce môžu byť uvedené na otázku, ako nájsť vzdialenosť medzi priamym a bodom.
Označte známy bod symbolom P2. Ak je rovnica priamo nastavená v vektorovej forme, potom pre D vzdialenosť medzi predmetnými predmetmi, vzorec platí:
d \u003d || / | V |
To znamená, že určiť d, je potrebné vypočítať modul vektorového produktu vodidla pre priamy vektor V V v a vektor p 1 p 2 ¯, ktorého začiatok leží v ľubovoľnom bode p 1 na priamke a koniec je v bode P 2, potom rozdeľte tento modul pre dĺžku v ¯. Tento vzorec je univerzálny pre rovný a trojrozmerný priestor.
Ak je úloha zvážená v rovine v súradnicovom systéme XY a priama rovnica je nastavená všeobecnýPotom nasledujúci vzorec na nájdenie vzdialenosti od rovného do bodu umožňuje:
Priamo: A × X + B × Y + C \u003d 0;
Bod: P2 (X2; Y2; Z2);
Vzdialenosť: D \u200b\u200b\u003d | A × X 2 + B × y 2 + C | / √ (A 2 + B2)
Vyššie uvedený vzor je pomerne jednoduchý, ale jeho použitie je obmedzené na vyššie uvedené podmienky.
Súradnice projekcie bodu priamo a vzdialenosti
Odpovedzte na otázku, ako nájsť vzdialenosť od bodu na priamu, môže byť inak zapojený do pamäte vyššie uvedených vzorcov. Týmto spôsobom je určiť bod na čiare, ktorý je projekciou pôvodného bodu.
Predpokladajme, že existuje bod m a rovno r. Projekcia na R Point M zodpovedá určitému bodu m 1. Vzdialenosť od m do R sa rovná dĺžke vektora mm 1 ¯.
Ako nájsť súradnice M 1? Veľmi jednoduché. Stačí si uvedomiť, že vektorová linka V¯ bude kolmá na mm 1 ¯, to znamená, že ich skalárny produkt by mal byť nulový. Pridaním do tohto stavu, že súradnice M1 by mali spĺňať rovnicu Direct R, získame systém jednoduchých lineárnych rovníc. V dôsledku jeho roztoku sa získajú súradnice projekcie bodu m na R.
Spôsob opísaný v tomto bode je vzdialenosť od priameho do bodu, ktorý je možné použiť na lietadlo a pre priestor, ale jeho použitie zahŕňa znalosti vektorovej rovnice pre priamku.
Úloha v lietadle
Teraz je čas ukázať, ako používať prezentované matematické prístroje na riešenie skutočných problémov. Predpokladajme, že rovina má bod m (-4; 5). Je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu m na priamku, ktorá je opísaná všeobecnou rovnicou:
3 × (-4) + 6 \u003d -6 ≠ 5
To znamená, že m neleží na priamke.
Vzhľadom k tomu, rovnica je priamo stanovená vo všeobecnosti, dávame ho tak, aby bolo možné použiť vhodný vzorec, máme:
y \u003d 3 × x + 6 \u003d\u003e
3 × x - y + 6 \u003d 0
Teraz môžete nahradiť slávne čísla Vo vzorec pre D:
d \u003d | A × x 2 + b × y 2 + c | / √ (A 2 + B 2) \u003d
\u003d | 3 × (-4) -1 × 5 + 6 | / √ (3 2 + (- 1) 2) \u003d 11 / √10 ≈ 3.48
Úloha vo vesmíre
Teraz zvážte prípad vo vesmíre. Nech je priamo opísaná nasledujúca rovnica:
(x; y; z) \u003d (1; -1; 0) + a × (3; -2; 1)
Aká je vzdialenosť od neho až po bod m (0; 2; -3)?
Rovnako ako v predchádzajúcom prípade skontrolujeme príslušnosť žiadanej hodnoty m. Na tento účel budeme nahradiť súradnice rovnicu a prepísať ju explicitne:
x \u003d 0 \u003d 1 + 3 × α \u003d\u003e a \u003d -1/3;
y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α \u003d\u003e α \u003d -3/2;
Pretože boli získané rôzne parametre, potom m neleží na tejto priamke. Vypočítajte teraz vzdialenosť od neho na rovnú.
Ak chcete využiť vzorec pre D, urobte ľubovoľný bod na priamku, napríklad p (1; -1; 0), potom:
Vypočítame výrobok vektora medzi PM¯ a Direct V.. Dostaneme:
= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)
Teraz nahrádzame moduly nájdeného vektora a vektor V Vo vzorec pre D, dostaneme:
d \u003d √ (9 + 64 + 49) / √ (9 + 4 + 1) ≈ 2,95
Táto odpoveď môže byť získaná použitím vyššie opísaného spôsobu, ktorý zahŕňa riešenie lineárneho systému rovnice. V tomto a predchádzajúcich úloh sa vypočítané hodnoty vzdialenosti od priameho do bodu sú uvedené v jednotkách príslušného súradnicového systému.
Uhol medzi rovinou.
Definícia.
Výstup vzdialenosti od bodu na priamu
možnosť 1
Nech lietadlo dáva priamku l.: sekera. + za + c. \u003d 0 a bod M 1.(x 1;y1.), nepatria do tejto priamky. Nájdeme vzdialenosť od bodu na rovno. Pod vzdialenosťou ρ z bodu M 1.na priame l. Pochopiť dĺžku rezu M 0.M 1.⏊ l..
Na určenie vzdialenosti je vhodné použiť jediný vektor, kolineárny normálny vektor.
Vysvetlenie:od bodu M 0. Leží rovno l.Jeho koordinátory musia spĺňať rovnicu na túto líniu, t.j. sekera 0. + o 0. + c.= 0
Možnosť 2.
Ak je zadaný bod m (x 0, y), potom je definovaná vzdialenosť na priamku AH + W + C \u003d 0
.
Dôkazov. Nech je bod m 1 (x 1, v 1) základňa kolmého, znížená z bodu m za zadanú priamu. Potom vzdialenosť medzi bodmi m a m 1: (1) súradnice x 1 A 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc: 
Druhou rovnicou systému je rovnica priameho prechodu cez daný bod m 0 kolmý na zadané priame priame. Ak premieňate prvú systémovú rovnicu na myseľ: A (X - X 0) + B (Y - Y 0) + AX \u200b\u200b0 + BY 0 + C \u003d 0, potom, riešenie, dostať:
Nahradenie týchto výrazov na rovnicu (1), nájdeme: .
Theorem sa dokáže.
Súradnicová metóda (vzdialenosť medzi bodom a rovinou, medzi rovným)
Vzdialenosť medzi bodom a rovinou.
Vzdialenosť medzi bodom a priamym.
Vzdialenosť medzi dvoma rovnými.
Prvá vec je užitočná vedieť, je to, ako nájsť vzdialenosť od bodu do lietadla:
Hodnoty Koeficienty A, B, C, D
x, Y, Z - bod súradnice
Úloha. Nájdite vzdialenosť medzi bodom A \u003d (3; 7; -2) a rovinou 4x + 3Y + 13z - 20 \u003d 0.
Všetko je uvedené, môžete okamžite nahradiť hodnoty rovnici:
Úloha. Nájdite vzdialenosť od bodu k \u003d (1; -2; 7) na priame prechod cez body V \u003d (8; 6; -13) a T \u003d (-1; -6; 7).
- Nájsť vektor rovno.
- Vypočítajte vektor prechádzajúci cez požadovaný bod a kdekoľvek na priamke.
- Uvádzame matricu a nájdeme determinant pre dva vektory získané v 1. a 2. odseku.
- Vzdialenosť, keď odmocnina Z súčtu štvorcov koeficientov matrice rozdelíme dĺžku vektora, ktorý nastaví rovno(Myslím, že nie je jasné, tak sa obrátime na konkrétny príklad).
1) TV \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; -20)
2) Nájdeme vektor prostredníctvom bodov K a T, hoci by to bolo možné aj prostredníctvom K a V alebo akýkoľvek iný bod na tomto riadku.
Tk \u003d (1 - (- 1); -2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)
3) Ukázalo sa, že Atrix bez pomeru D (tu nie je potrebné vyriešiť):
4) Lietadlo sa ukázalo ako koeficienty A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12,
x, Y, Z - súradnice vektora rovno, v tomto prípade - vektorový televízor má súradnice (9; 12; -20)
Úloha. Nájdite vzdialenosť medzi priamym prechodom cez body E \u003d (1; 0; -2), g \u003d (2; 2; -1) a priamy prechod cez body M \u003d (4; -1; 4), L \u003d (-2; 3; 0).
- Nastavujeme vektory oboch rovných línií.
- Nájdeme vektor, berieme jeden bod s každým rovným.
- Píšeme na maticu 3 vektorov (dva riadky z prvého bodu, jedného riadku z 2.) a nájsť jeho numerický determinant.
- Uvádzame matricu prvých dvoch vektorov (v odseku 1). Prvý riadok špecifikuje ako X, Y, Z.
- Vzdialenosť získavame, keď rozdelíme výslednú hodnotu z odseku 3 modulom na druhú odmocninu zo súčtu štvorcov klauzuly 4.
Presunutie na čísla.
Vzorec pre výpočet vzdialenosti od bodu na priamu v rovine
Ak je rovnica nastavená na priamu AX + + C \u003d 0, potom vzdialenosť od bodu m (m x, m y) na priamu sa možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca
Príklady úloh na výpočet vzdialenosti od bodu na priame na rovine
Príklad 1.
Nájdite vzdialenosť medzi priamym 3X + 4Y až 6 \u003d 0 a bod m (-1, 3).
Rozhodnutie. Nahradiť vo vzorci koeficienty priamych a súradníc bodu
Odpoveď: vzdialenosť od bodu na priamu rovnú 0,6.
rovnica roviny prechádzajúceho cez bodky kolmo vektorovú rovnicu lietadla
Nonzero vektor, kolmý na určitú rovinu, sa nazýva normálny vektor (alebo krátko, normálny ) Pre toto lietadlo.
Povtedy v súradnicovom priestore (v systéme pravouhlého súradnice):
bod 
;
b) nonzero vektor (obr.4.8, A).
Je potrebné, aby sa rovnica lietadla prechádzala cez bod 
kolmé na vektor Koniec dôkazu.
Zvážte teraz rôzne typy rovných rovníc v lietadle.
1) rovnica všeobecnej rovinyP. \\ t .
Z výstupu rovnice vyplýva, že súčasne A., B. a C. Nie je rovné 0 (vysvetliť prečo).
Bod patrí do lietadla P. \\ t Iba v prípade, keď jeho súradnice spĺňajú rovnicu lietadla. V závislosti od koeficientov A., B., C. a D.rovina P. \\ t Stará sa o akúkoľvek pozíciu:
- Lietanie prechádza začiatkom súradnicového systému - lietadlo neprechádza začiatkom súradnicového systému,
- rovina rovnobežná s osou X.,
X.,
- rovina rovnobežná s osou Y.,
- rovina nie je rovnobežná s osou Y.,
- rovina rovnobežná s osou Z.,
- rovina nie je rovnobežná s osou Z..
Dokážte tieto vyhlásenia sami.
Rovnica (6) je ľahko odvodená z rovnice (5). Vskutku, nechať bod ležať v lietadle P. \\ t. Potom jeho súradnice spĺňajú rovnicu rovnice (5) rovnice (7) a za zoskupovanie, získavame rovnicu (6). Teraz zvažujeme dva vektory so súradnicami. Z Formule (6) Z toho vyplýva, že ich skalárny produkt je nula. V dôsledku toho je vektor kolmý na štart vektora a konca posledného vektora v bodoch, ktoré patria do roviny P. \\ t. V dôsledku toho vektor kolmú rovinu P. \\ t. Vzdialenosť od miesta lietadla P. \\ t, ktorá je všeobecná rovnica 
Určený vzorcom 
Dôkaz o tomto vzorci je úplne podobný dôkazu dištančného vzorca medzi bodom a priamym (pozri obr. 2). 
Obr. 2. K výstupu vzdialenosti medzi rovinou a priamym.
Vzdialenosť d. medzi rovinou a rovinou je rovná
kde - bod leží v lietadle. Preto sa získa vyššie uvedený vzor č. 11. Dva lietadlá sú paralelné, ak je ich normálny vektor paralelný. Odtiaľ získame stav paralelizmu dvoch lietadiel 
- koeficienty spoločné rovnice Lietadiel. Dva lietadlá sú kolmé, ak je ich normálny vektor kolmý na stav kolmej z dvoch rovín, ak sú známe ich spoločné rovnice.
Uhol f. Medzi dvoma rovinami sa rovná rohu medzi ich normálnymi vektormi (pozri obr. 3) a možno preto vypočítať vzorca 
Stanovenie rohu medzi rovinami.
(11)
Vzdialenosť od bodu na lietadlo a spôsoby, ako ho nájsť
Vzdialenosť od bodu do 
rovina - kolmá dĺžka, znížená z bodu do tejto roviny. Tam sú aspoň dva spôsoby, ako nájsť vzdialenosť od bodu do lietadla: geometrický a algebraický.
V geometrickej metóde Musíte najprv pochopiť, ako sa kolmina nachádza z bodu do roviny: môže leží v nejakej pohodlnej rovine, je výška v niektorých pohodlných (alebo nie veľmi) trojuholník, a možno tento kolmý je vo všeobecnosti výška v niektorom pyramíde.
Po tomto, prvom a najkomplexnejšom štádiu sa problém rozpadá do niekoľkých špecifických planimetrických úloh (možno v rôznych rovinách).
S algebrou metódou Aby ste našli vzdialenosť od bodu do lietadla, musíte zadať súradnicový systém, nájsť súradnice bodu a rovnice roviny a potom aplikovať vzor vzorcu z bodu do roviny.