Kvadratinės lygtys ir jos šaknys švino pavyzdžių. Kvadratinės lygtys. \\ T

Kvadratinės lygtys yra tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sunku. Gebėjimas juos išspręsti yra absoliučiai būtina.

Kvadratinė lygtis yra formos AX 2 + BX + C \u003d 0 lygtis, kai koeficientai A, B ir C yra savavališki skaičiai, ir a ≠ 0.

Prieš mokydamiesi konkrečių sprendimų metodų, atkreipiame dėmesį, kad visos kvadratinės lygtys gali būti suskirstytos į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. Turėti tiksliai vieną šaknį;
3. Turėti dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas. \\ T Kvadratinės lygtys nuo linijinės, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikalus. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtį? Dėl to yra nuostabus dalykas - diskriminant.

Diskriminant

Leiskite kvadratinės lygties AX 2 + BX + C \u003d 0. Tada diskriminant yra tik numeris D \u003d B 2 - 4AC.

Ši formulė turi būti žinoma pagal širdį. Kur ji trunka - dabar nesvarbu. Kita Svarbu: diskriminuojantis ženklas gali būti nustatomas, kiek šaknų turi kvadratinę lygtį. Būtent:

1. Jei D.< 0, корней нет;
2. Jei d \u003d 0, yra tiksliai vienas šaknis;
3. Jei d\u003e 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminant rodo šaknų skaičių, o ne visai jų ženkluose, kaip dėl kokių nors priežasčių, daugelis apsvarsto. Pažvelkite į pavyzdžius - ir jūs suprasite viską:

Užduotis. Kiek šaknų yra kvadratinių lygčių:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Mes atstumome pirmosios lygties koeficientus ir rasti diskriminant:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Taigi, diskriminant yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Panašiai išardyti antrąją lygtį:
a \u003d 5; B \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminieriai yra neigiama, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a \u003d 1; B \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriminant yra nulis - šaknis bus vienas.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygtinai koeficientai buvo įvykdyti. Taip, tai ilgas laikas, taip, tai yra nuobodus - bet jūs nesupainiate koeficientų ir neleiskite kvailiems klaidų. Pasirinkite save: greitį ar kokybę.

Beje, jei jūs "užpildysite ranką", po kurio laiko nebereikia parašyti visų koeficientų. Tokios operacijos, kurias bus atliktas jūsų galva. Dauguma žmonių pradeda tai padaryti kažkur po 50-70 išsprestų lygčių - apskritai, ne tiek daug.

Šaknų aikštės lygtis

Dabar mes iš tikrųjų kreipiamės į sprendimą. Jei diskriminant D\u003e 0, šaknys galima rasti formulėse:

Pagrindinės formulės šaknys kvadratinė lygtis

Kai D \u003d 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių - tai bus tas pats numeris, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Surask juos:

Antroji lygtis:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; B \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Mes juos randame

[pradžia (sulygiu) ir ((x) _ (1)) \u003d \\ t frac (2+ (2+) (64)) (2 cdot į kairę (-1 į dešinę)) \u003d - 5; ir (x) _ (2)) \u003d frac (2- \\ t (64)) (2 cdot į kairę (-1 į dešinę)) \u003d 3. Pabaiga (lygi) \\ t

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galite naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matyti iš pavyzdžių, viskas yra labai paprasta. Jei žinote formulę ir galėsite apsvarstyti, nebus jokių problemų. Dažniausiai klaidos atsiranda pakeitimo metu neigiamų koeficientų formulėje. Čia vėl, pirmiau aprašytas priėmimas padės: pažvelgti į formulę tiesiogine prasme, dažykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratyti klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis yra šiek tiek skiriasi nuo apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Tai lengva pamatyti, kad šiose lygtys nėra jokių terminų. Tokios kvadratinės lygtys yra net lengviau nei standartai: jie net nereikia atsižvelgti į diskriminant. Taigi, pristatome naują koncepciją:

AX 2 + BX + C \u003d 0 lygtis vadinama neišsamia kvadratine lygtimi, jei b \u003d 0 arba c \u003d 0, i.e. Koeficientas su kintamu x arba laisvas elementas yra nulis.

Žinoma, visiškai sudėtingas atvejis yra įmanoma, kai abu šie koeficientai yra nulis: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis užima formą AX 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknį: x \u003d 0 .

Apsvarstykite likusius atvejus. Leiskite b \u003d 0 būti 0, tada mes gauname neišsamią lygtinę formos kirvį 2 + c \u003d 0. Mes šiek tiek konvertuojame:

Kadangi aritmetinis kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo ne neigiamo skaičiaus, pastaroji lygybė yra prasminga tik esant (-C / a) ≥ 0. Išvada:

1. Jei neužbaigta kvadratinių lygčių formos AX 2 + C \u003d 0, nelygybė (-C / A) atliekama ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikiama pirmiau;
2. Jei (-C / a)< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminant nereikėjo - neišsamių kvadratinių lygčių nėra sudėtingų kompiuterių. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybę (-C / a) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 vertę ir pamatyti, kas stovi kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius - šaknys bus du. Jei neigiama - šaknys nebus.

Dabar mes suprasime su formos AX 2 + BX \u003d 0 lygtimis, kuriuose laisvas elementas yra nulis. Viskas yra paprasta čia: šaknys visada bus du. Pakanka suskaidyti polinomo į daugiklius:

"Subliks" daugiklis

Darbas yra nulis, kai bent vienas iš daugiklio yra nulis. Iš čia yra šaknys. Apibendrinant, mes analizuosime keletą tokių lygčių:

Užduotis. Kvadratinės kvadratinės lygtys:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Nėra šaknų, nes Kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d -1,5.

Copsevskaya kaimo vidurinė mokykla

10 būdų išspręsti kvadratinių lygtis

Leader: Patrikeva Galina Anatolyvna,

matematinis mokytojas

s.KOPIEVO, 2007 m.

1. Kvadratinių lygčių plėtros istorija

1,1 kvadratinių lygčių senovės Babilone

1.2 Apskaičiuota ir išspręsta dizofant kvadratinių lygčių

1,3 kvadratinių lygčių Indijoje

1,4 kvadratinių lygčių Alkohise

1,5 kvadratinių lygčių Europoje XIII - XVII šimtmečiai

1.6 Apie Vieta teoremą

2. Kvadratinių lygčių sprendimo būdai

Išvada

Literatūra

1. Kvadratinių lygčių plėtros istorija

1,1 kvadratinių lygčių senovės Babilone

Poreikis išspręsti lygtis ne tik pirmoji, bet ir antrąjį laipsnį senovėje buvo sukeltas poreikis išspręsti užduotis, susijusias su žemės plotų vieta ir su žemės darbais karinio pobūdžio, taip pat su astronomijos plėtra ir Matematika pati. Kvadratinės lygtys galėjo išspręsti apie 2000 metų. e. Babilonietis.

Taikydami šiuolaikinį algebrinį įrašą, mes galime pasakyti, kad savo CCOMOX tekstuose yra, išskyrus neišsamią ir tokį, pavyzdžiui, pilnas kvadratinių lygtis:

X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5

Šių lygčių sprendimas Babilonijos tekstuose iš esmės sutampa su šiuolaikinėmis, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai pasiekė šią taisyklę. Beveik visi klinows tekstai, rasti iki šiol, tik užduotys su sprendimais, išdėstytais receptų forma, be požymių, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukštas lygis Algebros plėtra Babilone, Clinox tekstuose nėra neigiamo skaičiaus sąvokos ir bendrieji metodai Kvadratinių lygčių sprendimai.

1.2 Apskaičiuota ir išspręsta dizofant kvadratinių lygčių.

Diofantos "aritmetika" nėra sistemingo algebros pristatymo, tačiau jame yra sistemingas užduočių skaičius, kartu su paaiškinimais ir išspręsta su skirtingų laipsnių lygtimis.

Rengiant dizofant lygtis supaprastinti sprendimą sumaniai pasirenka nežinoma.

Čia, pavyzdžiui, vienas iš jo užduočių.

11 užduotis. "Rasti du numerius, žinodami, kad jų suma yra 20, o darbas yra 96"

Dūkinimas teigia taip: nuo problemos būklės, iš to išplaukia, kad norimi numeriai nėra lygūs, nes jei jie buvo lygūs, tada jų darbas nebūtų 96 ir 100. Taigi vienas iš jų bus daugiau nei pusė jų suma, ty. 10 + H. Kita yra mažiau, t. Y. 10 - H. . Skirtumas tarp jų 2x .

Taigi lygtis:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

Iš čia x \u003d 2. . Vienas iš norimų numerių yra 12 , Kita 8 . Sprendimas Šis sprendimas x \u003d -2. Jis neegzistuoja Diofanta, nes graikų matematika žinojo tik teigiamą skaičių.

Jei nuspręstume šią užduotį, pasirenkant vieną iš norimų numerių kaip nežinoma, mes ateisime išspręsti lygtį

y (20 - y) \u003d 96,

2 - 20u + 96 \u003d 0. (2)

Akivaizdu, kad pasirinkimas kaip nežinomas norimų numerių žaidimas, dizofantas supaprastina sprendimą; Jis gali sumažinti užduotį išspręsti neišsamią kvadratinę lygtį (1).

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

Užtvarose už kvadratinių lygtis jau randama astronomijos trakte "ARIABHATTI", sudarytas 499. Indijos matematikas ir astronomas Ariabhatta. Kitas Indijos mokslininkas, Brahmagupta (Vii Century), nurodyta pagrindinė taisyklė Sprendimai kvadratinių lygčių suteikiama viena kanoninė forma:

AH 2 +. b. x \u003d s, a\u003e 0. (1)

(1) koeficientai, išskyrus bet Gali būti neigiamas. Brahmagupta taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

Į Senovės Indija Viešieji konkursai buvo paskirstyti sprendžiant sudėtingas užduotis. Vienoje iš senų Indijos knygų kalbama apie tokius konkursus taip: "Kaip saulė su blizgučiu, žvaigždės užgožia, todėl mokslininkas žmogus elicito kitos šlovės liaudies susirinkimas, algebrinių užduočių siūlymas ir sprendimas. " Užduotys dažnai mėgaujasi poetine forma.

Čia yra viena iš garsaus Indijos matematikos XII a. Užduočių. BHASKARA.

13 užduotis.

"Nurodykite beždžiones ir dvylika Lianam ...

Veido galia, smagiai. Pradėjo šokinėti, pakabinti ...

Jie yra aštuntosios, kiek beždžionių buvo,

Glade buvo linksmas. Ar man pasakėte, šiame krūvoje? "

Bhaskų sprendimas liudija tai, kad jis žinojo apie kvadratinių lygčių šaknų dvigubumą (3 pav.).

Atitinkama užduotis 13 lygtis:

( x. /8) 2 + 12 = x.

BHASKARA rašo pagal:

x 2 - 64x \u003d -768

ir papildyti kairiąją šios lygties dalį į aikštę papildo abi dalis 32 2 , tada:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1,4 kvadratinių lygčių Al - Khorezmi

Algebriniu gydymui Al - Khorezmi suteikia linijinių ir kvadratinių lygčių klasifikaciją. Autorius apima 6 lygčių rūšis, išreiškiant juos taip:

1) "kvadratai yra šaknys", t. Y. Ah 2 + c \u003d b. x.

2) "kvadratai yra lygūs numeriui", t.y. ah 2 \u003d s.

3) "šaknys yra lygios numeriui", t. Y. ah \u003d s.

4) "kvadratai ir skaičiai yra lygūs šaknų", t.y. Ah 2 + c \u003d b. x.

5) "kvadratai ir šaknys yra lygūs numeriui", t. Y. AH 2 +. bX. \u003d s.

6) "šaknys ir skaičiai yra lygūs kvadratų", t.y. bX. + C \u003d AH 2.

Al-Khorezmi, vengiant neigiamų numerių naudojimo, kiekvienos iš šių lygčių nariai yra sudedamosios dalys, o ne atimamos. Tuo pačiu metu, tai nėra akivaizdžiai atsižvelgiama į lygtis, kad neturi teigiamų sprendimų. Autorius nustato būdus, kaip išspręsti šias lygtis, naudojant Al - Jabr ir Al - Mukabala metodus. Žinoma, jo sprendimai nesutampa su mūsų. Jau jau nekalbant apie tai, kad jis yra tik retorinis, reikia pažymėti, pavyzdžiui, kad sprendžiant neišsamią pirmojo tipo lygtį

al - Khorezmi, kaip ir visa matematika iki XVII a., Atsižvelgiama į nulinį sprendimą, tikriausiai dėl to, kad nesvarbu konkrečiomis praktinėmis užduotimis. Sprendžiant pilnus kvadratinius al-chores lygtis privačių skaitmenų pavyzdžių, ji nustato sprendimo taisykles, tada geometrinių įrodymų.

Užduotis 14. "Kvadratas ir skaičius 21 yra lygus 10 šaknų. Raskite šaknį » (Jis suprantamas kaip x 2 + 21 \u003d 10x lygties šaknis).

Autoriaus sprendimas skaito kažką panašaus: mes padalijame šaknų skaičių, gausite 5, jums bus daugintis sau, nuo vieno 21 darbo išliks 4. Nuimkite šaknį iš 4, gausite 2 . ONDE 2 OT5, gausite 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėti nuo 2 iki 5, kuri suteiks 7, ji taip pat turi šaknį.

"Al-Khorezmi" traktatas yra pirmasis, kuris atėjo pas mus knygą, kurioje pateikiamos sistemingai išdėstytos ir formulės kvadratinių lygčių klasifikacija.

1,5 kvadratinių lygčių Europoje XIII. - XVII. Bb.

AL-KHOREZMI kvadratinių lygčių sprendimo formulės pirmą kartą buvo išdėstytos "Abakos knygoje", parašyta 1202 m. Italijos matematiko Leonardo fibonacci. Šis išsamus darbas, atspindintis matematikos poveikį abiem Islamo šalims ir Senovės Graikija, išsiskiria tiek išsamumu ir pateikimo aiškumu. Autorius sukūrė nepriklausomai kai kurie nauji algebriniai pavyzdžiai sprendžiant problemas ir pirmasis Europoje kreipėsi į neigiamų skaičių įvedimą. Jo knyga skatino algebrinių žinių plitimą ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje ir kitose Europos šalyse. Daug iššūkių iš "Abaka knygos" praėjo beveik visus Europos vadovėlius XVI - XVII šimtmečius. ir iš dalies XVIII.

Bendra taisyklė sprendžiant kvadratinių lygtis tos pačios kanoninės formos:

x 2 +. bX. \u003d C,

dėl visų rūšių koeficientų ženklų derinių b. , nuo. Jis buvo suformuluotas Europoje tik 1544 m.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestis apskritai. \\ T Yra Vieta, tačiau Viet pripažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartalija, Kardano, bombelly tarp pirmojo XVI a. Atsižvelgiant į teigiamą ir neigiamą šaknų. Tik XVII a. Dėl Girardo darbo jėgos, Descartes, Newton ir kitų mokslininkų, kvadratinių lygčių sprendimo metodas užima šiuolaikinę išvaizdą.

1.6 Apie Vieta teoremą

Teorema, išreiškianti santykius tarp kvadratinės lygties koeficientų ir jos šaknų, kurios yra Vietos pavadinimas, buvo suformuluotas pirmą kartą 1591 m.: "Jei B. + D. padaugintas iš A. - A. 2 gerai BD. T. A. vienodai Į Ir lygus D. ».

Suprasti vietą, turėtumėte prisiminti Bet Kaip ir kiekvienas balsių laiškas, jis turi nežinomą (mūsų h.), balsiai , D. - nežinomo koeficientai. Šiuolaikinės algebros kalba Vieta formuluotė reiškia: jei yra

(A +. b. ) x - x 2 \u003d aB. ,

x 2 - (a + b. ) x + a b. = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b. .

Reikalavimus tarp šaknų ir koeficientų lygčių su bendrų formulių, užregistruotų naudojant simbolius, visienos nustatė vienodumą sprendžiant lygtis metodus. Tačiau Viet simbolika vis dar toli nuo Šiuolaikinis vaizdas. Jis neatpažino neigiamų numerių ir už tai, sprendžiant lygtis, laikoma tik atvejų, kai visos šaknys yra teigiamos.

2. Kvadratinių lygčių sprendimo būdai

Kvadratinės lygtys yra pamatas, kuriame yra didingas algebros pastatas. Kvadratinės lygtys yra plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines, orientacines, logaritmines, neracionalias ir transcendentines lygtis ir nelygybę. Mes visi žinome, kaip išspręsti kvadratinių lygčių iš mokyklos stendo (8 klasė), iki Universiteto pabaigos.

Ši tema iš pradžių gali atrodyti sudėtinga dėl ne paprasčiausios formulės rinkinio. Ne tik tai, kad kvadratinės lygtys patys turi ilgus įrašus, taip pat šaknys yra per diskriminant. Iš viso yra trys naujos formulės. Nėra labai lengva prisiminti. Tai valdo tik po dažno tokių lygčių sprendimo. Tada visos formulės prisimins save.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Jis siūlo savo aiškų įrašą, kai didžiausias laipsnis yra įrašytas pirmiausia, ir toliau - mažėjanti. Dažnai yra situacijų, kai komponentai kainuoja pelkę. Tada geriau perrašyti lygtį mažėjančia tvarka iš kintamojo.

Mes pristatome žymėjimą. Jie pateikiami toliau pateiktoje lentelėje.

Jei vartojate šiuos pavadinimus, visos kvadratinės lygtys sumažinamos iki kito įrašo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Tegul ši formulė bus žymima numeriu.

Kai lygtis yra nurodyta, tai nėra aišku, kiek šaknys bus atsako. Kadangi viena iš trijų variantų visada įmanoma:

• sprendimas bus dvi šaknys;
• atsakymas bus vienas numeris;
• lygčių šaknys nebus visiškai.

Ir nors sprendimas nebuvo pareikštas iki galo, sunku suprasti, kuri iš galimybių sumažės tam tikru atveju.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotyse gali būti skirtingi įrašai. Ne visada jie atrodys bendra formulė. \\ T Kvadratinė lygtis. Kartais kai kurioms terminams nepakaks. Kas buvo parašyta pirmiau, yra visa lygtis. Jei jis yra pašalintas į jį antrą ar trečiąjį kadenciją, tada kažkas bus gauti. Šie įrašai taip pat vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik neišsami.

Ir tik terminai, kuriais koeficientai "B" ir "C" gali išnykti. Numeris "a" bet kokiomis aplinkybėmis negali būti nulio. Nes šiuo atveju formulė virsta linijine lygtimi. Neišsamių lygčių rūšių formulės bus tokios:

Taigi, tik du rūšis, išskyrus išsamią, taip pat yra neišsamių kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra antra, ir antrasis - trys.

Diskriminant ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis numeris jums reikia žinoti, kad apskaičiuotumėte lygties šaknis. Jis visada gali būti laikomas, nepriklausomai nuo kvadratinės lygties formulės. Siekiant apskaičiuoti diskriminant, reikia pasinaudoti žemiau įrašytu lygybe, kuri turės keturis.

Po pakeitimo šioje koeficientų verčių formulėje, galite gauti numerius su skirtingais ženklais. Jei atsakymas yra teigiamas, lygties atsakymas bus dvi skirtingos šaknys. Neigiamas kvadratinės lygties šaknų skaičius nebus. Atsižvelgiant į savo lygybės atveju, nulis atsakas bus vienas.

Kaip išspręsta išspręsta visa peržiūros lygtis?

Tiesą sakant, šio klausimo svarstymas jau prasidėjo. Kadangi pirmiausia reikia rasti diskriminant. Nustačius, kad yra šaknų iš kvadratinės lygties, ir jų skaičius yra žinomas, jums reikia naudoti formulių kintamuosius. Jei šaknys yra du, tada jums reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi tai kainuoja "¡" ženklu, tada bus dvi vertybės. Išraiška po ženklu kvadratinė šaknis - Tai diskriminer. Todėl formulė gali būti perrašyta kitaip.

Formulės numeris penki. Iš to paties įrašo yra aišku, kad jei diskriminant yra nulis, abu šaknys bus tos pačios vertybės.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nėra parengtas, jis yra geresnis prieš taikant diskriminant ir kintamą formules, parašykite visų koeficientų vertes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pradžioje yra painiavos.

Kaip yra kvadratinių lygčių neišsamių rūšių išspręsti?

Viskas yra daug lengviau čia. Nereikia imtis papildomų formulių. Ir jums nereikės tų, kurie jau buvo užregistruoti diskriminant ir nežinoma.

Pirma, apsvarstykite neišsamią lygtį dviem. Šioje lygyboje ji turėtų padaryti nežinomą dydį už laikiklio ir išspręskite linijinę lygtį, kuri išliks skliausteliuose. Atsakymas bus dvi šaknys. Pirmasis yra nebūtinai nulis, nes yra daugiklis, susidedantis iš pati kintamojo. Antrasis bus sprendžiant linijinę lygtį.

Neišsamybė trims lygiavertė išspręsta per numerį iš kairės dalies lygybės į dešinę. Tada jums reikia padalinti koeficientą, nukreiptą į nežinomą. Jis bus paliktas tik išgauti kvadratinę šaknį ir nepamirškite įrašyti jį du kartus su priešingais ženklais.

Be to, kai kurie veiksmai yra įrašomi, padeda išmokti išspręsti visų rūšių lygybę, kurios konvertuojamos į kvadratinių lygtis. Jie prisidės prie to, kad studentas galės išvengti netinkamų klaidų. Šie trūkumai yra blogų įvertinimų priežastis, kai studijuojanti plačią temos "kvadratinę lygtis (8 klasė)". Vėliau šie veiksmai nebus reikia nuolat atlikti. Nes bus pastovus įgūdis.

• Pirmiausia turite įrašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu ir tada - be masto ir paskutinio - tik skaičius.

• Jei koeficientas "A" pasirodo minusas, tada jis gali apsunkinti pradedantiesiems darbą studijuoti kvadratines lygtis. Geriau atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš "-1". Tai reiškia, kad visi komponentai pakeis ženklą į priešingą.

• Taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį į atitinkamą daugiklį, kad denominatoriai sumažėtų.

Pavyzdžiai. \\ T

Reikia šių kvadratinių lygčių:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Jis yra neišsamus, todėl jis išspręstas, kaip aprašyta dviejų formulės numeris.

Po to, kai buvo laikiklis, pasirodo: X (x - 7) \u003d 0.

Pirmasis šaknis užima vertę: x 1 \u003d 0. Antrasis bus iš linijinės lygties: X - 7 \u003d 0. Lengva pastebėti, kad x 2 \u003d 7.

Antroji lygtis: 5x 2 + 30 \u003d 0. Dar kartą neišsami. Jis išsprendžia tik kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygybės pusę: 5x 2 \u003d 30. Dabar jums reikia padaryti padalijimą 5. Pasirodo: x 2 \u003d 6. Atsakymai bus numeriai: x 1 \u003d √6, x 2 \u003d - √6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Toliau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės jų perrašymas į standartinį tipą: - X 2 - 2x + 15 \u003d 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąjį naudingi patarimai Ir padauginkite viską, kas minus vieną. Jis pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tai teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta pirmiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Jie turi būti apskaičiuojami išilgai penktos formulės. Pasirodo, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirta lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 konvertuojama į tokias: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jo diskriminantas yra lygus šiai vertei: -23. Kadangi tai yra neigiamas skaičius, atsakymas į šią užduotį bus toks įrašas: "Nėra šaknys".

Penktoji lygtis 12x + x 2 + 36 \u003d 0 turėtų būti perrašyta taip: x 2 + 12x + 36 \u003d 0. Įjungus diskriminacinį formulę, gaunamas nulio skaičius. Tai reiškia, kad ji turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios turi būti suteiktos tokie komponentai, prieš nutraukdami laikiklį. Yra tokia išraiška vietoje: x 2 + 2x + 1. Po lygybės, šis įrašas bus rodomas: x 2 + 3x + 2. Po tokių sąlygų skaičiuojamos, lygtis bus formą: x 2 - x \u003d 0 . Ji tapo neišsami. Tai jau buvo šiek tiek didesnė. Šio šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Tęsiant temą "Sprendimas lygtys", šio straipsnio medžiaga bus supažindinti su kvadratinių lygčių.

Apsvarstykite viską išsamiai: kvadrato lygties esmė ir įrašai, nustatykite pridedamomis sąlygomis, mes analizuosime neišsamių ir išsamių lygčių sprendimo schemą, susipažinsime su šaknų ir diskriminaciniu formule, nustatys ryšius tarp šaknų ir koeficientų, Ir, žinoma, mes pateikiame vizualinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos tipai

Apibrėžimas 1.

Kvadratinė lygtis - tai yra lygtis, užregistruota kaip a · x 2 + b · x + c \u003d 0kur X. - kintamasis, a, b ir C. - kai kurie numeriai, o a.nėra nulio.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrosios pakopos lygtimi, nes iš esmės kvadratinė lygtis yra antrojo laipsnio algebrinė lygtis.

Pateikiame pavyzdį iliustruoti tam tikrą apibrėžimą: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 ir kt. - Tai yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas 2.

A, B ir C. - tai yra kvadratinės lygties koeficientai a · x 2 + b · x + c \u003d 0, su koeficientu A. Jis vadinamas pirmuoju arba vyresniu arba koeficientu x 2, B - antrojo koeficiento ar koeficiento, kai X., bet C. Skambinkite nemokamu nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Vyresnysis koeficientas yra 6, antrasis koeficientas yra − 2 ir laisvas narys yra lygus − 11 . Atkreipkite dėmesį į tai, kad kai koeficientai B.ir (arba) C yra neigiami, naudojama trumpa vaizdo įrašymo forma. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, bet ne 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Taip pat paaiškinome šį aspektą: jei koeficientai A. ir /. \\ t B. lygus. \\ T 1 arba. \\ T − 1 , tada aiškiai dalyvauti kvadratinės lygties įrašyme, jie negali būti imtasi, o tai paaiškinama šių skaitmenų koeficientų įrašo savybės. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje Y2 - Y + 7 \u003d 0 Vyresnysis koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Nurodytos ir nesusituoktos kvadratinės lygtys

Pagal pirmojo koeficiento vertę, kvadratinės lygtys yra suskirstyti į pirmiau minėtą ir neapmokėtą.

3 apibrėžimas.

Sumažinta kvadratinė lygtis - tai yra kvadratinė lygtis, kur vyresnis koeficientas yra lygus 1. Kitoms vyresnio amžiaus koeficiento vertėms kvadratinė lygtis yra neteisinga.

Mes pateikiame pavyzdžius: kvadratinių lygtis x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 yra pristatyti kiekvienoje iš jų senesnis koeficientas yra 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - neatskiriama kvadratinės lygties, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kokia štampuota kvadratinė lygtis yra įmanoma konvertuoti į tam tikrą lygtį, jei ji yra padalinta iš abiejų dalių iki pirmojo koeficiento (lygiavertė transformacija). Transformuota lygtis turės tas pačias šaknis kaip nurodyta protinga lygtis arba neturi turėti šaknų.

Svarstymas konkretaus pavyzdžio leis mums aiškiai parodyti perėjimą nuo neatsiejama kvadratinių lygčių į tam tikrą.

1 pavyzdys.

Lygtis yra 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Būtina konvertuoti pradinę lygtį pirmiau minėtoje formoje.

Sprendimas Šis sprendimas

Pirmiau nurodytos nurodytos schemos yra atskirtos abiem pirminės lygties atžvilgiu vyresniuoju koeficientu 6. Tada mes gauname: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3Ir tai yra tas pats, kaip: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 Ir toliau: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. Iš čia: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. Taigi, laikoma, kad lygtis yra nurodyta.

Atsakymas: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

Pilnos ir neišsamios kvadratinės lygtys

Pasukite į kvadratinio lygties apibrėžimą. Mes tai paaiškinome A ≠ 0.. Tokia sąlyga yra būtina lygimui a · x 2 + b · x + c \u003d 0 tai buvo tiksliai kvadratinė, nes a \u003d 0. Tai iš esmės konvertuojama į linijinę lygtį b · x + c \u003d 0.

Tuo atveju, kai koeficientai B. ir. \\ T C.lygus nuliui (kuris yra įmanomas tiek individualiai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama neišsamia.

Apibrėžimas 4.

Nebaigta kvadratinė lygtis - tokia kvadratinė lygtis a · x 2 + b · x + c \u003d 0,kur bent vienas iš koeficientų B.ir. \\ T C.(arba abu) yra nulis.

Visa kvadratinė lygtis - kvadratinės lygties, kurioje visi skaitmeniniai koeficientai nėra nuliniai.

Mes mėgstame, kodėl kvadratinių lygčių tipai yra tiksliai pavadinimai.

Už b \u003d 0 kvadratinių lygčių užima formą A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0kad tas pats yra a · x 2 + c \u003d 0. Dėl C \u003d 0. Kvadratinė lygtis įrašoma kaip a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0Tai yra lygiavertis a · x 2 + b · x \u003d 0. Dėl B \u003d 0. ir. \\ T C \u003d 0. Lygtis priims nuomonę a · x 2 \u003d 0. Turėjome lygtis skiriasi nuo visos kvadratinės lygties, nes jų kairiosios dalys nėra įtrauktos į X kintamąjį arba nemokamą nario komponentą arba abu vieną kartą. Tiesą sakant, šis faktas buvo paprašyta tokio tipo lygčių tipo - neišsami.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 ir - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - Nebaigtos kvadratinės lygtys.

Nebaigtų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirmiau apibrėžtis leidžia atskirti šias neišsamių kvadratinių lygčių rūšis:

• a · x 2 \u003d 0, ši lygtis atitinka koeficientus B \u003d 0. ir c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
• a · x 2 + b · x \u003d 0 ne c \u003d 0.

Apsvarstykite kiekvieno nebaigtos kvadratinės lygties tipo sprendimą.

A · x 2 \u003d 0 lygties sprendimas

Kaip minėta pirmiau, lygtis atitinka koeficientus B. ir. \\ T C.lygus nuliui. Lygtis. \\ T a · x 2 \u003d 0 Galima konvertuoti lygtį lygiaverčiui x 2 \u003d 0Kuris gauname, dalijamasi abiem šalies lygties dalimis A.nėra lygus nuliui. Akivaizdu, kad lygties šaknis x 2 \u003d 0 Tai yra nulis, nes 0 2 = 0 . Kitos šaknys, ši lygtis neturi, kuri yra paaiškinta pagal laipsnio savybes: bet kokiam skaičiui p,nėra lygus nuliui, ištikimas nelygybė P2\u003e 0Kas tai darau, kai P ≠ 0. lygybė. \\ t P 2 \u003d 0niekada nebus pasiektas.

5 apibrėžimas.

Taigi, neužbaigtos kvadratinės lygties a · x 2 \u003d 0 yra vienintelė šaknis x \u003d 0..

2 pavyzdys.

Pavyzdžiui, mes išsprendžiame neišsamią kvadratinę lygtį - 3 · x 2 \u003d 0. Tai atitinka lygtį x 2 \u003d 0, jo vienintelė šaknis yra x \u003d 0., Tada pradinė lygtis turi vienintelę šaknį - nulį.

Trumpai tariant, sprendimas yra sudarytas taip:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

A · x 2 + c \u003d 0 lygties sprendimas

Ant eilės - neišsamių kvadratinių lygčių tirpalas, kur b \u003d 0, c ≠ 0, ty formos lygtys a · x 2 + c \u003d 0. Mes transformuojame šią lygtį atlikdami terminą nuo vienos lygties dalies į kitą, keičiant ženklą į priešingą ir dalijant abiem dalių lygtį į numerį, o ne lygus nuliui:

• perkėlimas. \\ T C. dešinėje pusėje, kuri suteikia lygtį A · x 2 \u003d - c;
• mes padaliame abi lygties dalis A., Aš einu į pabaigą x \u003d - c a.

Mūsų transformacijos yra lygiavertės, atitinkamai, gauta lygtis taip pat yra lygiavertė šaltiniui, ir šis faktas leidžia užbaigti lygties šaknis. Nuo to, kas yra reikšmės A. ir. \\ T C.išraiškos vertė priklauso - C A: jis gali turėti minuso ženklą (tarkim, jei a \u003d 1. ir. \\ T C \u003d 2., tada - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) arba plius ženklas (pavyzdžiui, jei A \u003d - 2 ir. \\ T C \u003d 6., tada - C A \u003d - 6 - 2 \u003d 3); tai nėra nulis, nes C ≠ 0.. Leiskite mums išsamiau išsamiau situacijose, kai - C a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - C a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Lygybė P 2 \u003d - C negali būti tiesa.

Priešingu atveju, kai - C A\u003e 0: prisiminkite kvadratinę šaknį, ir tai bus akivaizdu, kad x 2 \u003d - C a lygtis bus numeris - C A, nes - C A 2 \u003d - C a. Sunku suprasti, kad numeris yra - C A taip pat yra x 2 \u003d - C A: iš tiesų, - - C A 2 \u003d - C a.

Kita šaknų lygtis nebus. Mes galime tai įrodyti naudojant bjaurus metodą. Pradėti su, nustatykite virš šaknų nurodymus x 1 ir. \\ T - x 1.. Aš siūlau, kad lygtis x 2 \u003d - C A taip pat yra šaknis x 2kuri skiriasi nuo šaknų x 1 ir. \\ T - x 1.. Mes žinome, kad vietoj to pakeisime į lygtį X. Jo šaknys, mes transformuojame lygtį į teisingą skaičių lygybę.

Dėl x 1 ir. \\ T - x 1. Mes rašome: x 1 2 \u003d - C A, ir x 2 - x 2 2 \u003d - C a. Remdamasi skaitinių lygių savybių, pakartokite vieną teisingą lygybę iš kitos, kuri suteiks mums: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Naudokite veiksmų su numeriais, kad perrašytumėte naujausią lygybę kaip (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Yra žinoma, kad dviejų numerių darbas yra nulis, o tik jei bent vienas iš numerių yra nulis. Iš minėtų to taip x 1 - x 2 \u003d 0 ir /. \\ t x 1 + x 2 \u003d 0kad tas pats dalykas x 2 \u003d x 1 ir /. \\ t x 2 \u003d - x 1. Buvo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo susitarta, kad lygties šaknis x 2 skiriasi nuo x 1 ir. \\ T - x 1.. Taigi, įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus X \u003d - C A ir X \u003d - C a.

Apibendriname visus pirmiau nurodytus argumentus.

6 apibrėžimas.

Nebaigta kvadratinė lygtis a · x 2 + c \u003d 0 lygiavertis x 2 lygimui \u003d - C a, kuris:

• neturės šaknų, kai - C a< 0 ;
• bus dvi šaknys x \u003d - C A ir X \u003d - - C A su - C A\u003e 0.

Pateikiame pavyzdžių sprendžiant lygtis a · x 2 + c \u003d 0.

3 pavyzdys.

Nurodoma kvadratinė lygtis 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Būtina rasti jo sprendimą.

Sprendimas Šis sprendimas

Mes perkeliame nemokamą narį į dešinę dalį lygties, tada lygtis bus formuojama 9 · x 2 \u003d - 7.
Mes padalijame abi gautos lygties dalis 9 , ateiti į x 2 \u003d - 7 9. Dešinėje dalyje matome numerį su minuso ženklu, o tai reiškia: nurodyta lygtis neturi šaknų. Tada originali neišsamia kvadratinė lygtis 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis. \\ T 9 · x 2 + 7 \u003d 0jis neturi šaknų.

4 pavyzdys.

Būtina išspręsti lygtį - x 2 + 36 \u003d 0.

Sprendimas Šis sprendimas

Mes perkeliame 36 į dešinę pusę: - x 2 \u003d - 36.
Mes padalijome abi dalis − 1 , gauti x 2 \u003d 36. Dešinėje dalyje - teigiamas skaičius, nuo čia galime daryti išvadą, kad x \u003d 36 arba X \u003d - 36.
Nuimkite šaknį ir užrašykite galutinį rezultatą: neišsami kvadratinių lygčių - x 2 + 36 \u003d 0 Jis turi dvi šaknis x \u003d 6. arba. \\ T x \u003d - 6.

Atsakymas: x \u003d 6. arba. \\ T x \u003d - 6.

Sprendimas a · x 2 + b · x \u003d 0

Apsvarstysime trečią neišsamių kvadratinių lygčių tipą C \u003d 0.. Rasti neišsamios kvadratinės lygties sprendimą a · x 2 + b · x \u003d 0, Mes naudojame skilimo apie daugikles metodą. Papildykite daugiapakopius polinomo, kuris yra kairėje lygties dalyje, padarydami bendrą daugiklį skliausteliams X.. Šis žingsnis suteiks galimybę konvertuoti originalią neišsamią kvadratinę lygtį į ekvivalentą x · (a · x + b) \u003d 0. Ir ši lygtis savo ruožtu yra lygiavertė lygčių visumui x \u003d 0. ir. \\ T A · x + b \u003d 0. Lygtis. \\ T A · x + b \u003d 0 Linijinis ir jo šaknis: x \u003d - b a.

Apibrėžimas 7.

Taigi, nebaigta kvadratinė lygtis a · x 2 + b · x \u003d 0 turės dvi šaknis x \u003d 0. ir. \\ T x \u003d - b a.

Pavyzdžiui pritvirtinkite medžiagą.

5 pavyzdys.

Būtina rasti 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 lygties tirpalą.

Sprendimas Šis sprendimas

Leiskite vadovauti X. Skliausteliuose ir gauti x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Ši lygtis yra lygiavertė lygtis x \u003d 0. ir 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Dabar būtina išspręsti gautą linijinę lygtį: 2 3 · x \u003d 2 2 7, X \u003d 2 2 7 2 3.

Trumpai išspręskite lygtį tokiu būdu parašyti:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 arba 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 arba x \u003d 3 3 7

Atsakymas: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminant, šaknų formulė kvadratinės lygties

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimą, yra šaknų formulė:

Apibrėžimas 8.

x \u003d - b ± d 2 · a kur D \u003d B 2 - 4 · a · c - vadinamoji kvadrato lygties diskriminant.

Įrašymas X \u003d - B ± D 2 · A iš esmės reiškia, kad x 1 \u003d - B + D 2 · A, X2 \u003d - B - D 2 · a.

Tai bus naudinga suprasti, kaip buvo gauta nurodyta formulė ir kaip ją taikyti.

Kvadratinės lygties šaknų išėjimas

Būkite iššūkis išspręsti kvadratinę lygtį a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Atlikti daug lygiaverčių transformacijų:

• mes padalijome abi dalis lygties a.Išskyrus nulį, mes gauname sumažintą kvadratinę lygtį: x 2 + B a · x + c a \u003d 0;
• pažymėjome visą kvadratą kairėje gautos lygties pusėje:
  x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · A · x + b 2 · A 2 - B 2 · A 2 + Ca \u003d X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA .
  Po to lygtis imsis formą: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C A \u003d 0;
• dabar galima perkelti paskutines dvi sąlygas į dešinę pusę, pakeisdami ženklą į priešingą, po kurio mes gauname: X + B 2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
• galiausiai, mes paversti įrašytą dešinėje pusėje paskutinio lygybės:
  B 2 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A2 - 4 · A · C4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Taigi, mes atvykome į X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, lygiavertė šaltinio lygtis a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Mes supratome tokių lygčių sprendimą ankstesnėse pastraipose (neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas). Įgyta patirtis leidžia užbaigti apie X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · A · C4 · A 2 \u003d 0, lygtis turi formą X + B 2 · A 2 \u003d 0, tada X + B 2 · A \u003d 0.

Taigi vienintelė šaknų x \u003d - B 2 · A yra akivaizdi;

• b 2 - 4 · A · C4 · A 2\u003e 0, jis bus teisingas: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 arba X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · C4 · A 2, kuris yra toks pat kaip X + - B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 arba X \u003d - B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, t.y. Lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 (taigi pirminė lygtis) priklauso nuo išraiškos ženklo b 2 - 4 · A · C4 · A 2, įrašyti dešinėje pusėje. Ir šios išraiškos ženklą nustato skaitiklio numeris (vardiklis 4 · A 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas B 2 - 4 · a · c. Ši išraiška B 2 - 4 · a · c Pavadinimas yra kvadratinio evakuacijos diskriminacija ir apibrėžiamas kaip raidės paskyrimas D. Čia galite įrašyti diskriminacinį esmę - pagal savo vertę ir žymenis yra baigtas, ar kvadratinė lygtis turės galiojančias šaknis, ir jei tai yra, kas yra šaknų skaičius - vienas ar du.

Grįžimas į X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2. Aš perrašau jį naudojant diskriminacinį pavadinimą: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Dar kartą suformuosime išvadas:

9 apibrėžimas 9.

• dėl D.< 0 Lygtis neturi galiojančių šaknų;
• dėl D \u003d 0. Lygtis turi vienintelę šaknį x \u003d - B 2 · a;
• dėl D\u003e 0. Lygtis turi dvi šaknis: X \u003d - B 2 · A + D 4 · A2 arba X \u003d - B 2 · A - D 4 · A 2. Šios šaknys, pagrįstos radikalų savybėmis, galima parašyti formoje: X \u003d - B 2 · A + D 2 · A arba - B 2 · A - D 2 · a. Ir kai mes atskleidžiame modulius ir suteikiame frakcijas į bendrą vardiklį, mes gauname: x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B-D 2 · a.

Taigi mūsų argumentų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės pašalinimas:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, Diskriminer D. Apskaičiuojamas pagal formulę. \\ T D \u003d B 2 - 4 · a · c.

Šios formulės leidžia diskriminuoti, kad būtų galima nustatyti galiojančias šaknis. Kai diskriminant yra nulis, abiejų formulių naudojimas suteiks tą patį šaknį kaip vienintelį kvadratinio lygties tirpalą. Jei diskidora yra neigiama, bando naudoti šaknų formulę kvadratinės lygties, mes susidursime su poreikiu pašalinti kvadratinę šaknį nuo neigiamo skaičiaus, kuris veda mus už faktinių skaičių. Su neigiama diskriminant, kvadratinių lygtys nebus galiojančios šaknys, bet visapusiškai konjugatų šaknų pora, nustatoma pagal tas pačias šaknų formules, gautas JAV.

Algoritmas, skirtas išspręsti kvadratinių lygčių šaknų formules

Galima išspręsti kvadratinę lygtį, nedelsiant dviračiu šaknų formulę, bet iš esmės jie, jei reikia, rasti sudėtingų šaknų.

Pagrindiniame atvejų masėje paprastai tai yra ne sudėtingų, bet galiojančių kvadratinių lygčių šaknų paieškai. Tada optimaliai prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatykite diskriminant ir įsitikinkite, kad jis nėra neigiamas (kitaip mes darome išvadą, kad lygtis neturi galiojančių šaknų) ir tada pereikite prie šaknų vertės.

Pirmiau pateikti argumentai suteikia galimybę suformuluoti algoritmą kvadratinės lygties sprendimui.

Apibrėžimas 10.

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a · x 2 + b · x + c \u003d 0, tai būtina:

• pagal formulę D \u003d B 2 - 4 · a · c rasti diskriminant;
• su D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• d \u003d 0 rasti vienintelę lygties šaknį pagal formulę X \u003d - B 2 · a;
• d\u003e 0 nustatykite dvi galiojančias kvadratinės lygties šaknis pagal formulę X \u003d - B ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminant yra nulis, galite naudoti formulę X \u003d - B ± D 2 · A, jis suteiks tą patį rezultatą kaip formulę X \u003d - B 2 · a.

Apsvarstykite pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžiai

Pateikiame skirtingų diskriminant vertybių pavyzdžių sprendimą.

6 pavyzdys.

Būtina rasti lygties šaknis x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Sprendimas Šis sprendimas

Mes parašytume skaičių koeficientus kvadratinės lygties: a \u003d 1, b \u003d 2 ir C \u003d - 6. Be to, mes elgiamės su algoritmu, t.y. Mes eisime apskaičiuoti diskriminacinį, kuriam mes pakeisime koeficientus a, b ir. \\ T C. Diskriminavimo formulėje: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Taigi, mes gavome D\u003e 0, o tai reiškia, kad pirminė lygtis turės dvi galiojančias šaknis.
Norėdami juos rasti, mes naudojame šaknų formulę x \u003d - B ± D 2 · A ir, pakeičiant atitinkamas vertes, mes gauname: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Mes supaprastiname gautą išraišką, todėl šaknų ženklo daugiklis, po kurio seka frakcija:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 arba x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 arba x \u003d - 1 - 7

Atsakymas: X \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

7 pavyzdys.

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Sprendimas Šis sprendimas

Nustatyti diskriminant: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Su šia diskriminantija verte pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, apibrėžtą formulėje X \u003d - B 2 · a.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Atsakymas: x \u003d 3, 5.

8 pavyzdys.

Būtina išspręsti lygtį 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0

Sprendimas Šis sprendimas

Šios lygties skaitmeniniai koeficientai bus: a \u003d 5, b \u003d 6 ir c \u003d 2. Šias vertybes naudojame diskriminant: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Apskaičiuota diskriminant yra neigiama, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi galiojančių šaknų.

Jei užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikyti šaknų formulę, atliekant veiksmus su sudėtingais numeriais:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 arba X \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I arba X \u003d - 3 5 - 1 5 · I.

Atsakymas: Nėra galiojančių šaknų; Sudėtingos šaknys yra tokios: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

Mokyklos programoje vis dar nėra reikalavimo ieškoti sudėtingų šaknų, todėl jei sprendimo metu diskriminant yra apibrėžiamas kaip neigiamas, atsakymas nedelsiant užfiksuotas, kad nėra galiojančių šaknų.

Formulės šaknys net antrajam koeficientams

Šaknų x \u003d - b ± d2 · a (d \u003d B 2 - 4 · a · c) formulė leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškiau, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendimus su lygiu koeficientu x (arba 2 tipo koeficientas · N, pavyzdžiui, 2 · 3 arba 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Mes parodome, kaip rodoma ši formulė.

Būkite užduotis rasti kvadratinės lygties tirpalą a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Mes veikiame ant algoritmo: nustatyti diskriminer D \u003d (2 · N) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c), tada naudokite Šaknų formulė:

x \u003d - 2 · N ± D 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 4 · N 2 - A · C2 · A, X \u003d - 2 · N ± 2 N 2 - A · C2 · A, X \u003d - N ± N 2 - a · ca.

Leiskite išraiška N 2 - A · C turi būti nurodyta kaip D 1 (kartais D). Tada formulė kvadratinės lygties pagal antrą koeficientą 2 · n formulę formą:

x \u003d - N ± D 1 A, kur D 1 \u003d N 2 - a · c.

Tai lengva matyti, kad D \u003d 4 · D 1 arba D 1 \u003d D 4. Kitaip tariant, D 1 yra diskriminano ketvirtadalis. Akivaizdu, kad ženklas d 1 yra tas pats, kaip ir žymens D, o tai reiškia, kad ženklas d 1 taip pat gali būti kaip kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Apibrėžimas 11.

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties sprendimą su antrojo koeficiento 2 · N, būtina:

• rasti D 1 \u003d N 2 - A · C;
• su D 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• d 1 \u003d 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį pagal formulę X \u003d - N a;
• d 1\u003e 0 nustatykite dvi galiojančias šaknis pagal formulę X \u003d - N ± D 1 a.

9 pavyzdys.

Būtina išspręsti kvadratinę 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Sprendimas Šis sprendimas

Antrasis nurodytos lygties koeficientas gali būti sudarytas kaip 2 · (- 3). Tada perrašykite nurodytą kvadratinę lygtį kaip 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, kur A \u003d 5, N \u003d - 3 ir C \u003d - 32.

Apskaičiuojame ketvirtą diskriminacijos dalį: D 1 \u003d N 2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Gauta vertė teigiamai, tai reiškia, kad lygtis turi dvi galiojančias šaknis. Mes juos apibrėžiame pagal atitinkamą šaknų formulę:

x \u003d - N ± D 1 A, X \u003d - - 3 ± 169 5, X \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 arba x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 arba x \u003d - 2

Būtų galima atlikti skaičiavimus ir įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau šiuo atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x \u003d 3 1 5 arba x \u003d - 2.

Supaprastinimas kvadratinių lygčių rūšių

Kartais galima optimizuoti šaltinio lygties tipą, kuris supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinių lygčių 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 yra aiškiai patogiau nei 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Dažniau supaprastinti kvadratinės lygties rūšį atlieka abiejų dalių dauginimas arba padalijimas į tam tikrą skaičių. Pavyzdžiui, parodėme supaprastintą 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, gaunamą padalijant abi dalis iki 100.

Toks konversija yra įmanoma, kai kvadratinių lygčių koeficientai nėra tarpusavyje paprasti numeriai. Tada paprastai dalijasi abiem dalimis, lygiaverčiu iki didžiausio bendros absoliučių koeficientų verčių dalių.

Pavyzdžiui, naudokite kvadratinę lygtį 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Apibrėžiame absoliutaus koeficientų verčių mazgus: mazgai (12, 42, 48) \u003d mazgas (mazgas (12, 42), 48) \u003d mazgas (6, 48) \u003d 6. Mes padalinsime dvi originalios kvadratinės lygties dalis iki 6 ir mes gauname lygiavertę kvadratinę 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Abiejų kvadratinių lygties dalių dauginimas paprastai atsikratytų dalinių koeficientų. Tuo pačiu metu padaugintas iš mažiausio bendrojo savo koeficientų vardiklio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinio lygties dalis yra 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 dauginti nuo NOC (6, 3, 1) \u003d 6, tada jis bus įrašytas į paprastesnę X 2 formą + 4 · x - 18 \u003d 0.

Galiausiai atkreipiame dėmesį, kad beveik visada atsikratykite minuso pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, keičiant kiekvieno lygties nario ženklus, kurie pasiekiami abiejų 1 dalių padauginimu (arba padaliniais). Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, galite pereiti prie supaprastintos 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Bendravimas tarp šaknų ir koeficientų

Kvadratinių lygčių šaknų formulė x \u003d - B ± D 2 · A jau žinoma, kad mes išreiškia lygties šaknis per savo skaitmeninius koeficientus. Remdamiesi šioje formulėje, mes turime galimybę nustatyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausi ir taikomi yra Vieta teoremo formulės:

x 1 + x 2 \u003d - b a ir x 2 \u003d c a.

Visų pirma dėl sumažintos kvadratinės lygties, šaknų kiekis yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu, o šaknų produktas yra nemokamas. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 rūšių, galima nedelsiant nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų produktas yra 22 3.

Taip pat galite rasti kitų nuorodų tarp šaknų ir koeficientų kvadratinės lygties. Pavyzdžiui, kvadratų lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta per koeficientus:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2.

Jei pastebėsite klaidą tekste, pasirinkite jį ir paspauskite Ctrl + Enter

Daugiau. paprastas būdas. Norėdami tai padaryti, pašalinkite z už skliaustelius. Gausite: Z (AZ + B) \u003d 0. Daugikliai gali būti parašyti: Z \u003d 0 ir AZ + B \u003d 0, kaip abu gali pagaminti dėl nulio. Į rekordą az + b \u003d 0, mes paskelbiame antrą dešinę su kitu ženklu. Iš čia mes gauname Z1 \u003d 0 ir Z2 \u003d -B / A. Tai yra originalo šaknys.

Jei yra neišsami forma AZ² + C \u003d 0 lygtis, šiuo atveju yra tiesiog laisvo nario perkėlimas į dešinę lygties dalį. Taip pat tuo pačiu metu pakeiskite ženklą. Jis paaiškina įrašą az² \u003d -c. Express z² \u003d -C / a. Paimkite šaknį ir užrašykite du sprendimus - teigiamą ir neigiama prasmė Kvadratinė šaknis.

Pastaba

Esant dalines koeficientus lygtyje, padauginkite lygtį į atitinkamą daugiklį, kad atsikratytumėte frakcijų.

Žinios apie tai, kaip išspręsti kvadratinių lygtis, būtina moksleiviams ir studentams, kartais tai gali padėti ir suaugusiam asmeniui įprastu gyvenimu. Yra keletas konkrečių sprendimų metodų.

Sprendimas kvadratinių lygčių

Kvadratinės formos lygtis A * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0. Koeficientas X yra norimas kintamasis, A, B, C - skaitmeniniai koeficientai. Atminkite, kad "+" ženklas gali skirtis "-" ženklas.

Siekiant išspręsti šią lygtį, turite naudoti VIETA teorem arba rasti diskriminant. Dažniausiai yra diskriminančiai, nes kai kurių A, B, C vertybių naudojimas Vieta teorema nėra įmanoma.

Norėdami rasti diskriminacinį (d), būtina užrašyti formulę D \u003d B ^ 2 - 4 * a * c. "D" d vertė gali būti didesnė arba lygi nuliui. Jei D yra didesnis arba mažesnis nei nulis, šaknis bus du, jei d \u003d 0, tada tik vienas šaknis išlieka, tiksliau, mes galime pasakyti, kad D šiuo atveju yra dvi lygiavertės šaknys. Panaikinkite gerai žinomus koeficientus A, B, C formulėje ir apskaičiuoja vertę.

Nustačius diskotimą, kad rastumėte X naudojimo formas: X (1) \u003d (- B + SQRT (D)) / 2 * A; X (2) \u003d (- B-SQRT (D)) / 2 * A, kur SQRT yra funkcija, kuri reiškia kvadratinės šaknies ekstrahavimą iš nurodyto numerio. Atsižvelgiant į šias išraiškas, rasite dvi savo lygties šaknis, po kurio lygtis laikoma išspręsta.

Jei d yra mažesnis nei nulis, jis vis dar turi šaknį. Mokykloje šis skyrius praktiškai nėra tiriamas. Universiteto studentai turėtų žinoti, koks yra neigiamas skaičius po šaknimis. Jis atsikratyta įsivaizduojamos dalies, ty -1 po šaknu visada lygi įsivaizduojamam elementui "I", kuris yra padaugintas iš šaknų su tuo pačiu teigiamu numeriu. Pavyzdžiui, jei d \u003d SQRT (-20), po konversijos, D \u003d SQRT (20) * Aš gaunu. Po šios transformacijos lygties sprendimas sumažinamas iki tos pačios šaknų nustatymo, kaip aprašyta pirmiau.

Vietos teorija yra X (1) ir X (2) verčių pasirinkimas. Naudojamos dvi identiškos lygtys: X (1) + x (2) \u003d -B; x (1) * x (2) \u003d s. Ir taip svarbus taškas yra ženklas priešais B koeficientą, nepamirškite, kad šis ženklas yra priešingas vienai, kuri stovi lygtyje. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai yra labai lengva apsvarstyti X (1) ir X (2), bet sprendžiant jus ateis per tai, kad numeriai turės pasiimti jį.

Kvadratinių lygčių sprendimo elementai

Remiantis matematikos taisyklėmis, kai kurie gali būti skaidomi daugikliams: (A + X (1)) * (B - X (2)) \u003d 0, jei tai buvo įmanoma konvertuoti šią kvadratinę lygtį formule formulėmis matematikos, tada drąsiai užrašykite atsakymą. X (1) ir X (2) bus lygus kitiems skliausteliuose esančioms chartijoms, bet su priešingu ženklu.

Taip pat nepamirškite apie neišsamias kvadratines lygtis. Jums gali turėti tam tikrų sąlygų, jei taip, visi jo koeficientai yra tiesiog lygūs nuliui. Jei prieš X ^ 2 arba x nėra nieko, tada A ir B koeficientai yra lygūs 1.