Matematica este aceea, prin careoamenii controlează natura și singuri.
Matematicianul sovietic, academicianul a.n. Kolmogorov.
Progresie geometrică.
Împreună cu sarcinile de progresie aritmetică, problemele asociate cu conceptul de progresie geometrică sunt frecvente la testele de intrare din matematică. Pentru a rezolva cu succes aceste sarcini, este necesar să se cunoască proprietățile progresiei geometrice și să aibă abilități bune de utilizare.
Acest articol este dedicat prezentării principalelor proprietăți ale progresiei geometrice. Iată exemple de soluții de sarcini tipice., Împrumutate din sarcinile testelor de intrare în matematică.
Notați anterior proprietățile de bază ale progresiei geometrice și reamintim cele mai importante formule și aprobare, asociate cu acest concept.
Definiție. Secvența numerică se numește progres geometric dacă fiecare dintre numărul său pornește de la al doilea egal cu cel precedent înmulțit cu același număr. Numărul se numește denominator al progresiei geometrice.
Pentru progresia geometricăformulele sunt valide
, (1)
unde. Formula (1) se numește formula unui membru general al progresiei geometrice, iar formula (2) este principala proprietate a progresiei geometrice: fiecare membru al progresiei coincide cu geometricul mediu al membrilor vecini si.
Notă Ce anume din cauza acestei proprietăți, progresia luată în considerare se numește "geometrică".
Formulele de mai sus (1) și (2) sunt generalizate după cum urmează:
, (3)
Pentru a calcula suma Primul Membrii progresiei geometrice Formula este aplicată
Dacă desemnează, atunci
unde. Deoarece formula (6) este o generalizare cu formula (5).
În cazul în care și când progresie geometrică este în mod infinit în scădere. Pentru a calcula sumatoți membrii progresiei geometrice scăzând infinit sunt folosite formula
. (7)
De exemplu , Cu ajutorul formulei (7), puteți afișa, ce
unde. Aceste egalități sunt obținute din formula (7), cu condiția ca (prima egalitate) și (a doua egalitate).
Teorema. Daca atunci
Dovezi. Daca atunci
Teorema este dovedită.
Să ne întoarcem la luarea în considerare a exemplelor de rezolvare a problemelor pe tema "progresie geometrică".
Exemplul 1. Dano:, și. A găsi .
Decizie. Dacă aplicați formula (5), atunci
Răspuns:.
Exemplul 2.Lăsați-l să fie. A găsi .
Decizie. Deoarece folosim formulele (5), (6) și obținem sistemul de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită în primul, atunci sau. Prin urmare, I. . Luați în considerare două cazuri.
1. Dacă, Apoi, de la prima ecuație a sistemului (9) avem.
2. Dacă, atunci.
Exemplul 3.Și. A găsi .
Decizie. Din formula (2) rezultă că sau. De atunci sau.
Cu condiție. Cu toate acestea, prin urmare. De cand Apoi, aici au un sistem de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită în primul, atunci sau.
Deoarece ecuația are singura rădăcină adecvată. În acest caz, de la prima ecuație a fluxurilor de sistem.
Luând în considerare formula (7), obținem.
Răspuns:.
Exemplul 4.Danar: Și. A găsi .
Decizie. De atunci.
De atunci, atunci sau
Conform formulei (2) avem. În acest sens, din egalitate (10) ajungem sau.
Cu toate acestea, prin condiție, prin urmare.
Exemplul 5. Se știe că . A găsi .
Decizie. Potrivit teoremei avem două egalități
De atunci sau. De atunci.
Răspuns:.
Exemplul 6. Danar: Și. A găsi .
Decizie. Luând în considerare formula (5), ajungem
De atunci. De când, atunci.
Exemplul 7. Lăsați-l să fie. A găsi .
Decizie. Conform formulei (1), puteți înregistra
Prin urmare, avem sau. Se știe că, prin urmare.
Răspuns:.
Exemplul 8. Găsiți un numitor al progresiei geometrice scăzând infinit dacă
și.
Decizie. De la formula (7) urmează și . De aici și din condițiile sarcinii obținem un sistem de ecuații
Dacă prima ecuație a sistemului este de a construi un pătrat, și apoi ecuația obținută este împărțită în a doua ecuație, Eu iau
Sau.
Răspuns:.
Exemplul 9. Găsiți toate valorile în care secvența este progresul geometric.
Decizie. Și. Conform formulei (2), care stabilește proprietatea de bază a progresiei geometrice, poate fi înregistrată sau.
De aici avem o ecuație pătrată, A căror rădăcini sunt și.
Efectuați verificarea: Dacă, atunci; Dacă, atunci și.
În primul caz avem Și, iar în al doilea - și.
Răspuns: ,.
Exemplul 10.Rezolvați ecuația
, (11)
unde și.
Decizie. Partea stângă a ecuației (11) este suma progresiei geometrice descrescătoare infinite, în care, cu condiția: și.
De la formula (7) urmează, ce . În acest sens, ecuația (11) ia sau . Rădăcină adecvată ecuație pătrată. este an
Răspuns:.
Exemplul 11.P. tratatul de numere pozitive Formează progresia aritmetică, dar - progresie geometrică, cu ce are de-a face cu. A găsi .
Decizie.La fel de secvența aritmeticăT. (Proprietatea principală a progresiei aritmetice). În măsura în care, atunci sau. Asta implică , Această progresie geometrică are forma. Conform formulei (2), apoi scrieți asta.
Așa cum este . În acest caz, expresia ia o vedere sau. Cu condiție, Prin urmare, din ecuație Obținem singura soluție la problema în cauză. .
Răspuns:.
Exemplul 12.Calculați suma
. (12)
Decizie. Multiplicați pe 5 ambele părți ale egalității (12) și obțineți
Dacă este supus la expresia rezultată (12)T.
sau.
Pentru calcul, înlocuim formula (7) a valorilor și obținem. De atunci.
Răspuns:.
Exemple de soluții de rezolvare date aici vor fi utile solicitanților atunci când se pregătesc pentru teste introductive. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, asociate cu progresul geometric, poate fi folosit tutoriale. Din lista literaturii recomandate.
1. Colectarea problemelor în matematică pentru intrarea în sol / ed. M.I. SCHANAVI. - M.: Lumea și educația, 2013. - 608 p.
2. SUPRUN V.P. Matematică pentru elevii de liceu: secțiuni suplimentare ale programului școlar. - M.: LENAND / URSSS, 2014. - 216 p.
3. Medical M.M. Curs complet al matematicii elementare în sarcini și exerciții. Cartea 2: secvențe numerice și progresie. - M.: Oditus, 2015. - 208 p.
Aveți întrebări?
Pentru a obține un ajutor pentru tutore - înregistrare.
site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.
Progresie geometrică Nu mai puțin important în matematică în comparație cu aritmetica. Progresul geometric se numește o astfel de secvență de numere B1, B2, ..., b [n] fiecare termen următor obținut prin înmulțirea numărului anterior. Acesta este un număr care caracterizează, de asemenea, rata de creștere sau scăderea progresiei este numită progresul geometric al denominatorului Și denotă
Pentru o sarcină completă a progresiei geometrice, în plus față de numitor, este necesar să se cunoască sau să definească primul său termen. Pentru valoarea pozitivă Progresia denominatorului este o secvență monotonă și dacă această secvență de numere este în mod monoton în mod monoton și cu creșterea monotonoasă. Cazul în care numitorul este egal cu o singură practică, deoarece avem o secvență de numere identice, iar sumarea lor nu provoacă interes practic.
Membru general al progresiei geometrice Calculați prin formula
Suma n primii membri ai progresiei geometrice Determinați formula
Luați în considerare soluțiile la sarcinile clasice pentru progresul geometric. Să începem să înțelegem cele mai simple.
Exemplul 1. Primul membru al progresiei geometrice este de 27, iar denominatorul său este de 1/3. Găsiți cei șase primii membri ai progresiei geometrice.
Soluție: Scrieți starea problemei în formular
Pentru calcule, folosim formula AN-a membru al progresiei geometrice
Pe baza acesteia găsim membri necunoscuți ai progresiei
Cum vă puteți asigura că calculele membrilor progresiei geometrice sunt simple. Progresul în sine va arăta așa
Exemplul 2. Există trei primii membri ai progresiei geometrice: 6; -12; 24. Găsiți numitorul și al șaptelea ei.
Soluție: Calculați numitorul progresiei geomitrice pe baza definiției sale
A primit o progresie geometrică alternativă a numitorului din care este -2. Al șaptelea membru calculează formula
Pe această problemă este rezolvată.
Exemplul 3. Progresia geometrică este stabilită de doi membri 
. Găsiți al zecelea membru al progresiei.
Decizie:
Noi scriem valorile specificate prin formule
Conform regulilor, ar fi necesar să găsim un numitor și apoi să căutați valoarea dorită, dar avem pentru cel de-al zecelea membru
Aceeași formulă poate fi obținută pe baza manipulărilor non-grele cu date de intrare. Împărțim cel de-al șaselea membru al rândului la altul, ca rezultat obținem
Dacă valoarea a variat la cel de-al șaselea membru, obținem a zecea
Astfel, pentru astfel de probleme cu ajutorul transformărilor simple în drumul rapid Puteți găsi soluția potrivită.
Exemplul 4. Progresia geometrică este dată de formulele recurente
Găsiți o progresie geometrică denominator și suma primilor șase membri.
Decizie:
Scriem datele date sub forma unui sistem de ecuații
Exprimați numitorul care livrează a doua ecuație pentru primul
Găsiți primul mandat al progresiei primei ecuații
Calculăm următorii cinci membri pentru a găsi cantitatea de progresie geometrică
Instrucțiuni
10, 30, 90, 270...
Este necesar să găsiți un numitor al progresiei geometrice.
Decizie:
1 opțiune. Luați un termen arbitrar de progresie (de exemplu, 90) și împărțiți-l la cel precedent (30): 90/30 \u003d 3.
Dacă suma mai multor membri ai progresiei geometrice sau suma tuturor membrilor progresiei geometrice descrescătoare este cunoscută, apoi găsirea numitorului progresiei, utilizați formulele corespunzătoare:
SN \u003d B1 * (1-Q ^ n) / (1-Q), unde SN este suma primilor membri ai progresiei geometrice și
S \u003d B1 / (1-Q), în care s este suma progresiei geometrice în mod infinit (suma tuturor membrilor progresiei cu numitorul unității mai mici).
Exemplu.
Primul mandat al progresiei geometrice diminuate este egal cu unul, iar suma tuturor membrilor săi este de două.
Este necesar să se determine numitorul acestei progresii.
Decizie:
Datele submold din sarcina în formula. Se pare:
2 \u003d 1 / (1-Q), de unde q \u003d 1/2.
Progresia este o secvență de numere. În progresia geometrică, fiecare termen ulterior este obținut prin înmulțirea numărului anterior Q, numit numitor al progresiei.
Instrucțiuni
Dacă sunt cunoscute două geometrice B (N + 1) și B (N) pentru a obține numitorul, este necesar să se împartă numărul cu mare la precedent: q \u003d b (n + 1) / b (n). Acest lucru urmează să determine progresia și denominatorul său. O condiție importantă este inegalitatea zero a primului membru și a numitorului de progresie, altfel este considerat incert.
Astfel, următoarele relații sunt stabilite între membrii progresiei: B2 \u003d B1 Q, B3 \u003d B2 Q, ..., B (N) \u003d B (N-1) q. Conform formulei B (N) \u003d B1 Q ^ (N-1), orice membru al progresiei geometrice poate fi calculat, în care este cunoscut numitorul Q și un membru al B1. De asemenea, fiecare dintre progresia modulului este egală cu media membrilor săi vecini: b (n) | \u003d √, prin urmare, progresia și a primit propria sa.
Un analog al progresiei geometrice este cea mai simplă funcție indicativă y \u003d a ^ x, unde x este într-un indicator al gradului, a este un număr. În acest caz, numitorul progresiei coincide cu primul membru și egal cu numărul A. Sub valoarea funcției y, puteți înțelege membru al n- Progresie, dacă argumentul X este luat pentru numărul natural N (Counter).
Există pentru suma primului membru N a progresiei geometrice: S (N) \u003d B1 (1-Q ^ n) / (1-Q). Această formulă este valabilă pentru Q ≠ 1. Dacă q \u003d 1, atunci suma primilor membri N este calculată prin formula S (n) \u003d n B1. Apropo, progresia va fi numită creșterea cu o unitate mai mare și pozitivă B1. Cu un numitor al progresiei, modulul nu depășește aparatul, progresia va fi menționată.
Un caz special de progresie geometrică este în mod infinit scăzând progresia geometrică (B.U.G.P.). Faptul este că membrii progresiei geometrice descrescătoare vor scădea în timp, dar nu au atins niciodată zero. În ciuda acestui fapt, puteți găsi cantitatea tuturor membrilor unei astfel de progresii. Se determină prin formula S \u003d B1 / (1-Q). Valoare totală membrii n infinit.
Pentru a vă imagina clar cum să adăugați un număr infinit de numere și să nu primești infinit, coaceți tortul. Tăiați jumătate din ea. Apoi tăiați 1/2 de la jumătate, și așa mai departe. Piesele pe care le veți obține nu sunt altceva decât membrii de progresie geometrică infinit scăzând cu un numitor 1/2. Dacă rotiți toate aceste piese, veți obține tortul original.
Sarcinile pentru geometrie sunt un tip special de exerciții care necesită gândire spațială. Dacă nu puteți rezolva geometric sarcină, Încercați să urmați regulile de mai jos.
Instrucțiuni
Citiți foarte atent condiția sarcinii, dacă ceva nu este amintit sau nu a înțeles, re-citiți din nou.
Încercați să determinați ce tip de sarcini geometrice, de exemplu, de exemplu: calculul, când trebuie să cunoașteți orice valoare, sarcini care necesită un lanț logic de raționament, sarcini pentru construirea cu ajutorul unei circulații și a unui conducător. Mai multe sarcini de tip mixt. Când aflați tipul de sarcină, încercați să argumentați logic.
Aplicați teorema necesară pentru această sarcină, dacă există îndoieli sau nu există opțiuni, apoi încercați să vă amintiți teoria pe care ați trecut-o conform subiectului respectiv.
Spuneți și problema în proiect. Încercați să aplicați modalități bine cunoscute de a verifica loialitatea deciziei dvs.
Întârzieți soluția la sarcină cu atenție în notebook, fără bloturi și trecere, și, cel mai important, este posibil să rezolvăm primele sarcini geometrice și timp. Cu toate acestea, de îndată ce stăpâniți acest proces - începeți să faceți clic pe sarcinile software-ului, cum ar fi nuci, obținerea plăcerii de la ea!
Progresia geometrică este o astfel de secvență de numere B1, B2, B3, ..., B (N-1), B (n), care B2 \u003d B1 * Q, B3 \u003d B2 * Q, ..., B (n ) \u003d B (n - 1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Cu alte cuvinte, fiecare membru al progresiei este obținut din multiplicarea anterioară a acestuia la un denominator nonzero al primului Q.
Instrucțiuni
Sarcinile pentru progresie sunt cel mai adesea rezolvate de preparare și de sistemul ulterior în raport cu primul membru al progresiei B1 și a numitorului de primire a lui Q. Pentru a compila ecuațiile, este util să ne amintim câteva formule.
Cum se exprimă membrul N-TH al progresiei prin primul termen al progresiei și numitorului progresiei: B (N) \u003d B1 * Q ^ (n-1).
Luați în considerare un caz separat Q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Lecția și prezentarea pe tema: "Secvențe numerice. Progresie geometrică"
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să părăsiți comentariile, recenzii, dorințe! Toate materialele sunt verificate de programul antivirus.
Manuale de instruire și simulatoare în magazinul online "Integral" pentru clasa 9
Funcții și facilități de grade și grafice
Băieți, astăzi vom introduce un alt tip de progresie.
Tema lecției de astăzi este progresia geometrică.
Progresie geometrică
Definiție. Secvența numerică în care fiecare membru care pornește de la al doilea este egal cu produsul anterior și un număr fix se numește progres geometric.Să ne stabilim secvența de recurent: $ b_ (1) \u003d b $, $ b_ (n) \u003d b_ (n - 1) * q $
unde b și q sunt anumite numere specificate. Numărul Q este numit numitor al progresiei.
Exemplu. 1,2,4,8,16 ... progresie geometrică, în care primul termen este egal cu unul și $ q \u003d $ 2.
Exemplu. 8,88,88 ... progresie geometrică, care este egală cu opt,
A $ Q \u003d 1 $.
Exemplu. 3, -3.3, -3.3 ... progresie geometrică, pe care primul membru este egal cu trei,
Un Q \u003d -1 $.
Progresia geometrică are proprietăți monotoniene.
Dacă $ B_ (1)\u003e 0 $, $ Q\u003e $ 1,
apoi, secvența este în creștere.
Dacă $ B_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Secvența este luată pentru a fi notată în formă: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.
De asemenea, ca în progresia aritmetică, dacă în progresul geometric numărul de elemente, desigur, progresia se numește progresia geometrică finală.
$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n) $.
Notă Dacă secvența este o progresie geometrică, secvența pătratelor elementelor este, de asemenea, o progresie geometrică. În cea de-a doua secvență, primul termen este $ B_ (1) ^ 2 $, iar numitorul este de $ Q ^ 2 $.
Formula membrului N-Bous al progresiei geometrice
Progresia geometrică poate fi setată într-o formă analitică. Să vedem cum să o facem:$ b_ (1) \u003d b_ (1) $.
$ b_ (2) \u003d b_ (1) * q $.
$ b_ (3) \u003d b_ (2) * q \u003d b_ (1) * q * q \u003d b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) \u003d b_ (3) * q \u003d b_ (1) * q ^ $ 3.
$ b_ (5) \u003d b_ (4) * q \u003d b_ (1) * q ^ 4 $.
Observăm cu ușurință modelul: $ b_ (n) \u003d b_ (1) * q ^ (n-1) $.
Formula noastră se numește "formula membrului N-CO al progresiei geometrice".
Să ne întoarcem la exemplele noastre.
Exemplu. 1,2,4,8,16 ... progresie geometrică, în care primul termen este egal cu unul,
un Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.
Exemplu. 16,84,2,11 / 2 ... progresie geometrică, în care primul termen este de șaisprezece ani și $ Q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n - 1) $.
Exemplu. 8,88,88 ... progresie geometrică, în care primul termen este de opt, și $ Q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.
Exemplu. 3, -3.3, -3.3 ... progresie geometrică, în care primul termen este egal cu trei, și $ Q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.
Exemplu. Progresia geometrică a $ B_ (1), B_ (2), ..., B_ (N), ... $.
a) Se știe că $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3. Găsiți $ b_ (5) $.
b) Se știe că $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 dolari. Găsiți N.
c) Se știe că $ Q \u003d -2, B_ (6) \u003d $ 96. Găsiți $ b_ (1) $.
d) Se știe că $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Găsiți Q.
Decizie.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 dolari.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $, deoarece $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e N-1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - $ 3.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.
Exemplu. Diferența dintre cei al șaptelea și al cincilea membri ai progresiei geometrice este 192, valoarea celui de-al cincilea și al șaselea membru al progresiei este 192. Găsiți al zecelea membru al acestei progresii.
Decizie.
Știm că: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ și $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Știm, de asemenea,: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Atunci:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
A primit un sistem de ecuații:
$ \\ începe (cazuri) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ capătul (cazuri) $.
Pregătirea, ecuațiile noastre vor fi obținute:
$ B_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ Q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
A primit două soluții Q: $ Q_ (1) \u003d 2, Q_ (2) \u003d - 1 $.
Înlocuim ulterior al doilea ecuație:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ Nu soluții.
Primit ca: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d $ 2.
Găsim cel de-al zecelea membru: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.
Cantitatea de progresie geometrică finită
Să avem o progresie geometrică finită. Haideți, precum și pentru progresia aritmetică, luăm în considerare suma membrilor săi.Lăsați progresia geometrică finală dată: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $.
Introducem desemnarea sumei membrilor săi: $ s_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $.
În cazul în care $ q \u003d 1 $. Toți membrii progresiei geometrice sunt egale cu primul membru, atunci este evident că $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Luați în considerare acum cazul de $ ≠ $ 1.
Înmulțiți cantitatea de mai sus pe Q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Notă:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.
$ S_ (n) * q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (B_ (1) (Q ^ (n) -1) (Q-1) $.
$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1) (q-1) $.
Am obținut formula cantității de progresie geometrică finită.
Exemplu.
Găsiți suma primelor șapte membri ai progresiei geometrice, în care primul termen este de 4, iar numitorul 3.
Decizie.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.
Exemplu.
Găsiți al cincilea membru al progresiei geometrice, care este cunoscut: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 dolari.
Decizie.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n - 1) \u003d - 3072 $.
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $.
$ Q ^ (n) \u003d 1024q $.
$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (Q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d 1364 $.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.
Proprietatea caracteristică a progresiei geometrice
Băieți, având progresie geometrică. Să ne uităm la trei membri consecutivi: $ b_ (n - 1), b_ (n), b_ (n + 1) $.Noi stim aia:
$ \\ Frac (b_ (n)) (q) \u003d b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q \u003d b_ (n + 1) $.
Atunci:
$ \\ Frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q \u003d b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
Dacă progresul este ultimul, atunci această egalitate este efectuată pentru toți membrii, cu excepția primului și ultima.
Dacă nu este cunoscut în prealabil ce fel de secvență, dar se știe că: $ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
Apoi puteți spune în siguranță că este o progresie geometrică.
Secvența numerică este progresul geometric, numai atunci când pătratul fiecărui element este egal cu produsul celor două progresie adiacente cu ea. Nu uitați că pentru progresul final, această condiție nu este efectuată pentru primul și ultimul membru.
Să ne uităm la această identitate: $ \\ sqrt (b_ (n) ^ (2)) \u003d \\ sqrt (b_ (n - 1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | \u003d \\ sqrt (b_ (n - 1) * b_ (n + 1)) $.
$ \\ sqrt (a * b) $ numit media numere geometrice A și b.
Modulul oricărui membru al progresiei geometrice este egal cu cei doi membri medii geometrici adiacenți.
Exemplu.
Găsiți astfel x care ar fi $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ a fost cel trei membru consecutiv al progresiei geometrice.
Decizie.
Folosim proprietatea caracteristică:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ și $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Înlocuiți în mod consecvent în expresia originală, soluțiile noastre:
La $ x \u003d 2 $, secvența a fost obținută: 4; 6; 9 - progresie geometrică, în care $ q \u003d $ 1,5 $.
Pentru $ x \u003d -1 $, secvența primită: 1; 0; 0.
Răspuns: $ x \u003d 2. $
Sarcini pentru soluții de sine
1. Găsiți cel de-al optulea primul membru al progresiei geometrice de 16; -8; 4; -2 ....2. Găsiți al zecelea membru al progresiei geometrice de 11,22,44 ....
3. Se știe că $ b_ (1) \u003d 5, Q \u003d $ 3. Găsiți $ b_ (7) $.
4. Se știe că $ b_ (1) \u003d 8, q \u003d -2, b_ (n) \u003d 512 $. Găsiți N.
5. Găsiți suma primilor 11 membri ai progresiei geometrice 3; 12; 48 ....
6. Găsiți astfel x că 3x + 4 dolari; 2x + 4; X + 5 $ sunt trei membri consecutivi de progresie geometrică.