Trikampio plotas - formulės ir uždavinių sprendimo pavyzdžiai

Žemiau yra savavališko trikampio ploto paieškos formulės kurie tinka rasti bet kurio trikampio plotą, neatsižvelgiant į jo savybes, kampus ar matmenis. Formulės pateikiamos paveikslėlio pavidalu, čia pateikiami jų teisingumo naudojimo ar pagrindimo paaiškinimai. Be to, atskirame paveikslėlyje parodyta raidžių žymėjimų atitikimas formulėse ir grafiniai žymėjimai brėžinyje.

Pastaba ... Jei trikampis turi ypatingų savybių (lygiašonis, stačiakampis, lygiakraštis), galite naudoti toliau pateiktas formules, taip pat papildomai specialias formules, kurios galioja tik trikampiams, turintiems šias savybes:

• „Lygiakraščio trikampio ploto formulės“

Trikampio ploto formulės

Formulių paaiškinimas:
a, b, c- trikampio kraštinių ilgiai, kurių plotą norime rasti
r- apskritimo spindulys, įrašytas į trikampį
R- apskritimo spindulys, apsuptas aplink trikampį
h- trikampio aukštis nuleistas į šoną
p- pusiau trikampio perimetras, 1/2 jo kraštinių sumos (perimetras)
α - kampas priešais trikampio kraštinę a
β - kampas priešais trikampio kraštinę b
γ - kampas, priešingas trikampio kraštinei c
h a, h b , h c- trikampio aukštis, nuleistas į šoną a, b, c

Atminkite, kad pateiktos žymės atitinka aukščiau pateiktą paveikslėlį, kad, sprendžiant tikrą geometrijos problemą, vizualiai būtų lengviau pakeisti teisingas reikšmes tinkamose formulės vietose.

• Trikampio plotas yra pusė trikampio aukščio sandaugos pagal kraštinės, į kurią šis aukštis nuleistas, ilgį(Formulė 1). Šios formulės teisingumą galima suprasti logiškai. Aukštis, nukritęs iki pagrindo, savavališką trikampį padalins į du stačiakampius. Jei kiekvieną iš jų užpildysime stačiakampiu, kurio matmenys yra b ir h, akivaizdu, kad šių trikampių plotas bus lygiai pusė stačiakampio ploto (Sпр = bh)
• Trikampio plotas yra pusė jo dviejų pusių sandaugos pagal kampo tarp jų sinusą(2 formulė) (žr. Problemos sprendimo pavyzdį, naudojant šią formulę žemiau). Nepaisant to, kad jis atrodo skirtingai nuo ankstesnio, jį galima lengvai paversti. Jei nuleidžiame aukštį nuo kampo B iki šono b, paaiškėja, kad a pusės sandauga iš kampo γ sinuso pagal sinuso savybes taisyklingas trikampis yra lygus mūsų nupiešto trikampio aukščiui, kuris suteiks mums ankstesnę formulę
• Galima rasti savavališko trikampio plotą skersai dirbti pusę įbrėžto apskritimo spindulio iš visų jo kraštinių ilgių sumos(3 formulė), kitaip tariant, reikia padauginti trikampio pusiau perimetrą iš užrašyto apskritimo spindulio (tai lengviau įsiminti)
• Savavališko trikampio plotą galima rasti padalijus visų jo kraštinių sandaugą iš 4 aplink jį esančio apskritimo spindulių (4 formulė)
• Formulė 5 reiškia trikampio ploto radimą per jo kraštines ir pusperimetrą (pusę visų jo kraštinių sumos)
• Herono formulė(6) yra tos pačios formulės vaizdas, nenaudojant pusperimetro sąvokos, tik per kraštus
• Savavališko trikampio plotas yra lygus trikampio kraštinės kvadrato sandaugai, susidedančiai iš kampų, esančių greta šios kraštinės, sinusų, padalytų iš dvigubo kampo, esančio priešinga šiai pusei, sinuso (7 formulė)
• Savavališko trikampio plotą galima rasti kaip apskritimo dviejų kvadratų sandaugą, apsuptą kiekvieno jo kampo sinusų. (8 formulė)
• Jei žinomas vienos kraštinės ilgis ir dviejų gretimų kampų dydis, tada trikampio plotą galima rasti kaip šios kraštinės kvadratą, padalytą iš dvigubos šių kampų koeficientų sumos (9 formulė)
• Jei žinomas tik kiekvieno trikampio aukščio ilgis (10 formulė), tai tokio trikampio plotas yra atvirkščiai proporcingas šių aukščių ilgiui, kaip pagal Herono formulę
• Formulė 11 leidžia apskaičiuoti trikampio plotą pagal jo viršūnių koordinates, kurios pateikiamos kaip kiekvienos viršūnės vertės (x; y). Atminkite, kad gauta vertė turi būti imama moduliškai, nes atskirų (ar net visų) viršūnių koordinatės gali būti neigiamų verčių diapazone

Pastaba... Toliau pateikiami geometrijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, norint rasti trikampio plotą. Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kuri nėra panaši į tai, ko čia nėra - rašykite apie tai forume. Sprendimuose vietoj simbolio " Kvadratinė šaknis"Galima naudoti funkciją sqrt (), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radikalioji išraiška nurodyta skliausteliuose.Kartais paprastiems radikaliems posakiams simbolis √

Užduotis. Raskite plotą išilgai dviejų pusių ir kampą tarp jų

Trikampio kraštinės yra 5 ir 6 cm.Kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Raskite trikampio plotą.

Sprendimas.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame teorinę pamokos dalies formulę du.
Trikampio plotą galima rasti per abiejų pusių ilgius ir kampo tarp jų sinusą ir jis bus lygus
S = 1/2 ab sin γ

Kadangi turime visus sprendimui reikalingus duomenis (pagal formulę), mes tiesiog turime pakeisti reikšmes iš problemos būklės į formulę:
S = 1/2 * 5 * 6 * nuodėmė 60

Reikšmių lentelėje trigonometrinės funkcijos suraskite ir pakeiskite sinuso reikšmę 60 laipsnių į išraišką. Jis bus lygus trijų šaknų du.
S = 15 √3 / 2

Atsakymas: 7.5 √3 (priklausomai nuo mokytojo reikalavimų, tikriausiai galite palikti 15 √3 / 2)

Užduotis. Raskite lygiakraščio trikampio plotą

Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 3 cm, plotą.

Sprendimas.

Trikampio plotą galima rasti pagal Herono formulę:

S = 1/4 kv. ((A + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Kadangi a = b = c, lygiakraščio trikampio ploto formulė bus tokia:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Atsakymas: 9 √3 / 4.

Užduotis. Ploto keitimas keičiant šonų ilgį

Kiek kartų padidės trikampio plotas, jei kraštinės padidės 4 kartus?

Sprendimas.

Kadangi trikampio kraštinių matmenys mums nežinomi, tai norėdami išspręsti problemą darysime prielaidą, kad kraštinių ilgiai atitinkamai yra lygūs savavališkiems skaičiams a, b, c. Tada, norėdami atsakyti į problemos klausimą, rasime šio trikampio plotą, o tada - trikampio, kurio kraštinės yra keturis kartus didesnės, plotą. Šių trikampių plotų santykis suteiks mums atsakymą į problemą.

Žemiau pateikiamas problemos sprendimo žingsnis po žingsnio tekstinis paaiškinimas. Tačiau pačioje pabaigoje tas pats sprendimas pateikiamas lengviau skaitoma grafine forma. Susidomėję gali iš karto nuspręsti dėl sprendimo.

Sprendimui naudojame Herono formulę (žr. Aukščiau pamokos teorinėje dalyje). Tai atrodo taip:

S = 1/4 kv. ((A + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. pirmąją paveikslo eilutę žemiau)

Savavališko trikampio kraštinių ilgiai pateikiami kintamaisiais a, b, c.
Jei kraštinės padidinamos 4 kartus, naujojo trikampio c plotas bus:

S 2 = 1/4 kv. ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(žr. antrą eilutę paveikslėlyje žemiau)

Kaip matote, 4 yra bendras veiksnys, kurį galima išimti iš skliaustų iš visų keturių išraiškų Bendrosios taisyklės matematika.
Tada

S 2 = 1/4 kv. (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - trečioje paveikslo eilutėje
S 2 = 1/4 kv. (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ketvirtą eilutę

Kvadratinė šaknis puikiai išgaunama iš skaičiaus 256, todėl mes ją išimame iš po šaknies
S 2 = 16 * 1/4 kv. ((A + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kv. ((A + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. paveikslo penktąją eilutę)

Norėdami atsakyti į užduotą klausimą, mums tereikia padalinti gauto trikampio plotą iš originalo ploto.
Nustatykite plotų santykius, padalydami išraiškas vienas į kitą ir sumažindami gautą trupmeną.

Trikampio plotas lygus pusei jo kraštinių sandaugos pagal kampo tarp jų sinusą.

Įrodymas:

Apsvarstykite savavališką trikampį ABC. Tegul kraštinė BC = a, kraštinė CA = b ir S yra šio trikampio plotas. Būtina tai įrodyti S = (1/2) * a * b * sin (C).

Pirmiausia įvedame stačiakampę koordinačių sistemą ir padedame pradžią taške C. Padėkite mūsų koordinačių sistemą taip, kad taškas B būtų teigiama Cx ašies kryptimi, o taškas A turėtų teigiamą ordinatę.

Jei viskas padaryta teisingai, turėtumėte gauti šį paveikslėlį.

Tam tikro trikampio plotą galima apskaičiuoti pagal šią formulę: S = (1/2) * a * h kur h yra trikampio aukštis. Mūsų atveju trikampio h aukštis yra lygus taško A ordinatei, tai yra, h = b * sin (C).

Atsižvelgiant į gautus rezultatus, trikampio ploto formulę galima perrašyti taip: S = (1/2) * a * b * sin (C). Q.E.D.

Spręsti problemas

1 užduotis. Raskite trikampio ABC plotą, jei a) AB = 6 * √8 cm, AC = 4 cm, kampas A = 60 laipsnių b) BC = 3 cm, AB = 18 * √2 cm, kampas B = 45 laipsnių) AC = 14 cm, CB = 7 cm, kampas C = 48 laipsniai.

Remiantis aukščiau įrodyta teorema, trikampio ABC plotas S yra lygus:

S = (1/2) * AB * AC * sin (A).

Atlikime skaičiavimus:

a) S = ((1/2) * 6 * √8 * 4 * sin (60˚)) = 12 * √6 cm ^ 2.

b) S = (1/2) * BC * BA * sin (B) = ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2/2)) = 27 cm ^ 2.

c) S = (1/2) * CA * CB * sin (C) = ½ * 14 * 7 * sin48˚ cm ^ 2.

Kampo sinuso reikšmė apskaičiuojama skaičiuotuvu arba mes naudojame trigonometrinių kampų verčių lentelės reikšmes. Atsakymas:

a) 12 * √6 cm ^ 2.

c) maždaug 36,41 cm ^ 2.

Užduotis 2. Trikampio ABC plotas yra 60 cm ^ 2. Raskite kraštinę AB, jei AC = 15 cm, kampas A = 30˚.

Tegul S yra trikampio ABC plotas. Pagal teoriją apie trikampio plotą turime:

S = (1/2) * AB * AC * sin (A).

Pakeiskime turimas vertes:

60 = (1/2) * AB * 15 * sin30˚ = (1/2) * 15 * (1/2) * AB = (15/4) * AB.

Iš čia išreiškiame kraštinės AB ilgį: AB = (60 * 4) / 15 = 16.

Jei užduotyje nurodyti dviejų trikampio kraštinių ilgiai ir kampas tarp jų, tuomet galite taikyti trikampio ploto formulę sinuso atžvilgiu.

Trikampio ploto per sinusą apskaičiavimo pavyzdys. Atsižvelgiant į kraštus a = 3, b = 4 ir kampą γ = 30 °. 30 ° kampo sinusas yra 0,5

Trikampio plotas bus 3 kvadratiniai metrai. cm.

Gali būti ir kitų sąlygų. Jei nurodytas vienos pusės ilgis ir kampai, tada pirmiausia turite apskaičiuoti trūkstamą kampą. Kadangi visų trikampio kampų suma yra 180 °, tada:

Plotas bus lygus pusei kraštinės kvadrato, padauginto iš trupmenos. Jo skaitiklyje yra gretimų kampų sinuso sandauga, o vardiklis yra priešingo kampo sinusas. Dabar apskaičiuojame plotą pagal šias formules:

Pavyzdžiui, duotas trikampis, kurio kraštinė a = 3, o kampai γ = 60 °, β = 60 °. Mes apskaičiuojame trečiąjį kampą:
Duomenų pakeitimas į formulę
Gauname, kad trikampio plotas yra 3,87 kvadratiniai metrai. cm.

II. Trikampio plotas kosinuso atžvilgiu

Norėdami rasti trikampio plotą, turite žinoti visų kraštinių ilgius. Pagal kosinuso teoremą galite rasti nežinomų pusių ir tik tada jas panaudoti.
Pagal kosinuso teoremą, nežinomos trikampio kraštinės kvadratas yra lygus likusių kraštinių kvadratų sumai, atėmus dvigubą šių kraštinių sandaugą iš kampo tarp jų kosinuso.

Iš teoremos gauname formules nežinomos pusės ilgiui rasti:

Žinodami, kaip rasti trūkstamą pusę, turėdami dvi puses ir kampą tarp jų, galite lengvai apskaičiuoti plotą. Trikampio ploto pagal kosinusą formulė padeda greitai ir lengvai rasti įvairių problemų sprendimą.

Trikampio ploto pagal kosinusą formulės apskaičiavimo pavyzdys
Duotas trikampis, kurio kraštinės žinomos a = 3, b = 4, o kampas γ = 45 °. Pirmiausia suraskite trūkstamą pusę su... Kosinuse 45 ° = 0,7. Norėdami tai padaryti, mes pakeičiame duomenis į lygtį, gautą iš kosinuso teoremos.
Dabar, naudodami formulę, randame

Paprasčiau tariant, tai yra daržovės, virtos vandenyje pagal specialų receptą. Aš apsvarstysiu du originalius komponentus ( daržovių salotos ir vanduo), o galutinis rezultatas yra barščiai. Geometriškai tai galima suvokti kaip stačiakampį, kurio viena pusė reiškia salotas, o kita - vandenį. Šių dviejų pusių suma atstovaus barščiams. Tokio „barščio“ stačiakampio įstrižainė ir plotas yra grynai matematinės sąvokos ir niekada nenaudojami barščių receptuose.

Kaip matematiniu požiūriu salotos ir vanduo virsta barščiais? Kaip dviejų linijų atkarpų suma gali virsti trigonometrija? Norėdami tai suprasti, mums reikia linijinių kampų funkcijų.

Matematikos vadovėliuose nieko nerasite apie tiesinio kampo funkcijas. Bet be jų negali būti matematikos. Matematikos dėsniai, kaip ir gamtos dėsniai, veikia nepriklausomai nuo to, ar žinome apie jų egzistavimą, ar ne.

Linijinio kampo funkcijos yra papildymo dėsniai. Pažiūrėkite, kaip algebra virsta geometrija, o geometrija - trigonometrija.

Ar galima atsisakyti linijinio kampo funkcijų? Galite, nes matematikai vis dar apsieina be jų. Matematikų triukas slypi tame, kad jie visada mums pasakoja tik apie tas problemas, kurias jie patys žino, kaip išspręsti, ir niekada nekalba apie tas problemas, kurių jie negali išspręsti. Žiūrėk. Jei žinome pridėjimo ir vieno termino rezultatą, mes naudojame atimtį, kad surastume kitą terminą. Viskas. Mes nežinome kitų užduočių ir negalime jų išspręsti. Ką daryti, jei žinome tik pridėjimo rezultatą ir nežinome abiejų terminų? Tokiu atveju pridėjimo rezultatas turi būti išskaidytas į du terminus, naudojant linijinio kampo funkcijas. Tada mes patys pasirenkame, koks gali būti vienas terminas, o tiesinio kampo funkcijos parodo, koks turėtų būti antrasis narys, kad pridėjimo rezultatas būtų būtent toks, kokio mums reikia. Tokių terminų porų gali būti be galo daug. V Kasdienybė mes galime padaryti puikiai, neskaidydami sumos; mums užtenka atimti. Tačiau atliekant mokslinius gamtos dėsnių tyrimus, sumos suskaidymas į terminus gali būti labai naudingas.

Kitas papildymo dėsnis, apie kurį matematikai nemėgsta kalbėti (dar vienas jų triukas), reikalauja, kad terminai turėtų tuos pačius matavimo vienetus. Salotoms, vandeniui ir barščiams tai gali būti svorio, tūrio, vertės ar matavimo vienetai.

Paveikslėlyje parodyti du matematikos skirtumų lygiai. Pirmasis lygis yra skaičių laukų skirtumai, kurie yra nurodyti a, b, c... Tai daro matematikai. Antrasis lygis yra matavimo vienetų ploto skirtumai, kurie parodyti laužtiniuose skliaustuose ir pažymėti raide U... Tai daro fizikai. Mes galime suprasti trečiąjį lygmenį - aprašytų objektų srities skirtumus. Skirtingi objektai gali turėti vienodą vienodų matavimo vienetų skaičių. Kaip tai svarbu, matome barščių trigonometrijos pavyzdyje. Jei prie to paties skirtingų objektų matavimo vienetų žymėjimo pridėsime indeksus, galime tiksliai pasakyti, kuri matematinė vertė apibūdina tam tikrą objektą ir kaip ji keičiasi laikui bėgant arba atsižvelgiant į mūsų veiksmus. Raštu W Aš nurodysiu vandenį su raide S Aš nurodysiu salotas ir laišką B- Barščiai. Taip atrodytų linijinės kampinės barščio funkcijos.

Jei paimsime dalį vandens ir dalį salotų, jie kartu virs viena barščio dalimi. Čia siūlau jums pailsėti nuo barščių ir prisiminti savo tolimą vaikystę. Pamenate, kaip mus mokė sudėti zuikius ir antis? Reikėjo surasti, kiek gyvūnų bus. Ką tada buvome išmokyti daryti? Mus mokė atskirti vienetus nuo skaičių ir pridėti skaičių. Taip, bet kurį skaičių galima pridėti prie bet kurio kito. Tai tiesioginis kelias į šiuolaikinės matematikos autizmą - mes nesuprantame, kas, neaišku kodėl, ir labai prastai suprantame, kaip tai susiję su realybe, dėl trijų skirtumo lygių matematika veikia tik vieną. Būtų teisingiau išmokti persijungti iš vieno matavimo vieneto į kitą.

Ir zuikius, ir antis, ir gyvūnus galima suskaičiuoti gabalėliais. Vienas bendras skirtingų objektų matavimo vienetas leidžia mums juos sudėti. Tai vaikiška problemos versija. Panagrinėkime panašią problemą suaugusiems. Kas atsitiks, jei pridėsite zuikių ir pinigų? Čia yra du galimi sprendimai.

Pirmas variantas... Mes nustatome zuikių rinkos vertę ir pridedame ją prie turimos pinigų sumos. Gavome bendrą savo turto vertę pinigine išraiška.

Antras variantas... Prie mūsų turimų banknotų skaičiaus galite pridėti zuikių skaičių. Kilnojamojo turto skaičių gausime dalimis.

Kaip matote, tas pats pridėjimo įstatymas leidžia gauti skirtingus rezultatus. Viskas priklauso nuo to, ką tiksliai norime žinoti.

Bet grįžkime prie mūsų barščių. Dabar galime pamatyti, kas atsitiks skirtingos reikšmės tiesinių kampinių funkcijų kampas.

Kampas lygus nuliui. Mes turime salotų, bet ne vandens. Mes negalime virti barščių. Barščių kiekis taip pat lygus nuliui. Tai visai nereiškia, kad nulis barščių yra lygus nuliui vandens. Nulis barščių gali būti nulinės salotos (stačiu kampu).

Man asmeniškai tai yra pagrindinis matematinis to fakto įrodymas. Pridėjus, nulis nekeičia skaičiaus. Taip yra todėl, kad pats papildymas neįmanomas, jei yra tik vienas terminas ir nėra antrojo termino. Galite su tuo susieti, kaip jums patinka, bet atminkite - viską matematines operacijas matematikai patys sugalvojo nulį, tad atmesti savo logiką ir kvailai prikimšti matematikų sugalvotus apibrėžimus: „padalinti iš nulio neįmanoma“, „bet koks skaičius, padaugintas iš nulio, lygus nuliui“, „už taško nulio“ ir kitos nesąmonės. Pakanka vieną kartą prisiminti, kad nulis nėra skaičius, ir jums niekada nekils klausimo, ar nulis yra natūralus skaičius, ar ne, nes toks klausimas apskritai praranda bet kokią prasmę: kaip galime laikyti skaičių, kuris nėra skaičius. Tai panašu į klausimą, kokia spalva turėtų būti nematoma spalva. Pridėti nulį prie skaičiaus prilygsta dažymui, kurio nėra. Mojavome sausa šepetėliu ir visiems sakėme, kad „dažėme“. Bet aš truputį nukrypstu.

Kampas yra didesnis nei nulis, bet mažesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai. Mes turime daug salotų, bet nepakankamai vandens. Dėl to gauname storą barščių.

Kampas yra keturiasdešimt penki laipsniai. Mes turime vienodą kiekį vandens ir salotų. Tai tobulas barščiai (atleiskite man virėjai, tai tik matematika).

Kampas yra didesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai, bet mažesnis nei devyniasdešimt laipsnių. Mes turime daug vandens ir mažai salotų. Gausite skystus barščius.

Stačias kampas. Mes turime vandens. Iš salotų lieka tik prisiminimai, nes mes ir toliau matuojame kampą nuo linijos, kuri kažkada reiškė salotas. Mes negalime virti barščių. Barščių kiekis lygus nuliui. Tokiu atveju laikykitės ir gerkite vandenį, kol turite)))

Čia. Kažkas panašaus į tai. Čia galiu papasakoti kitas istorijas, kurios čia bus daugiau nei tinkamos.

Du draugai turėjo savo akcijų bendrame versle. Nužudžius vieną iš jų, viskas atiteko kitam.

Matematikos atsiradimas mūsų planetoje.

Visos šios istorijos pasakojamos matematikos kalba, naudojant linijinio kampo funkcijas. Kitą kartą parodysiu tikrąją šių funkcijų vietą matematikos struktūroje. Tuo tarpu grįžkime prie barščių trigonometrijos ir apsvarstykime projekcijas.

2019 m. Spalio 26 d., Šeštadienis

Žiūrėjau įdomų vaizdo įrašą apie Didžioji eilė Vienas minus vienas plius vienas minus vienas - „Numberphile“... Matematikai meluoja. Svarstydami jie neatliko lygybės testo.

Tai atkartoja mano samprotavimus apie.

Atidžiau pažvelkime į matematikų apgaulės požymius. Pačioje samprotavimų pradžioje matematikai sako, kad sekos suma priklauso nuo to, ar elementų skaičius joje yra lygus, ar ne. Tai OBJEKTYVIAI NUSTATYTAS FAKTAS. Kas nutiks toliau?

Tada matematikai iš vienos atima seką. Prie ko tai veda? Dėl to pasikeičia sekos elementų skaičius - lyginis skaičius pasikeičia į nelyginį, nelyginis - į lyginį. Juk prie sekos pridėjome vieną elementą, lygų vienam. Nepaisant visų išorinių panašumų, seka prieš konversiją nėra lygi sekai po konvertavimo. Net jei mes kalbame apie begalinę seką, reikia atsiminti, kad begalinė seka su nelyginiu elementų skaičiumi nėra lygi begalinei sekai su lyginiu elementų skaičiumi.

Įdėję lygybės ženklą tarp dviejų sekų, kurios skiriasi elementų skaičiumi, matematikai tvirtina, kad sekos suma NEPRIKLAUSO nuo sekos elementų skaičiaus, o tai prieštarauja TIKSLINGAI NUSTATYTAM FAKTUI. Tolesni argumentai apie begalinės sekos sumą yra klaidingi, nes jie pagrįsti klaidinga lygybe.

Jei matote, kad matematikai, atlikdami įrodymus, įdeda skliaustus, pertvarko matematinės išraiškos elementus, kažką prideda ar pašalina, būkite labai atsargūs, greičiausiai jie bando jus apgauti. Matematikai, kaip ir kortų magai, atitraukia jūsų dėmesį įvairiomis išraiškos manipuliacijomis, kad galų gale nepastebėtų klaidingo rezultato. Jei negalite pakartoti kortų triuko, nežinodami apgaulės paslapties, tada matematikoje viskas yra daug paprasčiau: jūs net neįtariate nieko apie apgaulę, tačiau visų manipuliacijų kartojimas matematine išraiška leidžia įtikinti kitus dėl klaidos teisingumo. rezultatas, kaip ir tada, kai kažkas jus įtikino.

Klausimas iš auditorijos: O kaip begalybė (kaip elementų skaičius S sekoje), ar ji lygi ar nelyginė? Kaip galite pakeisti to, kas neturi lygybės, paritetą?

Begalybė matematikams, kaip Dangaus karalystė kunigams - niekas ten niekada nebuvo, bet visi tiksliai žino, kaip ten viskas veikia))) Sutinku, po mirties būsite visiškai abejingi, ar gyvenote lygiai, ar nelyginiai dienų, bet ... tik vieną dieną jūsų gyvenimo pradžioje sulauksime visiškai kito žmogaus: jo pavardė, vardas ir pavardė yra visiškai vienodi, tik gimimo data visiškai kitokia - jis gimė vieną dieną anksčiau tu.

Ir dabar, iš esmės))) Tarkime, kad baigtinė seka, turinti paritetą, praranda šį paritetą eidama į begalybę. Tada bet kuris begalinės sekos baigtinis segmentas taip pat turi prarasti paritetą. Mes to nematome. Tai, kad negalime tiksliai pasakyti, ar elementų skaičius begalinėje sekoje yra lyginis ar nelyginis, visai nereiškia, kad paritetas išnyko. Paritetas, jei jis egzistuoja, negali be pėdsakų išnykti į begalybę, kaip aštriausio rankovėje. Šiuo atveju yra labai gera analogija.

Ar kada nors paklausėte gegutės, sėdinčios laikrodyje, kuria kryptimi laikrodžio rodyklė sukasi? Jai rodyklė sukasi į vidų atvirkštine kryptimi tai, ką mes vadiname „pagal laikrodžio rodyklę“. Kad ir kaip paradoksaliai tai skambėtų, sukimosi kryptis priklauso tik nuo to, iš kurios pusės mes stebime sukimąsi. Taigi, mes turime vieną ratą, kuris sukasi. Negalime pasakyti, kuria kryptimi sukimasis vyksta, nes galime jį stebėti tiek iš vienos, tiek iš kitos sukimosi plokštumos pusės. Galime tik patvirtinti, kad vyksta rotacija. Užbaikite analogiją su begalinės sekos paritetu S.

Dabar pridėkime antrą besisukantį ratą, kurio sukimosi plokštuma yra lygiagreti pirmojo besisukančio rato sukimosi plokštumai. Vis dar negalime tiksliai pasakyti, kuria kryptimi šie ratai sukasi, tačiau galime visiškai tiksliai pasakyti, ar abu ratai sukasi ta pačia kryptimi, ar priešinga kryptimi. Palyginus dvi begalines sekas S ir 1-S, Matematikos pagalba parodžiau, kad šios sekos turi skirtingą paritetą ir yra klaida tarp jų uždėti lygybės ženklą. Asmeniškai aš tikiu matematika, nepasitikiu matematikais))) Beje, norint visiškai suprasti begalinių sekų transformacijų geometriją, būtina pristatyti šią sąvoką "vienalaikiškumas"... Tai reikės nupiešti.

2019 m. Rugpjūčio 7 d., Trečiadienis

Baigiant pokalbį, reikia apsvarstyti begalinį skaičių. Rezultatas yra tas, kad „begalybės“ sąvoka matematikus veikia kaip triušį sutraukianti boa. Siaubinga begalybės baimė apiplėšia matematikus Sveikas protas... Štai pavyzdys:

Originalus šaltinis yra. Alfa reiškia tikrąjį skaičių. Lygybės ženklas aukščiau pateiktose išraiškose rodo, kad jei prie begalybės pridėsite skaičių ar begalybę, niekas nepasikeis, rezultatas bus tas pats begalybė. Jei kaip pavyzdį imtume begalinį natūraliųjų skaičių rinkinį, tai svarstomus pavyzdžius galima pateikti tokia forma:

Norėdami vizualiai įrodyti savo teisingumą, matematikai sugalvojo daugybę skirtingų metodų. Aš asmeniškai į visus šiuos metodus žiūriu kaip į šokančius šamanus su tamburinais. Iš esmės jie visi susiveda į tai, kad arba kai kurie kambariai nėra užimti, o atsikrausto nauji svečiai, arba kai kurie lankytojai išmetami į koridorių, kad būtų vietos svečiams (labai žmogiškai). Savo požiūrį į tokius sprendimus pateikiau fantastiškos istorijos apie blondinę pavidalu. Kuo grindžiamas mano samprotavimas? Begalinio lankytojų skaičiaus perkėlimas užtrunka be galo daug laiko. Kai atlaisvinsime pirmąjį kambarį svečiui, vienas iš lankytojų visada eis koridoriumi iš savo kambario į kitą iki amžiaus pabaigos. Žinoma, į laiko faktorių galima kvailai nekreipti dėmesio, tačiau tai jau bus iš kategorijos „įstatymas nėra parašytas kvailiams“. Viskas priklauso nuo to, ką mes darome: pritaikydami realybę, kad ji atitiktų matematines teorijas, arba atvirkščiai.

Kas yra „begalinis viešbutis“? Begalinis viešbutis yra viešbutis, kuriame visada yra bet koks laisvų vietų skaičius, nesvarbu, kiek kambarių yra užimta. Jei visi kambariai begaliniame lankytojų koridoriuje yra užimti, yra dar vienas begalinis koridorius su svečių kambariais. Tokių koridorių bus be galo daug. Be to, „begalinis viešbutis“ turi begalinį skaičių aukštų begaliniame skaičiuje pastatų begaliniame planetų skaičiuje begaliniame visatų, sukurtų begalinio skaičiaus dievų. Tačiau matematikai nesugeba atsiriboti nuo įprastų kasdienių problemų: Dievas-Dievas-Buda visada yra tik vienas, viešbutis-vienas, koridorius-tik vienas. Matematikai bando žongliruoti viešbučio kambarių serijos numeriais, įtikindami mus, kad galite „įkišti daiktus“.

Aš jums parodysiu savo samprotavimo logiką begalinio natūraliųjų skaičių rinkinio pavyzdžiu. Pirmiausia turite atsakyti į labai paprastą klausimą: kiek yra natūraliųjų skaičių rinkinių - vienas ar daug? Nėra teisingo atsakymo į šį klausimą, nes mes patys sugalvojome skaičius, gamtoje nėra skaičių. Taip, gamta puikiai moka skaičiuoti, tačiau tam ji naudoja kitas mums nepažįstamas matematines priemones. Kaip galvoja gamta, pasakysiu kitą kartą. Kadangi mes išradome skaičius, mes patys nuspręsime, kiek yra natūraliųjų skaičių rinkinių. Apsvarstykite abi galimybes, kaip ir dera tikram mokslininkui.

Pirmas variantas. „Leiskite mums duoti“ vieną natūralių skaičių rinkinį, kuris ramiai guli lentynoje. Mes paimame šį rinkinį iš lentynos. Tai štai, kitų natūralių skaičių lentynoje neliko ir nėra kur jų paimti. Prie šio rinkinio negalime pridėti nė vieno, nes jį jau turime. O jei tikrai nori? Jokiu problemu. Galime paimti vieną iš jau paimto rinkinio ir grąžinti į lentyną. Po to galime paimti vienetą iš lentynos ir pridėti prie to, kas mums liko. Dėl to vėl gauname begalinį natūraliųjų skaičių rinkinį. Visas mūsų manipuliacijas galite parašyti taip:

Užsirašiau veiksmus algebrinėje užrašų sistemoje ir žymėjimų sistemoje, priimtoje aibių teorijoje, išsamiai išvardydamas aibės elementus. Apatinis indeksas rodo, kad turime vieną ir vienintelį natūraliųjų skaičių rinkinį. Pasirodo, natūraliųjų skaičių rinkinys išliks nepakitęs tik tuo atveju, jei iš jo atimsite ir pridėsite tą patį vienetą.

Antras variantas. Mūsų lentynoje yra daug skirtingų begalinių natūralių skaičių rinkinių. Pabrėžiu - SKIRTINGAI, nepaisant to, kad jie praktiškai nesiskiria. Mes paimame vieną iš šių rinkinių. Tada mes paimame vieną iš kito natūralių skaičių rinkinio ir pridedame prie jau paimto rinkinio. Mes netgi galime pridėti du natūralių skaičių rinkinius. Štai ką mes gauname:

Abonementai „vienas“ ir „du“ rodo, kad šie elementai priklausė skirtingoms aibėms. Taip, jei pridėsite vieną prie begalinio rinkinio, rezultatas taip pat bus begalinis rinkinys, tačiau jis nebus toks pat kaip pradinis rinkinys. Jei prie vieno begalinio rinkinio pridėsime dar vieną begalinį rinkinį, rezultatas bus naujas begalinis rinkinys, susidedantis iš pirmųjų dviejų rinkinių elementų.

Daugybė natūralių skaičių naudojami skaičiavimui taip pat, kaip matavimo liniuotė. Dabar įsivaizduokite, kad prie liniuotės pridėsite vieną centimetrą. Tai jau bus kitokia linija, nelygi originalui.

Galite priimti arba nepriimti mano samprotavimų - tai jūsų pačių reikalas. Bet jei kada nors susidursite su matematinėmis problemomis, pagalvokite, ar nesejate klaidingų samprotavimų keliu, kurį nueina matematikų kartos. Juk darant matematiką, visų pirma, susiformuoja mumyse stabilus mąstymo stereotipas, o tik tada pridedami prie mūsų protiniai sugebėjimai (arba, priešingai, atimame laisvą mąstymą).

pozg.ru

2019 m. Rugpjūčio 4 d., Sekmadienis

Rašiau poskyrį straipsniui apie ir pamačiau šį nuostabų tekstą Vikipedijoje:

Mes skaitome: „... turtingas Babilono matematikos teorinis pagrindas neturėjo holistinio pobūdžio ir buvo sumažintas iki skirtingų metodų rinkinio, neturinčio bendros sistemos ir įrodymų bazės“.

Oho! Kokie mes protingi ir kaip gerai matome kitų trūkumus. Ar mums sunku pažvelgti į šiuolaikinę matematiką tame pačiame kontekste? Šiek tiek perfrazuojant aukščiau pateiktą tekstą, aš asmeniškai gavau:

Turtingas teorinis šiuolaikinės matematikos pagrindas nėra holistinis ir yra suskirstytas į atskirų skyrių rinkinį, neturintį bendros sistemos ir įrodymų bazės.

Savo žodžių patvirtinimui toli nenueisiu - ji turi kalbą ir sutartines, kurios skiriasi nuo daugelio kitų matematikos šakų kalbos ir konvencijų. Tie patys pavadinimai skirtingose ​​matematikos srityse gali turėti skirtingas reikšmes. Akivaizdžiausioms šiuolaikinės matematikos klaidoms noriu skirti visą publikacijų seriją. Greitai pasimatysime.

2019 m. Rugpjūčio 3 d., Šeštadienis

Kaip suskirstyti rinkinį? Norėdami tai padaryti, turite įvesti naują matavimo vienetą, kuris yra kai kuriems pasirinkto rinkinio elementams. Pažvelkime į pavyzdį.

Turėkime daug A susidedantis iš keturių žmonių. Šis rinkinys suformuotas remiantis „žmonėmis“. Šio rinkinio elementus pažymėkime raide a, indeksas su skaitmeniu nurodys kiekvieno šio rinkinio asmens eilės numerį. Pristatykime naują matavimo vienetą „seksas“ ir pažymėkime jį raide b... Kadangi seksualinės savybės būdingos visiems žmonėms, mes padauginame kiekvieną rinkinio elementą A pagal lytį b... Atkreipkite dėmesį, kad dabar mūsų daugybė „žmonių“ tapo daugybe „žmonių, turinčių lytinių savybių“. Po to lytines savybes galime suskirstyti į vyriškas bm ir moterys bw seksualines savybes. Dabar galime pritaikyti matematinį filtrą: pasirenkame vieną iš šių lyties savybių, nesvarbu, kas yra vyras ar moteris. Jei žmogus jį turi, tai padauginame iš vieno, jei tokio ženklo nėra, padauginame iš nulio. Ir tada mes taikome įprastą mokyklos matematiką. Pažiūrėkite, kas atsitiko.

Po daugybos, redukcijos ir pertvarkymo gavome du pogrupius: vyrų pogrupį Bm ir moterų pogrupis Bw... Matematikai galvoja apie tą patį, kai praktikoje taiko aibių teoriją. Tačiau jie neskiria mums smulkmenų, o duoda galutinį rezultatą - „daug žmonių susideda iš vyrų ir moterų pogrupio“. Natūralu, kad jums gali kilti klausimas, kaip teisingai matematika taikoma minėtose transformacijose? Drįstu jus patikinti, iš tikrųjų viskas buvo padaryta teisingai, pakanka žinoti matematinį aritmetikos pagrindą, Būlio algebrą ir kitas matematikos šakas. Kas tai yra? Apie tai papasakosiu kitą kartą.

Kalbant apie antrinius rinkinius, galite sujungti du rinkinius į vieną rinkinį, pasirinkdami šių dviejų rinkinių elementų matavimo vienetą.

Kaip matote, vienetai ir įprasta matematika daro aibių teoriją praeityje. Nurodymas, kad aibių teorija nėra tinkama, yra tai, kad matematikai sugalvojo savo kalbą ir žymėjimą aibių teorijai. Matematikai padarė tai, ką kadaise padarė šamanai. Tik šamanai moka „teisingai“ pritaikyti savo „žinias“. Jie mus moko šių „žinių“.

Galiausiai noriu parodyti, kaip matematikai manipuliuoja
Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau nei vėžlys ir už jo atsilieka tūkstantį žingsnių. Per tą laiką, per kurį Achilas įveikia šį atstumą, vėžlys nuskaitys šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėgs šimtą žingsnių, vėžlys nuslinks dar dešimt žingsnių ir pan. Procesas tęsis neribotą laiką, Achilas niekada nepasieks vėžlio.

Šis samprotavimas buvo logiškas šokas visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hėgelis, Hilbertas ... Visi jie vienaip ar kitaip laikė Zenono aporijas. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... šiuo metu diskusijos tęsiasi, mokslo bendruomenei dar nepavyko susidaryti bendros nuomonės apie paradoksų esmę ... tiriant klausimą buvo įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fiziniai ir filosofiniai požiūriai ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu klausimo sprendimu ..."[Vikipedija, Zenono aporija"]. Visi supranta, kad yra apgaudinėjami, bet niekas nesupranta, kas yra apgaulė.

Matematikos požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo dydžio į. Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne konstantas. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams taikyti arba dar nėra sukurtas, arba jis nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Įprastos logikos taikymas mus veda į spąstus. Mes, mąstymo inercijos dėka, abipusiškumui taikome pastovius laiko matavimo vienetus. Fiziniu požiūriu tai atrodo kaip laiko išsiplėtimas, kol jis visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas yra lygus vėžliui. Jei laikas sustoja, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apversime mums įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga kartu pastovus greitis... Kiekvienas vėlesnis jo kelio segmentas yra dešimt kartų trumpesnis nei ankstesnis. Atitinkamai, jo įveikimui skirtas laikas yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje taikytume „begalybės“ sąvoką, tuomet būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovaus laiko vienetų ir neikite atgal. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, per kurį Achilas nubėgs tūkstantį žingsnių, vėžlys nuskaitys šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko tarpą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuskaitys šimtą žingsnių. Dabar Achilas yra aštuonis šimtus žingsnių priekyje vėžlio.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Tačiau tai nėra išsamus problemos sprendimas. Einšteino teiginys apie šviesos greičio neįveikiamumą labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Mes dar turime išstudijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo daug, o matavimo vienetais.

Kita įdomi aporija Zenonas pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji yra ramybėje kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybėje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai - pakanka patikslinti, kad kiekvienu laiko momentu skrendanti rodyklė yra skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia pažymėti dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti automobilio judėjimo faktą, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingais laiko momentais, tačiau atstumo nuo jų nustatyti negalima. Norint nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingi taškai erdvę vienu metu, tačiau judėjimo fakto iš jų nustatyti neįmanoma (žinoma, skaičiavimams vis dar reikalingi papildomi duomenys, trigonometrija jums padės). Noriu atkreipti ypatingą dėmesį į tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimų galimybes.
Leiskite parodyti jums procesą su pavyzdžiu. Mes pasirenkame „raudoną kietą spuogą“ - tai yra mūsų „visuma“. Tuo pat metu matome, kad šie dalykai yra su lanku ir nėra lankų. Po to mes pasirenkame dalį „visumos“ ir suformuojame rinkinį „su lanku“. Taip šamanai maitina save, susiedami savo aibės teoriją su realybe.

Dabar padarykime mažą purviną triuką. Paimkite „kietą spuogelį su lanku“ ir sujunkite šiuos „visumus“ pagal spalvą, pasirinkdami raudonus elementus. Gavome daug „raudonų“. Dabar klausimas, kurį reikia užpildyti: gauti rinkiniai „su lanku“ ir „raudona“ yra tas pats rinkinys, ar tai yra du skirtingi rinkiniai? Atsakymą žino tik šamanai. Tiksliau, jie patys nieko nežino, bet kaip sakoma, taip ir bus.

Šis paprastas pavyzdys rodo, kad aibių teorija yra visiškai nenaudinga, kai kalbama apie tikrovę. Kokia paslaptis? Mes suformavome rinkinį „raudonos kietos medžiagos į guzą su lanku“. Formavimas vyko pagal keturis skirtingus matavimo vienetus: spalvą (raudona), stiprumą (vientisą), šiurkštumą (spuogeliuose), ornamentus (su lanku). Tik matavimo vienetų rinkinys leidžia adekvačiai aprašyti realius objektus matematikos kalba... Taip atrodo.

Raidė „a“ su skirtingais indeksais žymi skirtingus matavimo vienetus. Skliausteliuose yra matavimo vienetai, kuriems „visa“ paskirta pradiniame etape. Matavimo vienetas, pagal kurį sudaromas rinkinys, išimamas iš skliaustų. Paskutinė eilutė rodo galutinį rezultatą - rinkinio elementą. Kaip matote, jei aibei sudaryti naudojame matavimo vienetus, tada rezultatas nepriklauso nuo mūsų veiksmų eilės. Ir tai yra matematika, o ne šokantys šamanai su tamburinais. Šamanai gali „intuityviai“ pasiekti tą patį rezultatą, argumentuodami jį „įrodymais“, nes matavimo vienetai nėra įtraukti į jų „mokslinį“ arsenalą.

Labai lengva naudoti įrenginius, norint padalyti vieną arba sujungti kelis rinkinius į vieną rinkinį. Pažvelkime atidžiau į šio proceso algebrą.