Leiskite stačiakampio koordinačių sistemai nustatyti trimatėje erdvėje Oxyz., taškas yra nustatytas, tiesus a. ir reikia rasti atstumą nuo taško Bet nukreipti a..
Mes parodome du būdus, kaip apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesios erdvės. Pirmuoju atveju, rasti atstumą nuo taško M. 1 nukreipti a. ateina į atstumą nuo taško M. 1 iki taško H. 1 kur H. 1 - statmenos pagrindas, nuleistas nuo taško M. 1 tiesiai a.. Antruoju atveju atstumas nuo taško iki plokštumos bus nustatytas kaip lygiagramos aukštis.
Taigi, tęskite.
Pirmasis būdas rasti atstumą nuo taško nukreipti erdvėje.
Nuo apibrėžimo atstumo nuo taško M. 1
nukreipti a. - tai yra statmenos ilgis M. 1
H. 1
, tada apibrėžti taško koordinates H. 1
, mes galime apskaičiuoti norimą atstumą kaip atstumą tarp taškų 
ir. \\ T 
pagal formulę.
Taigi užduotis sumažinama iki statmenos pastatytos įkūrimo koordinatės M. 1 nukreipti a.. Padarykite tai pakankamai paprasta: taškas H. 1 - tai yra tiesioginės sankirtos taškas a. su plokštuma, einančia per tašką M. 1 statmenai nukreipti a..
Taigi, algoritmas, leidžiantis nustatyti atstumą nuo taško 
nukreiptia.
kosmoseToks:
Antrasis metodas, leidžiantis jums rasti atstumą nuo taško, kad nukreiptumėte į erdvę.
Kadangi užduoties sąlyga yra užduota a.Tada mes galime apibrėžti savo vadovo vektorių 
ir kai kurių taškų koordinates M. 3
gulėti tiesiai a.. Tada pagal taškų koordinates ir 
mes galime apskaičiuoti vektoriaus koordinates: (jei reikia, nurodykite straipsnį koordinates per savo pradžios ir pabaigos taškų koordinates).
Mes atidedame vektorių 
ir nuo taško M. 3
Ir mes statysime lygiagrerus. Šioje lygiagreruota išleis aukštį M. 1
H. 1
.
Akivaizdu, aukštis M. 1 H. 1 Pastatyta lygiagretainė yra lygi norimam atstumui nuo taško M. 1 nukreipti a.. Mes rasime.
Viena vertus, lygiagrečios sritis (mes tai žymi S.) Galima rasti vektorių gręžimo produktą. 
ir formula. \\ t 
. Kita vertus, lygiagreiogramos plotas yra lygus jo pusės pusės produktui iki aukščio, tai yra, 
kur 
- Ilgio vektorius. \\ T 
,
vienodas ilgis Partijas, kurias nagrinėja lygiagrečiai. Todėl atstumas nuo nurodyto taško M. 1
į tam tikrą tiesioginį a. galima rasti iš lygybės 
kaip 
.
Taigi, rasti atstumą nuo taško 
nukreiptia.
jums reikia vietos
Užduočių sprendimas Norėdami rasti atstumą nuo tam tikro taško iki tam tikros tiesioginės erdvėje.
Apsvarstykite pavyzdio sprendimą.
Pavyzdys.
Raskite atstumą nuo taško 
nukreipti 
.
Sprendimas.
Pirmasis būdas.
Parašykite plokštumos lygtį, einančią per tašką M. 1 statmenai tam tikros tiesios linijos:
Raskite taško koordinates H. 1
- plokštumos ir tam tikros tiesios linijos sankirtos taškas. Tai padaryti, atlikite perėjimą nuo kanoninės lygtys Tiesiogiai į dviejų susikertančių lėktuvų lygtis 
po to išspręsiu linijinių lygčių sistemą 
cRAMER metodas: 
Šiuo būdu, .
Lieka apskaičiuoti reikiamą atstumą nuo taško iki tiesiai kaip atstumas tarp taškų 
ir:. \\ T
Antrasis kelias.
Skaičiai frakcijų vardiklių kanoninėse lygtys tiesiogiai atspindi atitinkamas koordinates vadovo vektoriaus šio tiesaus, tai yra, 
- tiesioginis vektorinis tiesioginis 
. Apskaičiuokite jo ilgį: 
.
Akivaizdu, tiesiai 
eina per tašką 
, tada vektorius su pradžia taške 
ir pabaigoje 
yra 
. Mes randame vektorinių meno kūrinius 
ir. \\ T 
:
tada šio vektoriaus darbo ilgis yra lygus 
.
Dabar mes turime visus duomenis, kad pasinaudome formulė apskaičiuoti atstumą nuo nurodyto taško į nurodytą plokštumą: 
.
Atsakymas:
Abipusė tiesioginės erdvės vieta
Gebėjimas rasti atstumą tarp skirtingų geometrinių objektų yra svarbus, kai skaičiavimai paviršiaus plotas skaičius ir jų tūris yra atliekami. Šiame straipsnyje apsvarstykite klausimą, kaip rasti iš taško į tiesioginį atstumą erdvėje ir plokštumoje.
Matematinis aprašymas Direct.
Suprasti, kaip rasti atstumą nuo taško iki tiesioginio, turėtumėte susidoroti su šių geometrinių objektų matematine užduotimi.
Su tašku, viskas yra paprasta, tai apibūdinama koordinatės rinkiniu, kurio numeris atitinka vietos aspektą. Pavyzdžiui, ant plokštumos yra dvi koordinatės, trimatėje erdvėje - trys.
Kalbant apie vienintetinį objektą - tiesiogiai, tada dėl jo aprašymo naudojamos kelios lygčių rūšys. Apsvarstykite tik du iš jų.
Pirmoji rūšys vadinama vektoriaus lygtimi. Toliau pateikiami išraiškos, skirtos tiesiogiai trimatėje ir dvimatėje erdvėje:
(x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c);
(x; y) \u003d (x 0; y 0) + α × (a; b)
Šiose išraiškose koordinatės su nuliniu rodikliais apibūdina tašką, per kurį nurodytas tiesioginis, koordinacinis rinkinys (a; b; c) ir (a; b) yra vadinamieji vektorių vadovai atitinkamos tiesios linijos, α yra a parametras, kuris gali būti vertinga vertė.
Vektoriaus lygtis yra patogu ta prasme, kad ji yra aiškiai nurodyta tiesioginio tiesioginio, kurio koordinatės gali būti naudojamos sprendžiant lygiagreizmo ar statmens įvairių geometrinių objektų užduotis, pavyzdžiui, dvi tiesiogiai.
Antroji lygtis, kurią mes laikome tiesioginiu, vadinama bendra. Erdvėje ši rūšis yra pateikta bendrų lygčių dviejų lėktuvų. Ant plokštumos kita forma:
A × x + b × y + c \u003d 0
Kai tvarkaraštis yra pagrįstas, tai dažnai parašyta priklausomybė nuo ICA / GDEPEC, tai yra:
y \u003d -A / B × X + (- C / B)
Čia laisvas narys -C / B atitinka linijos su Y ašimi sankirtos koordinates, o koeficientas - ir koeficientas yra susijęs su polinkio kampu tiesiai į X ašį.
Atstumo sąvoka tarp tiesaus ir taško
Supratęs su lygtimis, galite tiesiogiai pereiti prie atsakymo į klausimą, kaip rasti nuo taško iki tiesioginio atstumo. 7-ojoje klasėje jie pradeda apsvarstyti šį klausimą nuo atitinkamos vertės nustatymo.
Atstumas tarp tiesaus ir taško yra statmenos šio tiesioginio segmento ilgio ilgis, kuris yra praleistas iš nagrinėjamo taško. Žemiau paveiksle rodoma tiesia linija R ir taškas A. Mėlyna rodo statmenai tiesiai linija r segmente. Jo ilgis yra norimas atstumas.
Tačiau čia pavaizduotas dvimatės atvejis, tačiau šis atstumo apibrėžimas galioja trimatei užduočiai.
Būtinos formulės
Priklausomai nuo to, kada lygtis yra parašyta tiesiai ir kokioje vietoje užduotis yra išspręsta, dvi pagrindinės formulės gali būti teikiama, kaip rasti atstumą tarp tiesioginio ir taško klausimas.
Žymi žinomą tašką P2 simboliu. Jei lygtis yra tiesiogiai nustatyta vektoriaus formoje, tada d atstumai tarp nagrinėjamų objektų, formulė yra teisinga:
d \u003d || / | V¯ |
Tai yra, norint nustatyti D, būtina apskaičiuoti tiesaus vektorinio vektorinio vektorinio vektorinio produkto modulį P 1 P 2 ¯, kurio pradžia yra savavališko taško P 1 tiesia linija ir galas yra P 2 taške, tada padalinkite šį modulį ilgio v °. Ši formulė yra universali plokščia ir trimatėje erdvėje.
Jei užduotis yra laikoma XY koordinačių sistemos plokštumoje ir nustatyta tiesioginė lygtis apskritai. \\ TTada kita formulė rasti atstumą nuo tiesiai iki taško leidžia:
Tiesiai: a × x + b × y + c \u003d 0;
Taškas: P 2 (x 2; Y2; Z 2);
Atstumas: d \u003d | a × x 2 + b × Y 2 + C | / √ (a 2 + B 2)
Pirmiau minėta formulė yra gana paprasta, tačiau jo naudojimas apsiriboja pirmiau nurodytomis sąlygomis.
Koordinatės taško projekcijos tiesiu ir atstumu
Atsakykite į klausimą, kaip rasti atstumą nuo taško iki tiesioginio, taip pat gali būti kitaip nedalyvaujant pirmiau minėtų formulių įsiminimui. Šis metodas yra nustatyti tašką ant linijos, kuri yra pradinio taško projekcija.
Tarkime, kad yra taškas m ir tiesiai r. "R taško m" projekcija atitinka kai kuriuos m 1 tašką. Atstumas nuo M iki R yra lygus vektoriaus mm 1 ¯.
Kaip rasti koordinates m 1? Labai paprasta. Pakanka prisiminti, kad vektorinė linija V¯ bus statmena MM 1 ¯, tai yra, jų skalaras produktas turėtų būti nulis. Pridedant prie šios sąlygos, kad koordinatės M 1 turėtų atitikti lygties tiesioginį R, mes gauname paprastų linijinių lygčių sistemą. Dėl savo sprendimo gaunami m punkto projekcijos koordinatės.
Šiame punkte aprašytas metodas yra atstumas nuo tiesioginio iki taško gali būti naudojamas plokštumoje ir erdvėje, tačiau jo naudojimas apima tiesioginės linijos vektorinio lygties žinias.
Užduotis plokštumoje
Dabar atėjo laikas parodyti, kaip naudoti pateiktus matematinius aparatą, kad išspręstumėte realias problemas. Tarkime, kad lėktuvas pateikiamas m punktas (-4; 5). Būtina rasti atstumą nuo m taško iki tiesios linijos, kurią apibūdina bendroji lygtis:
3 × (-4) + 6 \u003d -6 ≠ 5
Tai yra, m ne yra tiesia linija.
Kadangi lygtis yra tiesiogiai nustatyta bendrai, mes suteikiame jai tokiu būdu, kad galėtume naudoti atitinkamą formulę, turime:
y \u003d 3 × x + 6 \u003d\u003e
3 × X - Y + 6 \u003d 0
Dabar galite pakeisti garsūs numeriai D formulėje D:
d \u003d | A × x 2 + b × Y 2 + C | / √ (A 2 + B 2) \u003d
\u003d | 3 × (-4) -1 × 5 + 6 | / √ (3 2 + (- 1) 2) \u003d 11 / √10 ≈ 3.48
Užduotis erdvėje
Dabar apsvarstykite erdvės atvejį. Leiskite tiesiogiai apibūdinti šią lygtį:
(x; y; z) \u003d (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)
Koks yra atstumas nuo jo iki taško m (0; 2; -3)?
Kaip ir ankstesniu atveju, mes patikriname Metainės priklausančią. Norėdami tai padaryti, mes pakeisime koordinates į lygtį ir perrašyti ją aiškiai:
x \u003d 0 \u003d 1 + 3 × α \u003d\u003e α \u003d -1/3;
y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α \u003d\u003e α \u003d -3/2;
Kadangi buvo gauti skirtingi parametrai α, tada m nėra ant šios tiesios linijos. Apskaičiuoti dabar atstumą nuo jo iki tiesios.
Jei norite pasinaudoti D formula, imtis savavališko taško tiesia linija, pavyzdžiui, p (1; -1; 0), tada:
Apskaičiuojame vektorinį produktą tarp PM ir tiesioginio V¯. Mes gauname:
= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)
Dabar mes pakeisime rasto vektoriaus modulius ir vektorinį v¯ į D formulę D, mes gauname:
d \u003d √ (9 + 64 + 49) / √ (9 + 4 + 1) ≈ 2.95
Šį atsakymą galima gauti naudojant pirmiau aprašytą metodą, kuris apima linijinės lygties sistemos sprendimą. Šioje ir ankstesnėse užduotyse apskaičiuotos nuotolinės vertės nuo tiesioginio iki taško pateikiami atitinkamos koordinatės sistemos vienetais.
Kampas tarp tiesios plokštumos.
Apibrėžimas.
Atstumo atstumas nuo taško iki tiesioginio
1 variantas
Leiskite plokštumui suteikti tiesią liniją l.: kirvis. + iki dalies + c. \u003d 0 ir taškas M 1.(x 1;y 1.), nepriklausomai nuo šios tiesios linijos. Mes surasime atstumą nuo taško iki tiesaus. Po atstumu nuo taško M 1.nukreipti l. Suprasti supjaustymo ilgį M 0.M 1.⏊ l..
Norėdami nustatyti atstumą, patogu naudoti vieną vektorių, collinear normalus vektorius tiesiai.
Paaiškinimas:nuo taško M 0. Slypi tiesiai l., jos koordinatės turi atitikti šios linijos lygtį, t.y. aX 0. + iki 0. + c.= 0
2 galimybė.
Jei nurodytas taškas m (x 0, y 0), tada atstumas iki tiesios linijos AH + W + C \u003d 0 yra apibrėžiamas kaip
.
Įrodymai. Leiskite taškui m 1 (x 1, 1) būti statmenos pagrindu, nuleista nuo m punkto nustatyto tiesioginio taško. Tada atstumas tarp taškų m ir m 1: (1) koordinatės x 1 Ir 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą: 
Antroji sistemos lygybė yra tiesioginio perdavimo lygtis per tam tikrą M 0 tašką, statmenai nurodytam tiesioginiam tiesioginiam tiesioginiam. Jei konvertuojate pirmąją sistemos lygtį su protu: A (x - x 0) + b (Y - Y 0) + AX \u200b\u200b0 + iki 0 + C \u003d 0, tada išspręskite, gaukite:
Pakeitus šias išraiškas į lygtį (1), mes randame: .
Įrodyta teorema.
Koordinatės metodas (atstumas tarp taško ir plokštumos, tarp tiesių)
Atstumas tarp taško ir plokštumos.
Atstumas tarp taško ir tiesioginio.
Atstumas tarp dviejų tiesių.
Pirmas dalykas yra naudingas žinoti, tai, kaip rasti atstumą nuo taško į lėktuvą:
Vertės A, B, C, D - plokštumos koeficientai
x, Y, Z - taškų koordinatės
Užduotis. Raskite atstumą tarp a \u003d (3; 7; -2) ir plokštumos 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0.
Viskas pateikiama, galite iš karto pakeisti vertes į lygtį:
Užduotis. Rasti atstumą nuo k \u003d (1; -2; 7) iki tiesioginio perduodamo per taškus v \u003d (8; 6; -13) ir t \u003d (-1; -6; 7).
- Rasti vektorių tiesiai.
- Apskaičiuokite vektorių, einančio per norimą tašką ir bet kur ant tiesios linijos.
- Nurodome matricą ir surasti dviejų vektorių, gautų 1 ir 2 pastraipoje veiksnius.
- Atstumas Gaukite, kada kvadratinė šaknis Nuo matricos koeficientų kvadratų sumos, mes padalijame vektoriaus ilgį, kuris nustato tiesiai(Manau, kad tai nėra aišku, todėl mes kreipiamės į konkretų pavyzdį).
1) TV \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; -20)
2) Mes surasime vektorių per k ir t taškus, nors taip pat būtų galima per K ir V arba bet kurį kitą šios eilutės tašką.
TK \u003d (1 - (1); -2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)
3) jis pasirodo M Atrix be santykio D (čia nereikia išspręsti):
4) Lėktuvas pasirodė esąs koeficientai a \u003d 80, b \u003d 40, c \u003d 12,
x, y, z - vektorinių koordinatės tiesiai, šiuo atveju - vektorinė televizija turi koordinates (9; 12; -20)
Užduotis. Raskite atstumą tarp tiesioginio einančio pro taškų e \u003d (1; 0; -2), g \u003d (2; 2; -1) ir tiesiogiai einantys per taškus m \u003d (4; -1; 4), L \u003d (-2; 3; 0).
- Mes nustatėme abiejų tiesių linijų vektoriai.
- Mes randame vektorių, atsižvelgiant į vieną tašką su kiekvienu tiesiu.
- Mes rašome ant 3 vektorių matricos (dvi eilutės iš pirmojo taško, viena eilutė nuo 2-osios) ir rasti savo skaitmeninį veiksnį.
- Nurodome pirmųjų dviejų vektorių matricą (1 dalyje). Pirmoje eilutėje nurodoma kaip x, y, z.
- Atstumas, kurį gauname, kai mes padalijame gautą vertę iš 3 dalies pagal modulį už kvadratinį šaknį nuo 4 punkto kvadratų sumos.
Persikėlimas į numerius.
Apskaičiuojant atstumą nuo taško iki tiesioginio plokštumos
Jei lygtis yra nustatyta į tiesioginę kirvį + iki + c \u003d 0, tada atstumas nuo taško m (m x, m) į tiesiai galima rasti naudojant šią formulę
Pavyzdžiai užduočių apskaičiuojant atstumą nuo taško nukreipti ant plokštumos
1 pavyzdys.
Raskite atstumą tarp tiesioginio 3x + 4y iki 6 \u003d 0 ir taško m (-1, 3).
Sprendimas. Pakeiskite formulę tiesioginio ir taško koordinates koordinates
Atsakymas: atstumas nuo taško iki tiesios iki 0,6.
plokštumos lygtis, einanti per taškus, statmenai vektoriaus plokštumų lygtį
Nenaudokite vektorių, statmenai nurodytam plokštumui, vadinamas normalus vektorius (arba, trumpai, normalus ) Šioje plokštumoje.
Leiskite koordinačių erdvėje (stačiakampio koordinačių sistemoje) nustatyti:
taškas 
;
b) Nonero vektorius (4,8, a).
Būtina padaryti plokštumos lygtį, einančią per tašką 
statmenai vektoriui Įrodymų pabaiga.
Apsvarstykite dabar įvairias tiesias lygtis plokštumoje.
1) Bendra plokštumos lygtisP. .
Iš lygties produkcijos matyti, kad tuo pačiu metu A., B. ir. \\ T C. Nėra lygus 0 (paaiškinkite, kodėl).
Taškas priklauso plokštumui P. Tik tuo atveju, kai jos koordinatės atitinka plokštumos lygtį. Priklausomai nuo koeficientų A., B., C. ir. \\ T D.lėktuvas P. Rūpinasi bet kokia pozicija:
- lėktuvas eina per koordinačių sistemos pradžią - plokštuma nepraeina per koordinačių sistemos pradžią,
- plokštuma lygiagrečiai su ašimi X.,
X.,
- plokštuma lygiagrečiai su ašimi Y.,
- plokštuma nėra lygiagrečiai su ašimi Y.,
- plokštuma lygiagrečiai su ašimi Z.,
- plokštuma nėra lygiagrečiai su ašimi Z..
Įrodyti šiuos pareiškimus.
(6) lygtis yra lengvai gaunama iš (5) lygties. Iš tiesų, tegul taškas yra ant lėktuvo P.. Tada jos koordinatės atitinka (5) lygtį (7) lygtį ir grupavimo sąlygas, gauname lygtį (6). Dabar mes manome, du vektoriai su koordinatėmis, atitinkamai. Iš formulės (6) Iš to išplaukia, kad jų skaliaras yra nulis. Todėl vektoriaus statmena vektoriniam paleidimui ir paskutinio vektoriaus gale yra atitinkamai taškuose, kurie priklauso plokštumui P.. Todėl vektorinė statmena plokštuma P.. Atstumas nuo lėktuvo vietos P., bendroji lygtis 
Nustatoma pagal formulę 
Šios formulės įrodymas yra visiškai panašus į atstumo formulės įrodymą tarp taško ir tiesioginio (žr. 2 pav.). 
Fig. 2. į atstumo išvestį tarp plokštumos ir tiesioginio.
Iš tiesų, atstumas d. tarp tiesios ir plokštumos yra lygios
kur - taškas guli ant plokštumos. Taigi, kaip paskaitoje Nr. 11, pirmiau pateikta formulė. Du lėktuvai yra lygiagrečiai, jei jų normalus vektorius yra lygiagrečiai. Iš čia mes gauname dviejų lėktuvų lygiagretumo būklę 
- koeficientai bendros lygtys Lėktuvai. Du lėktuvai yra statmena, jei jų įprastas vektorius yra statmena dviejų plokštumų statmens sąlygoms, jei jų bendros lygtys yra žinomos.
Kampas f. Tarp dviejų lėktuvų yra lygus kampui tarp jų įprastų vektorių (žr. 3 pav.) Ir galbūt apskaičiuojamas pagal formulę 
Užrašų tarp lėktuvų nustatymas.
(11)
Atstumas nuo taško iki lėktuvo ir būdų, kaip jį rasti
Atstumas nuo taško iki 
lėktuvas - statmena ilgis, nuleistas nuo taško į šią plokštumą. Yra bent du būdai rasti atstumą nuo taško iki plokštumos: geometrinis ir. \\ T algebraic..
Geometriniame metode Pirmiausia turite suprasti, kaip statmena yra nuo taško į lėktuvą: gali būti kai patogioje plokštumoje, yra aukštis kai patogi (ar ne labai) trikampis, o gal tai statmena yra paprastai aukštis kai kurių piramidės.
Po to, pirmasis ir sudėtingiausias etapas, problema suskaidoma į keletą konkrečių planimetrinių užduočių (galbūt skirtinguose lėktuvuose).
Su algebriniu metodu Norint rasti atstumą nuo taško į lėktuvą, turite įvesti koordinačių sistemą, surasti taško koordinates ir plokštumos lygtį, tada įdėkite atstumo formulę nuo taško iki plokštumos.