Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rar predată la școală. Prezentarea prezintă soluții la sarcinile C3 ale Examenului Unificat de Stat - 2014 la matematică.
Descărcați:
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Rezolvarea inegalităților logaritmice care conțin o variabilă în baza logaritmului: metode, tehnici, tranziții echivalente, profesor de matematică, Școala Gimnazială Nr. 143 Knyazkina T. V.
Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Acestea sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rar predată în școală: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 În locul casetei de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași. Astfel scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți zona valori acceptabile. Nu uitați de ODZ al logaritmului! Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie satisfăcute simultan. Când a fost găsit intervalul de valori acceptabile, tot ce rămâne este să îl intersectăm cu soluția inegalității raționale - și răspunsul este gata.
Rezolvați inegalitatea: Soluție Mai întâi, să scriem OD al logaritmului. Primele două inegalități sunt satisfăcute automat, dar ultima va trebui să fie scrisă. Deoarece pătratul unui număr este egal cu zero dacă și numai dacă numărul însuși este egal cu zero, avem: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Rezultă că ODZ a unui logaritm sunt toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală: Facem trecerea de la inegalitatea logaritmică la cea rațională. Inegalitatea originală are un semn „mai puțin decât”, ceea ce înseamnă că inegalitatea rezultată trebuie să aibă și un semn „mai puțin decât”.
Avem: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)
Transformarea inegalităților logaritmice Adesea inegalitatea originală este diferită de cea de mai sus. Acest lucru poate fi corectat cu ușurință folosind reguli standard pentru lucrul cu logaritmi. Și anume: Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată; Suma și diferența logaritmilor cu aceleași baze pot fi înlocuite cu un logaritm. Separat, aș dori să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească VA a fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generala soluțiile la inegalitățile logaritmice sunt următoarele: Aflați ODZ a fiecărui logaritm inclus în inegalitate; Reduceți inegalitatea la una standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor; Rezolvați inegalitatea rezultată folosind schema dată mai sus.
Rezolvați inegalitatea: Soluție Să găsim domeniul de definiție (DO) al primului logaritm: Rezolvați prin metoda intervalelor. Aflați zerourile numărătorului: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Atunci - zerourile numitorului: x − 1 = 0; x = 1. Marcați zerouri și semne pe linia de coordonate:
Se obține x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Al doilea logaritm va avea același VA. Dacă nu crezi, poți să verifici. Acum să transformăm al doilea logaritm, astfel încât să existe un doi la bază: După cum puteți vedea, cei trei de la bază și din fața logaritmului au fost anulați. Avem doi logaritmi cu aceeași bază. Adună-le: log 2 (x − 1) 2
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)
Suntem interesați de intersecția mulțimilor, așa că selectăm intervale care sunt umbrite pe ambele săgeți. Se obține: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - toate punctele sunt perforate. Răspuns: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
Rezolvarea sarcinilor USE-2014 tip C3
Rezolvarea sistemului de inegalități. ODZ: 1) 2)
Rezolvați sistemul de inegalități 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (continuare)
Rezolvați sistemul de inegalități 4) Soluție generală: și -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (continuare)
Rezolvați inegalitatea (continuare) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Rezolvați soluția inegalității. ODZ:
Rezolvați inegalitatea (continuare)
Rezolvați soluția inegalității. ODZ: -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2
Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rareori predată la școală:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
În loc de caseta de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași.
Astfel scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori acceptabile. Dacă ați uitat ODZ al unui logaritm, vă recomand insistent să îl repetați - vedeți „Ce este un logaritm”.
Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie notat și rezolvat separat:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie satisfăcute simultan. Când a fost găsit intervalul de valori acceptabile, tot ce rămâne este să îl intersectăm cu soluția inegalității raționale - și răspunsul este gata.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
Mai întâi, să scriem ODZ al logaritmului:
Primele două inegalități sunt satisfăcute automat, dar ultima va trebui scrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală:
Facem tranziția de la inegalitatea logaritmică la una rațională. Inegalitatea originală are semnul „mai puțin decât”, ceea ce înseamnă că inegalitatea rezultată trebuie să aibă și un semn „mai puțin decât”. Avem:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Zerourile acestei expresii sunt: x = 3; x = −3; x = 0. Mai mult, x = 0 este o rădăcină a celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se schimbă. Avem:
Se obține x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul.
Conversia inegalităților logaritmice
Adesea inegalitatea originală este diferită de cea de mai sus. Acest lucru poate fi corectat cu ușurință folosind regulile standard pentru lucrul cu logaritmi - vezi „Proprietățile de bază ale logaritmilor”. Anume:
- Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată;
- Suma și diferența logaritmilor cu aceleași baze pot fi înlocuite cu un logaritm.
Separat, aș dori să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească VA a fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea:
- Aflați VA fiecărui logaritm inclus în inegalitate;
- Reduceți inegalitatea la una standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor;
- Rezolvați inegalitatea rezultată folosind schema dată mai sus.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
Să găsim domeniul de definiție (DO) al primului logaritm:
Rezolvăm folosind metoda intervalului. Aflarea zerourilor numărătorului:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Apoi - zerourile numitorului:
x − 1 = 0;
x = 1.
Marcam zerouri și semne pe săgeata de coordonate:
Se obține x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Al doilea logaritm va avea același VA. Dacă nu crezi, poți să verifici. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât baza să fie două:
După cum puteți vedea, treisurile de la bază și din fața logaritmului au fost reduse. Avem doi logaritmi cu aceeași bază. Să le adunăm:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Am obținut inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi folosind formula. Deoarece inegalitatea originală conține un semn „mai puțin decât”, expresia rațională rezultată trebuie, de asemenea, să fie mai mică decât zero. Avem:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Avem două seturi:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Răspunsul candidatului: x ∈ (−1; 3).
Rămâne să intersectăm aceste mulțimi - obținem răspunsul real:
Suntem interesați de intersecția mulțimilor, așa că selectăm intervale care sunt umbrite pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - toate punctele sunt perforate.
Ne-am uitat la rezolvarea celor mai simple inegalități logaritmice și inegalități în care baza logaritmului este fixă în ultima lecție.
Dar dacă există o variabilă la baza logaritmului?
Atunci ne va veni în ajutor raționalizarea inegalităților. Pentru a înțelege cum funcționează, să luăm în considerare, de exemplu, inegalitatea:
$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$
După cum era de așteptat, să începem cu ODZ.
ODZ
$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$
Soluție la inegalitate
Să raționăm de parcă am rezolva o inegalitate cu o bază fixă. Dacă baza este mai mare decât unu, scăpăm de logaritmi, iar semnul de inegalitate nu se schimbă dacă este mai mic de unu, se schimbă.
Să scriem asta ca sistem:
$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Pentru un raționament suplimentar, să mutăm toate părțile din dreapta ale inegalităților la stânga.
$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Ce am primit? Se pare că avem nevoie ca expresiile `2x-1` și `x^2 - x` să fie pozitive sau negative în același timp. Același rezultat se obține dacă rezolvăm inegalitatea:
$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$
Această inegalitate, ca și sistemul original, este adevărată dacă ambii factori sunt fie pozitivi, fie negativi. Se dovedește că puteți trece de la o inegalitate logaritmică la una rațională (ținând cont de ODZ).
Să formulăm metoda de raționalizare a inegalităților logaritmice$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ unde `\vee` este orice semn de inegalitate. (Pentru semnul `>` tocmai am verificat validitatea formulei. În rest, vă sugerez să o verificați singur - va fi reținut mai bine).
Să revenim la rezolvarea inegalității noastre. Expandându-l în paranteze (pentru a face zerourile funcției mai ușor de văzut), obținem
$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$
Metoda intervalului va oferi următoarea imagine:
(Deoarece inegalitatea este strictă și nu ne interesează capetele intervalelor, acestea nu sunt umbrite.) După cum se poate observa, intervalele rezultate satisfac ODZ. Am primit răspunsul: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.
Exemplul doi. Rezolvarea unei inegalități logaritmice cu o bază variabilă
$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$
ODZ
$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(array)\right.$$
$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(matrice)\dreapta.$$
Soluție la inegalitate
Conform regulii pe care tocmai am primit-o raționalizarea inegalităților logaritmice, constatăm că această inegalitate este identică (ținând cont de ODZ) cu următoarele:
$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$
$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$
Combinând această soluție cu ODZ, obținem răspunsul: `(1,2)`.
Al treilea exemplu. Logaritmul unei fracții
$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$
ODZ
$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $
Deoarece sistemul este relativ complex, să reprezentăm imediat soluția inegalităților pe dreapta numerică:
Astfel, ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.
Soluție la inegalitate
Să reprezentăm `-1` ca un logaritm cu baza `x`.
$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$
Prin utilizarea raționalizarea inegalității logaritmice obținem o inegalitate rațională:
$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$
INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE
Sechin Mihail Alexandrovici
Mica Academie de Științe pentru Studenții din Republica Kazahstan „Iskatel”
MBOU „Școala Gimnazială Nr. 1 Sovetskaya”, clasa a XI-a, oraș. districtul Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor al instituției de învățământ bugetar municipal „Școala Gimnazială nr. 1 Sovetskaya”
districtul Sovetsky
Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 folosind metode nestandardizate, identificând fapte interesante logaritm
Subiectul cercetării:
3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Conţinut
Introducere…………………………………………………………………………………………….4
Capitolul 1. Istoricul problemei………………………………………………………….5
Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7
2.1. Tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor…………… 7
2.2. Metoda raționalizării………………………………………………………………… 15
2.3. Înlocuirea non-standard .................................................................. ............ ..... 22
2.4. Sarcini cu capcane……………………………………………………27
Concluzie……………………………………………………………………………… 30
Literatură……………………………………………………………………. 31
Introducere
Sunt în clasa a XI-a și intenționez să intru într-o universitate unde materia de bază este matematica. De aceea lucrez mult cu problemele din partea C. În sarcina C3, trebuie să rezolv o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei legat de logaritmi. Când mă pregăteam pentru examen, m-am confruntat cu problema deficitului de metode și tehnici de rezolvare a inegalităților logaritmice de examen oferite în C3. Metode care sunt studiate în programa școlară pe acest subiect, nu oferiți o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică mi-a sugerat să lucrez independent la temele C3, sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: întâlnim logaritmi în viața noastră?
Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema:
„Inegalități logaritmice în examenul de stat unificat”
Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, identificând fapte interesante despre logaritm.
Subiectul cercetării:
1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice.
2) Găsiți informații suplimentare despre logaritmi.
3) Învață să decizi sarcini specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Semnificația practică constă în extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru cluburi și la cursuri opționale de matematică.
Produsul proiectului va fi colecția „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”.
Capitolul 1. Context
De-a lungul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studiul mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori mulți ani. Astronomia era în pericol real de a se îneca în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, erau necesare tabele de dobândă compusă pentru diferite rate ale dobânzii. Principala dificultate a fost înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a cantităților trigonometrice.
Descoperirea logaritmilor s-a bazat pe proprietățile progresiilor care erau bine cunoscute până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Despre legătura dintre membri progresie geometrică q, q2, q3, ... și progresia aritmetică a exponenților lor 1, 2, 3,... Arhimede a vorbit în Psalm. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la negativ și indicatori fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor în progresie geometrică corespund în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.
Aici a fost ideea logaritmului ca exponent.
În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape.
Etapa 1
Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Bürgi (1552-1632). Ambele au vrut să ofere un mijloc nou, convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această problemă în moduri diferite. Napier a exprimat cinematic funcția logaritmică și astfel a intrat într-un nou domeniu al teoriei funcției. Bürgi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu este similară cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A apărut dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos - „relație” și ariqmo - „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”.
În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresh College din Londra, Napier a sugerat să se ia zero ca logaritm al lui unu și 100 ca logaritm al lui zece sau, ceea ce înseamnă același lucru. lucru, doar 1. Așa au fost tipărite logaritmii zecimal și Primele tabele logaritmice. Mai târziu, mesele lui Briggs au fost completate de librarul și pasionatul de matematică olandez Adrian Flaccus (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi mai devreme decât toți ceilalți, și-au publicat tabelele mai târziu decât ceilalți - în 1620. Semnele log și Log au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659 și urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Speidel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub denumirea de „Noi logaritmi”.
Primele tabele logaritmice au fost publicate în limba rusă în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice au existat erori de calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin, prelucrate de matematicianul german K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă geometrie analiticăși calcul infinitezimal. Până atunci, legătura dintre cuadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural fusese stabilită. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.
Matematicianul, astronomul și inginerul german Nikolaus Mercator într-un eseu
„Logaritmotehnica” (1668) oferă o serie care oferă expansiunea lui ln(x+1) în
puteri ale lui x:
Această expresie corespunde exact cursului gândirii sale, deși el, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci o simbolistică mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematică elementară cu punctul cel mai înalt viziune”, citit în 1907-1908, F. Klein a propus folosirea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.
Etapa 3
Definirea unei funcții logaritmice ca funcție inversă
exponențial, logaritmul ca exponent al unei baze date
nu a fost formulată imediat. Eseu de Leonhard Euler (1707-1783)
„O introducere în analiza infinitezimale” (1748) a servit la continuarea
dezvoltarea teoriei funcţiilor logaritmice. Astfel,
Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată
(contând din 1614), înainte ca matematicienii să ajungă la definiție
conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar.
Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice
2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor.
Tranziții echivalente
, dacă a > 1
, dacă 0 <
а <
1
Metoda intervalului generalizat
Această metodă este cea mai universală pentru rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Diagrama soluției arată astfel:
1. Aduceți inegalitatea la forma în care se află funcția din partea stângă 
, iar în dreapta 0.
2. Găsiți domeniul funcției .
3. Aflați zerourile funcției , adică rezolvați ecuația 
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).
4. Desenați domeniul de definiție și zerourile funcției pe dreapta numerică.
5. Determinați semnele funcției pe intervalele obţinute.
6. Selectați intervale în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul.
Exemplul 1.
Soluţie:
Să aplicăm metoda intervalului
unde
Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnele logaritmice sunt pozitive.
Răspuns:
Exemplul 2.
Soluţie:
1 mod . ADL este determinată de inegalitate x> 3. Luarea de logaritmi pentru astfel de x la baza 10, obținem
Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de expansiune, i.e. comparând factorii cu zero. Cu toate acestea, în în acest caz, ușor de determinat intervalele de semn constant ale unei funcții
prin urmare, se poate aplica metoda intervalului.
Funcţie f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ este continuă la x> 3 și dispare în puncte x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Astfel, determinăm intervalele de semn constant ale funcției f(x):
Răspuns:
a 2-a metoda . Să aplicăm direct ideile metodei intervalului la inegalitatea originală.
Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că expresiile o b- o c și ( o - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră la x> 3 este echivalent cu inegalitatea
sau
Ultima inegalitate este rezolvată folosind metoda intervalului
Răspuns:
Exemplul 3.
Soluţie:
Să aplicăm metoda intervalului
Răspuns:
Exemplul 4.
Soluţie:
Din 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 pentru toate reale x, Asta
Pentru a rezolva a doua inegalitate folosim metoda intervalului
În prima inegalitate facem înlocuirea
apoi ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.
De unde, pentru că
obținem inegalitatea
care se realizează când x, pentru care 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit
Răspuns:
Exemplul 5.
Soluţie:
Inegalitatea este echivalentă cu o colecție de sisteme
sau
Să folosim metoda intervalului sau
Răspuns:
Exemplul 6.
Soluţie:
Inegalitatea este egală cu sistemul
Lasă
Apoi y > 0,
și prima inegalitate
sistemul ia forma
sau, desfășurarea
trinom pătratic factorizat,
Aplicând metoda intervalului la ultima inegalitate,
vedem că soluţiile sale satisfac condiţia y> 0 va fi tot y > 4.
Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul:
Deci, soluțiile la inegalitate sunt toate
2.2. Metoda raționalizării.
Anterior, inegalitatea nu era rezolvată prin metoda raționalizării, nu era cunoscută. Acesta este „noul modern” metoda eficienta soluții la inegalitățile exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui S.I. Kolesnikova)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, a existat o teamă - expertul Unified State Exam îl cunoaște și de ce nu-l dau la școală? Au fost situații când profesorul i-a spus elevului: „De unde l-ai luat – 2”.
Acum metoda este promovată peste tot. Și pentru experți există linii directoare asociate cu această metodă, iar în „Edițiile cele mai complete de opțiuni standard...” din Soluția C3 se folosește această metodă.
METODA MINUNATĂ!
„Masa magică”
În alte surse
Dacă a >1 și b >1, apoi log a b >0 și (a -1)(b -1)>0;
Dacă a >1 și 0 daca 0<o<1 и b
>1, apoi log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
daca 0<o<1 и 00 și (a -1)(b -1)>0. Raționamentul efectuat este simplu, dar simplifică semnificativ soluția inegalităților logaritmice. Exemplul 4.
log x (x 2 -3)<0
Soluţie:
Exemplul 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Soluţie: Exemplul 6.
Pentru a rezolva această inegalitate, în locul numitorului, scriem (x-1-1)(x-1), iar în loc de numărător, scriem produsul (x-1)(x-3-9 + x). Exemplul 7.
Exemplul 8.
2.3. Înlocuire non-standard. Exemplul 1.
Exemplul 2.
Exemplul 3.
Exemplul 4.
Exemplul 5.
Exemplul 6.
Exemplul 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Să facem înlocuirea y=3 x -1; atunci această inegalitate va lua forma Log 4 log 0,25 Deoarece log 0,25 Să facem înlocuirea t =log 4 y și să obținem inegalitatea t 2 -2t +≥0, a cărei soluție este intervalele - Astfel, pentru a găsi valorile lui y avem o mulțime de două inegalități simple Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu mulțimea a două inegalități exponențiale, Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Exemplul 8.
Soluţie:
Inegalitatea este egală cu sistemul Soluția pentru a doua inegalitate care definește ODZ va fi setul celor x,
pentru care x > 0.
Pentru a rezolva prima inegalitate facem substituția Apoi obținem inegalitatea sau Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, primim sau Multe dintre ele x, care satisfac ultima inegalitate aparține ODZ ( x> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului, și de aici inegalitatea inițială. Răspuns: 2.4. Sarcini cu capcane. Exemplul 1.
Soluţie. ODZ a inegalității este tot x care satisface condiția 0 Exemplul 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Răspuns. (0; 0,5)U.
Răspuns :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , apoi rescriem ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Soluția acestei mulțimi este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.
adică agregate 
. Astfel, inegalitatea originală este satisfăcută pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Prin urmare, toți x sunt din intervalul 0
Concluzie
Nu a fost ușor să găsești metode specifice de rezolvare a problemelor C3 dintr-o mare abundență de diferite surse educaționale. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituție non-standard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode nu sunt incluse în programa școlară.
Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități propuse la Examenul Unificat de Stat în partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „C3 Inegalități logaritmice cu soluții”, care a devenit un produs de proiect al activității mele. S-a confirmat ipoteza pe care am pus-o la începutul proiectului: problemele C3 pot fi rezolvate eficient dacă cunoașteți aceste metode.
În plus, am descoperit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să fac asta. Produsele proiectului meu vor fi utile atât pentru elevi, cât și pentru profesori.
Concluzii:
Astfel, scopul proiectului a fost atins și problema a fost rezolvată. Și am primit cea mai completă și variată experiență a activităților de proiect în toate etapele de lucru. În timp ce lucram la proiect, impactul meu principal de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitate, perseverență și activitate.
O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am dobândit: experiență școlară semnificativă, capacitatea de a obține informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea și de a le clasifica după importanță.
Pe lângă cunoștințele directe în materie de matematică, mi-am extins abilitățile practice în domeniul informaticii, am acumulat noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, am stabilit contacte cu colegii de clasă și am învățat să cooperez cu adulții. În cadrul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative.
Literatură
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini standard C3).
2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică.
3. Samarova S. S. Rezolvarea inegalităților logaritmice.
4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semenov și I.V. Iascenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-